Үнэн хэрэгтээ (1) ба (2) томьёо нь шинж чанарын гэнэтийн хүснэгтэд үндэслэсэн нөхцөлт магадлалын богино бүртгэл юм. Хэлэлцсэн жишээ рүү буцъя (Зураг 1). Нэг гэр бүл өргөн дэлгэцтэй телевизор худалдаж авахаар төлөвлөж байгааг бид мэдсэн гэж бодъё. Энэ айл үнэхээр ийм зурагт авах магадлал хэд вэ?
Цагаан будаа. 1. Өргөн дэлгэцийн зурагт худалдан авах зан байдал
IN энэ тохиолдолдбид P нөхцөлт магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй (худалдан авалт дууссан | худалдан авалт төлөвлөсөн). Гэр бүл худалдаж авахаар төлөвлөж байгааг бид мэдэж байгаа тул түүвэр орон зай нь бүх 1000 гэр бүлээс бүрдэхгүй, зөвхөн өргөн дэлгэцтэй зурагт худалдаж авахаар төлөвлөж буй хүмүүсээс бүрддэг. Ийм 250 айлын 200 нь энэ зурагтыг худалдаж авсан. Тиймээс, хэрэв гэр бүл төлөвлөж байсан бол өргөн дэлгэцтэй зурагт худалдаж авах магадлалыг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.
P (худалдан авалт дууссан | худалдан авалт төлөвлөсөн) = өргөн дэлгэцтэй зурагт төлөвлөж, худалдаж авсан гэр бүлийн тоо / өргөн дэлгэцтэй зурагт худалдаж авахаар төлөвлөж буй гэр бүлийн тоо = 200 / 250 = 0.8
Формула (2) нь ижил үр дүнг өгдөг:
үйл явдал хаана байна Агэр бүл нь өргөн дэлгэцийн зурагт худалдан авахаар төлөвлөж байгаа бөгөөд үйл явдал юм IN- Тэр үнэхээр үүнийг худалдаж авах болно. Бодит өгөгдлийг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
Шийдвэрийн мод
Зураг дээр. 1 гэр бүлийг өргөн дэлгэцийн зурагт авахаар төлөвлөж байсан болон аваагүй, мөн ийм зурагт худалдаж авсан болон аваагүй гэсэн дөрвөн ангилалд хуваадаг. Үүнтэй төстэй ангиллыг шийдвэрийн мод ашиглан хийж болно (Зураг 2). Зурагт үзүүлсэн мод. 2 нь өргөн дэлгэцийн зурагт авахаар төлөвлөж байсан болон аваагүй айлуудын хоёр салбартай. Эдгээр салбар бүр нь өргөн дэлгэцтэй телевизор худалдаж авсан болон аваагүй өрхүүдэд тохирох хоёр нэмэлт салбар болж хуваагддаг. Хоёр үндсэн салааны төгсгөлд бичигдсэн магадлал нь үйл явдлын болзолгүй магадлал юм. АТэгээд А'. Нэмэлт дөрвөн салааны төгсгөлд бичигдсэн магадлал нь үйл явдлын хослол бүрийн нөхцөлт магадлал юм. АТэгээд IN. Нөхцөлт магадлалыг үйл явдлын хамтарсан магадлалыг тус бүрийн харгалзах болзолгүй магадлалд хуваах замаар тооцоолно.
Цагаан будаа. 2. Шийдвэрийн мод
Жишээлбэл, хэрэв гэр бүл худалдаж авахаар төлөвлөж байсан бол өргөн дэлгэцийн телевизор худалдаж авах магадлалыг тооцоолохын тулд тухайн үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай. худалдан авалтыг төлөвлөж дуусгасан, дараа нь үйл явдлын магадлалд хуваана худалдан авахаар төлөвлөж байна. Зурагт үзүүлсэн шийдвэрийн модны дагуу хөдөлж байна. 2, бид дараах хариултыг (өмнөхтэй төстэй) авна.
Статистикийн бие даасан байдал
Өргөн дэлгэцийн зурагт худалдаж авсан жишээн дээр санамсаргүй байдлаар сонгосон гэр бүл өргөн дэлгэцтэй зурагт худалдаж авахаар төлөвлөж байсан магадлал нь 200/250 = 0.8 байна. Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон гэр бүл өргөн дэлгэцтэй зурагт худалдаж авах болзолгүй магадлал 300/1000 = 0.3 гэдгийг санаарай. Энэ нь маш чухал дүгнэлтэд хүргэдэг. Гэр бүл нь худалдан авалт хийхээр төлөвлөж байсан өмнөх мэдээлэл нь худалдан авалт хийх магадлалд нөлөөлдөг.Өөрөөр хэлбэл, энэ хоёр үйл явдал бие биенээсээ хамааралтай. Энэ жишээнээс ялгаатай нь магадлал нь бие биенээсээ хамаардаггүй статистикийн хувьд бие даасан үйл явдлууд байдаг. Статистикийн бие даасан байдлыг дараахь байдлаар илэрхийлнэ. P(A|B) = P(A), Хаана P(A|B)- үйл явдлын магадлал Аүйл явдал болсон тохиолдолд IN, P(A)- А үйл явдлын болзолгүй магадлал.
Үйл явдал болохыг анхаарна уу АТэгээд IN P(A|B) = P(A). Хэрэв 2х2 хэмжээтэй шинж чанарын гэнэтийн хүснэгтэд энэ нөхцөл нь дор хаяж нэг үйл явдлын хослолд хангагдана. АТэгээд IN, энэ нь бусад хослолд хүчинтэй байх болно. Бидний жишээн дээр болсон үйл явдлууд худалдан авахаар төлөвлөж байнаТэгээд худалдан авалт дууссанНэг үйл явдлын талаарх мэдээлэл нөгөө үйл явдлын магадлалд нөлөөлдөг тул статистикийн хувьд хараат бус байдаг.
Хоёр үйл явдлын статистикийн бие даасан байдлыг хэрхэн шалгахыг харуулсан жишээг харцгаая. Өргөн дэлгэцийн зурагт худалдан авсан 300 өрхөөс худалдан авсандаа сэтгэл хангалуун байгаа эсэхийг асууя (Зураг 3). Худалдан авалтад сэтгэл ханамжийн түвшин болон ТВ-ийн төрөл хамааралтай эсэхийг тодорхойлох.
Цагаан будаа. 3. Өргөн дэлгэцийн зурагт худалдан авагчдын сэтгэл ханамжийн түвшинг тодорхойлсон өгөгдөл
Эдгээр тоо баримтаас харахад,
Нэг цагт,
P (хэрэглэгчийн сэтгэл ханамжтай) = 240 / 300 = 0.80
Иймд худалдан авагч худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байх, гэр бүл HDTV худалдан авсан байх магадлал тэнцүү бөгөөд эдгээр үйл явдал нь хоорондоо хамааралгүй учраас статистикийн хувьд бие даасан байна.
Магадлалыг үржүүлэх дүрэм
Нөхцөлт магадлалыг тооцоолох томъёо нь хамтарсан үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог А ба Б. Томьёог шийдсэн (1)
хамтарсан магадлалтай харьцуулахад P(A ба B), бид магадлалыг үржүүлэх ерөнхий дүрмийг олж авдаг. Үйл явдлын магадлал А ба Бүйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна Аүйл явдал тохиолдсон тохиолдолд IN IN:
(3) P(A ба B) = P(A|B) * P(B)
Өргөн дэлгэцийн HDTV телевиз худалдаж авсан 80 гэр бүлийг жишээ болгон авч үзье (Зураг 3). Хүснэгтээс харахад 64 өрх худалдан авсандаа сэтгэл хангалуун, 16 гэр бүл сэтгэл хангалуун бус байна. Тэдний дундаас санамсаргүй байдлаар хоёр гэр бүлийг сонгосон гэж үзье. Хэрэглэгчийн аль аль нь сэтгэл хангалуун байх магадлалыг тодорхойл. Томъёо (3) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
P(A ба B) = P(A|B) * P(B)
үйл явдал хаана байна АХоёр дахь гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байгаа бөгөөд үйл явдал IN- анхны гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байна. Эхний гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байх магадлал 64/80 байна. Гэсэн хэдий ч хоёр дахь гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байх магадлал нь эхний гэр бүлийн хариултаас хамаарна. Судалгааны дараа эхний гэр бүл түүвэртээ буцаж ирэхгүй бол (буцаахгүйгээр сонгох) судалгаанд оролцогчдын тоо 79 болж буурч, эхний гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байвал хоёр дахь гэр бүл мөн сэтгэл хангалуун байх магадлал 63 байна. /79, учир нь худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байгаа түүвэр гэр бүлд ердөө 63 гэр бүл үлдсэн. Тиймээс (3) томъёонд тодорхой өгөгдлийг орлуулснаар бид дараах хариултыг авна.
P(A ба B) = (63/79) (64/80) = 0.638.
Тиймээс хоёр гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байх магадлал 63.8% байна.
Судалгааны дараа эхний гэр бүл түүвэрт буцаж ирэв гэж бодъё. Хоёр гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байх магадлалыг тодорхойл. Энэ тохиолдолд хоёр гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байх магадлал 64/80-тай тэнцүү байна. Тиймээс P(A ба B) = (64/80) (64/80) = 0.64. Ийнхүү хоёр гэр бүл худалдан авалтдаа сэтгэл хангалуун байх магадлал 64.0% байна. Энэ жишээнээс харахад хоёр дахь гэр бүлийн сонголт нь эхнийх нь сонголтоос хамаардаггүй. Тиймээс (3) томъёоны нөхцөлт магадлалыг орлуулах P(A|B)магадлал P(A), бид бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх томъёог олж авдаг.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрэм.Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд INстатистикийн хувьд бие даасан, үйл явдлын магадлал А ба Бүйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна А, үйл явдлын магадлалаар үржүүлсэн IN.
(4) P(A ба B) = P(A)P(B)
Хэрэв энэ дүрэм үйл явдлын хувьд үнэн бол АТэгээд IN, энэ нь тэд статистикийн хувьд бие даасан гэсэн үг юм. Ийнхүү хоёр үйл явдлын статистикийн бие даасан байдлыг тодорхойлох хоёр арга бий.
- Үйл явдал АТэгээд INстатистикийн хувьд бие биенээсээ хараат бус байх тохиолдолд л P(A|B) = P(A).
- Үйл явдал АТэгээд Бстатистикийн хувьд бие биенээсээ хараат бус байх тохиолдолд л P(A ба B) = P(A)P(B).
Хэрэв 2х2-ийн болзошгүй нөхцөл байдлын хүснэгтэд дор хаяж нэг үйл явдлын хослолын хувьд эдгээр нөхцлийн аль нэг нь хангагдсан бол АТэгээд Б, энэ нь бусад хослолд хүчинтэй байх болно.
Элементэр үйл явдлын болзолгүй магадлал
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
Энд B 1, B 2, ... B k үйл явдлууд нь бие биенээ үгүйсгэж, бүрэн дүүрэн байдаг.
Зураг 1-ийн жишээн дээр энэ томъёоны хэрэглээг тайлбарлая. Томъёо (5) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Хаана P(A)- худалдан авалт төлөвлөсөн байх магадлал, P(B 1)- худалдан авалт хийгдсэн байх магадлал, P(B 2)- худалдан авалт дуусаагүй байх магадлал.
Бэйсийн ТЕОРЕМ
Үйл явдлын нөхцөлт магадлал нь өөр үйл явдал болсон гэсэн мэдээллийг харгалзан үздэг. Энэ аргыг шинээр хүлээн авсан мэдээллийг харгалзан магадлалыг сайжруулах, мөн ажиглагдсан үр нөлөө нь тодорхой шалтгааны үр дагавар байх магадлалыг тооцоолоход ашиглаж болно. Эдгээр магадлалыг боловсронгуй болгох процедурыг Бэйсийн теорем гэж нэрлэдэг. Үүнийг анх 18-р зуунд Томас Бэйс бүтээжээ.
Дээр дурдсан компани телевизийн шинэ загварын зах зээлийг судалж байна гэж бодъё. Өнгөрсөн хугацаанд тус компанийн бүтээсэн зурагтуудын 40% нь амжилттай байсан бол загваруудын 60% нь танигдаагүй байна. Маркетингийн мэргэжилтнүүд шинэ загвар гаргахаа зарлахын өмнө зах зээлийг сайтар судалж, эрэлтийг бүртгэдэг. Өмнө нь амжилттай загвар өмсөгчдийн 80% нь амжилттай болно гэж таамаглаж байсан бол амжилттай таамагласан хүмүүсийн 30% нь буруу болж хувирсан. Маркетингийн хэлтэс шинэ загварын талаар таатай таамаг дэвшүүлэв. Телевизийн шинэ загвар эрэлттэй байх магадлал хэр байна вэ?
Байесийн теоремыг нөхцөлт магадлал (1) ба (2)-ын тодорхойлолтоос гаргаж авч болно. P(B|A) магадлалыг тооцоолохын тулд (2) томъёог авна.
P(A ба B)-ийн оронд (3) томъёоны утгыг орлуулна:
P(A ба B) = P(A|B) * P(B)
P(A)-ын оронд (5) томъёог орлуулснаар бид Байесийн теоремыг олж авна.
Энд B 1, B 2, ... B k үйл явдлууд нь бие биенээ үгүйсгэж, бүрэн дүүрэн байдаг.
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: үйл явдал S - ТВ эрэлт хэрэгцээтэй байна, үйл явдал S' - ТВ эрэлт хэрэгцээгүй байна, үйл явдал F - таатай прогноз, үйл явдал F' - таамаглал муу. P(S) = 0.4, P(S’) = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S’) = 0.3 гэж үзье. Бэйсийн теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тааламжтай таамаглалаар телевизийн шинэ загварын эрэлт үүсэх магадлал 0.64 байна. Иймд таатай таамаглалд эрэлт дутагдах магадлал 1–0.64=0.36 байна. Тооцооллын процессыг Зураг дээр үзүүлэв. 4.
