Parabola je graf kvadratna funkcija. Ta vrstica ima velik fizični pomen. Da bi lažje našli vrh parabole, ga morate narisati. Nato lahko zlahka vidite njegov vrh na grafikonu. Toda za sestavo parabole morate vedeti, kako najti točke parabole in kako najti koordinate parabole.
Iskanje točk in oglišča parabole
IN splošna ideja kvadratna funkcija ima naslednjo obliko: y = ax 2 + bx + c. Urnik podana enačba je parabola. Pri vrednosti a › 0 so njegove veje usmerjene navzgor, pri vrednosti a ‹ 0 pa navzdol. Če želite sestaviti parabolo na grafu, morate poznati tri točke, če poteka vzdolž ordinatne osi. Sicer pa je treba poznati štiri gradbene točke.
Pri iskanju abscise (x) morate vzeti koeficient (x) iz dane polinomske formule in ga nato deliti z dvojnim koeficientom (x 2) in nato pomnožiti s številom – 1.
Da bi našli ordinato, morate najti diskriminanco, jo nato pomnožiti z – 1 in nato deliti s koeficientom pri (x 2), potem ko ga pomnožite s 4.
Nato se z zamenjavo številskih vrednosti izračuna vrh parabole. Za vse izračune je priporočljivo uporabljati inženirski kalkulator, pri risanju grafov in parabol pa uporabite ravnilo in lumograf, kar bo znatno povečalo natančnost vaših izračunov.
Razmislimo naslednji primer, ki nam bo pomagal razumeti, kako najti vrh parabole.
x 2 -9=0. IN v tem primeru koordinate vozlišč se izračunajo na naslednji način: točka 1 (-0/(2*1); točka 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Tako so koordinate oglišča vrednosti (0; 9).
Iskanje abscise oglišča
Ko znate najti parabolo in lahko izračunate njene presečišča s koordinatno (x) osjo, lahko preprosto izračunate absciso oglišča.
Naj sta (x 1) in (x 2) korenini parabole. Korenine parabole so točke njenega presečišča z osjo x. Te vrednosti so nastavljene na nič kvadratna enačba naslednje oblike: ax 2 + bx + c.
Poleg tega |x 2 | > |x 1 |, kar pomeni, da se vrh parabole nahaja na sredini med njima. Tako ga je mogoče najti z naslednjim izrazom: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).
Iskanje območja figure
Če želite najti območje figure na koordinatna ravnina morate poznati integral. In za njegovo uporabo je dovolj poznati določene algoritme. Da bi našli območje, omejeno s parabolo, ga je treba prikazati v kartezičnem koordinatnem sistemu.
Najprej z zgoraj opisano metodo določimo koordinato oglišča osi (x), nato os (y), nato pa poiščemo oglišče parabole. Sedaj moramo določiti meje integracije. Praviloma so navedeni v postavitvi problema s spremenljivkama (a) in (b). Te vrednosti je treba postaviti v zgornji oziroma spodnji del integrala. Nato morate vstopiti splošni pogled vrednost funkcije in jo pomnožite z (dx). V primeru parabole: (x 2)dx.
Nato morate izračunati antiderivacijsko vrednost funkcije v splošni obliki. Če želite to narediti, uporabite posebno tabelo vrednosti. Če tam nadomestimo meje integracije, ugotovimo razliko. Ta razlika bo območje.
Kot primer si oglejmo sistem enačb: y = x 2 +1 in x + y = 3.
Najdeni sta abscisi presečišč: x 1 = -2 in x 2 = 1.
Predpostavimo, da je y 2 = 3 in y 1 = x 2 + 1, nadomestimo vrednosti v zgornji formuli in dobimo vrednost, ki je enaka 4,5.
Zdaj smo se naučili najti parabolo in na podlagi teh podatkov tudi izračunati površino figure, ki jo omejuje.
Parabola je ena od krivulj drugega reda; njene točke so zgrajene v skladu s kvadratno enačbo. Glavna stvar pri konstruiranju te krivulje je najti vrh parabole. To lahko naredimo na več načinov.
