Skalārais produkts vektori

Mēs turpinām nodarboties ar vektoriem. Pirmajā nodarbībā Manekenu vektori Mēs apskatījām vektora jēdzienu, darbības ar vektoriem, vektoru koordinātas un vienkāršākās problēmas ar vektoriem. Ja pirmo reizi nonācāt šajā lapā no meklētājprogrammas, es ļoti iesaku izlasīt iepriekš minēto ievadrakstu, jo, lai apgūtu materiālu, jums ir jāzina manis lietotie termini un apzīmējumi, jābūt pamatzināšanām par vektoriem un spēj atrisināt pamata problēmas. Šī nodarbība ir loģisks tēmas turpinājums, un par to es detalizēti analizēšu tipiskus uzdevumus, kas izmanto vektoru skalāro reizinājumu. Šī ir ĻOTI SVARĪGA darbība.. Centieties neizlaist piemērus; tiem ir noderīgs papildinājums - prakse palīdzēs konsolidēt aplūkoto materiālu un labāk atrisināt izplatītas analītiskās ģeometrijas problēmas.

Vektoru saskaitīšana, vektora reizināšana ar skaitli.... Būtu naivi domāt, ka matemātiķi nav izdomājuši ko citu. Papildus jau apspriestajām darbībām ir vairākas citas darbības ar vektoriem, proti: vektoru punktu reizinājums, vektoru vektorreizinājums Un vektoru jauktais produkts. Vektoru skalārais reizinājums mums ir pazīstams no skolas laikiem, pārējie divi produkti tradicionāli pieder augstākās matemātikas kursam. Tēmas ir vienkāršas, daudzu problēmu risināšanas algoritms ir vienkāršs un saprotams. Vienīgā lieta. Informācijas ir pieklājīgi daudz, tāpēc nav vēlams mēģināt apgūt un atrisināt VISU UZREIZ. Tas jo īpaši attiecas uz manekeniem, ticiet man, autors absolūti nevēlas justies kā Čikatilo no matemātikas. Nu, protams, arī ne no matemātikas =) Sagatavotāki skolēni var selektīvi izmantot materiālus, savā ziņā “dabūt” tev trūkstošās zināšanas es būšu nekaitīgs grāfs Drakula =)

Beidzot atveram durvis un ar entuziasmu vērosim, kas notiek, kad divi vektori satiekas...

Vektoru skalārās reizinājuma definīcija.
Skalārā reizinājuma īpašības. Tipiski uzdevumi

Punktu produkta jēdziens

Vispirms par leņķis starp vektoriem. Es domāju, ka visi intuitīvi saprot, kāds ir leņķis starp vektoriem, bet katram gadījumam nedaudz sīkāk. Apskatīsim brīvos nulles vektorus un . Ja jūs attēlojat šos vektorus no patvaļīga punkta, jūs iegūsit attēlu, ko daudzi jau ir domājuši:

Atzīšos, šeit situāciju aprakstīju tikai izpratnes līmenī. Ja jums ir nepieciešama stingra leņķa definīcija starp vektoriem, lūdzu, skatiet praktiskas problēmas, principā mums tas nav vajadzīgs. Arī ŠEIT UN ŠEIT es vietām ignorēšu nulles vektorus to zemās praktiskās nozīmes dēļ. Es veicu rezervāciju īpaši pieredzējušiem vietnes apmeklētājiem, kuri var man pārmest dažu turpmāko apgalvojumu teorētisko nepilnību.

var ņemt vērtības no 0 līdz 180 grādiem (0 līdz radiāniem), ieskaitot. Analītiski Šis fakts rakstīts kā dubultā nevienlīdzība: vai (radiānos).

Literatūrā leņķa simbols bieži tiek izlaists un vienkārši uzrakstīts.

Definīcija: Divu vektoru skalārā reizinājums ir SKAITS, kas vienāds ar šo vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu:

Tagad šī ir diezgan stingra definīcija.

Mēs koncentrējamies uz būtisku informāciju:

Apzīmējums: skalārais reizinājums tiek apzīmēts ar vai vienkārši.

Operācijas rezultāts ir SKAITS: vektors tiek reizināts ar vektoru, un rezultāts ir skaitlis. Patiešām, ja vektoru garumi ir skaitļi, leņķa kosinuss ir skaitlis, tad to reizinājums arī būs cipars.