Цагаан будаа. 4. (а) Телевизийн эрэлтийн магадлалыг тооцоолохын тулд Бэйсийн томъёог ашигласан тооцоо; (б) ТВ-ийн шинэ загварын эрэлтийг судлахдаа шийдвэрийн мод
Эмнэлгийн оношлогоонд Бэйсийн теоремыг ашиглах жишээг авч үзье. Тухайн хүн ямар нэгэн өвчин тусах магадлал 0.03 байна. Эмнэлгийн шинжилгээгээр энэ нь үнэн эсэхийг шалгаж болно. Хэрэв хүн үнэхээр өвчтэй бол үнэн зөв оношлох магадлал (хүн үнэхээр өвчтэй байхдаа өвчтэй гэж хэлэх) 0.9 байна. Хэрэв хүн эрүүл бол худал онош тавих магадлал (эрүүл байхад нь өвчтэй гэж хэлэх) 0.02 байна. Эмнэлгийн шинжилгээ эерэг үр дүн өгдөг гэж бодъё. Хүн үнэхээр өвчтэй байх магадлал хэд вэ? Нарийвчлалтай оношлох магадлал хэр вэ?
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: D үйл явдал - хүн өвчтэй байна, үйл явдал D' - хүн эрүүл байна, үйл явдал T - онош эерэг байна, үйл явдал T' - онош сөрөг. Бодлогын нөхцлөөс харахад P(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02 байна. (6) томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Эерэг оноштой хүн үнэхээр өвчтэй байх магадлал 0.582 байна (мөн 5-р зургийг үз). Бэйсийн томъёоны хуваагч нь эерэг оношлогооны магадлалтай тэнцүү гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл. 0.0464.
Магадлалын онол нь санамсаргүй үзэгдлийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар юм: санамсаргүй үйл явдал, санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн шинж чанар, тэдгээрт хийх үйлдлүүд.
Удаан хугацааны туршид магадлалын онол тодорхой тодорхойлолтгүй байсан. Үүнийг зөвхөн 1929 онд боловсруулсан. Магадлалын онол шинжлэх ухаан болон үүсэн бий болсон нь Дундад зууны үеэс болон математикийн анализ хийх анхны оролдлогуудаас үүдэлтэй. мөрийтэй тоглоом(шидэх, шоо, рулет). 17-р зууны Францын математикч Блез Паскаль, Пьер Фермат нар мөрийтэй тоглоомын ялалтын таамаглалыг судалж байхдаа шоо шидэх үед үүсэх магадлалын анхны хэв маягийг олж илрүүлжээ.
Магадлалын онол нь бөөн санамсаргүй үйл явдлууд тодорхой зүй тогтол дээр суурилдаг гэсэн итгэл үнэмшлээс шинжлэх ухаан болж үүссэн. Магадлалын онол эдгээр хэв маягийг судалдаг.
Магадлалын онол нь үүсэх нь тодорхойгүй байгаа үйл явдлуудыг судалдаг. Энэ нь зарим үйл явдал тохиолдох магадлалын түвшинг бусадтай харьцуулах боломжийг танд олгоно.
Жишээлбэл: Зоос шидсэний үр дүнд "толгой" эсвэл "сүүл" -ийн үр дүнг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжгүй, гэхдээ олон удаа шидэх үед ойролцоогоор ижил тооны "толгой", "сүүл" гарч ирдэг. "толгой" эсвэл "сүүл" унах магадлал 50% -тай тэнцүү байна.
Туршилтэнэ тохиолдолд тодорхой нөхцлийн хэрэгжилтийг, өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд зоос шидэх гэж нэрлэдэг. Сорилтыг хязгааргүй олон удаа тоглож болно. Энэ тохиолдолд нөхцлийн багц нь санамсаргүй хүчин зүйлсийг багтаана.
Туршилтын үр дүн байна үйл явдал. Үйл явдал болдог:
- Найдвартай (туршилтын үр дүнд үргэлж тохиолддог).
- Боломжгүй (хэзээ ч тохиолддоггүй).
- Санамсаргүй (туршилтын үр дүнд тохиолдож болно, үгүй ч байж болно).
Жишээлбэл, зоос шидэх үед боломжгүй үйл явдал - зоос ирмэг дээрээ буух, санамсаргүй үйл явдал - "толгой" эсвэл "сүүл" гарч ирнэ. Туршилтын тодорхой үр дүнг гэж нэрлэдэг анхан шатны үйл явдал. Туршилтын үр дүнд зөвхөн энгийн үйл явдлууд тохиолддог. Туршилтын бүх боломжит, ялгаатай, тодорхой үр дүнгийн багц гэж нэрлэдэг анхан шатны үйл явдлын орон зай.
Онолын үндсэн ойлголтууд
Магадлал- үйл явдал тохиолдох магадлалын зэрэг. Зарим боломжит үйл явдлын шалтгаан нь эсрэг шалтгаанаас давсан тохиолдолд энэ үйл явдлыг магадлалтай, өөрөөр хэлбэл магадлалгүй эсвэл боломжгүй гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй утга- энэ нь туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгддэггүй. Жишээ нь: өдөрт нэг галын станцын тоо, 10 удаа буудсаны тоо гэх мэт.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хоёр төрөлд хувааж болно.
- Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнТуршилтын үр дүнд тодорхой магадлалтайгаар тодорхой утгыг авч, тоолж болох олонлогийг (элементүүдийг дугаарлаж болох олонлог) бүрдүүлдэг хэмжигдэхүүн юм. Энэ багц нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээ нь, зорилтот эхний цохилтоос өмнөх цохилтын тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм, учир нь энэ хэмжигдэхүүн нь тоолж болох ч хязгааргүй тооны утгыг авч болно.
- Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүннь хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй интервалаас ямар ч утгыг авч болох хэмжигдэхүүн юм. Мэдээжийн хэрэг, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байдаг.
Магадлалын орон зай- A.N-ийн танилцуулсан үзэл баримтлал. Колмогоров 20-р зууны 30-аад оны үед магадлалын тухай ойлголтыг албан ёсоор гаргасан нь магадлалын онолыг математикийн хатуу сахилга бат болгон хурдацтай хөгжүүлэхэд хүргэсэн.
Магадлалын орон зай нь гурвалсан (заримдаа өнцгийн хаалтанд: , хаана
Энэ бол дурын олонлог бөгөөд түүний элементүүдийг энгийн үйл явдал, үр дүн эсвэл цэг гэж нэрлэдэг;
- (санамсаргүй) үйл явдал гэж нэрлэгддэг дэд олонлогуудын сигма алгебр;
- магадлалын хэмжүүр буюу магадлал, i.e. сигма-нэмэлт хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүн ийм .
Де Мойвр-Лапласын теорем- 1812 онд Лаплас тогтоосон магадлалын онолын хязгаарын теоремуудын нэг. Энэ нь санамсаргүй тохиолдлын нэг туршилтыг хоёр боломжит үр дүнгээр дахин дахин давтах амжилтын тоо ойролцоогоор хэвийн тархсан байна гэж заасан. Энэ нь ойролцоогоор магадлалын утгыг олох боломжийг танд олгоно.
Хэрэв бие даасан туршилт бүрийн хувьд санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь ()-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь бодит тохиолдсон туршилтын тоо юм бол тэгш бус байдлын үнэн байх магадлал (их утгын хувьд) ойролцоо байна. Лапласын интегралын утга.
