Atvasinātās formulas atvasināšana jaudas funkcija(x pakāpē a). Tiek ņemti vērā atvasinājumi no x saknēm. Formula augstākas kārtas jaudas funkcijas atvasinājumam. Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri.
X atvasinājums no a pakāpes ir vienāds ar x reizinājumu ar pakāpju mīnus viens:
(1)
.
x n-tās saknes atvasinājums no m-tās pakāpes ir:
(2)
.
Jaudas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana
Gadījums x > 0
Apsveriet mainīgā x jaudas funkciju ar eksponentu a:
(3)
.
Šeit a ir patvaļīgs reāls skaitlis. Vispirms apskatīsim lietu.
Lai atrastu funkcijas (3) atvasinājumu, mēs izmantojam jaudas funkcijas īpašības un pārveidojam to šādā formā:
.
Tagad mēs atrodam atvasinājumu, izmantojot:
;
.
Lūk .
Formula (1) ir pierādīta.
Formulas atvasināšana no x pakāpes saknes n līdz pakāpei m
Tagad apsveriet funkciju, kas ir šādas formas sakne:
(4)
.
Lai atrastu atvasinājumu, mēs pārveidojam sakni par jaudas funkciju:
.
Salīdzinot ar formulu (3), mēs to redzam
.
Tad
.
Izmantojot formulu (1), mēs atrodam atvasinājumu:
(1)
;
;
(2)
.
Praksē formula (2) nav jāiegaumē. Daudz ērtāk ir vispirms pārveidot saknes par jaudas funkcijām un pēc tam atrast to atvasinājumus, izmantojot formulu (1) (skatiet piemērus lapas beigās).
Gadījums x = 0
Ja , tad jaudas funkcija ir definēta mainīgā x = vērtībai 0
. 0
Atradīsim funkcijas (3) atvasinājumu pie x =
.
. 0
:
.
Lai to izdarītu, mēs izmantojam atvasinājuma definīciju:
Aizstāsim x =
.
Šajā gadījumā ar atvasinājumu mēs saprotam labās puses robežu, kurai .
Tātad mēs atradām:
Tātad mēs atradām:
No tā ir skaidrs, ka , .
(1)
.
Pie , . 0
.
Šo rezultātu iegūst arī no formulas (1):< 0
Tāpēc formula (1) ir derīga arī x =
(3)
.
Lieta x Vēlreiz apsveriet funkciju (3): Dažām konstantes a vērtībām tas ir definēts arī
,
negatīvas vērtības mainīgais x..
Proti, lai a ir racionāls skaitlis. Tad to var attēlot kā nesamazināmu daļu: 3
kur m un n ir veseli skaitļi bez 1
kopīgs dalītājs Ja n ir nepāra, tad jaudas funkcija tiek definēta arī mainīgā x negatīvajām vērtībām. Piemēram, ja n =
.
un m =
Atradīsim jaudas funkcijas (3) atvasinājumu konstantes a racionālajām vērtībām, kurām tā ir definēta. Lai to izdarītu, attēlosim x šādā formā:
.
Tad,
.
Mēs atrodam atvasinājumu, novietojot konstanti ārpus atvasinājuma zīmes un piemērojot sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikumu:
.
Lūk . Bet
.
Kopš tā laika
.
Tad
.
Tas ir, formula (1) ir derīga arī:
(1)
.
Augstākas kārtas atvasinājumi
Tagad atradīsim jaudas funkcijas augstākas kārtas atvasinājumus
(3)
.
Mēs jau esam atraduši pirmās kārtas atvasinājumu:
.
Ņemot konstanti a ārpus atvasinājuma zīmes, mēs atrodam otrās kārtas atvasinājumu:
.
Līdzīgi mēs atrodam trešās un ceturtās kārtas atvasinājumus:
;
.
No tā ir skaidrs, ka patvaļīgas n-tās kārtas atvasinājums ir šāda forma:
.
Ņemiet vērā, ka ja a ir dabiskais skaitlis
, tad n-tais atvasinājums ir nemainīgs:
.
