Enseñar planimetría en un curso escolar.

Enseñanza de planimetría en un curso escolar.

Liceo No. 000

Liceo No. 000.

"Si se le confía la misma tarea

dos igualmente ignorantes de ello

personas y uno de ellos es un matemático,

entonces un matemático lo hará mejor”.

Introducción

Dominar casi cualquier profesión moderna requiere ciertos conocimientos matemáticos. Idea sobre el papel de las matemáticas en mundo moderno, el conocimiento matemático se ha convertido en un componente necesario cultura general. Para la autorrealización en la vida, la posibilidad de actividad productiva en mundo de la información Se requiere una formación matemática bastante sólida.

El papel y el lugar de las matemáticas en la ciencia y la vida de la sociedad, el valor de la educación matemática, la humanización y humanización de la educación, la comprensión de la asignatura de matemáticas y la estructura de la personalidad determinan los objetivos de la educación matemática. Se distinguen tres grupos de objetivos, correlacionándolos con funciones educativas, educativas y prácticas generales.

Ø La educación matemática incluye el dominio de un sistema de conocimientos, habilidades y destrezas matemáticas que da una idea del tema de las matemáticas, su lenguaje y simbolismo, períodos de desarrollo, modelado matemático, técnicas matemáticas especiales y métodos científicos generales básicos de cognición.

Ø Formación de la cosmovisión de los estudiantes, los componentes lógicos y heurísticos del pensamiento, la educación de la moral, la cultura de la comunicación, la independencia, la actividad, la educación del trabajo duro, la responsabilidad en la toma de decisiones y el deseo de autorrealización.

Ø La especificación de los objetivos de los componentes individuales es importante para construir un conjunto de objetivos de la lección y la adecuación al contenido temático del material educativo. La transformación de los objetivos educativos en acciones permitirá diagnosticar y gestionar el proceso de adquisición de conocimientos, habilidades, desarrollo y educación de un estudiante.

A nivel del proceso educativo propiamente dicho, las metas de aprendizaje se conforman teniendo en cuenta las características de los estudiantes y las posibilidades de diferenciar su aprendizaje.

En el proceso de la actividad matemática de los estudiantes, el arsenal de técnicas y métodos de pensamiento incluye inducción y deducción, generalización y especificación, análisis y síntesis, clasificación y sistematización, abstracción y analogía. Los objetos de inferencias matemáticas y las reglas para su construcción revelan el mecanismo de las construcciones lógicas, desarrollan la capacidad de formular, justificar y probar juicios, desarrollando así el pensamiento lógico. El papel principal pertenece a las matemáticas en la formación del pensamiento algorítmico, desarrollando la capacidad de actuar de acuerdo con un algoritmo determinado y construir otros nuevos durante la resolución de problemas, base de las actividades educativas en las lecciones de matemáticas. Se desarrollan los lados creativo y aplicado del pensamiento.

objeciones a la reducción del curso de matemáticas en la escuela;

· evaluación del programa del curso como sobrecargado de información innecesaria o demasiado especial (por ejemplo, muchas fórmulas para memorizar);

· conversaciones sobre la evidente insuficiencia de las horas asignadas a las matemáticas (como principal herramienta para el desarrollo pensamiento lógico escolares, etc.);

requisitos del curso escolar de matemáticas y exámenes de ingreso; calificaciones de los profesores de matemáticas, porque cualquier reforma educativa, cualquier reestructuración del programa está condenada al éxito sólo si los profesores están preparados para ello de antemano y de manera integral.

Actualmente, los profesores tienen en su arsenal bastantes libros de texto para cada paralelo. Al elegir un sistema en particular, cada docente, naturalmente, parte de sus propios criterios y de las particularidades de la institución educativa. Sin embargo, es necesario tener en cuenta la posibilidad de implementar conexiones sucesivas entre cursos, y también analizar la posibilidad de organizar una formación diferenciada. El docente, dependiendo de las condiciones laborales específicas y del nivel de preparación de los estudiantes, puede organizar un proceso educativo en toda regla. El estudiante tiene una oportunidad real, estudiando en la misma clase y según el mismo programa, de elegir el nivel de aprendizaje que se adapta a sus necesidades, intereses y habilidades. El mínimo obligatorio en matemáticas determina la lista de preguntas que deben presentarse en el programa y los libros de texto de matemáticas, independientemente de su nivel y enfoque. En otras palabras, programas y libros de texto específicos utilizados en una institución particular pueden ampliar este nivel, pero no reducirlo ni recortarlo.

La elección del nivel de preparación matemática debe estar determinada por las necesidades de los estudiantes, por lo tanto Instituciones educacionales en humanidades, derecho y otros campos, es recomendable utilizar un programa profundo en matemáticas, ya que sus egresados ​​también van a universidades técnicas, además, se necesitan estudios serios en matemáticas para la formación y desarrollo del pensamiento lógico;

La esencia de la geometría es contradictoria: "... estudia directamente figuras geométricas ideales que no existen en la realidad, pero sus conclusiones son aplicables a cosas reales, a problemas prácticos". La tarea de cualquier maestro es acercar a los estudiantes a su comprensión, sin oscurecer la geometría misma con numerosas encuestas, pruebas, pruebas y permitir que los niños elijan su propio nivel de conocimiento de la geometría. Cada elección está a la altura del objetivo que se plantea el alumno, determinado a veces de forma intuitiva, pero libre. A menudo, la adherencia persistente a una meta establecida y la perseverancia en lograrla carecen completamente de sentido, especialmente si la meta del maestro no es la meta del estudiante. Probablemente valga la pena intentar aprender a organizar las actividades de los estudiantes en las clases de geometría para que no estén limitados por nuestros objetivos, nuestras preguntas, para que estén abiertos a todo tipo de percepciones. Un niño va a la escuela con muchas preguntas, pero la propia escuela le ha preparado varias veces más preguntas. Ella responde a sus propias preguntas e incluso se enoja cuando sus respuestas no son bien recibidas.

Una de las formas de conocimiento consta de las siguientes etapas: un pensamiento, una cadena de pensamientos y, finalmente, un resultado deseado de la búsqueda estrictamente justificado lógicamente. Me gustaría implementar la segunda forma, más abierta, a través de un generoso conjunto de tareas propuestas para cada tema. Al utilizar este camino, el pensamiento no frena la fantasía, no cierra la búsqueda intuitiva, no hay búsqueda de pensamientos, no hay un salto rápido hacia la meta, pero reina la percepción y la observación tranquilas, sin prisas, aparece la sensibilidad, al parecer. ser extraño, pero a veces es esta extrañeza la que enriquece la búsqueda, conduce a la meta. ¿Con qué frecuencia en clase apresuramos a los niños, instándolos como un látigo con las palabras: “Piensa. Pensar." ¿O tal vez es cierto que alguien que busca excesivamente quizás no tenga tiempo de encontrar?

Nuestra tarea es buscar caminos que conduzcan al conocimiento de la geometría. Pensaremos en cómo ayudar a los niños a descubrir verdades por sí mismos, las verdades de la geometría. ¿Por qué debe guiarse un docente, qué tácticas y estrategias debe elegir? ¿Qué debe hacer un profesor en clase? ¿Deberíamos defender el conocimiento, las habilidades, las destrezas, afirmando que el conocimiento es poder, o intentar con todas nuestras fuerzas organizar el proceso educativo para que el conocimiento no eclipse el conocimiento, no aleje el alma del niño del conocimiento?

