Συστήματα λογικών εξισώσεων σε προβλήματα Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης στην επιστήμη των υπολογιστών. Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων

Νόσκιν Αντρέι Νικολάεβιτς,
Δάσκαλος Πληροφορικής
υψηλότερη κατηγορία προσόντων,
Υποψήφιος Στρατιωτικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής
Λύκειο GBOU αρ. 1575, Μόσχα

Βελτιστοποιημένη μέθοδος χαρτογράφησης για την επίλυση προβλήματος 23 από το KIM Unified State Examination στην επιστήμη των υπολογιστών και στις ΤΠΕ

Μία από τις πιο δύσκολες εργασίες στο Unified State Exam KIM είναι το πρόβλημα 23, στο οποίο πρέπει να βρείτε τον αριθμό των διαφορετικών συνόλων τιμών λογικών μεταβλητών που ικανοποιούν την καθορισμένη συνθήκη.
Αυτό το έργο είναι ίσως το πιο δύσκολο έργο του KIM Unified State Examination στην επιστήμη των υπολογιστών και στις ΤΠΕ. Κατά κανόνα, δεν το αντιμετωπίζει περισσότερο από το 5% των εξεταζόμενων (1).
Ένα τόσο μικρό ποσοστό μαθητών που ολοκλήρωσαν αυτήν την εργασία εξηγείται από τα ακόλουθα:
- οι μαθητές μπορεί να μπερδέψουν (ξεχάσουν) τα σημάδια των λογικών πράξεων.
- μαθηματικά σφάλματα κατά τη διαδικασία εκτέλεσης υπολογισμών.
- λάθη στο συλλογισμό κατά την αναζήτηση λύσης.
- σφάλματα στη διαδικασία απλοποίησης λογικών εκφράσεων.
- οι δάσκαλοι συνιστούν την επίλυση αυτού του προβλήματος μετά την ολοκλήρωση όλης της εργασίας, δεδομένου ότι υπάρχει πιθανότητα
Τα σφάλματα είναι πολύ μεγάλα και το «βάρος» της εργασίας είναι μόνο ένα βασικό σημείο.
Επιπλέον, ορισμένοι δάσκαλοι οι ίδιοι δυσκολεύονται να λύσουν αυτού του είδους τα προβλήματα και ως εκ τούτου προσπαθούν να λύσουν πιο απλά προβλήματα με τα παιδιά.
Επίσης περιπλέκει την κατάσταση είναι ότι σε αυτό το μπλοκ υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός απόδιάφορες εργασίες και είναι αδύνατο να επιλέξετε μια λύση προτύπου.
Για να διορθωθεί αυτή η κατάσταση, η εκπαιδευτική κοινότητα οριστικοποιεί τις δύο κύριες μεθόδους επίλυσης προβλημάτων αυτού του τύπου: λύση χρησιμοποιώντας αλυσίδες bit (2) και μέθοδο χαρτογράφησης (3).
Η ανάγκη βελτίωσης (βελτιστοποίησης) αυτών των μεθόδων οφείλεται στο γεγονός ότι οι εργασίες αλλάζουν συνεχώς τόσο στη δομή όσο και ως προς τον αριθμό των μεταβλητών (μόνο ένας τύπος μεταβλητών X, δύο τύποι μεταβλητών X και Y, τρεις τύποι: X, Y , Ζ).
Η δυσκολία κατάκτησης αυτών των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι στον ιστότοπο του K.Yu. Polyakov, υπάρχουν 38 αναλύσεις αυτού του τύπου προβλήματος (4). Ορισμένες αναλύσεις παρέχουν περισσότερους από έναν τύπους λύσεων σε ένα πρόβλημα.
Πρόσφαταστο KIM Unified State Examination στην επιστήμη των υπολογιστών υπάρχουν προβλήματα με δύο τύπους μεταβλητών X και Y.
Έχω βελτιστοποιήσει τη μέθοδο εμφάνισης και ενθαρρύνω τους μαθητές μου να χρησιμοποιήσουν τη βελτιωμένη μέθοδο.
Αυτό δίνει αποτελέσματα. Το ποσοστό των μαθητών μου που αντιμετωπίζουν αυτό το έργο ποικίλλει έως και το 43% των επιτυχόντων. Κατά κανόνα, κάθε χρόνο από 25 έως 33 άτομα από όλες τις 11 τάξεις δίνουν την Ενιαία Κρατική Εξέταση στην επιστήμη των υπολογιστών.
Πριν από την εμφάνιση των εργασιών με δύο τύπους μεταβλητή μέθοδοςΟι μαθητές χρησιμοποίησαν τις χαρτογραφήσεις με μεγάλη επιτυχία, αλλά μετά την εμφάνιση του Υ στη λογική έκφραση, άρχισα να παρατηρώ ότι οι απαντήσεις των παιδιών δεν συμπίπτουν πλέον με τα τεστ. Αποδείχθηκε ότι δεν ήταν αρκετά σαφείς σχετικά με το πώς να δημιουργήσουν έναν πίνακα αντιστοιχίσεων με έναν νέο τύπο μεταβλητής. Τότε σκέφτηκα ότι για ευκολία, ολόκληρη η έκφραση πρέπει να περιοριστεί σε έναν τύπο μεταβλητής, όπως είναι βολικό για τα παιδιά.
Θα δώσω αυτή την τεχνική με περισσότερες λεπτομέρειες. Για ευκολία, θα το εξετάσω χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του συστήματος λογικών εκφράσεων που δίνεται στο (4).
Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα; λογικές εξισώσεις

(x 1 ^ y 1)=(¬x 2 V ¬ y 2 )
(x 2 ^ y 2)= (¬ Χ 3 V ¬ y 3 )
...
(x 5 ^ y 5) = (¬ Χ 6 V ¬ y 6 )

ΟπουΧ 1 , …, Χ 6 , y 1 , …, y 6 , - λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα μεταβλητών τιμών για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.
Λύση:
1. Από την ανάλυση του συστήματος των λογικών εξισώσεων βλέπουμε ότι υπάρχουν 6 μεταβλητές Χκαι 6 μεταβλητές U. Δεδομένου ότι οποιαδήποτε από αυτές τις μεταβλητές μπορεί να λάβει μόνο δύο τιμές (0 και 1), αντικαθιστούμε αυτές τις μεταβλητές με 12 μεταβλητές του ίδιου τύπου, για παράδειγμα Z.
2. Τώρα ας ξαναγράψουμε το σύστημα με νέες μεταβλητές ίδιου τύπου. Η δυσκολία της εργασίας θα είναι να κρατάτε προσεκτικές σημειώσεις κατά την αντικατάσταση μεταβλητών.

