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Números naturales. Serie natural de números. Material de matemáticas "Números. Números naturales"

1.1.Definición

Los números que la gente usa al contar se llaman natural(por ejemplo, uno, dos, tres,..., cien, ciento uno,..., tres mil doscientos veintiuno,...) Para escribir números naturales se utilizan signos (símbolos) especiales, llamado en números.

Hoy en día se acepta sistema numérico decimal. El sistema (o método) decimal para escribir números utiliza números arábigos. son las diez varios personajes-dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

El menos un número natural es un número uno, eso escrito usando un número decimal - 1. El siguiente número natural se obtiene del anterior (excepto uno) sumando 1 (uno). Esta suma se puede realizar muchas veces (un número infinito de veces). Esto significa que No el mas grande número natural. Por eso, dicen que la serie de los números naturales es ilimitada o infinita, ya que no tiene fin. Números naturales escrito usando números decimales.

1.2. Número "cero"

Para indicar la ausencia de algo, utilice el número " cero" o " cero". esta escrito usando numeros 0 (cero). Por ejemplo, en una caja todas las bolas son rojas. ¿Cuántos de ellos son verdes? - Respuesta: cero . ¡Esto significa que no hay bolas verdes en la caja! El número 0 puede significar que algo ha terminado. Por ejemplo, Masha tenía 3 manzanas. Compartió dos con amigos y se comió uno ella misma. Entonces ella se ha ido 0 (cero) manzanas, es decir no queda ni uno. El número 0 puede significar que algo no sucedió. Por ejemplo, el partido de hockey Equipo Rusia - Equipo Canadá terminó con el marcador 3:0 (leemos “tres - cero”) a favor del equipo ruso. Esto significa que la selección rusa marcó 3 goles y la selección canadiense marcó 0 goles y no pudo marcar ni un solo gol. debemos recordar que el número cero no es un número natural.

1.3. Escribir números naturales

En la forma decimal de escribir un número natural, cada dígito puede significar diferentes numeros. Depende del lugar de este dígito en el registro numérico. Un lugar determinado en la notación de un número natural se llama posición. Por lo tanto, el sistema numérico decimal se llama posicional. Considere la notación decimal de 7777. siete mil setecientos setenta y siete. Esta entrada contiene siete mil setecientos siete decenas y siete unidades.

Cada uno de los lugares (posiciones) en la notación decimal de un número se llama descargar. Cada tres dígitos se combinan en Clase. Esta fusión se realiza de derecha a izquierda (desde el final del registro numérico). Varios rangos y clases tienen nombres propios. El rango de números naturales es ilimitado. Por lo tanto, el número de rangos y clases tampoco está limitado ( sin cesar). Veamos los nombres de dígitos y clases usando el ejemplo de un número con notación decimal.

38 001 102 987 000 128 425:

Clases y rangos

quintillones

cientos de quintillones

decenas de quintillones

quintillones

billones

cientos de cuatrillones

decenas de cuatrillones

billones

billones

cientos de billones

decenas de billones

billones

miles de millones

cientos de miles de millones

decenas de miles de millones

miles de millones

millones

cientos de millones

decenas de millones

millones

cientos de miles

decenas de miles

Así, las clases, empezando por la más joven, tienen nombres: unidades, miles, millones, miles de millones, billones, cuatrillones, quintillones.

1.4. Unidades de bits

Cada una de las clases de notación de números naturales consta de tres dígitos. Cada rango tiene unidades de dígitos. Los siguientes números se llaman unidades de dígitos:

1 - unidad de dígitos de unidades dígito,

unidad de decenas de 10 dígitos,

100 - unidad de centenas,

1 000 - unidad de mil dígitos,

10 000 es una unidad de lugar de decenas de miles,

100.000 es una unidad de lugar para cientos de miles,

1.000.000 es la unidad de millón de dígitos, etc.

Un número en cualquiera de los dígitos muestra el número de unidades de este dígito. Por lo tanto, el número 9, en el lugar de los cientos de miles de millones, significa que el número 38.001.102.987.000 128.425 incluye nueve mil millones (es decir, 9 veces 1.000.000.000 o unidades de 9 dígitos del lugar de los miles de millones). Un lugar vacío de centenas de quintillones significa que no hay centenas de quintillones en el número dado o que su número es cero. En este caso, el número 38 001 102 987 000 128 425 se puede escribir de la siguiente manera: 038 001 102 987 000 128 425.

Puedes escribirlo de otra manera: 000 038 001 102 987 000 128 425. Los ceros al comienzo del número indican dígitos vacíos de orden superior. Por lo general, no se escriben, a diferencia de los ceros dentro de la notación decimal, que necesariamente marcan dígitos vacíos. Por tanto, tres ceros en la clase de millones significa que las centenas de millones, las decenas de millones y las unidades de millón están vacías.

1.5. Abreviaturas para escribir números

Al escribir números naturales se utilizan abreviaturas. A continuación se muestran algunos ejemplos:

1.000 = 1 mil (mil)

23.000.000 = 23 millones (veintitrés millones)

5.000.000.000 = 5 mil millones (cinco mil millones)

203.000.000.000.000 = 203 billones. (doscientos tres billones)

107.000.000.000.000.000 = 107 metros cuadrados. (ciento siete cuatrillones)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kwt. (un quintillón)

Bloque 1.1. Diccionario

Compile un diccionario de nuevos términos y definiciones del §1. Para hacer esto, escriba palabras de la lista de términos a continuación en las celdas vacías. En la tabla (al final del bloque), indique para cada definición el número del término de la lista.

Bloque 1.2. Autopreparación

En el mundo de los grandes números

Economía .

  1. El presupuesto de Rusia para el próximo año será de 6328251684128 rublos.
  2. Los gastos previstos para este año son: 5124983252134 rublos.
  3. Los ingresos del país superaron los gastos en 1203268431094 rublos.

Preguntas y tareas

  1. Lea los tres números dados.
  2. Escribe los dígitos en la clase de millones para cada uno de los tres números.

  1. ¿A qué sección de cada uno de los números pertenece el dígito ubicado en la séptima posición desde el final del registro numérico?
  2. ¿Qué número de unidades de dígitos indica el número 2 en la entrada del primer número?... en la entrada del segundo y tercer número?
  3. Nombra la unidad de dígitos para la octava posición desde el final en la notación de tres números.

Geografía (longitud)

  1. Radio ecuatorial de la Tierra: 6378245 m
  2. Circunferencia del ecuador: 40075696 m
  3. La mayor profundidad de los océanos del mundo (Fosa de las Marianas en el Océano Pacífico) 11500 m

Preguntas y tareas

  1. Convierte los tres valores a centímetros y lee los números resultantes.
  2. Para el primer número (en cm), anota los números en las secciones:

cientos de miles _______

decenas de millones _______

miles _______

miles de millones _______

cientos de millones _______

  1. Para el segundo número (en cm), escriba las unidades de dígitos correspondientes a los números 4, 7, 5, 9 en la notación numérica.

  1. Convierte el tercer valor a milímetros y lee el número resultante.
  2. Para todas las posiciones en la entrada del tercer número (en mm), indique los dígitos y las unidades de dígitos en la tabla:

Geografía (cuadrado)

  1. El área de toda la superficie de la Tierra es de 510.083 mil kilómetros cuadrados.
  2. La superficie de las sumas en la Tierra es de 148.628 mil kilómetros cuadrados.
  3. El área de la superficie del agua de la Tierra es de 361.455 mil kilómetros cuadrados.

