Méthode d'introduction de nouvelles variables

Leçon sur le thème : Résolution d'équations

Compilé par : Vera Viktorovna Volkova - professeur de mathématiques

Sujet de cours : Résoudre des équations en introduisant une nouvelle variable.

Objectifs de la leçon :1. Présenter aux élèves une nouvelle méthode de résolution d’équations ;

2. Renforcer les compétences de résolution d'équations quadratiques et de choix de méthodes pour les résoudre ;

3. Effectuer la consolidation initiale d'un nouveau sujet ;

4. Développer la capacité de défendre son point de vue et de mener un dialogue raisonné avec ses camarades ;

Développer l'attention, la mémoire et pensée logique, observation

Inculquer les compétences en communication et la culture de la communication

Inculquer des compétences travail indépendant

Pendant les cours

1. Moment d’organisation

Communiquer le sujet de la leçon et fixer un objectif.

2. Répétition

Dans les leçons précédentes, nous avons appris à résoudre des équations quadratiques différentes façons et les équations. Qui peuvent être réduits à des carrés.

Quelle équation est dite quadratique ?

Quels moyens connaissez-vous pour les résoudre ?

Quelles équations peuvent être réduites au quadratique ?

a) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20

b) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2

c) x 2 + x + 9 = 3x-7,

G) x+1 + x = 2,5

Xx+1

d) x2 +2x+2 + x2 +2x+3 = 9

X 2 +2x+5 x2 +2x+6 10 ?

3. Étudier du nouveau matériel.

Nous allons maintenant travailler en groupe (rappelez la procédure de travail et les règles de comportement lors du travail en groupe). Votre tâche est de résoudre les équations proposées (des cartes avec la tâche sont distribuées, une affiche est accrochée au tableau).

UN) x+1 + x = 2,5

Xx+1

b) x2 +2x+2 + x2 +2x+3 = 9

X2 +2x+5x2 +2x+6 10

L'enseignant observe l'avancement du travail et choisit une forme de vérification de la première équation :

Oralement ou au tableau selon la réussite du cours.

Vérifions ce que vous avez.

La première équation se réduit à l'équation quadratique x 2 + x -2 = 0.

La solution à laquelle sont les nombres -2 et 1.

Passons maintenant à la résolution de la deuxième équation. Tous les groupes se sont retrouvés avec une équation du quatrième degré que vous ne savez pas résoudre.

Essayons de comprendre avec lui.

Comme la résolution de tout problème, la résolution d’une équation comprend un certain nombre d’étapes :

• Analyse d'équation
• Élaboration d'un plan de solution.
• Mise en œuvre de ce plan.
• Vérification de la solution.
• Analyse de la méthode de solution systématisation de l'expérience.
• - Comment une équation est-elle habituellement analysée ?

Tout d’abord, répondons à la question : avons-nous déjà rencontré des équations de ce type ?

Oui, nous l’avons fait, c’est une équation rationnelle fractionnaire.

Vous pouvez essayer de résoudre cette équation « difficile », ou vous pouvez revenir à

l’équation originale et analysez-la à nouveau.

Pour ça:

• Soulignons quelques éléments de l'équation,
• Établissons leurs propriétés générales,
• Étudions les liens entre les différents éléments de l'équation,
• Utilisons ces informations.

Travaillons 5 minutes en groupes selon ce plan.

La plupart ont identifié l'élément inclus dans les numérateurs et les dénominateurs des fractions de l'équation. Pour simplifier l'équation, remplaçons cette expression par une lettre, par exemple Z :

X2 + 2x = Z

Z +2 + Z +3 = 9

Z +5 Z +6 10

Elle peut être considérée comme une nouvelle équation pour la nouvelle inconnue Z. Dans celle-ci, la variable x n'est pas présente explicitement.

Ils disent qu'une variable a été remplacée.

Un tel remplacement est-il conseillé ? Pour répondre à cette question il suffit de savoir :

Est-il possible de résoudre la nouvelle équation et de trouver les valeurs Z,

Est-il possible d'utiliser Z pour trouver la valeur de la variable x pour l'équation d'origine.

Essayez, en travaillant en groupes, de répondre à la première partie de la question.

L'enseignant observe l'avancement du travail. Ensuite, les résultats de la recherche des valeurs de la variable Z sont vérifiés.

Ainsi, nous avons trouvé les valeurs de la variable Z : Z 1= 0, Z 2 = - 61| onze

Mais nous nous intéressons à toutes les valeurs de la variable x qui satisfont à l'équation d'origine. Trouvons ces valeurs. Le lien entre les racines des équations originales et nouvelles est contenu dans la formule x 2 + 2x = Z. Nous avons déjà trouvé les valeurs de la variable Z. Par conséquent, toute racine de l'équation rationnelle fractionnaire originale est la racine de l'une des équations : x 2 + 2x =Z 1 ou x 2 + 2x =Z 2

Résolvez vous-même ces équations en utilisant les options.