Tikai daži iesildīšanās piemēri:

1. piemērs

Risinājums: Mēs izmantojam formulu . IN šajā gadījumā:

Atbilde:

Kosinusa vērtības var atrast trigonometriskā tabula. Iesaku izdrukāt - tas būs vajadzīgs gandrīz visās torņa sekcijās un būs vajadzīgs daudzas reizes.

No tīri matemātiskā viedokļa skalārais reizinājums ir bezdimensijas, tas ir, rezultāts šajā gadījumā ir tikai skaitlis, un tas arī viss. No fizikas uzdevumu viedokļa skalāram reizinājumam vienmēr ir noteikta fiziska nozīme, tas ir, pēc rezultāta ir jānorāda viena vai otra fiziskā vienība. Kanoniskais piemērs par spēka darba aprēķināšanu var atrast jebkurā mācību grāmatā (formula ir tieši skalārais reizinājums). Spēka darbs tiek mērīts džoulos, tāpēc atbilde tiks uzrakstīta diezgan konkrēti, piemēram, .

2. piemērs

Atrodi, ja , un leņķis starp vektoriem ir vienāds ar .

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam, atbilde ir nodarbības beigās.

Leņķis starp vektoriem un punkta produkta vērtību

1. piemērā skalārais reizinājums izrādījās pozitīvs, bet 2. piemērā tas izrādījās negatīvs. Noskaidrosim, no kā ir atkarīga skalārā reizinājuma zīme. Apskatīsim mūsu formulu: . Nenulles vektoru garumi vienmēr ir pozitīvi: , tāpēc zīme var būt atkarīga tikai no kosinusa vērtības.

Piezīme: Lai labāk izprastu tālāk sniegto informāciju, labāk ir izpētīt rokasgrāmatā esošo kosinusa grafiku Funkciju grafiki un īpašības. Skatiet, kā segmentā darbojas kosinuss.

Kā jau minēts, leņķis starp vektoriem var mainīties , un ir iespējami šādi gadījumi:

1) Ja stūrī starp vektoriem pikants: (no 0 līdz 90 grādiem), tad , Un punktu produkts būs pozitīvs līdzrežisors, tad leņķis starp tiem tiek uzskatīts par nulli, un arī skalārais reizinājums būs pozitīvs. Tā kā , formula vienkāršo: .

2) Ja stūrī starp vektoriem strups: (no 90 līdz 180 grādiem), tad un attiecīgi punktu produkts ir negatīvs: . Īpašs gadījums: ja vektori pretējos virzienos, tad tiek ņemts vērā leņķis starp tiem paplašināts: (180 grādi). Arī skalārais reizinājums ir negatīvs, jo

Arī pretējie apgalvojumi ir patiesi:

1) Ja , tad leņķis starp šiem vektoriem ir akūts. Alternatīvi, vektori ir līdzvirziena.

2) Ja , tad leņķis starp šiem vektoriem ir strups. Alternatīvi, vektori ir pretējos virzienos.

Bet trešais gadījums ir īpaši interesants:

3) Ja stūrī starp vektoriem taisni: (90 grādi), tad skalārais reizinājums ir nulle: . Ir arī otrādi: ja , tad . Paziņojumu var kompakti formulēt šādi: Divu vektoru skalārā reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja vektori ir ortogonāli. Īss matemātiskais apzīmējums:

! Piezīme : Atkārtosim matemātiskās loģikas pamati: abpusēju loģisku seku ikonu parasti nolasa "ja un tikai tad", "ja un tikai tad". Kā redzat, bultiņas ir vērstas abos virzienos - "no šī seko tas, un otrādi - no šī seko tas." Starp citu, kāda ir atšķirība no vienvirziena sekošanas ikonas? Ikona norāda tikai to, ka, ka “no tā izriet tas”, un tas nav fakts, ka ir taisnība. Piemēram: , bet ne katrs dzīvnieks ir pantera, tāpēc šajā gadījumā nevar izmantot ikonu. Tajā pašā laikā ikonas vietā Var izmantojiet vienpusēju ikonu. Piemēram, risinot uzdevumu, mēs noskaidrojām, ka secinājām, ka vektori ir ortogonāli: - šāds ieraksts būs pareizs un pat atbilstošāks nekā .

Trešajam gadījumam ir liela praktiska nozīme, jo tas ļauj pārbaudīt, vai vektori ir ortogonāli vai nē. Šo problēmu atrisināsim nodarbības otrajā daļā.

Punktu produkta īpašības

Atgriezīsimies pie situācijas, kad divi vektori līdzrežisors. Šajā gadījumā leņķis starp tiem ir nulle, un skalārā reizinājuma formula ir šāda: .

