Z jakich wielokątów składa się pryzmat? Prosty pryzmat – Hipermarket Wiedzy

Definicja. Pryzmat- jest to wielościan, którego wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach, a w tych samych dwóch płaszczyznach leżą dwie ściany pryzmatu, które są odpowiednio równymi wielokątami boki równoległe, a wszystkie krawędzie nie leżące w tych płaszczyznach są równoległe.

Dwa równe twarze są nazywane podstawy pryzmatu(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Wszystkie pozostałe ściany pryzmatu nazywane są boczne twarze(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Wszystko boczne twarze formularz powierzchnia boczna pryzmatu .

Wszystkie boczne ściany pryzmatu są równoległobokami .

Krawędzie, które nie leżą u podstaw, nazywane są bocznymi krawędziami pryzmatu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Przekątna pryzmatu to odcinek, którego końcami są dwa wierzchołki pryzmatu, które nie leżą na tej samej ścianie (AD 1).

Nazywa się długość odcinka łączącego podstawy pryzmatu i prostopadłego do obu podstaw jednocześnie wysokość pryzmatu .

Przeznaczenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najpierw, w kolejności przechodzenia, wskazane są wierzchołki jednej podstawy, a następnie w tej samej kolejności wierzchołki drugiej; końce każdej krawędzi bocznej są oznaczone tymi samymi literami, tylko wierzchołki leżące w jednej podstawie są oznaczone literami bez indeksu, a w drugiej - z indeksem)

Nazwa pryzmatu związana jest z liczbą kątów na figurze leżącej u jego podstawy, np. na rycinie 1 u podstawy znajduje się pięciokąt, dlatego pryzmat nazywa się pryzmat pięciokątny. Ale ponieważ taki pryzmat ma 7 ścian, to tak siedmiościan(2 ściany - podstawy pryzmatu, 5 ścian - równoległoboki, - jego ściany boczne)

Wśród prostych pryzmatów wyróżnia się szczególny typ: pryzmaty regularne.

Nazywa się prosty pryzmat prawidłowy, jeśli jego podstawy są foremnymi wielokątami.

Równoległościan

Prostokątny równoległościan- prostopadłościan, którego podstawa jest prostokątem.

Właściwości i twierdzenia:

,

gdzie d jest przekątną kwadratu;
a to bok kwadratu.

Pomysł na pryzmat podaje:

• różny konstrukcje architektoniczne;
• Zabawki dla dzieci;
• pudełka do pakowania;
• designerskie przedmioty itp.

Powierzchnia całkowita i boczna pryzmatu

S pełny = strona S + 2S główny,

Gdzie Pełny- powierzchnia całkowita, Strona S-powierzchnia boczna, Baza S- powierzchnia podstawy

Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.

Strona S= P podstawowy * h,

Gdzie Strona S-obszar powierzchni bocznej prostego pryzmatu,

P główny - obwód podstawy prostego graniastosłupa,

h jest wysokością prostego pryzmatu, równą krawędzi bocznej.

Objętość pryzmatu

Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.

1. Najmniejsza liczba Czworościan ma 6 krawędzi.

2. Pryzmat ma n ścian. Jaki wielokąt leży u jego podstawy?

(n - 2) - kwadrat.

3. Czy pryzmat jest prosty, jeśli jego dwie sąsiednie ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy?

Tak to jest.

4. W którym pryzmacie krawędzie boczne są równoległe do jego wysokości?

W prostym pryzmacie.

5. Czy pryzmat jest regularny, jeśli wszystkie jego krawędzie są sobie równe?

Nie, to może nie być bezpośrednie.

6. Czy wysokość jednej ze ścian bocznych nachylonego pryzmatu może być również wysokością pryzmatu?

Tak, jeśli ta ściana jest prostopadła do podstawy.

7. Czy istnieje pryzmat, w którym: a) krawędź boczna jest prostopadła tylko do jednej krawędzi podstawy; b) tylko jedna ściana boczna jest prostopadła do podstawy?

a) tak. b) nie.

8. Regularny trójkątny pryzmat jest podzielony na dwa pryzmaty płaszczyzną przechodzącą przez linie środkowe podstaw. Jaki jest stosunek pól powierzchni bocznych tych pryzmatów?

Z twierdzenia 27 stwierdzamy, że powierzchnie boczne są w stosunku 5: 3

9. Czy piramida będzie regularna, jeśli jej ściany boczne będą regularnymi trójkątami?

10. Ile ścian prostopadłych do płaszczyzny podstawy może mieć piramida?

11. Czy istnieje czworokątna piramida, której przeciwne ściany są prostopadłe do podstawy?

Nie, w przeciwnym razie przez szczyt piramidy przechodziłyby co najmniej dwie proste linie, prostopadłe do podstaw.

12. Czy wszystkie ściany trójkątnej piramidy mogą być trójkątami prostokątnymi?

Tak (Rysunek 183).

Ogólne informacje o pryzmacie prostym

Nazywa się powierzchnię boczną pryzmatu (dokładniej pole powierzchni bocznej). suma obszary ścian bocznych. Pełna powierzchnia pryzmat jest równy sumie powierzchni bocznej i pól podstaw.

Twierdzenie 19.1. Powierzchnia boczna prostego pryzmatu jest równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości graniastosłupa, czyli długości krawędzi bocznej.

Dowód. Boczne ściany prostego pryzmatu są prostokątami. Podstawami tych prostokątów są boki wielokąta leżącego u podstawy pryzmatu, a wysokości są równe długości krawędzi bocznych. Wynika, że powierzchnia boczna pryzmat jest równy

S = za 1 l + za 2 l + ... + za n l = pl,

gdzie a 1 i n to długości krawędzi podstawy, p to obwód podstawy pryzmatu, a I to długość krawędzi bocznych. Twierdzenie zostało udowodnione.

Zadanie praktyczne

Problem (22) . Odbywa się to w nachylonym pryzmacie Sekcja, prostopadle do żeber bocznych i przecinającą wszystkie żebra boczne. Znajdź powierzchnię boczną pryzmatu, jeśli obwód przekroju poprzecznego jest równy p, a krawędzie boczne są równe l.

Rozwiązanie. Płaszczyzna narysowanego przekroju dzieli pryzmat na dwie części (ryc. 411). Poddajmy jeden z nich translacji równoległej, łącząc podstawy pryzmatu. W tym przypadku otrzymujemy prosty pryzmat, którego podstawą jest przekrój pierwotnego pryzmatu, a krawędzie boczne są równe l. Pryzmat ten ma taką samą powierzchnię boczną jak pierwotny. Zatem powierzchnia boczna pierwotnego pryzmatu jest równa pl.

Podsumowanie poruszanego tematu

Spróbujmy teraz podsumować poruszany przez nas temat dotyczący pryzmatów i przypomnijmy sobie, jakie właściwości ma pryzmat.

Właściwości pryzmatu

Po pierwsze, pryzmat ma wszystkie podstawy jako równe wielokąty;
Po drugie, w pryzmacie wszystkie jego ściany boczne są równoległobokami;
Po trzecie, w tak różnorodnej figurze jak pryzmat wszystkie boczne krawędzie są równe;

Należy także pamiętać, że wielościany takie jak pryzmaty mogą być proste lub nachylone.

Który pryzmat nazywa się pryzmatem prostym?

Jeśli pryzmat boczne żebro znajduje się prostopadle do płaszczyzny podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się linią prostą.

Nie będzie zbędne przypominanie, że boczne ściany prostego pryzmatu są prostokątami.

Jaki rodzaj pryzmatu nazywa się ukośnym?

Jeżeli jednak boczna krawędź pryzmatu nie jest położona prostopadle do płaszczyzny jego podstawy, to śmiało możemy powiedzieć, że jest to pryzmat nachylony.

Który pryzmat nazywa się prawidłowym?

Jeśli u podstawy prostego graniastosłupa leży wielokąt foremny, to taki pryzmat jest regularny.

Przypomnijmy sobie teraz, jakie właściwości ma pryzmat foremny.

Właściwości pryzmatu foremnego

Po pierwsze, wielokąty foremne zawsze służą jako podstawy foremnego pryzmatu;
Po drugie, jeśli weźmiemy pod uwagę ściany boczne regularnego pryzmatu, są one zawsze równymi prostokątami;
Po trzecie, jeśli porównasz rozmiary bocznych żeber, to w zwykłym pryzmacie są one zawsze równe.
Po czwarte, prawidłowy pryzmat jest zawsze prosty;
Po piąte, jeśli w regularnym pryzmacie ściany boczne mają kształt kwadratów, wówczas taką figurę nazywa się zwykle wielokątem półregularnym.

Przekrój pryzmatu

Spójrzmy teraz na przekrój pryzmatu:

Praca domowa

Spróbujmy teraz utrwalić poznany temat rozwiązując zadania.

Narysujmy nachylony trójkątny pryzmat, odległość między jego krawędziami będzie wynosić: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a powierzchnia boczna tego pryzmatu będzie równa 60 cm2. Mając te parametry, znajdź boczną krawędź tego pryzmatu.

Wiesz to figury geometryczne nieustannie otaczają nas nie tylko na lekcjach geometrii, ale także w Życie codzienne Istnieją obiekty przypominające tę lub inną figurę geometryczną.

W każdym domu, szkole czy pracy znajduje się komputer, którego jednostka systemowa ma kształt prostego pryzmatu.

Jeśli podniesiesz prosty ołówek, zobaczysz, że główną częścią ołówka jest pryzmat.

Iść wzdłuż główna ulica miasta, widzimy, że pod naszymi stopami leży płytka w kształcie sześciokątnego graniastosłupa.

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych