El tema sobre raíces cuadradas es obligatorio en currículum escolar curso de matemáticas. No puedes prescindir de ellos a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas. Y luego se hace necesario no solo extraer las raíces, sino también realizar otras acciones con ellas. Entre ellos se encuentran bastante complejos: exponenciación, multiplicación y división. Pero también los hay bastante sencillos: resta y suma de raíces. Por cierto, sólo lo parecen a primera vista. Realizarlos sin errores no siempre es fácil para alguien que recién comienza a familiarizarse con ellos.
¿Qué es una raíz matemática?
Esta acción surgió en oposición a la exponenciación. Las matemáticas sugieren dos operaciones opuestas. Hay resta para suma. La multiplicación se opone a la división. La acción inversa de un grado es la extracción de la raíz correspondiente.
Si el grado es dos, entonces la raíz será cuadrada. Es el más común en matemáticas escolares. Ni siquiera tiene indicación de que es cuadrado, es decir, al lado no se le asigna el número 2. La notación matemática de este operador (radical) se presenta en la figura.
Su definición fluye suavemente de la acción descrita. Para extraer la raíz cuadrada de un número, debes averiguar qué dará la expresión radical cuando se multiplica por sí misma. Este número será la raíz cuadrada. Si escribimos esto matemáticamente, obtenemos lo siguiente: x*x=x 2 =y, lo que significa √y=x.
¿Qué acciones puedes realizar con ellos?
En esencia, una raíz es una potencia fraccionaria con uno en el numerador. Y el denominador puede ser cualquier cosa. Por ejemplo, en raíz cuadrada es igual a dos. Por tanto, todas las acciones que se puedan realizar con poderes también serán válidas para raíces.
Y los requisitos para estas acciones son los mismos. Si la multiplicación, la división y la exponenciación no encuentran dificultades para los estudiantes, entonces sumar raíces, al igual que restarlas, a veces genera confusión. Y todo porque quiero realizar estas operaciones sin tener en cuenta el signo de la raíz. Y aquí es donde empiezan los errores.
¿Cuáles son las reglas para sumar y restar?
Primero debes recordar dos cosas que no se deben hacer categóricamente:
- es imposible realizar sumas y restas de raíces, como ocurre con los números primos, es decir, es imposible escribir expresiones radicales de la suma bajo un signo y realizar operaciones matemáticas con ellas;
- No se pueden sumar ni restar raíces con diferentes exponentes, por ejemplo cuadradas y cúbicas.
Un claro ejemplo de la primera prohibición: √6 + √10 ≠ √16, pero √(6 + 10) = √16.
En el segundo caso, es mejor limitarnos a simplificar las propias raíces. Y deja su monto en la respuesta.
Ahora a las reglas
- Encuentra y agrupa raíces similares. Es decir, aquellos que no sólo tienen los mismos números bajo el radical, sino que ellos mismos tienen el mismo indicador.
- Realice la suma de las raíces combinadas en un grupo en la primera acción. Es fácil de implementar porque sólo necesitas sumar los valores que aparecen delante de los radicales.
- Extraer las raíces de aquellos términos en los que la expresión radical forme un cuadrado entero. En otras palabras, no dejes nada bajo el signo de un radical.
- Simplifica expresiones radicales. Para hacer esto, necesitas descomponerlos en factores primos y ver si dan el cuadrado de algún número. Está claro que esto es cierto cuando hablamos de la raíz cuadrada. Cuando el exponente es tres o cuatro, entonces los factores primos deben dar el cubo o la cuarta potencia del número.
- Quitar de debajo del signo del radical el factor que da todo el poder.
- Vea si aparecen términos similares nuevamente. En caso afirmativo, realice el segundo paso nuevamente.
En una situación donde la tarea no requiere valor exacto raíz, se puede calcular en una calculadora. Sin fin decimal, que aparecerá en su ventana, redondeado hacia arriba. La mayoría de las veces esto se hace hasta centésimas. Y luego realice todas las operaciones con fracciones decimales.