Kas notiek, ja vektoru reizina ar sevi? Ir skaidrs, ka vektors ir saskaņots ar sevi, tāpēc mēs izmantojam iepriekš minēto vienkāršoto formulu:

Numurs tiek izsaukts skalārais kvadrāts vektors, un tiek apzīmēti kā .

Tādējādi skalārais kvadrāts vektors ir vienāds ar dotā vektora garuma kvadrātu:

No šīs vienādības mēs varam iegūt formulu vektora garuma aprēķināšanai:

Pagaidām tas šķiet neskaidrs, taču nodarbības mērķi visu noliks savās vietās. Lai atrisinātu arī mums nepieciešamās problēmas punktu produkta īpašības.

Patvaļīgiem vektoriem un jebkuram skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) – komutatīvais vai komutatīvais skalārā produkta likums.

2) – izplatīšana vai sadales skalārā produkta likums. Vienkārši varat atvērt kronšteinus.

3) – asociatīvais vai asociatīvs skalārā produkta likums. Konstanti var iegūt no skalārā reizinājuma.

Nereti visdažādākās īpašības (kas arī jāpierāda!) skolēni uztver kā nevajadzīgu miskasti, kas tikai jāiegaumē un uzreiz pēc eksāmena droši jāaizmirst. Šķiet, kas šeit ir svarīgi, visi jau no pirmās klases zina, ka faktoru pārkārtošana produktu nemaina: . Man jābrīdina, ka augstākajā matemātikā ar šādu pieeju ir viegli visu sajaukt. Tātad, piemēram, komutatīvais īpašums nav patiess algebriskās matricas. Tā nav arī taisnība vektoru vektorreizinājums. Tāpēc labāk vismaz iedziļināties jebkurās īpašībās, ar kurām saskaraties augstākās matemātikas kursā, lai saprastu, ko var un ko nevar.

3. piemērs

.

Risinājums: Vispirms noskaidrosim situāciju ar vektoru. Kas tas vispār ir? Vektoru summa ir labi definēts vektors, ko apzīmē ar . Darbību ar vektoriem ģeometriskā interpretācija ir atrodama rakstā Manekenu vektori. Tie paši pētersīļi ar vektoru ir vektoru un .

Tātad, atbilstoši nosacījumam, ir jāatrod skalārais reizinājums. Teorētiski jāpiesakās darba formula , bet problēma ir tā, ka mēs nezinām vektoru garumus un leņķi starp tiem. Bet nosacījums dod līdzīgus parametrus vektoriem, tāpēc mēs izvēlēsimies citu maršrutu:

(1) Aizstāj vektoru izteiksmes.

(2) Atveram iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas noteikumu, rakstā var atrast vulgāru mēles vērpēju Sarežģīti skaitļi vai Frakcionētas-racionālas funkcijas integrēšana. Es neatkārtošos =) Starp citu, skalārā produkta sadales īpašība ļauj mums atvērt iekavas. Mums ir tiesības.

(3) Pirmajā un pēdējā terminā mēs kompakti ierakstām vektoru skalāros kvadrātus: . Otrajā terminā mēs izmantojam skalārā reizinājuma komutējamību: .

(4) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus: .

(5) Pirmajā terminā mēs izmantojam skalārā kvadrāta formulu, kas tika pieminēta ne tik sen. Pēdējā termiņā attiecīgi darbojas tas pats: . Otro terminu izvēršam pēc standarta formulas .

(6) Aizstāt šos nosacījumus , un UZMANĪGI veiciet galīgos aprēķinus.

Atbilde:

Negatīvā nozīme Skalārais reizinājums norāda faktu, ka leņķis starp vektoriem ir neass.

Problēma ir tipiska, šeit ir piemērs, kā to atrisināt pats:

4. piemērs

Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu un, ja tas ir zināms .

Tagad vēl viens izplatīts uzdevums, tikai jaunajai vektora garuma formulai. Apzīmējums šeit nedaudz pārklājas, tāpēc skaidrības labad es to pārrakstīšu ar citu burtu:

5. piemērs

Atrodiet vektora garumu, ja .

Risinājums būs šādi:

(1) Mēs piedāvājam vektora izteiksmi.

(2) Mēs izmantojam garuma formulu: , kamēr visa izteiksme ve darbojas kā vektors “ve”.

(3) Mēs izmantojam skolas formulu summas kvadrātam. Ievērojiet, kā tas šeit darbojas ziņkārīgā veidā: – patiesībā tas ir starpības kvadrāts, un patiesībā tas tā arī ir. Tie, kas vēlas, var pārkārtot vektorus: - notiek tas pats, līdz pat terminu pārkārtošanai.

