En una amplia variedad de investigaciones teóricas y aplicadas, se utilizan ampliamente métodos de modelado matemático, que reducen la solución de problemas en un área determinada de investigación a la solución de problemas adecuados (o aproximadamente adecuados). problemas matemáticos. Es necesario acercar la solución de estos problemas a la obtención de un resultado numérico (cálculo de varios tipos de cantidades, solución de varios tipos de ecuaciones, etc.). El objetivo de las matemáticas computacionales es desarrollar algoritmos para la solución numérica de una amplia gama de problemas matemáticos. Los métodos deben diseñarse de manera que puedan implementarse eficazmente utilizando tecnología informática moderna. Como regla general, los problemas considerados no permiten una solución exacta, por lo que estamos hablando de desarrollar algoritmos que proporcionen una solución aproximada. Para poder sustituir una solución exacta desconocida de un problema por una aproximada, es necesario que esta última se acerque lo suficiente a la exacta. En este sentido, existe la necesidad de evaluar la proximidad de la solución aproximada a la exacta y desarrollar métodos aproximados para construir soluciones aproximadas que sean tan cercanas a las exactas como se desee.
Esquemáticamente, el proceso computacional es el siguiente: para un valor dado incógnita(numérica, vectorial, etc.) calcular el valor de alguna función Hacha). La diferencia entre los valores exactos y aproximados de una cantidad se llama error. Cálculo de valor preciso Hacha) normalmente imposible y te obliga a reemplazar la función (operación) A su representación aproximada à , que se puede calcular: calculando la cantidad Hacha), se reemplaza por el cálculo- Hacha) A(x) - Ã(x) llamado error de método. Se debe desarrollar un método para estimar este error junto con el desarrollo de un método para calcular el valor. Hacha). De métodos posibles Al construir una aproximación, se debe utilizar la que, teniendo en cuenta los medios y capacidades disponibles, dé el menor error.
valor valor incógnita, es decir, los datos iniciales, en problemas reales se obtienen directamente de las mediciones o como resultado de la etapa anterior de cálculos. En estos casos, sólo se determina un valor aproximado. xo cantidades incógnita. Por lo tanto, en lugar del valor Hacha) sólo se puede calcular un valor aproximado Ã(x o). El error resultante A(x) - Ã(x o) llamado irreparable. Como resultado de los redondeos inevitables durante los cálculos, en lugar del valor Ã(x o) Se calcula su valor "redondeado", lo que conduce a la apariencia. errores de redondeo Ã(x o)- . El error total de cálculo resulta ser igual a Hacha) - .
Representemos el error total en la forma
Hacha) - = [A(x) - ] + [ - Ã(x o)] +
+ [Ã(x o) - ] (1)
La última igualdad muestra que el error total de cálculo es igual a la suma del error de método, el error fatal y el error de redondeo. Los dos primeros componentes del error se pueden estimar antes de iniciar los cálculos. El error de redondeo se evalúa únicamente durante los cálculos.
Consideremos las siguientes tareas:
a) característica de la precisión de los números aproximados
b) evaluación de la exactitud del resultado dada la exactitud conocida de los datos iniciales (estimación del error fatal)
c) determinar la precisión requerida de los datos iniciales para garantizar la precisión especificada del resultado
d) hacer coincidir la precisión de los datos y cálculos originales con las capacidades de las herramientas informáticas disponibles.
4 errores de medición
4.1 Valores verdaderos y reales de cantidades físicas. Error de medición. Causas de errores de medición.
Al analizar las mediciones, se deben distinguir claramente dos conceptos: los verdaderos valores de las cantidades físicas y sus manifestaciones empíricas: los resultados de las mediciones.
Valores verdaderos de cantidades físicas. - estos son los valores, de una manera ideal reflejando las propiedades de un objeto determinado tanto cuantitativa como cualitativamente. No dependen del medio de medición y son la verdad absoluta por la que se esfuerzan al realizar mediciones.
Por el contrario, los resultados de las mediciones son productos de la cognición. Al representar estimaciones aproximadas de los valores de las cantidades encontradas como resultado de las mediciones, dependen del método de medición, los instrumentos de medición y otros factores.
Error de medición la diferencia entre el resultado de la medición x y el valor real Q de la cantidad medida se llama:
Δ= x – Q (4.1)
Pero desde verdadero significado Se desconoce el Q de la cantidad medida, entonces, para determinar el error de medición, se sustituye el llamado valor real en la fórmula (4.1) en lugar del valor verdadero.
Bajo valor real de la cantidad medida se entiende que su significado es aquel encontrado experimentalmente y tan cercano al valor verdadero que para un propósito determinado puede usarse en su lugar.
Las causas de los errores son: imperfección de los métodos de medición, de los instrumentos de medición y de los sentidos del observador. Las razones relacionadas con la influencia de las condiciones de medición deben combinarse en un grupo separado. Estos últimos se manifiestan de dos maneras. Por un lado, todas las cantidades físicas que desempeñan algún papel en las mediciones dependen unas de otras en un grado u otro. Por lo tanto, con cambios en las condiciones externas, los valores reales de las cantidades medidas cambian. Por otro lado, las condiciones de medición influyen tanto en las características de los instrumentos de medición como en las propiedades fisiológicas de los órganos sensoriales del observador y, a través de ellas, se convierten en una fuente de errores de medición.
