Σε μια μεγάλη ποικιλία θεωρητικής και εφαρμοσμένης έρευνας, χρησιμοποιούνται ευρέως μέθοδοι μαθηματικής μοντελοποίησης, οι οποίες μειώνουν την επίλυση προβλημάτων σε μια δεδομένη περιοχή έρευνας σε επίλυση επαρκών (ή περίπου επαρκών) προβλημάτων. μαθηματικά προβλήματα. Είναι απαραίτητο να φέρουμε τη λύση αυτών των προβλημάτων για να λάβουμε ένα αριθμητικό αποτέλεσμα (υπολογισμός διαφόρων τύπων μεγεθών, λύση διαφόρων ειδών εξισώσεων κ.λπ.). Ο στόχος των υπολογιστικών μαθηματικών είναι η ανάπτυξη αλγορίθμων για την αριθμητική επίλυση ενός ευρέος φάσματος μαθηματικών προβλημάτων. Οι μέθοδοι πρέπει να σχεδιάζονται έτσι ώστε να μπορούν να εφαρμοστούν αποτελεσματικά χρησιμοποιώντας σύγχρονη υπολογιστική τεχνολογία. Κατά κανόνα, τα προβλήματα που εξετάζονται δεν επιτρέπουν μια ακριβή λύση, επομένως μιλάμε για την ανάπτυξη αλγορίθμων που παρέχουν μια κατά προσέγγιση λύση. Για να μπορέσουμε να αντικαταστήσουμε μια άγνωστη ακριβή λύση σε ένα πρόβλημα με μια κατά προσέγγιση, είναι απαραίτητο η τελευταία να είναι αρκετά κοντά στην ακριβή. Από αυτή την άποψη, υπάρχει ανάγκη να εκτιμηθεί η εγγύτητα της κατά προσέγγιση λύσης με την ακριβή και να αναπτυχθούν κατά προσέγγιση μέθοδοι για την κατασκευή κατά προσέγγιση λύσεων που να είναι όσο πιο κοντά στις ακριβείς επιθυμούμε.
Σχηματικά, η υπολογιστική διαδικασία είναι η εξής: για μια δεδομένη τιμή Χ(αριθμητικό, διανυσματικό κ.λπ.) υπολογίστε την τιμή κάποιας συνάρτησης Τσεκούρι). Η διαφορά μεταξύ των ακριβών και κατά προσέγγιση τιμών μιας ποσότητας ονομάζεται λάθος. Ακριβής υπολογισμός αξίας Τσεκούρι)συνήθως αδύνατο και σας αναγκάζει να αντικαταστήσετε τη λειτουργία (λειτουργία) ΕΝΑτην κατά προσέγγιση αναπαράστασή της Ã , που μπορεί να υπολογιστεί: υπολογισμός της ποσότητας Τσεκούρι), αντικαθίσταται από τον υπολογισμό- Τσεκούρι) A(x) - Ã(x)που ονομάζεται σφάλμα μεθόδου. Πρέπει να αναπτυχθεί μια μέθοδος για την εκτίμηση αυτού του σφάλματος μαζί με την ανάπτυξη μιας μεθόδου για τον υπολογισμό της τιμής Τσεκούρι). Από πιθανές μεθόδουςΚατά την κατασκευή μιας προσέγγισης, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτή που, δεδομένων των διαθέσιμων μέσων και δυνατοτήτων, δίνει το μικρότερο σφάλμα.
Αξία αξίας Χ, δηλαδή τα αρχικά δεδομένα, σε πραγματικά προβλήματα λαμβάνονται είτε απευθείας από μετρήσεις, είτε ως αποτέλεσμα του προηγούμενου σταδίου των υπολογισμών. Σε αυτές τις περιπτώσεις, προσδιορίζεται μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή x oποσότητες Χ. Επομένως, αντί για την αξία Τσεκούρι)μπορεί να υπολογιστεί μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή Ã(x o). Το σφάλμα που προκύπτει A(x) - Ã(x o)που ονομάζεται ανεπανόρθωτος. Ως αποτέλεσμα των στρογγυλοποιήσεων αναπόφευκτες κατά τους υπολογισμούς, αντί της τιμής Ã(x o)υπολογίζεται η «στρογγυλεμένη» τιμή του, η οποία οδηγεί στην εμφάνιση λάθη στρογγυλοποίησης Ã(x o)- . Το συνολικό σφάλμα υπολογισμού αποδεικνύεται ίσο με Τσεκούρι) - .
Ας αναπαραστήσουμε το συνολικό σφάλμα στη φόρμα
Τσεκούρι) - = [A(x) - ] + [ - Ã(x o)] +
+ [Ã(x o) - ] (1)
Η τελευταία ισότητα δείχνει ότι το συνολικό σφάλμα υπολογισμού είναι ίσο με το άθροισμα του σφάλματος της μεθόδου, του μοιραίου σφάλματος και του σφάλματος στρογγυλοποίησης. Τα δύο πρώτα στοιχεία του σφάλματος μπορούν να εκτιμηθούν πριν από την έναρξη των υπολογισμών. Το σφάλμα στρογγυλοποίησης αξιολογείται μόνο κατά τους υπολογισμούς.
Ας εξετάσουμε τις ακόλουθες εργασίες:
α) χαρακτηριστικό της ακρίβειας των κατά προσέγγιση αριθμών
β) αξιολόγηση της ακρίβειας του αποτελέσματος δεδομένης της γνωστής ακρίβειας των αρχικών δεδομένων (εκτίμηση του μοιραίου σφάλματος)
γ) τον προσδιορισμό της απαιτούμενης ακρίβειας των αρχικών δεδομένων για τη διασφάλιση της καθορισμένης ακρίβειας του αποτελέσματος
δ) αντιστοίχιση της ακρίβειας των δεδομένων πηγής και των υπολογισμών με τις δυνατότητες των διαθέσιμων υπολογιστικών εργαλείων.
4 Σφάλματα μέτρησης
4.1 Πραγματικές και πραγματικές τιμές φυσικών μεγεθών. Σφάλμα μέτρησης. Αιτίες σφαλμάτων μέτρησης
Κατά την ανάλυση των μετρήσεων, πρέπει να διακρίνονται σαφώς δύο έννοιες: οι πραγματικές τιμές των φυσικών μεγεθών και οι εμπειρικές τους εκδηλώσεις - τα αποτελέσματα των μετρήσεων.
Πραγματικές τιμές φυσικών μεγεθών - αυτές είναι οι αξίες, με ιδανικό τρόποαντανακλώντας τις ιδιότητες ενός δεδομένου αντικειμένου τόσο ποσοτικά όσο και ποιοτικά. Δεν εξαρτώνται από τα μέσα μέτρησης και είναι η απόλυτη αλήθεια για την οποία προσπαθούμε όταν κάνουμε μετρήσεις.
Αντίθετα, τα αποτελέσματα των μετρήσεων είναι προϊόντα της γνώσης. Αντιπροσωπεύοντας κατά προσέγγιση εκτιμήσεις των τιμών των ποσοτήτων που βρέθηκαν ως αποτέλεσμα των μετρήσεων, εξαρτώνται από τη μέθοδο μέτρησης, τα όργανα μέτρησης και άλλους παράγοντες.
Σφάλμα μέτρησης η διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος μέτρησης x και της πραγματικής τιμής Q της μετρούμενης ποσότητας ονομάζεται:
Δ= x – Q (4.1)
Αλλά από τότε αληθινό νόημαΤο Q της μετρούμενης ποσότητας είναι άγνωστο, τότε για να προσδιοριστεί το σφάλμα μέτρησης, η λεγόμενη πραγματική τιμή αντικαθίσταται στον τύπο (4.1) αντί της πραγματικής τιμής.
Κάτω από πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας Το νόημά του είναι κατανοητό ότι είναι ένα που βρέθηκε πειραματικά και τόσο κοντά στην πραγματική τιμή που για έναν δεδομένο σκοπό μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντ' αυτού.
Οι αιτίες των σφαλμάτων είναι: ατέλεια των μεθόδων μέτρησης, των οργάνων μέτρησης και των αισθήσεων του παρατηρητή. Οι λόγοι που σχετίζονται με την επίδραση των συνθηκών μέτρησης θα πρέπει να συνδυαστούν σε μια ξεχωριστή ομάδα. Οι τελευταίοι εκδηλώνονται με δύο τρόπους. Από τη μία πλευρά, όλα τα φυσικά μεγέθη που παίζουν οποιονδήποτε ρόλο στις μετρήσεις εξαρτώνται το ένα από το άλλο σε έναν ή τον άλλο βαθμό. Επομένως, με τις αλλαγές στις εξωτερικές συνθήκες, οι πραγματικές τιμές των μετρούμενων ποσοτήτων αλλάζουν. Από την άλλη πλευρά, οι συνθήκες μέτρησης επηρεάζουν τόσο τα χαρακτηριστικά των οργάνων μέτρησης όσο και τις φυσιολογικές ιδιότητες των αισθητηρίων οργάνων του παρατηρητή και, μέσω αυτών, γίνονται πηγή σφαλμάτων μέτρησης.
