Орон зайн тоон хэмжээг тооцоолох чадвар нь геометрийн хэд хэдэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой юм. Хамгийн түгээмэл дүрсүүдийн нэг бол пирамид юм. Энэ нийтлэлд бид бүрэн болон таслагдсан пирамидуудыг авч үзэх болно.

Пирамид нь гурван хэмжээст дүрс юм

Хүн бүр мэддэг Египетийн пирамидууд, тиймээс тэр бид ямар дүрийн тухай ярихыг сайн мэддэг. Гэсэн хэдий ч Египетийн чулуун байгууламжууд нь пирамидын асар том ангийн зөвхөн онцгой тохиолдол юм.

Ерөнхий тохиолдолд авч үзэх геометрийн объект нь олон өнцөгт суурь бөгөөд орой бүр нь суурийн хавтгайд хамаарахгүй орон зайн тодорхой цэгтэй холбогдсон байдаг. Энэ тодорхойлолтүр дүнд нь нэг n өнцөг ба n гурвалжингаас бүрдэх дүрс гарч ирнэ.

Аливаа пирамид нь n+1 нүүр, 2*n ирмэг, n+1 оройноос бүрдэнэ. Энэ зураг нь төгс олон өнцөгт тул тэмдэглэсэн элементүүдийн тоо Эйлерийн тэгшитгэлд захирагдана.

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Суурь дээр байрлах олон өнцөгт нь пирамидын нэрийг өгдөг, жишээлбэл, гурвалжин, таван өнцөгт гэх мэт. Өөр өөр суурьтай пирамидын багцыг доорх зурагт үзүүлэв.

Зургийн n гурвалжин холбогдох цэгийг пирамидын орой гэнэ. Хэрэв перпендикулярыг суурь дээр буулгаж, түүнийг геометрийн төвөөр огтолж байвал ийм дүрсийг шулуун шугам гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол налуу пирамид үүсдэг.

Суурь нь тэгш талт (тэнцүү өнцөгт) n-гоноор үүсгэгдсэн зөв дүрсийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Пирамидын эзэлхүүний томъёо

Пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд бид интеграл тооцооллыг ашиглана. Үүнийг хийхийн тулд бид суурьтай параллель хавтгайг огтолж, хязгааргүй тооны нимгэн давхаргад хуваана. Доорх зурагт дөрвөлжин пирамидыг h өндөр, хажуугийн урт нь L харуулсан бөгөөд дөрвөлжин нь хэсгийн нимгэн давхаргыг тэмдэглэнэ.

Ийм давхарга бүрийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

A(z) = A 0 *(h-z) 2 / ц 2 .

Энд A 0 нь суурийн талбай, z нь босоо координатын утга юм. Хэрэв z = 0 бол томъёо нь A 0 утгыг өгдөг болохыг харж болно.

Пирамидын эзэлхүүний томъёог олж авахын тулд та зургийн бүх өндрийн интегралыг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

A(z) хамаарлыг орлуулж, эсрэг деривативыг тооцоолоход бид дараах илэрхийлэлд хүрнэ.

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Бид пирамидын эзэлхүүний томъёог олж авсан. V-ийн утгыг олохын тулд зургийн өндрийг суурийн талбайгаар үржүүлээд үр дүнг гурав хуваахад хангалттай.

Үүссэн илэрхийлэл нь ямар ч төрлийн пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолоход хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь налуу байж болох бөгөөд түүний суурь нь дурын n-gon байж болно.

ба түүний хэмжээ

Дээрх догол мөрөнд олж авсан эзэлхүүний ерөнхий томъёог пирамидын хувьд сайжруулж болно зөв шалтгаан. Ийм суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Энд L нь n оройтой жирийн олон өнцөгтийн хажуугийн урт юм. Пи тэмдэг нь pi тоо юм.

Ерөнхий томъёонд A 0-ийн илэрхийлэлийг орлуулснаар бид эзлэхүүнийг олж авна ердийн пирамид:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Жишээлбэл, гурвалжин пирамидын хувьд энэ томьёо нь дараах илэрхийлэлд хүргэдэг.

