Faktiski formulas (1) un (2) ir īss nosacītās varbūtības ieraksts, kas balstīts uz pazīmju nejaušības tabulu. Atgriezīsimies pie aplūkotā piemēra (1. att.). Pieņemsim, ka mēs uzzinām, ka ģimene plāno iegādāties platekrāna televizoru. Kāda ir iespējamība, ka šī ģimene patiešām iegādāsies šādu televizoru?
Rīsi. 1. Platekrāna TV pirkšanas uzvedība
IN šajā gadījumā mums jāaprēķina nosacītā varbūtība P (pirkums pabeigts | pirkums plānots). Tā kā zinām, ka ģimene plāno pirkt, tad parauga telpu nesastāv no visām 1000 ģimenēm, bet gan tikai tām, kuras plāno iegādāties platekrāna televizoru. No 250 šādām ģimenēm 200 faktiski iegādājās šo televizoru. Tāpēc varbūtību, ka ģimene patiešām iegādāsies platekrāna televizoru, ja tā ir plānojusi to darīt, var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:
P (pirkums pabeigts | pirkums plānots) = ģimeņu skaits, kuras plānoja un iegādājās platekrāna televizoru / ģimeņu skaits, kuras plāno iegādāties platekrāna televizoru = 200 / 250 = 0,8
Formula (2) dod tādu pašu rezultātu:
kur ir pasākums A ir tas, ka ģimene plāno iegādāties platekrāna TV, un pasākums IN- ka viņa to tiešām nopirks. Formulā aizstājot reālus datus, mēs iegūstam:
Lēmumu koks
Attēlā 1 ģimenes ir sadalītas četrās kategorijās: tie, kas plānoja iegādāties platekrāna televizoru, un tie, kuri to nedarīja, kā arī tie, kas iegādājās šādu televizoru, un tie, kas to nedarīja. Līdzīgu klasifikāciju var veikt, izmantojot lēmumu koku (2. att.). Attēlā parādītais koks. 2 ir divas filiāles, kas atbilst ģimenēm, kuras plānoja iegādāties platekrāna televizoru, un ģimenēm, kuras to nedarīja. Katra no šīm filiālēm sadalās divās papildu filiālēs, kas atbilst mājsaimniecībām, kuras iegādājās un neiegādājās platekrāna televizoru. Divu galveno atzaru galos rakstītās varbūtības ir notikumu beznosacījuma varbūtības A Un A'. Četru papildu zaru galos ierakstītās varbūtības ir katras notikumu kombinācijas nosacītās varbūtības A Un IN. Nosacītās varbūtības aprēķina, kopīgo notikumu varbūtību dalot ar katra no tām atbilstošo beznosacījumu varbūtību.
Rīsi. 2. Lēmumu koks
Piemēram, lai aprēķinātu varbūtību, ka ģimene iegādāsies platekrāna televizoru, ja tā ir plānojusi to darīt, ir jānosaka notikuma iespējamība. pirkums plānots un pabeigts, un pēc tam sadaliet to ar notikuma varbūtību plānots pirkums. Pārvietojoties pa lēmumu koku, kas parādīts attēlā. 2, mēs saņemam šādu (līdzīgu iepriekšējai) atbildi:
Statistiskā neatkarība
Platekrāna televizora iegādes piemērā iespējamība, ka nejauši izvēlēta ģimene iegādājās platekrāna televizoru, ņemot vērā to, ka viņi to plānoja, ir 200/250 = 0,8. Atgādiniet, ka beznosacījuma iespējamība, ka nejauši izvēlēta ģimene iegādājās platekrāna televizoru, ir 300/1000 = 0,3. Tas noved pie ļoti svarīga secinājuma. Iepriekšēja informācija, ka ģimene plānoja pirkumu, ietekmē paša pirkuma iespējamību. Citiem vārdiem sakot, šie divi notikumi ir atkarīgi viens no otra. Atšķirībā no šī piemēra ir statistiski neatkarīgi notikumi, kuru varbūtības nav atkarīgas viens no otra. Statistisko neatkarību izsaka identitāte: P(A|B) = P(A), Kur P(A|B)- notikuma varbūtība A ar nosacījumu, ka notikums noticis IN, P(A)- notikuma A beznosacījuma varbūtība.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka notikumi A Un IN P(A|B) = P(A). Ja raksturlielumu nejaušības tabulā, kuras izmērs ir 2 × 2, šis nosacījums ir izpildīts vismaz vienai notikumu kombinācijai A Un IN, tas būs derīgs jebkurai citai kombinācijai. Mūsu piemērā notikumi plānots pirkums Un pirkums pabeigts nav statistiski neatkarīgi, jo informācija par vienu notikumu ietekmē cita notikuma iespējamību.
Apskatīsim piemēru, kas parāda, kā pārbaudīt divu notikumu statistisko neatkarību. Pajautāsim 300 ģimenēm, kuras iegādājās platekrāna televizoru, vai tās ir apmierinātas ar pirkumu (3. att.). Nosakiet, vai apmierinātības pakāpe ar pirkumu un televizora veids ir saistīti.
Rīsi. 3. Platekrāna televizoru pircēju apmierinātības pakāpi raksturojošie dati
Spriežot pēc šiem datiem,
Tajā pašā laikā,
P (klients apmierināts) = 240 / 300 = 0,80
Līdz ar to iespējamība, ka klients ir apmierināts ar pirkumu un ģimene iegādājās HDTV, ir vienāda, un šie notikumi ir statistiski neatkarīgi, jo nav nekādā veidā saistīti.