4.2 Ταξινόμηση των σφαλμάτων μέτρησης ανάλογα με τη φύση της μεταβολής τους
Οι περιγραφόμενες αιτίες σφαλμάτων είναι ένας συνδυασμός μεγάλος αριθμόςπαράγοντες υπό την επίδραση των οποίων σχηματίζεται το συνολικό σφάλμα μέτρησης. Μπορούν να συνδυαστούν σε δύο κύριες ομάδες.
Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει παράγοντες που εμφανίζονται ακανόνιστα και εξαφανίζονται απροσδόκητα ή εμφανίζονται με ένταση που είναι δύσκολο να προβλεφθεί. Αυτές περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, μικρές διακυμάνσεις των μεγεθών που επηρεάζουν (θερμοκρασία, πίεση περιβάλλονκαι ούτω καθεξής.). Το μερίδιο ή η συνιστώσα του συνολικού σφάλματος μέτρησης που προκύπτει υπό την επίδραση παραγόντων αυτής της ομάδας καθορίζει το τυχαίο σφάλμα μέτρησης.
Ετσι, τυχαίο σφάλμα μέτρησης - συστατικό του σφάλματος μέτρησης που αλλάζει τυχαία κατά τις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας ποσότητας.
Κατά τη δημιουργία οργάνων μέτρησης και την οργάνωση της διαδικασίας μέτρησης στο σύνολό της, η ένταση της εκδήλωσης των παραγόντων που καθορίζουν το τυχαίο σφάλμα μέτρησης μπορεί να μειωθεί σε ένα γενικό επίπεδο, έτσι ώστε όλοι να επηρεάζουν περισσότερο ή λιγότερο εξίσου τον σχηματισμό του τυχαίου λάθος. Ωστόσο, ορισμένα από αυτά, για παράδειγμα, μια ξαφνική πτώση τάσης στο δίκτυο τροφοδοσίας, μπορεί να φαίνονται απροσδόκητα ισχυρά, με αποτέλεσμα το σφάλμα να λάβει διαστάσεις που ξεπερνούν σαφώς τα όρια που καθορίζονται από την πορεία του πειράματος μέτρησης . Τέτοια σφάλματα μέσα στο τυχαίο σφάλμα ονομάζονται αγενής . Κοντά σε αυτά αστοχίες - σφάλματα που εξαρτώνται από τον παρατηρητή και σχετίζονται με ακατάλληλο χειρισμό των οργάνων μέτρησης, λανθασμένες μετρήσεις ή σφάλματα στην καταγραφή των αποτελεσμάτων.
Η δεύτερη ομάδα περιλαμβάνει παράγοντες που είναι σταθεροί ή μεταβάλλονται φυσικά κατά τη διάρκεια του πειράματος μέτρησης, για παράδειγμα, ομαλές αλλαγές σε μεγέθη που επηρεάζουν. Η συνιστώσα του συνολικού σφάλματος μέτρησης που προκύπτει υπό την επίδραση παραγόντων αυτής της ομάδας καθορίζει το συστηματικό σφάλμα μέτρησης.
Ετσι, συστηματικό σφάλμα μέτρησης - ένα συστατικό σφάλματος μέτρησης που παραμένει σταθερό ή αλλάζει φυσικά με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας ποσότητας.
Κατά τη διαδικασία μέτρησης, τα περιγραφόμενα στοιχεία σφάλματος εμφανίζονται ταυτόχρονα και το συνολικό σφάλμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα
, (4.2)
Οπου 
- τυχαία, και Δ s - συστηματικά σφάλματα.
Για να ληφθούν αποτελέσματα που διαφέρουν ελάχιστα από τις πραγματικές τιμές των ποσοτήτων, πραγματοποιούνται πολλαπλές παρατηρήσεις της μετρούμενης ποσότητας, ακολουθούμενες από επεξεργασία των πειραματικών δεδομένων. Να γιατί μεγάλης σημασίαςέχει τη μελέτη του σφάλματος σε συνάρτηση με τον αριθμό παρατήρησης, δηλ. χρόνος A(t). Στη συνέχεια, οι μεμονωμένες τιμές σφάλματος μπορούν να ερμηνευτούν ως ένα σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης:
Δ 1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n).
Στη γενική περίπτωση, το σφάλμα είναι μια τυχαία συνάρτηση του χρόνου, η οποία διαφέρει από τις κλασικές συναρτήσεις της μαθηματικής ανάλυσης στο ότι δεν μπορεί να ειπωθεί ποια τιμή θα πάρει τη χρονική στιγμή t i. Μπορείτε να υποδείξετε την πιθανότητα εμφάνισης των τιμών του μόνο σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Σε μια σειρά πειραμάτων που αποτελούνται από έναν αριθμό επαναλαμβανόμενων παρατηρήσεων, λαμβάνουμε μία υλοποίηση αυτής της συνάρτησης. Όταν επαναλαμβάνουμε τη σειρά με τις ίδιες τιμές των ποσοτήτων που χαρακτηρίζουν τους παράγοντες της δεύτερης ομάδας, αναπόφευκτα αποκτάμε μια νέα υλοποίηση που διαφέρει από την πρώτη. Οι πραγματοποιήσεις διαφέρουν μεταξύ τους λόγω της επιρροής των παραγόντων της πρώτης ομάδας και οι παράγοντες της δεύτερης ομάδας, οι οποίοι εκδηλώνονται εξίσου κατά τη λήψη κάθε πραγματοποίησης, τους δίνουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά(Εικόνα 4.1).
Το σφάλμα μέτρησης που αντιστοιχεί σε κάθε χρονική στιγμή t i ονομάζεται διατομή τυχαία συνάρτησηΔ(t). Σε κάθε ενότητα, μπορείτε να βρείτε τη μέση τιμή σφάλματος Δ s (t i), γύρω από την οποία ομαδοποιούνται τα σφάλματα σε διάφορες υλοποιήσεις. Εάν τραβηχτεί μια ομαλή καμπύλη μέσω των σημείων Δ s (t i) που λήφθηκαν με αυτόν τον τρόπο, τότε θα χαρακτηρίσει τη γενική τάση μεταβολών του σφάλματος με την πάροδο του χρόνου. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι μέσες τιμές Δ s (tj) καθορίζονται από τη δράση των παραγόντων της δεύτερης ομάδας και αντιπροσωπεύουν ένα συστηματικό σφάλμα μέτρησης τη στιγμή t i, και αποκλίσεις Δ j (t j) από τη μέση τιμή στο ενότητα t i, αντίστοιχη ιη υλοποίηση, δώστε την τιμή του τυχαίου σφάλματος. Έτσι, ισχύει η ισότητα
(4.3)
Εικόνα 4.1
Ας υποθέσουμε ότι Δ s (t i) = 0, δηλ. Τα συστηματικά σφάλματα εξαιρούνται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο από τα αποτελέσματα της παρατήρησης και θα εξετάσουμε μόνο τυχαία σφάλματα, οι μέσες τιμές των οποίων είναι ίσες με μηδέν σε κάθε ενότητα. Ας υποθέσουμε ότι τα τυχαία σφάλματα σε διαφορετικές ενότητες δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο, δηλ. Η γνώση του τυχαίου σφάλματος σε μια ενότητα δεν μας δίνει κανένα Επιπλέον πληροφορίεςσχετικά με την τιμή που λαμβάνει αυτή η πραγματοποίηση σε οποιαδήποτε ενότητα και ότι όλα τα θεωρητικά και πιθανολογικά χαρακτηριστικά των τυχαίων σφαλμάτων, που είναι οι τιμές μιας υλοποίησης σε όλες τις ενότητες, συμπίπτουν μεταξύ τους. Τότε το τυχαίο σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί ως τυχαία μεταβλητή και οι τιμές του για καθεμία από τις πολλαπλές παρατηρήσεις της ίδιας φυσικής ποσότητας μπορούν να θεωρηθούν ως τα αποτελέσματα ανεξάρτητων παρατηρήσεών του.
Υπό αυτές τις συνθήκες, το τυχαίο σφάλμα μέτρησης ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ του διορθωμένου αποτελέσματος μέτρησης XI (αποτέλεσμα που δεν περιέχει συστηματικό σφάλμα) και της πραγματικής τιμής Q της μετρούμενης ποσότητας:
Δ = X ΚΑΙ –Q 4.4)
Επιπλέον, το διορθωμένο αποτέλεσμα της μέτρησης θα είναι από το οποίο θα εξαιρεθούν τα συστηματικά σφάλματα.