(z 1 ^ z 2)= (¬z 3V¬ z 4 )
(z 3 ^ Ζ 4)= (¬ z 5 V¬ z 6 )
...
(z 9 ^ z 10) = (¬ z 11 V¬ z 12)

3. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα στον οποίο θα εξετάσουμε όλες τις επιλογές z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , δεδομένου ότι υπάρχουν τέσσερις μεταβλητές στην πρώτη λογική εξίσωση, ο πίνακας θα έχει 16 σειρές (16=2 4). αφαιρέστε τέτοιες τιμές από τον πίνακα z 4 , για την οποία η πρώτη εξίσωση δεν έχει λύση (διαγραμμισμένοι αριθμοί).

0	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1
1	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1

4. Αναλύοντας τον πίνακα, χτίζουμε έναν κανόνα για την εμφάνιση ζευγών μεταβλητών (για παράδειγμα, ένα ζεύγος Ζ 1 Ζ 2 =00 αντιστοιχείζεύγος Ζ 3 Ζ 4 = 11) .

5. Συμπληρώστε τον πίνακα υπολογίζοντας τον αριθμό των ζευγών μεταβλητών για τις οποίες το σύστημα έχει λύση.

6. Προσθέστε όλα τα αποτελέσματα: 9 + 9 + 9 + 27 = 54
7. Απάντηση: 54.
Η παραπάνω βελτιστοποιημένη μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος 23 από το Unified State Exam KIM επέτρεψε στους μαθητές να ανακτήσουν την αυτοπεποίθηση και να λύσουν με επιτυχία αυτό το είδος προβλήματος.

Βιβλιογραφία:

1. FIPI. Κατευθυντήριες γραμμέςγια εκπαιδευτικούς, που προετοιμάστηκε με βάση την ανάλυση τυπικά λάθησυμμετέχοντες των Ενιαίων Κρατικών Εξετάσεων 2015 στην ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ και στις Τ.Π.Ε. Λειτουργία πρόσβασης: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf

2. K.Yu. Polyakov, M.A. Ρόιτμπεργκ.Συστήματα λογικών εξισώσεων: λύση χρησιμοποιώντας συμβολοσειρές bit. Περιοδικό Πληροφορικής, Νο. 12, 2014, σελ. 4-12. Εκδοτικό οίκο«Πρωτο Σεπτέμβρη», Μόσχα.
3. Ε.Α. Mironchik, Μέθοδος εμφάνισης.Περιοδικό Πληροφορική, Νο 10, 2013, σελ. 18-26. Εκδοτικός οίκος "Πρώτη Σεπτεμβρίου", Μόσχα.

Επίλυση συστημάτων λογικών εξισώσεων με αλλαγή μεταβλητών

Η μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητών χρησιμοποιείται εάν ορισμένες μεταβλητές περιλαμβάνονται στις εξισώσεις μόνο με τη μορφή συγκεκριμένης έκφρασης και τίποτα άλλο. Τότε αυτή η έκφραση μπορεί να οριστεί ως νέα μεταβλητή.

Παράδειγμα 1.

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

(x1 → x2) → (x3→ x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, για τις οποίες ικανοποιείται αυτό το σύστημα ισοτήτων. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

Τότε μπορούμε να γράψουμε το σύστημα με τη μορφή μιας εξίσωσης:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Ο σύνδεσμος είναι 1 (αληθής) όταν κάθε τελεστής παίρνει την τιμή 1. Δηλαδή καθεμία από τις συνέπειες πρέπει να είναι αληθής, και αυτό ισχύει για όλες τις τιμές εκτός από (1 → 0). Εκείνοι. στον πίνακα τιμών των μεταβλητών y1, y2, y3, y4, η μία δεν πρέπει να βρίσκεται στα αριστερά του μηδενός:

Εκείνοι. ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις για 5 σετ y1-y4.

Επειδή y1 = x1 → x2, τότε η τιμή y1 = 0 επιτυγχάνεται σε ένα μόνο σύνολο x1, x2: (1, 0) και η τιμή y1 = 1 – σε τρία σετ x1, x2: (0,0) , (0 ,1), (1.1). Ομοίως για y2, y3, y4.

Εφόσον κάθε σύνολο (x1,x2) για τη μεταβλητή y1 συνδυάζεται με κάθε σύνολο (x3,x4) για τη μεταβλητή y2 κ.λπ., οι αριθμοί των συνόλων των μεταβλητών x πολλαπλασιάζονται:

				Αριθμός σετ ανά x1…x8

Ας αθροίσουμε τον αριθμό των σετ: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

Απάντηση: 121

Παράδειγμα 2.

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

Σε απάντηση δεν χρειάζεταιαπαριθμήστε όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των μεταβλητών x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 για τις οποίες η αυτό το σύστημαισοδυναμεί Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση:

Ας κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητών:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως μία εξίσωση:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

Η ισοδυναμία είναι αληθής μόνο αν και οι δύο τελεστές είναι ίσοι. Υπάρχουν δύο σύνολα λύσεων σε αυτήν την εξίσωση:

z1	z2	z3	Ζ 4	z5	z6	z7	z8	z9
0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1

Επειδή zi = (xi ≡ yi), τότε η τιμή zi = 0 αντιστοιχεί σε δύο σύνολα (xi,yi): (0,1) και (1,0) και η τιμή zi = 1 αντιστοιχεί σε δύο σύνολα (xi,yi ): (0 ,0) και (1,1).

Τότε το πρώτο σύνολο z1, z2,…, z9 αντιστοιχεί σε 2 9 σετ (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).

Ο ίδιος αριθμός αντιστοιχεί στο δεύτερο σύνολο z1, z2,…, z9. Τότε υπάρχουν συνολικά 2 9 +2 9 = 1024 σετ.

Απάντηση: 1024

Επίλυση συστημάτων λογικών εξισώσεων με οπτικό προσδιορισμό της αναδρομής.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται εάν το σύστημα των εξισώσεων είναι αρκετά απλό και η σειρά αύξησης του αριθμού των συνόλων κατά την προσθήκη μεταβλητών είναι προφανής.

Παράδειγμα 3.

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα εξισώσεων;

¬x9 ∨ x10 = 1,

όπου x1, x2, … x10 είναι οι λογικές μεταβλητές;

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών x1, x2, ... x10 για τα οποία ικανοποιείται αυτό το σύστημα ισοτήτων. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση:

Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση. Μια διάζευξη είναι ίση με 1 εάν τουλάχιστον ένας από τους τελεστές της είναι ίσος με 1. οι λύσεις είναι τα σετ:

Για x1=0, υπάρχουν δύο τιμές του x2 (0 και 1), και για το x1=1 υπάρχει μόνο μία τιμή του x2 (1), έτσι ώστε το σύνολο (x1,x2) να είναι λύση της εξίσωσης . Υπάρχουν 3 σετ συνολικά.

Ας προσθέσουμε τη μεταβλητή x3 και ας εξετάσουμε τη δεύτερη εξίσωση. Είναι παρόμοιο με το πρώτο, που σημαίνει ότι για x2=0 υπάρχουν δύο τιμές του x3 (0 και 1), και για το x2=1 υπάρχει μόνο μία τιμή x3 (1), έτσι ώστε το σύνολο (x2 ,x3) είναι λύση της εξίσωσης. Υπάρχουν 4 σετ συνολικά.