Quizás la sabiduría de un profesor resida en conocer los secretos del descubrimiento, los secretos de la cognición y, en particular, los secretos de la geometría, en la capacidad de crear una atmósfera en el aula que facilite el dominio de estos métodos de percepción y cognición. La lógica del profesor y la lógica del alumno, ¿en qué relación deben estar en la lección? ¿Qué más? Quizás cuando el profesor propone no una serie de preguntas claramente pensadas, sino una secuencia de tareas, reflexionando sobre las cuales el alumno, con su pensamiento, hace todo el trabajo necesario para el momento que precede al descubrimiento. Entonces la lógica del profesor está en la necesaria relación con la lógica del alumno. ¿O tal vez la base de la búsqueda debería ser elegir la intuición, liberarla, estimularla, confiar en ella? ¿O algo mas?

Quizás, entre todos los libros de texto y entre todas las lecciones, el libro de texto del séptimo grado sea el más importante y la primera lección la más responsable, porque son ellos los que introducen un curso sistemático en el estudio. Desde las primeras lecciones, desde la lectura de las primeras páginas del libro de texto, depende de si el proceso de aprendizaje tendrá éxito y si los estudiantes podrán desarrollar un interés sostenible por el tema. Ningún estudiante está impedido de cursar un curso de geometría en cualquier nivel. El único obstáculo puede que no sea la complejidad del material, ni la dificultad de la presentación, sino la falta de interés en leer más páginas del libro de texto. Sin embargo, habiendo estudiado la teoría incluso en el primer nivel (visual), el alumno podrá resolver cualquier problema sobre este tema, ya que tendrá los conocimientos suficientes para resolverlo.

Pasemos a caracterizar los niveles de dominio del material educativo y le digamos al profesor cómo puede descubrir material relacionado con cada uno de ellos.

El primer nivel es educación general, humanitaria. Incluye contenidos que todo estudiante debería dominar. En geometría, el estudio de dicho material se da a nivel visual, por eso llamamos visual al primer nivel. Incluye definiciones de conceptos, acompañadas de una gran cantidad de ilustraciones, formulaciones de teoremas, explicación de su significado en dibujos y deducciones lógicas sencillas.

En el segundo nivel, el material del primer nivel se expande., se resuelven problemas aplicados, se muestra cómo se aplica el conocimiento geométrico al conocimiento del mundo. A este nivel lo llamamos nivel de aplicación. En este nivel, se espera que los estudiantes dominen las demostraciones de la mayoría de los teoremas.

Finalmente, el tercer nivel es una profundización significativa del material del primer nivel, Se da una justificación lógica bastante completa. Este nivel avanzado incluye las demostraciones de teoremas y problemas teóricos más difíciles. El tercer nivel también es problemático.

Hemos identificado el primer nivel de asimilación, visualmente, práctico, en el que los escolares, como los físicos, obtienen información a través de la experiencia. El estudiante debe imaginar un objeto, describirlo, resolver problemas relacionados con él. Tarea simple. Y no importa si al mismo tiempo no puede pronunciar la definición con precisión. En este nivel es fundamental el conocimiento visual y operativo de la materia, que contiene las representaciones visuales y la capacidad de operar con ellas correctamente.

Al estudiar geometría, es necesario invitar a los estudiantes a formular de forma independiente una definición de un concepto en particular. Esto no se hace para que los niños luego lo memoricen, sino para que al participar en este proceso profundicen en el significado del concepto, aprendan la estructura de la definición misma y varias formulaciones de los teoremas. Esto contribuirá a una asimilación más profunda del material educativo relevante. Los descubrimientos de los niños son un gran incentivo para el aprendizaje.

Generalmente se acepta que un curso de geometría debería enseñar pensamiento lógico. Sin embargo, muchos estudiantes a menudo no asimilan tanto la lógica de las formulaciones y demostraciones como las memorizan formalmente. Uno de los primeros medios para superar este peligro es reducir el número de formulaciones y evidencias que el estudiante debe conocer (aprender, recordar). Si queremos enseñar a pensar lógicamente, entonces debemos enseñar esto, y no la memorización mecánica de razonamientos ya preparados. Por tanto, las formulaciones deben considerarse más como ejercicios en el desarrollo del pensamiento lógico, y no como postulados que deben saberse de memoria. Es útil que los estudiantes comprendan, y no memoricen sin pensar, tantas pruebas como sea posible y resuelvan tantos problemas de prueba como sea posible: es mucho más agradable y útil para el estudiante si lo resuelve por sí solo y al menos lo hace. pequeña conclusión, y no memorizará los razonamientos de otras personas (sin contar, por supuesto, aquellos que sean especialmente instructivos, ingeniosos y elegantes).

La lógica de la geometría reside no sólo en formulaciones individuales, sino en todo su sistema en su conjunto. El significado de cada definición, cada teorema y demostración está determinado en última instancia únicamente por este sistema. Lo que hace de la geometría una teoría holística y no una colección de definiciones y afirmaciones individuales. Por lo tanto, sugerimos que nuestros colegas intenten no pedir a los estudiantes que evalúen una sola demostración de teoremas durante un tiempo determinado, sino llevar esta encuesta al final de un tema bastante extenso a modo de prueba teórica, que es lo que hacemos en el Liceo. . Los niños deben acostumbrarse a los conceptos y términos "teorema", "dado", "demostrar", "demostrar" y comprender su significado. Por supuesto, los teoremas deben demostrarse. Puede ser necesario analizar sus pruebas más de una vez en clase: frontalmente por parejas, sobre dibujos diferentes. Es bastante aceptable que, desde nuestro punto de vista, antes de demostrar el teorema, inmediatamente después de analizar su formulación, se comience a resolver problemas. Y cuando los estudiantes se acostumbren a la formulación y comprendan su significado, podrán comenzar a analizar la prueba. En este punto, los estudiantes habrán desarrollado hasta cierto punto el gusto por la búsqueda de la verdad. Respeto por ella.

Por supuesto, si la enseñanza se limita completamente solo al conocimiento geométrico en sí, entonces el desarrollo de las habilidades de pensamiento lógico y los elementos de una cosmovisión científica se llevará a cabo únicamente en el marco de esta ciencia. Por lo tanto, el profesor debe llamar constantemente la atención de los estudiantes sobre la conexión entre la geometría y otras ciencias y prácticas y mostrar la importancia universal (y no sólo para la geometría) del requisito de evidencia y precisión para establecer la verdad. Este punto es especialmente importante para aquellos estudiantes que no tienen suficiente motivación para estudiar geometría como ciencia, a diferencia de los niños motivados e interesados ​​que no necesitan ser presionados ni estimulados para resolver problemas complejos y no estándar, considere varias opciones soluciones. La práctica también demuestra que a los estudiantes les encanta escuchar los relatos del profesor sobre la historia de la materia. En la primera lección, a los estudiantes más fuertes que estén interesados ​​se les puede pedir que simplemente resuelvan problemas que sean hermosos, interesantes e inusuales en forma y métodos de resolución. Problemas que permitirían a los estudiantes descubrir algo nuevo. Para los estudiantes desmotivados, el proceso es importante, quieren construir y dibujar formas geométricas con sus propias manos, y es necesario cumplir con sus expectativas, especialmente en las primeras lecciones, ofrecerles dibujar adornos que incluyan varias formas geométricas, y luego Se asegurará el inicio emocional de estas lecciones. La primera lección es importante; ella, como un diapasón, marca el tono de todo el trabajo.