Esta es toda la información sobre cómo agregar raíces. Los siguientes ejemplos ilustrarán lo anterior.
Primera tarea
Calcular el valor de las expresiones:
a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;
b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;
c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.
a) Si sigue el algoritmo anterior, puede ver que no hay nada para las dos primeras acciones en este ejemplo. Pero puedes simplificar algunas expresiones radicales.
Por ejemplo, descomponga 32 en dos factores 2 y 16; 18 será igual al producto de 9 por 2; 128 es 2 sobre 64. Dado esto, la expresión se escribirá así:
√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).
Ahora necesitas eliminar de debajo del signo radical aquellos factores que dan el cuadrado del número. Esto es 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. La expresión tomará la forma:
√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.
Necesitamos simplificar un poco la grabación. Para hacer esto, multiplique los coeficientes antes de los signos de la raíz:
√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.
En esta expresión, todos los términos resultaron ser similares. Por lo tanto, solo necesitas doblarlos. La respuesta será: 5√2.
b) Al igual que en el ejemplo anterior, la suma de raíces comienza con su simplificación. Las expresiones radicales 75, 147, 48 y 300 se representarán en los siguientes pares: 5 y 25, 3 y 49, 3 y 16, 3 y 100. Cada una de ellas contiene un número que se puede sacar de debajo del signo raíz. :
5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.
Después de la simplificación, la respuesta es: 5√5 - 5√3. Se puede dejar así, pero es mejor quitar de paréntesis el factor común 5: 5 (√5 - √3).
c) Y nuevamente factorización: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Después de quitar los factores debajo del signo raíz, tenemos:
5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Después de traer términos similares obtenemos el resultado: 7√11.
Ejemplo con expresiones fraccionarias
√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).
Necesitará factorizar los siguientes números: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. De manera similar a los ya discutidos, debe eliminar los factores debajo del signo raíz. y simplifica la expresión:
3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).
Esta expresión requiere deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Para hacer esto, necesitas multiplicar el segundo término por √2/√2:
5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.
Para completar las acciones, debes seleccionar la parte completa de los factores delante de las raíces. Para el primero es 1, para el segundo es 2.
Raíz cuadrada de un número X número llamado A, que en el proceso de multiplicarse por sí mismo ( AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO) puede dar un número X.
Aquellos. A * A = A 2 = X, Y √X = Un.
Por encima de las raíces cuadradas ( √x), al igual que otros números, puedes realizar operaciones aritméticas como resta y suma. Para restar y sumar raíces, es necesario conectarlas mediante los signos correspondientes a estas acciones (por ejemplo √x - √y
).
Y luego lleve las raíces a su forma más simple; si hay similares entre ellas, es necesario hacer una reducción. Consiste en tomar los coeficientes de términos semejantes con los signos de los términos correspondientes, luego ponerlos entre paréntesis y deducir la raíz común fuera de los paréntesis del factor. El coeficiente que obtuvimos se simplifica según las reglas habituales.
Paso 1: extraer raíces cuadradas
En primer lugar, para sumar raíces cuadradas Primero necesitas extraer estas raíces. Esto se puede hacer si los números bajo el signo de la raíz son cuadrados perfectos. Por ejemplo, tome la expresión dada √4 + √9
. Primer número 4
es el cuadrado del numero 2
. segundo numero 9
es el cuadrado del numero 3
. Así, podemos obtener la siguiente igualdad: √4 + √9 = 2 + 3 = 5
.
Eso es todo, el ejemplo está solucionado. Pero no siempre sucede tan fácilmente.
Paso 2. Extraer el multiplicador del número de debajo de la raíz
Si cuadrados llenos no debajo del signo raíz, puede intentar eliminar el multiplicador del número debajo del signo raíz. Por ejemplo, tomemos la expresión √24 + √54 .
Factoriza los números:
24 = 2 * 2 * 2 * 3
,
54 = 2 * 3 * 3 * 3
.
Entre 24 tenemos un multiplicador 4 , se puede sacar de debajo del signo de la raíz cuadrada. Entre 54 tenemos un multiplicador 9 .