Магадлалын онол дахь тархалтын функц- санамсаргүй хэмжигдэхүүн эсвэл санамсаргүй векторын тархалтыг тодорхойлдог функц; X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x-ээс бага буюу тэнцүү утгыг авах магадлал, энд x нь дурын бодит тоо юм. Үүнд хамаарна мэдэгдэж байгаа нөхцөлсанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог.
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ- санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга (энэ нь магадлалын онолд авч үзсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм). Англи хэл дээрх уран зохиолд үүнийг , оросоор - гэж тэмдэглэдэг. Статистикийн хувьд тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.
Магадлалын орон зай ба түүн дээр тодорхойлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Энэ нь тодорхойлолтоор бол хэмжигдэхүйц функц юм. Дараа нь хэрэв огторгуйн Лебесгийн интеграл байвал түүнийг математик хүлээлт буюу дундаж утга гэж нэрлээд .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл- өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл түүний математикийн хүлээлтээс хазайлт. Энэ нь Орос, гадаадын уран зохиолд зориулагдсан байдаг. Статистикт эсвэл тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг. Квадрат язгуурдисперсийг стандарт хазайлт, стандарт хазайлт эсвэл стандарт тархалт гэж нэрлэдэг.
Зарим магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Дараа нь
Энд тэмдэг нь математикийн хүлээлтийг илэрхийлдэг.
Магадлалын онолд санамсаргүй хоёр үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол. Үүний нэгэн адил хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дууддаг хамааралтай, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь үнэ цэнэ нь нөгөөгийн үнэ цэнийн магадлалд нөлөөлж байвал.
Хуулийн хамгийн энгийн хэлбэр их тоонь Бернуллигийн теорем бөгөөд хэрэв бүх туршилтуудад үйл явдлын магадлал ижил байвал туршилтын тоо нэмэгдэх тусам үйл явдлын давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлал руу чиглэж, санамсаргүй байхаа болино.
Магадлалын онолын их тооны хууль нь тогтмол тархалтаас авсан хязгаарлагдмал түүврийн арифметик дундаж нь тухайн тархалтын онолын дундажтай ойролцоо байна гэж заасан байдаг. Конвергенцийн төрлөөс хамааран нийлэх магадлал магадлалаар нийлэх үед их тооны сул хууль, нийлэх нь бараг тодорхой болсон их тооны хүчтэй хуулийг хооронд нь ялгадаг.
Их тооны хуулийн ерөнхий утга нь олон тооны ижил ба бие даасан санамсаргүй хүчин зүйлсийн хамтарсан үйл ажиллагаа нь хязгаарт тохиолдлоос хамаарахгүй үр дүнд хүргэдэг.
Хязгаарлагдмал түүврийн шинжилгээнд үндэслэн магадлалыг тооцоолох аргууд нь энэ шинж чанарт суурилдаг. Үүний тод жишээ бол сонгогчдын түүвэр судалгаанд үндэслэн сонгуулийн үр дүнгийн таамаглал юм.
Төвийн хязгаарын теоремууд- магадлалын онолын нийлбэр нь хангалттай гэсэн теоремуудын анги их хэмжээнийОйролцоогоор ижил масштабтай сул хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (нэг ч нэр томъёо давамгайлж, нийлбэрт шийдвэрлэх хувь нэмэр оруулдаггүй) хэвийн хэмжээнд ойр тархалттай байна.
Хэрэглээний олон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хэд хэдэн сул хамааралтай санамсаргүй хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүсдэг тул тэдгээрийн тархалтыг хэвийн гэж үздэг. Энэ тохиолдолд хүчин зүйлийн аль нь ч давамгайлахгүй байх нөхцөлийг хангасан байх ёстой. Эдгээр тохиолдолд төвлөрсөн хязгаарын теоремууд нь хэвийн тархалтыг ашиглахыг зөвтгөдөг.
Эдийн засагт хүний үйл ажиллагааны бусад салбарууд эсвэл байгальд байдаг шиг бид үнэн зөв урьдчилан таамаглах боломжгүй үйл явдлуудтай байнга тулгардаг. Тиймээс, бүтээгдэхүүний борлуулалтын хэмжээ нь ихээхэн ялгаатай байж болох эрэлт хэрэгцээ болон бусад хэд хэдэн хүчин зүйлээс хамаардаг бөгөөд үүнийг анхаарч үзэх нь бараг боломжгүй юм. Тиймээс үйлдвэрлэл, борлуулалтыг зохион байгуулахдаа та өөрийн өмнөх туршлага, бусад хүмүүсийн ижил төстэй туршлага, зөн совингийн үндсэн дээр ийм үйл ажиллагааны үр дүнг урьдчилан таамаглах ёстой бөгөөд энэ нь ихэвчлэн туршилтын өгөгдөлд тулгуурладаг.
Тухайн үйл явдлыг ямар нэгэн байдлаар үнэлэхийн тулд энэ үйл явдлыг бүртгэх нөхцөлийг харгалзан үзэх эсвэл тусгайлан зохион байгуулах шаардлагатай.
Тухайн үйл явдлыг тодорхойлох тодорхой нөхцөл, арга хэмжээг хэрэгжүүлэх гэж нэрлэдэг туршлагаэсвэл туршилт.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг Санамсаргүй, хэрэв туршлагын үр дүнд энэ нь тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг найдвартай, хэрэв энэ нь өгөгдсөн туршлагын үр дүнд зайлшгүй гарч ирвэл, мөн боломжгүй, хэрэв энэ туршлагад харагдахгүй бол.
Жишээлбэл, 11-р сарын 30-нд Москвад цас орох нь санамсаргүй үйл явдал юм. Өдөр бүр нар мандахыг найдвартай үйл явдал гэж үзэж болно. Экваторт цас орох нь боломжгүй үйл явдал гэж үзэж болно.
Магадлалын онолын гол ажлуудын нэг бол үйл явдал тохиолдох магадлалын тоон хэмжүүрийг тодорхойлох ажил юм.
Үйл явдлын алгебр
Нэгэн туршлагыг хамтдаа ажиглах боломжгүй бол үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Тиймээс нэг дэлгүүрт хоёр, гурван машин нэгэн зэрэг худалдаалагдаж байгаа нь хоёр үл нийцэх үйл явдал юм.
Дүнүйл явдал нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм
Үйл явдлын нийлбэрийн жишээ бол дэлгүүрт хоёр бүтээгдэхүүний дор хаяж нэг нь байгаа явдал юм.
Ажилүйл явдал нь эдгээр бүх үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдохоос бүрдсэн үйл явдал юм
Дэлгүүрт хоёр барааны нэгэн зэрэг харагдахаас бүрдэх үйл явдал нь үйл явдлын бүтээгдэхүүн юм: - нэг бүтээгдэхүүний харагдах байдал, - өөр бүтээгдэхүүний харагдах байдал.
Үйл явдлын хэлбэр бүтэн бүлэгХэрэв тэдний ядаж нэг нь туршлагаар тохиолдох нь гарцаагүй бол үйл явдал.