Me gustaría enfatizar una cosa: ahora que no existe un examen obligatorio de geometría, ¿tal vez la búsqueda del conocimiento no debería alejar al niño de una ciencia tan hermosa e increíblemente útil como la geometría? Quizás trabajes en paz una vez en tu vida. Para que no penda sobre ti la espada de Damocles de las notas y valoraciones. Para que en la lección profesor y alumno sean iguales en conocimientos y potencial. Tener GEOMETRÍA.

¿Qué problemas de matemáticas elementales se consideran los más difíciles? Probablemente la mayoría de los lectores responderán: geométrico. ¿Por qué? Sí, porque en álgebra, trigonometría y los principios del análisis matemático se han desarrollado series enteras de algoritmos de solución. tareas tipicas. Si hay un algoritmo, entonces hay un programa de acción y, por lo tanto, las dificultades, si ocurren, suelen ser de naturaleza técnica más que fundamental.

Los problemas geométricos son un asunto diferente. Por regla general, no existen algoritmos para resolverlos y elegir el más adecuado. este caso un teorema de una lista extensa de teoremas no es fácil. Por tanto, la receta principal es de carácter más filosófico que didáctico: si quieres aprender a resolver problemas geométricos, ¡resuélvelos! Sin embargo, existen algunos principios generales que es útil conocer a la hora de resolver problemas geométricos. Acerca de estos provisiones generales nos gustaría hablar.

Al resolver problemas geométricos se suelen utilizar tres métodos principales: geométrico- cuando el enunciado requerido se deriva mediante razonamiento lógico a partir de varios teoremas bien conocidos; álgebcelestial- cuando la cantidad geométrica deseada se calcula en base a varias dependencias entre elementos de formas geométricas directamente o mediante ecuaciones; conjunto- cuando en algunas etapas la solución se realiza por el método geométrico, y en otras, por el método algebraico.

Cualquiera que sea el camino de solución elegido, el éxito de su uso depende, naturalmente, del conocimiento de los teoremas y de la capacidad para aplicarlos. Sin considerar aquí todos los teoremas de la planimetría, prestemos atención a aquellos que, por un lado, se utilizan activamente en la resolución de problemas, pero, por otro lado, como muestra la experiencia, no siempre están "en el primer nivel de la memoria". " entre los estudiantes. Debes amar estos teoremas, convertirlos en tus asistentes, para que tus alumnos les den preferencia.

Expresemos estos teoremas y mostremos cómo funcionan utilizando problemas específicos.

Al resolver problemas, por regla general, se registran las etapas individuales de razonamiento. Esto se hace por conveniencia, para que sea más fácil seguir el progreso del razonamiento. Y también me gustaría señalar: las tareas serán de diversa dificultad, pero aquellas que sean más útiles para el docente desde el punto de vista metodológico.

TRIÁNGULOS Y CUADRAGONES.

Al resolver problemas sobre triángulos y cuadriláteros, prestemos atención a los siguientes teoremas:

TEOREMA 1. Igualdad de ángulos con lados mutuamente perpendiculares:

Si ambos son agudos o ambos son obtusos y , entonces .

TEOREMA 2. Propiedades de la línea media de un trapezoide:

A) linea intermedia el trapezoide es paralelo a las bases del trapezoide;

B) la línea media es igual a la mitad de la suma de las bases del trapezoide;

C) la línea media (y solo ella) biseca cualquier segmento encerrado entre las bases del trapezoide.

Estas propiedades también son válidas para la línea media de un triángulo, si consideramos que el triángulo es un trapezoide "degenerado", una de cuyas bases tiene una longitud igual a cero.

TEOREMA 3. En los puntos de intersección de medianas, bisectrices, altitudes de un triángulo:

A) tres medianas de un triángulo se cruzan en un punto (se llama centro de gravedad del triángulo) y se dividen en este punto en una proporción de 2: 1, contando desde el vértice;

B) tres bisectrices de un triángulo se cruzan en un punto;

C) tres altitudes se cruzan en un punto (se llama ortocentro del triángulo).

TEOREMA 4. Propiedad de la mediana en un triángulo rectángulo:

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de ella.

El teorema inverso también es cierto: Si en un triángulo una de las medianas es igual a la mitad del lado al que está dibujada, entonces este triángulo es rectángulo.

TEOREMA 5. Propiedad de la bisectriz del ángulo interior de un triángulo:

La bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide el lado al que se traza en partes proporcionales a los lados opuestos:

TEOREMA 6. Relaciones métricas en un triángulo rectángulo:

Siun yb – piernas,c – hipotenusa,h es la altura, y son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, entonces: a) ; b) ; V); G); d)

TEOREMA 7. Determinación del tipo de triángulo en función de sus lados:

Dejara,b,c son los lados del triángulo, siendo c el lado más grande; Entonces:

A) si , entonces el triángulo es agudo;

B) si , entonces el triángulo es rectángulo;

C) si , entonces el triángulo es obtuso.

TEOREMA 8. Relaciones métricas en un paralelogramo:

La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados:

.

Al resolver problemas geométricos, a menudo es necesario establecer la igualdad de dos segmentos (o ángulos). indiquemos Tres formas principales de demostrar geométricamente la igualdad de dos segmentos:

1) considere los segmentos como lados de dos triángulos y demuestre que estos triángulos son iguales;

2) representar los segmentos como lados de un triángulo y demostrar que dicho triángulo es isósceles;

3) reemplazar el segmento A un segmento igual https://pandia.ru/text/78/456/images/image008_12.gif" width="17" height="19 src=">y demostrar la igualdad de los segmentos y .

Tarea 1.Dos rectas mutuamente perpendiculares cortan los ladosAB,ANTES DE CRISTO.CD,Plaza del anuncioABCD en puntosMI,F,k,L en consecuencia. PruebaloEK =FL (ver figura para la tarea No. 1).

Solución: 1. Usando el primero de los caminos anteriores para la igualdad de dos segmentos, dibujamos los segmentos y, luego, los segmentos que nos interesan. E.K. Y Florida convertirse en lados de dos triángulos rectángulos EPK Y FML(ver figura para la tarea No. 1) .

2 . Tenemos: PK =FM(más detalles: PK =ANUNCIO.anuncio=AB,AB =FM significaPK =FM),(como ángulos con lados mutuamente perpendiculares, Teorema 1). Esto significa (a lo largo de la pierna y el ángulo agudo). De la igualdad de los triángulos rectángulos se sigue la igualdad de sus hipotenusas, es decir, segmentos E.K. Y Florida. ■

Tenga en cuenta que al resolver problemas geométricos, a menudo es necesario realizar construcciones adicionales, por ejemplo las siguientes: trazar una línea recta paralela o perpendicular a una de las de la figura (como hicimos en la tarea 1); duplicando la mediana del triángulo para completar el triángulo en un paralelogramo (haremos esto en el Problema 2), dibujando una bisectriz auxiliar. Hay construcciones adicionales útiles relacionadas con el círculo.

