Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων. Λογικές. Λογικές συναρτήσεις. Επίλυση εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων λογικές εξισώσεις

Kirgizova E.V., Nemkova A.E.

Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Lesosibirsk -

παράρτημα του Ομοσπονδιακού Πανεπιστημίου της Σιβηρίας, Ρωσία

Η ικανότητα να σκέφτεσαι με συνέπεια, να συλλογίζεσαι πειστικά, να χτίζεις υποθέσεις και να αντικρούεις αρνητικά συμπεράσματα δεν έρχεται από μόνη της αυτή η ικανότητα αναπτύσσεται από την επιστήμη της λογικής. Η λογική είναι μια επιστήμη που μελετά μεθόδους για τον καθορισμό της αλήθειας ή της αναλήθειας ορισμένων δηλώσεων με βάση την αλήθεια ή το ψεύδος άλλων δηλώσεων.

Η κατοχή των βασικών στοιχείων αυτής της επιστήμης είναι αδύνατη χωρίς την επίλυση λογικών προβλημάτων. Ο έλεγχος της ανάπτυξης δεξιοτήτων για την εφαρμογή της γνώσης του ατόμου σε μια νέα κατάσταση πραγματοποιείται με επιτυχία. Συγκεκριμένα, αυτή είναι η ικανότητα λήψης αποφάσεων προβλήματα λογικής. Οι εργασίες Β15 στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους είναι εργασίες αυξημένης πολυπλοκότητας, καθώς περιέχουν συστήματα λογικών εξισώσεων. Μπορείτε να επιλέξετε διάφορους τρόπουςεπίλυση συστημάτων λογικών εξισώσεων. Αυτό είναι αναγωγή σε μία εξίσωση, κατασκευή πίνακα αλήθειας, αποσύνθεση, διαδοχική λύση εξισώσεων κ.λπ.

Εργο:Λύστε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων:

Ας αναλογιστούμε μέθοδος αναγωγής σε μία εξίσωση . Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει μετασχηματισμό λογικών εξισώσεων έτσι ώστε οι δεξιές πλευρές τους να είναι ίσες με την τιμή αλήθειας (δηλαδή 1). Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη λειτουργία λογικής άρνησης. Στη συνέχεια, εάν οι εξισώσεις περιέχουν σύνθετες λογικές πράξεις, τις αντικαθιστούμε με βασικές: «ΚΑΙ», «Ή», «ΟΧΙ». Το επόμενο βήμα είναι να συνδυάσετε τις εξισώσεις σε μία, ισοδύναμη με το σύστημα, χρησιμοποιώντας τη λογική πράξη «AND». Μετά από αυτό, θα πρέπει να μετατρέψετε την εξίσωση που προκύπτει με βάση τους νόμους της λογικής άλγεβρας και να αποκτήσετε μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα.

Λύση 1:Εφαρμόστε αντιστροφή και στις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης:

Ας φανταστούμε την επίπτωση μέσω των βασικών πράξεων "OR" και "NOT":

Δεδομένου ότι οι αριστερές πλευρές των εξισώσεων είναι ίσες με 1, μπορούμε να τις συνδυάσουμε χρησιμοποιώντας την πράξη "AND" σε μία εξίσωση που είναι ισοδύναμη με το αρχικό σύστημα:

Ανοίγουμε την πρώτη αγκύλη σύμφωνα με το νόμο του De Morgan και μετατρέπουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει:

Η εξίσωση που προκύπτει έχει μία λύση:Α= 0, Β = 0 και Γ = 1.

Η επόμενη μέθοδος είναι κατασκευή πινάκων αλήθειας . Δεδομένου ότι τα λογικά μεγέθη έχουν μόνο δύο τιμές, μπορείτε απλά να περάσετε από όλες τις επιλογές και να βρείτε μεταξύ τους εκείνες για τις οποίες ικανοποιείται ένα δεδομένο σύστημα εξισώσεων. Δηλαδή, χτίζουμε έναν κοινό πίνακα αλήθειας για όλες τις εξισώσεις του συστήματος και βρίσκουμε μια γραμμή με τις απαιτούμενες τιμές.

Λύση 2:Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα αλήθειας για το σύστημα:

Η γραμμή για την οποία πληρούνται οι συνθήκες εργασίας επισημαίνεται με έντονη γραφή. Άρα Α =0, Β =0 και Γ =1.

Τρόπος αποσύνθεση . Η ιδέα είναι να καθορίσουμε την τιμή μιας από τις μεταβλητές (να την ορίσουμε ίση με 0 ή 1) και έτσι να απλοποιηθούν οι εξισώσεις. Στη συνέχεια, μπορείτε να διορθώσετε την τιμή της δεύτερης μεταβλητής και ούτω καθεξής.

Λύση 3:Αφήνω A = 0, τότε:

Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμεσι =0, και από το δεύτερο – C=1. Λύση του συστήματος: Α = 0, Β = 0 και Γ = 1.

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαδοχική λύση εξισώσεων , σε κάθε βήμα προσθέτοντας μία μεταβλητή στο υπό εξέταση σύνολο. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν οι εξισώσεις έτσι ώστε οι μεταβλητές να εισαχθούν με αλφαβητική σειρά. Στη συνέχεια, χτίζουμε ένα δέντρο αποφάσεων, προσθέτοντας διαδοχικά μεταβλητές σε αυτό.

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος εξαρτάται μόνο από τα Α και Β και η δεύτερη εξίσωση από τα Α και Γ. Η μεταβλητή Α μπορεί να λάβει 2 τιμές 0 και 1:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , επομένως όταν A = 0 και παίρνουμε B = 0, και για A = 1 έχουμε B = 1. Άρα, η πρώτη εξίσωση έχει δύο λύσεις ως προς τις μεταβλητές Α και Β.

Ας απεικονίσουμε τη δεύτερη εξίσωση, από την οποία προσδιορίζουμε τις τιμές του C για κάθε επιλογή. Όταν A =1, η συνεπαγωγή δεν μπορεί να είναι ψευδής, δηλαδή, ο δεύτερος κλάδος του δέντρου δεν έχει λύση. ΣτοΑ= 0 έχουμε τη μόνη λύση C= 1 :

Έτσι, πήραμε τη λύση του συστήματος: A = 0, B = 0 και C = 1.

Στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στην επιστήμη των υπολογιστών, είναι πολύ συχνά απαραίτητο να προσδιοριστεί ο αριθμός των λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, χωρίς να βρεθούν οι ίδιες οι λύσεις, υπάρχουν επίσης ορισμένες μέθοδοι για αυτό. Ο κύριος τρόπος για να βρείτε τον αριθμό των λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων είναι αντικατάσταση μεταβλητών. Πρώτα, πρέπει να απλοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο καθεμία από τις εξισώσεις με βάση τους νόμους της λογικής άλγεβρας και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τα σύνθετα μέρη των εξισώσεων με νέες μεταβλητές και να καθορίσετε τον αριθμό των λύσεων νέο σύστημα. Στη συνέχεια, επιστρέψτε στην αντικατάσταση και καθορίστε τον αριθμό των λύσεων για αυτό.