Navodila
Za iskanje koordinat vozlišča parabole, uporabite naslednjo formulo: x=-b/2a, kjer je a koeficient pri x na kvadrat, b pa koeficient pri x. Vnesite svoje vrednosti in izračunajte njihovo vrednost. Nato nadomestite dobljeno vrednost za x v enačbo in izračunajte ordinato oglišča. Na primer, če vam je podana enačba y=2x^2-4x+5, poiščite absciso na naslednji način: x=-(-4)/2*2=1. Z nadomestitvijo x=1 v enačbo izračunajte vrednost y za točko parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Torej vrh parabole ima koordinate (1-3).
Vrednost ordinate parabole lahko najdete brez predhodnega izračuna abscise. Če želite to narediti, uporabite formulo y=-b^2/4ac+c.
Če poznate koncept derivata, poiščite vrh parabole z uporabo odvodov z uporabo naslednje lastnosti katere koli funkcije: prvi odvod funkcije, enak nič, označuje točke ekstrema. Od vrha parabole, ne glede na to, ali so njegove veje usmerjene navzgor ali navzdol, je ekstremna točka, izračunajte odvod za svojo funkcijo. Na splošno bo videti kot f(x)=2ax+b. Izenačite ga na nič in dobite koordinate oglišča parabole, ki ustreza vaši funkciji.
Poskusite najti vrh parabole, ki izkorišča njegovo lastnost, kot je simetrija. Če želite to narediti, poiščite točke presečišča parabole z osjo x, kar izenači funkcijo z nič (nadomešča y = 0). Z rešitvijo kvadratne enačbe boste našli x1 in x2. Ker je parabola simetrična glede na direktriso, ki poteka skozi vrh, bodo te točke enako oddaljene od abscise vrha. Če ga želite najti, razdelite razdaljo med točkama na pol: x=(Ix1-x2I)/2.
Če je kateri od koeficientov enak nič (razen a), izračunajte koordinate oglišča parabole z uporabo poenostavljenih formul. Na primer, če je b=0, kar pomeni, da ima enačba obliko y=ax^2+c, bo oglišče ležalo na osi oy in njegove koordinate bodo enake (0-c). Če ni le koeficient b=0, ampak tudi c=0, potem je oglišče parabole se nahaja na izhodišču, točki (0-0).
Veliko tehničnih, ekonomskih in socialna vprašanja so predvidene z uporabo krivulj. Najpogosteje uporabljena vrsta med njimi je parabola, natančneje njena polovica. Pomemben sestavni del vsake parabolične krivulje je njeno oglišče, katerega določitev natančnih koordinat včasih igra ključno vlogo ne le pri prikazu samega procesa, temveč tudi pri kasnejših sklepih. Kako najti njegove natančne koordinate, bomo razpravljali v tem članku.
Začni iskanje
Preden nadaljujemo z iskanjem koordinat vrha parabole, se seznanimo s samo definicijo in njenimi lastnostmi. V klasičnem smislu je parabola takšna razporeditev točk, ki odstraniti na enaki razdalji od določene točke(gorišče, točka F), pa tudi od premice, ki ne poteka skozi točko F. Razmislite ta definicija podrobneje na sliki 1.
Slika 1. Klasičen pogled na parabolo
Slika prikazuje klasično obliko. Fokus je točka F. V tem primeru se za direktriso šteje ravna črta osi Y (označena z rdečo). Iz definicije se lahko prepričate, da ima absolutno katera koli točka na krivulji, ne da bi upoštevali žarišče, podobno točko na drugi strani, ki se nahaja na enaki razdalji od osi simetrije kot sama. Poleg tega razdalja od katere koli točke na paraboli enaka razdalji do režiserja. Če pogledamo naprej, povejmo, da ni nujno, da je središče funkcije v izhodišču in da so veje lahko usmerjene v različne smeri.
Parabola ima, tako kot vsaka druga funkcija, svoj vnos v obliki formule:
V navedeni formuli črka "s" označuje parameter parabole, ki je enak razdalji od fokusa do direktrise. Obstaja tudi druga oblika zapisa, označena z GMT, ki ima obliko:
Ta formula se uporablja pri reševanju problemov na področju matematične analize in se uporablja pogosteje kot tradicionalna (zaradi priročnosti). V prihodnje se bomo osredotočili na drugi vnos.