Tarea 2.los lados son igualesa,b,C. Calcule la mediana dibujada hacia el lado c (consulte la figura del problema 2).

Solución: Duplicamos la mediana, construyéndola hasta el paralelogramo ACVR, y aplicamos el Teorema 8 a este paralelogramo. Obtenemos: , es decir. , donde encontramos:

Tarea 3.Demuestre que en cualquier triángulo la suma de las medianas es mayor que ¾ del perímetro, pero menor que el perímetro.

Solución: 1. Considere https://pandia.ru/text/78/456/images/image036_6.gif" width="131" height="41">; . Porque AM + EM > CA, Eso

https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Firma:" align="left" width="148" height="32">Проведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим:!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image041_3.gif" width="111" height="41 src="> (3)

Sumando las desigualdades (1), (2), (3), obtenemos: ,

es decir, hemos demostrado que la suma de las medianas es mayor que ¾ del perímetro.

2. Duplicamos la mediana BD, completando el triángulo a un paralelogramo (ver figura del problema 3)..gif" width="80" height="24 src="> (4)

Del mismo modo: https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Título: Fig. para la tarea número 3" align="left hspace=12" width="148" height="32"> (6)!}

Sumando las desigualdades (4), (5), (6), obtenemos: https://pandia.ru/text/78/456/images/image049_2.gif" align="left" width="159" height=" 93 "> Solución: Sea DIA un triángulo rectángulo, https://pandia.ru/text/78/456/images/image051_2.gif" width="233" height="21"> (consulte la figura del problema 4).

1. como ángulos con lados mutuamente perpendiculares (https://pandia.ru/text/78/456/images/image054_2.gif" alt=" Firma:" align="left" width="148" height="33">!} 2. Dado que (ver Teorema 4), entonces SM = MV, y de esto concluimos que So,

3. Puesto que y (después de todo, CD es una bisectriz), eso es lo que había que demostrar. ■

Tarea 5. En un paralelogramo con ladosa YSe dibujan b bisectrices de ángulos internos (ver figura del problema 5). Encuentra las longitudes de las diagonales del cuadrilátero formado en la intersección de las bisectrices.

Solución: 1 ..gif" width="27 height=17" height="17">(ver figura). ya que en un paralelogramo es decir, entonces Esto significa que en el triángulo ABC la suma de los ángulos A y B es igual a 900, entonces el ángulo K es igual a 900, es decir, las bisectrices AE y BP son mutuamente perpendiculares.

De manera similar, se demuestra la perpendicularidad mutua de las bisectrices AE y DQ, BP y CF, CF y DQ.

SALIDA: KLMN es un cuadrilátero con ángulos rectos, es decir, un rectángulo. Un rectángulo tiene diagonales iguales, por lo que basta con encontrar la longitud de una de ellas, por ejemplo KM.

2. Consideremos que tiene AK, tanto la bisectriz como la altura. Esto significa, en primer lugar, que el triángulo ABP es isósceles, es decir, AB = AP = b, y, en segundo lugar, que el segmento AK es simultáneamente la mediana del triángulo ABP, es decir, K es el punto medio de la bisectriz BP.

De manera similar se demuestra que M es el punto medio de la bisectriz DQ.

3. Considere el segmento KM. Biseca los segmentos BP y DQ. Pero la línea media de un paralelogramo (tenga en cuenta que un paralelogramo es un caso especial de trapezoide; si podemos hablar de la línea media de un trapezoide, entonces podemos hablar igualmente de la línea media de un paralelogramo, que tiene el mismo propiedades) pasa por los puntos K y M (ver teorema 2). Esto significa que KM es un segmento de la línea media y, por tanto, .

4. Dado que y , entonces KMDP es un paralelogramo y, por lo tanto,

Respuesta: ■

De hecho, en el proceso de resolución del problema (en las etapas 1 y 2), demostramos una propiedad bastante importante: las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado del trapezoide se cruzan en ángulo recto en un punto que se encuentra en la línea media del trapezoide.

Cabe señalar que el método principal para componer ecuaciones en problemas geométricos es método elemento de soporte, que es la siguiente: un mismo elemento (lado, ángulo, área, radio, etc.) se expresa mediante cantidades conocidas y desconocidas por dos diferentes caminos y las expresiones resultantes se equiparan.

Muy a menudo se elige una zona como elemento de referencia. cifras. Luego decimos que para construir la ecuación usamos método de área.

Es necesario enseñar a los escolares a resolver problemas básicos, es decir, problemas técnicos. Los cuales se incluyen como componentes en muchas otras tareas. Se trata, por ejemplo, de problemas para encontrar los elementos básicos de un triángulo: mediana, altura, bisectriz, radios de círculos inscritos y circunscritos, área.

Tarea 6. En el triángulo ABC, los lados AB y BC son iguales y BH es la altura. Se toma un punto en el lado BC.D para que (ver figura del problema 6). ¿En qué proporción está el segmento?¿AD divide la altura de VN?

Solución: 1. Sea BD = a, entonces CD = 4 a, AB = 5a.

2. Dibujemos un segmento (ver figura del problema 6) Dado que NK es la recta media del triángulo ACD DK = KC = 2 a .

3. Considere el triángulo VNK. Tenemos: BD = a,

NS = 2a y https://pandia.ru/text/78/456/images/image080_2.gif" width="84" height="41"> pero Esto significa que ■

Si el problema requiere encontrar la proporción de algunas o cantidades, entonces, por regla general, el problema está resuelto. utilizando el método de parámetro auxiliar. Esto significa que al comienzo de la resolución del problema declaramos alguna cantidad lineal conocida, denotándola, por ejemplo, con la letra A, y luego expresarlo a través de A aquellas cantidades cuya relación se requiere encontrar. Cuando se compila la relación requerida, el parámetro auxiliar A se está reduciendo. Así es exactamente como actuamos en el problema. . Nuestro consejo: al resolver problemas en los que es necesario encontrar la proporción de cantidades (en particular, en problemas de determinar un ángulo; después de todo, como regla general, al calcular un ángulo estamos hablando de encontrar su Funcion trigonometrica, es decir, sobre la relación de las partes. triángulo rectángulo), se debe enseñar a los estudiantes a resaltar la introducción de un parámetro auxiliar como primera etapa de la resolución. El método del parámetro auxiliar también se utiliza en problemas donde figura geométrica determinado hasta la similitud.

Tarea 7. Un rectángulo está inscrito en un triángulo con lados iguales a 10, 17 y 21 cm de modo que sus dos vértices estén en un lado del triángulo y los otros dos vértices estén en los otros dos lados del triángulo. Calcula los lados del rectángulo si se sabe que su perímetro es de 22,5 cm.

Solución. 1. En primer lugar, determinemos el tipo de triángulo. Tenemos: 102 = 100; 172 = 289; 212 = 441. Como 212 > 102 + 172, el triángulo es obtuso (ver Teorema 7), lo que significa que un rectángulo sólo puede inscribirse en él de una manera: colocando sus dos vértices en el lado mayor del triángulo ABC ( vea la figura del Problema 7), donde AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

2. Calcula la altura ВН del triángulo ABC. BH = 8 cm.

3. Pongamos DE=X. Entonces FE = 11,25 –X(ya que el perímetro del rectángulo DEFK igual a 22,5 cm), PA = 8 – x. Los triángulos BEF y ABC son similares, lo que significa (en triángulos similares la relación de las alturas correspondientes es igual al coeficiente de similitud), es decir de donde encontramos x = 6.