Preguntas y tareas

  1. Convertir las tres cantidades a metros cuadrados y lee los números resultantes.
  2. Nombra las clases y categorías correspondientes a dígitos distintos de cero en el registro de estos números (en metros cuadrados).
  3. Al escribir el tercer número (en metros cuadrados), nombre las unidades de dígitos correspondientes a los números 1, 3, 4, 6.
  4. En dos entradas del segundo valor (en kilómetros cuadrados y m2), indique a qué dígitos pertenece el número 2.
  5. Escribe las unidades de valor posicional para el dígito 2 en las notaciones de segunda cantidad.

Bloque 1.3. Diálogo con la computadora.

Se sabe que en astronomía se utilizan a menudo números grandes. Pongamos ejemplos. La distancia media de la Luna a la Tierra es de 384 mil kilómetros. La distancia de la Tierra al Sol (promedio) es de 149.504 mil km, la Tierra a Marte es de 55 millones de km. En una computadora, usando el editor de texto de Word, cree tablas para que cada dígito en la entrada de los números indicados esté en una celda (celda) separada. Para hacer esto, ejecute los comandos en la barra de herramientas: tabla → agregar tabla → número de filas (use el cursor para establecer “1”) → número de columnas (calcule usted mismo). Crea tablas para otros números (en el bloque “Autopreparación”).

Bloque 1.4. Relevo de grandes números


La primera fila de la tabla contiene un número grande. Léelo. Luego complete las tareas: moviendo los números en el registro numérico hacia la derecha o hacia la izquierda, obtenga los siguientes números y léalos. (¡No muevas los ceros al final del número!). En el aula, el testigo se puede llevar a cabo pasándoselo unos a otros.

Línea 2 . Mueva todos los dígitos del número en la primera línea hacia la izquierda a través de dos celdas. Reemplace los números 5 con el siguiente número. Llene las celdas vacías con ceros. Lee el número.

Línea 3 . Mueva todos los dígitos del número en la segunda línea hacia la derecha a través de tres celdas. Reemplace los números 3 y 4 en el número con los siguientes números. Llene las celdas vacías con ceros. Lee el número.

Línea 4. Mueva todos los dígitos del número en la línea 3 una celda hacia la izquierda. Reemplace el número 6 en la clase de billones por el anterior, y en la clase de miles de millones por el siguiente número. Llene las celdas vacías con ceros. Lea el número resultante.

Línea 5 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 4 una celda hacia la derecha. Reemplace el número 7 en la categoría “decenas de miles” por el anterior, y en la categoría “decenas de millones” por el siguiente. Lea el número resultante.

Línea 6 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 5 hacia la izquierda a través de 3 celdas. Reemplaza el número 8 en el lugar de las centenas de millones con el anterior, y el número 6 en el lugar de las centenas de millones con el siguiente número. Llene las celdas vacías con ceros. Calcula el número resultante.

Línea 7 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 6 a la derecha una celda. Intercambie los números en decenas de cuatrillones y decenas de miles de millones. Lea el número resultante.

Línea 8 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 7 hacia la izquierda a través de una celda. Intercambia los números en los lugares de quintillones y cuatrillones. Llene las celdas vacías con ceros. Lea el número resultante.

Línea 9 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 8 hacia la derecha a través de tres celdas. Intercambia dos dígitos adyacentes de las clases de millones y billones en una recta numérica. Lea el número resultante.

Línea 10 . Mueva todos los dígitos del número en la línea 9 una celda hacia la derecha. Lea el número resultante. Seleccione los números que indican el año de la Olimpiada de Moscú.

Bloque 1.5. Vamos a jugar

Enciende la llama

El campo de juego es un dibujo. árbol de Navidad. Tiene 24 bombillas. Pero sólo 12 de ellos están conectados a la red eléctrica. Para seleccionar las lámparas conectadas, debe responder correctamente a las preguntas con “Sí” o “No”. El mismo juego se puede jugar en una computadora; la respuesta correcta "enciende" la bombilla.

  1. ¿Es cierto que los números son signos especiales para escribir números naturales? (1 - sí, 2 - no)
  2. ¿Es cierto que 0 es el número natural más pequeño? (3 - sí, 4 - no)
  3. ¿Es cierto que en el sistema numérico posicional el mismo dígito puede representar números diferentes? (5 - sí, 6 - no)
  4. ¿Es cierto que un determinado lugar en la notación decimal de los números se llama lugar? (7 - sí, 8 - no)
  5. Se da el número 543,384. ¿Es cierto que el número de unidades con los dígitos más altos es 543 y los dígitos más bajos son 384? (9 - sí, 10 - no)
  6. ¿Es cierto que en la clase de los miles de millones, la unidad con el dígito más alto es cien mil millones y la más baja es mil millones? (11 - sí, 12 - no)
  7. Se da el número 458,121 ¿Es cierto que la suma del número de las unidades del dígito más alto y el número del más bajo es 5? (13 - sí, 14 - no)
  8. ¿Es cierto que la unidad con el dígito más alto de la clase del billón es un millón de veces mayor que la unidad con el dígito más alto de la clase del millón? (15 - sí, 16 - no)
  9. Dados dos números 637,508 y 831. ¿Es cierto que la unidad de dígito más alto del primer número es 1000 veces mayor que la unidad de dígito más alto del segundo número? (17 - sí, 18 - no)
  10. Dado el número 432. ¿Es cierto que la unidad de dígitos más alta de este número es 2 veces mayor que la más baja? (19 - sí, 20 - no)
  11. Se da el número 100.000.000 ¿Es cierto que el número de unidades de dígitos que componen 10.000 es igual a 1000? (21 - sí, 22 - no)
  12. ¿Es cierto que antes de la clase de billones hay una clase de cuatrillones, y antes de esta clase hay una clase de quintillones? (23 - sí, 24 - no)

1.6. De la historia de los números.

Desde la antigüedad, el hombre se ha enfrentado a la necesidad de contar el número de cosas, comparar las cantidades de los objetos (por ejemplo, cinco manzanas, siete flechas...; en una tribu hay 20 hombres y treinta mujeres,... ). También era necesario establecer orden dentro de un cierto número de objetos. Por ejemplo, cuando se caza, el líder de la tribu va primero, el guerrero más fuerte de la tribu va en segundo lugar, etc. Para estos fines se utilizaron números. Se les inventaron nombres especiales. En el habla se les llama números: uno, dos, tres, etc. son números cardinales, y el primero, segundo, tercero son números ordinales. Los números se escribieron utilizando caracteres especiales: números.

Con el tiempo apareció sistemas numéricos. Estos son sistemas que incluyen formas de escribir números y varias acciones encima de ellos. Los sistemas numéricos más antiguos conocidos son los sistemas numéricos egipcio, babilónico y romano. En la antigüedad, en Rusia, para escribir los números se utilizaban letras del alfabeto con un signo especial ~ (título). Actualmente, el sistema numérico decimal es el más utilizado. Los sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal se utilizan ampliamente, especialmente en el mundo de la informática.