4.2 Clasificación de los errores de medición según la naturaleza de su cambio.
Las causas de error descritas son una combinación. gran número factores bajo cuya influencia se forma el error total de medición. Se pueden combinar en dos grupos principales.
El primer grupo incluye factores que aparecen de forma irregular y desaparecen inesperadamente o aparecen con una intensidad difícil de predecir. Estos incluyen, por ejemplo, pequeñas fluctuaciones de las cantidades influyentes (temperatura, presión ambiente etc.). La proporción o componente del error total de medición que surge bajo la influencia de factores de este grupo determina el error aleatorio de medición.
De este modo, error de medición aleatorio - componente del error de medición que cambia aleatoriamente durante mediciones repetidas de la misma cantidad.
Al crear instrumentos de medición y organizar el proceso de medición en su conjunto, la intensidad de la manifestación de los factores que determinan el error aleatorio de medición se puede reducir a un nivel general, de modo que todos influyan más o menos por igual en la formación del error aleatorio. error. Sin embargo, algunos de ellos, por ejemplo una caída repentina de tensión en la red eléctrica, pueden parecer inesperadamente fuertes, por lo que el error adquirirá dimensiones que claramente van más allá de los límites determinados por el transcurso del experimento de medición. . Estos errores dentro del error aleatorio se denominan brusco . Muy cerca de ellos extraña - errores que dependen del observador y están asociados con un manejo inadecuado de los instrumentos de medición, lecturas incorrectas o errores en el registro de los resultados.
El segundo grupo incluye factores que son constantes o cambian naturalmente durante el experimento de medición, por ejemplo, cambios suaves en las cantidades influyentes. El componente del error total de medición que surge bajo la influencia de factores de este grupo determina el error de medición sistemático.
De este modo, error sistemático de medición - Componente del error de medición que permanece constante o cambia naturalmente con mediciones repetidas de la misma cantidad.
Durante el proceso de medición, los componentes del error descritos aparecen simultáneamente y el error total se puede representar como una suma
, (4.2)
Dónde 
- aleatorio y Δ s - errores sistemáticos.
Para obtener resultados que difieran mínimamente de los valores reales de las cantidades, se llevan a cabo múltiples observaciones de la cantidad medida, seguidas del procesamiento de los datos experimentales. Es por eso gran valor tiene el estudio del error en función del número de observaciones, es decir tiempo A(t). Entonces los valores de error individuales se pueden interpretar como un conjunto de valores de esta función:
Δ 1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n).
En el caso general, el error es una función aleatoria del tiempo, que se diferencia de las funciones clásicas del análisis matemático en que no se puede decir qué valor tomará en el momento t i. Solo puede indicar la probabilidad de que ocurran sus valores en un intervalo particular. En una serie de experimentos que consisten en varias observaciones repetidas, obtenemos una implementación de esta función. Al repetir la serie con los mismos valores de las cantidades que caracterizan a los factores del segundo grupo, inevitablemente obtenemos una nueva implementación que difiere de la primera. Las realizaciones se diferencian entre sí debido a la influencia de factores del primer grupo, y los factores del segundo grupo, que se manifiestan igualmente al recibir cada realización, les dan cierta características comunes(Figura 4.1).
El error de medición correspondiente a cada momento ti se llama sección transversal. función aleatoriaΔ(t). En cada sección, puede encontrar el valor de error promedio Δ s (t i), alrededor del cual se agrupan los errores en diferentes implementaciones. Si se traza una curva suave a través de los puntos Δ s (t i) obtenidos de esta manera, caracterizará la tendencia general de cambios en el error a lo largo del tiempo. Es fácil ver que los valores promedio Δ s (tj) están determinados por la acción de factores del segundo grupo y representan un error de medición sistemático en el momento ti, y desviaciones Δ j (t j) del valor promedio en el sección ti, correspondiente jésima implementación, proporcione el valor del error aleatorio. Por tanto, se cumple la igualdad
(4.3)
Figura 4.1
Supongamos que Δ s (t i) = 0, es decir Los errores sistemáticos se excluyen de una forma u otra de los resultados de la observación, y consideraremos solo los errores aleatorios, cuyos valores promedio son iguales a cero en cada sección. Supongamos que los errores aleatorios en diferentes secciones no dependen unos de otros, es decir El conocimiento del error aleatorio en una sección no nos da ninguna información adicional sobre el valor tomado por esta realización en cualquier sección, y que todas las características teóricas y probabilísticas de los errores aleatorios, que son los valores de una realización en todas las secciones, coinciden entre sí. Entonces el error aleatorio puede considerarse como una variable aleatoria, y sus valores para cada una de las múltiples observaciones de la misma cantidad física pueden considerarse como resultados de observaciones independientes de la misma.
En tales condiciones, el error aleatorio de medición se define como la diferencia entre el resultado de medición corregido XI (un resultado que no contiene un error sistemático) y el valor verdadero Q de la cantidad medida:
Δ = X Y –Q 4.4)
Además, el resultado de la medición corregida será del que se excluirán los errores sistemáticos.
Estos datos generalmente se obtienen al verificar instrumentos de medición midiendo cantidades previamente conocidas. Al realizar mediciones, el objetivo es estimar el valor real de la cantidad medida, que se desconocía antes del experimento. Además del valor real, el resultado de la medición también incluye un error aleatorio, por lo que es en sí mismo una variable aleatoria. En estas condiciones, el valor real del error aleatorio obtenido durante la verificación aún no caracteriza la precisión de las mediciones, por lo que no está claro qué valor tomar como resultado final de la medición y cómo caracterizar su precisión.