Respuesta: 6 cm, 5,25 cm ■.

Al resolver el problema, utilizamos la afirmación de que en triángulos semejantes no solo los lados, sino también las alturas correspondientes son proporcionales. Un factor más general es el siguiente, que es, por así decirlo, un teorema de similitud generalizado:

Si dos triángulos son similares, entonces cualquier elemento lineal (o suma de elementos lineales) de un triángulo está relacionado con el elemento lineal correspondiente (o suma de elementos lineales correspondientes) del otro triángulo como lados correspondientes.

En particular, los radios de círculos circunscritos o inscritos, perímetros, altitudes correspondientes, medianas y bisectrices de dos triángulos semejantes se relacionan como lados correspondientes.

Tarea 8.En el triángulo ABC, el ángulo A es 2 veces mayor que el ángulo C, el lado BC es 2 cm más grande que el lado AB y AC = 5 cm.

Solución. 1. Dibujemos la bisectriz AD del ángulo A..gif" alt=" Firma:" align="left" width="148" height="33">!} 3. Los triángulos ABC y ABC son semejantes, ya que el ángulo B de estos triángulos es común. De la semejanza de los triángulos concluimos que es decir.

4. Para encontrar X Y en Se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: dónde

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos 5y – 10 = 2y, es decir, y = . Esto significa, es decir, x = 4.

Respuesta: AB = 4 cm; BC = 6 cm.

Muy a menudo, al componer las relaciones de los lados correspondientes en triángulos similares en casos no triviales (los casos triviales de similitud se encontraban en los problemas 6 y 7: el triángulo estaba separado de este último por una línea recta paralela a uno de sus lados) , los que resuelven el problema. Cometen errores puramente técnicos: o confunden el orden de los triángulos (cuál es el primero y cuál el segundo), o eligen sin éxito pares de lados como correspondientes. Nuestro consejo: si se establece la similitud de los triángulos ABC y DEF, recomendamos proceder de la siguiente manera: "introducir" los lados de un triángulo en los numeradores, por ejemplo así: Considerando que los lados correspondientes en triángulos semejantes son aquellos que se encuentran frente a ángulos iguales, encuentre los pares más simples de lados correspondientes; si son AB y DE, BC y DF, escriba: https://pandia.ru/text/78/456/images/image100_1.gif" align="left" width="121" height="96 src= " >b) para que quepa aprox.circunferencia, es necesario y suficiente que las sumas de las longitudes de sus lados opuestos sean iguales.

TEOREMA 5. Relaciones métricas en un círculo:

https://pandia.ru/text/78/456/images/image103_2.gif" alt=" Firma: Fig. 2" align="left" width="76" height="29">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image105_2.gif" alt=" Firma: Fig. 3" align="left" width="76" height="28">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image107_1.gif" width="13 height=19" height="19">, hipotenusa - c (ver figura). Calcula el radio r del círculo inscrito.

Solución. 1. Desde el centro O del círculo inscrito, dibuja radios hasta los puntos de su tangencia con los lados del triángulo; teniendo en cuenta que son perpendiculares a los lados correspondientes (ver Teorema 1, a), y luego usando el Teorema 1, b, marcamos pares de segmentos iguales: CD= SE, AE= AF,BD =B.F.(ver imagen).

2. Porque EODC- cuadrado (esquinas MI,D, C - recto y UE=CD), entonces OE =SOBREDOSIS.= CD = CE= r. Entonces BD= A -r, AE =b -r Y , respectivamente, novio=BD = un– r,FA=EA =b-r.

3. Desde AB= FA+pensión completa, Eso c = (b -r) + (un –r), desde donde .■

Tenga en cuenta que si el problema se refiere a un círculo inscrito en un triángulo (o cuadrilátero), casi siempre es recomendable dibujar los radios en los puntos de contacto del círculo con los lados, teniendo en cuenta que los radios serán perpendiculares al lados correspondientes, e inmediatamente marque pares de segmentos iguales en el dibujo (para dos tangentes dibujadas al círculo desde un punto dado). Esto es lo que hicimos al resolver el problema anterior.

Prestemos atención a la fórmula https://pandia.ru/text/78/456/images/image110_1.gif" width="43" height="44">, donde S es el área, R– semiperímetro de un triángulo.

Respecto al radio R círculo circunscrito a un triángulo, luego para un triángulo rectángulo (la hipotenusa es el diámetro de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo), para un triángulo no rectángulo, se suele utilizar la fórmula https://pandia.ru/text/78 /456/images/image114_1.gif" width="59 " height="41 src=">.

Problema 10. Dado un sector circular rectangular.Se dibuja un círculo del mismo radio con el centro al final del arco del sector; divide el sector en dos triángulos curvilíneos. En el más pequeño de estos triángulos está inscrito un círculo (ver figura). Encuentra la relación entre los radios del círculo inscrito y el sector.

Solución. 1. Realicemos las construcciones adicionales necesarias, que se suelen hacer cuando se trata de tangencia interna o externa de circunferencias o de tangencia de una circunferencia y una recta: O2O3– línea de centros; EN- punto de contacto; O1O3– línea de centros; A- punto de contacto; O3C O1C; CON– punto de contacto (ver figura).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image119_1.gif" width="43" height="41">. Entonces, .

Respuesta: . ■

Damos dos adiciones más sobre construcciones adicionales útiles: 1) si dos círculos se tocan (interna o externamente), entonces es necesario trazar una línea de centros, es decir, una línea recta que pasa por los centros de los círculos tangentes, y tenga en cuenta que el punto de contacto se encuentra en la línea de centros (esto es lo que hicimos al resolver el problema anterior, que fue la clave del éxito); 2) a veces es útil (como construcciones adicionales) hacer el llamado dibujo "remoto", es decir, sacar por separado un fragmento de un dibujo bastante complejo existente para un estudio especial (por ejemplo, al resolver un problema, sacamos un fragmento separado que contiene ∆ O1O2O3– ver figura).

Problema 11. Radio del círculoR pasa por dos vértices adyacentes A yCuadrado D (ver figura). El segmento BM tangente a la circunferencia trazada desde el tercer vértice B del cuadrado es el doble del lado de este último. Encuentra el lado del cuadrado.

Solución. Introduzcamos la notación Virginia= x, VM = 2x. Continuamos el segmento. Virginia hasta que interseca el círculo en el punto A. Entonces VK ∙ VA = VM2(ver Teorema 5, c), es decir VK∙x= 4x2, donde encontramos: VC= 4x- Medio, Alaska= Zx. Más, KAD = = 90°, lo que significa kd– diámetro del círculo. De un triángulo rectángulo ADK encontramos: AD2+ AK2= KD2, es decir. x2+9x2= 4R 2, de donde X= https://pandia.ru/text/78/456/images/image125_0.gif" width="45" height="45 src=">. ■

El ortocentro, es decir, el punto de intersección de las alturas de un triángulo, tiene una serie de propiedades interesantes: el ortocentro de un triángulo agudo coincide con el centro de un círculo inscrito en un triángulo, cuyos vértices son las bases. de las altitudes de un triángulo dado; en un triángulo no rectángulo ABC, la distancia desde el ortocentro hasta el vértice B es el doble de la distancia desde el centro del círculo circunscrito alrededor del triángulo hasta el lado AC. Usamos la última propiedad para introducir el concepto de línea recta de Euler. Por razones visuales, nos limitaremos a un triángulo agudo.

Entonces deja norte– ortocentro, O – circuncentro, SOBREDOSIS. C.A,DE║bh,ANUNCIO= corriente continua(ver imagen).

Dibujemos la mediana BD y segmento ÉL. triangulos VNM Y MODIFICACIÓN similar, que significa https://pandia.ru/text/78/456/images/image128_0.gif" width="56" height="41 src=">.gif" width="17" height="16 src =">C = 90°, entonces la recta de Euler es una recta que pasa por el vértice C ángulo recto y medio ACERCA DE hipotenusa AB, es decir, la mediana.

Continuamos la conversación sobre la resolución de problemas planimétricos. Pasemos a la resolución de problemas relacionados con el concepto de área de una figura plana.

Comencemos, como en casos anteriores, identificando teoremas "de trabajo". Existen dos teoremas de este tipo sobre el cálculo de áreas.

TEOREMA 1. La razón de las áreas de figuras similares es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.

TEOREMA 2. A) Si dos triángulos tienen igualesbases, entonces sus áreas están relacionadas con sus alturas.

b) Si dos triángulos tienen la misma altura, entonces susLas áreas se tratan como bases.

Y, por supuesto, tiene sentido dar las fórmulas básicas para calcular las áreas de figuras planas.

1. Fórmulas para el área de un triángulo:

a) https://pandia.ru/text/78/456/images/image131_0.gif" width="84" height="41 src=">; c);

d) S = Rr, Dónde R=; R– radio del círculo circunscrito; r- radio del círculo inscrito;

e) S = https://pandia.ru/text/78/456/images/image136_0.gif" align="left hspace=12" width="159" height="139"> a) S= C.A.∙ BDsin;

TEOREMA 1.Igualdad de ángulos con lados mutuamente perpendiculares:Si
ambos agudos o ambos obtusos y
,
, Eso
. TEOREMA 2. Propiedades de la línea media de un trapezoide:A) la línea media del trapezoide es paralela a las bases del trapezoide;B) la línea media es igual a la mitad de la suma de las bases del trapezoide;C) la línea media (y solo ella) biseca cualquier segmento encerrado entre las bases del trapezoide. Estas propiedades también son válidas para la línea media de un triángulo, si consideramos que el triángulo es un trapezoide "degenerado", una de cuyas bases tiene una longitud igual a cero. TEOREMA 3. En los puntos de intersección de medianas, bisectrices, altitudes de un triángulo:A) tres medianas de un triángulo se cruzan en un punto (se llama centro de gravedad del triángulo) y se dividen en este punto en una proporción de 2: 1, contando desde el vértice;B) tres bisectrices de un triángulo se cruzan en un punto;C) tres altitudes se cruzan en un punto (se llama ortocentro del triángulo).TEOREMA 4. Propiedad de la mediana en un triángulo rectángulo:En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de ella. El teorema inverso también es cierto: Si en un triángulo una de las medianas es igual a la mitad del lado al que está dibujada, entonces este triángulo es rectángulo.TEOREMA 5. Propiedad de la bisectriz del ángulo interior de un triángulo:La bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide el lado al que se traza en partes proporcionales a los lados opuestos:
TEOREMA 6. Relaciones métricas en un triángulo rectángulo:SiaYb- piernas,C– hipotenusa,h- altura, Y - proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, entonces: a)
; b)
; V)
; GRAMO)
; d)
TEOREMA 7. Determinación del tipo de triángulo en función de sus lados:Dejara, b, C– lados del triángulo, siendo c el lado más grande; Entonces:Y si
, entonces el triángulo es agudo;b) si
, entonces el triángulo es rectángulo;b) si
, entonces el triángulo es obtuso.TEOREMA 8. Relaciones métricas en un paralelogramo:La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados:
. Al resolver problemas geométricos, a menudo es necesario establecer la igualdad de dos segmentos (o ángulos). indiquemos Tres formas principales de demostrar geométricamente la igualdad de dos segmentos: 1) considere los segmentos como lados de dos triángulos y demuestre que estos triángulos son iguales; 2) representar los segmentos como lados de un triángulo y demostrar que dicho triángulo es isósceles; 3 ) reemplazar el segmento A un segmento igual , y el segmento b – igual a él y demostrar la igualdad de los segmentos y . Tarea 1.Dos rectas mutuamente perpendiculares cortan los ladosAB, ANTES DE CRISTO., CD, ANUNCIOcuadradoA B C Den puntosmi, F, k, lrespectivamente. PruebaloE.K. = Florida(ver figura para la tarea No. 1).R

Arroz. a la tarea número 1

Solución: 1. Usando el primero de los caminos anteriores para la igualdad de dos segmentos, dibujamos los segmentos
Y
- luego los segmentos que nos interesan E.K. Y Florida convertirse en lados de dos triángulos rectángulos EPK Y FML(ver figura para la tarea No. 1) . 2

Arroz. a la tarea número 1

Tenemos: PAQUETE = FM(más detalles: PAQUETE = ANUNCIO, ANUNCIO = AB, AB = FM, Medio,PAQUETE = FM), (como ángulos con lados mutuamente perpendiculares, Teorema 1). Esto significa (a lo largo de la pierna y el ángulo agudo). De la igualdad de los triángulos rectángulos se deduce que sus hipotenusas son iguales, es decir segmentos E.K. Y Florida. ■ Tenga en cuenta que al resolver problemas geométricos, a menudo hay que hacer construcciones adicionales, por ejemplo las siguientes: dibujar una línea recta paralela o perpendicular a una de las de la figura (como hicimos en la tarea 1); duplicando la mediana del triángulo para completar el triángulo en un paralelogramo (haremos esto en el Problema 2), dibujando una bisectriz auxiliar. Hay construcciones adicionales útiles relacionadas con el círculo. Tarea 2.Fiestas
iguala, b, C. Calcular mediana , dibujado hacia el lado c (ver figura del problema 2).R

Arroz. al problema número 2

Solución: Duplicar la mediana completando
al paralelogramo ACVR, y aplicamos el Teorema 8 a este paralelogramo Obtenemos: , es decir.
, donde encontramos:
Tarea 3.Demuestre que en cualquier triángulo la suma de las medianas es mayor que ¾ del perímetro, pero menor que el perímetro.R
solución: 1. Consideremos
(ver figura del problema 3) Tenemos:
;
. Porque AM + EM > CA, Eso
(1) PAG

Arroz. al problema número 3

Realizando razonamientos similares para los triángulos AMB y BMC, obtenemos:
(2)
(3) Sumando las desigualdades (1), (2), (3), obtenemos:
, t
.mi. Hemos demostrado que la suma de las medianas es mayor que ¾ del perímetro. 2. Dupliquemos la mediana BD, completando el triángulo en un paralelogramo (vea la figura del problema 3). Luego de
obtenemos: B.K. < ANTES DE CRISTO. + CK, aquellos.
(4) Asimismo:
(5)