Varbūtības reizināšanas noteikums
Nosacītās varbūtības aprēķināšanas formula ļauj noteikt kopīga notikuma varbūtību A un B. Atrisinot formulu (1)
attiecībā pret locītavu varbūtību P(A un B), mēs iegūstam vispārīgu noteikumu varbūtību reizināšanai. Notikuma varbūtība A un B vienāds ar notikuma varbūtību A ar nosacījumu, ka notikums notiek IN IN:
(3) P(A un B) = P(A|B) * P(B)
Ņemsim kā piemēru 80 ģimenes, kuras iegādājās platekrāna HDTV televizoru (3. att.). Tabulā redzams, ka 64 ģimenes ir apmierinātas ar pirkumu un 16 nav. Pieņemsim, ka no tām nejauši tiek izvēlētas divas ģimenes. Nosakiet varbūtību, ka abi klienti būs apmierināti. Izmantojot formulu (3), mēs iegūstam:
P(A un B) = P(A|B) * P(B)
kur ir pasākums A ir tas, ka otrā ģimene ir apmierināta ar pirkumu un notikumu IN- ka pirmā ģimene ir apmierināta ar pirkumu. Varbūtība, ka pirmā ģimene ir apmierināta ar pirkumu, ir 64/80. Tomēr iespēja, ka arī otrā ģimene būs apmierināta ar pirkumu, ir atkarīga no pirmās ģimenes reakcijas. Ja pēc aptaujas izlasē neatgriežas pirmā ģimene (atlase bez atgriešanas), respondentu skaits tiek samazināts līdz 79. Ja pirmā ģimene ir apmierināta ar savu pirkumu, varbūtība, ka arī otrā ģimene būs apmierināta, ir 63 /79, jo izlases ģimenēs palikušas tikai 63 ar pirkumu apmierinātas. Tādējādi, aizstājot konkrētus datus formulā (3), mēs iegūstam šādu atbildi:
P(A un B) = (63/79) (64/80) = 0,638.
Līdz ar to iespējamība, ka abas ģimenes ir apmierinātas ar pirkumiem, ir 63,8%.
Pieņemsim, ka pēc aptaujas pirmā ģimene atgriežas izlasē. Nosakiet varbūtību, ka abas ģimenes būs apmierinātas ar pirkumu. Šajā gadījumā varbūtība, ka abas ģimenes ir apmierinātas ar pirkumu, ir vienāda, vienāda ar 64/80. Tāpēc P(A un B) = (64/80) (64/80) = 0,64. Tādējādi iespējamība, ka abas ģimenes ir apmierinātas ar pirkumiem, ir 64,0%. Šis piemērs parāda, ka otrās ģimenes izvēle nav atkarīga no pirmās ģimenes izvēles. Tādējādi, aizstājot nosacīto varbūtību formulā (3) P(A|B) varbūtība P(A), iegūstam formulu neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanai.
Neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas noteikums. Ja notikumi A Un IN ir statistiski neatkarīgi, notikuma varbūtība A un B vienāds ar notikuma varbūtību A, reizināts ar notikuma varbūtību IN.
(4) P(A un B) = P(A)P(B)
Ja šis noteikums attiecas uz notikumiem A Un IN, kas nozīmē, ka tie ir statistiski neatkarīgi. Tādējādi ir divi veidi, kā noteikt divu notikumu statistisko neatkarību:
- Pasākumi A Un IN ir statistiski neatkarīgi viens no otra tad un tikai tad P(A|B) = P(A).
- Pasākumi A Un B ir statistiski neatkarīgi viens no otra tad un tikai tad P(A un B) = P(A)P(B).
Ja raksturlielumu nejaušības tabulā, kuras izmērs ir 2 × 2, viens no šiem nosacījumiem ir izpildīts vismaz vienai notikumu kombinācijai A Un B, tas būs derīgs jebkurai citai kombinācijai.
Elementāra notikuma beznosacījuma varbūtība
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
kur notikumi B 1, B 2, ... B k ir viens otru izslēdzoši un izsmeļoši.
Ilustrēsim šīs formulas pielietojumu, izmantojot 1. att. piemēru. Izmantojot formulu (5), mēs iegūstam:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2) P(B 2)
Kur P(A)- iespējamība, ka pirkums bija plānots, P(B 1)- varbūtība, ka pirkums tiek veikts, P(B 2)- varbūtība, ka pirkums nav pabeigts.
BEISA TEORĒMA
Notikuma nosacītā varbūtība ņem vērā informāciju, ka ir noticis kāds cits notikums. Šo pieeju var izmantot gan, lai precizētu varbūtību, ņemot vērā tikko saņemto informāciju, gan lai aprēķinātu varbūtību, ka novērotā ietekme ir noteikta iemesla sekas. Šo varbūtību precizēšanas procedūru sauc par Beijesa teorēmu. To pirmo reizi izstrādāja Tomass Bejs 18. gadsimtā.
Pieņemsim, ka iepriekš minētā kompānija pēta jauna televizora modeļa tirgu. Agrāk 40% no uzņēmuma radītajiem televizoriem bija veiksmīgi, savukārt 60% modeļu netika atpazīti. Pirms paziņot par jauna modeļa izlaišanu, mārketinga speciālisti rūpīgi izpēta tirgu un reģistrē pieprasījumu. Agrāk 80% veiksmīgo modeļu tika prognozēti kā veiksmīgi, savukārt 30% veiksmīgo prognožu izrādījās kļūdainas. Mārketinga nodaļa jaunajam modelim sniedza labvēlīgu prognozi. Kāda ir iespējamība, ka jauns televizora modelis būs pieprasīts?
Bayes teorēmu var atvasināt no nosacītās varbūtības (1) un (2) definīcijām. Lai aprēķinātu varbūtību P(B|A), izmantojiet formulu (2):
un P(A un B) vietā aizstāj ar vērtību no formulas (3):
P(A un B) = P(A|B) * P(B)
P(A) vietā aizstājot formulu (5), iegūstam Bayes teorēmu:
kur notikumi B 1, B 2, ... B k ir viens otru izslēdzoši un izsmeļoši.
Ieviesīsim šādu apzīmējumu: notikums S - TV ir pieprasīts, notikums S' - TV nav pieprasīts, pasākums F - labvēlīga prognoze, notikums F' - slikta prognoze. Pieņemsim, ka P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Piemērojot Beijesa teorēmu, mēs iegūstam:
Pieprasījuma varbūtība pēc jauna televizora modeļa, ņemot vērā labvēlīgu prognozi, ir 0,64. Tādējādi pieprasījuma trūkuma iespējamība pie labvēlīgas prognozes ir 1–0,64=0,36. Aprēķina process ir parādīts attēlā. 4.
Rīsi. 4. a) aprēķini, izmantojot Beijesa formulu, lai novērtētu televizoru pieprasījuma iespējamību; (b) Lēmumu koks, pētot pieprasījumu pēc jauna TV modeļa
Apskatīsim piemēru, kā izmantot Bayes teorēmu medicīniskajā diagnostikā. Varbūtība, ka cilvēks slimo ar kādu konkrētu slimību, ir 0,03. Medicīniskā pārbaude var pārbaudīt, vai tā ir taisnība. Ja cilvēks patiešām ir slims, precīzas diagnozes (sakot, ka cilvēks slimo tad, kad viņš patiešām ir slims) varbūtība ir 0,9. Ja cilvēks ir vesels, viltus pozitīvas diagnozes (sakot, ka cilvēks ir slims, kad viņš ir vesels) varbūtība ir 0,02. Pieņemsim, ka medicīniskā pārbaude dod pozitīvu rezultātu. Kāda ir varbūtība, ka cilvēks patiešām ir slims? Kāda ir precīzas diagnozes iespējamība?