Τέτοια δεδομένα λαμβάνονται συνήθως κατά τον έλεγχο των οργάνων μέτρησης με τη μέτρηση προηγουμένως γνωστών ποσοτήτων. Κατά τη διεξαγωγή μετρήσεων, ο στόχος είναι να εκτιμηθεί η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας, η οποία είναι άγνωστη πριν από το πείραμα. Εκτός από την πραγματική τιμή, το αποτέλεσμα της μέτρησης περιλαμβάνει επίσης ένα τυχαίο σφάλμα, επομένως είναι από μόνο του μια τυχαία μεταβλητή. Υπό αυτές τις συνθήκες, η πραγματική τιμή του τυχαίου σφάλματος που λήφθηκε κατά την επαλήθευση δεν χαρακτηρίζει ακόμη την ακρίβεια των μετρήσεων, επομένως δεν είναι σαφές ποια τιμή πρέπει να ληφθεί ως τελικό αποτέλεσμα μέτρησης και πώς να χαρακτηριστεί η ακρίβειά του.
Η απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας μεθόδους μαθηματικών στατιστικών που ασχολούνται ειδικά με τυχαίες μεταβλητές κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων παρατήρησης.
4.3 Ταξινόμηση των σφαλμάτων μέτρησης ανάλογα με τους λόγους εμφάνισής τους
Ανάλογα με τους λόγους εμφάνισής τους, διακρίνονται οι ακόλουθες ομάδες σφαλμάτων: μεθοδολογικά, οργανικά, εξωτερικά και υποκειμενικά.
Σε πολλές μεθόδους μέτρησης είναι δυνατός ο εντοπισμός μεθοδολογικό λάθος , που είναι συνέπεια ορισμένων υποθέσεων και απλοποιήσεων, της χρήσης εμπειρικών τύπων και λειτουργικών εξαρτήσεων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο αντίκτυπος τέτοιων υποθέσεων αποδεικνύεται ασήμαντος, δηλ. πολύ λιγότερα από τα επιτρεπόμενα σφάλματα μέτρησης. σε άλλες περιπτώσεις υπερβαίνει αυτά τα σφάλματα.
Παράδειγμα μεθοδολογικών σφαλμάτων είναι τα σφάλματα στη μέθοδο μέτρησης της ηλεκτρικής αντίστασης με χρήση αμπερόμετρου και βολτόμετρου (Εικόνα 4.2). Εάν η αντίσταση R x προσδιορίζεται από τον τύπο του νόμου του Ohm R x =U v /I a, όπου U v είναι η πτώση τάσης που μετράται με ένα βολτόμετρο V. I a είναι η ισχύς ρεύματος που μετράται από το αμπερόμετρο Α, τότε και στις δύο περιπτώσεις θα επιτρέπονται μεθοδολογικά σφάλματα μέτρησης.
Στο Σχήμα 4.2a, η ισχύς ρεύματος I a, μετρούμενη με ένα αμπερόμετρο, θα είναι μεγαλύτερη από την ένταση ρεύματος σε αντίσταση R x κατά την τιμή της ισχύος ρεύματος I v σε ένα βολτόμετρο συνδεδεμένο παράλληλα με την αντίσταση. Η αντίσταση R x που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο θα είναι μικρότερη από την πραγματική. Στο σχήμα 4.2.6, η τάση που μετράται από το βολτόμετρο V θα είναι μεγαλύτερη από την πτώση τάσης U r στην αντίσταση R x κατά την τιμή U a (πτώση τάσης στην αντίσταση του αμπερόμετρου A). Η αντίσταση που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο του νόμου του Ohm θα είναι μεγαλύτερη από την αντίσταση R x κατά την τιμή R a (η αντίσταση του αμπερόμετρου). Οι διορθώσεις και στις δύο περιπτώσεις μπορούν εύκολα να υπολογιστούν αν γνωρίζετε την αντίσταση του βολτόμετρου και του αμπερόμετρου. Δεν χρειάζεται να γίνουν διορθώσεις εάν είναι σημαντικά μικρότερες από το επιτρεπόμενο σφάλμα στη μέτρηση της αντίστασης R x, για παράδειγμα, εάν στην πρώτη περίπτωση η αντίσταση του βολτόμετρου είναι σημαντικά b
Μεγαλύτερο από το R x και στη δεύτερη περίπτωση, το R a είναι σημαντικά μικρότερο από το R x.
Εικόνα 4.2
Ένα άλλο παράδειγμα εμφάνισης μεθοδολογικού σφάλματος είναι η μέτρηση του όγκου των σωμάτων, το σχήμα του οποίου θεωρείται ότι είναι γεωμετρικά σωστό, μετρώντας τις διαστάσεις σε ένα ή σε ανεπαρκή αριθμό θέσεων, για παράδειγμα, μετρώντας τον όγκο ένα δωμάτιο μετρώντας το μήκος, το πλάτος και το ύψος σε τρεις μόνο κατευθύνσεις. Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια τον όγκο, θα ήταν απαραίτητο να προσδιορίσετε το μήκος και το πλάτος του δωματίου κατά μήκος κάθε τοίχου, στο πάνω και στο κάτω μέρος, να μετρήσετε το ύψος στις γωνίες και στη μέση και, τέλος, τις γωνίες μεταξύ των τοίχων. Αυτό το παράδειγμα δείχνει την πιθανότητα να συμβεί ένα σημαντικό μεθοδολογικό σφάλμα όταν η μέθοδος είναι αδικαιολόγητα απλοποιημένη.
Κατά κανόνα, το μεθοδολογικό σφάλμα είναι ένα συστηματικό σφάλμα.
Σφάλμα οργάνου - αυτό είναι στοιχείο σφάλματος λόγω ατέλειας των οργάνων μέτρησης. Ένα κλασικό παράδειγμα τέτοιου σφάλματος είναι το σφάλμα ενός οργάνου μέτρησης που προκαλείται από ανακριβή βαθμονόμηση της κλίμακας του. Είναι πολύ σημαντικό να γίνεται σαφής διάκριση μεταξύ σφαλμάτων μέτρησης και σφαλμάτων οργάνων. Η ατέλεια των οργάνων μέτρησης είναι μόνο μία από τις πηγές σφάλματος μέτρησης και καθορίζει μόνο ένα από τα συστατικά του - το σφάλμα οργάνων. Με τη σειρά του, το όργανο σφάλμα είναι ένα συνολικό σφάλμα, τα συστατικά του οποίου - σφάλματα λειτουργικών μονάδων - μπορεί να είναι τόσο συστηματικά όσο και τυχαία.
Εξωτερικό σφάλμα - συνιστώσα του σφάλματος μέτρησης που προκαλείται από την απόκλιση ενός ή περισσότερων επηρεαζόμενων μεγεθών από τις κανονικές τιμές ή την έξοδό τους πέρα από το κανονικό εύρος (για παράδειγμα, η επίδραση θερμοκρασίας, εξωτερικά ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, μηχανικές επιδράσεις κ.λπ.). Κατά κανόνα, τα εξωτερικά σφάλματα καθορίζονται από πρόσθετα σφάλματα των οργάνων μέτρησης που χρησιμοποιούνται και είναι συστηματικά. Ωστόσο, εάν τα μεγέθη που επηρεάζουν είναι ασταθή, μπορούν να γίνουν τυχαία.
Υποκειμενικό (προσωπικό) λάθος εξαιτίας ατομικά χαρακτηριστικάπειραματιστή και μπορεί να είναι είτε συστηματική είτε τυχαία. Όταν χρησιμοποιείτε σύγχρονα ψηφιακά όργανα μέτρησης, το υποκειμενικό σφάλμα μπορεί να παραμεληθεί. Ωστόσο, κατά τη λήψη μετρήσεων από όργανα δείκτη, τέτοια σφάλματα μπορεί να είναι σημαντικά λόγω εσφαλμένης ανάγνωσης των δέκατων της διαίρεσης της κλίμακας, ασυμμετρίας που εμφανίζεται όταν τοποθετείτε μια διαδρομή στη μέση μεταξύ δύο σημαδιών κ.λπ. Για παράδειγμα, τα σφάλματα που κάνει ένας πειραματιστής κατά την εκτίμηση των δέκατων μιας διαίρεσης μιας κλίμακας οργάνου μπορεί να φτάσουν το 0,1 διαίρεση. Αυτά τα σφάλματα εκδηλώνονται στο γεγονός ότι για διαφορετικά δέκατα της διαίρεσης, διαφορετικοί πειραματιστές χαρακτηρίζονται από διαφορετικές συχνότητες εκτιμήσεων και κάθε πειραματιστής διατηρεί τη χαρακτηριστική του κατανομή για μεγάλο χρονικό διάστημα. Έτσι, ένας πειραματιστής τις περισσότερες φορές παραπέμπει τις μετρήσεις στις γραμμές που σχηματίζουν τα άκρα της διαίρεσης και στην τιμή των 0,5 διαιρέσεων. Το άλλο είναι στις τιμές 0,4 και 0,6 διαιρέσεις. Το τρίτο προτιμά τιμές 0,2 και 0,8 διαιρέσεις κ.λπ. Γενικά, έχοντας κατά νου έναν τυχαίο πειραματιστή, η κατανομή των σφαλμάτων στη μέτρηση των δέκατων μιας διαίρεσης μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη με όρια ±0,1 διαιρέσεις.