Arroz. al problema número 3

(6) Sumando las desigualdades (4), (5), (6), obtenemos: , es decir la suma de las medianas es menor que el perímetro. ■ Tarea 4.Demuestre que en un triángulo rectángulo no isósceles, la bisectriz de un ángulo recto biseca el ángulo entre la mediana y la altitud trazada desde el mismo vértice.R
solución: Sea ACB un triángulo rectángulo,
, CH – altura, CD – bisectriz, SM – mediana. Introduzcamos la siguiente notación: (ver figura del problema 4). 1.
como ángulos con lados mutuamente perpendiculares (). 2

Arroz. al problema número 4

Porque
(ver Teorema 4), entonces SM = MV, y luego de
concluimos que
Entonces, 3. Puesto que y (después de todo, CD es una bisectriz), eso es lo que había que demostrar. ■ Tarea 5.En un paralelogramo con ladosa YbSe dibujan bisectrices de ángulos internos (consulte la figura del problema 5). Encuentra las longitudes de las diagonales del cuadrilátero formado en la intersección de las bisectrices.Solución: 1 . AE – bisectriz
, BP – bisectriz
(ver figura) . ya que en un paralelogramo
aquellos. entonces Esto significa que en el triángulo ABC la suma de los ángulos A y B es igual a 90 0, entonces el ángulo K es igual a 90 0, es decir, las bisectrices AE y BP son mutuamente perpendiculares. A
La perpendicularidad mutua de las bisectrices AE y DQ, BP y CF, CF y DQ está demostrada lógicamente. SALIDA: KLMN es un cuadrilátero con ángulos rectos, es decir rectángulo. Un rectángulo tiene diagonales iguales, por lo que basta con encontrar la longitud de una de ellas, por ejemplo KM. 2

Arroz. al problema número 5

Consideremos
Tiene AK, tanto bisectriz como altura. Esto significa, en primer lugar, que el triángulo ABP es isósceles, es decir AB = AP = b, y, en segundo lugar, que el segmento AK es al mismo tiempo la mediana del triángulo ABP, es decir K – la mitad de la bisectriz BP. De manera similar se demuestra que M es el punto medio de la bisectriz DQ. 3. Considere el segmento KM. Biseca los segmentos BP y DQ. Pero la línea media de un paralelogramo (tenga en cuenta que un paralelogramo es un caso especial de trapezoide; si podemos hablar de la línea media de un trapezoide, entonces podemos hablar igualmente de la línea media de un paralelogramo, que tiene el mismo propiedades) pasa por los puntos K y M (ver teorema 2). Esto significa que KM es un segmento en la línea media y, por lo tanto,
.4. Porque
Y
, entonces KMDP es un paralelogramo y, por tanto,. Respuesta:
■ De hecho, en el proceso de resolución del problema (en las etapas 1 y 2), demostramos una propiedad bastante importante: las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado de un trapezoide se cortan en ángulo recto en un punto que se encuentra en la línea media del trapezoide. Cabe señalar que el método principal para componer ecuaciones en problemas geométricos es métodoelemento de soporte, que es la siguiente: un mismo elemento (lado, ángulo, área, radio, etc.) se expresa mediante cantidades conocidas y desconocidas de dos formas diferentes y las expresiones resultantes se equiparan. Muy a menudo se elige una zona como elemento de referencia.cifras. Luego decimos que para construir la ecuación usamos método de área. Es necesario enseñar a los escolares a resolver problemas básicos, es decir aquellos. Los cuales se incluyen como componentes en muchas otras tareas. Se trata, por ejemplo, de problemas para encontrar los elementos básicos de un triángulo: mediana, altura, bisectriz, radios de círculos inscritos y circunscritos, área. z problema 6.En el triángulo ABC, los lados AB y BC son iguales y BH es la altura. Se toma un punto en el lado BC.DEntonces
(ver figura del problema 6). ¿En qué proporción está el segmento?ANUNCIOdivide la altura del VN?Solución: 1. Sea BD = a, entonces CD = 4 a, AB = 5a.2

Arroz. al problema número 6

Dibujemos un segmento
(ver figura del problema 6) Dado que NK es la línea media del triángulo ACD DK = KC = 2 a .3. Considere el triángulo VNK. Tenemos: BD = a,NS = 2 a Y
. Según el teorema de Tales
Pero
Eso significa
■ Si un problema requiere encontrar la razón de cualquier número de cantidades, entonces, como regla general, el problema se resuelve utilizando el método de parámetro auxiliar. Esto significa que al comienzo de la resolución del problema declaramos alguna cantidad lineal conocida, denotándola, por ejemplo, con la letra A, y luego expresarlo a través de A aquellas cantidades cuya relación se requiere encontrar. Cuando se compila la relación requerida, el parámetro auxiliar A se está reduciendo. Así es exactamente como actuamos en el problema. . Nuestro consejo: al resolver problemas en los que es necesario encontrar la razón de cantidades (en particular, en las tareas de determinar un ángulo; después de todo, como regla general, al calcular un ángulo estamos hablando de encontrar su función trigonométrica, es decir, de la razón de los lados de un triángulo rectángulo), se debe enseñar a los estudiantes La primera etapa de la solución es la introducción de un parámetro auxiliar. El método del parámetro auxiliar también se utiliza en problemas donde se define una figura geométrica hasta la similitud. Tarea 7.Un rectángulo está inscrito en un triángulo con lados iguales a 10, 17 y 21 cm de modo que sus dos vértices estén en un lado del triángulo y los otros dos vértices estén en los otros dos lados del triángulo. Calcula los lados del rectángulo si se sabe que su perímetro es de 22,5 cm.R
decisión . 1. En primer lugar, determinemos el tipo de triángulo. Tenemos: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. Como 21 2 > 10 2 + 17 2, el triángulo tiene un ángulo obtuso (ver Teorema 7), lo que significa que un rectángulo sólo puede inscribirse en él de una manera: colocando sus dos vértices en el mayor. lado del triángulo ABC (ver figura del problema 7), donde AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm 2.

53.Ángulos (ángulos internos) de un triángulo. Se llaman tres ángulos, cada uno de los cuales está formado por tres rayos que salen de los vértices del triángulo y pasan por los otros dos vértices.

54. Teorema de la suma de los ángulos del triángulo. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

55. Esquina exterior de un triángulo es un ángulo adyacente a algún ángulo de este triángulo.

56. Esquina exterior triángulo igual a la suma dos ángulos de un triángulo que no son adyacentes a él.

57. Si las tres esquinas triángulo picante, entonces el triángulo se llama de ángulo agudo.

58. Si una de las esquinas triángulo desafilado, entonces el triángulo se llama de ángulo obtuso.

59. Si una de las esquinas triángulo derecho, entonces el triángulo se llama rectangular.

60. El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa(Palabra griega gyipotenusa - "contraer"), y dos lados que forman un ángulo recto - piernas(Palabra latina katetos - "plomada") .

61. Teorema sobre las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. en un triangulo el ángulo mayor es opuesto al lado mayor, y de regreso, El lado mayor se encuentra opuesto al ángulo mayor.

62. En un triángulo rectángulo La hipotenusa es más larga que el cateto.

porque El lado mayor siempre está opuesto al ángulo mayor.