Είναι εύκολο να δούμε ότι όταν προσθέτουμε μια άλλη μεταβλητή, προστίθεται ένα σύνολο. Εκείνοι. αναδρομικός τύπος για τον αριθμό των συνόλων (i+1) μεταβλητών:

N i +1 = N i + 1. Τότε για δέκα μεταβλητές παίρνουμε 11 σύνολα.

Απάντηση: 11

Επίλυση συστημάτων λογικών εξισώσεων διαφόρων τύπων

Παράδειγμα 4.

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x 1, ..., x 4, y 1,..., y 4, z 1,..., z 4 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω ?

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

Σε απάντηση δεν χρειάζεταιαπαριθμήστε όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των μεταβλητών x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4 για τις οποίες ικανοποιείται το δεδομένο σύστημα ισοτήτων .

Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση:

Σημειώστε ότι οι τρεις εξισώσεις του συστήματος είναι ίδιες σε διαφορετικά ανεξάρτητα σύνολα μεταβλητών.

Ας δούμε την πρώτη εξίσωση. Ένας σύνδεσμος είναι αληθής (ίσος με 1) μόνο εάν όλοι οι τελεστές του είναι αληθείς (ίσοι με 1). Το συμπέρασμα είναι 1 σε όλες τις πλειάδες εκτός από το (1,0). Αυτό σημαίνει ότι η λύση στην πρώτη εξίσωση θα είναι τα ακόλουθα σύνολα x1, x2, x3, x4, στα οποία το 1 δεν βρίσκεται στα αριστερά του 0 (5 σύνολα):

Ομοίως, οι λύσεις στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση θα είναι απολύτως τα ίδια σύνολα y1,…,y4 και z1,…, z4.

Ας αναλύσουμε τώρα την τέταρτη εξίσωση του συστήματος: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. Η λύση θα είναι όλα τα σύνολα x4, y4, z4 στα οποία τουλάχιστον μία από τις μεταβλητές είναι ίση με 0.

Εκείνοι. για x4 = 0, όλα τα πιθανά σύνολα (y4, z4) είναι κατάλληλα και για x4 = 1, τα σύνολα (y4, z4) είναι κατάλληλα, στα οποία υπάρχει τουλάχιστον ένα μηδέν: (0, 0), (0,1 ) , (1, 0).

				Αριθμός σετ

Ο συνολικός αριθμός των σετ είναι 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61.

Απάντηση: 61

Επίλυση συστημάτων λογικών εξισώσεων με την κατασκευή επαναλαμβανόμενων τύπων

Η μέθοδος κατασκευής επαναλαμβανόμενων τύπων χρησιμοποιείται κατά την επίλυση πολύπλοκων συστημάτων στα οποία η σειρά αύξησης του αριθμού των συνόλων δεν είναι προφανής και η κατασκευή ενός δέντρου είναι αδύνατη λόγω όγκων.

Παράδειγμα 5.

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των μεταβλητών x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 για τις οποίες ικανοποιείται αυτό το σύστημα ισοτήτων. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση:

Σημειώστε ότι οι πρώτες έξι εξισώσεις του συστήματος είναι πανομοιότυπες και διαφέρουν μόνο στο σύνολο των μεταβλητών. Ας δούμε την πρώτη εξίσωση. Η λύση του θα είναι τα ακόλουθα σύνολα μεταβλητών:

Ας υποδηλώσουμε:

αριθμός πλειάδων (0,0) στις μεταβλητές (x1,y1) έως A 1,

αριθμός πλειάδων (0,1) στις μεταβλητές (x1,y1) έως B 1,

αριθμός πλειάδων (1,0) στις μεταβλητές (x1,y1) έως C 1,

τον αριθμό των πλειάδων (1,1) στις μεταβλητές (x1,y1) έως D 1 .

αριθμός πλειάδων (0,0) στις μεταβλητές (x2,y2) έως A 2,

αριθμός πλειάδων (0,1) στις μεταβλητές (x2,y2) έως B 2,

αριθμός πλειάδων (1,0) στις μεταβλητές (x2,y2) έως C 2,

τον αριθμό των πλειάδων (1,1) στις μεταβλητές (x2,y2) έως D 2 .

Από το δέντρο αποφάσεων βλέπουμε ότι

A 1 =0, B 1 =1, C 1 =1, D 1 =1.

Σημειώστε ότι το σύνολο (0,0) στις μεταβλητές (x2,y2) προκύπτει από τα σύνολα (0,1), (1,0) και (1,1) στις μεταβλητές (x1,y1). Εκείνοι. A 2 =B 1 +C 1 +D 1.

Το σύνολο (0,1) στις μεταβλητές (x2,y2) προκύπτει από τα σύνολα (0,1), (1,0) και (1,1) στις μεταβλητές (x1,y1). Εκείνοι. Β 2 = Β 1 + Γ 1 + Δ 1.

Με το ίδιο επιχείρημα, σημειώνουμε ότι C 2 =B 1 +C 1 +D 1. D2 = D1.

Έτσι, λαμβάνουμε επαναλαμβανόμενους τύπους:

A i+1 = B i + C i + D i

B i+1 = B i + C i + D i

C i+1 = B i + C i + D i

D i+1 = A i +B i + C i + D i

Ας κάνουμε ένα τραπέζι

Σκηνικά	Ονομασία.	Τύπος	Αριθμός σετ
			i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
(0,0)	A i	A i+1 =B i +C i +D i	0	3	7	15	31	63	127
(0,1)	B i	B i+1 =B i +C i +D i	1	3	7	15	31	63	127
(1,0)	Γ i	C i+1 =B i +C i +D i	1	3	7	15	31	63	127
(1,1)	D i	D i+1 =D i	1	1	1	1	1	1	1

Η τελευταία εξίσωση (x7 ∨ y7) = 1 ικανοποιείται από όλα τα σύνολα εκτός από αυτά στα οποία x7=0 και y7=0. Στον πίνακα μας ο αριθμός τέτοιων συνόλων είναι Α 7.

Τότε ο συνολικός αριθμός των σετ είναι B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255

Απάντηση: 255

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

"Μέση τιμή ολοκληρωμένο σχολείοΝο. 18"

αστική περιοχή της πόλης Salavat της Δημοκρατίας του Μπασκορτοστάν

Συστήματα λογικών εξισώσεων

στην Ενιαία Κρατική Εξέταση προβλήματα στην επιστήμη των υπολογιστών

Ενότητα "Βασικές αρχές της Λογικής Άλγεβρας" στο Εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξετάσεωνθεωρείται ένα από τα πιο δύσκολα και κακώς επιλυμένα. Το μέσο ποσοστό εργασιών που ολοκληρώθηκαν σε αυτό το θέμα είναι το χαμηλότερο και είναι 43,2.

Ενότητα μαθήματος	Μέσο ποσοστό ολοκλήρωσης ανά ομάδες εργασιών
Κωδικοποίηση πληροφοριών και μέτρηση της ποσότητας τους
Μοντελοποίηση Πληροφοριών
Αριθμητικά συστήματα
Βασικές αρχές της Λογικής Άλγεβρας
Αλγόριθμος και προγραμματισμός
Βασικές αρχές τεχνολογιών πληροφοριών και επικοινωνιών

Με βάση την προδιαγραφή CMM 2018, αυτό το μπλοκ περιλαμβάνει τέσσερις εργασίες διαφορετικά επίπεδαδυσκολίες.

№ καθήκοντα	Βεβαιώσιμος στοιχεία περιεχομένου	Επίπεδο δυσκολίας εργασίας
	Δυνατότητα κατασκευής πινάκων αλήθειας και λογικών κυκλωμάτων
	Δυνατότητα αναζήτησης πληροφοριών στο Διαδίκτυο
	Γνώση βασικών εννοιών και νόμων μαθηματική λογική
	Ικανότητα κατασκευής και μετατροπής λογικών εκφράσεων

Η εργασία 23 είναι υψηλό σε επίπεδο δυσκολίας, επομένως έχει το χαμηλότερο ποσοστό ολοκλήρωσης. Μεταξύ των προετοιμασμένων αποφοίτων (81-100 μονάδες) το 49,8% ολοκλήρωσε την εργασία, με μέτρια προετοιμασία (61-80 μονάδες) ολοκλήρωσε το 13,7%, η υπόλοιπη ομάδα μαθητών δεν ολοκλήρωσε αυτήν την εργασία.

Η επιτυχία της επίλυσης ενός συστήματος λογικών εξισώσεων εξαρτάται από τη γνώση των νόμων της λογικής και από την ακριβή εφαρμογή των μεθόδων για την επίλυση του συστήματος.

Ας εξετάσουμε την επίλυση ενός συστήματος λογικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο χαρτογράφησης.

(23.154 Polyakov K.Yu.) Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα εξισώσεων;

((Χ1  y1 )  (Χ2  y2 ))  (Χ1  Χ2 )  (υ1  y2 ) =1

((Χ2  y2 )  (Χ3  y3 ))  (Χ2  Χ3 )  (υ2  y3 ) =1

((Χ7  y7 )  (Χ8  y8 ))  (Χ7  Χ8 )  (y7  y8 ) =1

Οπου Χ1 , Χ2 ,…, Χ8, στο1 , y2 ,…,υ8 - λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα μεταβλητών τιμών για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση. Όλες οι εξισώσεις που περιλαμβάνονται στο σύστημα είναι του ίδιου τύπου και κάθε εξίσωση περιλαμβάνει τέσσερις μεταβλητές. Γνωρίζοντας τα x1 και y1, μπορούμε να βρούμε όλες τις πιθανές τιμές των x2 και y2 που ικανοποιούν την πρώτη εξίσωση. Συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, από τα γνωστά x2 και y2 μπορούμε να βρούμε τα x3, y3 που ικανοποιούν τη δεύτερη εξίσωση. Δηλαδή, γνωρίζοντας το ζεύγος (x1, y1) και προσδιορίζοντας την τιμή του ζεύγους (x2, y2), θα βρούμε το ζεύγος (x3, y3), το οποίο, με τη σειρά του, θα οδηγήσει στο ζεύγος (x4, y4) και ούτω καθεξής.

Ας βρούμε όλες τις λύσεις στην πρώτη εξίσωση. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: κατασκευή πίνακα αλήθειας, μέσω συλλογισμού και εφαρμογή των νόμων της λογικής.

Πίνακας αλήθειας:

				x 1  y 1	x 2  y 2	(x 1  y 1)  (x2  y2)	(x 1  x2)	(y 1  y2)	(x 1  x2)  (y 1  y2)

Η κατασκευή ενός πίνακα αληθείας είναι εντατική και χρονικά αναποτελεσματική, γι' αυτό χρησιμοποιούμε τη δεύτερη μέθοδο - τη λογική συλλογιστική. Το γινόμενο είναι ίσο με 1 αν και μόνο αν κάθε παράγοντας είναι ίσος με 1.

(Χ1  y1 )  (Χ2  y2 ))=1

(Χ1  Χ2 ) =1

(y1  y2 ) =1

Ας δούμε την πρώτη εξίσωση. Η συνέπεια είναι ίση με 1 όταν 0 0, 0 1, 1 1, που σημαίνει (x1 y1)=0 για (01), (10), τότε το ζεύγος (Χ2  y2 ) μπορεί να είναι οποιαδήποτε (00), (01), (10), (11) και όταν (x1 y1) = 1, δηλαδή (00) και (11) το ζεύγος (x2 y2) = 1 παίρνει το ίδιες τιμές (00) και (11). Ας εξαιρέσουμε από αυτή τη λύση εκείνα τα ζεύγη για τα οποία η δεύτερη και η τρίτη εξίσωση είναι ψευδής, δηλαδή x1=1, x2=0, y1=1, y2=0.

(Χ1 , y1 )	(Χ2 , y2 )

Συνολικός αριθμός ζευγών 1+1+1+22= 25

2) (23.160 Polyakov K.Yu.) Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα λογικών εξισώσεων;

(Χ 1  (Χ 2  y 2 ))  (υ 1  y 2 ) = 1

(Χ 2  (Χ 3  y 3 ))  (υ 2  y 3 ) = 1

...

( Χ 6  ( Χ 7  y 7 ))  ( y 6  y 7 ) = 1

Χ 7  y 7 = 1

Λύση. 1) Οι εξισώσεις είναι του ίδιου τύπου, οπότε χρησιμοποιώντας συλλογισμό θα βρούμε όλα τα πιθανά ζεύγη (x1,y1), (x2,y2) της πρώτης εξίσωσης.

(Χ1  (Χ2  y2 ))=1

(y1  y2 ) = 1

Η λύση στη δεύτερη εξίσωση είναι τα ζεύγη (00), (01), (11).

Ας βρούμε λύσεις στην πρώτη εξίσωση. Αν x1=0, τότε x2, y2 - οποιαδήποτε, αν x1=1, τότε x2, y2 παίρνει την τιμή (11).

Ας κάνουμε συνδέσεις μεταξύ ζευγών (x1, y1) και (x2, y2).

(Χ1 , y1 )	(Χ2 , y2 )

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα για να υπολογίσουμε τον αριθμό των ζευγών σε κάθε στάδιο.

							0

Λαμβάνοντας υπόψη τις λύσεις της τελευταίας εξίσωσης Χ 7  y 7 = 1, ας εξαιρέσουμε το ζεύγος (10). Βρίσκουμε συνολικός αριθμόςλύσεις 1+7+0+34=42

3)(23.180) Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει ένα σύστημα λογικών εξισώσεων;

(Χ1  Χ2 )  (Χ3  Χ4 ) = 1

(Χ3  Χ4 )  (Χ5  Χ6 ) = 1

(Χ5  Χ6 )  (Χ7  Χ8 ) = 1

(Χ7  Χ8 )  (Χ9  Χ10 ) = 1

Χ1  Χ3  Χ5  Χ7  Χ9 = 1

Λύση. 1) Οι εξισώσεις είναι του ίδιου τύπου, οπότε χρησιμοποιώντας συλλογισμό θα βρούμε όλα τα πιθανά ζεύγη (x1,x2), (x3,x4) της πρώτης εξίσωσης.

(Χ1  Χ2 )  (Χ3  Χ4 ) = 1

Ας εξαιρέσουμε από τη λύση τα ζεύγη που στην ακολουθία δίνουν 0 (1 0), αυτά είναι τα ζεύγη (01, 00, 11) και (10).

Ας κάνουμε συνδέσεις μεταξύ ζευγαριών (x1,x2), (x3,x4)

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων

Μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αλήθειας (αν ο αριθμός των μεταβλητών δεν είναι πολύ μεγάλος) ή χρησιμοποιώντας ένα δέντρο αποφάσεων, έχοντας πρώτα απλοποιήσει κάθε εξίσωση.

1. Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής.

Η εισαγωγή νέων μεταβλητών σάς επιτρέπει να απλοποιήσετε το σύστημα εξισώσεων, μειώνοντας τον αριθμό των αγνώστων.Οι νέες μεταβλητές πρέπει να είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη. Αφού λύσουμε το απλοποιημένο σύστημα, πρέπει να επιστρέψουμε στις αρχικές μεταβλητές.

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτής της μεθόδου χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

Λύση:

Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές: A=(X1≡ X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); Ε=(Χ9 ≡ Χ10).

(Προσοχή! Κάθε μία από τις μεταβλητές x1, x2, ..., x10 πρέπει να περιλαμβάνεται μόνο σε μία από τις νέες μεταβλητές Α, Β, Γ, Δ, Ε, δηλ. οι νέες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους).

Τότε το σύστημα των εξισώσεων θα μοιάζει με αυτό:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο αποφάσεων για το σύστημα που προκύπτει:

Θεωρήστε την εξίσωση A=0, δηλ. (Χ1≡ X2)=0. Έχει 2 ρίζες:

		X1 ≡ X2

Από τον ίδιο πίνακα φαίνεται ότι η εξίσωση Α=1 έχει επίσης 2 ρίζες. Ας τακτοποιήσουμε τον αριθμό των ριζών στο δέντρο αποφάσεων:

Για να βρείτε τον αριθμό των λύσεων ενός κλάδου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό των λύσεων σε κάθε επίπεδο. Ο αριστερός κλάδος έχει 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 λύσεις; ο δεξιός κλάδος έχει επίσης 32 λύσεις. Εκείνοι. όλο το σύστημα έχει 32+32=64 λύσεις.

Απάντηση: 64.

2. Μέθοδος συλλογισμού.

Η δυσκολία επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων έγκειται στη δυσκινησία ενός πλήρους δέντρου αποφάσεων. Η συλλογιστική μέθοδος σας επιτρέπει να μην χτίσετε ολόκληρο το δέντρο, αλλά να καταλάβετε πόσα κλαδιά θα έχει. Ας δούμε αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 για τις οποίες ικανοποιείται αυτό το σύστημα ισοτήτων. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση :

Η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση περιέχουν ανεξάρτητες μεταβλητές που σχετίζονται με την τρίτη συνθήκη. Ας φτιάξουμε ένα δέντρο λύσης για την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση.

Για να αναπαραστήσουμε ένα δέντρο λύσης για ένα σύστημα της πρώτης και της δεύτερης εξισώσεων, κάθε κλάδος του πρώτου δέντρου πρέπει να συνεχιστεί με ένα δέντρο για μεταβλητέςστο . Το δέντρο που κατασκευάζεται με αυτόν τον τρόπο θα περιέχει 36 κλαδιά. Ορισμένοι από αυτούς τους κλάδους δεν ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση του συστήματος. Ας σημειώσουμε τον αριθμό των κλαδιών του δέντρου στο πρώτο δέντρο"υ" , που ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση:

Ας εξηγήσουμε: για να ικανοποιηθεί η τρίτη συνθήκη, όταν x1=0 πρέπει να υπάρχουν y1=1, δηλαδή όλα τα κλαδιά του δέντρου"Χ" , όπου x1=0 μπορεί να συνεχιστεί με ένα μόνο κλαδί από το δέντρο"υ" . Και μόνο για ένα κλαδί του δέντρου"Χ" (δεξιά) όλα τα κλαδιά του δέντρου ταιριάζουν"υ". Ετσι, γεμάτο δέντροΟλόκληρο το σύστημα περιέχει 11 κλάδους. Κάθε κλάδος αντιπροσωπεύει μία λύση στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το σύστημα έχει 11 λύσεις.

Απάντηση: 11.

Παράδειγμα 2. Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα εξισώσεων;

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

όπου x1, x2, …, x10 είναι οι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα μεταβλητών τιμών για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση : Ας απλοποιήσουμε το σύστημα. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα αλήθειας για μέρος της πρώτης εξίσωσης:

		X1 ∧ X10	¬X1 ∧ ¬X10	(X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)

Προσοχή στην τελευταία στήλη, ταιριάζει με το αποτέλεσμα της ενέργειας X1 ≡ X10.

X1 ≡ X10

Μετά την απλοποίηση παίρνουμε:

(Χ1 ≡ Χ2) ∨ (Χ1 ≡ Χ10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

Εξετάστε την τελευταία εξίσωση:(X1 ≡ X10) = 0, δηλ. Το x1 δεν πρέπει να συμπίπτει με το x10. Για να είναι η πρώτη εξίσωση ίση με 1, η ισότητα πρέπει να είναι αληθής(X1 ≡ X2)=1, δηλ. Το x1 πρέπει να ταιριάζει με το x2.

Ας φτιάξουμε ένα δέντρο λύσης για την πρώτη εξίσωση:

Θεωρούμε τη δεύτερη εξίσωση: για x10=1 και για x2=0 την αγκύληπρέπει να είναι ίσο με 1 (δηλαδή το x2 συμπίπτει με το x3). για x10=0 και για x2=1 παρένθεση(X2 ≡ X10)=0, που σημαίνει το στήριγμα (X2 ≡ X3) πρέπει να είναι ίσο με 1 (δηλαδή το x2 συμπίπτει με το x3):

Συλλογιζόμενοι με αυτόν τον τρόπο, χτίζουμε ένα δέντρο αποφάσεων για όλες τις εξισώσεις:

Έτσι, το σύστημα των εξισώσεων έχει μόνο 2 λύσεις.