(4) Sekojošais jau ir pazīstams no divām iepriekšējām problēmām.

Atbilde:

Tā kā mēs runājam par garumu, neaizmirstiet norādīt izmēru - “vienības”.

6. piemērs

Atrodiet vektora garumu, ja .

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Mēs turpinām izspiest noderīgas lietas no punktu produkta. Apskatīsim vēlreiz mūsu formulu . Izmantojot proporcijas likumu, mēs atiestatām vektoru garumus uz kreisās puses saucēju:

Apmainīsim detaļas:

Kāda ir šīs formulas nozīme? Ja ir zināmi divu vektoru garumi un to skalārā reizinājums, tad mēs varam aprēķināt leņķa kosinusu starp šiem vektoriem un līdz ar to arī pašu leņķi.

Vai punktu produkts ir skaitlis? Numurs. Vai vektoru garumi ir skaitļi? Skaitļi. Tas nozīmē, ka daļskaitlis ir arī skaitlis. Un, ja ir zināms leņķa kosinuss: , pēc tam izmantojot apgrieztā funkcija Pašu leņķi ir viegli atrast: .

7. piemērs

Atrodiet leņķi starp vektoriem un, ja ir zināms, ka .

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Aprēķinu pēdējā posmā mēs izmantojām tehniskā tehnika– iracionalitātes novēršana saucējā. Lai novērstu iracionalitāti, es skaitītāju un saucēju reizinu ar .

Tātad ja , Tas:

Apgrieztās vērtības trigonometriskās funkcijas var atrast pēc trigonometriskā tabula. Lai gan tas notiek reti. Analītiskās ģeometrijas uzdevumos daudz biežāk kāds neveikls lācis patīk , un leņķa vērtība ir aptuveni jāatrod, izmantojot kalkulatoru. Patiesībā šādu attēlu mēs redzēsim vairāk nekā vienu reizi.

Atbilde:

Atkal neaizmirstiet norādīt izmērus - radiānus un grādus. Personīgi, lai acīmredzami “atrisinātu visus jautājumus”, es gribētu norādīt abus (ja vien nosacījums, protams, neprasa atbildi uzrādīt tikai radiānos vai tikai grādos).

Tagad jūs varat patstāvīgi tikt galā ar sarežģītāku uzdevumu:

7. piemērs*

Ir doti vektoru garumi un leņķis starp tiem. Atrast leņķi starp vektoriem , .

Uzdevums nav tik daudz grūts, cik daudzpakāpju.
Apskatīsim risinājuma algoritmu:

1) Saskaņā ar nosacījumu jums jāatrod leņķis starp vektoriem un , tāpēc jums ir jāizmanto formula .

2) Atrodiet skalāro reizinājumu (skatiet piemērus Nr. 3, 4).

3) Atrodiet vektora garumu un vektora garumu (skat. Piemērus Nr. 5, 6).

4) Risinājuma beigas sakrīt ar piemēru Nr. 7 - mēs zinām skaitli , kas nozīmē, ka ir viegli atrast pašu leņķi:

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Nodarbības otrā sadaļa ir veltīta tam pašam skalāram reizinājumam. Koordinātas. Tas būs pat vieglāk nekā pirmajā daļā.

vektoru punktu reizinājums,
dots ar koordinātām ortonormālā bāzē

Atbilde:

Lieki piebilst, ka tikt galā ar koordinātām ir daudz patīkamāk.

14. piemērs

Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu un ja

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Šeit var izmantot darbības asociativitāti, tas ir, neskaitīt , bet uzreiz izņemt trīskāršu ārpus skalārā reizinājuma un reizināt ar to pēdējo. Risinājums un atbilde ir stundas beigās.

Sadaļas beigās provokatīvs piemērs vektora garuma aprēķināšanai:

15. piemērs

Atrodiet vektoru garumus , Ja

Risinājums: Iepriekšējās sadaļas metode atkal ierosina sevi: taču ir arī cits veids:

Atradīsim vektoru:

Un tā garums pēc triviālās formulas :

Punktu produkts te vispār nav aktuāls!

Tas arī nav lietderīgi, aprēķinot vektora garumu:
Stop. Vai mums nevajadzētu izmantot vektora garuma acīmredzamo īpašību? Ko jūs varat teikt par vektora garumu? Šis vektors 5 reizes garāks par vektoru. Virziens ir pretējs, bet tam nav nozīmes, jo mēs runājam par garumu. Acīmredzot vektora garums ir vienāds ar reizinājumu modulis skaitļi uz vektora garumu:
– moduļa zīme “apēd” iespējamo skaitļa mīnusu.