4.4 Έντυπα για την αναπαράσταση του σφάλματος μέτρησης. Ακρίβεια μετρήσεων
Το σφάλμα μέτρησης μπορεί να αναπαρασταθεί στη φόρμα απόλυτος σφάλμα που εκφράζεται σε μονάδες της μετρούμενης τιμής και προσδιορίζεται από τον τύπο (4.1), ή συγγενής σφάλμα, που ορίζεται ως ο λόγος του απόλυτου σφάλματος προς την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας:
δ = Δ/Q. (4.5)
Στην περίπτωση έκφρασης του τυχαίου σφάλματος ως ποσοστό, ο λόγος Δ/Q πολλαπλασιάζεται επί 100%. Επιπλέον, στον τύπο (4.5) επιτρέπεται η χρήση του αποτελέσματος της μέτρησης του x αντί της πραγματικής τιμής του Q.
Η έννοια χρησιμοποιείται επίσης ευρέως ακρίβεια των μετρήσεων − ένα χαρακτηριστικό που αντανακλά την εγγύτητα των αποτελεσμάτων τους με την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής. Με άλλα λόγια, η υψηλή ακρίβεια αντιστοιχεί σε μικρά σφάλματα μέτρησης. Επομένως, η ακρίβεια της μέτρησης μπορεί να εκτιμηθεί ποσοτικά με την αντίστροφη τιμή του συντελεστή του σχετικού σφάλματος
3.2. Στρογγύλεμα
Μια πηγή για τη λήψη κατά προσέγγιση αριθμών είναι Οστρογγύλεμα. Τόσο οι ακριβείς όσο και οι κατά προσέγγιση αριθμοί στρογγυλοποιούνται.
Στρογγύλεμα δεδομένου αριθμούμέχρι ένα ορισμένο ψηφίο ονομάζεται η αντικατάστασή του με έναν νέο αριθμό, ο οποίος προκύπτει από το δεδομένο από απορρίπτονταςγραμμένοι όλοι οι αριθμοί του δεξιάψηφία αυτού του ψηφίου ή αντικαθιστώντας το με μηδενικά. Αυτά τα μηδενικάσυνήθως υπογραμμίστε ή γράψτε τα μικρότερα. Για να εξασφαλίσετε την πλησιέστερη εγγύτητα του στρογγυλεμένου αριθμού με τον στρογγυλεμένο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα ακόλουθα κανόνες:
Για να στρογγυλοποιήσετε έναν αριθμό σε ένα συγκεκριμένο ψηφίο, πρέπει να απορρίψετε όλα τα ψηφία μετά το ψηφίο αυτού του ψηφίου και να τα αντικαταστήσετε με μηδενικά σε ολόκληρο τον αριθμό. Λαμβάνονται υπόψη τα ακόλουθα:
1 ) εάν το πρώτο (αριστερά) από τα ψηφία που απορρίφθηκαν λιγότερο από 5, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει δεν αλλάζει (στρογγυλοποίηση με μειονέκτημα);
2 ) εάν το πρώτο ψηφίο πρέπει να απορριφθεί μεγαλύτερο από 5 ή ίσο με 5, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει αυξάνεται κατά ένα (στρογγυλοποίηση με υπέρβαση).*
Για παράδειγμα:
Γύρος:Απαντήσεις:
ΕΝΑ) έως δέκατα 12,34; 12,34 ≈ 12,3;
σι) στα εκατοστά 3,2465; 1038.785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
V) σε χιλιοστά 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;
σολ) έως χιλιάδες 12.375, 320.729 12.375 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.
(* Πριν από αρκετά χρόνια, σε περίπτωση απόρριψης μόνο ενός ψηφίου 5 απόλαυσε "κανόνας ζυγών αριθμών":το τελευταίο ψηφίο έμεινε αμετάβλητο αν ήταν ζυγό και αυξήθηκε κατά ένα αν ήταν μονό. Τώρα οι «ζυγοί κανόνες» Δεντήρηση: εάν απορριφθεί ένα ψηφίο 5 , τότε προστίθεται ένα στο τελευταίο ψηφίο που απομένει, ανεξάρτητα από το αν είναι ζυγό ή μονό).
3.3. Απόλυτο και σχετικό σφάλμα κατά προσέγγιση τιμών
Απόλυτη τιμή διαφορέςμεταξύ της κατά προσέγγιση και της ακριβούς (αληθινής) τιμής μιας ποσότητας ονομάζεται απόλυτο λάθοςκατά προσέγγιση τιμή. Για παράδειγμα, εάν ο ακριβής αριθμός 1,214 στρογγυλοποιούμε στο πλησιέστερο δέκατο, παίρνουμε έναν κατά προσέγγιση αριθμό 1,2 . ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσητο απόλυτο σφάλμα του κατά προσέγγιση αριθμού θα είναι 1,214 – 1,2 = 0,014 .
Αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις ακριβής αξίαη υπό εξέταση ποσότητα είναι άγνωστη, αλλά μόνο κατά προσέγγιση. Τότε το απόλυτο σφάλμα είναι άγνωστο. Σε αυτές τις περιπτώσεις υποδεικνύεται σύνορο, την οποία δεν υπερβαίνει. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται περιορίζοντας το απόλυτο σφάλμα.Λένε ότι η ακριβής τιμή ενός αριθμού είναι ίση με την κατά προσέγγιση τιμή του με σφάλμα μικρότερο από το οριακό σφάλμα. Για παράδειγμα, αριθμός 23,71 είναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού 23,7125 μέχρι και 0,01 , αφού το απόλυτο σφάλμα προσέγγισης ισούται με 0,0025 και λιγότερα 0,01 . Εδώ το περιοριστικό απόλυτο σφάλμα είναι ίσο με 0,01 .*
(* ΑπόλυτοςΤο σφάλμα μπορεί να είναι θετικό και αρνητικό. Για παράδειγμα,1,68 ≈ 1,7 . Το απόλυτο σφάλμα είναι 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Οριοτο σφάλμα είναι πάντα θετικό).
Συνοριακό απόλυτο σφάλμα του κατά προσέγγιση αριθμού " ΕΝΑ » υποδεικνύεται με το σύμβολο Δ ΕΝΑ . Ρεκόρ
X ≈ a (Δa)
θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: η ακριβής αξία της ποσότητας Χ βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς ΕΝΑ +Δ ΕΝΑ Και ΕΝΑ –Δ ΕΝΑ, που καλούνται αναλόγως κάτω μέροςΚαι ανώτατο όριοΧ και δηλώνουν Νσολ Χ Και ΣΕσολ Χ .
Για παράδειγμα, Αν Χ
≈ 2,3 (
0,1),
Οτι 2,2 <
Χ
< 2,4
.
Αντίθετα, αν 7,3 < Χ < 7,4 , Οτι Χ ≈ 7,35 ( 0,05).
Απόλυτο ή οριακό απόλυτο σφάλμα Δενχαρακτηρίζουν την ποιότητα της μέτρησης που εκτελείται. Το ίδιο απόλυτο σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί σημαντικό και ασήμαντο ανάλογα με τον αριθμό με τον οποίο εκφράζεται η μετρούμενη τιμή.
Για παράδειγμα, αν μετρήσουμε την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων με ακρίβεια ενός χιλιομέτρου, τότε αυτή η ακρίβεια είναι αρκετά επαρκής για αυτή τη μέτρηση, αλλά ταυτόχρονα, όταν μετράμε την απόσταση μεταξύ δύο σπιτιών στον ίδιο δρόμο, αυτή η ακρίβεια θα είναι απαράδεκτη.
Κατά συνέπεια, η ακρίβεια της κατά προσέγγιση τιμής μιας ποσότητας εξαρτάται όχι μόνο από το μέγεθος του απόλυτου σφάλματος, αλλά και από την τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Να γιατί το μέτρο της ακρίβειας είναι το σχετικό σφάλμα.
Σχετικό λάθοςονομάζεται λόγος του απόλυτου σφάλματος προς την τιμή του κατά προσέγγιση αριθμού. Ο λόγος του περιοριστικού απόλυτου σφάλματος προς τον κατά προσέγγιση αριθμό ονομάζεται περιορίσει το σχετικό σφάλμα; συμβολίστε το ως εξής: Δ α/α . Τα σχετικά και τα οριακά σχετικά σφάλματα συνήθως εκφράζονται ως σε ποσοστά.