La respuesta a estas preguntas se puede obtener utilizando métodos de estadística matemática que se ocupan específicamente de variables aleatorias al procesar resultados de observación.
4.3 Clasificación de los errores de medición según los motivos de su aparición.
Dependiendo de los motivos de su aparición, se distinguen los siguientes grupos de errores: metodológicos, instrumentales, externos y subjetivos.
En muchos métodos de medición es posible detectar error metodológico , que es consecuencia de ciertos supuestos y simplificaciones, el uso de fórmulas empíricas y dependencias funcionales. En algunos casos, el impacto de tales supuestos resulta ser insignificante, es decir, mucho menos que los errores de medición permitidos; en otros casos supera estos errores.
Un ejemplo de errores metodológicos son los errores en el método de medir la resistencia eléctrica utilizando un amperímetro y un voltímetro (Figura 4.2). Si la resistencia R x está determinada por la fórmula de la ley de Ohm R x =U v /I a, donde U v es la caída de voltaje medida por un voltímetro V; I a es la intensidad actual medida por el amperímetro A, entonces en ambos casos se permitirán errores metodológicos de medición.
En la Figura 4.2a, la intensidad de la corriente I a, medida con un amperímetro, será mayor que la intensidad de la corriente en la resistencia R x por el valor de la intensidad de la corriente I v en un voltímetro conectado en paralelo con la resistencia. La resistencia R x calculada usando la fórmula anterior será menor que la real. En la Figura 4.2.6, el voltaje medido por el voltímetro V será mayor que la caída de voltaje U r en la resistencia R x en el valor U a (caída de voltaje a través de la resistencia del amperímetro A). La resistencia calculada según la fórmula de la ley de Ohm será mayor que la resistencia R x en el valor R a (la resistencia del amperímetro). Las correcciones en ambos casos se pueden calcular fácilmente si se conoce la resistencia del voltímetro y del amperímetro. No es necesario realizar correcciones si son significativamente menores que el error permitido en la medición de la resistencia R x, por ejemplo, si en el primer caso la resistencia del voltímetro es significativamente b
Mayor que R x, y en el segundo caso, Ra es significativamente menor que R x.
Figura 4.2
Otro ejemplo de error metodológico es la medición del volumen de cuerpos cuya forma se supone geométricamente correcta, midiendo las dimensiones en uno o en un número insuficiente de lugares, por ejemplo, midiendo el volumen de una habitación midiendo el largo, ancho y alto en sólo tres direcciones. Para determinar con precisión el volumen, sería necesario determinar el largo y el ancho de la habitación a lo largo de cada pared, en la parte superior e inferior, medir la altura en las esquinas y en el medio y, finalmente, en las esquinas entre las paredes. Este ejemplo ilustra la posibilidad de que se produzca un error metodológico importante cuando el método se simplifica injustificadamente.
Por regla general, el error metodológico es un error sistemático.
error instrumental - este es un componente del error debido a la imperfección de los instrumentos de medición. Un ejemplo clásico de tal error es el error de un instrumento de medición causado por una calibración inexacta de su escala. Es muy importante distinguir claramente entre errores de medición y errores instrumentales. La imperfección de los instrumentos de medida es sólo una de las fuentes de error de medición y determina sólo uno de sus componentes: el error instrumental. A su vez, el error instrumental es un error total, cuyos componentes (errores de unidades funcionales) pueden ser tanto sistemáticos como aleatorios.
Error externo - componente del error de medición causado por la desviación de una o más cantidades influyentes de los valores normales o su salida más allá del rango normal (por ejemplo, la influencia de la temperatura, campos eléctricos y magnéticos externos, influencias mecánicas, etc.). Como regla general, los errores externos están determinados por errores adicionales de los instrumentos de medición utilizados y son sistemáticos. Sin embargo, si las cantidades que influyen son inestables, pueden volverse aleatorias.
Error subjetivo (personal) debido a características individuales experimentador y puede ser sistemático o aleatorio. Cuando se utilizan instrumentos de medición digitales modernos, se pueden ignorar los errores subjetivos. Sin embargo, al tomar lecturas con instrumentos de puntero, dichos errores pueden ser importantes debido a una lectura incorrecta de las décimas de una división de escala, asimetría que se produce al establecer un trazo en el medio entre dos marcas, etc. Por ejemplo, los errores que comete un experimentador al estimar décimas de división de la escala de un instrumento pueden llegar a 0,1 división. Estos errores se manifiestan en el hecho de que para diferentes décimas de división, diferentes experimentadores se caracterizan por diferentes frecuencias de estimación, y cada experimentador mantiene su distribución característica durante mucho tiempo. Por lo tanto, un experimentador suele referir las lecturas a las líneas que forman los bordes de la división y al valor de 0,5 divisiones. El otro es a los valores de 0,4 y 0,6 divisiones. El tercero prefiere valores de 0,2 y 0,8 divisiones, etc. En general, teniendo en cuenta a un experimentador aleatorio, la distribución de errores al contar décimas de división puede considerarse uniforme con límites de ±0,1 divisiones.
4.4 Formas de representación del error de medición. Precisión de medición
El error de medición se puede representar en la forma absoluto error expresado en unidades del valor medido y determinado por la fórmula (4.1), o relativo error, definido como la relación entre el error absoluto y el valor real de la cantidad medida:
δ = Δ/Q. (4.5)
En el caso de expresar el error aleatorio como porcentaje, la relación Δ/Q se multiplica por 100%. Además, en la fórmula (4.5) se permite utilizar el resultado de medir x en lugar del valor real de Q.