To je zanimivo!: dokaz
Izračun koeficientov in glavnih točk parabole
Glavni parametri običajno vključujejo lokacijo oglišča na abscisni osi, koordinate oglišča na ordinatni osi in parameter direktrise.
Numerična vrednost koordinate oglišča na osi x
Če je enačba parabole podana v klasični obliki (1), potem vrednost abscise na želeni točki bo enaka polovici vrednosti parametra s(polovica razdalje med direktriso in goriščem). Če je funkcija predstavljena v obliki (2), se x nič izračuna po formuli:
Če pogledamo to formulo, lahko rečemo, da bo oglišče na desni polovici glede na os y, če je eden od parametrov a ali b manjši od nič.
Enačba direktrise je definirana z naslednjo enačbo:
Vrednost vrha na ordinatni osi
Številčno vrednost lokacije oglišča za formulo (2) na ordinatni osi je mogoče najti z naslednjo formulo:
Iz tega lahko sklepamo, da če a<0, то vrh krivulje bo v zgornji polravnini, drugače – na dnu. V tem primeru bodo imele točke parabole enake lastnosti, kot smo jih omenili prej.
Če je podana klasična oblika zapisa, bo bolj racionalno izračunati vrednost lokacije vrha na osi abscise in skozi to kasnejšo vrednost ordinate. Upoštevajte, da bo za obliko zapisa (2) simetrijska os parabole v klasični predstavitvi sovpadala z ordinatno osjo.
Pomembno! Pri reševanju problemov z enačbo parabole najprej poudarite glavne vrednosti, ki so že znane. Poleg tega bo koristno, če se določijo manjkajoči parametri. Ta pristop bo zagotovil več "manevrskega prostora" vnaprej in bolj racionalno rešitev. V praksi poskusite uporabiti zapis (2). Lažje je razumljivo (ni vam treba »obrniti Descartesovih koordinat«), velika večina nalog pa je prilagojena prav tej obliki zapisa.
Konstruiranje parabolične krivulje
Preden zgradite parabolo, morate z uporabo običajne oblike zapisa najti njeno oglišče. Preprosto povedano, morate izvesti naslednji algoritem:
- Poiščite koordinato oglišča na osi X.
- Poiščite koordinato lokacije oglišča na osi Y.
- Če nadomestite različne vrednosti odvisne spremenljivke X, poiščite ustrezne vrednosti Y in zgradite krivuljo.
Tisti. Algoritem ni zapleten, glavni poudarek je na tem, kako najti vrh parabole. Nadaljnji proces gradnje lahko štejemo za mehanski.
Če so podane tri točke, katerih koordinate so znane, je treba najprej sestaviti enačbo za samo parabolo, nato pa ponoviti prej opisani postopek. Ker v enačbi (2) so 3 koeficienti, nato pa z uporabo koordinat točk izračunamo vsakega od njih:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
V formulah (5.1), (5.2), (5.3) so uporabljene tiste točke, ki so znane (na primer A (, B (, C (). Na ta način najdemo enačbo parabole s pomočjo 3 točk. S praktične strani ta pristop ni najbolj »prijeten«, vendar daje jasen rezultat, na podlagi katerega se kasneje sestavi sama krivulja.
Pri konstruiranju parabole vedno obstajati mora simetrična os. Formula za simetrično os za zapis (2) bo videti takole:
Tisti. Iskanje simetrijske osi, na katero so simetrične vse točke krivulje, ni težko. Natančneje, enaka je prvi koordinati oglišča.
Ilustrativni primeri
Primer 1. Recimo, da imamo enačbo parabole:
Poiskati morate koordinate vrha parabole in preveriti, ali točka D (10; 5) pripada dani krivulji.