Signos de un triángulo isósceles.

si en un triangulo dos ángulos son iguales, entonces es isósceles;

si en un triangulo la bisectriz es la mediana o la altura,
entonces este triángulo es isósceles;

si en un triangulo la mediana es la bisectriz o la altura, Eso

este triángulo es isósceles;

si en un triangulo la altura es mediana o bisectriz,

entonces este triángulo es isósceles.

64. Teorema. Desigualdad triangular. La longitud de cada lado de un triángulo es mayor que la diferencia y menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.:

Propiedades de los ángulos de un triángulo rectángulo.

suma de dos Esquinas filosas de un triángulo rectángulo es 90°.

A + B = 90°

66. Propiedad del triángulo rectángulo.

Un cateto de un triángulo rectángulo opuesto a un ángulo de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa.

Si/ A = 30°, entonces BC = ½ AB

67. Propiedades de un triángulo rectángulo.

a) Si un cateto de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a este cateto es de 30°.

Si BC = ½ AB, entonces / B = 30°

B) La mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

mediana CF = ½ AB

Signo de igualdad de triángulos rectángulos en dos lados.

Si los catetos de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a los catetos de otro, entonces dichos triángulos son congruentes.

Para ángulos con respectivamente lados paralelos son válidas las siguientes proposiciones:

1. Si los lados a y b de un ángulo son respectivamente paralelos a los lados a y b de otro ángulo y tienen las mismas direcciones que ellos, entonces los ángulos son iguales.

2. Si, bajo la misma condición de paralelismo, los lados a y b se ajustan en oposición a los lados a y b, entonces los ángulos también son iguales.

3. Si, finalmente, los lados a y son paralelos y de la misma dirección, y los lados son paralelos y de direcciones opuestas, entonces los ángulos se complementan hasta invertirse.

Prueba. Probemos la primera de estas proposiciones. Sean los lados de los ángulos paralelos e igualmente dirigidos (Fig. 191). Conectemos los vértices de las esquinas con una línea recta.

En este caso, son posibles dos casos: la línea recta pasa por dentro de las esquinas o por fuera de estas esquinas (Fig. 191, b). En ambos casos la prueba es obvia: así, en el primer caso

pero ¿de dónde lo sacamos? En el segundo caso tenemos

y el resultado se sigue nuevamente de las igualdades

Dejamos las pruebas de las Proposiciones 2 y 3 al lector. Podemos decir que si los lados de los ángulos son respectivamente paralelos, entonces los ángulos son iguales o suman el ángulo opuesto.

Evidentemente, son iguales si ambos son simultáneamente agudos o ambos obtusos, y su suma es igual si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares son iguales o complementarios entre sí hasta un ángulo recto.

Prueba. Sea a un determinado ángulo (Fig. 192), y O sea el vértice del ángulo formado por rectas, por tanto, sea cualquiera de los cuatro ángulos formados por estas dos rectas; Giremos el ángulo (es decir, ambos lados) alrededor de su vértice O en ángulo recto; obtenemos un ángulo igual a él, pero cuyos lados son perpendiculares a los lados del ángulo girado indicado en la Fig. 192 a través de Son paralelas a las rectas que forman un ángulo dado a. Por lo tanto, los ángulos significan que los ángulos son iguales o forman un ángulo inverso en total.

Un ángulo es la parte de un plano delimitado por dos rayos que emanan de un punto. Los rayos que limitan el ángulo se llaman lados del ángulo. El punto de donde emergen los rayos se llama vértice del ángulo.

Esquema de designación de esquinas. Veamos el ejemplo del ángulo que se muestra en la Figura 1.

El ángulo que se muestra en la Figura 1 se puede designar de tres formas:

Los ángulos se llaman ángulos iguales si se pueden combinar.

Si la intersección de dos líneas produce cuatro angulos iguales , entonces esos ángulos se llaman ángulos rectos (Fig. 2). Las rectas que se cortan y forman ángulos rectos se llaman lineas perpendiculares.

Si a través de un punto A, que no se encuentra en una línea l, se traza una línea perpendicular a la línea l y que cruza la línea l hasta el punto B, entonces dicen que desde el punto B perpendicular AB se deja caer sobre la línea l(Fig. 3). El punto B se llama base de la perpendicular AB.

Nota. La longitud del segmento AB se llama distancia del punto A a la recta l.

Ángulo de 1° (un grado) llamado el ángulo que forma una nonagésima parte ángulo recto.

Un ángulo k veces mayor que un ángulo de 1° se llama ángulo de k° (k grados).

Los ángulos también se miden en radianes. Puede leer sobre radianes en la sección de nuestro libro de referencia “Medición de ángulos. Grados y radianes".

Tabla 1 - Tipos de ángulos según el valor en grados

Dibujo	tipos de ángulos	Propiedades de las esquinas
	Ángulo recto	Un angulo recto mide 90°
	Esquina filosa	Ángulo agudo inferior a 90°
	Ángulo obtuso	Ángulo obtuso mayor de 90° pero menor de 180°
	Ángulo recto	El ángulo de rotación es de 180°.
		Este ángulo es mayor que 180° pero menor que 360°.
	Ángulo completo	El ángulo completo es 360°
	Ángulo igual a cero	este angulo es 0°

Ángulo recto

Propiedad: Un angulo recto mide 90°

Esquina filosa

Propiedad: Ángulo agudo inferior a 90°

Ángulo obtuso

Propiedad: Ángulo obtuso mayor de 90° pero menor de 180°

Ángulo recto

Propiedad: El ángulo de rotación es de 180°.

Ángulo mayor que recto

Propiedad: Este ángulo es mayor que 180° pero menor que 360°.

Ángulo completo

Propiedad: El ángulo completo es 360°

Ángulo igual a cero

Propiedad: este angulo es 0°

Tabla 2 - Tipos de ángulos según la ubicación de los lados

Dibujo	tipos de ángulos	Propiedades de las esquinas
	Ángulos verticales	Los ángulos verticales son iguales.
	Ángulos adyacentes	La suma de los ángulos adyacentes es 180°.
		Los ángulos con lados respectivamente paralelos son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.
		La suma de los ángulos de lados correspondientemente paralelos es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.
		Los ángulos con lados respectivamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.
		La suma de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Ángulos verticales

Propiedad de los ángulos verticales: Los ángulos verticales son iguales.

Ángulos adyacentes

Propiedad de los ángulos adyacentes: La suma de los ángulos adyacentes es 180°.

Ángulos con lados correspondientemente paralelos

Los ángulos con lados respectivamente paralelos son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.

Propiedad de ángulos con lados correspondientemente paralelos: La suma de los ángulos de lados correspondientemente paralelos es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Ángulos con lados correspondientemente perpendiculares

Los ángulos con lados respectivamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos.

Propiedad de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares: La suma de los ángulos con lados correspondientemente perpendiculares es igual a 180°, si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

Definición . La bisectriz de un ángulo es el rayo que biseca el ángulo.

Tarea . Demuestre que las bisectrices de ángulos adyacentes son perpendiculares.

Solución . Considere la Figura 4.

En esta figura, los ángulos AOB y BOC son adyacentes y los rayos OE y OD son bisectrices de estos ángulos. Porque el

2α + 2β = 180°.

Q.E.D.

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