Εργο:Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση ( A → B ) + (C → D ) = 1; Όπου Α, Β, Γ, Δ είναι λογικές μεταβλητές.

Διάλυμα:Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές: X = A → B και Y = C → D . Λαμβάνοντας υπόψη το νέο μεταβλητή εξίσωσηθα γραφτεί με τη μορφή: X + Y = 1.

Ο διαχωρισμός ισχύει σε τρεις περιπτώσεις: (0;1), (1;0) και (1;1), ενώΧ και Υ είναι υπονοούμενο, δηλαδή είναι αληθές σε τρεις περιπτώσεις και ψευδές σε μία. Επομένως, η περίπτωση (0;1) θα αντιστοιχεί σε τρεις πιθανούς συνδυασμούς παραμέτρων. Περίπτωση (1;1) – θα αντιστοιχεί σε εννέα πιθανούς συνδυασμούς παραμέτρων της αρχικής εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι οι συνολικές πιθανές λύσεις δεδομένη εξίσωση 3+9=15.

Ο επόμενος τρόπος προσδιορισμού του αριθμού των λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων είναι δυαδικό δέντρο. Ας δούμε αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Εργο:Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα των λογικών εξισώσεων:

Το δεδομένο σύστημα εξισώσεων είναι ισοδύναμο με την εξίσωση:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x m -1 → x m) = 1.

Ας υποθέσουμε ότιx 1 – είναι αλήθεια, τότε από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότιx 2 επίσης αλήθεια, από το δεύτερο -x 3 =1, και ούτω καθεξής μέχρι x m= 1. Άρα το σύνολο (1; 1; …; 1) του m μονάδες είναι η λύση του συστήματος. Αφήστε το τώραx 1 =0, τότε από την πρώτη εξίσωση έχουμεx 2 =0 ή x 2 =1.

Οταν x 2 true, παίρνουμε ότι οι υπόλοιπες μεταβλητές είναι επίσης αληθείς, δηλαδή το σύνολο (0; 1; ...; 1) είναι μια λύση στο σύστημα. Στοx 2 =0 το καταλαβαίνουμε x 3 =0 ή x 3 =, και ούτω καθεξής. Συνεχίζοντας στην τελευταία μεταβλητή, βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ακόλουθα σύνολα μεταβλητών ( m +1 διάλυμα, σε κάθε διάλυμα m μεταβλητές τιμές):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Αυτή η προσέγγιση απεικονίζεται καλά με την κατασκευή ενός δυαδικού δέντρου. Ο αριθμός των πιθανών λύσεων είναι ο αριθμός των διαφορετικών κλάδων του κατασκευασμένου δέντρου. Είναι εύκολο να δεις ότι είναι ίσο m +1.

Σε περίπτωση δυσκολιών στη λογική και τη δημιουργία ενός δέντρου αποφάσεων, μπορείτε να αναζητήσετε μια λύση χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας, για μία ή δύο εξισώσεις.

Ας ξαναγράψουμε το σύστημα των εξισώσεων με τη μορφή:

Και ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα αλήθειας ξεχωριστά για μία εξίσωση:

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα αλήθειας για δύο εξισώσεις:

Στη συνέχεια, μπορείτε να δείτε ότι μια εξίσωση είναι αληθής στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: (0; 0), (0; 1), (1; 1). Ένα σύστημα δύο εξισώσεων ισχύει σε τέσσερις περιπτώσεις (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). Σε αυτή την περίπτωση, είναι αμέσως σαφές ότι υπάρχει μια λύση που αποτελείται μόνο από μηδενικά και περισσότερα mλύσεις στις οποίες προστίθεται μία μονάδα κάθε φορά, ξεκινώντας από τελευταία θέσημέχρι να καλυφθούν όλες οι πιθανές θέσεις. Μπορεί να υποτεθεί ότι γενική λύσηθα έχει την ίδια μορφή, αλλά για να γίνει λύση αυτή η προσέγγιση, απαιτείται απόδειξη ότι η υπόθεση είναι αληθής.

Για να συνοψίσω όλα τα παραπάνω, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας στο γεγονός ότι δεν είναι όλες οι μέθοδοι που συζητήθηκαν καθολικές. Κατά την επίλυση κάθε συστήματος λογικών εξισώσεων, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη τα χαρακτηριστικά του, βάσει των οποίων θα πρέπει να επιλεγεί η μέθοδος επίλυσης.

Λογοτεχνία:

1. Λογικά προβλήματα / Ο.Β. Bogomolov – 2η έκδ. – Μ.: BINOM. Laboratory of Knowledge, 2006. – 271 σελ.: ill.

2. Polyakov K.Yu. Συστήματα λογικών εξισώσεων / Εκπαιδευτική και μεθοδολογική εφημερίδα για καθηγητές πληροφορικής: Πληροφορική Νο 14, 2011.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, όπου J, K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές;

Εξήγηση.

Επομένως, η έκφραση (N ∨ ¬N) ισχύει για οποιοδήποτε N

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Ας εφαρμόσουμε άρνηση και στις δύο πλευρές της λογικής εξίσωσης και ας χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του De Morgan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. Παίρνουμε ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Ένα λογικό άθροισμα είναι ίσο με 1 εάν τουλάχιστον μία από τις συστατικές προτάσεις του είναι ίση με 1. Επομένως, η εξίσωση που προκύπτει ικανοποιείται από οποιονδήποτε συνδυασμό λογικών μεταβλητών εκτός από την περίπτωση που όλες οι ποσότητες που περιλαμβάνονται στην εξίσωση είναι ίσες με 0. Κάθε μία από τις οι 4 μεταβλητές μπορεί να είναι ίσες με 1 ή 0, επομένως όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί είναι 2·2·2·2 = 16. Επομένως, η εξίσωση έχει 16 −1 = 15 λύσεις.

Μένει να σημειωθεί ότι οι 15 λύσεις που βρέθηκαν αντιστοιχούν σε οποιαδήποτε από τις δύο πιθανές τιμές της λογικής μεταβλητής N, επομένως η αρχική εξίσωση έχει 30 λύσεις.

Απάντηση: 30

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

όπου J, K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές;

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των J, K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Εξήγηση.

Χρησιμοποιούμε τους τύπους A → B = ¬A ∨ B και ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Ας εξετάσουμε τον πρώτο υποτύπο:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Ας εξετάσουμε τον δεύτερο υποτύπο

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Ας εξετάσουμε τον τρίτο υποτύπο

1) M → J = 1 επομένως,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Ας συνδυάσουμε:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 άρα 4 διαλύματα.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Ας συνδυάσουμε:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L άρα 4 λύσεις.

γ) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Απάντηση: 4 + 4 = 8.

Απάντηση: 8

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

όπου K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές; Η Απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας απλούστερο συμβολισμό για πράξεις:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) από τον πίνακα αληθείας της πράξης «υπόνοια» (δείτε το πρώτο πρόβλημα) προκύπτει ότι αυτή η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν ταυτόχρονα

K + L = 1 και L M N = 0

2) από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι τουλάχιστον μία από τις μεταβλητές, K ή L, είναι ίση με 1 (ή και οι δύο μαζί). ας εξετάσουμε λοιπόν τρεις περιπτώσεις

3) εάν K = 1 και L = 0, τότε η δεύτερη ισότητα ικανοποιείται για οποιαδήποτε M και N. αφού υπάρχουν 4 συνδυασμοί δύο μεταβλητών Boolean (00, 01, 10 και 11), έχουμε 4 διαφορετικές λύσεις

4) εάν K = 1 και L = 1, τότε η δεύτερη ισότητα ισχύει για M · N = 0; υπάρχουν 3 τέτοιοι συνδυασμοί (00, 01 και 10), έχουμε άλλες 3 λύσεις

5) εάν K = 0, τότε L = 1 (από την πρώτη εξίσωση). Σε αυτή την περίπτωση, η δεύτερη ισότητα ικανοποιείται όταν M · N = 0; υπάρχουν 3 τέτοιοι συνδυασμοί (00, 01 και 10), έχουμε άλλες 3 λύσεις

6) συνολικά παίρνουμε 4 + 3 + 3 = 10 λύσεις.

Απάντηση: 10

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Εξήγηση.

Η έκφραση είναι αληθής σε τρεις περιπτώσεις, όταν τα (K ∧ L) και (M ∧ N) είναι ίσα με 01, 11, 10, αντίστοιχα.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N είναι ίσα με 1, και K και L είναι οτιδήποτε εκτός από ταυτόχρονα 1. Επομένως, υπάρχουν 3 λύσεις.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 διάλυμα.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 διαλύματα.

Απάντηση: 7.

Απάντηση: 7

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(X ∧ Y ∨ Z) ​​→ (Z ∨ P) = 0

όπου τα X, Y, Z, P είναι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, χρειάζεται μόνο να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

(X ∧ Y ∨ Z) ​​→ (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ​​∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Το λογικό OR είναι ψευδές μόνο σε μία περίπτωση: όταν και οι δύο εκφράσεις είναι ψευδείς.

Οθεν,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Υ = 1.

Επομένως, υπάρχει μόνο μία λύση στην εξίσωση.

Απάντηση: 1

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

όπου K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, χρειάζεται μόνο να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

Λογικό Και ισχύει μόνο σε μία περίπτωση: όταν όλες οι εκφράσεις είναι αληθείς.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Κάθε μία από τις εξισώσεις δίνει 3 λύσεις.

Θεωρήστε την εξίσωση A ∧ B = 1 εάν και το A και το B αποδέχονται αληθινές αξίεςσε τρεις περιπτώσεις η καθεμία, τότε συνολικά η εξίσωση έχει 9 λύσεις.

Επομένως η απάντηση είναι 9.

Απάντηση: 9

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

όπου A, B, C, D είναι λογικές μεταβλητές;

Η απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών A, B, C, D για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Εξήγηση.

Το λογικό "OR" είναι αληθές όταν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις είναι αληθής.

(D ∧ ¬D)= 0 για οποιοδήποτε D.

Οθεν,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, που μας δίνει 3 πιθανές λύσεις για κάθε D.

(D ∧ ¬ D)= 0 για οποιοδήποτε D, που μας δίνει δύο λύσεις (για D = 1, D = 0).

Επομένως: συνολικές λύσεις 2*3 = 6.

Σύνολο 6 λύσεις.

Απάντηση: 6

Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση;

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

όπου K, L, M, N είναι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των K, L, M και N για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, χρειάζεται μόνο να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων σετ.

Εξήγηση.

Ας εφαρμόσουμε άρνηση και στις δύο πλευρές της εξίσωσης:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Το λογικό Ή ισχύει σε τρεις περιπτώσεις.

Επιλογή 1.

K ∧ L ∧ M = 1, μετά K, L, M = 1, και ¬L ∧ M ∧ N = 0. Το N είναι αυθαίρετο, δηλαδή 2 λύσεις.

Επιλογή 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, μετά N, M = 1; L = 0, K οποιαδήποτε, δηλαδή 2 λύσεις.

Επομένως η απάντηση είναι 4.

Απάντηση: 4

Τα Α, Β και Γ είναι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους η πρόταση είναι αληθής

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

Τι ισούται με το B αν A = 45 και C = 43;

Εξήγηση.

1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);

2) αυτές οι απλές εντολές συνδέονται με την πράξη ∧ (AND, σύνδεσμος), δηλαδή πρέπει να εκτελούνται ταυτόχρονα.

3) από ¬(A = B)=1 αμέσως προκύπτει ότι A B;

4) ας υποθέσουμε ότι A > B, τότε από τη δεύτερη συνθήκη παίρνουμε 1→(B > C)=1; αυτή η έκφραση μπορεί να είναι αληθής εάν και μόνο εάν B > C = 1;

5) επομένως έχουμε A > B > C, μόνο ο αριθμός 44 αντιστοιχεί σε αυτήν την συνθήκη.

6) για παν ενδεχόμενο, ας τσεκάρουμε επίσης την επιλογή A 0 →(B > C)=1;

Αυτή η έκφραση ισχύει για οποιοδήποτε Β. Τώρα κοιτάμε την τρίτη συνθήκη και παίρνουμε

αυτή η έκφραση μπορεί να είναι αληθής αν και μόνο αν C > B, και εδώ έχουμε μια αντίφαση, επειδή δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός B για τον οποίο C > B > A.

Απάντηση: 44.

Απάντηση: 44

Κατασκευάστε έναν πίνακα αλήθειας για μια λογική συνάρτηση

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

στην οποία η στήλη των τιμών του ορίσματος Α είναι η δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 27, η στήλη των τιμών του ορίσματος Β είναι ο αριθμός 77, η στήλη των τιμών του ορίσματος C είναι ο αριθμός 120. Ο αριθμός στη στήλη γράφεται από πάνω προς τα κάτω από το πιο σημαντικό προς το λιγότερο σημαντικό (συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού συνόλου). Μετατρέψτε τη δυαδική αναπαράσταση που προκύπτει από τις τιμές της συνάρτησης X στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Εξήγηση.