Жишээ.Боомт нь хөлөг онгоц хүлээн авах хоёр зогсоолтой. Гурван үйл явдлыг авч үзэж болно: - зогсоол дээр хөлөг онгоц байхгүй, - нэг зогсоол дээр нэг хөлөг онгоц байгаа, - хоёр зогсоол дээр хоёр хөлөг онгоц байгаа. Эдгээр гурван үйл явдал нь үйл явдлын бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг.
ЭсрэгээрээБүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг хоёр өвөрмөц боломжит үйл явдлуудыг нэрлэнэ.
Эсрэг үйл явдлын аль нэгийг -ээр тэмдэглэвэл эсрэг үйл явдлыг ихэвчлэн -ээр тэмдэглэнэ.
Үйл явдлын магадлалын сонгодог болон статистик тодорхойлолтууд
Туршилтын (туршилтын) адил боломжтой үр дүн бүрийг энгийн үр дүн гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, үхэгсдийг шиддэг. Хажуу талын онооны тооноос хамааран нийт зургаан үндсэн үр дүн байж болно.
Анхан шатны үр дүнгээс та илүү төвөгтэй үйл явдлыг үүсгэж болно. Тиймээс тэгш тооны онооны үйл явдлыг 2, 4, 6 гэсэн гурван үр дүнгээр тодорхойлно.
Тухайн үйл явдал тохиолдох боломжийн тоон хэмжүүр нь магадлал юм.
Үйл явдлын магадлалын хамгийн өргөн хэрэглэгддэг тодорхойлолтууд нь: сонгодогТэгээд статистик.
Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь таатай үр дүн гэсэн ойлголттой холбоотой байдаг.
Үр дүн гэж нэрлэдэг таатайтухайн үйл явдал нь энэ үйл явдал тохиолдоход хүргэсэн бол тухайн үйл явдалд.
Өгөгдсөн жишээнд тухайн үйл явдал байна тэгш тооунасан талын оноо нь гурван таатай үр дагавартай. Энэ тохиолдолд генерал
боломжит үр дүнгийн тоо. Энэ нь үйл явдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг энд ашиглаж болно гэсэн үг юм.
Сонгодог тодорхойлолттаатай үр дүнгийн тооны харьцаатай тэнцүү байна нийт тооболомжит үр дүн
үйл явдлын магадлал хаана байна, тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо, боломжит үр дүнгийн нийт тоо.
Санасан жишээнд
Магадлалын статистик тодорхойлолт нь туршилт дахь үйл явдлын харьцангуй давтамжийн тухай ойлголттой холбоотой юм.
Үйл явдлын харьцангуй давтамжийг томъёогоор тооцоолно
цуврал туршилт (туршилт) дахь үйл явдлын тохиолдлын тоо хаана байна.
Статистикийн тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлал нь туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх замаар харьцангуй давтамж тогтворжсон (багц) тоо юм.
Практик бодлогод аливаа үйл явдлын магадлалыг харьцангуй давтамжтайгаар хангалттай гэж үздэг их тоотуршилтууд.
Үйл явдлын магадлалын эдгээр тодорхойлолтоос тэгш бус байдал үргэлж хангагддаг нь тодорхой байна
Томъёо (1.1) дээр үндэслэн үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохын тулд комбинаторик томъёог ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь таатай үр дүнгийн тоо болон боломжит үр дүнгийн нийт тоог олоход ашиглагддаг.
онтологийн категори нь ямар ч нөхцөлд аливаа аж ахуйн нэгж үүсэх боломжийн цар хүрээг илэрхийлдэг. Энэхүү үзэл баримтлалын математик, логик тайлбараас ялгаатай нь онтологийн математик нь тоон илэрхийллийн үүрэг хариуцлагатай холбоогүй юм. V.-ийн утга нь детерминизм, хөгжлийн мөн чанарыг ерөнхийд нь ойлгох хүрээнд илэрдэг.
Маш сайн тодорхойлолт
МАГАДЛАЛ
хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон ойлголт. тодорхой үед тодорхой үйл явдал тохиолдох боломжийн хэмжүүр нөхцөл. Шинжлэх ухаанд мэдлэг V.-ийн гурван тайлбар байдаг. Математикаас үүссэн V.-ийн сонгодог ойлголт. Б.Паскаль, Ж.Бернулли, П.Лаплас нар мөрийтэй тоглоомын талаархи дүн шинжилгээг хамгийн бүрэн гүйцэд боловсруулж, ялалтыг таатай тохиолдлын тоог бүх тэгш боломжтой тохиолдлын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа гэж үздэг. Жишээлбэл, 6 талтай шоо шидэх үед аль нэг тал нь нөгөөгөөсөө давуу талтай байдаггүй тул тус бүр нь 1/6-ийн үнэ цэнээр бууна гэж найдаж болно. Туршилтын үр дүнгийн ийм тэгш хэмийг тоглоом зохион байгуулахдаа тусгайлан авч үздэг боловч шинжлэх ухаан, практикт объектив үйл явдлыг судлахад харьцангуй ховор байдаг. Сонгодог В.-ийн тайлбар нь статистикт байр сууриа тавьж өгсөн. V.-ийн үзэл баримтлал, бодит байдалд тулгуурласан тодорхой үйл явдал болж байгааг удаан хугацааны туршид ажиглах. нарийн тогтсон нөхцөлд туршлага. Дадлага нь үйл явдал илүү олон удаа тохиолддог болохыг баталж байна илүү зэрэгтүүний үүсэх бодит боломж буюу B. Иймд статистик. В.-ийн тайлбар нь харилцаа холбоо гэсэн ойлголт дээр суурилдаг. туршилтаар тодорхойлж болох давтамж. V. онолын хувьд Энэ ойлголт нь эмпирикээр тодорхойлсон давтамжтай хэзээ ч давхцдаггүй, гэхдээ олон тоогоор. Зарим тохиолдолд энэ нь харьцангуй бага ялгаатай байдаг. үргэлжлэх хугацааны үр дүнд олдсон давтамж. ажиглалт. Олон статистикчид V.-г "давхар" гэж үздэг. давтамж, ирмэгийг статистик байдлаар тодорхойлдог. ажиглалтын үр дүнг судлах
эсвэл туршилтууд. Хязгаартай холбоотой V.-ийн тодорхойлолт нь бодитой бус байсан. R. Mises-ийн санал болгосон олон нийтийн үйл явдлын давтамж эсвэл бүлгүүд. гэх мэт Цаашдын хөгжил V.-ийн давтамжийн хандлага нь V.-ийн чиг хандлагатай, эсвэл хандлагатай тайлбарыг дэвшүүлдэг (К. Поппер, Ж. Хакинг, М. Бунге, Т. Сетл). Энэхүү тайлбарын дагуу V. нь жишээлбэл, нөхцөлийг бий болгох шинж чанарыг тодорхойлдог. туршилт. их хэмжээний санамсаргүй үйл явдлын дарааллыг олж авахын тулд суурилуулалт. Яг энэ хандлага нь бие махбодийг бий болгодог хамаатан садан ашиглан шалгаж болох зан чанар, эсвэл урьдач байдал, V. давтамж
Статистик V.-ийн тайлбар нь шинжлэх ухааны судалгаанд давамгайлж байна. танин мэдэхүй, учир нь энэ нь тодорхой тусгасан байдаг. санамсаргүй шинж чанартай массын үзэгдлүүдэд хамаарах хэв маягийн мөн чанар. Физик, биологи, эдийн засаг, хүн ам зүйн олон зүйлд. болон бусад нийгмийн үйл явцын хувьд тогтвортой давтамжаар тодорхойлогддог олон санамсаргүй хүчин зүйлийн үйлдлийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Эдгээр тогтвортой давтамж, хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох. V.-ийн тусламжтайгаар түүний үнэлгээ нь олон ослын хуримтлагдсан үйлдлийг даван туулах хэрэгцээг илрүүлэх боломжийг олгодог. Энд л тохиолдлыг хэрэгцээ болгон хувиргах диалектик өөрийн илрэлээ олдог (Ф. Энгельс, номонд: К. Маркс ба Ф. Энгельс, бүтээлүүд, 20-р боть, 535-36-р хуудсыг үзнэ үү).
Логик буюу индуктив үндэслэл нь нотлох бус, ялангуяа индуктив үндэслэлийн байр суурь ба дүгнэлтийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог. Дедукцаас ялгаатай нь индукцийн байрууд нь дүгнэлтийн үнэнийг баталгаажуулдаггүй, харин үүнийг илүү эсвэл бага үнэмшилтэй болгодог. Нарийн томъёолсон байртай энэхүү үнэмшилтэй байдлыг заримдаа V ашиглан үнэлж болно. Энэ V.-ийн утгыг ихэвчлэн харьцуулах замаар тодорхойлдог. ойлголтууд (илүү, бага, тэнцүү), заримдаа тоон хэлбэрээр. Логик тайлбарыг ихэвчлэн индуктив үндэслэлд дүн шинжилгээ хийх, магадлалын логикийн янз бүрийн системийг бий болгоход ашигладаг (Р. Карнап, Р. Жеффри). Семантик дээр логик ойлголтууд V. нь ихэвчлэн нэг мэдэгдлийг бусад хүмүүс (жишээлбэл, эмпирик өгөгдлөөр нь таамаглал) баталж байгаа зэрэг гэж тодорхойлдог.
Шийдвэр гаргах, тоглоомын онолыг хөгжүүлэхтэй холбогдуулан гэж нэрлэгддэг V.-ийн хувь хүний тайлбар хэдий ч V. нь тухайн субьектийн итгэл үнэмшил, тодорхой үйл явдал тохиолдох зэргийг нэгэн зэрэг илэрхийлдэг боловч V.-ийг V.-ийн тооцооллын аксиомуудыг хангасан байдлаар сонгох ёстой. Тиймээс V. ийм тайлбар нь субъектив бус харин үндэслэлтэй итгэлийн түвшинг илэрхийлдэг. Иймээс ийм V.-ийн үндсэн дээр гаргасан шийдвэрүүд нь сэтгэлзүйн хүчин зүйлийг харгалзан үздэггүй тул оновчтой байх болно. сэдвийн шинж чанар, хандлага.
Эпистемологийн хамт t.zr. статистик, логик хоорондын ялгаа. V.-ийн хувь хүний тайлбар нь хэрэв эхнийх нь санамсаргүй шинж чанартай масс үзэгдлийн объектив шинж чанар, харилцаа холбоог тодорхойлдог бол сүүлийн хоёр нь субъектив, танин мэдэхүйн шинж чанарыг шинжилдэг. тодорхойгүй нөхцөлд хүний үйл ажиллагаа.
МАГАДЛАЛ
нэг нь хамгийн чухал ойлголтуудшинжлэх ухаан нь ертөнц, түүний бүтэц, хувьсал, мэдлэгийн талаархи тусгай системийн алсын харааг тодорхойлдог. Дэлхий ертөнцийг үзэх магадлалын онцлог нь тоонд оруулах замаар илэрдэг үндсэн ойлголтуудсанамсаргүй байдал, бие даасан байдал, шаталсан байдлын тухай ойлголтууд (системийн бүтэц, тодорхойлох түвшний санаанууд).
Магадлалын тухай санаанууд эрт дээр үеэс үүссэн бөгөөд бидний мэдлэгийн онцлогтой холбоотой байсан бол найдвартай мэдлэг, худал мэдлэгээс ялгаатай магадлалын мэдлэг байгааг хүлээн зөвшөөрсөн. Магадлалын санаа нь шинжлэх ухааны сэтгэлгээ, мэдлэгийг хөгжүүлэхэд үзүүлэх нөлөө нь математикийн шинжлэх ухаан болох магадлалын онолыг хөгжүүлэхтэй шууд холбоотой юм. Магадлалын тухай математикийн сургаалын гарал үүсэл нь 17-р зуунаас эхтэй бөгөөд энэ нь боломжит ойлголтуудын цөмийг бий болгосон юм. тоон (тоон) шинж чанар, магадлалын санааг илэрхийлэх.
Танин мэдэхүйн хөгжлийн магадлалыг эрчимтэй ашиглах нь 2-р хагаст тохиолддог. 19 - 1 давхар 20-р зуун Магадлал нь сонгодог статистик физик, генетик, квант онол, кибернетик (мэдээллийн онол) зэрэг байгалийн суурь шинжлэх ухааны бүтцэд орж ирсэн. Үүний дагуу магадлал нь шинжлэх ухааны хөгжлийн тэр үе шатыг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь одоо сонгодог бус шинжлэх ухаан гэж тодорхойлогддог. Магадлалын сэтгэлгээний шинэлэг байдал, онцлогийг илчлэхийн тулд магадлалын онолын сэдэв, түүний олон тооны хэрэглээний үндэс суурийг задлан шинжлэх шаардлагатай. Магадлалын онолыг ихэвчлэн тодорхой нөхцөлд массын санамсаргүй үзэгдлийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн шинжлэх ухаан гэж тодорхойлдог. Санамсаргүй байдал гэдэг нь массын шинж чанарын хүрээнд энгийн үзэгдэл бүрийн оршин тогтнох нь бусад үзэгдлүүдийн оршин тогтнохоос хамаардаггүй бөгөөд тодорхойлогддоггүй гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ үзэгдлийн массын шинж чанар нь өөрөө тогтвортой бүтэцтэй бөгөөд тодорхой зүй тогтлыг агуулдаг. Массын үзэгдэл нь дэд системүүдэд нэлээд хатуу хуваагддаг бөгөөд дэд систем тус бүрийн энгийн үзэгдлийн харьцангуй тоо (харьцангуй давтамж) маш тогтвортой байдаг. Энэ тогтвортой байдлыг магадлалтай харьцуулдаг. Массын үзэгдэл бүхэлдээ магадлалын тархалтаар тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл дэд системүүд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг зааж өгдөг. Магадлалын онолын хэл бол магадлалын тархалтын хэл юм. Үүний дагуу магадлалын онолыг тархалттай ажиллах хийсвэр шинжлэх ухаан гэж тодорхойлдог.