Rešitev: Najprej preverimo, ali omenjena točka pripada sami krivulji
Iz česar sklepamo, da navedena točka ne pripada dani krivulji. Poiščimo koordinate vrha parabole. Iz formul (4) in (5) dobimo naslednje zaporedje:
Izkazalo se je, da so koordinate na vrhu, v točki O, naslednje (-1,25; -7,625). To nakazuje, da naš parabola izvira iz 3. četrtine kartezičnega sistema koordinate
Primer 2. Poiščite oglišče parabole ob poznavanju treh točk, ki mu pripadajo: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Z uporabo formul (5.1), (5.2), (5.3) najdemo koeficiente enačbe parabole. Dobimo naslednje:
Z uporabo dobljenih vrednosti dobimo naslednjo enačbo:
Na sliki bo določena funkcija videti tako (slika 2):
Slika 2. Graf parabole, ki poteka skozi 3 točke
Tisti. Graf parabole, ki poteka skozi tri dane točke, bo imel vrh v 1. četrtini. Vendar pa so veje te krivulje usmerjene navzdol, tj. pride do premika parabole iz izhodišča. To konstrukcijo bi lahko predvideli, če bi bili pozorni na koeficiente a, b, c.
Še posebej, če a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 krivulja bo raztegnjena, če pa manj kot 1, bo stisnjena.
Konstanta c je odgovorna za "premikanje" krivulje vzdolž ordinatne osi. Če je c>0, potem parabola "polzi" navzgor, drugače – navzdol. Kar zadeva koeficient b, lahko stopnjo vpliva določimo le s spremembo oblike pisanja enačbe in jo pripeljemo do naslednje oblike:
Če je koeficient b>0, se koordinate vrha parabole premaknejo v desno za b enot, če manj, pa za b enot v levo.
Pomembno! Uporaba tehnik za določanje premika parabole na koordinatni ravnini včasih pomaga prihraniti čas pri reševanju problemov ali ugotoviti možno presečišče parabole z drugo krivuljo pred gradnjo. Običajno gledajo le na koeficient a, saj le ta daje jasen odgovor na zastavljeno vprašanje.
Uporaben video: kako najti vrh parabole
Koristen videoposnetek: kako preprosto ustvariti enačbo parabole iz grafa
Zaključek
Algebraični postopek, kot je določanje oglišč parabole, ni zapleten, je pa precej delovno intenziven. V praksi poskušajo uporabiti drugo obliko zapisa za lažje razumevanje grafične rešitve in rešitve kot celote. Zato močno priporočamo uporabo točno tega pristopa, in če se ne spomnite formule za koordinate vozlišč, potem imejte vsaj goljufijo.
Graf kvadratne funkcije se imenuje parabola. Ta vrstica ima velik fizični pomen. Nekateri se premikajo po paraboli nebesna telesa. Antena v obliki parabole fokusira žarke, ki tečejo vzporedno s simetrično osjo parabole. Telesa, vržena navzgor pod kotom, dosežejo zgornjo točko in padejo navzdol ter prav tako opisujejo parabolo. Očitno je vedno koristno poznati koordinate vrha tega gibanja.
Navodila
1. Kvadratno funkcijo v splošni obliki zapišemo z enačbo: y = ax? + bx + c. Graf te enačbe je parabola, katere veje so usmerjene navzgor (za a > 0) ali navzdol (za a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.
2. Ljudje, ki poznajo izpeljano predstavitev, lahko zlahka zaznajo vrh parabole. Ne glede na lokacijo vej parabole je njen vrh točka ekstrema (minimum, če so veje usmerjene navzgor, ali maksimum, ko so veje usmerjene navzdol). Če želite najti domnevne ekstremne točke katere koli funkcije, morate izračunati njen prvi odvod in ga enačiti z nič. Na splošno je odvod kvadratne funkcije enak f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Če enačimo na nič, dobimo 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.
3. Parabola je simetrična črta. Simetrijska os poteka skozi oglišče parabole. Če poznate točke presečišča parabole s koordinatno osjo X, lahko zlahka najdete absciso točke x0. Naj sta x1 in x2 korenini parabole (tako imenovani presečni točki parabole z osjo abscise, ker te vrednosti obrnejo kvadratno enačbo ax? + bx + c na nič). Hkrati naj velja |x2| > |x1|, potem leži oglišče parabole na sredini med njima in ga najdemo iz nadaljnjega izraza: x0 = ?(|x2| – |x1|).
Parabola je graf kvadratne funkcije; v splošnem se enačba parabole zapiše y=aх^2+bх+с, kjer je a?0. To je univerzalna krivulja drugega reda, ki opisuje številne pojave v življenju, na primer gibanje vrženega in nato padajočega telesa, obliko mavrice in s tem znanje za odkrivanje parabola Morda pride prav v resničnem življenju.
Potrebovali boste
- – formula kvadratne enačbe;
- – list papirja s koordinatno mrežo;
- - svinčnik, radirka;
- – računalnik in program Excel.
Navodila
1. Najprej poiščite vrh parabole. Da bi našli absciso te točke, vzemite eksponent pred x, ga delite z dvakratnim eksponentom pred x^2 in pomnožite z -1 (formula x=-b/2a). Poiščite ordinato tako, da dobljeno vrednost nadomestite v enačbo ali uporabite formulo y=(b^2-4ac)/4a. Dobili ste koordinate oglišča parabole.
2. Vrh parabole je mogoče zaznati tudi z drugo metodo. Ker je oglišče ekstremum funkcije, ga izračunajte tako, da izračunate prvi odvod in ga enačite na nič. V splošni obliki boste dobili formulo f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. In če ga enačimo z nič, boste prišli do iste formule - x=-b/2a.
3. Ugotovite, ali so veje parabole usmerjene navzgor ali navzdol. Če želite to narediti, poglejte indikator pred x^2, to je a. Če je a>0, so veje usmerjene navzgor, če je a
4. Konstruirajte simetrijsko os parabole; ta seka oglišče parabole in je vzporedna z osjo y. Vse točke parabole bodo enako oddaljene od nje, zato je mogoče sestaviti samo en del in ga nato simetrično prikazati glede na os parabole.
5. Narišite črto parabole. Če želite to narediti, poiščite več točk z zamenjavo različne pomene x v enačbe in reševanje enačbe. Primerno je zaznati presečišče z osemi; nadomestiti x=0 in y=0 v enakost. Ko dvignete eno stran, jo odsevate simetrično glede na os.
6. Dovoljena gradnja parabola z uporabo Excela. To storite tako, da odprete nov dokument in v njem izberete dva stolpca, x in y=f(x). V prvi stolpec zapišite vrednosti x na izbranem segmentu, v drugi stolpec pa formulo, recimo =2B3*B3-4B3+1 ali =2B3^2-4B3+1. Da te formule ne pišete vsakič, jo "raztegnite" v vsak stolpec tako, da kliknete na križec v spodnjem desnem kotu in jo povlečete navzdol.
7. Ko imate tabelo, kliknite meni »Vstavi« – »Grafikon«. Izberite razpršeni graf, kliknite Naprej. V oknu, ki se prikaže, dodajte vrstico s klikom na gumb »Dodaj«. Če želite izbrati zahtevane celice, eno za drugo kliknite gumbe, obkrožene z rdečim ovalom spodaj, nato pa izberite svoje stolpce z vrednostmi. S klikom na gumb »Končano« ocenite rezultat – končano parabola .
Video na temo
Ko iščete kvadratno funkcijo, katere graf je parabola, morate na eni od točk najti koordinate vrhovi parabole. Kako to narediti analitično z uporabo enačbe, podane za parabolo?
Navodila
1. Kvadratna funkcija je funkcija oblike y=ax^2+bx+c, kjer je a vodilni eksponent (strogo mora biti različen od nič), b je najnižji eksponent, c je prosti člen. Ta funkcija daje svojemu grafu parabolo, katere veje so usmerjene navzgor (če a>0) ali navzdol (če je<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.
2. Poiščimo koordinato x0 vrhovi parabole. Najdemo ga po formulix0=-b/a.
3. y0=y(x0). Za odkrivanje koordinate y0 vrhovi parabole, morate zaznano vrednost x0 zamenjati v funkcijo namesto x. Izračunajte, čemu je enako y0.
4. Koordinate vrhovi parabole so odkrili. Zapišite jih kot koordinate ene same točke (x0,y0).
5. Pri konstruiranju parabole ne pozabite, da je simetrična glede na simetrično os parabole, ki poteka navpično skozi vrh parabole, ker kvadratna funkcija je soda. Posledično je dovolj, da iz točk sestavimo samo eno vejo parabole, drugo pa dokončamo simetrično.
Video na temo
Za funkcije (oz. njihove grafe) se uporablja predstavitev najvišjo vrednost, vključno z lokalnim maksimumom. Ideja o "vrhu" je bolj verjetno povezana z geometrijske oblike. Najvišje točke gladkih funkcij (ki imajo odvod) je enostavno določiti z uporabo ničel prvega odvoda.
Navodila
1. Za točke, v katerih funkcija ni diferenciacijska, temveč konstantna, ima lahko največja vrednost na intervalu obliko konice (na primer y=-|x|). Na takih točkah grafa funkcije možno je narisati poljubno število tangent in za to ne obstaja izpeljanka. Sami funkcije te vrste so običajno navedeni na segmentih. Točke, v katerih je izpeljanka funkcije enako nič ali ne obstaja imenujemo skeptični.
2. Izkazalo se je, da bi našli največ točk funkcije y=f(x) je potrebno: zaznati skeptične točke; Če se pri prehodu točke znak izmenično spremeni iz "+" v "-", se pojavi maksimum.
3. Primer. Poiščite največje vrednosti funkcije(glej sliko 1).y=x+3 za x?-1 in y=((x^2)^(1/3)) –x za x>-1.
4. Reaniranje. y=x+3 za x?-1 in y=((x^2)^(1/3)) –x za x>-1. Funkcija je namenoma navedena na segmentih, saj je v tem primeru cilj prikazati vse v enem primeru. Preprosto je preveriti, da pri x=-1 funkcija ostane konstantna y'=1 pri x?-1 in y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-). 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) za x>-1. y'=0 za x=8/27. y' ne obstaja za x=-1 in x= 0. V tem primeru je y'>0, če je x
Video na temo
Parabola je ena od krivulj drugega reda; njene točke so dvignjene v skladu s kvadratno enačbo. Glavna stvar pri konstruiranju te poševnice je zaznati vrh parabole. To lahko naredimo na več načinov.
Navodila
1. Če želite najti koordinate oglišča parabole, uporabite naslednjo formulo: x = -b/2a, kjer je a indikator pred x na kvadrat, b pa indikator pred x. Vnesite svoje vrednosti in izračunajte njihovo vrednost. Nato nadomestite dobljeno vrednost za x v enačbi in izračunajte ordinato oglišča. Recimo, če vam je dana enačba y=2x^2-4x+5, potem poiščite absciso na naslednji način: x=-(-4)/2*2=1. Z nadomestitvijo x=1 v enačbo izračunajte vrednost y za točko parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Torej vrh parabole ima koordinate (1;3).
2. Vrednost ordinate parabole mogoče zaznati brez vnaprejšnjega izračuna abscise. Če želite to narediti, uporabite formulo y=-b^2/4ac+c.
3. Če ste seznanjeni z izpeljano predstavitvijo, odkrijte vrh parabole z uporabo odvodov, pri čemer izkoristimo nadaljnjo lastnost vsake funkcije: prvi odvod funkcije, enak nič, označuje točke ekstrema. Ker vrh parabole, ne glede na to, ali so njegove veje usmerjene navzgor ali navzdol, je ekstremna točka, izračunajte odvod za svojo funkcijo. V splošni obliki bo videti kot f(x)=2ax+b. Izenačite ga na nič in dobite koordinate oglišča parabole, ki ustreza vaši funkciji.
4. Poskusite odkriti vrh parabole, ki izkorišča njegovo lastnost, kot je simetrija. Če želite to narediti, poiščite točke presečišča parabole z osjo x, kar izenači funkcijo z nič (nadomešča y = 0). Ko rešite kvadratno enačbo, boste našli x1 in x2. Ker je parabola simetrična glede na direktriso, ki poteka skozi vrh, bodo te točke enako oddaljene od abscise vrha. Da bi jo zaznali, razdaljo med točkama delimo na pol: x = (Ix1-x2I)/2.
5. Če je kateri od eksponentov enak nič (poleg a), izračunajte koordinate oglišča parabole z uporabo poenostavljenih formul. Recimo, če je b = 0, to pomeni, da ima enačba obliko y = ax^2 + c, potem bo oglišče ležalo na osi oy in njegove koordinate bodo enake (0; c). Če ni samo eksponent b=0, ampak tudi c=0, potem je oglišče parabole se nahaja v izhodišču, točki (0;0).