Ας γράψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας απλούστερο συμβολισμό για πράξεις:

1) αυτή είναι μια έκφραση με τρεις μεταβλητές, επομένως θα υπάρχουν γραμμές στον πίνακα αλήθειας. Επομένως, η δυαδική αναπαράσταση των αριθμών που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή των στηλών του πίνακα A, B και C πρέπει να αποτελείται από 8 ψηφία

2) μετατρέψτε τους αριθμούς 27, 77 και 120 στο δυαδικό σύστημα, προσθέτοντας αμέσως έως και 8 ψηφία μηδενικών στην αρχή των αριθμών

3) είναι απίθανο να μπορείτε να γράψετε αμέσως τις τιμές της συνάρτησης X για κάθε συνδυασμό, επομένως είναι βολικό να προσθέσετε επιπλέον στήλες στον πίνακα για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων (δείτε τον παρακάτω πίνακα)

4) Συμπληρώστε τις στήλες του πίνακα:

η τιμή είναι 1 μόνο σε εκείνες τις γραμμές όπου A = B

η τιμή είναι 1 σε εκείνες τις γραμμές όπου είτε B είτε C = 1

η τιμή είναι 0 μόνο σε εκείνες τις γραμμές όπου A = 1 και B + C = 0

η τιμή είναι το αντίστροφο της προηγούμενης στήλης (0 αντικαθίσταται από 1 και το 1 αντικαθίσταται από 0)

το αποτέλεσμα του X (τελευταία στήλη) είναι το λογικό άθροισμα των δύο στηλών και

5) για να λάβετε την απάντηση, γράψτε τα bits από τη στήλη Χ από πάνω προς τα κάτω:

6) μετατρέψτε αυτόν τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα:

Απάντηση: 171

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος X για τον οποίο ισχύει η πρόταση (10 (X+1)·(X+2));

Εξήγηση.

Μια εξίσωση είναι μια πράξη συνεπαγωγής μεταξύ δύο σχέσεων:

1) Φυσικά, εδώ μπορείτε να εφαρμόσετε την ίδια μέθοδο όπως στο παράδειγμα 2208, αλλά θα πρέπει να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις(Δεν θέλω...)

2) Σημειώστε ότι βάσει συνθήκης μας ενδιαφέρουν μόνο ακέραιοι αριθμοί, οπότε μπορούμε να προσπαθήσουμε με κάποιο τρόπο να μετατρέψουμε την αρχική έκφραση, λαμβάνοντας μια ισοδύναμη δήλωση ( ακριβείς τιμέςδεν μας ενδιαφέρουν καθόλου οι ρίζες!);

3) Εξετάστε την ανισότητα: προφανώς, μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός.

4) Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι στον τομέα η πρόταση είναι αληθής για όλους τους ακέραιους αριθμούς και στον τομέα - για όλους τους ακέραιους αριθμούς (για να μην μπερδευτείτε, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε μη αυστηρές ανισότητες και, αντί για και )

5) Επομένως, για ακέραιους αριθμούς μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη έκφραση

6) το πεδίο της αλήθειας μιας έκφρασης είναι η ένωση δύο άπειρων διαστημάτων.

7) Σκεφτείτε τώρα τη δεύτερη ανισότητα: είναι προφανές ότι μπορεί επίσης να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός.

8) Στον τομέα η πρόταση είναι αληθής για όλους τους ακέραιους αριθμούς και στον τομέα - για όλους τους ακέραιους αριθμούς, επομένως για τους ακέραιους μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη έκφραση

9) ο τομέας της αλήθειας της έκφρασης είναι ένα κλειστό διάστημα.

10) Η δεδομένη έκφραση ισχύει παντού, εκτός από τις περιοχές όπου και ;

11) Σημειώστε ότι η τιμή δεν είναι πλέον κατάλληλη, γιατί εκεί και, δηλαδή, η συνεπαγωγή δίνει 0.

12) Κατά την αντικατάσταση 2, (10 (2+1) · (2+2)), ή 0 → 0 που ικανοποιεί τη συνθήκη.

Άρα η απάντηση είναι 2.

Απάντηση: 2

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος Χ για τον οποίο ισχύει η πρόταση

(50 (Χ+1)·(Χ+1));

Εξήγηση.

Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό της έννοιας και ας μετατρέψουμε την έκφραση:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Το λογικό Ή είναι αληθές όταν τουλάχιστον μία λογική πρόταση είναι αληθής. Έχοντας λύσει και τις δύο ανισώσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι βλέπουμε ότι ο μεγαλύτερος ακέραιος για τον οποίο ικανοποιείται τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι το 7 (στο σχήμα, η θετική λύση της δεύτερης ανισότητας φαίνεται με κίτρινο και η πρώτη με μπλε).

Απάντηση: 7

Υποδείξτε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N, στις οποίες εμφανίζεται η λογική έκφραση

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

ψευδής. Γράψτε την απάντηση ως συμβολοσειρά 4 χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Διπλότυπη εργασία 3584.

Απάντηση: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Εξήγηση.

Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό της έννοιας:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Ας εφαρμόσουμε άρνηση και στις δύο πλευρές της εξίσωσης:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Ας μεταμορφώσουμε:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Επομένως, M = 0, N = 0, τώρα θεωρήστε (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

από το γεγονός ότι M = 0, N = 0 προκύπτει ότι M ∧ L = 0, τότε ¬K ∧ L = 1, δηλαδή K = 0, L = 1.

Απάντηση: 0100

Καθορίστε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N στις οποίες εμφανίζεται η λογική έκφραση

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

ψευδής. Γράψτε την απάντησή σας ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Ας γράψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας απλούστερο συμβολισμό πράξεων (η συνθήκη "η έκφραση είναι ψευδής" σημαίνει ότι είναι ίση με λογικό μηδέν):

1) από τη διατύπωση της συνθήκης προκύπτει ότι η έκφραση πρέπει να είναι ψευδής μόνο για ένα σύνολο μεταβλητών

2) από τον πίνακα αληθείας της πράξης «υπόνοια» προκύπτει ότι αυτή η έκφραση είναι ψευδής εάν και μόνο εάν ταυτόχρονα

3) η πρώτη ισότητα (το λογικό γινόμενο είναι ίσο με 1) ικανοποιείται αν και μόνο αν και ; Από αυτό προκύπτει (το λογικό άθροισμα είναι ίσο με μηδέν), το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο όταν ; Έτσι, έχουμε ήδη ορίσει τρεις μεταβλητές

4) από τη δεύτερη συνθήκη, , για και λαμβάνουμε .

Αντιγράφει την εργασία

Απάντηση: 1000

Καθορίστε τις τιμές των λογικών μεταβλητών P, Q, S, T, στις οποίες η λογική έκφραση

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) είναι λάθος.

Γράψτε την απάντηση ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών P, Q, S, T (με αυτή τη σειρά).

Εξήγηση.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό της έννοιας:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Απάντηση: 0100

Καθορίστε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N στις οποίες εμφανίζεται η λογική έκφραση

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

ψευδής. Γράψτε την απάντησή σας ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Το λογικό Ή είναι ψευδές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι ψευδείς.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Ας εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό υπονοούμενων για την πρώτη έκφραση:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Σκεφτείτε τη δεύτερη έκφραση:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (δείτε το αποτέλεσμα της πρώτης έκφρασης) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Απάντηση: 1001.

Απάντηση: 1001

Καθορίστε τις τιμές των μεταβλητών K, L, M, N στις οποίες εμφανίζεται η λογική έκφραση

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

αληθής. Γράψτε την απάντησή σας ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί στο γεγονός ότι K=1, L=1, M=0, N=1.

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.