Ieviesīsim šādu apzīmējumu: notikums D - cilvēks ir slims, pasākums D' - cilvēks ir vesels, pasākums T - diagnoze ir pozitīva, notikums T' - diagnoze negatīva. No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Izmantojot formulu (6), mēs iegūstam:
Varbūtība, ka ar pozitīvu diagnozi cilvēks patiešām ir slims, ir 0,582 (sk. arī 5. att.). Lūdzu, ņemiet vērā, ka Bayes formulas saucējs ir vienāds ar pozitīvas diagnozes varbūtību, t.i. 0,0464.
Varbūtību teorija ir matemātikas nozare, kas pēta nejaušu parādību modeļus: nejaušus notikumus, gadījuma lielumus, to īpašības un darbības ar tiem.
Ilgu laiku varbūtības teorijai nebija skaidras definīcijas. Tas tika formulēts tikai 1929. gadā. Varbūtību teorijas kā zinātnes parādīšanās aizsākās viduslaikos un pirmajiem matemātiskās analīzes mēģinājumiem azartspēles(mest, kauliņi, rulete). 17. gadsimta franču matemātiķi Blēzs Paskāls un Pjērs Fermā, pētot azartspēļu laimestu prognozēšanu, atklāja pirmos varbūtības modeļus, kas rodas, metot kauliņus.
Varbūtību teorija radās kā zinātne no pārliecības, ka masveida nejauši notikumi balstās uz noteiktiem modeļiem. Varbūtību teorija pēta šos modeļus.
Varbūtību teorija nodarbojas ar tādu notikumu izpēti, kuru rašanās nav droši zināma. Tas ļauj spriest par dažu notikumu rašanās varbūtības pakāpi salīdzinājumā ar citiem.
Piemēram: nav iespējams viennozīmīgi noteikt “galvu” vai “astes” rezultātu monētas mešanas rezultātā, bet ar atkārtotu mešanu parādās aptuveni vienāds “galvu” un “astes” skaits, kas nozīmē, ka varbūtība, ka nokritīs “galvas” vai “astes”, ir vienāda ar 50%.
Pārbaudešajā gadījumā tiek saukta noteikta nosacījumu kopuma īstenošana, tas ir, šajā gadījumā par monētas mešanu. Izaicinājumu var izspēlēt neierobežotu skaitu reižu. Šajā gadījumā nosacījumu kopa ietver nejaušības faktorus.
Pārbaudes rezultāts ir notikumu. Pasākums notiek:
- Uzticams (vienmēr notiek testēšanas rezultātā).
- Neiespējami (nekad nenotiek).
- Nejauši (var rasties vai nevar rasties testa rezultātā).
Piemēram, metot monētu, neiespējams notikums - monēta nolaidīsies uz tās malas, nejaušs notikums - "galvu" vai "astes" parādīšanās. Konkrēto testa rezultātu sauc elementārs pasākums. Pārbaudes rezultātā notiek tikai elementāri notikumi. Tiek izsaukta visu iespējamo, atšķirīgo, specifisko testa rezultātu kopa elementāru notikumu telpa.
Teorijas pamatjēdzieni
Varbūtība- notikuma iestāšanās iespējamības pakāpe. Ja kāda iespējama notikuma reāli iestāšanās iemesli ir lielāki par pretējo, tad šo notikumu sauc par iespējamu, pretējā gadījumā – par maz ticamu vai maz ticamu.
Izlases vērtība- tas ir daudzums, kas pārbaudes rezultātā var iegūt vienu vai otru vērtību, un iepriekš nav zināms, kura. Piemēram: skaits uz vienu ugunsdzēsēju depo dienā, trāpījumu skaits ar 10 šāvieniem utt.
Nejaušos mainīgos var iedalīt divās kategorijās.
- Diskrēts nejaušības lielums ir lielums, kas pārbaudes rezultātā ar noteiktu varbūtību var iegūt noteiktas vērtības, veidojot saskaitāmu kopu (kopu, kuras elementus var numurēt). Šis komplekts var būt gan ierobežots, gan bezgalīgs. Piemēram, šāvienu skaits pirms pirmā trāpījuma mērķī ir diskrēts nejaušības lielums, jo šis lielums var iegūt bezgalīgu, kaut arī saskaitāmu vērtību skaitu.
- Nepārtraukts gadījuma mainīgais ir lielums, kas var iegūt jebkuru vērtību no kāda ierobežota vai bezgalīga intervāla. Acīmredzot nepārtraukta gadījuma lieluma iespējamo vērtību skaits ir bezgalīgs.
Varbūtības telpa- koncepciju ieviesa A.N. Kolmogorovs 20. gadsimta 30. gados formalizēt varbūtības jēdzienu, kas izraisīja strauju varbūtības teorijas kā stingras matemātikas disciplīnas attīstību.
Varbūtības telpa ir trīskāršs (dažreiz ietverts leņķiekavās: , kur
Šī ir patvaļīga kopa, kuras elementus sauc par elementāriem notikumiem, rezultātiem vai punktiem;
- apakškopu sigmas algebra, ko sauc par (nejaušiem) notikumiem;
- varbūtības mērs vai varbūtība, t.i. sigma-piedevas ierobežots pasākums tāds, ka .
De Moivre-Laplasa teorēma- viena no varbūtības teorijas robežteorēmām, ko Laplass noteica 1812. gadā. Tajā teikts, ka panākumu skaits, atkārtojot vienu un to pašu nejaušo eksperimentu ar diviem iespējamiem rezultātiem, ir aptuveni normāli sadalīts. Tas ļauj jums atrast aptuvenu varbūtības vērtību.
Ja katram no neatkarīgiem izmēģinājumiem kāda nejauša notikuma iestāšanās varbūtība ir vienāda ar () un ir to izmēģinājumu skaits, kuros tas faktiski notiek, tad varbūtība, ka nevienlīdzība ir patiesa (lielām vērtībām) ir tuvu Laplasa integrāļa vērtība.
Sadalījuma funkcija varbūtību teorijā- funkcija, kas raksturo gadījuma lieluma vai gadījuma vektora sadalījumu; varbūtība, ka gadījuma lieluma X vērtība būs mazāka vai vienāda ar x, kur x ir patvaļīgs reāls skaitlis. Ievērojot zināmi apstākļi pilnībā nosaka nejaušo lielumu.
Paredzamā vērtība- gadījuma lieluma vidējā vērtība (tas ir varbūtības teorijā aplūkotais gadījuma lieluma varbūtības sadalījums). Angļu valodas literatūrā to apzīmē ar , krievu valodā - . Statistikā bieži izmanto apzīmējumu.
Dota varbūtības telpa un tajā definēts gadījuma lielums. Tā pēc definīcijas ir izmērāma funkcija. Tad, ja ir Lēbesga integrālis virs telpas, tad to sauc par matemātisko cerību jeb vidējo vērtību un apzīmē ar .
Gadījuma lieluma dispersija- dotā gadījuma lieluma izplatības mērs, t.i., tā novirze no matemātiskās cerības. Tas ir norādīts krievu un ārvalstu literatūrā. Statistikā bieži tiek lietots apzīmējums vai. Kvadrātsakne dispersiju sauc par standarta novirzi, standarta novirzi vai standarta izkliedi.
Ļaut būt nejaušam mainīgajam, kas definēts kādā varbūtības telpā. Tad
kur simbols apzīmē matemātisko cerību.
Varbūtību teorijā tiek saukti divi nejauši notikumi neatkarīgs, ja viena no tām rašanās nemaina otra rašanās iespējamību. Līdzīgi tiek izsaukti divi nejaušie mainīgie atkarīgi, ja viena no tām vērtība ietekmē otra vērtību varbūtību.
Vienkāršākā likuma forma lieli skaitļi ir Bernulli teorēma, kas nosaka, ka, ja notikuma iespējamība visos izmēģinājumos ir vienāda, tad, palielinoties izmēģinājumu skaitam, notikuma biežums tiecas uz notikuma varbūtību un pārstāj būt nejaušs.
Lielo skaitļu likums varbūtību teorijā nosaka, ka fiksēta sadalījuma ierobežotas izlases vidējais aritmētiskais ir tuvu šī sadalījuma teorētiskajam vidējam. Atkarībā no konverģences veida izšķir lielo skaitļu vājo likumu, kad konverģence notiek pēc varbūtības, un lielo skaitļu stipro likumu, kad konverģence ir gandrīz droša.
Lielo skaitļu likuma vispārīgā nozīme ir tāda, ka liela skaita identisku un neatkarīgu nejaušības faktoru kopīga darbība noved pie rezultāta, kas robežās nav atkarīgs no nejaušības.
Uz šo īpašību ir balstītas metodes varbūtības noteikšanai, pamatojoties uz ierobežotu paraugu analīzi. Spilgts piemērs ir vēlēšanu rezultātu prognoze, kas balstīta uz vēlētāju izlases aptauju.
Centrālo robežu teorēmas- varbūtību teorijas teorēmu klase, kas norāda, ka summa ir pietiekama liels daudzums vāji atkarīgiem gadījuma lielumiem, kuriem ir aptuveni vienādas skalas (neviens termins nedominē vai nedod izšķirošu ieguldījumu summā), sadalījums ir tuvu normālam.
Tā kā daudzi nejaušie mainīgie lietojumos veidojas vairāku vāji atkarīgu nejaušības faktoru ietekmē, to sadalījums tiek uzskatīts par normālu. Šajā gadījumā ir jāizpilda nosacījums, ka neviens no faktoriem nav dominējošs. Centrālās robežu teorēmas šajos gadījumos attaisno normālā sadalījuma izmantošanu.
Ekonomikā, tāpat kā citās cilvēka darbības jomās vai dabā, mums pastāvīgi jāsaskaras ar notikumiem, kurus nevar precīzi paredzēt. Tādējādi preces pārdošanas apjoms ir atkarīgs no pieprasījuma, kas var būtiski atšķirties, un no vairākiem citiem faktoriem, kurus ir gandrīz neiespējami ņemt vērā. Tāpēc, organizējot ražošanu un veicot pārdošanu, šādu darbību iznākums ir jāprognozē, balstoties vai nu uz savu iepriekšējo pieredzi, vai līdzīgu citu cilvēku pieredzi, vai intuīciju, kas lielā mērā balstās arī uz eksperimentāliem datiem.
Lai kaut kā novērtētu attiecīgo notikumu, ir jāņem vērā vai speciāli jāorganizē apstākļi, kādos šis notikums tiek fiksēts.
Tiek saukta noteiktu nosacījumu vai darbību īstenošana, lai identificētu attiecīgo notikumu pieredze vai eksperiments.
Pasākums saucas nejauši, ja pieredzes rezultātā var rasties vai arī nenotikt.
Pasākums saucas uzticams, ja tas noteikti parādās noteiktas pieredzes rezultātā, un neiespējami, ja tas nevar parādīties šajā pieredzē.
Piemēram, sniegputenis Maskavā 30. novembrī ir nejaušs notikums. Ikdienas saullēktu var uzskatīt par uzticamu notikumu. Snigšanu pie ekvatora var uzskatīt par neiespējamu notikumu.
Viens no galvenajiem uzdevumiem varbūtību teorijā ir uzdevums noteikt notikuma iespējamības kvantitatīvu mēru.
Notikumu algebra
Notikumi tiek saukti par nesaderīgiem, ja tos nevar novērot kopā vienā pieredzē. Līdz ar to divu un trīs automašīnu atrašanās vienlaikus vienā pārdošanā esošajā veikalā ir divi nesavienojami notikumi.
Summa notikumi ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem
Notikumu summas piemērs ir vismaz viena no divām precēm klātbūtne veikalā.
Darbs notikumi ir notikums, kas sastāv no visu šo notikumu vienlaicīgas iestāšanās
Notikums, kas sastāv no divu preču parādīšanās veikalā vienlaikus, ir notikumu produkts: - vienas preces parādīšanās, - citas preces parādīšanās.
Notikumi veidojas pilna grupa notikumiem, ja vismaz viens no tiem noteikti notiks pieredzē.
Piemērs. Ostā ir divas piestātnes kuģu uzņemšanai. Var uzskatīt trīs notikumus: - kuģu neierašanos pie piestātnēm, - viena kuģa atrašanos vienā no piestātnēm, - divu kuģu atrašanos divās piestātnēs. Šie trīs notikumi veido pilnīgu notikumu grupu.
Pretēji tiek saukti divi unikāli iespējamie notikumi, kas veido pilnīgu grupu.
Ja vienu no notikumiem, kas ir pretējs, apzīmē ar , tad pretējo notikumu parasti apzīmē ar .
Klasiskās un statistiskās notikuma varbūtības definīcijas
Katrs no vienlīdz iespējamajiem testu (eksperimentu) rezultātiem tiek saukts par elementāru rezultātu. Tos parasti apzīmē ar burtiem. Piemēram, tiek mests kauliņš. Kopumā var būt seši elementāri rezultāti, pamatojoties uz punktu skaitu malās.
No elementāriem rezultātiem varat izveidot sarežģītāku notikumu. Tādējādi pāra punktu skaita notikumu nosaka trīs iznākumi: 2, 4, 6.
Attiecīgā notikuma iestāšanās iespējamības kvantitatīvais mērs ir varbūtība.
Visplašāk izmantotās notikuma varbūtības definīcijas ir: klasika Un statistikas.
Klasiskā varbūtības definīcija ir saistīta ar labvēlīga iznākuma jēdzienu.
Rezultāts tiek saukts labvēlīgs konkrētam notikumam, ja tā iestāšanās ir saistīta ar šī notikuma iestāšanos.
Norādītajā piemērā attiecīgais notikums ir pāra skaitlis punktiem kritušajā pusē ir trīs labvēlīgi rezultāti. Šajā gadījumā ģenerālis
iespējamo rezultātu skaits. Tas nozīmē, ka šeit var izmantot klasisko notikuma varbūtības definīciju.
Klasiskā definīcija ir vienāda ar labvēlīgo iznākumu skaita attiecību pret kopējais skaits iespējamie rezultāti
kur ir notikuma varbūtība, ir notikumam labvēlīgo iznākumu skaits, ir kopējais iespējamo iznākumu skaits.
Aplūkotajā piemērā
Statistiskā varbūtības definīcija ir saistīta ar jēdzienu par notikuma relatīvo rašanās biežumu eksperimentos.
Notikuma relatīvo biežumu aprēķina, izmantojot formulu
kur ir notikuma gadījumu skaits eksperimentu (testu) sērijā.
Statistiskā definīcija. Notikuma varbūtība ir skaitlis, ap kuru relatīvā frekvence stabilizējas (kopas) ar neierobežotu eksperimentu skaita pieaugumu.
Praktiskajās problēmās notikuma varbūtība tiek uzskatīta par relatīvo biežumu pietiekami liels skaits testiem.
No šīm notikuma varbūtības definīcijām ir skaidrs, ka nevienlīdzība vienmēr ir izpildīta
Lai noteiktu notikuma iespējamību, pamatojoties uz formulu (1.1), bieži tiek izmantotas kombinatoriskās formulas, kuras izmanto, lai atrastu labvēlīgo iznākumu skaitu un kopējo iespējamo iznākumu skaitu.
kā ontoloģiska kategorija atspoguļo jebkuras entītijas rašanās iespējas apjomu jebkuros apstākļos. Atšķirībā no šī jēdziena matemātiskās un loģiskās interpretācijas, ontoloģiskā matemātika nesaista sevi ar kvantitatīvās izteiksmes pienākumu. V. nozīme tiek atklāta determinisma un attīstības būtības izpratnes kontekstā kopumā.
Lieliska definīcija
IESPĒJAMĪBA
jēdziens, kas raksturo lielumus. noteikta notikuma iestāšanās iespējamības mērs noteiktā laikā nosacījumiem. Zinātniskajā zināšanas ir trīs interpretācijas V. Klasiskais jēdziens V., kas radās no matemātiskā. azartspēļu analīzē, ko vispilnīgāk izstrādājuši B. Paskāls, Dž. Bernulli un P. Laplass, laimestu uzskata par labvēlīgo gadījumu skaita attiecību pret visu vienādi iespējamo gadījumu kopskaitu. Piemēram, metot kauliņu, kuram ir 6 malas, var sagaidīt, ka katra no tām piezemēsies ar vērtību 1/6, jo nevienai pusei nav priekšrocību pār otru. Šāda eksperimentālo rezultātu simetrija īpaši tiek ņemta vērā, organizējot spēles, bet salīdzinoši reti sastopama objektīvu notikumu izpētē zinātnē un praksē. Klasika V. interpretācija padevās statistikai. V. jēdzieni, kuru pamatā ir faktiskais novērojot noteikta notikuma iestāšanos ilgākā laika periodā. pieredze precīzi noteiktos apstākļos. Prakse apstiprina, ka jo biežāk notikums notiek, jo vairāk grādu objektīva tās rašanās iespējamība vai B. Tāpēc statistiskā. V. interpretācija balstās uz attiecību jēdzienu. frekvenci, ko var noteikt eksperimentāli. V. kā teorētisks jēdziens nekad nesakrīt ar empīriski noteikto biežumu, tomēr daudzskaitlī. Gadījumos tas praktiski maz atšķiras no relatīvā. ilguma rezultātā konstatētā biežums. novērojumiem. Daudzi statistiķi uzskata V. par “dubulto” atsauci. frekvences, malas nosaka statistiski. novērojumu rezultātu izpēte
vai eksperimentiem. Mazāk reāla bija V. definīcija, kas attiecas uz ierobežojumu. masu pasākumu vai grupu biežums, ko ierosinājis R. Mises. Kā tālākai attīstībai Frekvences pieeja V. izvirza dispozicionālu jeb propozitīvu V. interpretāciju (K. Popers, J. Hakings, M. Bunge, T. Settle). Saskaņā ar šo interpretāciju V. raksturo nosacījumu ģenerēšanas īpašību, piemēram. eksperiments. instalācijas, lai iegūtu masīvu nejaušu notikumu secību. Tieši šī attieksme rada fizisko dispozīcijas jeb predispozīcijas, V. ko var pārbaudīt, izmantojot radiniekus. biežums
Statistikas Zinātniskajos pētījumos dominē V. interpretācija. izziņa, jo tā atspoguļo specifisku. nejauša rakstura masu parādībām raksturīgo modeļu raksturs. Daudzās fiziskajās, bioloģiskajās, ekonomiskajās, demogrāfiskajās. un citiem sociālajiem procesiem, ir jāņem vērā daudzu nejaušu faktoru darbība, kam raksturīga stabila frekvence. Šo stabilo frekvenču un daudzumu identificēšana. tā novērtējums ar V. palīdzību ļauj atklāt nepieciešamību, kas iziet cauri daudzu negadījumu kumulatīvai iedarbībai. Šeit izpaužas dialektika, kas pārveido nejaušību par nepieciešamību (sk. F. Engelss grāmatā: K. Markss un F. Engelss, Works, 20. sēj., 535.–36. lpp.).