Магадлал нь шинжлэх ухаанд статистикийн хэв маяг, статистикийн тогтолцооны талаархи санааг бий болгосон. Сүүлчийн мөн чанарбие даасан эсвэл бараг бие даасан байгууллагуудаас бүрдсэн системүүд, тэдгээрийн бүтэц нь магадлалын тархалтаар тодорхойлогддог. Гэхдээ бие даасан байгууллагуудаас системийг хэрхэн бүрдүүлэх боломжтой вэ? Интеграл шинж чанартай системийг бий болгохын тулд системийг цементлэх элементүүдийн хооронд хангалттай тогтвортой холболт байх шаардлагатай гэж ихэвчлэн үздэг. Статистикийн тогтолцооны тогтвортой байдал нь гадаад нөхцөл байдал, гадаад орчин, гадаад, үгүй зэргээс шалтгаална дотоод хүч. Магадлалын тодорхойлолт нь үргэлж анхны массын үзэгдэл үүсэх нөхцөлийг тогтооход суурилдаг. Магадлалын парадигмыг тодорхойлсон өөр нэг чухал санаа бол шатлал (дагадал) гэсэн санаа юм. Энэхүү санаа нь бие даасан элементүүдийн шинж чанар ба системийн салшгүй шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг: сүүлийнх нь эхнийх нь дээр баригдсан мэт.
Танин мэдэхүйд магадлалын аргуудын ач холбогдол нь шаталсан, "хоёр түвшний" бүтэцтэй объект, системийн бүтэц, зан үйлийн хэв маягийг судлах, онолын хувьд илэрхийлэх боломжийг олгодогт оршино.
Магадлалын мөн чанарын шинжилгээ нь түүний давтамж, статистик тайлбар дээр суурилдаг. Үүний зэрэгцээ, маш урт хугацааШинжлэх ухаанд магадлалын тухай ийм ойлголт давамгайлж байсан бөгөөд үүнийг логик буюу индуктив магадлал гэж нэрлэдэг байв. Логик магадлал нь тодорхой нөхцөлд тусдаа, бие даасан дүгнэлтийн хүчинтэй байдлын асуултуудыг сонирхож байна. Индуктив дүгнэлт (таамаглалын дүгнэлт) -ийн баталгааны түвшинг (найдвартай, үнэн) тоон хэлбэрээр үнэлэх боломжтой юу? Магадлалын онолыг боловсруулах явцад ийм асуултууд олон удаа яригдаж, таамаглалын дүгнэлтийг батлах түвшний талаар ярьж эхлэв. Энэ магадлалын хэмжигдэхүүнийг байгаа боломжоор тодорхойлно энэ хүнмэдээлэл, түүний туршлага, ертөнцийг үзэх үзэл, сэтгэл зүйн сэтгэлгээ. Бүгдээрээ ижил төстэй тохиолдлуудМагадлалын хэмжээ нь хатуу хэмжилт хийх боломжгүй бөгөөд тууштай математикийн шинжлэх ухааны хувьд магадлалын онолын чадвараас гадуур байдаг.
Магадлалын бодитой, давтамжтай тайлбар нь шинжлэх ухаанд ихээхэн бэрхшээлтэй тулгарсан. Эхэндээ магадлалын мөн чанарыг ойлгоход нөлөөлсөн хүчтэй нөлөөсонгодог шинжлэх ухааны онцлог шинж чанартай философи, арга зүйн үзэл бодол. Түүхийн хувьд физикийн магадлалын аргуудыг хөгжүүлэх нь механикийн санааг тодорхойлох нөлөөн дор явагдсан: статистикийн системийг зүгээр л механик гэж тайлбарладаг. Холбогдох асуудлуудыг механикийн хатуу аргуудаар шийдэж чадаагүй тул магадлалын арга, статистикийн хуулиуд руу шилжих нь бидний мэдлэг бүрэн бус байдлын үр дүн юм гэсэн нотолгоо гарч ирэв. Сонгодог статистик физикийн хөгжлийн түүхэнд түүнийг сонгодог механикийн үндсэн дээр нотлох гэж олон оролдлого хийсэн боловч бүгд бүтэлгүйтсэн. Магадлалын үндэс нь механик системээс бусад системийн тодорхой ангиллын бүтцийн онцлогийг илэрхийлдэгт оршино: эдгээр системийн элементүүдийн төлөв байдал нь тогтворгүй байдал, харилцан үйлчлэлийн онцгой (механикийн хувьд буурдаггүй) шинж чанартай байдаг.
Мэдлэгт магадлалыг оруулах нь хатуу детерминизмын үзэл баримтлалыг үгүйсгэж, сонгодог шинжлэх ухаан үүсэх явцад бий болсон оршихуйн үндсэн загвар, мэдлэгийг үгүйсгэхэд хүргэдэг. Статистикийн онолоор илэрхийлэгддэг үндсэн загварууд нь өөр, илүү их байдаг ерөнхий шинж чанар: Эдгээрт санамсаргүй байдал, бие даасан байдлын санаанууд багтана. Магадлалын санаа нь объект, системийн дотоод динамикийг задлахтай холбоотой бөгөөд үүнийг гадаад нөхцөл, нөхцөл байдлаас бүрэн тодорхойлох боломжгүй юм.
Тусгаар тогтнолын талаарх үзэл санааг үнэмлэхүй болгоход үндэслэсэн ертөнцийн магадлалын үзэл баримтлал (хатуу шийдлийн парадигмын өмнөх шиг) одоо түүний хязгаарлалтыг илчилсэн бөгөөд энэ нь шилжилтийн явцад хамгийн хүчтэй нөлөөлдөг. орчин үеийн шинжлэх ухааннарийн төвөгтэй систем, өөрийгөө зохион байгуулах үзэгдлийн физик, математик үндэслэлийг судлах аналитик аргууд.
Маш сайн тодорхойлолт
Бүрэн бус тодорхойлолт ↓
Магадлалүйл явдал гэдэг нь тухайн үйл явдалд таатай анхан шатны үр дагаврын тоог энэ үйл явдал тохиолдож болох туршлагын адил боломжтой бүх үр дагаврын тоонд харьцуулсан харьцаа юм. А үйл явдлын магадлалыг P(A) гэж тэмдэглэв (энд P нь эхний үсэг юм Франц үг probabilite - магадлал). Тодорхойлолтын дагуу
(1.2.1)
А үйл явдалд таатай анхан шатны үр дүнгийн тоо хаана байна; - үйл явдлын иж бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг туршилтын адил боломжтой бүх энгийн үр дүнгийн тоо.
Магадлалын энэ тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг. Энэ нь үүссэн эхний шатмагадлалын онолыг хөгжүүлэх.
Үйл явдлын магадлал нь дараахь шинж чанартай байдаг.
1. Найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү. Найдвартай үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс тодорхой үйл явдлын хувьд
(1.2.2)
2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна. Боломжгүй үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс боломжгүй үйл явдлын хувьд
(1.2.3)
3. Санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг нэгээс бага эерэг тоогоор илэрхийлнэ. Санамсаргүй тохиолдлын хувьд , эсвэл , тэгш бус байдал хангагдсан тул
(1.2.4)
4. Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг
(1.2.5)
Энэ нь (1.2.2) - (1.2.4) харилцаанаас үүсдэг.