Entonces, para escribir el mismo número, puedes usar diferentes signos: números. Entonces, el número cuatrocientos veinticinco se puede escribir en números egipcios: jeroglíficos:

Ésta es la forma egipcia de escribir números. Este es el mismo número en números romanos: CDXXV(forma romana de escribir los números) o dígitos decimales 425 (sistema de números decimales). En notación binaria se ve así: 110101001 (sistema numérico binario o binario), y en octal - 651 (sistema de números octales). En el sistema numérico hexadecimal se escribirá: 1A9(sistema numérico hexadecimal). Puedes hacerlo de forma muy sencilla: haz, como Robinson Crusoe, cuatrocientas veinticinco muescas (o trazos) en poste de madera - IIIIIIIII…... III. Estas son las primeras imágenes de números naturales.

Entonces, en el sistema decimal de escritura de números (en la forma decimal de escribir números) se utilizan números arábigos. Estos son diez símbolos diferentes - números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . En binario: dos dígitos binarios: 0, 1; en octal: ocho dígitos octales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; en hexadecimal: dieciséis dígitos hexadecimales diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; en sexagesimal (babilónico) - sesenta caracteres diferentes - números, etc.)

Los números decimales llegaron a los países europeos desde Oriente Medio y los países árabes. De ahí el nombre - números arábigos. Pero llegaron a los árabes desde la India, donde fueron inventados a mediados del primer milenio.

1.7. sistema de números romanos

Uno de los sistemas numéricos antiguos que se utiliza hoy en día es el sistema romano. Presentamos en la tabla los principales números del sistema numérico romano y los números correspondientes del sistema decimal.

número romano
do

50 cincuenta

500 quinientos

1000 mil

El sistema numérico romano es sistema de suma. En él, a diferencia de los sistemas posicionales (por ejemplo, decimal), cada dígito representa el mismo número. Si, grabar II- denota el número dos (1 + 1 = 2), notación III- número tres (1 + 1 + 1 = 3), notación XXX- el número treinta (10 + 10 + 10 = 30), etc. Las siguientes reglas se aplican a la escritura de números.

  1. Si el número inferior es después mayor, luego se suma al mayor: VII- número siete (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- número diecisiete (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- el número mil ciento cincuenta (1000 + 100 + 50 = 1150).
  2. Si el número inferior es antes mayor, entonces se resta del mayor: IX- número nueve (9 = 10 - 1), L. M.- número novecientos cincuenta (1000 - 50 = 950).

Para escribir números grandes, es necesario utilizar (inventar) nuevos símbolos: los números. Al mismo tiempo, registrar números resulta engorroso y es muy difícil realizar cálculos con números romanos. Así, el año de lanzamiento del primer satélite terrestre artificial (1957) en los registros romanos tiene la forma MCMLVII .

Bloque 1. 8. Tarjeta perforada

leer números naturales

Estas tareas se comprueban mediante un mapa con círculos. Expliquemos su aplicación. Después de completar todas las tareas y encontrar las respuestas correctas (están indicadas por las letras A, B, C, etc.), coloque una hoja de papel transparente en el mapa. Utilice los signos "X" para marcar las respuestas correctas, así como la marca correspondiente "+". Luego, coloque la hoja transparente sobre la página de modo que las marcas de registro queden alineadas. Si todas las marcas "X" están en los círculos grises de esta página, entonces las tareas se completaron correctamente.

1.9. Orden de lectura de números naturales.

Al leer un número natural, proceda de la siguiente manera.

  1. Divide mentalmente el número en tripletes (clases) de derecha a izquierda, desde el final del número.
  1. A partir de clase junior, de derecha a izquierda (desde el final del número) escribe los nombres de las clases: unidades, miles, millones, miles de millones, billones, cuatrillones, quintillones.
  2. Leen el número a partir de la escuela secundaria. En este caso, se indica el número de unidades de bits y el nombre de la clase.
  3. Si el bit contiene un cero (el bit está vacío), entonces no se llama. Si los tres dígitos de la clase nombrada son ceros (los dígitos están vacíos), entonces no se llama a esta clase.

Leamos (nombre) el número escrito en la tabla (ver §1), según los pasos 1 - 4. Dividamos mentalmente el número 38001102987000128425 en clases de derecha a izquierda: 038 001 102 987 000 128 425. Indicamos los nombres de los clases en este número, comenzando desde el final sus registros: unidades, miles, millones, miles de millones, billones, cuatrillones, quintillones. Ahora puedes leer el número, empezando por la clase superior. Nombramos números de tres cifras, dos cifras y un solo dígito, añadiendo el nombre de la clase correspondiente. No nombramos clases vacías. Obtenemos el siguiente número:

  • 038 - treinta y ocho quintillones
  • 001 - un cuatrillón
  • 102 - ciento dos billones
  • 987 - novecientos ochenta y siete mil millones
  • 000 - no nombramos (no leemos)
  • 128 - ciento veintiocho mil
  • 425 - cuatrocientos veinticinco

Como resultado, leemos el número natural 38 001 102 987 000 128 425 de la siguiente manera: "treinta y ocho quintillones un cuatrillón ciento dos billones novecientos ochenta y siete mil millones ciento veintiocho mil cuatrocientos veinticinco."

1.9. El orden de escritura de los números naturales.

Los números naturales se escriben en el siguiente orden.

  1. Escribe tres dígitos de cada clase, comenzando por la clase más alta hasta el lugar de las unidades. En este caso, para la clase superior puede haber dos o un dígito.
  2. Si la clase o categoría no tiene nombre, se escriben ceros en las categorías correspondientes.

Por ejemplo, número veinticinco millones trescientos dos escrito en la forma: 25 000 302 (la clase de miles no tiene nombre, por lo que todos los dígitos de la clase de miles se escriben con ceros).

1.10. Representación de números naturales como suma de términos de dígitos.

Pongamos un ejemplo: 7.563.429 es la notación decimal de un número siete millones quinientos sesenta y tres mil cuatrocientos veintinueve. Este número contiene siete millones quinientos mil seis diez mil tres mil cuatrocientos dos decenas y nueve unidades. Se puede representar como la suma: 7.563.429 = 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Esta notación se llama representar un número natural como una suma de términos de dígitos.

Bloque 1.11. Vamos a jugar

Tesoros de la mazmorra

En el campo de juego hay un dibujo del cuento de hadas de Kipling "Mowgli". Cinco cofres tienen candados. Para abrirlos, necesitas resolver problemas. Al mismo tiempo, al abrir un cofre de madera, obtienes un punto. Abrir un cofre de hojalata te da dos puntos, un cofre de cobre obtiene tres puntos, un cofre de plata obtiene cuatro puntos y un cofre de oro obtiene cinco puntos. Gana el que abre todos los cofres más rápido. El mismo juego se puede jugar en una computadora.

  1. Cofre de madera

Encuentra cuánto dinero (en miles de rublos) hay en este cofre. Para hacer esto necesitas encontrar número total las unidades de dígitos más bajos de la clase millón para el número: 125308453231.

  1. Cofre de hojalata

Encuentra cuánto dinero (en miles de rublos) hay en este cofre. Para hacer esto, en el número 12530845323, encuentre el número de unidades de dígito más bajo de la clase de unidades y el número de unidades de dígito más bajo de la clase de millones. Luego encuentra la suma de estos números y suma el número en las decenas de millones en el lugar de la derecha.