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Барууны төлөө дөрвөлжин пирамидЭзлэхүүний томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *цаг.

Ердийн пирамидын эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн суурийн тал ба зургийн өндрийг мэдэх шаардлагатай.

Таслагдсан пирамид

Бид дурын пирамид авч, түүний хажуугийн гадаргуугийн оройг агуулсан хэсгийг таслав гэж бодъё. Үлдсэн дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг. Энэ нь аль хэдийн хоёр n өнцөгт суурь ба тэдгээрийг холбосон n трапецуудаас бүрддэг. Хэрэв огтлох хавтгай нь зургийн суурьтай параллель байсан бол ижил төстэй параллель суурьтай таслагдсан пирамид үүснэ. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нэгнийх нь талуудын уртыг нөгөөгийн уртыг тодорхой k коэффициентээр үржүүлэх замаар олж авч болно.

Дээрх зурагт тайрсан ердийн нэгийг харуулж байна, түүний дээд суурь нь доод хэсэг шиг ердийн зургаан өнцөгт хэлбэртэй байгааг харж болно.

Дээрхтэй төстэй интеграл тооцоолол ашиглан гаргаж болох томьёо нь:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Энд A 0 ба A 1 нь доод (том) ба дээд (жижиг) суурийн талбайнууд юм. Хувьсагч h нь таслагдсан пирамидын өндрийг илэрхийлнэ.

Хеопс пирамидын эзэлхүүн

Египетийн хамгийн том пирамид дотор нь агуулагдах эзэлхүүнийг тодорхойлох асуудлыг шийдэх нь сонирхолтой юм.

1984 онд Британийн египет судлаач Марк Лехнер, Жон Гудман нар Хеопс пирамидын яг нарийн хэмжээг тогтоожээ. Түүний анхны өндөр нь 146.50 метр (одоогоор 137 метр) байв. Бүтцийн дөрвөн тал тус бүрийн дундаж урт 230.363 метр байв. Пирамидын суурь нь өндөр нарийвчлалтай дөрвөлжин хэлбэртэй.

Өгөгдсөн тоонуудыг ашиглан энэхүү аварга том чулууны эзэлхүүнийг тодорхойлъё. Пирамид нь ердийн дөрвөлжин хэлбэртэй тул түүний хувьд томъёо хүчинтэй байна.

Тоонуудыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 м 3.

Хеопс пирамидын хэмжээ бараг 2.6 сая м3. Харьцуулбал, Олимпийн усан сан нь 2.5 мянган м 3 эзэлхүүнтэй гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, Cheops пирамидыг бүхэлд нь дүүргэхийн тулд танд 1000 гаруй ийм усан сан хэрэгтэй болно!

Пирамид. Таслагдсан пирамид

Пирамидолон өнцөгт, нэг нүүр нь олон өнцөгт ( суурь ), бусад бүх нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин ( хажуугийн нүүрнүүд ) (Зураг 15). Пирамид гэж нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байвал (Зураг 16). Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр .

Хажуугийн хавиргаПирамидын хажуугийн нүүр нь сууринд хамаарахгүй тал юм Өндөр пирамид нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэлх зай юм. Ердийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, хажуугийн бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Оройноос татсан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг гэнэ апотем . Диагональ хэсэг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар пирамидын зүсэлт гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн гадаргуугийн талбайпирамид нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Талбай бүрэн гадаргуу бүх хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Теоремууд

1. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.

2. Хэрэв пирамид бүх хажуугийн ирмэгүүдтэй бол тэнцүү урттай, дараа нь пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ.

3. Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү тусна.

Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд зөв томьёо нь:

Хаана В- эзлэхүүн;

S суурь- суурь талбай;

Х- пирамидын өндөр.

Энгийн пирамидын хувьд дараах томъёолол зөв байна.

Хаана х- суурийн периметр;

h a- үг хэллэг;

Х- өндөр;

S дүүрэн

S тал

S суурь- суурь талбай;

В- ердийн пирамидын эзэлхүүн.