1) (K → M) = 1 Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: ¬K ∨ ¬M = 1

Από αυτό προκύπτει ότι Κ = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό συνεπειών: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 από το γεγονός ότι K = 0 λαμβάνουμε:

M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.

Απάντηση: 0011

Είναι γνωστό ότι για τους ακέραιους X, Y και Z ισχύει η ακόλουθη πρόταση:

(Z Τι είναι το Z ίσο αν X=25 και Y=48;

Εξήγηση.

Αφού αντικαταστήσουμε τους αριθμούς, παίρνουμε ότι Z = 47.

Σημειώστε ότι αυτή η σύνθετη δήλωση αποτελείται από τρεις απλές

1) (Z 2) αυτές οι απλές εντολές συνδέονται με την πράξη ∧ (AND, σύνδεσμος), δηλαδή πρέπει να εκτελούνται ταυτόχρονα.

3) από ¬(Z+1 24, και από ¬(Z+1 47.

4) από (Z Z Απάντηση: 47.

Απάντηση: 47

Τα Α, Β και Γ είναι ακέραιοι για τους οποίους ισχύει η ακόλουθη πρόταση:

(C Ποια είναι η τιμή του C αν A=45 και B=18;

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.

Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στην έκφραση:

1) (C (C 2) ¬(C+1, C ≥ 44.

3) ¬(C+1, C ≥ 17.

Από τα 2) και 1) προκύπτει ότι ο Γ

Απάντηση: 44

¬(A = B) ∧ ((B A)) ∧ ((A 2C))

Ποια είναι η τιμή του A εάν C = 8 και B = 18;

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.

1) ¬(A = B) = 1, δηλαδή, A ≠ 18 = 1.

2) ((B A)) Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1

3) (A 2C) Εφαρμόστε τον μετασχηματισμό της έννοιας: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1

Από τα 2) και 3) προκύπτει ότι (18 > Α) και (Α > 16), αφού διαφορετικά προκύπτει αντίφαση: Α = 17.

Απάντηση: 17

Τα Α, Β και Γ είναι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους η πρόταση είναι αληθής

¬(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))

Ποια είναι η τιμή του B αν A = 45 και C = 18;

Εξήγηση.

Το λογικό "AND" είναι αληθές μόνο εάν όλες οι προτάσεις είναι αληθείς.

Έστω μια λογική συνάρτηση n μεταβλητών. Η λογική εξίσωση μοιάζει με:

Η σταθερά C έχει την τιμή 1 ή 0.

Μια λογική εξίσωση μπορεί να έχει από 0 έως διαφορετικές λύσεις. Αν το C είναι ίσο με 1, τότε οι λύσεις είναι όλα εκείνα τα σύνολα μεταβλητών από τον πίνακα αλήθειας για τα οποία η συνάρτηση F παίρνει την τιμή true (1). Τα υπόλοιπα σύνολα είναι λύσεις της εξίσωσης με το C ίσο με μηδέν. Μπορείτε πάντα να εξετάζετε μόνο εξισώσεις της μορφής:

Πράγματι, ας δοθεί η εξίσωση:

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να πάμε στην ισοδύναμη εξίσωση:

Θεωρήστε ένα σύστημα k λογικών εξισώσεων:

Η λύση σε ένα σύστημα είναι ένα σύνολο μεταβλητών στις οποίες ικανοποιούνται όλες οι εξισώσεις του συστήματος. Όσον αφορά τις λογικές συναρτήσεις, για να ληφθεί μια λύση σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, θα πρέπει να βρεθεί ένα σύνολο στο οποίο η λογική συνάρτηση Ф είναι αληθής, αντιπροσωπεύοντας το συνδυασμό των αρχικών συναρτήσεων:

Εάν ο αριθμός των μεταβλητών είναι μικρός, για παράδειγμα, μικρότερος από 5, τότε δεν είναι δύσκολο να κατασκευάσουμε έναν πίνακα αλήθειας για τη συνάρτηση, ο οποίος μας επιτρέπει να πούμε πόσες λύσεις έχει το σύστημα και ποια είναι τα σύνολα που παρέχουν λύσεις.

Σε μερικά Προβλήματα Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςγια να βρούμε λύσεις σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, ο αριθμός των μεταβλητών φτάνει τις 10. Τότε η κατασκευή ενός πίνακα αλήθειας γίνεται σχεδόν αδύνατη. Η επίλυση του προβλήματος απαιτεί διαφορετική προσέγγιση. Για ένα αυθαίρετο σύστημα εξισώσεων δεν υπάρχουν γενική μέθοδος, διαφορετικό από την ωμή βία, που επιτρέπει την επίλυση τέτοιων προβλημάτων.

Στα προβλήματα που προτείνονται στην εξέταση, η λύση βασίζεται συνήθως στο να ληφθούν υπόψη οι ιδιαιτερότητες του συστήματος εξισώσεων. Επαναλαμβάνω, εκτός από τη δοκιμή όλων των επιλογών για ένα σύνολο μεταβλητών, δεν υπάρχει γενικός τρόπος επίλυσης του προβλήματος. Η λύση πρέπει να χτιστεί με βάση τις ιδιαιτερότητες του συστήματος. Συχνά είναι χρήσιμο να πραγματοποιηθεί μια προκαταρκτική απλοποίηση ενός συστήματος εξισώσεων χρησιμοποιώντας γνωστούς νόμους της λογικής. Αλλος χρήσιμο κόλποΗ λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι η εξής. Δεν μας ενδιαφέρουν όλα τα σύνολα, αλλά μόνο εκείνα στα οποία η συνάρτηση έχει την τιμή 1. Αντί να κατασκευάζουμε πλήρες τραπέζιαλήθεια, θα φτιάξουμε το ανάλογό του - ένα δυαδικό δέντρο αποφάσεων. Κάθε κλάδος αυτού του δέντρου αντιστοιχεί σε μία λύση και καθορίζει ένα σύνολο στο οποίο η συνάρτηση έχει την τιμή 1. Ο αριθμός των κλάδων στο δέντρο αποφάσεων συμπίπτει με τον αριθμό των λύσεων στο σύστημα των εξισώσεων.

Θα εξηγήσω τι είναι ένα δυαδικό δέντρο αποφάσεων και πώς κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας παραδείγματα πολλών προβλημάτων.

Πρόβλημα 18

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 υπάρχουν που ικανοποιούν το σύστημα δύο εξισώσεων;

Απάντηση: Το σύστημα έχει 36 διαφορετικές λύσεις.

Λύση: Το σύστημα των εξισώσεων περιλαμβάνει δύο εξισώσεις. Ας βρούμε τον αριθμό των λύσεων για την πρώτη εξίσωση, ανάλογα με 5 μεταβλητές - . Η πρώτη εξίσωση μπορεί με τη σειρά της να θεωρηθεί ως ένα σύστημα 5 εξισώσεων. Όπως έχει αποδειχθεί, το σύστημα των εξισώσεων στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύει το συνδυασμό λογικών συναρτήσεων. Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής - ένας συνδυασμός συνθηκών μπορεί να θεωρηθεί ως σύστημα εξισώσεων.

Ας οικοδομήσουμε ένα δέντρο απόφασης για συνεπαγωγή () - τον πρώτο όρο του συνδέσμου, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως η πρώτη εξίσωση. Έτσι μοιάζει μια γραφική αναπαράσταση αυτού του δέντρου

Το δέντρο αποτελείται από δύο επίπεδα ανάλογα με τον αριθμό των μεταβλητών στην εξίσωση. Το πρώτο επίπεδο περιγράφει την πρώτη μεταβλητή. Δύο κλάδοι αυτού του επιπέδου αντικατοπτρίζουν τις πιθανές τιμές αυτής της μεταβλητής - 1 και 0. Στο δεύτερο επίπεδο, τα κλαδιά του δέντρου αντικατοπτρίζουν μόνο εκείνες τις πιθανές τιμές της μεταβλητής για τις οποίες η εξίσωση αξιολογείται ως αληθής. Εφόσον η εξίσωση καθορίζει μια έννοια, ένας κλάδος στον οποίο έχει την τιμή 1 απαιτεί να υπάρχει σε αυτόν τον κλάδο η τιμή 1. Ένας κλάδος στον οποίο έχει την τιμή 0 δημιουργεί δύο κλάδους με τιμές ίσες με 0 και 1. Το κατασκευασμένο Το δέντρο καθορίζει τρεις λύσεις, από τις οποίες η συνεπαγωγή παίρνει την τιμή 1. Σε κάθε κλάδο, γράφεται ένα αντίστοιχο σύνολο μεταβλητών τιμών, δίνοντας μια λύση στην εξίσωση.

Αυτά τα σετ είναι: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Ας συνεχίσουμε να χτίζουμε το δέντρο αποφάσεων προσθέτοντας την ακόλουθη εξίσωση, την ακόλουθη συνέπεια. Η ιδιαιτερότητα του συστήματος εξισώσεων μας είναι ότι κάθε νέα εξίσωση του συστήματος χρησιμοποιεί μία μεταβλητή από την προηγούμενη εξίσωση, προσθέτοντας μία νέα μεταβλητή. Εφόσον η μεταβλητή έχει ήδη τιμές στο δέντρο, τότε σε όλους τους κλάδους όπου η μεταβλητή έχει τιμή 1, η μεταβλητή θα έχει επίσης τιμή 1. Για τέτοιους κλάδους, η κατασκευή του δέντρου συνεχίζεται στο επόμενο επίπεδο, αλλά νέα κλαδιά δεν εμφανίζονται. Ένας κλάδος όπου μια μεταβλητή έχει τιμή 0 θα διακλαδωθεί σε δύο κλάδους όπου η μεταβλητή θα λάβει τιμές 0 και 1. Έτσι, κάθε προσθήκη μιας νέας εξίσωσης, δεδομένης της ειδικότητάς της, προσθέτει μία λύση. Αρχική πρώτη εξίσωση:

έχει 6 λύσεις. Έτσι φαίνεται γεμάτο δέντρολύσεις για αυτήν την εξίσωση:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματός μας είναι παρόμοια με την πρώτη:

Η μόνη διαφορά είναι ότι η εξίσωση χρησιμοποιεί μεταβλητές Υ Αυτή η εξίσωση έχει επίσης 6 λύσεις. Αφού κάθε λύση μεταβλητής μπορεί να συνδυαστεί με κάθε λύση μεταβλητής, τότε συνολικός αριθμόςΥπάρχουν 36 λύσεις.

Σημειώστε ότι το κατασκευασμένο δέντρο αποφάσεων δίνει όχι μόνο τον αριθμό των λύσεων (από τον αριθμό των κλάδων), αλλά και τις ίδιες τις λύσεις που είναι γραμμένες σε κάθε κλάδο του δέντρου.

Πρόβλημα 19

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

Αυτή η εργασία είναι μια τροποποίηση της προηγούμενης εργασίας. Η διαφορά είναι ότι προστίθεται μια άλλη εξίσωση που συσχετίζει τις μεταβλητές X και Y.

Από την εξίσωση προκύπτει ότι όταν έχει τιμή 1 (υπάρχει μια τέτοια λύση), τότε έχει τιμή 1. Έτσι, υπάρχει ένα σύνολο στο οποίο και έχει τιμές 1. Όταν ισούται με 0, μπορεί έχουν οποιαδήποτε τιμή, τόσο 0 όσο και 1. Επομένως, κάθε σύνολο με , ίσο με 0, και υπάρχουν 5 τέτοια σύνολα, αντιστοιχεί και στα 6 σύνολα με μεταβλητές Y. Επομένως, ο συνολικός αριθμός λύσεων είναι 31.

Πρόβλημα 20

Λύση: Υπενθυμίζοντας τις βασικές ισοδυναμίες, γράφουμε την εξίσωσή μας ως:

Η κυκλική αλυσίδα των συνεπειών σημαίνει ότι οι μεταβλητές είναι πανομοιότυπες, επομένως η εξίσωσή μας είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις όταν όλες είναι είτε 1 είτε 0.

Πρόβλημα 21

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση:

Λύση: Ακριβώς όπως στο πρόβλημα 20, μετακινούμαστε από τις κυκλικές επιπτώσεις στις ταυτότητες, ξαναγράφοντας την εξίσωση με τη μορφή:

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο αποφάσεων για αυτήν την εξίσωση:

Πρόβλημα 22

Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα εξισώσεων;

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων. Αυτό είναι αναγωγή σε μία εξίσωση, κατασκευή πίνακα αλήθειας και αποσύνθεση.

Εργο:Λύστε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων:

Ας αναλογιστούμε μέθοδος αναγωγής σε μία εξίσωση . Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει μετασχηματισμό λογικών εξισώσεων έτσι ώστε οι δεξιές πλευρές τους να είναι ίσες με την τιμή αλήθειας (δηλαδή 1). Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη λειτουργία λογικής άρνησης. Στη συνέχεια, εάν οι εξισώσεις περιέχουν σύνθετες λογικές πράξεις, τις αντικαθιστούμε με βασικές: «ΚΑΙ», «Ή», «ΟΧΙ». Το επόμενο βήμα είναι να συνδυάσετε τις εξισώσεις σε μία, ισοδύναμη με το σύστημα, χρησιμοποιώντας τη λογική πράξη «AND». Μετά από αυτό, θα πρέπει να μετατρέψετε την εξίσωση που προκύπτει με βάση τους νόμους της λογικής άλγεβρας και να αποκτήσετε μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα.

Λύση 1:Εφαρμόστε αντιστροφή και στις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης:

Ας φανταστούμε την επίπτωση μέσω των βασικών πράξεων "OR" και "NOT":

Δεδομένου ότι οι αριστερές πλευρές των εξισώσεων είναι ίσες με 1, μπορούμε να τις συνδυάσουμε χρησιμοποιώντας την πράξη "AND" σε μία εξίσωση που είναι ισοδύναμη με το αρχικό σύστημα:

Ανοίγουμε την πρώτη αγκύλη σύμφωνα με το νόμο του De Morgan και μετατρέπουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει:

Η εξίσωση που προκύπτει έχει μία λύση: A =0, B=0 και C=1.