  1. Cofre de cobre

Para encontrar el dinero en este cofre (en miles de rublos), debe encontrar en el número 751305432198203 el número de unidades con el dígito más bajo en la clase de billones y el número de unidades con el dígito más bajo en la clase de miles de millones. Luego encuentra la suma de estos números y a la derecha escribe los números naturales de la clase de unidades de este número en el orden de su ubicación.

  1. Cofre plateado

El dinero en este cofre (en millones de rublos) se mostrará mediante la suma de dos números: el número de unidades de dígito más bajo de la clase de miles y las unidades de dígito medio de la clase de miles de millones para el número 481534185491502.

  1. Cofre dorado

Se da el número 800123456789123456789. Si multiplicamos los números en los dígitos más altos de todas las clases de este número, obtenemos el dinero de este cofre en un millón de rublos.

Bloque 1.12. Fósforo

Escribir números naturales. Representación de números naturales como suma de términos de dígitos.

Para cada tarea en la columna de la izquierda, seleccione una solución de la columna de la derecha. Escribe la respuesta en la forma: 1a; 2 gramos; 3b…

Escribe el número en números: cinco millones veinticinco mil

Escribe el número en números: cinco mil millones veinticinco millones

Escribe el número en números: cinco billones veinticinco

Escribe el número en números: setenta y siete millones setenta y siete mil setecientos setenta y siete

Escribe el número en números: setenta y siete billones setecientos setenta y siete mil siete

Escribe el número en números: setenta y siete millones setecientos setenta y siete mil siete

Escribe el número en números: ciento veintitrés mil cuatrocientos cincuenta y seis millones setecientos ochenta y nueve mil

Escribe el número en números: ciento veintitrés millones cuatrocientos cincuenta y seis mil setecientos ochenta y nueve

Escribe el número en números: tres mil once

Escribe el número en números: tres mil once millones

Opción 2

treinta y dos mil ciento setenta y cinco millones doscientos noventa y ocho mil trescientos cuarenta y uno

100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1

Presente el número como una suma de términos de dígitos: trescientos veintiún millones cuarenta y uno

30000000000 + 2000000000 +

100000000 + 70000000 + 5000000 +

200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Presente el número como una suma de términos de dígitos: 321000175298341

Presente el número como una suma de términos de dígitos: 101010101

Presente el número como una suma de términos de dígitos: 11111

300000000 + 20000000 + 1000000 +

5000000 + 300000 + 20000 + 1000

Escribe en notación decimal el número presentado como suma de términos de dígitos: 5000000 + 300 + 20 + 1

30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Escribe en notación decimal el número presentado como suma de términos de dígitos:

10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9

Escribe en notación decimal el número presentado como suma de términos de dígitos:

10000000000 + 2000000000 + 100000000 +

10000000 + 9000000

Escribe en notación decimal el número presentado como suma de términos de dígitos: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9

10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Bloque 1.13. prueba de facetas

El nombre de la prueba proviene de la palabra "ojo compuesto de insecto". Se trata de un ojo complejo que consta de “ocelos” individuales. Las tareas de prueba de facetas se forman a partir de elementos individuales indicados por números. Normalmente, las pruebas de facetas contienen una gran cantidad de tareas. Pero solo hay cuatro problemas en esta prueba, pero se componen de gran número elementos. Esto está diseñado para enseñarle cómo “ensamblar” problemas de prueba. Si puede crearlos, podrá afrontar fácilmente otras pruebas facetas.

Expliquemos cómo se componen las tareas usando el ejemplo de la tercera tarea. Está compuesto por elementos de prueba numerados: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Si» 1) tomar números (dígitos) de la tabla; 4) 7; 7) colocarlo en una categoría; 11) miles de millones; 1) toma un número de la tabla; 5) 8; 7) ubicarlo en categorías; 9) decenas de millones; 10) cientos de millones; 16) cientos de miles; 17) decenas de miles; 22) Coloca los números 9 y 6 en los lugares de las milésimas y las centenas. 21) llene los bits restantes con ceros; " ESO» 26) obtenemos un número igual al tiempo (período) de revolución del planeta Plutón alrededor del Sol en segundos (s); " Este número es igual a": 7880889600p. En las respuestas se indica con la letra. "V".

Al resolver problemas, use un lápiz para escribir los números en las celdas de la tabla.

Prueba de facetas. inventar un numero

La tabla contiene los números:

Si

1) toma el(los) número(s) de la tabla:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) coloque este(s) dígito(s) en el(los) dígito(s);

8) cientos de cuatrillones y decenas de cuatrillones;

9) decenas de millones;

10) cientos de millones;

11) miles de millones;

12) quintillones;

13) decenas de quintillones;

14) cientos de quintillones;

15) billones;

16) cientos de miles;

17) decenas de miles;

18) llenar la(s) clase(s) con eso(ellos);

19) quintillones;

20) mil millones;

21) llenar los bits restantes con ceros;

22) coloca los números 9 y 6 en los lugares de mil y centenas;

23) obtenemos un número igual a la masa de la Tierra en decenas de toneladas;

24) obtenemos un número aproximadamente igual al volumen de la Tierra en metros cúbicos;

25) obtenemos un número igual a la distancia (en metros) desde el Sol hasta el planeta más lejano sistema solar Plutón;

26) obtenemos un número igual al tiempo (período) de la revolución del planeta Plutón alrededor del Sol en segundos (s);

Este número es igual a:

a) 5929000000000

b) 99999000000000000000000

d) 59800000000000000000000

Resolver problemas:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Respuestas

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24-b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - en

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - un

Los números naturales son familiares para los humanos e intuitivos, porque nos rodean desde la infancia. En el artículo siguiente, brindaremos una comprensión básica del significado de los números naturales y describiremos las habilidades básicas para escribirlos y leerlos. Toda la parte teórica irá acompañada de ejemplos.

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Comprensión general de los números naturales.

En una determinada etapa del desarrollo de la humanidad surgió la tarea de contar ciertos objetos y designar su cantidad, lo que, a su vez, requirió encontrar una herramienta para resolver este problema. Los números naturales se convirtieron en una de esas herramientas. También está claro que el objetivo principal de los números naturales es dar una idea del número de objetos o del número de serie de un objeto concreto, si hablamos de un conjunto.

Es lógico que para que una persona utilice números naturales sea necesario tener una forma de percibirlos y reproducirlos. Por tanto, se puede expresar o representar un número natural, que son formas naturales de transmitir información.

Veamos las habilidades básicas de expresar (leer) y representar (escribir) números naturales.

Notación decimal de un número natural

Recordemos cómo se representan los siguientes caracteres (los indicaremos separados por comas): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . A estos signos los llamamos números.

Ahora tomemos como regla que al representar (escribir) cualquier número natural, solo se utilizan los números indicados sin la participación de ningún otro símbolo. Que los dígitos al escribir un número natural tengan la misma altura, se escriban uno tras otro en una línea y siempre haya un dígito distinto de cero a la izquierda.

Indiquemos ejemplos del registro correcto de números naturales: 703, 881, 13, 333, 1.023, 7. 500.001. El espacio entre números no siempre es el mismo; esto se analizará con más detalle más adelante cuando se estudien las clases de números. Los ejemplos dados muestran que al escribir un número natural, no es necesario que estén presentes todos los dígitos de la serie anterior. Es posible que algunos o todos se repitan.

Definición 1

Los registros de la forma: 065, 0, 003, 0791 no son registros de números naturales, porque A la izquierda está el número 0.

El registro correcto de un número natural, realizado teniendo en cuenta todos los requisitos descritos, se denomina notación decimal de un número natural.

Significado cuantitativo de los números naturales.

Como ya se mencionó, los números naturales tienen inicialmente, entre otras cosas, un significado cuantitativo. Los números naturales, como herramienta de numeración, se analizan en el tema sobre comparación de números naturales.

Pasemos a los números naturales cuyas entradas coinciden con las entradas de los dígitos, es decir: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Imaginemos un objeto determinado, por ejemplo, así: Ψ. Podemos escribir lo que vemos. 1 artículo. El número natural 1 se lee como "uno" o "uno". El término "unidad" también tiene otro significado: algo que puede considerarse como un todo único. Si existe un conjunto, entonces cualquier elemento del mismo puede designarse como uno. Por ejemplo, de un conjunto de ratones, cualquier ratón es uno; cualquier flor de un conjunto de flores es una.

Ahora imagina: Ψ Ψ . Vemos un objeto y otro objeto, es decir. en la grabación serán 2 elementos. El número natural 2 se lee como "dos".

Además, por analogía: Ψ Ψ Ψ – 3 elementos (“tres”), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 (“cuatro”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 (“cinco”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 (“seis”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 (“siete”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 (“ocho”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 (“ nueve").

Desde la posición indicada, la función de un número natural es indicar cantidades elementos.

Definición 1

Si el registro de un número coincide con el registro del número 0, entonces dicho número se llama "cero". El cero no es un número natural, pero se considera junto con otros números naturales. Cero denota ausencia, es decir cero elementos significa ninguno.

números naturales de una sola cifra

Es un hecho obvio que al escribir cada uno de los números naturales discutidos anteriormente (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), usamos un signo: un dígito.

Definición 2

Número natural de una sola cifra– un número natural, que se escribe con un signo – un dígito.

Hay nueve números naturales de un solo dígito: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Números naturales de dos y tres cifras

Definición 3

Números naturales de dos cifras- números naturales, al escribir qué dos signos se utilizan: dos dígitos. En este caso, los números utilizados pueden ser iguales o diferentes.

Por ejemplo, los números naturales 71, 64, 11 tienen dos dígitos.

Consideremos qué significado contienen los números de dos dígitos. Nos basaremos en el significado cuantitativo de los números naturales de un solo dígito que ya conocemos.

Introduzcamos un concepto como "diez".

Imaginemos un conjunto de objetos que consta de nueve y uno más. En este caso, podemos hablar de 1 decena (“una docena”) de objetos. Si imaginas una decena y una más, entonces estamos hablando de 2 decenas (“dos decenas”). Sumando uno más a dos decenas, obtenemos tres decenas. Y así sucesivamente: continuando sumando una decena a la vez, obtendremos cuatro decenas, cinco decenas, seis decenas, siete decenas, ocho decenas y, finalmente, nueve decenas.

miremos número de dos dígitos, como un conjunto de números de un solo dígito, uno de los cuales se escribe a la derecha y el otro a la izquierda. El número de la izquierda indicará la cantidad de decenas en un número natural y el número de la derecha indicará la cantidad de unidades. En el caso de que el número 0 se ubique a la derecha, entonces estamos hablando de ausencia de unidades. Lo anterior es el significado cuantitativo de los números naturales de dos dígitos. Hay 90 de ellos en total.

Definición 4

Números naturales de tres cifras.- números naturales, al escribir qué tres signos se utilizan: tres dígitos. Los números pueden ser diferentes o repetidos en cualquier combinación.

Por ejemplo, 413, 222, 818, 750 son números naturales de tres dígitos.

Para comprender el significado cuantitativo de los números naturales de tres cifras, introducimos el concepto "centenar".

Definición 5

Cien (1 cien) es un conjunto formado por diez decenas. Una centena y otra centena suman 2 centenas. Agrega una centena más y obtienes 3 centenas. Sumando gradualmente cien a la vez, obtenemos: cuatrocientos, quinientos, seiscientos, setecientos, ochocientos, novecientos.

Consideremos la notación de un número de tres dígitos en sí: los números naturales de un solo dígito incluidos en él se escriben uno tras otro de izquierda a derecha. El número de un solo dígito situado más a la derecha indica el número de unidades; el siguiente número de un solo dígito a la izquierda es el número de decenas; el número de un solo dígito más a la izquierda está en el número de centenas. Si la entrada contiene el número 0, indica la ausencia de unidades y/o decenas.

Así, el número natural de tres cifras 402 significa: 2 unidades, 0 decenas (no hay decenas que no se combinen en centenas) y 4 centenas.

Por analogía, se da la definición de números naturales de cuatro dígitos, cinco dígitos, etc.

Números naturales de varios dígitos

De todo lo anterior, ahora es posible pasar a la definición de números naturales polivalentes.

Definición 6

Números naturales de varios dígitos– números naturales, al escribir qué dos o más caracteres se utilizan. Los números naturales de varios dígitos son números de dos dígitos, tres dígitos, etc.

Mil es un conjunto que incluye diezcientos; un millón se compone de mil mil; mil millones – mil millones; un billón – mil billones. Incluso los conjuntos más grandes también tienen nombres, pero su uso es raro.

De manera similar al principio anterior, podemos considerar cualquier número natural de varios dígitos como un conjunto de números naturales de un solo dígito, cada uno de los cuales, al estar en un lugar determinado, indica la presencia y el número de unidades, decenas, centenas, millares, decenas. de miles, cientos de miles, millones, decenas de millones, cientos de millones, miles de millones y así sucesivamente (de derecha a izquierda, respectivamente).

Por ejemplo, el número de varios dígitos 4.912.305 contiene: 5 unidades, 0 decenas, tres centenas, 2 mil, 1 decena de mil, 9 centenas de mil y 4 millones.

En resumen, analizamos la habilidad de agrupar unidades en varios conjuntos (decenas, centenas, etc.) y vimos que los números en la notación de un número natural de varios dígitos son una designación del número de unidades en cada uno de esos conjuntos. .

Lectura de números naturales, clases.

En la teoría anterior, indicamos los nombres de los números naturales. En la Tabla 1 indicamos cómo utilizar correctamente los nombres de números naturales de un solo dígito en el habla y en la escritura de cartas:

Número Masculino Femenino Neutro

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Uno
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve

Uno
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve

Uno
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Número Caso nominativo Genitivo Dativo Caso acusativo caso instrumental Prepositivo
1
2
3
4
5
6
7
8
9 		Uno
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve		 Uno
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Semi
Ocho
Nueve		 Solo
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Semi
Ocho
Nueve		 Uno
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve		 Uno
Dos
Tres
cuatro
Cinco
Seis
Familia
Ocho
Nueve		 sobre una cosa
alrededor de dos
alrededor de tres
alrededor de cuatro
De nuevo
alrededor de seis
alrededor de siete
alrededor de ocho
alrededor de nueve

Para leer y escribir correctamente números de dos dígitos, debe memorizar los datos de la Tabla 2:

