Vecteur− un concept purement mathématique qui n'est utilisé qu'en physique ou autre sciences appliquées et qui permet de simplifier la solution de certains problèmes complexes.
Vecteur− segment droit dirigé.
Dans un cours de physique élémentaire, il faut opérer avec deux catégories de quantités - scalaire et vectoriel.
Scalaire les quantités (scalaires) sont des quantités caractérisées par une valeur numérique et un signe. Les scalaires sont de longueur - je, masse − m, chemin − s, temps − t, température − T, charge électrique − q, énergie − W, coordonnées, etc.
Toutes les opérations algébriques (addition, soustraction, multiplication, etc.) s'appliquent aux quantités scalaires.
Exemple 1.
Déterminez la charge totale du système, composée des charges qu'il contient, si q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Charge complète du système
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Exemple 2.
Pour équation quadratique gentil
hache 2 + bx + c = 0 ;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vecteur Les grandeurs (vecteurs) sont des grandeurs, pour déterminer lesquelles il faut indiquer, en plus de la valeur numérique, la direction. Vecteurs − vitesse v, forcer F, impulsion p, intensité du champ électrique E, induction magnétique B et etc.
La valeur numérique d'un vecteur (module) est indiquée par une lettre sans symbole vectoriel ou le vecteur est entouré de barres verticales r = |r|.
Graphiquement, le vecteur est représenté par une flèche (Fig. 1),
Dont la longueur sur une échelle donnée est égale à sa grandeur et la direction coïncide avec la direction du vecteur.
Deux vecteurs sont égaux si leurs grandeurs et leurs directions coïncident.
Les quantités vectorielles sont ajoutées géométriquement (selon la règle de l'algèbre vectorielle).
La recherche d'une somme vectorielle à partir de vecteurs composants donnés est appelée addition vectorielle.
L'addition de deux vecteurs s'effectue selon la règle du parallélogramme ou du triangle. Vecteur de somme
c = une + b
égal à la diagonale d'un parallélogramme construit sur des vecteurs un Et b. Modulez-le
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Fig. 2). 
À α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) est le théorème de Pythagore.
Le même vecteur c peut être obtenu en utilisant la règle du triangle si à partir de la fin du vecteur un mettre de côté le vecteur b. Vecteur de fin c (reliant le début du vecteur un et la fin du vecteur b) est la somme vectorielle des termes (vecteurs composants un Et b).
Le vecteur résultant se trouve comme l’extrémité arrière de la ligne brisée dont les liens sont les vecteurs composants (Fig. 3). 
Exemple 3.
Ajouter deux forces F 1 = 3 N et F 2 = 4 N, vecteurs F1 Et F2 faire respectivement des angles α 1 = 10° et α 2 = 40° avec l'horizon
F = F 1 + F 2(Fig. 4). 
Le résultat de l’addition de ces deux forces est une force appelée résultante. Vecteur F dirigé le long de la diagonale d'un parallélogramme construit sur des vecteurs F1 Et F2, des deux côtés, et son module est égal à sa longueur.
Module vectoriel F trouver par le théorème du cosinus
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Si
(α 2 − α 1) = 90°, alors F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Angle qui est vectoriel F est égal à l'axe Ox, on le trouve en utilisant la formule
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0,51, α ≈ 0,47 rad.
La projection du vecteur a sur l'axe Ox (Oy) est une grandeur scalaire dépendant de l'angle α entre la direction du vecteur un et l'axe Ox (Oy). (Fig.5) 
Projections vectorielles un sur les axes Ox et Oy du repère rectangulaire. (Fig.6) 
Afin d'éviter les erreurs lors de la détermination du signe de la projection d'un vecteur sur un axe, il est utile de rappeler la règle suivante : si la direction de la composante coïncide avec la direction de l'axe, alors la projection du vecteur sur cet axe L'axe est positif, mais si la direction de la composante est opposée à la direction de l'axe, alors la projection du vecteur est négative. (Fig.7) 
La soustraction de vecteurs est une addition dans laquelle un vecteur est ajouté au premier vecteur, numériquement égal au second, dans la direction opposée
une − b = une + (−b) = ré(Fig. 8). 
Qu'il soit nécessaire du vecteur un soustraire le vecteur b, leur différence − d. Pour trouver la différence entre deux vecteurs, il faut se rendre sur le vecteur un ajouter un vecteur ( −b), c'est-à-dire un vecteur d = une − b sera un vecteur dirigé depuis le début du vecteur unà la fin du vecteur ( −b) (Fig. 9). 
Dans un parallélogramme construit sur des vecteurs un Et b des deux côtés, une diagonale c a le sens de la somme, et l'autre d− différences vectorielles un Et b(Fig. 9).
Produit d'un vecteur un par scalaire k est égal au vecteur b=k un, dont le module est k fois supérieur au module du vecteur un, et la direction coïncide avec la direction un pour k positif et l’inverse pour k négatif.
Exemple 4.
Déterminez l'impulsion d'un corps pesant 2 kg se déplaçant à une vitesse de 5 m/s. (Fig.10) 
Impulsion corporelle p= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s et dirigé vers la vitesse v.
Exemple 5.
Une charge q = −7,5 nC est placée dans un champ électrique d'une intensité de E = 400 V/m. Trouvez l'ampleur et la direction de la force agissant sur la charge.