Απάντηση: 2.

Παράδειγμα 3.

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

Λύση:

Ας φτιάξουμε ένα δέντρο λύσης για την 1η εξίσωση:

Θεωρήστε τη δεύτερη εξίσωση:

• Όταν x1=0 : η δεύτερη και η τρίτη παρένθεση θα είναι ίσες με 0. για την πρώτη αγκύλη να είναι ίση με 1, y1=1, z1=1 (δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση - 1 λύση)
• Όταν x1=1 : η πρώτη αγκύλη θα είναι ίση με 0. δεύτεροςή η τρίτη παρένθεση πρέπει να είναι ίση με 1. η δεύτερη αγκύλη θα είναι ίση με 1 όταν y1=0 και z1=1. η τρίτη αγκύλη θα είναι ίση με 1 όταν y1=1 και z1=0 (δηλαδή σε αυτή την περίπτωση - 2 λύσεις).

Ομοίως για τις υπόλοιπες εξισώσεις. Ας σημειώσουμε τον αριθμό των λύσεων που προκύπτει για κάθε κόμβο δέντρου:

Για να μάθετε τον αριθμό των λύσεων για κάθε κλάδο, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς που προκύπτουν χωριστά για κάθε κλάδο (από αριστερά προς τα δεξιά).

1 κλάδος: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 διάλυμα

Κλάδος 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 διαλύματα

3ος κλάδος: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 λύσεις

4ος κλάδος: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 λύσεις

5ος κλάδος: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 λύσεις

Ας αθροίσουμε τους αριθμούς που προκύπτουν: υπάρχουν 31 λύσεις συνολικά.

Απάντηση: 31.

3. Φυσική αύξηση του αριθμού των ριζών

Σε ορισμένα συστήματα, ο αριθμός των ριζών της επόμενης εξίσωσης εξαρτάται από τον αριθμό των ριζών της προηγούμενης εξίσωσης.

Παράδειγμα 1. Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

Ας απλοποιήσουμε πρώτη εξίσωση:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

Και τα λοιπά.

Κάθε επόμενη εξίσωση έχει 2 περισσότερες ρίζες από την προηγούμενη.

Η 4 εξίσωση έχει 12 ρίζες.

Η εξίσωση 5 έχει 14 ρίζες

Η εξίσωση 8 έχει 20 ρίζες.

Απάντηση: 20 ρίζες.

Μερικές φορές ο αριθμός των ριζών αυξάνεται σύμφωνα με τον νόμο Fibonacci.

Η επίλυση ενός συστήματος λογικών εξισώσεων απαιτεί δημιουργική προσέγγιση.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, όπου J, K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές;

Εξήγηση.

Επομένως, η έκφραση (N ∨ ¬N) ισχύει για οποιοδήποτε N

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Ας εφαρμόσουμε άρνηση και στις δύο πλευρές της λογικής εξίσωσης και ας χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του De Morgan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. Παίρνουμε ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Ένα λογικό άθροισμα είναι ίσο με 1 εάν τουλάχιστον μία από τις συστατικές προτάσεις του είναι ίση με 1. Επομένως, η εξίσωση που προκύπτει ικανοποιείται από οποιονδήποτε συνδυασμό λογικών μεταβλητών εκτός από την περίπτωση που όλες οι ποσότητες που περιλαμβάνονται στην εξίσωση είναι ίσες με 0. Κάθε μία από τις οι 4 μεταβλητές μπορεί να είναι ίσες με 1 ή 0, επομένως όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί είναι 2·2·2·2 = 16. Επομένως, η εξίσωση έχει 16 −1 = 15 λύσεις.

Μένει να σημειωθεί ότι οι 15 λύσεις που βρέθηκαν αντιστοιχούν σε οποιαδήποτε από τις δύο πιθανές τιμές της λογικής μεταβλητής N, επομένως η αρχική εξίσωση έχει 30 λύσεις.

Απάντηση: 30

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

όπου J, K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές;

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των J, K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Εξήγηση.

Χρησιμοποιούμε τους τύπους A → B = ¬A ∨ B και ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Ας εξετάσουμε τον πρώτο υποτύπο:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Ας εξετάσουμε τον δεύτερο υποτύπο

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Ας εξετάσουμε τον τρίτο υποτύπο

1) M → J = 1 επομένως,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Ας συνδυάσουμε:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 άρα 4 διαλύματα.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Ας συνδυάσουμε:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L άρα 4 λύσεις.

γ) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Απάντηση: 4 + 4 = 8.

Απάντηση: 8

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

όπου K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές; Η Απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας απλούστερο συμβολισμό για πράξεις:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) από τον πίνακα αληθείας της πράξης «υπόνοια» (δείτε το πρώτο πρόβλημα) προκύπτει ότι αυτή η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν ταυτόχρονα

K + L = 1 και L M N = 0

2) από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι τουλάχιστον μία από τις μεταβλητές, K ή L, είναι ίση με 1 (ή και οι δύο μαζί). ας εξετάσουμε λοιπόν τρεις περιπτώσεις

3) εάν K = 1 και L = 0, τότε η δεύτερη ισότητα ικανοποιείται για οποιαδήποτε M και N. αφού υπάρχουν 4 συνδυασμοί δύο μεταβλητών Boolean (00, 01, 10 και 11), έχουμε 4 διαφορετικές λύσεις

4) εάν K = 1 και L = 1, τότε η δεύτερη ισότητα ισχύει για M · N = 0; υπάρχουν 3 τέτοιοι συνδυασμοί (00, 01 και 10), έχουμε άλλες 3 λύσεις

5) εάν K = 0, τότε L = 1 (από την πρώτη εξίσωση). Σε αυτή την περίπτωση, η δεύτερη ισότητα ικανοποιείται όταν M · N = 0; υπάρχουν 3 τέτοιοι συνδυασμοί (00, 01 και 10), έχουμε άλλες 3 λύσεις

6) συνολικά παίρνουμε 4 + 3 + 3 = 10 λύσεις.

Απάντηση: 10

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Εξήγηση.

Η έκφραση είναι αληθής σε τρεις περιπτώσεις, όταν (K ∧ L) και (M ∧ N) είναι ίσα με 01, 11, 10, αντίστοιχα.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N είναι ίσα με 1, και K και L είναι οτιδήποτε εκτός από ταυτόχρονα 1. Επομένως, υπάρχουν 3 λύσεις.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 διάλυμα.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 διαλύματα.

Απάντηση: 7.

Απάντηση: 7

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(X ∧ Y ∨ Z) ​​→ (Z ∨ P) = 0

όπου τα X, Y, Z, P είναι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, χρειάζεται μόνο να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

(X ∧ Y ∨ Z) ​​→ (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ​​∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Το λογικό Ή είναι ψευδές μόνο σε μία περίπτωση: όταν και οι δύο εκφράσεις είναι ψευδείς.

Ως εκ τούτου,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Υ = 1.

Επομένως, υπάρχει μόνο μία λύση στην εξίσωση.

Απάντηση: 1

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

όπου K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, χρειάζεται μόνο να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

Λογικό Και ισχύει μόνο σε μία περίπτωση: όταν όλες οι εκφράσεις είναι αληθείς.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Κάθε μία από τις εξισώσεις δίνει 3 λύσεις.

Θεωρήστε την εξίσωση A ∧ B = 1 εάν και το A και το B αποδέχονται αληθινές αξίεςσε τρεις περιπτώσεις η καθεμία, τότε συνολικά η εξίσωση έχει 9 λύσεις.

Επομένως η απάντηση είναι 9.

Απάντηση: 9

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

όπου A, B, C, D είναι λογικές μεταβλητές;

Η απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών A, B, C, D για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Εξήγηση.

Το λογικό "OR" είναι αληθές όταν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις είναι αληθής.

(D ∧ ¬D)= 0 για οποιοδήποτε D.

Ως εκ τούτου,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, που μας δίνει 3 πιθανές λύσεις για κάθε D.

(D ∧ ¬ D)= 0 για οποιοδήποτε D, που μας δίνει δύο λύσεις (για D = 1, D = 0).

Επομένως: συνολικές λύσεις 2*3 = 6.

Σύνολο 6 λύσεις.

Απάντηση: 6

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

όπου K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, χρειάζεται μόνο να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

Ας εφαρμόσουμε άρνηση και στις δύο πλευρές της εξίσωσης:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Το λογικό Ή ισχύει σε τρεις περιπτώσεις.

Επιλογή 1.

K ∧ L ∧ M = 1, μετά K, L, M = 1, και ¬L ∧ M ∧ N = 0. Το N είναι αυθαίρετο, δηλαδή 2 λύσεις.

Επιλογή 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, μετά N, M = 1; L = 0, K οποιαδήποτε, δηλαδή 2 λύσεις.

Επομένως η απάντηση είναι 4.

Απάντηση: 4

Τα Α, Β και Γ είναι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους η πρόταση είναι αληθής

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

Τι ισούται με το B αν A = 45 και C = 43;

Εξήγηση.

1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);

2) αυτές οι απλές εντολές συνδέονται με την πράξη ∧ (AND, σύνδεσμος), δηλαδή πρέπει να εκτελούνται ταυτόχρονα.

3) από ¬(A = B)=1 αμέσως προκύπτει ότι A B;

4) ας υποθέσουμε ότι A > B, τότε από τη δεύτερη συνθήκη παίρνουμε 1→(B > C)=1; αυτή η έκφραση μπορεί να είναι αληθής εάν και μόνο εάν B > C = 1;

5) επομένως έχουμε A > B > C, μόνο ο αριθμός 44 αντιστοιχεί σε αυτήν την συνθήκη.

6) για παν ενδεχόμενο, ας τσεκάρουμε επίσης την επιλογή A 0 →(B > C)=1;

Αυτή η έκφραση ισχύει για οποιοδήποτε Β. Τώρα κοιτάμε την τρίτη συνθήκη και παίρνουμε

αυτή η έκφραση μπορεί να είναι αληθής αν και μόνο αν C > B, και εδώ έχουμε μια αντίφαση, επειδή δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός B για τον οποίο C > B > A.

Απάντηση: 44.

Απάντηση: 44

Κατασκευάστε έναν πίνακα αλήθειας για μια λογική συνάρτηση

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

στην οποία η στήλη των τιμών του ορίσματος Α είναι η δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 27, η στήλη των τιμών του ορίσματος Β είναι ο αριθμός 77, η στήλη των τιμών του ορίσματος C είναι ο αριθμός 120. Ο αριθμός στη στήλη γράφεται από πάνω προς τα κάτω από το πιο σημαντικό στο λιγότερο σημαντικό (συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού συνόλου). Μετατρέψτε την προκύπτουσα δυαδική αναπαράσταση των τιμών της συνάρτησης X στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Εξήγηση.

Ας γράψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας απλούστερο συμβολισμό για πράξεις:

1) αυτή είναι μια έκφραση με τρεις μεταβλητές, επομένως θα υπάρχουν γραμμές στον πίνακα αλήθειας. Επομένως, η δυαδική αναπαράσταση των αριθμών που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή των στηλών του πίνακα A, B και C πρέπει να αποτελείται από 8 ψηφία

2) μετατρέψτε τους αριθμούς 27, 77 και 120 στο δυαδικό σύστημα, προσθέτοντας αμέσως έως και 8 ψηφία μηδενικών στην αρχή των αριθμών

3) είναι απίθανο να μπορείτε να γράψετε αμέσως τις τιμές της συνάρτησης X για κάθε συνδυασμό, επομένως είναι βολικό να προσθέσετε επιπλέον στήλες στον πίνακα για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων (δείτε τον παρακάτω πίνακα)

Χ0

ΕΝΑ	ΣΕ	ΜΕ
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) Συμπληρώστε τις στήλες του πίνακα:

ΕΝΑ	ΣΕ	ΜΕ					Χ
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

η τιμή είναι 1 μόνο σε εκείνες τις γραμμές όπου A = B

η τιμή είναι 1 σε εκείνες τις γραμμές όπου είτε B είτε C = 1

η τιμή είναι 0 μόνο σε εκείνες τις γραμμές όπου A = 1 και B + C = 0

η τιμή είναι το αντίστροφο της προηγούμενης στήλης (0 αντικαθίσταται από 1 και το 1 αντικαθίσταται από 0)

το αποτέλεσμα του X (τελευταία στήλη) είναι το λογικό άθροισμα των δύο στηλών και

5) για να λάβετε την απάντηση, γράψτε τα bits από τη στήλη Χ από πάνω προς τα κάτω:

6) μετατρέψτε αυτόν τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα:

Απάντηση: 171

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος X για τον οποίο ισχύει η πρόταση (10 (X+1)·(X+2));

Εξήγηση.

Η εξίσωση είναι μια πράξη συνεπαγωγής μεταξύ δύο σχέσεων:

1) Φυσικά, εδώ μπορείτε να εφαρμόσετε την ίδια μέθοδο όπως στο παράδειγμα 2208, αλλά θα πρέπει να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις(Δεν θέλω…);

2) Σημειώστε ότι βάσει συνθήκης μας ενδιαφέρουν μόνο ακέραιοι αριθμοί, οπότε μπορούμε να προσπαθήσουμε με κάποιο τρόπο να μετατρέψουμε την αρχική έκφραση, λαμβάνοντας μια ισοδύναμη δήλωση ( ακριβείς τιμέςδεν μας ενδιαφέρουν καθόλου οι ρίζες!);

3) Εξετάστε την ανισότητα: προφανώς, μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός.

4) Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι στον τομέα η πρόταση είναι αληθής για όλους τους ακέραιους αριθμούς και στον τομέα - για όλους τους ακέραιους αριθμούς (για να μην μπερδευτείτε, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε μη αυστηρές ανισότητες και, αντί για και );

5) Επομένως, για ακέραιους αριθμούς μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη έκφραση

6) το πεδίο της αλήθειας μιας έκφρασης είναι η ένωση δύο άπειρων διαστημάτων.

7) Σκεφτείτε τώρα τη δεύτερη ανισότητα: είναι προφανές ότι μπορεί επίσης να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός.

8) Στην περιοχή, η πρόταση ισχύει για όλους τους ακέραιους αριθμούς και στην περιοχή - για όλους τους ακέραιους αριθμούς, επομένως για τους ακέραιους μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη έκφραση

9) ο τομέας αλήθειας της έκφρασης είναι ένα κλειστό διάστημα.

10) Η δεδομένη έκφραση ισχύει παντού, εκτός από τις περιοχές όπου και ;

11) Σημειώστε ότι η τιμή δεν είναι πλέον κατάλληλη, γιατί εκεί και, δηλαδή, η συνεπαγωγή δίνει 0.

12) Κατά την αντικατάσταση 2, (10 (2+1) · (2+2)), ή 0 → 0 που ικανοποιεί τη συνθήκη.

Άρα η απάντηση είναι 2.

Απάντηση: 2

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος Χ για τον οποίο ισχύει η πρόταση

(50 (Χ+1)·(Χ+1));

Εξήγηση.

Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό της έννοιας και ας μετατρέψουμε την έκφραση:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Το λογικό Ή είναι αληθές όταν τουλάχιστον μία λογική πρόταση είναι αληθής. Έχοντας λύσει και τις δύο ανισώσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι βλέπουμε ότι ο μεγαλύτερος ακέραιος για τον οποίο ικανοποιείται τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι το 7 (στο σχήμα, η θετική λύση της δεύτερης ανισότητας φαίνεται με κίτρινο και η πρώτη με μπλε).

Απάντηση: 7

Υποδείξτε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N, στις οποίες εμφανίζεται η λογική έκφραση

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

ψευδής. Γράψτε την απάντησή σας ως συμβολοσειρά 4 χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Διπλότυπη εργασία 3584.

Απάντηση: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Εξήγηση.

Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό της έννοιας:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Ας εφαρμόσουμε άρνηση και στις δύο πλευρές της εξίσωσης:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Ας μεταμορφώσουμε:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Επομένως, M = 0, N = 0, τώρα θεωρήστε (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

από το γεγονός ότι M = 0, N = 0 προκύπτει ότι M ∧ L = 0, τότε ¬K ∧ L = 1, δηλαδή K = 0, L = 1.

Απάντηση: 0100

Καθορίστε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N για τις οποίες η λογική έκφραση

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

ψευδής. Γράψτε την απάντησή σας ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Ας γράψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας απλούστερο συμβολισμό πράξεων (η συνθήκη "η έκφραση είναι ψευδής" σημαίνει ότι είναι ίση με λογικό μηδέν):

1) από τη διατύπωση της συνθήκης προκύπτει ότι η έκφραση πρέπει να είναι ψευδής μόνο για ένα σύνολο μεταβλητών

2) από τον πίνακα αληθείας της πράξης «υπόνοια» προκύπτει ότι αυτή η έκφραση είναι ψευδής εάν και μόνο εάν ταυτόχρονα

3) η πρώτη ισότητα (το λογικό γινόμενο είναι ίσο με 1) ικανοποιείται αν και μόνο αν και ; Από αυτό προκύπτει (το λογικό άθροισμα είναι ίσο με μηδέν), το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο όταν ; Έτσι, έχουμε ήδη ορίσει τρεις μεταβλητές

4) από τη δεύτερη συνθήκη, , για και λαμβάνουμε .

Αντιγράφει την εργασία

Απάντηση: 1000

Καθορίστε τις τιμές των λογικών μεταβλητών P, Q, S, T, στις οποίες η λογική έκφραση

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) είναι λάθος.

Γράψτε την απάντηση ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών P, Q, S, T (με αυτή τη σειρά).

Εξήγηση.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ T)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό της έννοιας:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Απάντηση: 0100

Καθορίστε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N για τις οποίες η λογική έκφραση

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

ψευδής. Γράψτε την απάντησή σας ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Το λογικό Ή είναι ψευδές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι ψευδείς.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό υπονοούμενων για την πρώτη έκφραση:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Σκεφτείτε τη δεύτερη έκφραση:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (δείτε το αποτέλεσμα της πρώτης έκφρασης) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Απάντηση: 1001.

Απάντηση: 1001

Καθορίστε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N για τις οποίες η λογική έκφραση

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

αληθής. Γράψτε την απάντησή σας ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.

1) (K → M) = 1 Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: ¬K ∨ ¬M = 1

Από αυτό προκύπτει ότι Κ = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό συνεπειών: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 από το γεγονός ότι K = 0 λαμβάνουμε:

M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.

Απάντηση: 0011

Είναι γνωστό ότι για τους ακέραιους X, Y και Z ισχύει η ακόλουθη πρόταση:

(Z Τι είναι το Z ίσο αν X=25 και Y=48;

Εξήγηση.

Αφού αντικαταστήσουμε τους αριθμούς, παίρνουμε ότι Z = 47.

Σημειώστε ότι αυτή η σύνθετη δήλωση αποτελείται από τρεις απλές

1) (Z 2) αυτές οι απλές εντολές συνδέονται με την πράξη ∧ (AND, σύνδεσμος), δηλαδή πρέπει να εκτελούνται ταυτόχρονα.

3) από ¬(Z+1 24, και από ¬(Z+1 47.

4) από (Z Z Απάντηση: 47.

Απάντηση: 47

Τα Α, Β και Γ είναι ακέραιοι για τους οποίους ισχύει η ακόλουθη πρόταση:

(C Ποια είναι η τιμή του C αν A=45 και B=18;

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.

Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στην έκφραση:

1) (C (C 2) ¬(C+1, C ≥ 44.

3) ¬(C+1, C ≥ 17.

Από τα 2) και 1) προκύπτει ότι ο Γ

Απάντηση: 44

¬(A = B) ∧ ((B A)) ∧ ((A 2C))

Ποια είναι η τιμή του A εάν C = 8 και B = 18;

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.

1) ¬(A = B) = 1, δηλαδή, A ≠ 18 = 1.

2) ((B A)) Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1

3) (A 2C) Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1

Από τα 2) και 3) προκύπτει ότι (18 > Α) και (Α > 16), αφού διαφορετικά προκύπτει αντίφαση: Α = 17.

Απάντηση: 17

Τα Α, Β και Γ είναι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους η πρόταση είναι αληθής

¬(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))

Ποια είναι η τιμή του B αν A = 45 και C = 18;

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές μόνο εάν όλες οι προτάσεις είναι αληθείς.