Video na temo
Izhajajoč iz ene točke, ravne črte tvorijo kot, kjer je njihova skupna točka vrh. V delu teoretične algebre so pogosto težave, ko morate najti koordinate tega vrhovi, da bi nato določili enačbo premice, ki poteka skozi oglišče.
Navodila
1. Preden začnete postopek iskanja koordinat vrhovi, se odločite za začetne podatke. Sprejmite, da želeno oglišče pripada trikotniku ABC, v katerem so znane koordinate drugih 2 oglišč in številske vrednosti. vogali, enako "e" in "k" na strani AB.
2. Združite nov sistem koordinate na eno od stranic trikotnika AB tako, da uvodni del koordinatnega sistema sovpada s točko A, katere koordinate so vam znane. Drugo oglišče B bo ležalo na osi OX in tudi njegove koordinate so vam znane. Določite dolžino stranice AB vzdolž osi OX glede na koordinate in jo vzemite enako "m".
3. Spustite pravokotno od neznanega vrhovi C na os OX oziroma na stranico trikotnika AB. Dobljena višina "y" določa vrednost ene od koordinat vrhovi C vzdolž osi OY. Predpostavimo, da višina "y" deli stranico AB na dva segmenta, enaka "x" in "m - x".
4. Ker poznaš pomen vseh vogali trikotnika, kar pomeni, da so znane tudi vrednosti njihovih tangent. Vzemite tangentne vrednosti za vogali, ki meji na stranico trikotnika AB, enako tan(e) in tan(k).
5. Vnesite enačbi za 2 premici, ki potekata vzdolž stranic AC oziroma BC: y = tan(e) * x in y = tan(k) * (m – x). Nato poiščite presečišče teh premic z uporabo transformiranih enačb premic: tan(e) = y/x in tan(k) = y/(m – x).
6. Če predpostavite, da je tan(e)/tan(k) enako (y/x) /(y/ (m – x)) ali pozneje skrajšate »y« – (m – x) / x, boste na koncu dobili želene vrednosti koordinate enake x = m / (tan(e)/tan(k) + e) in y = x * tan(e).
7. Nadomestne vrednosti vogali(e) in (k), kot tudi zaznano vrednost stranice AB = m v enačbi x = m / (tan(e)/tan(k) + e) in y = x * tan(e ).
8. Pretvori nov koordinatni sistem v začetni sistem koordinate, od dejstva, da je bila med njima vzpostavljena korespondenca ena na ena, in boste dobili želene koordinate vrhovi trikotnik ABC.
Video na temo
Video na temo
Navodila
Kvadratno funkcijo v splošni obliki zapišemo z enačbo: y = ax² + bx + c. Graf te enačbe je , katerega veje so usmerjene navzgor (za a > 0) ali navzdol (za a< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.
Ljudje, ki poznajo koncept izpeljanke, zlahka najdejo vrh parabole. Ne glede na položaj vej parabole je njeno vrh točka (najmanj, če so veje usmerjene navzgor ali ko so veje usmerjene navzdol). Če želite najti domnevne ekstremne točke katerega koli , morate izračunati njegov prvi odvod in ga enačiti z nič. Na splošno je odvod enak f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Če enačimo na nič, dobimo 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.
Parabola je simetrična črta. Os poteka skozi vrh parabole. Če poznate točke parabole s koordinatno osjo X, zlahka najdete absciso točke x0. Naj sta x1 in x2 korenini parabole (tako imenovani presečni točki parabole z osjo x, saj zaradi teh vrednosti kvadratna enačba ax² + bx + c izgine). Naj bo |x2| > |x1|, potem leži oglišče parabole na polovici med njima in ga lahko najdemo iz naslednjega izraza: x0 = ½(|x2| - |x1|).
Video na temo
Viri:
- Kvadratna funkcija
- formula za iskanje vrha parabole
Parabola je graf kvadratne funkcije; na splošno je enačba parabole zapisana y=ax^2+bx+c, kjer je a≠0. To je univerzalna krivulja drugega reda, ki opisuje številne pojave v življenju, na primer gibanje vrženega in nato padajočega telesa, obliko mavrice, torej sposobnost iskanja parabola lahko zelo koristno v življenju.
Potrebovali boste
- - formula kvadratne enačbe;
- - list papirja s koordinatno mrežo;
- - svinčnik, radirka;
- - računalnik in program Excel.