El concepto también es muy utilizado. precisión de la medición − una característica que refleja la cercanía de sus resultados al valor real del valor medido. En otras palabras, una alta precisión corresponde a pequeños errores de medición. Por lo tanto, la precisión de la medición se puede evaluar cuantitativamente mediante el recíproco del módulo del error relativo.
3.2. redondeo
Una fuente para obtener números aproximados es oh redondeo. Tanto los números exactos como los aproximados están redondeados.
redondeo numero dado hasta un determinado dígito se llama reemplazarlo por un nuevo número, que se obtiene del dado por descartando todos sus números escritos A la derecha dígitos de este dígito, o reemplazándolo con ceros. Estos ceros generalmente subráyalos o escríbelos más pequeños. Para garantizar la mayor proximidad del número redondeado al redondeado, debe utilizar lo siguiente normas:
Para redondear un número a uno de un dígito determinado, debe descartar todos los dígitos después del dígito de este dígito y reemplazarlos con ceros en el número entero. Se tienen en cuenta los siguientes:
1 ) si el primero (izquierdo) de los dígitos descartados menos de 5, entonces el último dígito restante no se modifica (redondeando con desventaja);
2 ) si el primer dígito que se va a descartar mayor que 5 o igual a 5, luego el último dígito restante se incrementa en uno (redondeando exceso).*
Por ejemplo:
Redondo:Respuestas:
A) a décimas 12,34; 12,34 ≈ 12,3;
b) a centésimas 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
V) a milésimas 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;
GRAMO) hasta miles 12.375, 320.729. 000 ; 320 729 ≈ 321 000.
(*Hace varios años, en el caso de descartar solo un dígito 5 disfruté "regla de los números pares": el último dígito se dejaba sin cambios si era par y se aumentaba en uno si era impar. Ahora las “reglas de los dígitos pares” No cumplir con: si se descarta un dígito 5 , luego se suma uno al último dígito que queda, independientemente de si es par o impar).
3.3. Error absoluto y relativo de valores aproximados.
valor absoluto diferencias entre el valor aproximado y el exacto (verdadero) de una cantidad se llama error absoluto valor aproximado. Por ejemplo, si el número exacto 1,214 redondeando a la décima más cercana, obtenemos un número aproximado 1,2 . EN en este caso el error absoluto del número aproximado será 1,214 – 1,2 = 0,014 .
Pero en la mayoría de los casos valor exacto la cantidad considerada se desconoce, pero es sólo aproximada. Entonces se desconoce el error absoluto. En estos casos indicar borde, que no supera. este numero se llama limitar el error absoluto. Dicen que el valor exacto de un número es igual a su valor aproximado con un error menor que el error marginal. Por ejemplo, número 23,71 es un valor aproximado del número 23,7125 arriba a 0,01 , ya que el error de aproximación absoluto es igual a 0,0025 y menos 0,01 . Aquí el error absoluto límite es igual a 0,01 .*
(* Absoluto El error puede ser tanto positivo como negativo. Por ejemplo,1,68 ≈ 1,7 . El error absoluto es 1. ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Límite el error siempre es positivo).
Error absoluto de límite del número aproximado " A » está indicado por el símbolo Δ A . Registro
X ≈ a (Δa)
debe entenderse de la siguiente manera: el valor exacto de la cantidad incógnita esta entre los numeros A +Δ A Y A –Δ A, que se llaman en consecuencia abajo Y límite superiorincógnita y denotar norte GRAMO incógnita Y EN GRAMO incógnita .
Por ejemplo, Si incógnita
≈ 2,3 (
0,1),
Eso 2,2 <
incógnita
< 2,4
.
Por el contrario, si 7,3 < incógnita < 7,4 , Eso incógnita ≈ 7,35 ( 0,05).
Error absoluto absoluto o marginal No caracterizar la calidad de la medición realizada. Un mismo error absoluto puede considerarse significativo e insignificante dependiendo del número con el que se exprese el valor medido.
Por ejemplo, si medimos la distancia entre dos ciudades con una precisión de un kilómetro, entonces dicha precisión es suficiente para esta medición, pero al mismo tiempo, al medir la distancia entre dos casas en la misma calle, dicha precisión será inaceptable.
En consecuencia, la precisión del valor aproximado de una cantidad depende no sólo de la magnitud del error absoluto, sino también del valor de la cantidad medida. Es por eso la medida de la precisión es el error relativo.
error relativo se llama relación entre el error absoluto y el valor del número aproximado. La relación entre el error absoluto límite y el número aproximado se llama limitar el error relativo; denotarlo así: Δ Automóvil club británico . Los errores relativos y relativos marginales generalmente se expresan como en porcentaje.
Por ejemplo, si las mediciones muestran que la distancia entre dos puntos es mayor 12,3 kilómetros, pero menos 12,7 kilometros, entonces para aproximado se acepta su significado media aritmética estos dos números, es decir su la mitad de la suma, Entonces límite el error absoluto es medias diferencias estos números. En este caso incógnita ≈ 12,5 ( 0,2). Aquí está el límite absoluto el error es igual a 0,2 kilómetros, y el límite relativo:
Errores absolutos y relativos
Error de medición absoluto es una cantidad determinada por la diferencia entre el resultado de la medición incógnita y el valor real de la cantidad medida incógnita 0:
Δ incógnita = |incógnita – incógnita 0 |.
Valor δ, igual a la proporción El error de medición absoluto respecto al resultado de la medición se llama error relativo:
Ejemplo 2.1. El valor aproximado de π es 3,14. Entonces su error es 0.00159…. El error absoluto se puede considerar igual a 0,0016 y el error relativo igual a 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Cifras significativas. Si el error absoluto del valor a no excede una unidad de lugar del último dígito del número a, entonces se dice que el número tiene todos los signos correctos. Se deben anotar números aproximados, manteniendo sólo los signos correctos. Si, por ejemplo, el error absoluto del número 52.400 es 100, entonces este número debe escribirse, por ejemplo, en la forma 524 · 10 2 o 0,524 · 10 5. Puedes estimar el error de un número aproximado indicando cómo muchos dígitos significativos correctos que contiene. Al contar cifras significativas, los ceros del lado izquierdo del número no se cuentan.
Por ejemplo, el número 0,0283 tiene tres cifras significativas válidas y 2,5400 tiene cinco cifras significativas válidas.
Reglas para redondear números. Si el número aproximado contiene dígitos adicionales (o incorrectos), entonces se debe redondear. Al redondear, se produce un error adicional que no excede la mitad del lugar del último dígito significativo ( d) número redondeado. Al redondear, sólo se conservan los dígitos correctos; Los caracteres adicionales se descartan, y si el primer dígito descartado es mayor o igual a d/2, entonces el último dígito almacenado se incrementa en uno.
Los dígitos adicionales en los números enteros se reemplazan por ceros, y en decimales se descartan (al igual que los ceros adicionales). Por ejemplo, si el error de medición es 0,001 mm, el resultado 1,07005 se redondea a 1,070. Si el primer dígito modificado por ceros y descartado es menor que 5, los dígitos restantes no se modifican. Por ejemplo, el número 148,935 con una precisión de medición de 50 tiene un valor de redondeo de 148,900 si el primero de los dígitos reemplazado por ceros o descartado es 5, y va seguido de ceros o ningún dígito, entonces el redondeo se realiza al más cercano. número par. Por ejemplo, el número 123,50 se redondea a 124. Si el primer dígito que se reemplazará por ceros o se descartará es mayor o igual a 5 pero seguido de un dígito significativo, el último dígito restante se incrementa en uno. Por ejemplo, el número 6783,6 se redondea a 6784.
Ejemplo 2.2. Al redondear 1284 a 1300, el error absoluto es 1300 – 1284 = 16, y al redondear a 1280, el error absoluto es 1280 – 1284 = 4.
Ejemplo 2.3. Al redondear el número 197 a 200, el error absoluto es 200 – 197 = 3. El error relativo es 3/197 ≈ 0,01523 o aproximadamente 3/200 ≈ 1,5%.
Ejemplo 2.4. Un vendedor pesa una sandía en una báscula. El peso más pequeño del conjunto es de 50 g. El peso dio 3600 g. Este número es aproximado. Peso exacto sandía desconocida. Pero el error absoluto no supera los 50 g. El error relativo no supera el 50/3600 = 1,4%.
Errores al resolver el problema en ordenador personal
Generalmente se consideran tres tipos de errores como las principales fuentes de error. Estos se denominan errores de truncamiento, errores de redondeo y errores de propagación. Por ejemplo, cuando se utilizan métodos iterativos para buscar raíces de ecuaciones no lineales, los resultados son aproximados, a diferencia de los métodos directos que proporcionan una solución exacta.
Errores de truncamiento
Este tipo de error está asociado al error inherente a la propia tarea. Puede deberse a una inexactitud en la determinación de los datos de origen. Por ejemplo, si se especifica alguna dimensión en el planteamiento del problema, en la práctica, para objetos reales, estas dimensiones siempre se conocen con cierta precisión. Lo mismo ocurre con cualquier otro parámetros físicos. Esto también incluye la inexactitud de las fórmulas de cálculo y los coeficientes numéricos incluidos en ellas.
Errores de propagación
Este tipo de error está asociado con el uso de uno u otro método para resolver un problema. Durante los cálculos, inevitablemente se produce una acumulación de errores o, en otras palabras, una propagación. Además de que los datos originales en sí mismos no son exactos, surge un nuevo error al multiplicarlos, sumarlos, etc. La acumulación de errores depende de la naturaleza y el número de operaciones aritméticas utilizadas en el cálculo.
Errores de redondeo
Este tipo de error ocurre porque la computadora no siempre almacena con precisión el valor verdadero de un número. Cuando un número real se almacena en la memoria de la computadora, se escribe como mantisa y exponente de manera muy similar a como se muestra un número en una calculadora.
Ahora que una persona posee un poderoso arsenal de equipos informáticos (varias calculadoras, computadoras, etc.), el cumplimiento de las reglas de cálculo aproximado es especialmente importante para no distorsionar la confiabilidad del resultado.
Al realizar cualquier cálculo, debe recordar la precisión del resultado que puede o debe (si se establece) obtener. Por tanto, es inaceptable realizar cálculos con mayor precisión que la especificada por los datos del problema físico o la requerida por las condiciones experimentales1. Por ejemplo, al realizar operaciones matemáticas con valores numéricos de cantidades físicas que tienen dos dígitos confiables (significativos), no se puede escribir el resultado de los cálculos con una precisión que vaya más allá de los límites de dos dígitos confiables, incluso si al final tenemos más de ellos.
El valor de las cantidades físicas debe anotarse, anotando sólo los signos de un resultado fiable. Por ejemplo, si el valor numérico de 39.600 tiene tres dígitos confiables (el error absoluto del resultado es 100), entonces el resultado debe escribirse como 3,96 104 o 0,396 105. Al calcular dígitos confiables, los ceros a la izquierda del número no se tienen en cuenta.
Para que el resultado del cálculo sea correcto es necesario redondearlo dejando solo el valor real de la cantidad. Si el valor numérico de una cantidad contiene dígitos adicionales (no confiables) que exceden la precisión especificada, entonces el último dígito almacenado se incrementa en 1 siempre que el exceso (dígitos adicionales) sea igual o mayor que la mitad del valor del siguiente dígito de el número.
En diferentes valores numéricos, el cero puede ser un número confiable o no confiable. Entonces, en el ejemplo b) es una cifra poco confiable, y en d) es confiable y significativa. En física, si quieren enfatizar la confiabilidad del dígito de un valor numérico de una cantidad física, indican “0” en su expresión estándar. Por ejemplo, registrar un valor de masa de 2,10 10-3 kg indica tres dígitos confiables del resultado y la precisión de medición correspondiente, y un valor de 2,1 10-3 kg solo dos dígitos confiables.
Cabe recordar que el resultado de acciones con valores numéricos de cantidades físicas es un resultado aproximado que tiene en cuenta la precisión del cálculo o el error de medición. Por lo tanto, al realizar cálculos aproximados, uno debe guiarse por las siguientes reglas para calcular números confiables:
1. Al realizar operaciones aritméticas con valores numéricos de cantidades físicas, su resultado debe tomarse con tantos signos confiables como valores numéricos con el menor número de signos confiables.
2. En todos los cálculos intermedios, se debe conservar un dígito más que el valor numérico con el menor número de dígitos confiables. En última instancia, esta cifra "extra" se descarta redondeando.
3. Si algunos datos tienen signos más confiables que otros, primero se deben redondear sus valores (puede guardar un dígito "sobrante") y luego realizar acciones.
En la mayoría de los casos, los datos numéricos de los problemas son aproximados. En condiciones de tarea, también pueden aparecer valores exactos, por ejemplo, los resultados de contar una pequeña cantidad de objetos, algunas constantes, etc.
Para indicar el valor aproximado de un número, utilice el signo de igualdad aproximado; léase así: “aproximadamente igual” (no debería decir: “aproximadamente igual”).
Conocer la naturaleza de los datos numéricos es una etapa preparatoria importante a la hora de resolver cualquier problema.
Las siguientes pautas pueden ayudarle a reconocer números exactos y aproximados:
| Valores exactos | Valores aproximados |
| 1. Los valores de una serie de factores de conversión para la transición de una unidad de medida a otra (1 m = 1000 mm; 1 h = 3600 s) Se han medido y calculado muchos factores de conversión con una precisión (metrológica) tan alta que ahora se consideran prácticamente exactos. | 1. La mayoría de los valores de cantidades matemáticas que figuran en tablas (raíces, logaritmos, valores funciones trigonométricas, así como el significado práctico de número y base. logaritmos naturales(número e)) |
| 2. Factores de escala. | Si, por ejemplo, se sabe que la escala es 1:10000, entonces los números 1 y 10000 se consideran exactos. |
| Si se indica que 1 cm son 4 m, entonces 1 y 4 son los valores exactos de longitud | 2. Resultados de la medición. |
| (Algunas constantes básicas: la velocidad de la luz en el vacío, la constante gravitacional, la carga y masa de un electrón, etc.) Valores tabulados de cantidades físicas (densidad de la materia, puntos de fusión y ebullición, etc.) 3. Tarifas y precios.(coste de 1 kWh de electricidad – precio exacto) | |
| 3. Los datos de diseño también son aproximados, porque se especifican con algunas desviaciones, que están estandarizadas por los GOST. | |
| (Por ejemplo, según la norma, las dimensiones de un ladrillo son: largo 250 6 mm, ancho 120 4 mm, espesor 65 3 mm) El mismo grupo de números aproximados incluye dimensiones tomadas del dibujo | |
| 7. 4. Valores condicionales de cantidades (Ejemplos: cero absoluto |
temperatura -273,15 C, presión atmosférica normal 101325 Pa) 5. Coeficientes y exponentes que se encuentran en fórmulas físicas y matemáticas ( ; %; etc.).
1. 6. Resultados del recuento de artículos (número de baterías en la batería; número de cartones de leche producidos por la fábrica y contados por el medidor fotoeléctrico)
Puntos de ajuste
cantidades (Por ejemplo, en el problema "Encuentra los períodos de oscilación de péndulos de 1 y 4 m de largo", los números 1 y 4 pueden considerarse los valores exactos de la longitud del péndulo)
Ejecutar
las siguientes tareas, formatee su respuesta en forma de tabla:
Indique cuáles de los valores dados son exactos y cuáles son aproximados:
1) Densidad del agua (4 C)…………..…………………………..………………1000kg/m3
2. 2) Velocidad del sonido (0 C)………………………………………….332 m/s
1) En una máquina de vapor, una bobina de bronce, cuya longitud y anchura son respectivamente 200 y 120 mm, experimenta una presión de 12 MPa. Encuentre la fuerza requerida para mover el carrete a lo largo de la superficie de hierro fundido del cilindro. El coeficiente de fricción es 0,10.
2) Determine la resistencia del filamento de una lámpara eléctrica usando las siguientes marcas: “220V, 60 W”.
3. ¿Qué respuestas (exactas o aproximadas) obtendremos al resolver los siguientes problemas?
1) ¿Cuál es la rapidez de un cuerpo en caída libre al final del decimoquinto segundo, suponiendo que el intervalo de tiempo se especifique exactamente?
2) ¿Cuál es la velocidad de la polea si su diámetro es de 300 mm y la velocidad de rotación es de 10 rps? Considere que los datos son precisos.
3) Determinar el módulo de fuerza. Escala 1 cm – 50N.
4) Determine el coeficiente de fricción estática para un cuerpo ubicado en un plano inclinado si el cuerpo comienza a deslizarse uniformemente a lo largo de la pendiente en = 0,675, donde es el ángulo de inclinación del plano.
Si se sabe que un< А, то а называют un valor aproximado de A con desventaja. Si a > A, entonces a se llama valor aproximado de A con exceso.
La diferencia entre los valores exactos y aproximados de una cantidad se llama error de aproximación y se denota por D, es decir
D = A – a (1)
El error de aproximación D puede ser un número positivo o negativo.
Para caracterizar la diferencia entre un valor aproximado de una cantidad y uno exacto, suele ser suficiente indicar el valor absoluto de la diferencia entre los valores exacto y aproximado.
El valor absoluto de la diferencia entre el valor aproximado A y preciso A los valores de un número se llaman error absoluto (error) de aproximación y denotado por D A:
D A = ½ A – A½ (2)
Ejemplo 1. Al medir un segmento yo Usé una regla, cuya división de escala es de 0,5 cm. Obtuvimos un valor aproximado de la longitud del segmento. A= 204cm.
Está claro que durante la medición podría haber un error de no más de 0,5 cm, es decir El error de medición absoluto no supera los 0,5 cm.
Generalmente se desconoce el error absoluto, ya que se desconoce el valor exacto del número A. Por lo tanto, cualquiera. evaluación error absoluto:
D A <= DA antes. (3)
donde D y antes. – error máximo (número, más cero), dado teniendo en cuenta la fiabilidad con la que se conoce el número a.
El error absoluto máximo también se llama margen de error. Entonces, en el ejemplo dado,
D y antes. = 0,5 cm.
De (3) obtenemos:
D A = ½ A – A½<= DA antes. .
A- D A antes. ≤ A≤ A+D A antes. . (4)
a-D A antes. será un valor aproximado A con desventaja
a + D A antes – valor aproximado A a porrillo. También se utiliza la notación corta:
A= A±D A antes (5)
De la definición del error absoluto máximo se deduce que los números D A antes, satisfaciendo la desigualdad (3), habrá un conjunto infinito. En la práctica, intentan elegir posiblemente menos de los números D y antes, satisfaciendo la desigualdad D A <= DA antes.
Ejemplo 2. Determinemos el error absoluto máximo del número. a=3.14, tomado como valor aproximado del número π.
Se sabe que 3,14<π<3,15. Resulta que
|A – π |< 0,01.
El error absoluto máximo se puede tomar como el número D A = 0,01.
Si tenemos en cuenta que 3,14<π<3,142 , entonces obtenemos una mejor calificación: D A= 0,002, entonces π ≈3,14 ±0,002.
4. Error relativo (error). Conocer únicamente el error absoluto no es suficiente para caracterizar la calidad de la medición.
Sea, por ejemplo, al pesar dos cuerpos se obtienen los siguientes resultados:
P1 = 240,3 ±0,1 g.
P2 = 3,8 ±0,1 g.
Aunque los errores absolutos de medición de ambos resultados son los mismos, la calidad de la medición en el primer caso será mejor que en el segundo. Se caracteriza por un error relativo.
Error relativo (error) número que se acerca A llamado índice de error absoluto D un acercándose al valor absoluto del número A:
Como generalmente se desconoce el valor exacto de una cantidad, se reemplaza por un valor aproximado y luego:
(7)
Error relativo máximo o límite del error de aproximación relativo, se llama el numero d y antes>0, tal que:
d A<= d y antes(8)
Obviamente, el error relativo máximo se puede tomar como la relación entre el error absoluto máximo y el valor absoluto del valor aproximado:
(9)
De (9) se obtiene fácilmente la siguiente relación importante:
∆y antes = |a| d y antes(10)
El error relativo máximo suele expresarse como porcentaje:
Ejemplo. Se supone que la base de logaritmos naturales para el cálculo es igual a mi=2,72. Tomamos como valor exacto mi t = 2,7183. Encuentra los errores absolutos y relativos del número aproximado.
D mi = ½ mi – mi t½=0,0017;
.
La magnitud del error relativo permanece sin cambios con un cambio proporcional en el número más aproximado y su error absoluto. Así, para el número 634,7, calculado con un error absoluto de D = 1,3, y para el número 6347 con un error de D = 13, los errores relativos son los mismos: d= 0,2.
La magnitud del error relativo se puede juzgar aproximadamente por el número verdaderos significantes dígitos de los números.
Región de Sajalín
"Escuela Vocacional N° 13"
Pautas A trabajo independiente estudiantes
Alexandrovsk-Sakhalinsky
Valores aproximados de cantidades y errores de aproximación: Método indicado. / Comp.