Vérifions les résultats : la première équation a des racines x 1 = 0, x 2 = -2, et la deuxième équation n'a pas de racines.

Il ne reste plus qu'à vérifier les résultats obtenus pour l'équation d'origine et à noter la réponse.

Répondre: x1 =0, x2 = -2.

Nous avons donc résolu l’équation originale avec une nouvelle méthode appelée en introduisant une nouvelle variable.

Créer un algorithme pour résoudre notre équation en introduisant une nouvelle variable.(travail en groupe)

• Sélectionnez l'expression x 2 + 2x ;
• On note cette expression par une lettre x 2 + 2x =Z ;
• Nous effectuons la substitution et obtenons une nouvelle équation ;
• Nous le réduisons à un carré et résolvons ;
• En utilisant les valeurs de la variable Z, on retrouve les valeurs de la variable x ;
• Nous vérifions les résultats obtenus et notons la réponse.

3. Sécurisez le matériel.

Pensez-vous qu'un changement différent des variables aurait pu être effectué ? (Par exemple, x 2 + 2x

2 = Z ou x 2 + 2x +6 = Z.) Quelle forme aura alors la nouvelle équation ? Comment les résoudre ? La première équation du domicile peut-elle être résolue en introduisant une nouvelle variable ? Quelle expression peut être remplacée par une nouvelle variable ? Quelle est l’équation ? Comment le résoudre? Quelles sont les valeurs de la variable Z ? Quelles sont les valeurs de la variable x ?

4. Résumer.

• Qu’avons-nous étudié en classe aujourd’hui ?
• Lequel nouvelle façon as-tu trouvé les solutions des équations ?
• Quelle est la méthode pour introduire une nouvelle variable ?
• Quel est l'algorithme de cette méthode ?
• Cette méthode vous a paru difficile ou peu pratique ?
• Peut-il être appliqué à toutes les équations ?

5.Devoirs.

• Notez et apprenez l'algorithme d'application de la méthode d'introduction d'une nouvelle variable ;
• Résolvez en utilisant cette méthode n° 2.43 (1 ; 2) GIA p.117.

Vous avez découvert la méthode d'introduction d'une nouvelle variable lors de la résolution d'équations rationnelles avec une variable dans le cours d'algèbre de 8e année. L'essence de cette méthode de résolution de systèmes d'équations est la même, mais d'un point de vue technique, nous aborderons certaines fonctionnalités dans les exemples suivants.

Exemple 3. Résoudre un système d'équations

Solution. Introduisons une nouvelle variable. Ensuite, la première équation du système peut être réécrite en une forme plus. sous forme simple: Résolvons cette équation pour la variable t :

Ces deux valeurs satisfont à la condition et sont donc les racines d'une équation rationnelle avec la variable t. Mais cela signifie soit où nous trouvons que x = 2y, soit
Ainsi, en utilisant la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, nous avons réussi à « stratifier » la première équation du système, assez complexe en apparence, en deux équations plus simples :

x = 2 oui ; oui - 2x.

Et après? Et puis chacun des deux reçut équations simples doivent être considérés un par un dans un système avec l'équation x 2 - y 2 = 3, dont nous ne nous sommes pas encore souvenus. Autrement dit, le problème revient à résoudre deux systèmes d’équations :

Nous devons trouver des solutions au premier système, au deuxième système et inclure toutes les paires de valeurs résultantes dans la réponse. Résolvons le premier système d'équations :

Utilisons la méthode de substitution, d'autant plus que tout est prêt ici : remplaçons l'expression 2y au lieu de x dans la deuxième équation du système. On a

Puisque x = 2y, on trouve respectivement x 1 = 2, x 2 = 2. Ainsi, deux solutions du système donné sont obtenues : (2 ; 1) et (-2 ; -1). Résolvons le deuxième système d'équations :

Utilisons à nouveau la méthode de substitution : remplacez l'expression 2x au lieu de y dans la deuxième équation du système. On a

Cette équation n’a pas de racines, ce qui signifie que le système d’équations n’a pas de solution. Ainsi, seules les solutions du premier système doivent être incluses dans la réponse.

Réponse : (2 ; 1) ; (-2;-1).

La méthode d'introduction de nouvelles variables lors de la résolution de systèmes de deux équations à deux variables est utilisée en deux versions. Première option : une nouvelle variable est introduite et utilisée dans une seule équation du système. C'est exactement ce qui s'est passé dans l'exemple 3. Deuxième option : deux nouvelles variables sont introduites et utilisées simultanément dans les deux équations du système. Ce sera le cas dans l'exemple 4.