Loģiska jeb induktīva spriešana raksturo attiecības starp premisām un nedemonstratīvā un jo īpaši induktīvā spriešanas secinājumu. Atšķirībā no dedukcijas, indukcijas premisas negarantē secinājuma patiesumu, bet tikai padara to vairāk vai mazāk ticamu. Šo ticamību ar precīzi formulētām premisām dažkārt var novērtēt, izmantojot V. Šī V vērtību visbiežāk nosaka salīdzināšana. jēdzieni (vairāk nekā, mazāks vai vienāds ar), un dažreiz arī skaitliskā veidā. Loģiski interpretācija bieži tiek izmantota, lai analizētu induktīvo spriešanu un konstruētu dažādas varbūtības loģikas sistēmas (R. Carnap, R. Jeffrey). Semantikā loģiskie jēdzieni V. bieži definē kā pakāpi, kādā vienu apgalvojumu apstiprina citi (piemēram, hipotēze ar tās empīriskajiem datiem).
Saistībā ar lēmumu pieņemšanas un spēļu teoriju attīstību, t.s personalistiskā V interpretācija. Lai gan V. vienlaikus izsaka subjekta ticības pakāpi un noteikta notikuma iestāšanos, V. paši ir jāizvēlas tā, lai tiktu izpildītas V. aprēķina aksiomas. Tāpēc V. ar šādu interpretāciju izsaka ne tik daudz subjektīvās, bet gan saprātīgas ticības pakāpi. Līdz ar to lēmumi, kas pieņemti, pamatojoties uz šādu V., būs racionāli, jo tajos nav ņemti vērā psiholoģiskie faktori. subjekta īpašības un tieksmes.
Ar epistemoloģisko t.zr. atšķirība starp statistisko, loģisko. un personiskā V. interpretācija ir tāda, ka, ja pirmais raksturo nejauša rakstura masu parādību objektīvās īpašības un attiecības, tad pēdējie divi analizē subjektīvās, izziņas iezīmes. cilvēku darbības nenoteiktības apstākļos.
IESPĒJAMĪBA
viens no svarīgākajiem jēdzieniem zinātne, raksturojot īpašu sistēmisku pasaules redzējumu, tās uzbūvi, evolūciju un zināšanām. Varbūtības pasaules skatījuma specifika atklājas caur iekļaušanu skaitā pamatjēdzieni nejaušības, neatkarības un hierarhijas jēdzienu esamība (līmeņu idejas sistēmu struktūrā un noteikšanā).
Idejas par varbūtību radās senatnē un bija saistītas ar mūsu zināšanu īpašībām, savukārt tika atzīta varbūtības zināšanu esamība, kas atšķīrās no uzticamām zināšanām un no viltus zināšanām. Varbūtības idejas ietekme uz zinātnisko domāšanu un zināšanu attīstību ir tieši saistīta ar varbūtības teorijas kā matemātikas disciplīnas attīstību. Matemātiskās varbūtības doktrīnas pirmsākumi meklējami 17. gadsimtā, kad tika izstrādāts jēdzienu kodols, kas ļauj. kvantitatīvie (skaitliskie) raksturlielumi un varbūtības idejas izteikšana.
2. pusē notiek intensīva varbūtības pielietošana izziņas attīstībai. 19 - 1 stāvs 20. gadsimts Varbūtība ir iekļuvusi tādu dabas fundamentālo zinātņu struktūrās kā klasiskā statistiskā fizika, ģenētika, kvantu teorija un kibernētika (informācijas teorija). Attiecīgi varbūtība personificē to zinātnes attīstības posmu, kas tagad tiek definēts kā neklasiskā zinātne. Lai atklātu varbūtības domāšanas veida novitāti un iezīmes, ir jābalstās uz varbūtības teorijas priekšmeta analīzi un tās daudzo pielietojumu pamatiem. Varbūtības teorija parasti tiek definēta kā matemātiska disciplīna, kas pēta masu nejaušu parādību modeļus noteiktos apstākļos. Nejaušība nozīmē, ka masveida rakstura ietvaros katras elementārās parādības esamība nav atkarīga no citu parādību esamības un to nenosaka. Tajā pašā laikā pašam parādību masveida raksturam ir stabila struktūra un tajā ir noteiktas likumsakarības. Masu parādība ir diezgan stingri sadalīta apakšsistēmās, un elementāro parādību relatīvais skaits katrā no apakšsistēmām (relatīvā frekvence) ir ļoti stabils. Šo stabilitāti salīdzina ar varbūtību. Masu parādību kopumā raksturo varbūtības sadalījums, tas ir, norādot apakšsistēmas un tām atbilstošās varbūtības. Varbūtību teorijas valoda ir varbūtības sadalījumu valoda. Attiecīgi varbūtības teorija ir definēta kā abstrakta zinātne par darbību ar sadalījumiem.
Varbūtība radīja zinātnē idejas par statistikas modeļiem un statistikas sistēmām. Pēdējā būtība sistēmas, kas veidotas no neatkarīgām vai kvazineatkarīgām entītijām, to struktūru raksturo varbūtību sadalījumi. Bet kā ir iespējams izveidot sistēmas no neatkarīgām vienībām? Parasti tiek pieņemts, ka sistēmu veidošanai ar integrāliem raksturlielumiem ir nepieciešams, lai starp to elementiem pastāvētu pietiekami stabili savienojumi, kas cementē sistēmas. Statistikas sistēmu stabilitāti nodrošina ārējo apstākļu, ārējās vides, ārējās un nē klātbūtne iekšējie spēki. Pati varbūtības definīcija vienmēr balstās uz sākotnējās masas parādības veidošanās nosacījumu noteikšanu. Vēl viena svarīga ideja, kas raksturo varbūtības paradigmu, ir hierarhijas (pakārtotības) ideja. Šī ideja izsaka attiecības starp atsevišķu elementu īpašībām un sistēmu integrālajiem raksturlielumiem: pēdējie it kā tiek uzcelti uz pirmo.