Tādējādi:

Atbilde:

Formula leņķa kosinusam starp vektoriem, kas norādīti ar koordinātām

tagad mums ir pilna informācija, lai iepriekš atvasinātā formula leņķa kosinusam starp vektoriem izteikt caur vektora koordinātām:

Leņķa kosinuss starp plaknes vektoriem un , kas norādīti ortonormāli, izteikts ar formulu:
.

Leņķa kosinuss starp telpas vektoriem, kas norādīti ortonormāli, izteikts ar formulu:

16. piemērs

Dotas trīs trijstūra virsotnes. Atrast (virsotnes leņķis).

Risinājums: Saskaņā ar nosacījumiem zīmējums nav nepieciešams, bet tomēr:

Nepieciešamais leņķis ir atzīmēts ar zaļu loku. Uzreiz atcerēsimies skolas apzīmējumu leņķim: - Īpaša uzmanība ieslēgts vidēji burts - šī ir mums nepieciešamā leņķa virsotne. Īsuma labad varat arī uzrakstīt vienkārši .

No zīmējuma ir diezgan skaidrs, ka trijstūra leņķis sakrīt ar leņķi starp vektoriem un, citiem vārdiem sakot: .

Ir ieteicams iemācīties veikt analīzi garīgi.

Atradīsim vektorus:

Aprēķināsim skalāro reizinājumu:

Un vektoru garumi:

Leņķa kosinuss:

Tieši šādu uzdevumu izpildes secību iesaku manekeniem. Pieredzējuši lasītāji var rakstīt aprēķinus “vienā rindā”:

Šeit ir “sliktas” kosinusa vērtības piemērs. Iegūtā vērtība nav galīga, tāpēc nav jēgas atbrīvoties no saucējā iracionalitātes.

Atradīsim pašu leņķi:

Ja paskatās uz zīmējumu, rezultāts ir diezgan ticams. Lai pārbaudītu, leņķi var izmērīt arī ar transportieri. Nesabojājiet monitora vāku =)

Atbilde:

Atbildē mēs to neaizmirstam jautāja par trijstūra leņķi(un ne par leņķi starp vektoriem), neaizmirstiet norādīt precīzu atbildi: un aptuveno leņķa vērtību: , atrasts, izmantojot kalkulatoru.

Tie, kam šis process patika, var aprēķināt leņķus un pārbaudīt kanoniskās vienlīdzības derīgumu

17. piemērs

Trijstūri telpā nosaka tā virsotņu koordinātas. Atrodiet leņķi starp malām un

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās

Īsa pēdējā sadaļa tiks veltīta prognozēm, kas ietver arī skalāro reizinājumu:

Vektora projekcija uz vektoru. Vektora projekcija uz koordinātu asīm.
Vektora virziena kosinusus

Apsveriet vektorus un:

Projektēsim vektoru uz vektoru, lai to izdarītu, no vektora sākuma un beigām mēs izlaižam perpendikulāri uz vektoru (zaļš punktētas līnijas). Iedomājieties, ka gaismas stari krīt perpendikulāri vektoram. Tad segments (sarkanā līnija) būs vektora “ēna”. Šajā gadījumā vektora projekcija uz vektoru ir segmenta GARUMS. Tas ir, PROJEKCIJA IR SKAITS.

Šis SKAITS ir apzīmēts šādi: , “liels vektors” apzīmē vektoru KAS projekts, "mazais apakšindeksa vektors" apzīmē vektoru IESLĒGTS kas tiek prognozēts.

Pats ieraksts skan šādi: “vektora “a” projicēšana uz vektoru “būt”.

Kas notiek, ja vektors "būt" ir "pārāk īss"? Mēs novelkam taisnu līniju, kurā ir vektors “būt”. Un vektors “a” jau tiks projicēts vektora "būt" virzienā, vienkārši - uz taisni, kurā ir vektors “būt”. Tas pats notiks, ja vektoru “a” atliks trīsdesmitajā valstībā - tas joprojām būs viegli projicējams uz taisnes, kurā ir vektors “būt”.

Ja leņķis starp vektoriem pikants(kā attēlā), tad

Ja vektori ortogonāls, tad (projekcija ir punkts, kura izmēri tiek uzskatīti par nulli).

Ja leņķis starp vektoriem strups(attēlā garīgi pārkārtojiet vektora bultiņu), pēc tam (tāds pats garums, bet ņemts ar mīnusa zīmi).

Uzzīmēsim šos vektorus no viena punkta:

Acīmredzot, vektoram kustoties, tā projekcija nemainās

Būs arī pašam risināmas problēmas, uz kurām varēsi redzēt atbildes.

Ja uzdevumā gan vektoru garumi, gan leņķis starp tiem ir parādīti “uz sudraba šķīvja”, tad uzdevuma stāvoklis un tā risinājums izskatās šādi:

1. piemērs. Ir doti vektori. Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu, ja to garumi un leņķis starp tiem ir attēloti ar šādām vērtībām:

Derīga ir arī cita definīcija, kas ir pilnībā līdzvērtīga 1. definīcijai.

2. definīcija. Vektoru skalārais reizinājums ir skaitlis (skalārs), kas vienāds ar viena no šiem vektoriem garuma un cita vektora projekcijas reizinājumu uz asi, ko nosaka pirmais no šiem vektoriem. Formula saskaņā ar 2. definīciju:

Mēs atrisināsim uzdevumu, izmantojot šo formulu pēc nākamā svarīgā teorētiskā punkta.

Vektoru skalārās reizinājuma definīcija koordinātu izteiksmē

To pašu skaitli var iegūt, ja reizinātajiem vektoriem tiek dotas koordinātas.

3. definīcija. Vektoru punktu reizinājums ir skaitlis, kas vienāds ar to atbilstošo koordinātu pāru reizinājumu summu.

Uz virsmas

Ja divi vektori un plaknē ir definēti ar to diviem Dekarta taisnstūra koordinātas

tad šo vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar to atbilstošo koordinātu pāru reizinājumu summu:

.

2. piemērs. Atrodiet vektora projekcijas skaitlisko vērtību uz vektoram paralēlo asi.

Risinājums. Mēs atrodam vektoru skalāro reizinājumu, pievienojot to koordinātu pāru reizinājumus:

Tagad mums ir jāpielīdzina iegūtais skalārais reizinājums vektora garuma un vektora projekcijas reizinājumam uz asi, kas ir paralēla vektoram (saskaņā ar formulu).

Atrodiet vektora garumu kā Kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas:

.

Mēs izveidojam vienādojumu un atrisinām to:

Atbilde. Nepieciešamā skaitliskā vērtība ir mīnus 8.

Kosmosā

Ja divi vektori un telpā ir definēti ar to trim Dekarta taisnstūra koordinātām

,

tad arī šo vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar to atbilstošo koordinātu pāru reizinājumu summu, tikai jau ir trīs koordinātes:

.

Uzdevums atrast skalāro reizinājumu, izmantojot aplūkoto metodi, ir pēc skalārā reizinājuma īpašību analīzes. Jo uzdevumā jums būs jānosaka, kādu leņķi veido reizinātie vektori.

Vektoru skalārās reizinājuma īpašības

Algebriskās īpašības

1. (komutatīvais īpašums: apgriežot reizināto vektoru vietas, nemainās to skalārā reizinājuma vērtība).

2. (asociatīvā īpašība attiecībā uz skaitlisko faktoru: vektora skalārā reizinājums, kas reizināts ar noteiktu koeficientu un citu vektoru, ir vienāds ar šo vektoru skalāro reizinājumu ar to pašu koeficientu).

3. (sadales īpašība attiecībā pret vektoru summu: divu vektoru summas skalārā reizinājums ar trešo vektoru ir vienāds ar pirmā vektora skalāro reizinājumu ar trešo vektoru un otrā vektora skalāro reizinājumu ar trešo vektoru).

4. (vektora skalārais kvadrāts, kas lielāks par nulli), ja ir nulles vektors, un , ja ir nulles vektors.

Ģeometriskās īpašības

Pētāmās darbības definīcijās mēs jau esam pieskārušies leņķa jēdzienam starp diviem vektoriem. Ir pienācis laiks precizēt šo jēdzienu.

Augšējā attēlā var redzēt divus vektorus, kas ir samazināti līdz vispārējs sākums. Un pirmā lieta, kam jāpievērš uzmanība, ir tas, ka starp šiem vektoriem ir divi leņķi - φ 1 Un φ 2 . Kurš no šiem leņķiem parādās vektoru skalārās reizinājuma definīcijās un īpašībās? Aplūkoto leņķu summa ir 2 π un tāpēc šo leņķu kosinusi ir vienādi. Punktu reizinājuma definīcija ietver tikai leņķa kosinusu, nevis tā izteiksmes vērtību. Bet īpašības ņem vērā tikai vienu leņķi. Un tas ir viens no diviem leņķiem, kas nepārsniedz π , tas ir, 180 grādi. Attēlā šis leņķis ir norādīts kā φ 1 .