Για παράδειγμα, εάν οι μετρήσεις δείχνουν ότι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι μεγαλύτερη 12,3 χλμ, αλλά λιγότερο 12,7 χλμ, στη συνέχεια για κατά προσέγγισητο νόημά του γίνεται αποδεκτό μέση τιμήαυτοί οι δύο αριθμοί, δηλ. δικα τους το μισό ποσό, Επειτα Όριοτο απόλυτο λάθος είναι μισές διαφορέςαυτούς τους αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση Χ ≈ 12,5 ( 0,2). Εδώ είναι το όριο απόλυτοςτο σφάλμα είναι ίσο με 0,2 χλμ, και το όριο συγγενής:
Απόλυτα και σχετικά λάθη
Απόλυτο σφάλμα μέτρησηςείναι μια ποσότητα που καθορίζεται από τη διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος της μέτρησης Χκαι την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας Χ 0:
Δ Χ = |Χ – Χ 0 |.
Τιμή δ, ίσο με την αναλογίαΤο απόλυτο σφάλμα μέτρησης στο αποτέλεσμα της μέτρησης ονομάζεται σχετικό σφάλμα:
Παράδειγμα 2.1.Η κατά προσέγγιση τιμή του π είναι 3,14. Τότε το σφάλμα του είναι 0,00159... . Το απόλυτο σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί ίσο με 0,0016 και το σχετικό σφάλμα ίσο με 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Παραδειγματικές φυγούρες. Εάν το απόλυτο σφάλμα της τιμής a δεν υπερβαίνει τη μονάδα θέσης του τελευταίου ψηφίου του αριθμού α, τότε ο αριθμός λέγεται ότι έχει όλα τα σωστά πρόσημα. Οι κατά προσέγγιση αριθμοί πρέπει να καταγράφονται, διατηρώντας μόνο τα σωστά σημάδια. Εάν, για παράδειγμα, το απόλυτο σφάλμα του αριθμού 52.400 είναι 100, τότε αυτός ο αριθμός θα πρέπει να γραφεί, για παράδειγμα, με τη μορφή 524 · 10 2 ή 0,524 · 10 5. Μπορείτε να υπολογίσετε το σφάλμα ενός κατά προσέγγιση αριθμού υποδεικνύοντας πώς πολλά σωστά σημαντικά ψηφία που περιέχει. Κατά την καταμέτρηση σημαντικών αριθμών, τα μηδενικά στην αριστερή πλευρά του αριθμού δεν υπολογίζονται.
Για παράδειγμα, ο αριθμός 0,0283 έχει τρία έγκυρα σημαντικά ψηφία και το 2,5400 έχει πέντε έγκυρα σημαντικά ψηφία.
Κανόνες στρογγυλοποίησης αριθμών. Εάν ο κατά προσέγγιση αριθμός περιέχει επιπλέον (ή λανθασμένα) ψηφία, τότε θα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί. Κατά τη στρογγυλοποίηση, εμφανίζεται ένα πρόσθετο σφάλμα που δεν υπερβαίνει τη μισή μονάδα της θέσης του τελευταίου σημαντικού ψηφίου ( ρε) στρογγυλεμένος αριθμός. Κατά τη στρογγυλοποίηση, διατηρούνται μόνο τα σωστά ψηφία. Οι επιπλέον χαρακτήρες απορρίπτονται και εάν το πρώτο απορριφθέν ψηφίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με ρε/2, τότε το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο αυξάνεται κατά ένα.
Τα επιπλέον ψηφία σε ακέραιους αριθμούς αντικαθίστανται από μηδενικά και in δεκαδικάαπορρίπτονται (όπως και τα επιπλέον μηδενικά). Για παράδειγμα, εάν το σφάλμα μέτρησης είναι 0,001 mm, τότε το αποτέλεσμα 1,07005 στρογγυλοποιείται σε 1,070. Εάν το πρώτο από τα ψηφία που τροποποιήθηκαν με μηδενικά και απορρίφθηκαν είναι μικρότερο από 5, τα υπόλοιπα ψηφία δεν τροποποιούνται. Για παράδειγμα, ο αριθμός 148.935 με ακρίβεια μέτρησης 50 έχει τιμή στρογγυλοποίησης 148.900 Εάν το πρώτο από τα ψηφία που αντικαταστάθηκαν με μηδενικά ή απορρίφθηκαν είναι 5 και ακολουθείται από κανένα ψηφίο ή μηδενικό, τότε η στρογγυλοποίηση γίνεται στο πλησιέστερο. Ζυγός αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 123,50 στρογγυλοποιείται στο 124. Εάν το πρώτο μηδενικό ή ψηφίο πτώσης είναι μεγαλύτερο από 5 ή ίσο με 5 αλλά ακολουθείται από ένα σημαντικό ψηφίο, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 6783.6 στρογγυλοποιείται σε 6784.
Παράδειγμα 2.2. Κατά τη στρογγυλοποίηση 1284 σε 1300, το απόλυτο σφάλμα είναι 1300 – 1284 = 16, και όταν στρογγυλοποιείται στο 1280, το απόλυτο σφάλμα είναι 1280 – 1284 = 4.
Παράδειγμα 2.3. Κατά τη στρογγυλοποίηση του αριθμού 197 στο 200, το απόλυτο σφάλμα είναι 200 – 197 = 3. Το σχετικό σφάλμα είναι 3/197 ≈ 0,01523 ή περίπου 3/200 ≈ 1,5%.
Παράδειγμα 2.4. Ένας πωλητής ζυγίζει ένα καρπούζι σε μια ζυγαριά. Το μικρότερο βάρος στο σετ είναι 50 g. Το ζύγισμα έδωσε 3600 g. Ακριβές βάροςκαρπούζι άγνωστο. Όμως το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τα 50 g Το σχετικό σφάλμα δεν υπερβαίνει το 50/3600 = 1,4%.
Σφάλματα στην επίλυση του προβλήματος Η/Υ
Τρεις τύποι σφαλμάτων θεωρούνται συνήθως ως οι κύριες πηγές σφαλμάτων. Αυτά ονομάζονται σφάλματα περικοπής, σφάλματα στρογγυλοποίησης και σφάλματα διάδοσης. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιούνται επαναληπτικές μέθοδοι για την αναζήτηση των ριζών των μη γραμμικών εξισώσεων, τα αποτελέσματα είναι κατά προσέγγιση, σε αντίθεση με τις άμεσες μεθόδους που παρέχουν μια ακριβή λύση.
Σφάλματα περικοπής
Αυτός ο τύπος σφάλματος σχετίζεται με το σφάλμα που είναι εγγενές στην ίδια την εργασία. Μπορεί να οφείλεται σε ανακρίβεια στον προσδιορισμό των δεδομένων πηγής. Για παράδειγμα, εάν προσδιορίζονται οποιεσδήποτε διαστάσεις στη δήλωση προβλήματος, τότε στην πράξη για πραγματικά αντικείμενα αυτές οι διαστάσεις είναι πάντα γνωστές με κάποια ακρίβεια. Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο φυσικές παραμέτρους. Αυτό περιλαμβάνει επίσης την ανακρίβεια των τύπων υπολογισμού και των αριθμητικών συντελεστών που περιλαμβάνονται σε αυτούς.
Σφάλματα διάδοσης
Αυτός ο τύπος σφάλματος σχετίζεται με τη χρήση μιας ή άλλης μεθόδου επίλυσης ενός προβλήματος. Κατά τους υπολογισμούς, αναπόφευκτα συμβαίνει συσσώρευση σφαλμάτων ή, με άλλα λόγια, διάδοση. Εκτός από το γεγονός ότι τα ίδια τα αρχικά δεδομένα δεν είναι ακριβή, προκύπτει ένα νέο σφάλμα όταν πολλαπλασιάζονται, προστίθενται κ.λπ. Η συσσώρευση σφαλμάτων εξαρτάται από τη φύση και τον αριθμό των αριθμητικών πράξεων που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό.
Σφάλματα στρογγυλοποίησης
Αυτός ο τύπος σφάλματος παρουσιάζεται επειδή η πραγματική τιμή ενός αριθμού δεν αποθηκεύεται πάντα με ακρίβεια από τον υπολογιστή. Όταν ένας πραγματικός αριθμός αποθηκεύεται στη μνήμη του υπολογιστή, γράφεται ως μάντισσα και εκθέτης με τον ίδιο τρόπο που εμφανίζεται ένας αριθμός σε μια αριθμομηχανή.
Τώρα που ένα άτομο διαθέτει ένα ισχυρό οπλοστάσιο εξοπλισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών (διάφορες αριθμομηχανές, υπολογιστές κ.λπ.), η συμμόρφωση με τους κανόνες των κατά προσέγγιση υπολογισμών είναι ιδιαίτερα σημαντική ώστε να μην αλλοιωθεί η αξιοπιστία του αποτελέσματος.