Varbūtības metožu nozīme izziņā slēpjas apstāklī, ka tās ļauj pētīt un teorētiski izteikt objektu un sistēmu struktūras un uzvedības modeļus, kuriem ir hierarhiska, “divu līmeņu” struktūra.
Varbūtības rakstura analīze balstās uz tās biežumu, statistisko interpretāciju. Tajā pašā laikā ļoti ilgu laiku Zinātnē dominēja tāda varbūtības izpratne, ko sauca par loģisko jeb induktīvo varbūtību. Loģisko varbūtību interesē jautājumi par atsevišķa, individuāla sprieduma spēkā esamību noteiktos apstākļos. Vai ir iespējams kvantitatīvā veidā novērtēt induktīvā secinājuma (hipotētiskā slēdziena) apstiprinājuma (uzticamības, patiesuma) pakāpi? Izstrādājot varbūtību teoriju, šādi jautājumi tika atkārtoti apspriesti, un viņi sāka runāt par hipotētisku secinājumu apstiprinājuma pakāpēm. Šo varbūtības mēru nosaka pieejamais šī persona informāciju, viņa pieredzi, uzskatus par pasauli un psiholoģisko domāšanu. Visā līdzīgi gadījumi varbūtības lielums nav pakļauts stingriem mērījumiem un praktiski neietilpst varbūtības teorijas kā konsekventas matemātikas disciplīnas kompetencē.
Objektīva, bieži sastopama varbūtības interpretācija zinātnē tika izveidota ar ievērojamām grūtībām. Sākotnēji izpratni par varbūtības būtību ietekmēja spēcīga ietekme tos filozofiskos un metodiskos uzskatus, kas bija raksturīgi klasiskajai zinātnei. Vēsturiski varbūtības metožu attīstība fizikā notika mehānikas ideju noteicošā ietekmē: statistikas sistēmas tika interpretētas vienkārši kā mehāniskas. Tā kā attiecīgās problēmas netika atrisinātas ar stingrām mehānikas metodēm, radās apgalvojumi, ka pievēršanās varbūtības metodēm un statistikas likumiem ir mūsu zināšanu nepilnības rezultāts. Klasiskās statistiskās fizikas attīstības vēsturē tika veikti daudzi mēģinājumi to pamatot, pamatojoties uz klasisko mehāniku, taču tie visi cieta neveiksmi. Varbūtības pamatā ir tas, ka tas izsaka noteiktas sistēmu klases, izņemot mehāniskās sistēmas, strukturālās iezīmes: šo sistēmu elementu stāvokli raksturo nestabilitāte un īpašs (ar mehāniku nereducējams) mijiedarbības raksturs.
Varbūtības ienākšana zināšanās noved pie cietā determinisma jēdziena noliegšanas, pie klasiskās zinātnes veidošanās procesā izstrādātā būtības un zināšanu pamatmodeļa noliegšanas. Statistikas teoriju pārstāvētajiem pamatmodeļiem ir atšķirīgs, vairāk vispārējs raksturs: Tie ietver idejas par nejaušību un neatkarību. Varbūtības ideja ir saistīta ar objektu un sistēmu iekšējās dinamikas atklāšanu, ko nevar pilnībā noteikt ārējie apstākļi un apstākļi.
Varbūtības pasaules redzējuma koncepcija, kuras pamatā ir neatkarības ideju absolutizēšana (kā pirms stingras noteikšanas paradigmas), tagad ir atklājusi savus ierobežojumus, kas visspēcīgāk ietekmē pāreju. mūsdienu zinātne uz analītiskām metodēm sarežģītu sistēmu un pašorganizācijas parādību fizisko un matemātisko pamatu izpētei.
Lieliska definīcija
Nepilnīga definīcija ↓
Varbūtība notikums ir noteiktam notikumam labvēlīgo elementāro iznākumu skaita attiecība pret visu vienādi iespējamo pieredzes iznākumu skaitu, kurā šis notikums var parādīties. Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A) (šeit P ir pirmais burts Franču vārds varbūtība – varbūtība). Saskaņā ar definīciju
(1.2.1)
kur ir notikumam A labvēlīgo elementāro iznākumu skaits; - visu vienādi iespējamo eksperimenta elementāro iznākumu skaits, veidojot pilnīgu notikumu grupu.
Šo varbūtības definīciju sauc par klasisko. Tas radās tālāk sākuma stadija varbūtību teorijas attīstība.
Notikuma varbūtībai ir šādas īpašības:
1. Uzticama notikuma varbūtība ir vienāda ar vienu. Uzticamu notikumu apzīmēsim ar burtu . Tāpēc noteiktam pasākumam
(1.2.2)
2. Neiespējama notikuma varbūtība ir nulle. Apzīmēsim neiespējamu notikumu ar burtu . Par neiespējamu notikumu, tāpēc
(1.2.3)
3. Nejauša notikuma varbūtību izsaka kā pozitīvu skaitli, kas mazāks par vienu. Tā kā nejaušam notikumam nevienlīdzības , vai , ir izpildītas, tad
(1.2.4)
4. Jebkura notikuma varbūtība apmierina nevienlīdzības
(1.2.5)
Tas izriet no attiecībām (1.2.2) - (1.2.4).
1. piemērs. Urnā ir 10 vienāda izmēra un svara bumbiņas, no kurām 4 ir sarkanas un 6 zilas. No urnas tiek izvilkta viena bumbiņa. Kāda ir varbūtība, ka izvilktā bumbiņa būs zila?
Risinājums. Notikumu “izvilktā bumbiņa izrādījās zila” apzīmējam ar burtu A. Šim testam ir 10 vienlīdz iespējami elementārie iznākumi, no kuriem 6 ir labvēlīgi notikumam A. Saskaņā ar formulu (1.2.1.) iegūstam 
2. piemērs. Visi naturālie skaitļi no 1 līdz 30 tiek uzrakstīti uz identiskām kartītēm un ievietoti urnā. Pēc kārtīgas kāršu sajaukšanas no urnas tiek izņemta viena kārts. Kāda ir varbūtība, ka paņemtajā kartē esošais skaitlis ir reizināts ar 5?
Risinājums. Ar A apzīmēsim notikumu "numurs uz paņemtās kartes ir reizināts ar 5". Šajā testā ir 30 vienādi iespējamie elementārie iznākumi, no kuriem notikumam A labvēlīgi ir 6 rezultāti (skaitļi 5, 10, 15, 20, 25, 30). Tāpēc 
3. piemērs. Tiek izmesti divi kauliņi un tiek aprēķināta punktu summa uz augšējiem kauliņiem. Atrodiet notikuma B iespējamību, lai kauliņu augšējām malām kopā būtu 9 punkti.