Η επόμενη μέθοδος είναι κατασκευή πινάκων αλήθειας . Δεδομένου ότι τα λογικά μεγέθη έχουν μόνο δύο τιμές, μπορείτε απλά να περάσετε από όλες τις επιλογές και να βρείτε μεταξύ τους εκείνες για τις οποίες ικανοποιείται ένα δεδομένο σύστημα εξισώσεων. Δηλαδή, χτίζουμε έναν κοινό πίνακα αλήθειας για όλες τις εξισώσεις του συστήματος και βρίσκουμε μια γραμμή με τις απαιτούμενες τιμές.

Λύση 2:Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα αλήθειας για το σύστημα:

Η γραμμή για την οποία πληρούνται οι συνθήκες εργασίας επισημαίνεται με έντονη γραφή. Άρα Α=0, Β=0 και Γ=1.

Τρόπος αποσύνθεση . Η ιδέα είναι να καθορίσουμε την τιμή μιας από τις μεταβλητές (να την ορίσουμε ίση με 0 ή 1) και έτσι να απλοποιηθούν οι εξισώσεις. Στη συνέχεια, μπορείτε να διορθώσετε την τιμή της δεύτερης μεταβλητής και ούτω καθεξής.

Λύση 3:Έστω A = 0, τότε:

Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε B = 0, και από τη δεύτερη - C = 1. Λύση του συστήματος: Α = 0, Β = 0 και Γ = 1.

Στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στην επιστήμη των υπολογιστών, είναι πολύ συχνά απαραίτητο να προσδιοριστεί ο αριθμός των λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, χωρίς να βρεθούν οι ίδιες οι λύσεις, υπάρχουν επίσης ορισμένες μέθοδοι για αυτό. Ο κύριος τρόπος για να βρείτε τον αριθμό των λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων είναιαντικατάσταση μεταβλητών. Πρώτα, πρέπει να απλοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο καθεμία από τις εξισώσεις με βάση τους νόμους της λογικής άλγεβρας και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τα σύνθετα μέρη των εξισώσεων με νέες μεταβλητές και να καθορίσετε τον αριθμό των λύσεων στο νέο σύστημα. Στη συνέχεια, επιστρέψτε στην αντικατάσταση και καθορίστε τον αριθμό των λύσεων για αυτό.

Εργο:Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση (A →B) + (C →D) = 1; Όπου Α, Β, Γ, Δ είναι λογικές μεταβλητές.

Διάλυμα:Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές: X = A →B και Y = C →D. Λαμβάνοντας υπόψη τις νέες μεταβλητές, η εξίσωση θα γραφεί ως εξής: X + Y = 1.

Ο διαχωρισμός είναι αληθής σε τρεις περιπτώσεις: (0;1), (1;0) και (1;1), ενώ τα Χ και Υ είναι συνεπακόλουθα, δηλαδή είναι αληθής σε τρεις περιπτώσεις και ψευδής σε μία. Επομένως, η περίπτωση (0;1) θα αντιστοιχεί σε τρεις πιθανούς συνδυασμούς παραμέτρων. Περίπτωση (1;1) – θα αντιστοιχεί σε εννέα πιθανούς συνδυασμούς παραμέτρων της αρχικής εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι οι συνολικές πιθανές λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι 3+9=15.

Ο επόμενος τρόπος προσδιορισμού του αριθμού των λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων είναι δυαδικό δέντρο. Ας δούμε αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Εργο:Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα των λογικών εξισώσεων:

Το δεδομένο σύστημα εξισώσεων είναι ισοδύναμο με την εξίσωση:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x m -1 → x m) = 1.

Ας υποθέσουμε ότι x 1 – είναι αλήθεια, τότε από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι x 2 επίσης αλήθεια, από το δεύτερο - x 3 =1, και ούτω καθεξής μέχρι x m= 1. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο (1; 1; …; 1) των m μονάδων είναι μια λύση στο σύστημα. Αφήστε το τώρα x 1 =0, τότε από την πρώτη εξίσωση έχουμε x 2 =0 ή x 2 =1.

Οταν x 2 true, παίρνουμε ότι οι υπόλοιπες μεταβλητές είναι επίσης αληθείς, δηλαδή το σύνολο (0; 1; ...; 1) είναι μια λύση στο σύστημα. Στο x 2 =0 το καταλαβαίνουμε x 3 =0 ή x 3 =, και ούτω καθεξής. Συνεχίζοντας στην τελευταία μεταβλητή, βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ακόλουθα σύνολα μεταβλητών (m +1 λύση, κάθε λύση περιέχει m τιμές των μεταβλητών):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Αυτή η προσέγγιση απεικονίζεται καλά με την κατασκευή ενός δυαδικού δέντρου. Ο αριθμός των πιθανών λύσεων είναι ο αριθμός των διαφορετικών κλάδων του κατασκευασμένου δέντρου. Είναι εύκολο να δούμε ότι είναι ίσο με m +1.

Σε περίπτωση δυσκολιών στο συλλογισμό έρευνα και κατασκευήτων λύσεων με τις οποίες μπορείτε να αναζητήσετε μια λύσηχρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας, για μία ή δύο εξισώσεις.

Ας ξαναγράψουμε το σύστημα των εξισώσεων με τη μορφή:

Και ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα αλήθειας ξεχωριστά για μία εξίσωση:

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα αλήθειας για δύο εξισώσεις:

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων

Μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αλήθειας (αν ο αριθμός των μεταβλητών δεν είναι πολύ μεγάλος) ή χρησιμοποιώντας ένα δέντρο αποφάσεων, έχοντας πρώτα απλοποιήσει κάθε εξίσωση.

1. Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής.

Η εισαγωγή νέων μεταβλητών σάς επιτρέπει να απλοποιήσετε το σύστημα εξισώσεων, μειώνοντας τον αριθμό των αγνώστων.Οι νέες μεταβλητές πρέπει να είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη. Αφού λύσουμε το απλοποιημένο σύστημα, πρέπει να επιστρέψουμε στις αρχικές μεταβλητές.

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτής της μεθόδου χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

Διάλυμα:

Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές: A=(X1≡ X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); Ε=(Χ9 ≡ Χ10).

(Προσοχή! Κάθε μία από τις μεταβλητές x1, x2, ..., x10 πρέπει να περιλαμβάνεται μόνο σε μία από τις νέες μεταβλητές Α, Β, Γ, Δ, Ε, δηλ. οι νέες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους).

Τότε το σύστημα των εξισώσεων θα μοιάζει με αυτό:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο αποφάσεων για το σύστημα που προκύπτει:

Θεωρήστε την εξίσωση A=0, δηλ. (Χ1≡ X2)=0. Έχει 2 ρίζες:

Από τον ίδιο πίνακα φαίνεται ότι η εξίσωση Α=1 έχει επίσης 2 ρίζες. Ας τακτοποιήσουμε τον αριθμό των ριζών στο δέντρο αποφάσεων:

Για να βρείτε τον αριθμό των λύσεων ενός κλάδου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό των λύσεων σε κάθε επίπεδο. Ο αριστερός κλάδος έχει 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 λύσεις; ο δεξιός κλάδος έχει επίσης 32 λύσεις. Εκείνοι. όλο το σύστημα έχει 32+32=64 λύσεις.

Απάντηση: 64.

2. Μέθοδος συλλογισμού.

Η δυσκολία επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων έγκειται στη δυσκινησία ενός πλήρους δέντρου αποφάσεων. Η συλλογιστική μέθοδος σας επιτρέπει να μην χτίσετε ολόκληρο το δέντρο, αλλά να καταλάβετε πόσα κλαδιά θα έχει. Ας δούμε αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 για τις οποίες ικανοποιείται αυτό το σύστημα ισοτήτων. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση:

Η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση περιέχουν ανεξάρτητες μεταβλητές που σχετίζονται με την τρίτη συνθήκη. Ας φτιάξουμε ένα δέντρο λύσης για την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση.

Για να αναπαραστήσουμε ένα δέντρο λύσης για ένα σύστημα της πρώτης και της δεύτερης εξισώσεων, κάθε κλάδος του πρώτου δέντρου πρέπει να συνεχιστεί με ένα δέντρο για μεταβλητέςστο . Το δέντρο που κατασκευάζεται με αυτόν τον τρόπο θα περιέχει 36 κλαδιά. Ορισμένοι από αυτούς τους κλάδους δεν ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση του συστήματος. Ας σημειώσουμε τον αριθμό των κλαδιών του δέντρου στο πρώτο δέντρο"υ" , που ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση:

Ας εξηγήσουμε: για να ικανοποιηθεί η τρίτη συνθήκη, όταν x1=0 πρέπει να υπάρχουν y1=1, δηλαδή όλα τα κλαδιά του δέντρου"Χ" , όπου x1=0 μπορεί να συνεχιστεί με ένα μόνο κλαδί από το δέντρο"υ" . Και μόνο για ένα κλαδί του δέντρου"Χ" (δεξιά) όλα τα κλαδιά του δέντρου ταιριάζουν"υ". Έτσι, το πλήρες δέντρο ολόκληρου του συστήματος περιέχει 11 κλάδους. Κάθε κλάδος αντιπροσωπεύει μία λύση στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το σύστημα έχει 11 λύσεις.

Απάντηση: 11.

Παράδειγμα 2. Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα εξισώσεων;

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

όπου x1, x2, …, x10 είναι λογικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα μεταβλητών τιμών για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση: Ας απλοποιήσουμε το σύστημα. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα αλήθειας για μέρος της πρώτης εξίσωσης:

Προσοχή στην τελευταία στήλη, ταιριάζει με το αποτέλεσμα της ενέργειας X1 ≡ X10.

Μετά την απλοποίηση παίρνουμε:

(Χ1 ≡ Χ2) ∨ (Χ1 ≡ Χ10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

Εξετάστε την τελευταία εξίσωση:(X1 ≡ X10) = 0, δηλ. Το x1 δεν πρέπει να συμπίπτει με το x10. Για να είναι η πρώτη εξίσωση ίση με 1, η ισότητα πρέπει να είναι αληθής(X1 ≡ X2)=1, δηλ. Το x1 πρέπει να ταιριάζει με το x2.

Ας φτιάξουμε ένα δέντρο λύσης για την πρώτη εξίσωση:

Θεωρούμε τη δεύτερη εξίσωση: για x10=1 και για x2=0 την αγκύληπρέπει να είναι ίσο με 1 (δηλαδή το x2 συμπίπτει με το x3). για x10=0 και για x2=1 παρένθεση(X2 ≡ X10)=0, που σημαίνει το στήριγμα (X2 ≡ X3) πρέπει να είναι ίσο με 1 (δηλαδή το x2 συμπίπτει με το x3):

Συλλογιζόμενοι με αυτόν τον τρόπο, χτίζουμε ένα δέντρο αποφάσεων για όλες τις εξισώσεις:

Έτσι, το σύστημα των εξισώσεων έχει μόνο 2 λύσεις.

Απάντηση: 2.

Παράδειγμα 3.

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

Διάλυμα:

Ας φτιάξουμε ένα δέντρο λύσης για την 1η εξίσωση:

Θεωρήστε τη δεύτερη εξίσωση:

• Όταν x1=0 : η δεύτερη και η τρίτη παρένθεση θα είναι ίσες με 0. για την πρώτη αγκύλη να είναι ίση με 1, y1=1, z1=1 (δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση - 1 λύση)
• Όταν x1=1 : η πρώτη αγκύλη θα είναι ίση με 0. δεύτεροςή η τρίτη παρένθεση πρέπει να είναι ίση με 1. η δεύτερη αγκύλη θα είναι ίση με 1 όταν y1=0 και z1=1. η τρίτη αγκύλη θα είναι ίση με 1 όταν y1=1 και z1=0 (δηλαδή σε αυτή την περίπτωση - 2 λύσεις).

Ομοίως για τις υπόλοιπες εξισώσεις. Ας σημειώσουμε τον αριθμό των λύσεων που προκύπτει για κάθε κόμβο δέντρου:

Για να μάθετε τον αριθμό των λύσεων για κάθε κλάδο, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς που προκύπτουν χωριστά για κάθε κλάδο (από αριστερά προς τα δεξιά).

1 κλάδος: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 διάλυμα

Κλάδος 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 διαλύματα

3ος κλάδος: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 λύσεις

4ος κλάδος: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 λύσεις

5ος κλάδος: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 λύσεις

Ας αθροίσουμε τους αριθμούς που προκύπτουν: υπάρχουν 31 λύσεις συνολικά.

Απάντηση: 31.

3. Φυσική αύξηση του αριθμού των ριζών

Σε ορισμένα συστήματα, ο αριθμός των ριζών της επόμενης εξίσωσης εξαρτάται από τον αριθμό των ριζών της προηγούμενης εξίσωσης.

Παράδειγμα 1. Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών των λογικών μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις που αναφέρονται παρακάτω;

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

Ας απλοποιήσουμε πρώτη εξίσωση:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

Και τα λοιπά.

Κάθε επόμενη εξίσωση έχει 2 περισσότερες ρίζες από την προηγούμενη.

Η 4 εξίσωση έχει 12 ρίζες.

Η εξίσωση 5 έχει 14 ρίζες

Η εξίσωση 8 έχει 20 ρίζες.

Απάντηση: 20 ρίζες.

Μερικές φορές ο αριθμός των ριζών αυξάνεται σύμφωνα με το νόμο Fibonacci.

Η επίλυση ενός συστήματος λογικών εξισώσεων απαιτεί δημιουργική προσέγγιση.