Navodila
Najprej poiščite vrh parabole. Če želite najti absciso te točke, vzemite koeficient pri x, ga delite z dvakratnim koeficientom pri x^2 in pomnožite z -1 ( x = -b/2a). Poiščite ordinato tako, da dobljeno vrednost nadomestite v enačbo ali uporabite formulo y=(b^2-4ac)/4a. Dobili ste koordinate oglišča parabole.
Oglišče parabole lahko najdemo na drug način. Ker gre za ekstrem funkcije, ga izračunajte tako, da izračunate prvi odvod in ga enačite z nič. Na splošno boste dobili formulo f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. In če ga enačimo z nič, boste prišli do iste formule - x=-b/2a.
Ugotovite, ali so veje parabole usmerjene navzgor ali navzdol. Če želite to narediti, poglejte koeficient pred x^2, to je a. Če je a>0, so veje usmerjene navzgor, če je a
Koordinate vrhovi parabole so našli. Zapišite jih kot koordinate ene same točke (x0,y0).
Video na temo
Za funkcije (natančneje njihove grafe) se uporablja koncept največje vrednosti, vključno z lokalnim maksimumom. Koncept "vozila" je bolj povezan z geometrijskimi figurami. Najvišje točke gladkih funkcij (ki imajo odvod) je enostavno določiti z uporabo ničel prvega odvoda.
Navodila
Za točke, kjer funkcija ni diferenciabilna, ampak zvezna, ima lahko največja vrednost na intervalu obliko konice (pri y=-|x|). Na takih točkah funkcije Lahko narišete kolikor hočete tangent za to preprosto ne obstaja. Sami funkcije Ta tip je običajno določen na segmentih. Točke, v katerih je izpeljanka funkcije enako nič ali ne obstaja imenujemo kritične.
Reaniranje. y=x+3 za x≤-1 in y=((x^2)^(1/3)) –x za x>-1. Funkcija je namenoma navedena na segmentih, saj je v tem primeru cilj prikazati vse v enem primeru. Preprosto je, da za x=-1 funkcija ostane zvezna. y'=1 za x≤-1 in y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) za x>-1. y'=0 za x=8/27. y' ne obstaja za x=-1 in x=0. V tem primeru je y '>0, če je x
Video na temo
Parabola je ena od krivulj drugega reda; njene točke so zgrajene v skladu s kvadratno enačbo. Glavna stvar pri konstruiranju te krivulje je najti vrh parabole. To lahko naredimo na več načinov.
Navodila
Za iskanje koordinat vozlišča parabole, uporabite naslednjo formulo: x=-b/2a, kjer je a koeficient pred x v, b pa koeficient pred x. Vnesite svoje vrednosti in jih izračunajte. Nato nadomestite dobljeno vrednost za x v enačbo in izračunajte ordinato oglišča. Na primer, če vam je podana enačba y=2x^2-4x+5, poiščite absciso na naslednji način: x=-(-4)/2*2=1. Z nadomestitvijo x=1 v enačbo izračunajte vrednost y za točko parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Torej vrh parabole ima koordinate (1;3).
Vrednost ordinate parabole lahko najdete brez predhodnega izračuna abscise. Če želite to narediti, uporabite formulo y=-b^2/4ac+c.
Če poznate koncept derivata, poiščite vrh parabole z uporabo odvodov, z uporabo naslednje lastnosti katerega koli: prvi odvod funkcije, enak nič, kaže na. Od vrha parabole, ne glede na to, ali so njegove veje usmerjene navzgor ali navzdol, točka , izračunajte odvod za svojo funkcijo. Na splošno bo videti kot f(x)=2ax+b. Izenačite ga na nič in dobite koordinate oglišča parabole, ki ustreza vaši funkciji.
Poskusite najti vrh parabole, ki izkorišča njegovo lastnost, kot je simetrija. Če želite to narediti, poiščite točke presečišča parabole z osjo x, kar izenači funkcijo z nič (nadomešča y = 0). Z rešitvijo kvadratne enačbe boste našli x1 in x2. Ker je parabola simetrična glede na direktriso, ki poteka skozi vrh, bodo te točke enako oddaljene od abscise vrha. Da ga najdemo, razdelimo