Όταν εκτελείτε οποιουσδήποτε υπολογισμούς, θα πρέπει να θυμάστε την ακρίβεια του αποτελέσματος που μπορεί ή θα έπρεπε (εάν διαπιστωθεί) να ληφθεί. Επομένως, είναι απαράδεκτο να εκτελούνται υπολογισμοί με μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτή που καθορίζεται από τα δεδομένα του φυσικού προβλήματος ή απαιτείται από τις πειραματικές συνθήκες1. Για παράδειγμα, όταν εκτελείτε μαθηματικές πράξεις με αριθμητικές τιμές φυσικών μεγεθών που έχουν δύο αξιόπιστα (σημαντικά) ψηφία, δεν μπορείτε να σημειώσετε το αποτέλεσμα των υπολογισμών με ακρίβεια που υπερβαίνει τα όρια δύο αξιόπιστων ψηφίων, ακόμη και αν στο τέλος έχουμε περισσότερα από αυτά.
Η αξία των φυσικών μεγεθών πρέπει να καταγράφεται, σημειώνοντας μόνο τα σημάδια ενός αξιόπιστου αποτελέσματος. Για παράδειγμα, εάν η αριθμητική τιμή του 39.600 έχει τρία αξιόπιστα ψηφία (το απόλυτο σφάλμα του αποτελέσματος είναι 100), τότε το αποτέλεσμα πρέπει να γραφεί ως 3,96 104 ή 0,396 105. Κατά τον υπολογισμό αξιόπιστων ψηφίων, τα μηδενικά στα αριστερά του αριθμού δεν λαμβάνονται υπόψη.
Για να είναι σωστό το αποτέλεσμα του υπολογισμού, πρέπει να στρογγυλοποιηθεί, αφήνοντας μόνο την πραγματική τιμή της ποσότητας. Εάν η αριθμητική τιμή μιας ποσότητας περιέχει επιπλέον (αναξιόπιστα) ψηφία που υπερβαίνουν την καθορισμένη ακρίβεια, τότε το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο αυξάνεται κατά 1 με την προϋπόθεση ότι η περίσσεια (επιπλέον ψηφία) είναι ίση ή μεγαλύτερη από το μισό της τιμής του επόμενου ψηφίου ο αριθμός.
Σε διαφορετικές αριθμητικές τιμές, το μηδέν μπορεί να είναι είτε αξιόπιστος είτε αναξιόπιστος αριθμός. Έτσι, στο παράδειγμα β) είναι αναξιόπιστο στοιχείο και στο δ) είναι αξιόπιστο και σημαντικό. Στη φυσική, αν θέλουν να τονίσουν την αξιοπιστία του ψηφίου μιας αριθμητικής τιμής ενός φυσικού μεγέθους, υποδεικνύουν το "0" στην τυπική του έκφραση. Για παράδειγμα, η καταγραφή μιας τιμής μάζας 2,10 10-3 kg υποδεικνύει τρία αξιόπιστα ψηφία του αποτελέσματος και την αντίστοιχη ακρίβεια μέτρησης και μια τιμή 2,1 10-3 kg μόνο δύο αξιόπιστα ψηφία.
Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το αποτέλεσμα ενεργειών με αριθμητικές τιμές φυσικών μεγεθών είναι ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα που λαμβάνει υπόψη την ακρίβεια υπολογισμού ή το σφάλμα μέτρησης. Επομένως, όταν κάνετε κατά προσέγγιση υπολογισμούς, θα πρέπει να καθοδηγηθείτε από τους ακόλουθους κανόνες για τον υπολογισμό αξιόπιστων αριθμών:
1. Κατά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων με αριθμητικές τιμές φυσικών μεγεθών, το αποτέλεσμά τους θα πρέπει να λαμβάνεται τόσα αξιόπιστα σημάδια όσες και αριθμητικές τιμές με τον μικρότερο αριθμό αξιόπιστων σημάτων.
2. Σε όλους τους ενδιάμεσους υπολογισμούς, θα πρέπει να διατηρείται ένα ψηφίο περισσότερο από την αριθμητική τιμή με τον ελάχιστο αριθμό αξιόπιστων ψηφίων. Τελικά αυτό το "επιπλέον" σχήμα απορρίπτεται με στρογγυλοποίηση.
3. Εάν ορισμένα δεδομένα έχουν πιο αξιόπιστα σημάδια από άλλα, οι τιμές τους θα πρέπει πρώτα να στρογγυλοποιηθούν (μπορείτε να αποθηκεύσετε ένα ψηφίο "υπερβάλλον") και στη συνέχεια να εκτελέσετε ενέργειες.
Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα αριθμητικά δεδομένα στα προβλήματα είναι κατά προσέγγιση. Σε συνθήκες εργασίας, μπορεί επίσης να εμφανιστούν ακριβείς τιμές, για παράδειγμα, τα αποτελέσματα της μέτρησης ενός μικρού αριθμού αντικειμένων, ορισμένων σταθερών κ.λπ.
Για να υποδείξετε την κατά προσέγγιση τιμή ενός αριθμού, χρησιμοποιήστε το σύμβολο κατά προσέγγιση ισότητας. διαβάστε ως εξής: "κατά προσέγγιση ίσο" (δεν πρέπει να διαβάζεται: "κατά προσέγγιση ίσο").
Η εύρεση της φύσης των αριθμητικών δεδομένων είναι ένα σημαντικό προπαρασκευαστικό στάδιο για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος.
Οι παρακάτω οδηγίες μπορούν να σας βοηθήσουν να αναγνωρίσετε ακριβείς και κατά προσέγγιση αριθμούς:
| Ακριβείς τιμές | Κατά προσέγγιση τιμές |
| 1. Οι τιμές ενός αριθμού συντελεστών μετατροπής για τη μετάβαση από τη μια μονάδα μέτρησης στην άλλη (1m = 1000 mm, 1h = 3600 s) Πολλοί συντελεστές μετατροπής έχουν μετρηθεί και υπολογιστεί με τόσο υψηλή (μετρολογική) ακρίβεια που θεωρούνται πλέον πρακτικά ακριβείς. | 1. Οι περισσότερες από τις τιμές των μαθηματικών μεγεθών που δίνονται σε πίνακες (ρίζες, λογάριθμοι, τιμές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, καθώς και η έννοια του αριθμού και της βάσης που χρησιμοποιούνται στην πράξη φυσικούς λογάριθμους(αριθμός ε)) |
| 2. Παράγοντες κλίμακας. | Αν, για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι η κλίμακα είναι 1:10000, τότε οι αριθμοί 1 και 10000 θεωρούνται ακριβείς. |
| Εάν υποδεικνύεται ότι το 1 cm είναι 4 m, τότε το 1 και το 4 είναι οι ακριβείς τιμές μήκους | 2. Αποτελέσματα μετρήσεων. |
| (Ορισμένες βασικές σταθερές: η ταχύτητα του φωτός στο κενό, η σταθερά βαρύτητας, το φορτίο και η μάζα ενός ηλεκτρονίου κ.λπ.) Πίνακες τιμών φυσικών μεγεθών (πυκνότητα ύλης, σημεία τήξης και βρασμού κ.λπ.) 3. Τιμές και τιμές.(κόστος 1 kWh ηλεκτρικής ενέργειας – ακριβής τιμή) | |
| 3. Τα δεδομένα σχεδιασμού είναι επίσης κατά προσέγγιση, επειδή καθορίζονται με ορισμένες αποκλίσεις, οι οποίες τυποποιούνται από GOST. | |
| (Για παράδειγμα, σύμφωνα με το πρότυπο, οι διαστάσεις ενός τούβλου είναι: μήκος 250 6 mm, πλάτος 120 4 mm, πάχος 65 3 mm) Η ίδια ομάδα κατά προσέγγιση αριθμών περιλαμβάνει διαστάσεις που λαμβάνονται από το σχέδιο | |
| 7. 4. Τιμές υπό όρους ποσοτήτων (Παραδείγματα:απόλυτο μηδενικό |
θερμοκρασία -273,15 C, κανονική ατμοσφαιρική πίεση 101325 Pa) 5. Συντελεστές και εκθέτες που βρίσκονται σε φυσικούς και μαθηματικούς τύπους ( ; %; κ.λπ.).
1. 6. Αποτελέσματα καταμέτρησης ειδών (αριθμός μπαταριών στη μπαταρία, αριθμός κουτιών γάλακτος που παράγονται από το εργοστάσιο και μετρώνται από τον φωτοηλεκτρικό μετρητή)
Σημεία ρύθμισης
ποσότητες (Για παράδειγμα, στο πρόβλημα «Βρείτε τις περιόδους ταλάντωσης των εκκρεμών μήκους 1 και 4 m», οι αριθμοί 1 και 4 μπορούν να θεωρηθούν οι ακριβείς τιμές του μήκους του εκκρεμούς)
Εκτέλεση
στις παρακάτω εργασίες, μορφοποιήστε την απάντηση σε μορφή πίνακα:
Υποδείξτε ποιες από τις δεδομένες τιμές είναι ακριβείς και ποιες κατά προσέγγιση:
1) Πυκνότητα νερού (4 C)……………………………………………………………1000kg/m 3
2. 2) Ταχύτητα ήχου (0 C)…………………………………………….332 m/s
1) Σε μια ατμομηχανή, ένα μπρούτζινο καρούλι, του οποίου το μήκος και το πλάτος είναι 200 και 120 mm αντίστοιχα, δέχεται πίεση 12 MPa. Βρείτε τη δύναμη που απαιτείται για να μετακινήσετε το καρούλι κατά μήκος της επιφάνειας από χυτοσίδηρο του κυλίνδρου. Ο συντελεστής τριβής είναι 0,10.
2) Προσδιορίστε την αντίσταση του νήματος μιας ηλεκτρικής λάμπας χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες ενδείξεις: "220V, 60 W."
3. Ποιες απαντήσεις – ακριβείς ή κατά προσέγγιση – θα λάβουμε κατά την επίλυση των παρακάτω προβλημάτων;
1) Ποια είναι η ταχύτητα ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα στο τέλος του 15ου δευτερολέπτου, αν υποθέσουμε ότι το χρονικό διάστημα έχει καθοριστεί ακριβώς;
2) Ποια είναι η ταχύτητα της τροχαλίας αν η διάμετρός της είναι 300 mm και η ταχύτητα περιστροφής είναι 10 rps; Θεωρήστε ότι τα δεδομένα είναι ακριβή.
3) Προσδιορίστε το μέτρο δύναμης. Κλίμακα 1 cm – 50N.
4) Προσδιορίστε τον συντελεστή στατικής τριβής για ένα σώμα που βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο εάν το σώμα αρχίζει να ολισθαίνει ομοιόμορφα κατά μήκος της κλίσης στο = 0,675, όπου είναι η γωνία κλίσης του επιπέδου.
Αν είναι γνωστό ότι α< А, то а называют μια κατά προσέγγιση τιμή του Α με ένα μειονέκτημα.Αν a > A, τότε καλείται το a κατά προσέγγιση τιμή του Α με περίσσεια.
Η διαφορά μεταξύ των ακριβών και κατά προσέγγιση τιμών μιας ποσότητας ονομάζεται σφάλμα προσέγγισηςκαι συμβολίζεται με D, δηλ.
D = A – a (1)
Το σφάλμα προσέγγισης D μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός.
Προκειμένου να χαρακτηριστεί η διαφορά μεταξύ μιας κατά προσέγγιση τιμής μιας ποσότητας και μιας ακριβούς, αρκεί συχνά να υποδειχθεί η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ της ακριβούς και της κατά προσέγγιση τιμής.
Η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ του κατά προσέγγιση ΕΝΑκαι ακριβής ΕΝΑονομάζονται οι τιμές ενός αριθμού απόλυτο σφάλμα (σφάλμα) προσέγγισηςκαι συμβολίζεται με Δ ΕΝΑ:
ρε ΕΝΑ = ½ ΕΝΑ – ΕΝΑ½ (2)
Παράδειγμα 1.Κατά τη μέτρηση ενός τμήματος μεγάλοχρησιμοποιήσαμε έναν χάρακα, η διαίρεση κλίμακας του οποίου είναι 0,5 cm Λάβαμε μια κατά προσέγγιση τιμή του μήκους του τμήματος ΕΝΑ= 204 cm.
Είναι σαφές ότι κατά τη μέτρηση θα μπορούσε να έχει υπάρξει σφάλμα όχι μεγαλύτερο από 0,5 cm, δηλ. Το απόλυτο σφάλμα μέτρησης δεν υπερβαίνει τα 0,5 cm.
Συνήθως το απόλυτο σφάλμα είναι άγνωστο, αφού η ακριβής τιμή του αριθμού Α είναι άγνωστη εκτίμησηαπόλυτο λάθος:
ρε ΕΝΑ <= DΕΝΑ πριν. (3)
όπου ο Δ και πριν. – μέγιστο σφάλμα (αριθμός, περισσότερομηδέν), λαμβάνοντας υπόψη την αξιοπιστία με την οποία είναι γνωστός ο αριθμός α.
Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα ονομάζεται επίσης όριο σφάλματος. Έτσι, στο παράδειγμα που δίνεται,
ρε και πριν. = 0,5 cm.
Από το (3) παίρνουμε:
ρε ΕΝΑ = ½ ΕΝΑ – ΕΝΑ½<= DΕΝΑ πριν. .
ΕΝΑ– Δ ΕΝΑ πριν. ≤ ΕΝΑ≤ ΕΝΑ+Δ ΕΝΑ πριν. . (4)
Ενα δ ΕΝΑ πριν. θα είναι μια κατά προσέγγιση τιμή ΕΝΑμε ένα μειονέκτημα
α + Δ ΕΝΑ πριν – κατά προσέγγιση τιμή ΕΝΑσε αφθονία. Ο σύντομος συμβολισμός χρησιμοποιείται επίσης:
ΕΝΑ= ΕΝΑ± Δ ΕΝΑ πριν (5)
Από τον ορισμό του μέγιστου απόλυτου σφάλματος προκύπτει ότι οι αριθμοί Δ ΕΝΑ πριν, ικανοποιώντας την ανισότητα (3), θα υπάρχει ένα άπειρο σύνολο. Στην πράξη προσπαθούν να επιλέξουν ενδεχομένως λιγότεροαπό τους αριθμούς Δ και πριν, ικανοποιώντας την ανισότητα Δ ΕΝΑ <= DΕΝΑ πριν.
Παράδειγμα 2.Ας προσδιορίσουμε το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του αριθμού α=3,14, λαμβάνεται ως κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού π.
Είναι γνωστό ότι 3,14<π<3,15. Από αυτό προκύπτει
|ΕΝΑ – π |< 0,01.
Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα μπορεί να ληφθεί ως ο αριθμός D ΕΝΑ = 0,01.
Αν λάβουμε υπόψη ότι 3,14<π<3,142 , τότε έχουμε καλύτερη βαθμολογία: D ΕΝΑ= 0,002, λοιπόν π ≈3,14 ±0,002.
4. Σχετικό σφάλμα (σφάλμα).Η γνώση μόνο του απόλυτου σφάλματος δεν αρκεί για να χαρακτηριστεί η ποιότητα της μέτρησης.
Έστω, για παράδειγμα, όταν ζυγίζονται δύο σώματα τα ακόλουθα αποτελέσματα:
P 1 = 240,3 ±0,1 g.
P 2 = 3,8 ±0,1 g.
Αν και τα απόλυτα σφάλματα μέτρησης και των δύο αποτελεσμάτων είναι τα ίδια, η ποιότητα της μέτρησης στην πρώτη περίπτωση θα είναι καλύτερη από τη δεύτερη. Χαρακτηρίζεται από σχετικό σφάλμα.
Σχετικό σφάλμα (σφάλμα)πλησιάζει ο αριθμός ΕΝΑονομάζεται απόλυτη αναλογία σφάλματος Δ απλησιάζοντας την απόλυτη τιμή του αριθμού Α:
Δεδομένου ότι η ακριβής τιμή μιας ποσότητας είναι συνήθως άγνωστη, αντικαθίσταται από μια κατά προσέγγιση τιμή και στη συνέχεια:
(7)
Μέγιστο σχετικό σφάλμαή το όριο του σχετικού σφάλματος προσέγγισης,κάλεσε τον αριθμό d και πριν>0, έτσι ώστε:
ρε ΕΝΑ<= ρε και πριν(8)
Το μέγιστο σχετικό σφάλμα μπορεί προφανώς να ληφθεί ως ο λόγος του μέγιστου απόλυτου σφάλματος προς την απόλυτη τιμή της κατά προσέγγιση τιμής:
(9)
Από το (9) προκύπτει εύκολα η ακόλουθη σημαντική σχέση:
∆και πριν = |ένα| ρε και πριν(10)
Το μέγιστο σχετικό σφάλμα συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό:
Παράδειγμα.Η βάση των φυσικών λογαρίθμων για τον υπολογισμό θεωρείται ίση με μι=2,72. Πήραμε ως την ακριβή τιμή μι t = 2,7183. Να βρείτε τα απόλυτα και τα σχετικά σφάλματα του κατά προσέγγιση αριθμού.
ρε μι = ½ μι – μι t ½=0,0017;
.
Το μέγεθος του σχετικού σφάλματος παραμένει αμετάβλητο με αναλογική μεταβολή στον πιο προσεγγιστικό αριθμό και το απόλυτο σφάλμα του. Έτσι, για τον αριθμό 634,7, που υπολογίζεται με απόλυτο σφάλμα D = 1,3, και για τον αριθμό 6347 με σφάλμα D = 13, τα σχετικά σφάλματα είναι τα ίδια: ρε= 0,2.
Το μέγεθος του σχετικού σφάλματος μπορεί να κριθεί κατά προσέγγιση από τον αριθμό αληθινά σημαίνονταψηφία αριθμών.