Número

Género masculino, femenino y neutro.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90 		Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Treinta
cuarenta
Cincuenta
Sesenta
Setenta
Ochenta
Noventa
Número Caso nominativo Genitivo Dativo Caso acusativo caso instrumental Prepositivo
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90 		Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Treinta
cuarenta
Cincuenta
Sesenta
Setenta
Ochenta
Noventa

Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Treinta
Urraca
Cincuenta
Sesenta
Setenta
Ochenta
Noventa

 Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Treinta
Urraca
Cincuenta
Sesenta
Setenta
Ochenta
Noventa		 Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Treinta
cuarenta
Cincuenta
Sesenta
Setenta
Ochenta
Noventa		 Diez
Once
doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Treinta
Urraca
Cincuenta
sesenta
Setenta
Ochenta
diecinueve		 alrededor de diez
alrededor de las once
alrededor de doce
alrededor de trece
alrededor de catorce
unos quince
alrededor de dieciséis
alrededor de diecisiete
alrededor de dieciocho
alrededor de diecinueve
unos veinte
alrededor de treinta
oh urraca
unos cincuenta
unos sesenta
alrededor de setenta
alrededor de ochenta
Oh noventa

Para leer otros números naturales de dos dígitos, usaremos los datos de ambas tablas, lo consideraremos con un ejemplo. Digamos que necesitamos leer el número natural de dos dígitos 21. Este número contiene 1 unidad y 2 decenas, es decir 20 y 1. Pasando a las tablas, leemos el número indicado como “veintiuno”, mientras que no es necesario pronunciar la conjunción “y” entre las palabras. Digamos que necesitamos usar el número especificado 21 en una oración determinada, indicando el número de objetos en caso genitivo: “no hay 21 manzanas”. sonido en en este caso la pronunciación será la siguiente: “no hay veintiún manzanas”.

Para mayor claridad, pongamos otro ejemplo: el número 76, que se lee como “setenta y seis” y, por ejemplo, “setenta y seis toneladas”.

Número Nominativo Genitivo Dativo Caso acusativo caso instrumental Prepositivo
100
200
300
400
500
600
700
800
900 		Ciento
Doscientos
trescientos
Cuatrocientos
Quinientos
Seiscientos
Setecientos
Ochocientos
Novecientos		 centenar
Doscientos
trescientos
Cuatrocientos
Quinientos
Seiscientos
Setecientos
Ochocientos
Novecientos		 centenar
Doscientos
trescientos
Cuatrocientos
Quinientos
Seiscientos
semistam
Ochocientos
Novecientos		 Ciento
Doscientos
trescientos
Cuatrocientos
Quinientos
Seiscientos
Setecientos
Ochocientos
Novecientos		 centenar
Doscientos
trescientos
Cuatrocientos
Quinientos
Seiscientos
Setecientos
Ochocientos
Novecientos		 Oh cien
alrededor de doscientos
alrededor de trescientos
alrededor de cuatrocientos
alrededor de quinientos
alrededor de seiscientos
Alrededor de los setecientos
alrededor de ochocientos
alrededor de novecientos

Para leer completamente un número de tres dígitos, también utilizamos los datos de todas las tablas indicadas. Por ejemplo, dado el número natural 305. este numero corresponde a 5 unidades, 0 decenas y 3 centenas: 300 y 5. Tomando como base la tabla, leemos: “trescientos cinco” o en declinación por caso, por ejemplo, así: “trescientos cinco metros”.

Leamos un número más: 543. Según las reglas de las tablas, el número indicado sonará así: "quinientos cuarenta y tres" o en declinación según los casos, por ejemplo, así: "no hay quinientos cuarenta y tres rublos".

Pasemos a principio general leer números naturales de varios dígitos: para leer un número de varios dígitos, es necesario dividirlo de derecha a izquierda en grupos de tres dígitos, y el grupo más a la izquierda puede tener 1, 2 o 3 dígitos. Estos grupos se denominan clases.

La clase más a la derecha es la clase de unidades; luego la siguiente clase, a la izquierda: la clase de los miles; además – la clase de los millones; luego viene la clase de los miles de millones, seguida por la clase de los billones. Las siguientes clases también tienen nombre, pero los números naturales que consisten en gran cantidad los caracteres (16, 17 o más) rara vez se utilizan en la lectura; es bastante difícil percibirlos de oído.

Para que la grabación sea más fácil de leer, las clases están separadas entre sí por una pequeña sangría. Por ejemplo, 31.013.736, 134.678, 23.476.009.434, 2.533.467.001.222.

Clase
billón		 Clase
miles de millones		 Clase
millones		 clase de miles clase de unidad
134 678
31 013 736
23 476 009 434
2 533 467 001 222

Para leer un número de varios dígitos, llamamos uno a uno a los números que lo componen (de izquierda a derecha por clase, sumando el nombre de la clase). El nombre de la clase de unidades no se pronuncia, y aquellas clases que componen tres dígitos 0 tampoco se pronuncian. Si uno o dos dígitos 0 están presentes a la izquierda en una clase, entonces no se utilizan de ninguna manera al leer. Por ejemplo, 054 se leerá como "cincuenta y cuatro" o 001 como "uno".

Ejemplo 1

Veamos en detalle la lectura del número 2.533.467.001.222:

Leemos el número 2 como un componente de la clase de billones: "dos";

Al agregar el nombre de la clase, obtenemos: “dos billones”;

Leemos el siguiente número, añadiendo el nombre de la clase correspondiente: “quinientos treinta y tres mil millones”;

Seguimos por analogía, leyendo la siguiente clase a la derecha: “cuatrocientos sesenta y siete millones”;

En la siguiente clase vemos dos dígitos 0 ubicados a la izquierda. De acuerdo con las reglas de lectura anteriores, los dígitos 0 se descartan y no participan en la lectura del registro. Luego obtenemos: “mil”;

Leemos la última clase de unidades sin agregar su nombre: "doscientos veintidós".

Así, el número 2 533 467 001 222 sonará así: dos billones quinientos treinta y tres mil cuatrocientos sesenta y siete millones mil doscientos veintidós. Usando este principio, leeremos los otros números dados:

31.013.736 – treinta y un millones trece mil setecientos treinta y seis;

134 678 – ciento treinta y cuatro mil seiscientos setenta y ocho;

23 476 009 434 – veintitrés mil cuatrocientos setenta y seis millones nueve mil cuatrocientos treinta y cuatro.

Por tanto, la base para leer correctamente números de varios dígitos es la habilidad de dividir un número de varios dígitos en clases, el conocimiento de los nombres correspondientes y la comprensión del principio de lectura de números de dos y tres dígitos.

Como ya se desprende de todo lo anterior, su valor depende de la posición en la que aparece el dígito en la notación de un número. Es decir, por ejemplo, el número 3 en el número natural 314 indica el número de centenas, es decir, 3 centenas. El número 2 es el número de decenas (1 decena) y el número 4 es el número de unidades (4 unidades). En este caso, diremos que el número 4 está en el lugar de las unidades y es el valor del lugar de las unidades en el número dado. El número 1 está en el lugar de las decenas y sirve como valor de las decenas. El número 3 se encuentra en el lugar de las centenas y es el valor de las centenas.

Definición 7

Descargar- esta es la posición de un dígito en la notación de un número natural, así como el valor de este dígito, que está determinado por su posición en un número dado.

Las categorías tienen sus propios nombres, ya las hemos usado anteriormente. De derecha a izquierda hay dígitos: unidades, decenas, centenas, miles, decenas de miles, etc.