1. Tiek izsaukti divi vektori ortogonāls Un leņķis starp šiem vektoriem ir taisns (90 grādi vai π /2), ja šo vektoru skalārā reizinājums ir nulle :

.

Ortogonalitāte vektoru algebrā ir divu vektoru perpendikularitāte.

2. Izveidojas divi vektori, kas atšķiras no nulles ass stūris (no 0 līdz 90 grādiem vai, kas ir vienāds - mazāk π punktu produkts ir pozitīvs .

3. Izveidojas divi vektori, kas atšķiras no nulles strups leņķis (no 90 līdz 180 grādiem vai, kas ir tas pats - vairāk π /2) tad un tikai tad, ja tie punktu produkts ir negatīvs .

3. piemērs. Koordinātas nosaka vektori:

.

Aprēķiniet visu doto vektoru pāru skalāros reizinājumus. Kādu leņķi (akūtu, labo, strupu) veido šie vektoru pāri?

Risinājums. Mēs aprēķināsim, saskaitot atbilstošo koordinātu reizinājumus.

Mēs saņēmām negatīvu skaitli, tāpēc vektori veido neasu leņķi.

Mēs saņēmām pozitīvu skaitli, tāpēc vektori veido akūtu leņķi.

Mēs saņēmām nulli, tāpēc vektori veido taisnu leņķi.

Mēs saņēmām pozitīvu skaitli, tāpēc vektori veido akūtu leņķi.

.

Mēs saņēmām pozitīvu skaitli, tāpēc vektori veido akūtu leņķi.

Pašpārbaudei varat izmantot tiešsaistes kalkulators Vektoru punktu reizinājums un leņķa kosinuss starp tiem .

4. piemērs.Ņemot vērā divu vektoru garumus un leņķi starp tiem:

.

Nosakiet, pie kādas skaitļa vērtības vektori un ir ortogonāli (perpendikulāri).

Risinājums. Reizināsim vektorus, izmantojot polinomu reizināšanas noteikumu:

Tagad aprēķināsim katru terminu:

.

Izveidosim vienādojumu (reizinājums ir vienāds ar nulli), pievienosim līdzīgus terminus un atrisināsim vienādojumu:

Atbilde: mēs saņēmām vērtību λ = 1,8, pie kura vektori ir ortogonāli.

5. piemērs. Pierādīt, ka vektors ortogonāli (perpendikulāri) vektoram

Risinājums. Lai pārbaudītu ortogonalitāti, mēs reizinām vektorus un kā polinomus, tā vietā aizstājot problēmas formulējumā norādīto izteiksmi:

.

Lai to izdarītu, jums jāreizina katrs pirmā polinoma termins (termiņš) ar katru otrā polinoma vārdu un jāpievieno iegūtie produkti:

.

Rezultātā frakcija tiek samazināta par. Tiek iegūts šāds rezultāts:

Secinājums: reizināšanas rezultātā saņēmām nulli, līdz ar to ir pierādīta vektoru ortogonalitāte (perpendikularitāte).

Atrisiniet problēmu pats un tad skatiet risinājumu

6. piemērs. Ir doti vektoru un garumi, un leņķis starp šiem vektoriem ir π /4 . Nosakiet, kādā vērtībā μ vektori un ir savstarpēji perpendikulāri.

Pašpārbaudei varat izmantot tiešsaistes kalkulators Vektoru punktu reizinājums un leņķa kosinuss starp tiem .

Matricas attēlojums vektoru punktveida reizinājumam un n-dimensiju vektoru reizinājumam

Dažreiz skaidrības labad ir izdevīgi attēlot divus reizinātus vektorus matricu veidā. Tad pirmais vektors tiek attēlots kā rindu matrica, bet otrais - kā kolonnu matrica:

Tad vektoru skalārais reizinājums būs šo matricu reizinājums :

Rezultāts ir tāds pats kā tas, kas iegūts ar metodi, kuru mēs jau aplūkojām. Mēs saņēmām vienu skaitli, un rindu matricas reizinājums ar kolonnu matricu ir arī viens skaitlis.

IN matricas forma Ir ērti attēlot abstraktu n-dimensiju vektoru reizinājumu. Tādējādi divu četrdimensiju vektoru reizinājums būs rindu matricas ar četriem elementiem reizinājums ar kolonnu matricu arī ar četriem elementiem, divu piecdimensiju vektoru reizinājums būs rindu matricas ar pieciem elementiem reizinājums kolonnu matrica arī ar pieciem elementiem utt.

7. piemērs. Atrodiet vektoru pāru skalāros reizinājumus

,

izmantojot matricas attēlojumu.

Risinājums. Pirmais vektoru pāris. Pirmo vektoru mēs attēlojam kā rindu matricu, bet otro - kā kolonnu matricu. Mēs atrodam šo vektoru skalāro reizinājumu kā rindu matricas un kolonnas matricas reizinājumu:

Mēs līdzīgi pārstāvam otro pāri un atrodam:

Kā redzat, rezultāti bija tādi paši kā tiem pašiem pāriem no 2. piemēra.

Leņķis starp diviem vektoriem

Formulas atvasinājums leņķa kosinusam starp diviem vektoriem ir ļoti skaists un kodolīgs.

Izteikt vektoru punktu reizinājumu

(1)

koordinātu formā vispirms atrodam vienību vektoru skalāro reizinājumu. Vektora skalārais reizinājums ar sevi pēc definīcijas:

Iepriekš minētajā formulā rakstītais nozīmē: vektora skalārais reizinājums ar sevi ir vienāds ar tā garuma kvadrātu. Nulles kosinuss ir vienāds ar vienu, tāpēc katras vienības kvadrāts būs vienāds ar vienu:

Tā kā vektori

ir pa pāriem perpendikulāri, tad vienību vektoru pāru produkti būs vienādi ar nulli:

Tagad veiksim vektoru polinomu reizināšanu:

Vienādības labajā pusē mēs aizstājam vienību vektoru atbilstošo skalāro reizinājumu vērtības:

Mēs iegūstam formulu leņķa kosinusam starp diviem vektoriem:

8. piemērs. Tiek doti trīs punkti A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Atrodiet leņķi.

Risinājums. Atrodiet vektoru koordinātas:

,

.

Izmantojot kosinusa leņķa formulu, mēs iegūstam:

Līdz ar to,.

Pašpārbaudei varat izmantot tiešsaistes kalkulators Vektoru punktu reizinājums un leņķa kosinuss starp tiem .

9. piemērs. Ir doti divi vektori

Atrodiet summu, starpību, garumu, punktu reizinājumu un leņķi starp tiem.

I. Skalārais reizinājums pazūd tad un tikai tad, ja vismaz viens no vektoriem ir nulle vai ja vektori ir perpendikulāri. Patiesībā, ja vai , vai tad .

Un otrādi, ja reizinātie vektori nav nulle, tad tāpēc, ka no nosacījuma

kad seko:

Tā kā nulles vektora virziens ir nenoteikts, nulles vektoru var uzskatīt par perpendikulāru jebkuram vektoram. Tāpēc norādīto skalārā reizinājuma īpašību var formulēt īsāk: skalārais reizinājums pazūd tad un tikai tad, ja vektori ir perpendikulāri.

II. Skalārajam reizinājumam ir komutatīva īpašība:

Šis īpašums izriet tieši no definīcijas:

jo vienam un tam pašam leņķim ir dažādi apzīmējumi.

III. Sadales likums ir ārkārtīgi svarīgs. Tā pielietojums ir tikpat liels kā parastajā aritmētikā vai algebrā, kur to formulē šādi: lai reizinātu summu, jāreizina katrs termins un jāsaskaita iegūtie reizinājumi, t.i.

Acīmredzot, reizināšana daudzciparu skaitļi aritmētikā vai polinomos algebrā balstās uz šo reizināšanas īpašību.

Šim likumam ir tāda pati pamatnozīme vektoru algebrā, jo, pamatojoties uz to, mēs varam piemērot parasto noteikumu polinomu reizināšanai vektoriem.

Pierādīsim, ka jebkuriem trim vektoriem A, B, C ir patiesa šāda vienādība:

Saskaņā ar otro skalārā reizinājuma definīciju, kas izteikta ar formulu, mēs iegūstam:

Tagad, piemērojot 2 projekciju īpašību no 5. §, mēs atrodam:

Q.E.D.

IV. Skalārajam reizinājumam ir kombinējamības īpašība attiecībā pret skaitlisko faktoru; šo īpašību izsaka ar šādu formulu:

tas ir, lai reizinātu vektoru skalāro reizinājumu ar skaitli, pietiek ar šo skaitli reizināt vienu no faktoriem.