Περιοχή Σαχαλίνης
«Επαγγελματική Σχολή Νο. 13»
Κατευθυντήριες γραμμέςΠρος την ανεξάρτητη εργασίαΦοιτητές
Alexandrovsk-Sakhalinsky
Κατά προσέγγιση τιμές ποσοτήτων και σφάλματα προσέγγισης: Υποδεικνύεται η μέθοδος. / Σύνθ.
GBOU NPO "Επαγγελματική Σχολή Νο. 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012
Οι κατευθυντήριες γραμμές απευθύνονται σε φοιτητές όλων των επαγγελμάτων που παρακολουθούν μαθήματα μαθηματικών
Πρόεδρος του ΜΚ
Κατά προσέγγιση τιμή μεγέθους και σφάλμα προσεγγίσεων.
Στην πράξη, σχεδόν ποτέ δεν γνωρίζουμε τις ακριβείς τιμές των ποσοτήτων. Καμία ζυγαριά, όσο ακριβής κι αν είναι, δεν δείχνει το βάρος με απόλυτη ακρίβεια. οποιοδήποτε θερμόμετρο δείχνει τη θερμοκρασία με το ένα ή το άλλο σφάλμα. κανένα αμπερόμετρο δεν μπορεί να δώσει ακριβείς ενδείξεις ρεύματος κλπ. Επιπλέον, το μάτι μας δεν είναι σε θέση να διαβάσει απόλυτα σωστά τις ενδείξεις των οργάνων μέτρησης. Επομένως, αντί να ασχολούμαστε με τις πραγματικές τιμές των ποσοτήτων, αναγκαζόμαστε να λειτουργούμε με τις κατά προσέγγιση τιμές τους.
Το γεγονός οτι ΕΝΑ" είναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού ΕΝΑ , γράφεται ως εξής:
a ≈ a" .
Αν ΕΝΑ" είναι μια κατά προσέγγιση τιμή της ποσότητας ΕΝΑ , τότε η διαφορά Δ = α - α" που ονομάζεται σφάλμα προσέγγισης*.
* Δ - Ελληνικό γράμμα. διαβάστε: δέλτα. Ακολουθεί ένα άλλο ελληνικό γράμμα ε (διαβάστε: έψιλον).
Για παράδειγμα, εάν ο αριθμός 3.756 αντικατασταθεί από μια κατά προσέγγιση τιμή 3.7, τότε το σφάλμα θα είναι ίσο με: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Αν πάρουμε το 3,8 ως κατά προσέγγιση τιμή, τότε το σφάλμα θα είναι ίσο με: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
Στην πράξη, το σφάλμα προσέγγισης χρησιμοποιείται συχνότερα Δ
, και την απόλυτη τιμή αυτού του σφάλματος | Δ
|. Σε αυτό που ακολουθεί θα ονομάσουμε απλώς αυτή την απόλυτη τιμή σφάλματος απόλυτο λάθος. Μια προσέγγιση θεωρείται καλύτερη από μια άλλη εάν το απόλυτο σφάλμα της πρώτης προσέγγισης είναι μικρότερο από το απόλυτο σφάλμα της δεύτερης προσέγγισης. Για παράδειγμα, η προσέγγιση 3,8 για τον αριθμό 3,756 είναι καλύτερη από την προσέγγιση 3,7 επειδή για την πρώτη προσέγγιση
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, και για το δεύτερο | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Αριθμός ΕΝΑ" ΕΝΑμέχρι καιε , εάν το απόλυτο σφάλμα αυτής της προσέγγισης είναι μικρότερο απόε :
|α - α" | < ε .
Για παράδειγμα, το 3,6 είναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού 3,671 με ακρίβεια 0,1, αφού |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Ομοίως, το - 3/2 μπορεί να θεωρηθεί ως προσέγγιση του αριθμού - 8/5 στο 1/5, αφού
< ΕΝΑ , Οτι ΕΝΑ" ονομάζεται η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού ΕΝΑ με ένα μειονέκτημα.
Αν ΕΝΑ" > ΕΝΑ , Οτι ΕΝΑ" ονομάζεται η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού ΕΝΑ σε αφθονία.
Για παράδειγμα, το 3,6 είναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού 3,671 με ένα μειονέκτημα, αφού το 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Αν αντί για αριθμούς εμείς ΕΝΑ Και σι αθροίστε τις κατά προσέγγιση τιμές τους ΕΝΑ" Και σι" , μετά το αποτέλεσμα α" + β" θα είναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αθροίσματος α + β . Τίθεται το ερώτημα: πώς να αξιολογηθεί η ακρίβεια αυτού του αποτελέσματος εάν είναι γνωστή η ακρίβεια της προσέγγισης κάθε όρου; Η λύση σε αυτό και σε παρόμοια προβλήματα βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα απόλυτης τιμής:
|α + β | < |ένα | + |σι |.
Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος οποιωνδήποτε δύο αριθμών δεν υπερβαίνει το άθροισμα των απόλυτων τιμών τους.
Σφάλματα
Η διαφορά μεταξύ του ακριβούς αριθμού x και της κατά προσέγγιση τιμής του a ονομάζεται σφάλμα αυτού του κατά προσέγγιση αριθμού. Αν είναι γνωστό ότι | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Ο λόγος του απόλυτου σφάλματος προς την απόλυτη τιμή της κατά προσέγγιση τιμής ονομάζεται σχετικό σφάλμα της κατά προσέγγιση τιμής. Το σχετικό σφάλμα εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό.
Παράδειγμα. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
Πραγματικά,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία.
1. Με ποια ακρίβεια μπορούν να μετρηθούν τα μήκη χρησιμοποιώντας έναν συνηθισμένο χάρακα;
2. Πόσο ακριβές είναι το ρολόι;
3. Γνωρίζετε με ποια ακρίβεια μπορεί να μετρηθεί το σωματικό βάρος στις σύγχρονες ηλεκτρικές ζυγαριές;
4. α) Σε ποια όρια περιέχεται ο αριθμός; ΕΝΑ , αν η κατά προσέγγιση τιμή του με ακρίβεια 0,01 είναι 0,99;
β) Σε ποια όρια περιέχεται ο αριθμός; ΕΝΑ , αν η κατά προσέγγιση τιμή του με μειονέκτημα ακριβής στο 0,01 είναι 0,99;
γ) Ποια είναι τα όρια του αριθμού; ΕΝΑ , αν η κατά προσέγγιση τιμή του με υπέρβαση 0,01 είναι ίση με 0,99;
5 . Ποια είναι η προσέγγιση του αριθμού π ≈ 3,1415 είναι καλύτερο: 3,1 ή 3,2;
6. Μπορεί μια κατά προσέγγιση τιμή ενός συγκεκριμένου αριθμού με ακρίβεια 0,01 να θεωρηθεί ως κατά προσέγγιση τιμή του ίδιου αριθμού με ακρίβεια 0,1; Τι γίνεται με το αντίστροφο;
7. Στην αριθμητική γραμμή, καθορίζεται η θέση του σημείου που αντιστοιχεί στον αριθμό ΕΝΑ . Υποδείξτε σε αυτή τη γραμμή:
α) τη θέση όλων των σημείων που αντιστοιχούν σε κατά προσέγγιση τιμές του αριθμού ΕΝΑ με ένα μειονέκτημα με ακρίβεια 0,1.
β) τη θέση όλων των σημείων που αντιστοιχούν σε κατά προσέγγιση τιμές του αριθμού ΕΝΑ με υπέρβαση με ακρίβεια 0,1.
γ) τη θέση όλων των σημείων που αντιστοιχούν σε κατά προσέγγιση τιμές του αριθμού ΕΝΑ με ακρίβεια 0,1.
8. Σε ποια περίπτωση είναι η απόλυτη τιμή του αθροίσματος δύο αριθμών:
α) μικρότερο από το άθροισμα των απόλυτων τιμών αυτών των αριθμών·
β) ίσο με το άθροισμα των απόλυτων τιμών αυτών των αριθμών;
9. Να αποδείξετε ανισότητες:
α) | α-β | < |ένα| + |σι |; β)* | α - β | > ||ΕΝΑ | - | σι ||.
Πότε εμφανίζεται το πρόσημο ίσου σε αυτούς τους τύπους;
Βιβλιογραφία:
1. Bashmakov (βασικό επίπεδο) 10-11 τάξεις. – Μ., 2012
2. Μπασμάκοφ, 10η τάξη. Συλλογή προβλημάτων. - Μ: Εκδοτικό κέντρο "Ακαδημία", 2008
3., Mordkovich: Υλικό αναφοράς: Βιβλίο για μαθητές - 2η έκδ.: Εκπαίδευση, 1990
4. εγκυκλοπαιδικό λεξικόνεαρός μαθηματικός / Σύνθ. .-Μ.: Παιδαγωγικά, 1989