Таслагдсан пирамидПирамидын суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгай хоёрын хооронд хаагдсан хэсгийг гэж нэрлэдэг (Зураг 17). Тогтмол таслагдсан пирамид нь суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн ердийн пирамидын хэсэг юм.

Үндэслэлтаслагдсан пирамид - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр - трапецууд. Өндөр Таслагдсан пирамидын хэмжээ нь түүний суурийн хоорондох зай юм. Диагональ Таслагдсан пирамид нь нэг нүүрэн дээр байрладаггүй оройг нь холбосон сегмент юм. Диагональ хэсэг нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар таслагдсан пирамидын хэсэг юм.

Тасалсан пирамидын хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

(4)

Хаана С 1 , С 2 - дээд ба доод суурийн хэсгүүд;

S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай;

S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай;

Х- өндөр;

В– таслагдсан пирамидын эзэлхүүн.

Энгийн тайрсан пирамидын хувьд томъёо зөв байна:

Хаана х 1 , х 2 - суурийн периметр;

h a– ердийн тайрсан пирамидын үг.

Жишээ 1.Баруун талд гурвалжин пирамидСуурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь 60º байна. Налуу өнцгийн тангенсыг ол хажуугийн хавиргасуурь хавтгайд.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 18).

Пирамид нь зөв, суурь гэсэн утгатай тэгш талт гурвалжинбүх хажуугийн нүүрнүүд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн суурийн хавтгайд налуугийн өнцөг юм. Шугаман өнцөг нь өнцөг юм ахоёр перпендикулярын хооронд: гэх мэт. Пирамидын дээд хэсэг нь гурвалжны төвд (тойрог ба гурвалжны бичээстэй тойрог) төвлөрсөн байна. ABC). Хажуугийн ирмэгийн налуу өнцөг (жишээлбэл С.Б.) нь ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Хавирганы хувьд С.Б.энэ өнцөг нь өнцөг болно SBD. Шүргэгчийг олохын тулд та хөлийг мэдэх хэрэгтэй SOТэгээд О.Б.. Сегментийн уртыг үзье Б.Д 3-тай тэнцүү А. Цэг ТУХАЙшугамын сегмент Б.Дхэсгүүдэд хуваагдана: мөн From we find SO: Бидний олж мэдсэнээр:

Хариулт:

Жишээ 2.Суурийн диагональ нь см ба см-тэй тэнцүү, өндөр нь 4 см бол ердийн таслагдсан дөрвөлжин пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Шийдэл.Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг олохын тулд бид (4) томъёог ашиглана. Суурийн талбайг олохын тулд тэдгээрийн диагональуудыг мэдэхийн тулд суурийн квадратуудын талыг олох хэрэгтэй. Суурийн талууд нь 2 см ба 8 см-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь суурийн талбайг илэрхийлнэ гэсэн үг бөгөөд бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулж, бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолно.

Хариулт: 112 см 3.

Жишээ 3.Суурийн талууд нь 10 см ба 4 см, пирамидын өндөр нь 2 см хэмжээтэй энгийн гурвалжин тайрсан пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 19).

Энэ пирамидын хажуугийн нүүр нь хоёр талт трапец юм. Трапецын талбайг тооцоолохын тулд та суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Суурь нь нөхцөл байдлын дагуу өгөгдсөн бөгөөд зөвхөн өндөр нь тодорхойгүй хэвээр байна. Бид түүнийг хаанаас олох болно А 1 Эцэгээс перпендикуляр А 1 доод суурийн хавтгай дээр, А 1 Д-аас перпендикуляр А 1 тутамд АС. А 1 Э= 2 см, учир нь энэ нь пирамидын өндөр юм. Олох Д.ЭДээд талын үзэмжийг харуулсан нэмэлт зургийг хийцгээе (Зураг 20). Цэг ТУХАЙ– дээд ба доод суурийн төвүүдийн проекц. оноос хойш (20-р зургийг үз) болон Нөгөө талаас БОЛЖ БАЙНА УУ– тойрог дотор бичээстэй радиус ба ОМ- тойрог дотор бичсэн радиус:

MK = DE.

-аас Пифагорын теоремын дагуу

Хажуугийн нүүрний хэсэг:

Хариулт:

Жишээ 4.Пирамидын ёроолд суурь нь тэгш өнцөгт трапец байдаг АТэгээд б (а> б). Тус бүр хажуугийн ирмэгпирамидын суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэнэ j. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 21). Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай SABCDтрапецын талбай ба талбайн нийлбэртэй тэнцүү A B C D.

Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ гэсэн мэдэгдлийг ашиглая. Цэг ТУХАЙ– оройн проекц Спирамидын ёроолд. Гурвалжин SODгурвалжны ортогональ проекц юм CSDсуурийн хавтгайд. Ортогональ проекцын талбайн тухай теоремоор хавтгай дүрсбид авах:

Үүнтэй адил гэсэн үг Тиймээс трапецын талбайг олоход асуудал багассан A B C D. Трапецийг зурцгаая A B C Dтусад нь (Зураг 22). Цэг ТУХАЙ– трапец хэлбэрээр бичсэн тойргийн төв.

Тойрог трапец хэлбэрээр бичиж болох тул Пифагорын теоремоос бид

• 09.10.2014

  Зурагт үзүүлсэн урьдчилан өсгөгч нь микрофон, CD тоглуулагч, радио гэх мэт 4 төрлийн дууны эх үүсвэрт ашиглах зориулалттай. Энэ тохиолдолд урьдчилан өсгөгч нь нэг оролттой бөгөөд мэдрэгчийг 50 мВ-аас 500 хүртэл өөрчлөх боломжтой. мВ. өсгөгчийн гаралтын хүчдэл 1000мВ. Холбож байна өөр өөр эх сурвалж SA1 шилжүүлэгчийг солих үед бид үргэлж ...

• 20.09.2014

  Цахилгаан хангамж нь 15…20 Вт-ын ачаалалд зориулагдсан. Эх үүсвэр нь нэг циклийн импульсийн өндөр давтамжийн хөрвүүлэгчийн хэлхээний дагуу хийгддэг. Транзисторыг 20…40 кГц давтамжтай ажилладаг өөрөө осцилляторыг угсрахад ашигладаг. Давтамжийг C5 багтаамжаар тохируулна. VD5, VD6, C6 элементүүд нь осцилляторын эхлэх хэлхээг бүрдүүлдэг. Гүүрний Шулуутгагчийн дараа хоёрдогч хэлхээнд микро схем дээр ердийн шугаман тогтворжуулагч байдаг бөгөөд энэ нь танд ...

• 28.09.2014

  Зураг дээр давтамжийг хүчдэлээр удирддаг K174XA11 микро схем дээр суурилсан генераторыг харуулав. C1 багтаамжийг 560-аас 4700 pF болгон өөрчилснөөр өргөн хүрээний давтамжийг авах боломжтой бол давтамжийг R4 эсэргүүцлийг өөрчлөх замаар тохируулна. Жишээлбэл, зохиогч C1 = 560pF үед генераторын давтамжийг R4 ашиглан 600 Гц-ээс 200 кГц хүртэл өөрчлөх боломжтой болохыг олж мэдэв.

• 03.10.2014

  Уг нэгж нь хүчирхэг ULF-ийг тэжээх зориулалттай бөгөөд гар тус бүр дээр ±27V хүчдэлтэй, 3А хүртэл ачаалалд зориулагдсан. Цахилгаан хангамж нь KT825-KT827 бүрэн нийлмэл транзистор дээр хийгдсэн хоёр туйлт юм. Тогтворжуулагчийн хоёр гар нь ижил хэлхээний дагуу хийгдсэн боловч нөгөө гарт (үүнийг харуулаагүй) конденсаторын туйл өөрчлөгдөж, өөр төрлийн транзисторуудыг ашигладаг ...