Obtenemos igualdad:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6
.
Considerando este ejemplo, obtenemos la eliminación del multiplicador debajo del signo de la raíz, simplificando así la expresión dada.
Paso 3: Reducir el denominador
Considere la siguiente situación: la suma de dos raíces cuadradas es el denominador de la fracción, por ejemplo, A/(√a + √b).
Ahora nos enfrentamos a la tarea de "deshacernos de la irracionalidad en el denominador".
Usemos el siguiente método: multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión √a - √b.
Ahora obtenemos la fórmula de multiplicación abreviada en el denominador:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.
De manera similar, si el denominador tiene una diferencia de raíces: √a - √b, el numerador y denominador de la fracción se multiplican por la expresión √a + √b.
Tomemos una fracción como ejemplo:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3)
.
Ejemplo de reducción de denominador complejo
Ahora consideremos suficiente ejemplo complejo deshacerse de la irracionalidad en el denominador.
Por ejemplo, tomemos una fracción: 12 / (√2 + √3 + √5)
.
Necesitas tomar su numerador y denominador y multiplicar por la expresión. √2 + √3 - √5
.
Obtenemos:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Paso 4. Calcula el valor aproximado en la calculadora.
Si solo necesitas un valor aproximado, puedes hacerlo en una calculadora calculando el valor de las raíces cuadradas. El valor se calcula por separado para cada número y se anota con la precisión requerida, que está determinada por el número de decimales. A continuación, se realizan todas las operaciones necesarias, como con los números ordinarios.
Ejemplo de cálculo de un valor aproximado.
Es necesario calcular el valor aproximado de esta expresión. √7 + √5 .
Como resultado obtenemos:
√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .
Tenga en cuenta: bajo ninguna circunstancia debe agregar raíces cuadradas como números primos, esto es completamente inaceptable. Es decir, si sumamos la raíz cuadrada de cinco y la raíz cuadrada de tres, no podemos obtener la raíz cuadrada de ocho.
Consejo útil: si decide factorizar un número, para obtener el cuadrado debajo del signo de la raíz, debe hacer una verificación inversa, es decir, multiplicar todos los factores que resultaron de los cálculos y el resultado final de este. El cálculo matemático debe ser el número que se nos dio originalmente.
La raíz cuadrada de un número x es un número a, que multiplicado por sí mismo da el número x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Como ocurre con cualquier número, puedes realizar operaciones aritméticas de suma y resta con raíces cuadradas.
Instrucciones
1. Primero, al agregar raíces cuadradas, intente extraer esas raíces. Esto será aceptable si los números bajo el signo de la raíz son cuadrados perfectos. Digamos que la expresión dada es ?4 + ?9. El primer número 4 es el cuadrado del número 2. El segundo número 9 es el cuadrado del número 3. Así resulta que: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.
2. Si no hay cuadrados completos debajo del signo de la raíz, intente mover el multiplicador del número debajo del signo de la raíz. Digamos, digamos que se da la expresión?24 +?54. Factoriza los números: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. El número 24 tiene un factor de 4, el que se puede transferir desde debajo del signo de la raíz cuadrada. El número 54 tiene un factor de 9. Así, resulta que: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . EN en este ejemplo Como resultado, eliminar el factor debajo del signo de la raíz resultó en simplificar la expresión dada.
3. Sea la suma de 2 raíces cuadradas el denominador de una fracción, digamos A / (?a + ?b). Y que su tarea sea "deshacerse de la irracionalidad en el denominador". Entonces puedes usar el siguiente método. Multiplica el numerador y denominador de la fracción por la expresión ?a - ?b. Así, el denominador contendrá la fórmula de multiplicación abreviada: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Por analogía, si el denominador contiene la diferencia entre las raíces: ?a - ?b, entonces el numerador y denominador de la fracción deben multiplicarse por la expresión ?a + ?b. Por ejemplo, sea la fracción 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).
4. Considere un ejemplo más complejo de cómo deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Sea dada la fracción 12 / (?2 + ?3 + ?5). Necesitas multiplicar el numerador y denominador de la fracción por la expresión ?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.
5. Y por último, si solo necesitas un valor aproximado, puedes calcular las raíces cuadradas usando una calculadora. Calcule los valores por separado para el número completo y escríbalos con la precisión requerida (digamos, dos decimales). Y después de eso, realice las operaciones aritméticas requeridas, como con números ordinarios. Digamos que necesitas averiguar el valor aproximado de la expresión?7 +?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.
Vídeo sobre el tema.
¡Nota!
En ningún caso se pueden sumar raíces cuadradas como números primitivos, es decir ?3 + ?2 ? ?5!!!
Consejo útil
Si está factorizando un número para mover el cuadrado debajo del signo de la raíz, realice la verificación inversa: multiplique todos los factores resultantes y obtenga el número original.
Hecho 1.
\(\bullet\) Tomemos algún número no negativo \(a\) (es decir, \(a\geqslant 0\) ). Entonces (aritmética) raíz cuadrada del número \(a\) se llama un número no negativo \(b\) , cuando lo elevamos al cuadrado obtenemos el número \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(igual que )\quad a=b^2\] De la definición se deduce que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Estas restricciones son una condición importante la existencia de una raíz cuadrada y ¡conviene recordarlas!
Recuerda que cualquier número elevado al cuadrado da un resultado no negativo. Es decir, \(100^2=10000\geqslant 0\) y \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ¿A qué es igual \(\sqrt(25)\)? Sabemos que \(5^2=25\) y \((-5)^2=25\) . Dado que por definición debemos encontrar un número no negativo, entonces \(-5\) no es adecuado, por lo tanto, \(\sqrt(25)=5\) (ya que \(25=5^2\) ).
Encontrar el valor de \(\sqrt a\) se llama sacar la raíz cuadrada del número \(a\), y el número \(a\) se llama expresión radical.
\(\bullet\) Basado en la definición, expresión \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. no tiene sentido.
Hecho 2.
Para cálculos rápidos será útil aprender la tabla de cuadrados. números naturales de \(1\) a \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 y \quad17^2=289\\ 8^2=64 y \quad18^2=324\\ 9^2=81 y \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline\end(array)\]
Hecho 3.
¿Qué operaciones puedes hacer con raíces cuadradas?
\(\bala\) La suma o diferencia de raíces cuadradas NO ES IGUAL a la raíz cuadrada de la suma o diferencia, es decir \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Por lo tanto, si necesita calcular, por ejemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , inicialmente debe encontrar los valores de \(\sqrt(25)\) y \(\ sqrt(49)\ ) y luego dóblelos. Por eso, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si los valores \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) no se pueden encontrar al sumar \(\sqrt a+\sqrt b\), entonces dicha expresión no se transforma más y permanece como está. Por ejemplo, en la suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar que \(\sqrt(49)\) es \(7\) , pero \(\sqrt 2\) no se puede transformar en de cualquier manera, es por eso \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Desafortunadamente, esta expresión no se puede simplificar más.\(\bullet\) El producto/cociente de raíces cuadradas es igual a la raíz cuadrada del producto/cociente, es decir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (siempre que ambos lados de las igualdades tengan sentido)
Ejemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando estas propiedades, es conveniente encontrar las raíces cuadradas de números grandes factorizándolos.
Veamos un ejemplo. Encontremos \(\sqrt(44100)\) . Desde \(44100:100=441\) , entonces \(44100=100\cdot 441\) . Según el criterio de divisibilidad, el número \(441\) es divisible por \(9\) (ya que la suma de sus dígitos es 9 y es divisible por 9), por lo tanto, \(441:9=49\), es decir, \(441=9\ cdot 49\) .