Жишээ 1.Нэг саванд ижил хэмжээтэй, жинтэй 10 бөмбөг байх ба үүнээс 4 нь улаан, 6 нь цэнхэр байна. Нэг бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг. Тассан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Бид "зурсан бөмбөг цэнхэр болсон" үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэж байна. Энэ тест нь адил боломжтой 10 энгийн үр дүнтэй бөгөөд үүнээс 6 нь А үйл явдалд таатай байна. (1.2.1) томъёоны дагуу бид олж авна. 
Жишээ 2. 1-ээс 30 хүртэлх бүх натурал тоог ижил картууд дээр бичиж, саванд хийнэ. Картуудыг сайтар хольсны дараа нэг картыг савнаас гаргаж авдаг. Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.“Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр” гэсэн үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе. Энэ тестэнд 30 ижил боломжтой энгийн үр дүн байгаа бөгөөд үүнээс 6 үр дүн (5, 10, 15, 20, 25, 30 тоо) А үйл явдлыг илүүд үздэг. Тиймээс, 
Жишээ 3.Хоёр шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Шооны дээд тал нь нийт 9 оноотой байх В үйл явдлын магадлалыг ол.
Шийдэл.Энэ тестэнд зөвхөн 6 2 = 36 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг. (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) гэсэн 4 үр дүн нь В үйл явдалд таатай байна. 
Жишээ 4. Санамсаргүй байдлаар сонгосон натурал тоо, 10-аас ихгүй байна. Энэ тоо анхны байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.“Сонгосон тоо анхны” үйл явдлыг С үсгээр тэмдэглэе. Энэ тохиолдолд n = 10, m = 4 ( анхны тоо 2, 3, 5, 7). Тиймээс шаардлагатай магадлал 
Жишээ 5.Хоёр тэгш хэмтэй зоос шиддэг. Хоёр зоосны дээд талд тоо байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.“Зоос бүрийн дээд талд тоо байгаа” үйл явдлыг D үсгээр тэмдэглэе. Энэ тестэнд 4 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Тэмдэглэгээ (G, C) нь эхний зоос нь төрийн сүлдтэй, хоёр дахь нь дугаартай гэсэн үг юм). D үйл явдлыг нэг үндсэн үр дүн (C, C) илүүд үздэг. m = 1, n = 4 тул 
Жишээ 6.Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр оронтой тоо ижил цифртэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Хоёр оронтой тоо 10-аас 99 хүртэлх тоонууд; Нийтдээ 90 ийм тоо байдаг. Ижил тоонууд 9 тоотой (эдгээр тоонууд нь 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Энэ тохиолдолд m = 9, n = 90, тэгвэл 
,
Энд A нь "ижил оронтой тоо" үйл явдал юм.
Жишээ 7.Үгийн үсгүүдээс дифференциалНэг үсэг санамсаргүй байдлаар сонгогддог. Энэ үсэг нь: а) эгшиг, б) гийгүүлэгч, в) үсэг байх магадлал хэд вэ? h?
Шийдэл. Дифференциал гэдэг үг нь 12 үсэгтэй ба үүнээс 5 нь эгшиг, 7 нь гийгүүлэгч. Захидал hэнэ үгэнд байхгүй. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "эгшиг үсэг", B - "гийгүүлэгч үсэг", C - "үсэг" h". Тааламжтай энгийн үр дүнгийн тоо: - А үйл явдлын хувьд, - В үйл явдлын хувьд, - С үйл явдлын хувьд. n = 12 тул
, Мөн .
Жишээ 8.Хоёр шоо шидэж, шоо бүрийн дээд талд байгаа онооны тоог тэмдэглэнэ. Хоёр шоо ижил тооны оноотой байх магадлалыг ол.
Шийдэл.Энэ үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэе. А үйл явдал 6 үндсэн үр дүнгээр давуу тал болно: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). Бүтэн үйл явдлын бүлгийг бүрдүүлдэг адил боломжтой энгийн үр дүнгийн нийт тоо, энэ тохиолдолд n=6 2 =36. Энэ нь шаардлагатай магадлал гэсэн үг юм 
Жишээ 9.Уг ном 300 хуудастай. Санамсаргүй байдлаар нээгдсэн хуудас 5-д хуваагдах серийн дугаартай байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг ижил тэгш боломжтой бүх энгийн үр дүн нь n = 300 байх болно. Эдгээрээс m = 60 нь заасан үйл явдал тохиолдохыг дэмждэг. Үнэн хэрэгтээ 5-ын үржвэр тоо нь 5k хэлбэртэй байх ба энд k нь натурал тоо, эндээс . 
. Тиймээс, 
, энд A - "хуудас" үйл явдал нь 5"-ын үржвэрийн дарааллын дугаартай байна.
Жишээ 10. Хоёр шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 7 эсвэл 8 авах магадлал юу вэ?
Шийдэл. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "7 оноо өнхрүүлэв", B - "8 оноо өнхрүүлэв". (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (6; 1) гэсэн 6 үндсэн үр дүн нь А үйл явдалд давуу тал болно. 5 үр дүнгээр: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Бүх адил боломжтой энгийн үр дүн нь n = 6 2 = 36. Иймээс, Мөн .
Тэгэхээр P(A)>P(B), өөрөөр хэлбэл нийт 7 оноо авах нь нийт 8 оноо авахаас илүү магадлалтай үйл явдал юм.
Даалгаврууд
1. 30-аас ихгүй натурал тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон бөгөөд энэ тоо 3-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?
2. Уурхайн саванд аулаан ба бхэмжээ, жин нь ижил цэнхэр бөмбөг. Энэ савнаас санамсаргүй байдлаар гаргасан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
3. 30-аас ихгүй тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.Энэ тоо 30-д хуваагч байх магадлал хэд вэ?
4. Уурхайн саванд Ацэнхэр ба бхэмжээ, жингийн хувьд ижил улаан бөмбөг. Энэ савнаас нэг бөмбөгийг аваад хажуу тийш нь тавина. Энэ бөмбөг улаан өнгөтэй болсон. Үүний дараа савнаас өөр бөмбөг гаргана. Хоёр дахь бөмбөг бас улаан байх магадлалыг ол.
5. 50-аас хэтрэхгүй улсын тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.Энэ тоо анхны байх магадлал хэд вэ?
6. Гурван шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 9 эсвэл 10 оноо авах магадлал илүү юу вэ?
7. Гурван шоо шидэж, өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийг гаргана. Нийт 11 (А үйл явдал) эсвэл 12 оноо (B үйл явдал) авах магадлал юу вэ?
Хариултууд
1. 1/3. 2 . б/(а+б). 3 . 0,2. 4 . (б-1)/(а+б-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - нийт 9 оноо авах магадлал; p 2 = 27/216 - нийт 10 оноо авах магадлал; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Асуултууд
1. Үйл явдлын магадлалыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
2. Найдвартай үйл явдлын магадлал хэд вэ?
3. Боломжгүй үйл явдлын магадлал хэд вэ?
4. Санамсаргүй тохиолдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
5. Аливаа үйл явдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
6. Магадлалын ямар тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг вэ?