Tad visi nākamie atvasinājumi ir vienādi ar nulli:
,
plkst.
Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri
Piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
.
Risinājums
Pārveidosim saknes pakāpēs:
;
.
Tad sākotnējā funkcija iegūst šādu formu:
.
Pilnvaru atvasinājumu atrašana:
;
.
Konstantes atvasinājums ir nulle:
.
Uz kuriem mēs analizējām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskās metodes atvasinājumu atrašana. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.
Praksē ar atvasinājumu sarežģīta funkcijaļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr nākas saskarties, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.
Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:
Izdomāsim. Vispirms pievērsīsim uzmanību ierakstam. Šeit mums ir divas funkcijas – un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.
Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.
! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es lietoju neformālus izteicienus “ārējā funkcija”, “iekšējā” funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.
Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:
1. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Zem sinusa mums ir ne tikai burts “X”, bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, taču fakts ir tāds, ka sinusu nevar “saplēst gabalos”:
IN šajā piemērā No maniem skaidrojumiem jau intuitīvi ir skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, bet polinoms ir iekšējā funkcija (iegulšana) un ārējā funkcija.
Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.
Gadījumā vienkāršus piemērusŠķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Lai to izdarītu, es iesaku izmantot šādu paņēmienu, ko var izdarīt garīgi vai melnrakstā.
Iedomāsimies, ka mums ir jāaprēķina izteiksmes vērtība kalkulatorā (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).
Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija: 
Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija: 
Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikumu 
.
Sāksim lemt. No nodarbības Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:
Sākumā atrodam ārējās funkcijas atvasinājumu (sinusu), apskatām elementāro funkciju atvasinājumu tabulu un pamanām, ka . Visas tabulas formulas ir piemērojamas arī tad, ja “x” tiek aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, V šajā gadījumā:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.
Nu, tas ir pilnīgi skaidrs
Formulas piemērošanas rezultāts 
galīgajā formā tas izskatās šādi:
Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:
Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.
2. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
3. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Kā vienmēr, mēs pierakstām: 
Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija: 
Un tikai tad tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija: 
Pēc formulas 
, vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts 
nākamais:
Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, mūsu iekšējā funkcija nemainās: 
Tagad atliek tikai atrast ļoti vienkāršu iekšējās funkcijas atvasinājumu un nedaudz pielāgot rezultātu:
4. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Lai nostiprinātu jūsu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, pamatojiet, kur ir ārējā un kur iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti šādi?
5. piemērs
a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu
b) Atrodi funkcijas atvasinājumu
6. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu 
Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:
Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet paaugstināšana līdz pakāpei ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu 
:
Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:
Gatavs. Varat arī norādīt izteiksmi iekavās kopsaucējs un pierakstiet visu kā vienu daļu. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja iegūstat apgrūtinošus garus atvasinājumus, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).
7. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. 
, taču šāds risinājums izskatīsies pēc neparastas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:
8. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu 
, taču daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:
Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu 
:
Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:
Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu 
, atbildēm ir jāsakrīt.
9. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Līdz šim mēs esam izskatījuši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos bieži var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā tiek ligzdotas uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.
10. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?
Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:
Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:
Un visbeidzot mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām: 
Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.
Sāksim lemt
Saskaņā ar noteikumu 
Vispirms jums jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Apskatām atvasinājumu tabulu un atrodam atvasinājumu eksponenciālā funkcija: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad, sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts 
nākamais.
Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.
Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā, bija Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716).
Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, jums nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma attiecības pret argumenta pieauguma robeža, bet tikai jāizmanto tabula atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Sekojošais algoritms ir piemērots atvasinājuma atrašanai.
Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem galvenās zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas komponentos un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi ir doti pēc pirmajiem diviem piemēriem.
1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.
No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka “X” atvasinājums ir vienāds ar vienu, bet sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu. Mēs šīs vērtības aizstājam ar atvasinājumu summu un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:
2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Diferencējam kā summas atvasinājumu, kurā otrajam vārdam ir nemainīgs faktors, to var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Ja joprojām rodas jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie parasti tiek noskaidroti pēc iepazīšanās ar atvasinājumu tabulu un vienkāršākajiem diferenciācijas noteikumiem. Mēs šobrīd pārejam pie tiem.
Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula
| 1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr vienāds ar nulli. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži | |
| 2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "X". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties ilgu laiku | |
| 3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes pakāpēs. | |
| 4. Mainīgā atvasinājums pakāpei -1 | |
| 5.Atvasinājums kvadrātsakne | |
| 6.Sinusa atvasinājums | |
| 7.Kosinusa atvasinājums |  |
| 8. Pieskares atvasinājums |  |
| 9. Kotangensa atvasinājums |  |
| 10.Arksīna atvasinājums |  |
| 11.Arkosīna atvasinājums |  |
| 12.Arktangenta atvasinājums |  |
| 13. Loka kotangensa atvasinājums |  |
| 14.Naturālā logaritma atvasinājums | |
| 15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums |  |
| 16. Eksponenta atvasinājums | |
| 17.Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |
Diferencēšanas noteikumi
| 1. Summas vai starpības atvasinājums |  |
| 2. Produkta atvasinājums |  |
| 2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu | |
| 3. Koeficienta atvasinājums |  |
| 4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums |  |
1. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad funkcijas ir diferencējamas tajā pašā punktā
un
tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.
Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstantu vārdu, tad to atvasinājumi ir vienādi, t.i.
2. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā
un
tie. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.
Secinājums 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Secinājums 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.
Piemēram, trim reizinātājiem:
3. noteikums.Ja funkcijas
kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējamsu/v , un
tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāju un saucēja atvasinājumu, un saucējs ir skaitļa kvadrāts. bijušais skaitītājs.
Kur meklēt lietas citās lapās
Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc rakstā ir vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem."Produkta atvasinājums un funkciju koeficients".
komentēt. Nevajadzētu jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Šis tipiska kļūda, kas notiek sākuma stadija pētot atvasinājumus, bet, tā kā tie atrisina vairākus viendaļīgus un divdaļīgus piemērus, vidusmēra skolēns vairs nepieļauj šo kļūdu.
Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šis gadījums ir apskatīts 10. piemērā).
Cits izplatīta kļūda- sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniskais risinājums kā vienkāršas funkcijas atvasinājums. Tieši tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķs raksts. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.
Pa ceļam jūs nevarat iztikt bez izteiksmju pārveidošanas. Lai to izdarītu, rokasgrāmata var būt jāatver jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .
Ja meklējat risinājumus daļskaitļu atvasinājumiem ar pakāpēm un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās šādi 
, pēc tam izpildiet nodarbību “Daļskaitļu summu atvasinājums ar pakāpēm un saknēm”.
Ja jums ir tāds uzdevums kā 
, tad jūs apmeklēsiet nodarbību “Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi”.
Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu
3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mēs definējam funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu ar otras funkcijas atvasinājumu:
Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrajam vārdam ir mīnusa zīme. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad “X” pārvēršas par vienu, un mīnus 5 pārvēršas par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs saņemam sekojošām vērtībām atvasinājumi:
Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:
4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāja atvasinājumu un atvasinājumu. saucējs, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:
Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas ir otrais skaitītāja faktors pašreizējais piemērsņemts ar mīnusa zīmi:
Ja meklējat risinājumus problēmām, kurās jums jāatrod funkcijas atvasinājums, kurā ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, 
, tad laipni lūdzam nodarbībā "Atvasinājums no daļskaitļu summām ar pakāpēm un saknēm" .
Ja nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu atvasinājumiem trigonometriskās funkcijas, tas ir, kad funkcija izskatās kā , tad mācība jums "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .
5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir kvadrātsakne no neatkarīgā mainīgā, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Izmantojot reizinājuma diferencēšanas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:
6. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Izmantojot koeficientu diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma vērtību tabulā, iegūstam:
Lai atbrīvotos no daļskaitļa skaitītājā, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .