Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej (x do potęgi a). Rozważane są pochodne pierwiastków x. Wzór na pochodną funkcji potęgowej wyższego rzędu. Przykłady obliczania instrumentów pochodnych.
Pochodna x do potęgi a jest równa a razy x do potęgi minus jeden:
(1)
.
Pochodna n-tego pierwiastka z x do m-tej potęgi wynosi:
(2)
.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej
Przypadek x > 0
Rozważmy funkcję potęgową zmiennej x z wykładnikiem a:
(3)
.
Tutaj a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Rozważmy najpierw sprawę.
Aby znaleźć pochodną funkcji (3), korzystamy z właściwości funkcji potęgowej i przekształcamy ją do postaci:
.
Teraz znajdujemy pochodną za pomocą:
;
.
Tutaj .
Wzór (1) został udowodniony.
Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka stopnia n od x do stopnia m
Rozważmy teraz funkcję będącą pierwiastkiem następującej formy:
(4)
.
Aby znaleźć pochodną, przekształcamy pierwiastek do funkcji potęgowej:
.
Porównując ze wzorem (3) widzimy to
.
Następnie
.
Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pochodną:
(1)
;
;
(2)
.
W praktyce nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru (2). Dużo wygodniej jest najpierw przekształcić pierwiastki na funkcje potęgowe, a następnie znaleźć ich pochodne korzystając ze wzoru (1) (patrz przykłady na końcu strony).
Przypadek x = 0
Jeśli, to funkcja mocy jest również zdefiniowana dla wartości zmiennej x = 0
. 0
Znajdźmy pochodną funkcji (3) przy x =
.
. 0
:
.
W tym celu korzystamy z definicji pochodnej:
Podstawmy x =
.
W tym przypadku przez pochodną rozumiemy prawą granicę, dla której .
Znaleźliśmy więc:
Znaleźliśmy więc:
Z tego jasno wynika, że dla , .
(1)
.
Na , . 0
.
Wynik ten uzyskuje się również ze wzoru (1):< 0
Zatem wzór (1) obowiązuje także dla x =
(3)
.
Przypadek x Rozważmy ponownie funkcję (3): Dla pewnych wartości stałej a jest ona również zdefiniowana
,
wartości ujemne zmienna x..
Mianowicie, niech a będzie liczbą wymierną. Wtedy można to przedstawić jako ułamek nieredukowalny: 3
gdzie m i n są liczbami całkowitymi bez 1
wspólny dzielnik
.
Jeśli n jest nieparzyste, wówczas funkcję potęgową definiuje się również dla ujemnych wartości zmiennej x.
Na przykład, gdy n =
.
i m =
.
Pochodną znajdujemy umieszczając stałą poza znakiem pochodnej i stosując zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Tutaj . Ale
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Oznacza to, że wzór (1) obowiązuje także dla:
(1)
.
Instrumenty pochodne wyższego rzędu
Znajdźmy teraz pochodne wyższego rzędu funkcji potęgowej
(3)
.
Znaleźliśmy już pochodną pierwszego rzędu:
.
Wyjmując stałą a poza znak pochodnej, znajdujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Podobnie znajdujemy pochodne trzeciego i czwartego rzędu:
;
.
Z tego wynika, że pochodna dowolnego n-tego rzędu ma następującą postać:
.
Zauważ to jeśli jest liczba naturalna
, to n-ta pochodna jest stała:
.
Wtedy wszystkie kolejne pochodne są równe zeru:
,
Na .
Przykłady obliczania instrumentów pochodnych
Przykład
Znajdź pochodną funkcji:
.
Rozwiązanie
Zamieńmy pierwiastki na potęgi:
;
.
Wtedy oryginalna funkcja przyjmuje postać:
.
Znajdowanie pochodnych potęg:
;
.
Pochodna stałej wynosi zero:
.
Na którym przeanalizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z zasadami różniczkowania i niektórymi metody techniczne znalezienie instrumentów pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę o poważny nastrój – materiał nie jest prosty, ale mimo to postaram się go przedstawić prosto i przejrzyście.
W praktyce z pochodną złożona funkcja z którym trzeba się zmierzyć bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostaje się zadania polegające na znalezieniu pochodnych.
Patrzymy na tabelę z zasadą (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:
Rozwiążmy to. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na wpis. Mamy tu dwie funkcje – i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego typu (kiedy jedna funkcja jest zagnieżdżona w drugiej) nazywana jest funkcją złożoną.
Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..
! Definicje te nie mają charakteru teoretycznego i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Państwu zrozumienie materiału.
Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:
Przykład 1
Znajdź pochodną funkcji
Pod sinusem mamy nie samą literę „X”, ale całe wyrażenie, dlatego znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie będzie działać. Zauważamy też, że tutaj nie da się zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że sinusa nie da się „rozerwać na kawałki”:
W w tym przykładzie Z moich wyjaśnień wynika już intuicyjnie, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzeniem) i funkcją zewnętrzną.
Pierwszy krok co musisz zrobić, gdy znajdujesz pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.
W razie proste przykłady Wydaje się jasne, że pod sinusem jest osadzony wielomian. A co jeśli nie wszystko jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, sugeruję zastosowanie następującej techniki, którą można wykonać mentalnie lub w przeciągu.
Wyobraźmy sobie, że musimy skorzystać z kalkulatora, aby obliczyć wartość wyrażenia w (zamiast jedynki może być dowolna liczba).
Co obliczymy najpierw? Przede wszystkim będziesz musiał wykonać następującą czynność: , dlatego wielomian będzie funkcją wewnętrzną: 
Po drugie trzeba będzie znaleźć, więc sinus – będzie funkcją zewnętrzną: 
Po nas WYPRZEDANE przy funkcjach wewnętrznych i zewnętrznych czas zastosować zasadę różniczkowania funkcji złożonych 
.
Zacznijmy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się w ten sposób - wyrażenie zamykamy w nawiasie i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:
Najpierw znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), spójrzmy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważmy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają również zastosowanie, jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, V w tym przypadku:
Należy pamiętać, że funkcja wewnętrzna nie uległo zmianie, nie dotykamy tego.
Cóż, to całkiem oczywiste
Wynik zastosowania formuły 
w ostatecznej formie wygląda to tak:
Stały czynnik zwykle umieszcza się na początku wyrażenia:
W razie nieporozumień zapisz rozwiązanie na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Jak zwykle zapisujemy: 
Zastanówmy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w pamięci lub w wersji roboczej) obliczyć wartość wyrażenia w . Co powinieneś zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, ile wynosi podstawa: dlatego wielomian jest funkcją wewnętrzną: 
I dopiero wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, zatem funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną: 
Według formuły 
, najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Szukanego wzoru szukamy w tabeli: . Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna obowiązuje nie tylko dla „X”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej 
Następny:
Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, nasza funkcja wewnętrzna nie ulegnie zmianie: 
Teraz pozostaje tylko znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i nieco zmodyfikować wynik:
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).
Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj sam to rozgryźć, uzasadnij, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?
Przykład 5
a) Znajdź pochodną funkcji
b) Znajdź pochodną funkcji
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Tutaj mamy pierwiastek i aby go rozróżnić, należy go przedstawić jako potęgę. Zatem najpierw doprowadzamy funkcję do postaci odpowiedniej do różniczkowania:
Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a podniesienie do potęgi funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych 
:
Ponownie przedstawiamy stopień jako pierwiastek, a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:
Gotowy. Możesz także podać wyrażenie w nawiasie wspólny mianownik i zapisz wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy otrzymasz kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).
Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu 
, ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na niecodzienną perwersję. Oto typowy przykład:
Przykład 8
Znajdź pochodną funkcji
Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu 
, ale znacznie bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej poprzez regułę różniczkowania funkcji zespolonej:
Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy minus ze znaku pochodnej, a cosinus podnosimy do licznika:
Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły 
:
Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej i cofamy cosinus w dół:
Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły 
, odpowiedzi muszą się zgadzać.
Przykład 9
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).
Do tej pory przyglądaliśmy się przypadkom, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji zespolonej. W zadaniach praktycznych często można spotkać pochodne, gdzie niczym zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.
Przykład 10
Znajdź pochodną funkcji
Rozumiemy załączniki tej funkcji. Spróbujmy obliczyć wyrażenie, korzystając z wartości eksperymentalnej. Jak liczylibyśmy na kalkulatorze?
Najpierw musisz znaleźć , co oznacza, że arcsinus jest najgłębszym osadzeniem:
Ten arcsinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:
I na koniec podnosimy siedem do potęgi: 
Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa osadzania, podczas gdy najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcsinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.
Zacznijmy decydować
Zgodnie z zasadą 
Najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę instrumentów pochodnych i znajdujemy pochodną funkcja wykładnicza: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, co nie podważa słuszności tej formuły. A więc wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej 
Następny.
Operację znajdowania pochodnej nazywamy różniczkowaniem.
W wyniku rozwiązania problemów znalezienia pochodnych najprostszych (i niezbyt prostych) funkcji poprzez zdefiniowanie pochodnej jako granicy stosunku przyrostu do przyrostu argumentu, pojawiła się tabela pochodnych i precyzyjnie określone zasady różniczkowania . Pierwszymi, którzy zajęli się znajdowaniem pochodnych byli Izaak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Dlatego w naszych czasach, aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, nie trzeba obliczać wspomnianej powyżej granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, a wystarczy skorzystać z tabeli pochodne i zasady różniczkowania. Poniższy algorytm jest odpowiedni do znajdowania pochodnej.
Aby znaleźć pochodną, potrzebujesz wyrażenia pod znakiem pierwszym rozkładanie prostych funkcji na komponenty i określ, jakie działania (iloczyn, suma, iloraz) te funkcje są ze sobą powiązane. Następnie pochodne funkcji elementarnych znajdujemy w tabeli pochodnych, a wzory na pochodne iloczynu, sumy i ilorazu - w zasadach różniczkowania. Tablicę pochodnych i zasady różniczkowania podano po pierwszych dwóch przykładach.
Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie. Z zasad różniczkowania dowiadujemy się, że pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych funkcji, tj.
Z tabeli pochodnych dowiadujemy się, że pochodna „x” jest równa jeden, a pochodna sinusa jest równa cosinus. Podstawiamy te wartości do sumy pochodnych i znajdujemy pochodną wymaganą przez warunek zadania:
Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie. Różniczkujemy jako pochodną sumy, w której drugi wyraz ma stały czynnik; można go wyprowadzić ze znaku pochodnej:
Jeśli nadal pojawiają się pytania o to, skąd coś się bierze, zwykle wyjaśnia się je po zapoznaniu się z tabelą pochodnych i najprostszymi regułami różniczkowania. Właśnie do nich przechodzimy.
Tabela pochodnych funkcji prostych
| 1. Pochodna stałej (liczby). Dowolna liczba (1, 2, 5, 200...) występująca w wyrażeniu funkcji. Zawsze równe zeru. Warto o tym pamiętać, ponieważ jest to wymagane bardzo często | |
| 2. Pochodna zmiennej niezależnej. Najczęściej „X”. Zawsze równy jeden. To także warto zapamiętać na długo | |
| 3. Pochodna stopnia. Rozwiązując problemy, musisz przekształcić pierwiastki inne niż kwadratowe w potęgi. | |
| 4. Pochodna zmiennej do potęgi -1 | |
| 5. Pochodna pierwiastek kwadratowy | |
| 6. Pochodna sinusa | |
| 7. Pochodna cosinusa |  |
| 8. Pochodna tangensa |  |
| 9. Pochodna kotangensu |  |
| 10. Pochodna arcsine |  |
| 11. Pochodna arckosinusa |  |
| 12. Pochodna arcustangens |  |
| 13. Pochodna cotangensu łukowego |  |
| 14. Pochodna logarytmu naturalnego | |
| 15. Pochodna funkcji logarytmicznej |  |
| 16. Pochodna wykładnika | |
| 17. Pochodna funkcji wykładniczej |
Zasady różnicowania
| 1. Pochodna sumy lub różnicy |  |
| 2. Pochodna produktu |  |
| 2a. Pochodna wyrażenia pomnożona przez stały współczynnik | |
| 3. Pochodna ilorazu |  |
| 4. Pochodna funkcji zespolonej |  |
Zasada 1.Jeśli funkcje
są różniczkowalne w pewnym punkcie, to funkcje są różniczkowalne w tym samym punkcie
I
te. pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji.
Konsekwencja. Jeżeli dwie funkcje różniczkowalne różnią się składnikiem stałym, to ich pochodne są równe, tj.
Zasada 2.Jeśli funkcje
są różniczkowalne w pewnym punkcie, to ich iloczyn jest różniczkowalny w tym samym punkcie
I
te. Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej.
Wniosek 1. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik:
Konsekwencja 2. Pochodna iloczynu kilku funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pochodnej każdego czynnika i wszystkich pozostałych.
Na przykład dla trzech mnożników:
Zasada 3.Jeśli funkcje
w pewnym momencie różniczkowalne I , to w tym momencie ich iloraz jest również różniczkowalnyu/v i
te. pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownika, a mianownikiem jest kwadrat poprzedni licznik.
Gdzie szukać rzeczy na innych stronach
Znajdując pochodną iloczynu i ilorazu w rzeczywistych problemach, zawsze konieczne jest zastosowanie kilku zasad różniczkowania na raz, dlatego w artykule jest więcej przykładów na te pochodne„Pochodna iloczynu i iloraz funkcji”.
Komentarz. Nie należy mylić stałej (czyli liczby) z wyrazem sumy i stałym czynnikiem! W przypadku terminu jego pochodna jest równa zeru, a w przypadku czynnika stałego jest ona odejmowana od znaku pochodnych. Ten typowy błąd, który następuje etap początkowy studiując instrumenty pochodne, ale rozwiązując kilka jedno- i dwuczęściowych przykładów, przeciętny student nie popełnia już tego błędu.
A jeśli różnicując iloczyn lub iloraz, masz termin ty"w, w którym ty- liczba, na przykład 2 lub 5, czyli stała, wtedy pochodna tej liczby będzie równa zero, a zatem cały wyraz będzie równy zero (przypadek ten omówiono w przykładzie 10).
Inny częsty błąd- mechaniczne rozwiązanie pochodnej funkcji zespolonej jako pochodnej funkcji prostej. Dlatego pochodna funkcji zespolonej poświęcony jest osobny artykuł. Ale najpierw nauczymy się znajdować pochodne prostych funkcji.
Po drodze nie można obejść się bez przekształcania wyrażeń. W tym celu konieczne może być otwarcie instrukcji w nowym oknie. Działania z mocami i korzeniami I Operacje na ułamkach .
Jeśli szukasz rozwiązań pochodnych ułamków o potęgach i pierwiastkach, czyli wtedy, gdy funkcja wygląda 
, a następnie postępuj zgodnie z lekcją „Pochodna sum ułamków z potęgami i pierwiastkami”.
Jeśli masz takie zadanie jak 
, następnie odbędziesz lekcję „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych”.
Przykłady krok po kroku - jak znaleźć pochodną
Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie. Definiujemy części wyrażenia funkcyjnego: całe wyrażenie reprezentuje iloczyn, a jego czynniki są sumami, w których drugi z wyrazów zawiera stały czynnik. Stosujemy zasadę różniczkowania iloczynu: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji przez pochodną drugiej:
Następnie stosujemy zasadę różniczkowania sum: pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji. W naszym przypadku w każdej sumie drugi wyraz ma znak minus. W każdej sumie widzimy zarówno zmienną niezależną, której pochodna jest równa jeden, jak i stałą (liczbę), której pochodna jest równa zero. Zatem „X” zamienia się w jeden, a minus 5 zamienia się w zero. W drugim wyrażeniu „x” jest mnożone przez 2, więc mnożymy dwa przez tę samą jednostkę, co pochodna „x”. Dostajemy następujące wartości pochodne:
Podstawiamy znalezione pochodne do sumy iloczynów i otrzymujemy pochodną całej funkcji wymaganej przez warunek zadania:
Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie. Musimy znaleźć pochodną ilorazu. Stosujemy wzór na różniczkowanie ilorazu: pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownik, a mianownikiem jest kwadrat poprzedniego licznika. Otrzymujemy:
Pochodną czynników w liczniku znaleźliśmy już w przykładzie 2. Nie zapominajmy też, że iloczyn, który jest drugim czynnikiem w liczniku w aktualny przykład zrobione ze znakiem minus:
Jeśli szukasz rozwiązań problemów, w których trzeba znaleźć pochodną funkcji, gdzie istnieje ciągły stos pierwiastków i potęg, jak np. 
, to witaj na zajęciach „Pochodna sum ułamków z potęgami i pierwiastkami” .
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o pochodnych sinusów, cosinusów, stycznych i innych funkcje trygonometryczne, czyli kiedy funkcja wygląda , to lekcja dla ciebie „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych” .
Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie. W funkcji tej widzimy iloczyn, którego jednym z czynników jest pierwiastek kwadratowy zmiennej niezależnej, której pochodną zapoznaliśmy się z tabelą pochodnych. Korzystając z reguły różniczkowania iloczynu i wartości tabelarycznej pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:
Przykład 6. Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloraz, którego dywidenda jest pierwiastkiem kwadratowym zmiennej niezależnej. Stosując zasadę różniczkowania ilorazów, którą powtórzyliśmy i zastosowaliśmy w przykładzie 4, oraz tabelaryczną wartość pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:
Aby pozbyć się ułamka w liczniku, pomnóż licznik i mianownik przez.