Así obtuvimos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Veamos otro ejemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos a mostrar cómo ingresar números bajo el signo de raíz cuadrada usando el ejemplo de la expresión \(5\sqrt2\) (notación corta para la expresión \(5\cdot \sqrt2\)). Dado que \(5=\sqrt(25)\) , entonces \
Tenga en cuenta también que, por ejemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
¿Porqué es eso? Expliquemos usando el ejemplo 1). Como ya comprenderás, no podemos transformar de alguna manera el número \(\sqrt2\). Imaginemos que \(\sqrt2\) es algún número \(a\) . En consecuencia, la expresión \(\sqrt2+3\sqrt2\) no es más que \(a+3a\) (un número \(a\) más tres más de los mismos números \(a\)). Y sabemos que esto es igual a cuatro de esos números \(a\) , es decir, \(4\sqrt2\) .
Hecho 4.
\(\bullet\) Suelen decir “no se puede extraer la raíz” cuando no puedes deshacerte del signo \(\sqrt () \ \) de la raíz (radical) al encontrar el valor de un número . Por ejemplo, puedes tomar la raíz del número \(16\) porque \(16=4^2\) , por lo tanto \(\sqrt(16)=4\) . Pero es imposible extraer la raíz del número \(3\), es decir, encontrar \(\sqrt3\), porque no hay ningún número que al cuadrado dé \(3\) .
Estos números (o expresiones con esos números) son irracionales. Por ejemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etcétera. son irracionales.
También son irracionales los números \(\pi\) (el número “pi”, aproximadamente igual a \(3.14\)), \(e\) (este número se llama número de Euler, es aproximadamente igual a \(2.7 \)) etc.
\(\bullet\) Tenga en cuenta que cualquier número será racional o irracional. Y juntos todos los números racionales y todos los irracionales forman un conjunto llamado un conjunto de números reales. Este conjunto se indica con la letra \(\mathbb(R)\) .
Esto significa que todos los números que están en este momento sabemos que se llaman números reales.
Hecho 5.
\(\bullet\) El módulo de un número real \(a\) es un número no negativo \(|a|\) igual a la distancia del punto \(a\) al \(0\) en el verdadera linea. Por ejemplo, \(|3|\) y \(|-3|\) son iguales a 3, ya que las distancias desde los puntos \(3\) y \(-3\) a \(0\) son las igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) es un número no negativo, entonces \(|a|=a\) .
Ejemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) es un número negativo, entonces \(|a|=-a\) .
Ejemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicen que para los números negativos el módulo "se come" al menos, mientras que los números positivos, así como el número \(0\), el módulo los deja sin cambios.
PERO Esta regla sólo se aplica a los números. Si debajo de su signo de módulo hay una \(x\) desconocida (o alguna otra desconocida), por ejemplo, \(|x|\) , de la cual no sabemos si es positiva, cero o negativa, entonces deshágase de ella. del módulo no podemos. En este caso, esta expresión sigue siendo la misma: \(|x|\) . \(\bullet\) Las siguientes fórmulas son válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( proporcionado ) a\geqslant 0\] Muy a menudo se comete el siguiente error: dicen que \(\sqrt(a^2)\) y \((\sqrt a)^2\) son lo mismo. Esto sólo es cierto si \(a\) es un número positivo o cero. Pero si \(a\) es un número negativo, entonces esto es falso. Basta considerar este ejemplo. Tomemos en lugar de \(a\) el número \(-1\) . Entonces \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , pero la expresión \((\sqrt (-1))^2\) no existe en absoluto (después de todo, ¡Es imposible usar el signo raíz y poner números negativos!).
Por lo tanto, llamamos su atención sobre el hecho de que \(\sqrt(a^2)\) no es igual a \((\sqrt a)^2\) ! Ejemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), porque \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dado que \(\sqrt(a^2)=|a|\) , entonces \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (la expresión \(2n\) denota un número par)
Es decir, al sacar la raíz de un número que es en algún grado, este grado se reduce a la mitad.
Ejemplo:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tenga en cuenta que si no se suministra el módulo, resulta que la raíz del número es igual a \(-25\ ) ; pero recordamos que por definición de raíz esto no puede suceder: al extraer una raíz, siempre debemos obtener un número positivo o cero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ya que cualquier número elevado a una potencia par no es negativo)
Hecho 6.
¿Cómo comparar dos raíces cuadradas?
\(\bullet\) Para raíces cuadradas es cierto: si \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) comparar \(\sqrt(50)\) y \(6\sqrt2\) . Primero, transformemos la segunda expresión en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Así, desde \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) ¿Entre qué números enteros se encuentra \(\sqrt(50)\)?
Dado que \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) y \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Comparemos \(\sqrt 2-1\) y \(0.5\) . Supongamos que \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(alineado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((suma uno a ambos lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((cuadrando ambos lados))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(alineado)\] Vemos que hemos obtenido una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta y \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Tenga en cuenta que sumar un determinado número a ambos lados de la desigualdad no afecta su signo. Multiplicar/dividir ambos lados de una desigualdad por un número positivo tampoco afecta su signo, ¡pero multiplicar/dividir por un número negativo invierte el signo de la desigualdad!
Puedes elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación/desigualdad SÓLO SI ambos lados no son negativos. Por ejemplo, en la desigualdad del ejemplo anterior puedes elevar ambos lados al cuadrado, en la desigualdad \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Cabe recordar que \[\begin(alineado) &\sqrt 2\aprox 1.4\\ &\sqrt 3\aprox 1.7 \end(alineado)\]¡Conocer el significado aproximado de estos números te ayudará a comparar números! \(\bullet\) Para extraer la raíz (si se puede extraer) de algún número grande que no está en la tabla de cuadrados, primero debes determinar entre qué “centenas” se encuentra, luego – entre cuáles “ decenas”, y luego determine el último dígito de este número. Demostremos cómo funciona esto con un ejemplo.
Tomemos \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Tenga en cuenta que \(28224\) está entre \(10\,000\) y \(40\,000\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) y \(200\) .
Ahora determinemos entre qué “decenas” se encuentra nuestro número (es decir, por ejemplo, entre \(120\) y \(130\)). También de la tabla de cuadrados sabemos que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., entonces \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Entonces vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) y \(170^2\) . Por lo tanto, el número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) y \(170\) .
Intentemos determinar el último dígito. Recordemos qué números de un solo dígito, cuando se elevan al cuadrado, dan \(4\) al final. Estos son \(2^2\) y \(8^2\). Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) terminará en 2 u 8. Comprobemos esto. Encontremos \(162^2\) y \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Por lo tanto, \(\sqrt(28224)=168\) . ¡Voilá!
Para resolver adecuadamente el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, primero es necesario estudiar material teórico, que le presentará numerosos teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. A primera vista, puede parecer que esto es bastante sencillo. Sin embargo, encontrar una fuente en la que la teoría para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas se presente de forma sencilla y comprensible para estudiantes de cualquier nivel de formación es, de hecho, una tarea bastante difícil. Los libros de texto escolares no siempre se pueden tener a mano. Y encontrar fórmulas básicas para el examen de matemáticas puede resultar complicado incluso en Internet.
¿Por qué es tan importante estudiar teoría de las matemáticas no solo para quienes toman el Examen Estatal Unificado?
- Porque amplía tus horizontes. Estudiar material teórico en matemáticas es útil para cualquiera que quiera obtener respuestas a una amplia gama de preguntas relacionadas con el conocimiento del mundo que lo rodea. Todo en la naturaleza está ordenado y tiene una lógica clara. Esto es precisamente lo que se refleja en la ciencia, a través de la cual es posible comprender el mundo.
- Porque desarrolla la inteligencia.. Al estudiar materiales de referencia para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, además de resolver diversos problemas, una persona aprende a pensar y razonar de manera lógica, a formular pensamientos de manera competente y clara. Desarrolla la capacidad de analizar, generalizar y sacar conclusiones.
Lo invitamos a evaluar personalmente todas las ventajas de nuestro enfoque de sistematización y presentación de materiales educativos.
Extraer la raíz del cuadrante de un número no es la única operación que se puede realizar con este fenómeno matemático. Al igual que los números normales, las raíces cuadradas suman y restan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Reglas para sumar y restar raíces cuadradas
Definición 1Operaciones como la suma y resta de raíces cuadradas solo son posibles si la expresión radical es la misma.
Ejemplo 1
Puedes sumar o restar expresiones 2 3 y 6 3, pero no 5 6 Y 9 4. Si es posible simplificar la expresión y reducirla a raíces con el mismo radical, entonces simplifica y luego suma o resta.
Acciones con raíces: conceptos básicos
Ejemplo 26 50 - 2 8 + 5 12
Algoritmo de acción:
- Simplifica la expresión radical.. Para hacer esto, es necesario descomponer la expresión radical en 2 factores, uno de los cuales es un número cuadrado (el número del cual se extrae la raíz cuadrada completa, por ejemplo, 25 o 9).
- Entonces necesitas sacar la raíz del número cuadrado. y escriba el valor resultante antes del signo raíz. Tenga en cuenta que el segundo factor se ingresa bajo el signo de la raíz.
- Después del proceso de simplificación, es necesario enfatizar las raíces con las mismas expresiones radicales; solo se pueden sumar y restar.
- Para raíces con las mismas expresiones radicales, es necesario sumar o restar los factores que aparecen antes del signo de la raíz. La expresión radical se mantiene sin cambios. ¡No puedes sumar ni restar números radicales!
Consejo 1
Si tiene un ejemplo con una gran cantidad de expresiones radicales idénticas, subraye dichas expresiones con líneas simples, dobles y triples para facilitar el proceso de cálculo.
Ejemplo 3
Intentemos resolver este ejemplo:
6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Primero debes descomponer 50 en 2 factores 25 y 2, luego sacar la raíz de 25, que es igual a 5, y sacar 5 de debajo de la raíz. Después de esto, debes multiplicar 5 por 6 (el factor de la raíz) y obtener 30 2.
2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Primero debes descomponer 8 en 2 factores: 4 y 2. Luego saca la raíz de 4, que es igual a 2, y saca 2 de debajo de la raíz. Después de esto, debes multiplicar 2 por 2 (el factor de la raíz) y obtener 4 2.
5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Primero debes descomponer 12 en 2 factores: 4 y 3. Luego extrae la raíz de 4, que es igual a 2, y quítala de debajo de la raíz. Después de esto, debes multiplicar 2 por 5 (el factor de la raíz) y obtener 10 3.
Resultado de la simplificación: 30 2 - 4 2 + 10 3
30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .
Como resultado, vimos cuántas expresiones radicales idénticas están contenidas en este ejemplo. Ahora practiquemos con otros ejemplos.
Ejemplo 4
- Simplifiquemos (45). Factorizar 45: (45) = (9 × 5);
- Sacamos 3 de debajo de la raíz (9 = 3): 45 = 3 5 ;
- Suma los factores en las raíces: 3 5 + 4 5 = 7 5.
Ejemplo 5
6 40 - 3 10 + 5:
- Simplifiquemos 6 40. Factorizamos 40: 6 40 = 6 (4 × 10);
- Sacamos 2 de debajo de la raíz (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
- Multiplicamos los factores que aparecen delante de la raíz: 12 10 ;
- Escribimos la expresión de forma simplificada: 12 10 - 3 10 + 5 ;
- Como los dos primeros términos tienen los mismos números radicales, podemos restarlos: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.
Ejemplo 6
Como vemos, no es posible simplificar números radicales, por lo que buscamos términos con los mismos números radicales en el ejemplo, realizamos operaciones matemáticas (suma, resta, etc.) y escribimos el resultado:
(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .
Consejo:
- Antes de sumar o restar es necesario simplificar (si es posible) las expresiones radicales.
- Está estrictamente prohibido sumar y restar raíces con diferentes expresiones radicales.
- No debes sumar ni restar un número entero o raíz: 3 + (2 x) 1/2.
- Al realizar operaciones con fracciones, necesitas encontrar un número que sea divisible por cada denominador, luego llevar las fracciones a un denominador común, luego sumar los numeradores y dejar los denominadores sin cambios.
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