Para facilitar la memorización, puede utilizar la siguiente tabla (indicamos 15 dígitos):

Aclaremos este detalle: el número de dígitos en un determinado número de varios dígitos igual que el número de caracteres en el registro numérico. Por ejemplo, esta tabla contiene los nombres de todos los dígitos de un número de 15 dígitos. Las descargas posteriores también tienen nombres, pero se usan muy raramente y son muy incómodas de escuchar.

Con la ayuda de una tabla de este tipo, es posible desarrollar la habilidad de determinar el dígito escribiendo un número natural dado en la tabla de modo que el dígito más a la derecha se escriba en el dígito de las unidades y luego en cada dígito uno por uno. Por ejemplo, escribamos el número natural de varios dígitos 56.402.513.674 así:

Preste atención al número 0, ubicado en el dígito de las decenas de millones; significa la ausencia de unidades de este dígito.

Introduzcamos también los conceptos de dígitos más bajo y más alto de un número de varios dígitos.

Definición 8

Rango más bajo (junior) de cualquier número natural de varios dígitos: el dígito de las unidades.

Categoría más alta (senior) de cualquier número natural de varios dígitos: el dígito correspondiente al dígito más a la izquierda en la notación de un número determinado.

Así, por ejemplo, en el número 41.781: el dígito más bajo es el de las unidades; El rango más alto es el rango de decenas de miles.

Lógicamente se deduce que es posible hablar de la antigüedad de los dígitos entre sí. Cada dígito subsiguiente, cuando se mueve de izquierda a derecha, es más bajo (más joven) que el anterior. Y viceversa: cuando se mueve de derecha a izquierda, cada dígito siguiente es más alto (más antiguo) que el anterior. Por ejemplo, el lugar de los miles es más antiguo que el de las centenas, pero más joven que el de los millones.

Aclaremos que a la hora de resolver algunos ejemplos prácticos no se utiliza el número natural en sí, sino la suma de los términos dígitos de un número determinado.

Brevemente sobre el sistema numérico decimal.

Definición 9

Notación– un método para escribir números usando signos.

Sistemas de números posicionales– aquellos en los que el valor de una cifra de un número depende de su posición en la notación del número.

De acuerdo a esta definición, podemos decir que, al estudiar los números naturales y la forma en que se escriben anteriormente, utilizamos el sistema numérico posicional. El número 10 ocupa aquí un lugar especial. Contamos en decenas: diez unidades forman una decena, diez decenas forman una centena, etc. El número 10 sirve como base de este sistema numérico, y el sistema en sí también se llama decimal.

Además de este, existen otros sistemas numéricos. Por ejemplo, la informática utiliza el sistema binario. Cuando llevamos la cuenta del tiempo, utilizamos el sistema numérico sexagesimal.

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Números naturales y sus propiedades.

Los números naturales se utilizan para contar objetos en la vida. Al escribir cualquier número natural, se utilizan los números $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Una secuencia de números naturales, en la que cada número siguiente es $1$ mayor que el anterior, forma una serie natural, que comienza con uno (ya que uno es el número natural más pequeño) y no tiene valor más alto, es decir. infinito.

El cero no se considera un número natural.

Propiedades de la relación sucesoria

Todas las propiedades de los números naturales y sus operaciones se derivan de cuatro propiedades de las relaciones de sucesión, que fueron formuladas en 1891 por D. Peano:

    Uno es un número natural que no sigue a ningún número natural.

    A cada número natural le sigue uno y sólo un número.

    Todo número natural distinto de $1$ sigue a un y sólo un número natural

    El subconjunto de números naturales que contiene el número $1$, y junto con cada número el número que le sigue, contiene todos los números naturales.

Si la entrada de un número natural consta de un dígito, se llama de un solo dígito (por ejemplo, $2,6,9$, etc.), si la entrada consta de dos dígitos, se llama de dos dígitos (por ejemplo, $12 ,18,45$), etc. por analogía. Dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, etc. En matemáticas, los números se llaman multivaluados.

Propiedad de la suma de números naturales.

    Propiedad conmutativa: $a+b=b+a$

    La suma no cambia cuando se reordenan los términos.

    Propiedad de combinación: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

    Para sumar la suma de dos números a un número, primero puedes sumar el primer término y luego, a la suma resultante, sumar el segundo término.

    Sumar cero no cambia el número, y si sumas cualquier número a cero, obtienes el número agregado.

Propiedades de la resta

    Propiedad de restar una suma a un número $a-(b+c) =a-b-c$ si $b+c ≤ a$

    Para restar una suma de un número, primero puedes restar el primer término de este número y luego el segundo término de la diferencia resultante.

    La propiedad de restar un número de la suma $(a+b) -c=a+(b-c)$ si $c ≤ b$

    Para restar un número de una suma, puedes restarlo de un término y sumar otro término a la diferencia resultante.

    Si a un número le restas cero, el número no cambiará.

    Si lo restas del número mismo, obtienes cero.

Propiedades de la multiplicación

    Comunicativo $a\cdot b=b\cdot a$

    El producto de dos números no cambia cuando se reordenan los factores.

    Conjuntiva $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

    Para multiplicar un número por el producto de dos números, primero puedes multiplicarlo por el primer factor y luego multiplicar el producto resultante por el segundo factor.

    Cuando se multiplica por uno, el producto no cambia $m\cdot 1=m$

    Cuando se multiplica por cero, el producto es cero.

    Cuando no hay paréntesis en la notación del producto, la multiplicación se realiza en orden de izquierda a derecha.

Propiedades de la multiplicación relativas a la suma y la resta.

    Propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma.

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$

    Para multiplicar una suma por un número, puedes multiplicar cada término por este número y sumar los productos resultantes.

    Por ejemplo, $5(x+y)=5x+5y$

    Propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la resta.

    $(a-b)\cdot c=ac-bc$

    Para multiplicar la diferencia por un número, multiplica el minuendo y el sustraendo por este número y resta el segundo del primer producto.

    Por ejemplo, $5(x-y)=5x-5y$

Comparación de números naturales.

    Para cualquier número natural $a$ y $b$, solo se puede satisfacer una de tres relaciones: $a=b$, $a

    El número que aparece antes en la serie natural se considera menor y el número que aparece después se considera mayor. El cero es menor que cualquier número natural.

    Ejemplo 1

    Compara los números $a$ y $555$, si se sabe que existe un cierto número $b$, y se cumplen las siguientes relaciones: $a

    Solución: Basado en la propiedad especificada, porque por condición $a

    en cualquier subconjunto de números naturales que contenga al menos un número hay un número más pequeño

    En matemáticas, un subconjunto es parte de un conjunto. Se dice que un conjunto es subconjunto de otro si cada elemento del subconjunto es también elemento del conjunto mayor.

A menudo, para comparar números, encuentran su diferencia y la comparan con cero. Si la diferencia es mayor que $0$, pero el primer número es mayor que el segundo, si la diferencia es menor que $0$, entonces el primer número es menor que el segundo.

Redondear números naturales

Cuando no se necesita o no es posible una precisión total, los números se redondean, es decir, se reemplazan por números cercanos con ceros al final.

Los números naturales se redondean a decenas, centenas, millares, etc.