Exemple 4. Résoudre un système d'équations

2.2.3. Méthode pour introduire une nouvelle variable.

Un outil puissant pour résoudre des équations irrationnelles est la méthode d’introduction d’une nouvelle variable, ou « méthode de substitution ». La méthode est généralement utilisée lorsqu'une certaine expression dépendant d'une quantité inconnue apparaît à plusieurs reprises dans une équation. Ensuite, il est logique de désigner cette expression par une nouvelle lettre et d'essayer de résoudre l'équation d'abord par rapport à l'inconnue introduite, puis de trouver l'inconnue d'origine. Dans un certain nombre de cas, l'introduction réussie de nouvelles inconnues permet parfois d'obtenir une solution plus rapidement et plus facilement ; parfois, il est totalement impossible de résoudre le problème sans remplacement. ,

Exemple 7. Résolvez l'équation.

Solution. En mettant , nous obtenons une équation irrationnelle nettement plus simple. Mettons au carré les deux côtés de l'équation : .

;

;

;

Vérifier les valeurs trouvées en les remplaçant dans l'équation montre qu'il s'agit de la racine de l'équation et qu'il s'agit d'une racine étrangère.

En revenant à la variable d'origine x, nous obtenons l'équation, c'est-à-dire équation quadratique , en résolvant lequel on trouve deux racines : ,. Comme le montre la vérification, les deux racines satisfont à l’équation originale.

Le remplacement est particulièrement utile si une nouvelle qualité est obtenue, par exemple, une équation irrationnelle se transforme en une équation quadratique.

Exemple 8. Résolvez l'équation.

Solution. Réécrivons l'équation comme ceci : .

On voit que si on introduit une nouvelle variable , alors l'équation prend la forme , où , .

Maintenant le problème revient à résoudre l'équation et équations . La première de ces solutions n'a pas, mais à partir de la seconde on obtient , . Comme le montre la vérification, les deux racines satisfont à l’équation originale.

Notons que l'application « irréfléchie » dans l'exemple 8 de la méthode de « séclusion du radical » et de mise au carré conduirait à une équation du quatrième degré dont la solution est, en général, extrêmement tâche difficile.

Exemple 9. Résoudre l'équation .

Introduisons une nouvelle variable

En conséquence, l’équation irrationnelle originale prend la forme d’une équation quadratique

,

d'où, compte tenu de la limitation, on obtient . En résolvant l'équation, nous obtenons la racine. Comme le montre le contrôle, il satisfait à l'équation d'origine.

Parfois, grâce à une substitution, il est possible de réduire une équation irrationnelle à forme rationnelle, comme discuté dans les exemples 8, 9. Dans ce cas, ils disent que cette substitution rationalise l'équation irrationnelle considérée, et ils l'appellent rationalisation. Basée sur l'utilisation de substitutions rationalisantes, cela s'appelle la méthode de rationalisation.

Cette méthode de résolution d'équations irrationnelles n'a pas besoin d'être discutée avec tous les élèves de la leçon, mais elle peut être envisagée dans le cadre de cours de mathématiques au choix ou en club avec des élèves qui manifestent un intérêt accru pour les mathématiques.

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Une équation de la forme ax4 + bx2 + c = 0 est appelée une équation biquadratique. Absolument n'importe quelle équation de ce type peut être résolue en introduisant une nouvelle variable, puis en résolvant l'équation correspondante. Ensuite, la substitution inverse est effectuée et le x requis est trouvé.
Voyons comment appliquer cette méthode pour résoudre des équations rationnelles.

L'équation est donnée : x4 - 4x2 + 4 = 0.
Solution
Pour des solutions équation donnée il faut introduire une nouvelle variable, qui a la forme y =x2. L'égalité suivante est également vraie : x4 = (x2)2 = y2. Nous réécrivons l'équation originale comme suit : y2 - 4y + 4 =0. Il s'agit d'une équation quadratique ordinaire, en résolvant laquelle vous obtiendrez les racines y1 = y2 = 2. Puisque y = x2, la solution de ce problème revient à résoudre une autre équation, à savoir : x2 = 2. On trouve la réponse : +- √2.

Dans cette situation, la méthode d'introduction d'une variable était « adaptée à la situation », c'est-à-dire qu'il était clairement visible quelle expression remplacer par une nouvelle variable, mais cela n'arrive pas toujours. Fondamentalement, une expression qui peut être remplacée n'apparaît que grâce au processus de transformation et de simplification de l'expression originale. Vous pouvez regarder un exemple similaire dans le didacticiel vidéo.

Propriétés de la fonction y = k/x, pour k >0
Dans le didacticiel vidéo, vous vous familiariserez avec les propriétés de base d'une hyperbole, basées sur son modèle géométrique.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - le domaine de définition de la fonction est constitué de tous les nombres sauf 0.
2. Pour x > 0 => y > 0, et pour x< 0 =>oui< 0.

3. Pour k > 0, la fonction décroît sur le rayon ouvert (-∞;0) et sur le rayon ouvert (0; ∞).
4. La fonction y = k/x n'a aucune restriction supérieure ou inférieure.
5. La fonction y = k/x n'a pas de valeurs maximales et minimales.
6. Continu sur l'intervalle (-∞;0) et (0; ∞), subissant une discontinuité en x = 0.