GBOU NPO "Escuela vocacional nº 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012
Las pautas están destinadas a estudiantes de todas las profesiones que estudian cursos de matemáticas.
Presidente del MK
Valor aproximado de magnitud y error de aproximaciones.
En la práctica, casi nunca conocemos los valores exactos de las cantidades. Ninguna báscula, por muy precisa que sea, muestra el peso con absoluta exactitud; cualquier termómetro marca la temperatura con un error u otro; ningún amperímetro puede dar lecturas precisas de corriente, etc. Además, nuestro ojo no puede leer de forma absolutamente correcta las lecturas de los instrumentos de medición. Por tanto, en lugar de tratar con los valores verdaderos de las cantidades, nos vemos obligados a operar con sus valores aproximados.
El hecho de que A" es un valor aproximado del número A , se escribe de la siguiente manera:
un ≈ un" .
Si A" es un valor aproximado de la cantidad A , entonces la diferencia Δ = un-un" llamado error de aproximación*.
* Δ - letra griega; léase: delta. Luego viene otra letra griega. ε (léase: épsilon).
Por ejemplo, si se reemplaza el número 3,756 por un valor aproximado de 3,7, entonces el error será igual a: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Si tomamos 3,8 como valor aproximado, entonces el error será igual a: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
En la práctica, el error de aproximación se utiliza con mayor frecuencia. Δ
y el valor absoluto de este error | Δ
|. En lo que sigue simplemente llamaremos a este valor absoluto de error error absoluto. Se considera que una aproximación es mejor que otra si el error absoluto de la primera aproximación es menor que el error absoluto de la segunda aproximación. Por ejemplo, la aproximación 3,8 para el número 3,756 es mejor que la aproximación 3,7 porque para la primera aproximación
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, y para el segundo | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Número A" A arriba aε , si el error absoluto de esta aproximación es menor queε :
|un-un" | < ε .
Por ejemplo, 3,6 es un valor aproximado del número 3,671 con una precisión de 0,1, ya que |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
De manera similar, - 3/2 puede considerarse como una aproximación del número - 8/5 dentro de 1/5, ya que
< A , Eso A" llamado valor aproximado del número A con desventaja.
Si A" > A , Eso A" llamado valor aproximado del número A a porrillo.
Por ejemplo, 3,6 es un valor aproximado del número 3,671 con desventaja, ya que 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Si en lugar de números A Y b sumar sus valores aproximados A" Y b" , entonces el resultado a"+b" será un valor aproximado de la suma a+b . Surge la pregunta: ¿cómo evaluar la exactitud de este resultado si se conoce la exactitud de la aproximación de cada término? La solución a este y otros problemas similares se basa en la siguiente propiedad del valor absoluto:
|a+b | < |a | + |b |.
El valor absoluto de la suma de dos números cualesquiera no excede la suma de sus valores absolutos.
Errores
La diferencia entre el número exacto x y su valor aproximado a se llama error de este número aproximado. Si se sabe que | x-a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
La relación entre el error absoluto y el valor absoluto del valor aproximado se denomina error relativo del valor aproximado. El error relativo suele expresarse como porcentaje.
Ejemplo. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
En realidad,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Ejercicios para el trabajo independiente.
1. ¿Con qué precisión se pueden medir longitudes usando una regla común?
2. ¿Qué precisión tiene el reloj?
3. ¿Sabe con qué precisión se puede medir el peso corporal en las básculas eléctricas modernas?
4. a) ¿Dentro de qué límites está contenido el número? A , si su valor aproximado con una precisión de 0,01 es 0,99?
b) ¿Dentro de qué límites está contenido el número? A , si su valor aproximado con una desventaja exacta de 0,01 es 0,99?
c) ¿Cuáles son los límites del número? A , si su valor aproximado con un exceso de 0,01 es igual a 0,99?
5. ¿Cuál es la aproximación del número? π ≈ 3,1415 es mejor: ¿3,1 o 3,2?
6. ¿Se puede considerar un valor aproximado de un determinado número con una precisión de 0,01 como un valor aproximado del mismo número con una precisión de 0,1? ¿Qué pasa al revés?
7. En la recta numérica se especifica la posición del punto correspondiente al número. A . Indique en esta línea:
a) la posición de todos los puntos que corresponden a valores aproximados del número A con desventaja con una precisión de 0,1;
b) la posición de todos los puntos que corresponden a valores aproximados del número A con exceso con una precisión de 0,1;
c) la posición de todos los puntos que corresponden a valores aproximados del número A con una precisión de 0,1.
8. ¿En qué caso el valor absoluto de la suma de dos números es:
a) menor que la suma de los valores absolutos de estos números;
b) ¿igual a la suma de los valores absolutos de estos números?
9. Demostrar desigualdades:
a) | ab | < |a| + |b |; b)* | a-b | > ||A | - | b ||.
¿Cuándo aparece el signo igual en estas fórmulas?
Literatura:
1. Bashmakov (nivel básico) 10-11 grados. – M., 2012
2. Bashmakov, décimo grado. Colección de problemas. - M: Centro editorial "Academia", 2008
3., Mordkovich: Materiales de referencia: Libro para estudiantes - 2ª ed. - M.: Educación, 1990.
4. Diccionario enciclopédico joven matemático / Comp. .-M.: Pedagogía, 1989