Al redondear un número a decenas, se reemplaza por el número más cercano formado por decenas enteras; tal número tiene el dígito $0$ en el lugar de las unidades

Al redondear un número a la centena más cercana, se reemplaza por el número más cercano que consta de centenas enteras; dicho número debe tener el dígito $0$ en el lugar de las decenas y las unidades. Etc.

Los números a los que se redondea se denominan valor aproximado del número con una precisión de los dígitos indicados. Por ejemplo, si redondeas el número $564$ a decenas, encontramos que puedes redondearlo hacia abajo y obtener $560$, o. con franquicia y obtén $570$.

Regla para redondear números naturales

    Si a la derecha del dígito al que se redondea el número hay un dígito $5$ o un dígito mayor que $5$, entonces se suma $1$ al dígito de este dígito; De lo contrario, esta cifra no se modifica.

    Todos los dígitos ubicados a la derecha del dígito al que se redondea el número se reemplazan por ceros.

Números naturales

La definición de números naturales son números enteros positivos. Los números naturales se utilizan para contar objetos y para muchos otros fines. Estos son los números:

Esta es una serie natural de números.
¿Es el cero un número natural? No, el cero no es un número natural.
¿Cuántos números naturales hay? Hay una infinidad de números naturales.
¿Cuál es el número natural más pequeño? Uno es el número natural más pequeño.
¿Cuál es el número natural más grande? Es imposible indicarlo, porque existe una infinidad de números naturales.

La suma de números naturales es un número natural. Entonces, sumando números naturales a y b:

El producto de números naturales es un número natural. Entonces, el producto de los números naturales a y b:

c es siempre un número natural.

Diferencia de números naturales No siempre existe un número natural. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, entonces la diferencia de los números naturales es un número natural; en caso contrario, no lo es.

El cociente de números naturales no siempre es un número natural. Si para los números naturales a y b

donde c es un número natural, esto significa que a es divisible por b. En este ejemplo, a es el dividendo, b es el divisor y c es el cociente.

El divisor de un número natural es un número natural por el cual el primer número es divisible por un entero.

Todo número natural es divisible por uno y por sí mismo.

Los números naturales primos son divisibles sólo por uno y por sí mismos. Aquí nos referimos a dividido por completo. Ejemplo, números 2; 3; 5; 7 sólo es divisible por uno y por sí mismo. Estos son números naturales simples.

Uno no se considera un número primo.

Los números mayores que uno y que no son primos se llaman números compuestos. Ejemplos de números compuestos:

El uno no se considera un número compuesto.

El conjunto de los números naturales es uno. numeros primos y números compuestos.

El conjunto de los números naturales se denota con la letra latina N.

Propiedades de la suma y multiplicación de números naturales:

propiedad conmutativa de la suma

propiedad asociativa de la suma

(a + b) + c = a + (b + c);

propiedad conmutativa de la multiplicación

propiedad asociativa de la multiplicación

(ab) c = a (bc);

propiedad distributiva de la multiplicación

A (b + c) = ab + ca;

Enteros

Los números enteros son los números naturales, el cero y los opuestos de los números naturales.

Lo opuesto a los números naturales son los números enteros negativos, por ejemplo:

1; -2; -3; -4;...

El conjunto de números enteros se denota con la letra latina Z.

números racionales

Los números racionales son números enteros y fraccionarios.

Cualquier número racional se puede representar como una fracción periódica. Ejemplos:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

De los ejemplos queda claro que cualquier número entero es una fracción periódica con período cero.

Cualquier número racional se puede representar como una fracción m/n, donde m es un número entero numero,nnatural número. Imaginemos el número 3,(6) del ejemplo anterior como tal fracción.

El número más simple es número natural. Se utilizan en la vida cotidiana para contar objetos, es decir para calcular su número y orden.

¿Qué es un número natural? números naturales Nombra los números que se utilizan para contar artículos o indicar el número de serie de cualquier artículo de todos los homogéneos elementos.

Números naturales- estos son números que comienzan desde uno. Se forman de forma natural al contar.Por ejemplo, 1,2,3,4,5... -primeros números naturales.

Número natural más pequeño- uno. No existe un mayor número natural. Al contar el número El cero no se utiliza, por lo que el cero es un número natural.

Serie de números naturales es la secuencia de todos los números naturales. Escribir números naturales:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

En la serie natural, cada número es mayor que el anterior en uno.

¿Cuántos números hay en la serie natural? La serie natural es infinita; el mayor número natural no existe.

Decimal ya que 10 unidades de cualquier dígito forman 1 unidad del dígito más alto. Posicionalmente así cómo el significado de un dígito depende de su lugar en el número, es decir, de la categoría donde está escrito.

Clases de números naturales.

Cualquier número natural se puede escribir utilizando 10 números arábigos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para leer los números naturales, se dividen, empezando por la derecha, en grupos de 3 dígitos cada uno. 3 primero los números de la derecha son la clase de unidades, los 3 siguientes son la clase de miles, luego las clases de millones, miles de millones ypronto. Cada uno de los dígitos de la clase se llama sudescargar.

Comparación de números naturales.

De 2 números naturales, el menor es el número que se llama antes al contar. Por ejemplo, número 7 menos 11 (escrito así:7 < 11 ). Cuando un número es mayor que el segundo, se escribe así:386 > 99 .

Tabla de dígitos y clases de números.

unidad de primera clase

1er dígito de la unidad

decenas de segundo dígito

3er lugar cientos

mil de segunda clase

1er dígito de la unidad de miles

2do dígito decenas de miles

3ª categoría cientos de miles

millones de tercera clase

1er dígito de la unidad de millones

2da categoría decenas de millones

3ª categoría cientos de millones

miles de millones de cuarta clase

1er dígito de la unidad de miles de millones

2da categoría decenas de miles de millones

3ª categoría cientos de miles de millones

Los números de 5to grado y superiores se refieren a grandes números. Las unidades de quinta clase son billones, sexta clase - cuatrillones, séptima clase - quintillones, octava clase - sextillones, novena clase - eptilliones.

Propiedades básicas de los números naturales.

  • Conmutatividad de la suma . a + b = b + a
  • Conmutatividad de la multiplicación. ab = ba
  • Asociatividad de la suma. (a + b) + c = a + (b + c)
  • Asociatividad de la multiplicación.
  • Distributividad de la multiplicación relativa a la suma:

Operaciones con números naturales.

4. La división de números naturales es la operación inversa de la multiplicación.

Si segundo ∙ c = un, Eso

Fórmulas para la división:

una: 1 = una

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Expresiones numéricas e igualdades numéricas.

Una notación donde los números están conectados por signos de acción es expresión numérica.

Por ejemplo, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Los registros donde se combinan 2 expresiones numéricas con un signo igual son igualdades numéricas. La igualdad tiene lados izquierdo y derecho.

El orden de realización de operaciones aritméticas.

La suma y la resta de números son operaciones de primer grado, mientras que la multiplicación y la división son operaciones de segundo grado.

Cuando expresión numérica Consta de acciones de un solo grado, se realizan de forma secuencial. de izquierda a derecha.

Cuando las expresiones consisten en acciones sólo de primer y segundo grado, entonces las acciones se realizan primero. segundo grado, y luego - acciones de primer grado.

Cuando hay paréntesis en una expresión, las acciones entre paréntesis se realizan primero.

Por ejemplo, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.