Risinājums.Šajā testā ir tikai 6 2 = 36 vienlīdz iespējami elementārie rezultāti. Notikumam B labvēlīgi ir 4 iznākumi: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), tāpēc 
4. piemērs. Atlasīts nejauši dabiskais skaitlis, nepārsniedzot 10. Kāda ir varbūtība, ka šis skaitlis ir pirmskaitlis?
Risinājums. Ar burtu C apzīmēsim notikumu “izvēlētais skaitlis ir pirmskaitlis”. Šajā gadījumā n = 10, m = 4 ( pirmskaitļi 2, 3, 5, 7). Tāpēc nepieciešamā varbūtība 
5. piemērs. Tiek mētātas divas simetriskas monētas. Kāda ir varbūtība, ka abu monētu augšējās pusēs ir cipari?
Risinājums. Ar burtu D apzīmēsim notikumu “katras monētas augšējā pusē ir cipars”. Šajā testā ir 4 vienlīdz iespējami elementārie rezultāti: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Apzīmējums (G, C) nozīmē, ka pirmajai monētai ir ģerbonis, otrajai ir numurs). Notikumam D par labu viens elementārs iznākums (C, C). Tā kā m = 1, n = 4, tad 
6. piemērs. Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlētam divciparu skaitlim ir vienādi cipari?
Risinājums. Divciparu skaitļi ir skaitļi no 10 līdz 99; Kopumā ir 90 šādi skaitļi. Tie paši skaitļi tajos ir 9 cipari (šie skaitļi ir 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Tā kā šajā gadījumā m = 9, n = 90, tad 
,
kur A ir notikums “skaitlis ar identiskiem cipariem”.
7. piemērs. No vārda burtiem diferenciālis Viens burts tiek izvēlēts nejauši. Kāda ir varbūtība, ka šis burts būs: a) patskanis, b) līdzskaņs, c) burts h?
Risinājums. Vārdam diferenciālis ir 12 burti, no kuriem 5 ir patskaņi un 7 līdzskaņi. Vēstules hšajā vārdā nav neviena. Apzīmēsim notikumus: A - "patskaņa burts", B - "līdzskaņa burts", C - "burts" h". Labvēlīgo elementāro iznākumu skaits: - notikumam A, - notikumam B, - notikumam C. Tā kā n = 12, tad
, Un .
8. piemērs. Tiek izmesti divi kauliņi un tiek atzīmēts punktu skaits katra kauliņa augšpusē. Atrodiet varbūtību, ka abiem kauliņiem ir vienāds punktu skaits.
Risinājums. Apzīmēsim šo notikumu ar burtu A. Notikumam A labvēlīgi ir 6 elementārie iznākumi: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Kopējais vienlīdz iespējamo elementāro iznākumu skaits, kas veido pilnīgu notikumu grupu, šajā gadījumā n=6 2 =36. Tas nozīmē, ka nepieciešamā varbūtība 
9. piemērs. Grāmatā ir 300 lappuses. Kāda ir iespējamība, ka nejauši atvērtai lapai būs sērijas numurs, kas dalās ar 5?
Risinājums. No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka visi vienlīdz iespējamie elementārie iznākumi, kas veido pilnīgu notikumu grupu, būs n = 300. No tiem m = 60 ir labvēlīgi norādītā notikuma iestāšanos. Patiešām, skaitlim, kas ir reizināts ar 5, ir forma 5k, kur k ir naturāls skaitlis un no kurienes 
. Tāpēc 
, kur A — notikumam “lapa” ir kārtas numurs, kas ir 5 reizināts.
10. piemērs. Tiek izmesti divi kauliņi un tiek aprēķināta punktu summa uz augšējiem kauliņiem. Kas ir ticamāks – kopā iegūt 7 vai 8?
Risinājums. Apzīmēsim notikumus: A - “Ieripoti 7 punkti”, B – “Ieti 8 punkti”. Notikumam A dod priekšroku 6 elementārie iznākumi: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), un notikumam B ir priekšroka. pa 5 rezultātiem: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Visi vienādi iespējamie elementārie rezultāti ir n = 6 2 = 36. Tātad, Un .
Tātad, P(A)>P(B), tas ir, 7 punktu iegūšana ir daudz ticamāks notikums nekā 8 punktu iegūšana.
Uzdevumi
1. Nejauši tiek izvēlēts naturāls skaitlis, kas nepārsniedz 30. Kāda ir varbūtība, ka šis skaitlis ir reizināts ar 3?
2. Urnā a sarkans un b zilas bumbiņas, identiskas pēc izmēra un svara. Kāda ir varbūtība, ka no šīs urnas nejauši izvilkta bumbiņa būs zila?
3. Nejauši tiek izvēlēts skaitlis, kas nepārsniedz 30. Kāda ir varbūtība, ka šis skaitlis dalās ar 30?
4. Urnā A zils un b sarkanas bumbiņas, identiskas pēc izmēra un svara. No šīs urnas paņem vienu bumbiņu un noliek malā. Šī bumba izrādījās sarkana. Pēc tam no urnas tiek izvilkta vēl viena bumbiņa. Atrodiet varbūtību, ka arī otrā bumbiņa ir sarkana.
5. Nejauši tiek izvēlēts nacionālais skaitlis, kas nepārsniedz 50. Kāda ir varbūtība, ka šis skaitlis ir pirmskaitlis?
6. Tiek izmesti trīs kauliņi un tiek aprēķināta punktu summa uz augšējiem kauliņiem. Kas ir lielāka iespēja – iegūt kopā 9 vai 10 punktus?
7. Tiek izmesti trīs kauliņi un tiek aprēķināta izmesto punktu summa. Kas ir lielāka iespēja – iegūt kopā 11 (pasākums A) vai 12 punktus (notikums B)?
Atbildes
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - varbūtība iegūt 9 punktus kopā; p 2 = 27/216 - varbūtība iegūt 10 punktus kopā; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Jautājumi
1. Kā sauc notikuma varbūtību?
2. Kāda ir ticama notikuma iespējamība?
3. Kāda ir neiespējama notikuma varbūtība?
4. Kādas ir nejauša notikuma varbūtības robežas?
5. Kādas ir jebkura notikuma varbūtības robežas?
6. Kādu varbūtības definīciju sauc par klasisko?