La force est F=q E. Puisque la charge est négative, le vecteur force est dirigé dans la direction opposée au vecteur E. (Fig.11) 
Division vecteur un par un scalaire k équivaut à multiplier un par 1/k.
Produit scalaire vecteurs un Et b appelé le scalaire « c », égal au produit des modules de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Fig. 12) 
Exemple 6.
Trouvez le travail effectué par une force constante F = 20 N, si le déplacement S = 7,5 m, et l'angle α entre la force et le déplacement α = 120°.
Le travail effectué par une force est égal, par définition, au produit scalaire de la force et du déplacement
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Oeuvre vectorielle vecteurs un Et b appelé vecteur c, numériquement égal au produit des valeurs absolues des vecteurs a et b multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare :
c = une × b = ,
с = ab × sinα.
Vecteur c perpendiculaire au plan dans lequel se trouvent les vecteurs un Et b, et sa direction est liée à la direction des vecteurs un Et b la règle de la vis droite (Fig. 13). 
Exemple 7.
Déterminer la force agissant sur un conducteur de 0,2 m de long, placé dans un champ magnétique dont l'induction est de 5 T, si l'intensité du courant dans le conducteur est de 10 A et qu'il forme un angle α = 30° avec la direction du champ .
Puissance en ampères
dF = I = Idl × B ou F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Envisagez la résolution de problèmes.
1. Comment sont orientés deux vecteurs dont les modules sont identiques et égaux à a, si le module de leur somme est égal à : a) 0 ; b) 2a ; Californie; d) une√(2); e) une√(3) ?
Solution.
a) Deux vecteurs sont dirigés le long d’une ligne droite dans des directions opposées. La somme de ces vecteurs est nulle. 
b) Deux vecteurs sont dirigés le long d'une ligne droite dans la même direction. La somme de ces vecteurs est 2a. 
c) Deux vecteurs sont dirigés selon un angle de 120° l'un par rapport à l'autre. La somme des vecteurs est a. Le vecteur résultant est trouvé à l’aide du théorème du cosinus : 
une 2 + une 2 + 2aacosα = une 2 ,
cosα = −1/2 et α = 120°.
d) Deux vecteurs sont dirigés selon un angle de 90° l'un par rapport à l'autre. Le module de la somme est égal à
une 2 + une 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 et α = 90°. 
e) Deux vecteurs sont dirigés selon un angle de 60° l'un par rapport à l'autre. Le module de la somme est égal à
une 2 + une 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 et α = 60°.
Répondre: L'angle α entre les vecteurs est égal à : a) 180° ; b) 0 ; c) 120° ; d) 90° ; e) 60°.
2. Si une = une 1 + une 2 orientation des vecteurs, que dire de l'orientation mutuelle des vecteurs un 1 Et un 2, si : a) a = a 1 + a 2 ; b) une 2 = une 1 2 + une 2 2 ; c) un 1 + un 2 = un 1 − un 2 ?
Solution.
a) Si la somme des vecteurs est trouvée comme la somme des modules de ces vecteurs, alors les vecteurs sont dirigés le long d'une ligne droite, parallèles les uns aux autres une 1 ||une 2.
b) Si les vecteurs sont dirigés selon un angle les uns par rapport aux autres, alors leur somme est trouvée en utilisant le théorème du cosinus pour un parallélogramme
une 1 2 + une 2 2 + 2a 1 une 2 cosα = une 2 ,
cosα = 0 et α = 90°.
les vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres une 1 ⊥ une 2.
c) État une 1 + une 2 = une 1 − une 2 peut être exécuté si un 2− vecteur nul, alors a 1 + a 2 = a 1 .
Réponses. UN) une 1 ||une 2; b) une 1 ⊥ une 2; V) un 2− vecteur nul.
3. Deux forces de 1,42 N chacune sont appliquées à un point du corps à un angle de 60° l'une par rapport à l'autre. Sous quel angle deux forces de 1,75 N chacune doivent-elles être appliquées au même point du corps pour que leur action équilibre celle des deux premières forces ?
Solution.
Selon les conditions du problème, deux forces de 1,75 N chacune équilibrent deux forces de 1,42 N chacune. Ceci est possible si les modules des vecteurs de paires de forces résultants sont égaux. Nous déterminons le vecteur résultant en utilisant le théorème du cosinus pour un parallélogramme. Pour le premier couple de forces :
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
pour la deuxième paire de forces, respectivement
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Égaliser les côtés gauches des équations
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Trouvons l'angle β requis entre les vecteurs
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Après calculs,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.
Deuxième solution.
Considérons la projection de vecteurs sur l'axe de coordonnées OX (Fig.). 
Utiliser la relation entre les parties dans triangle rectangle, on a
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
où
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) et β ≈ 90,7°.
4. Vecteur une = 3i − 4j. Quelle doit être la quantité scalaire c pour |c un| = 7,5?
Solution.
c un=c( 3i − 4j) = 7,5
Module vectoriel un sera égal
une 2 = 3 2 + 4 2 , et une = ±5,
puis de
c.(±5) = 7,5,
trouvons ça
c = ±1,5.
5. Vecteurs un 1 Et un 2 sortent de l’origine et ont respectivement les coordonnées cartésiennes d’extrémité (6, 0) et (1, 4). Trouver le vecteur un 3 tel que : a) un 1 + un 2 + un 3= 0 ; b) un 1 − un 2 + un 3 = 0.
Solution.
Décrivons les vecteurs dans le système de coordonnées cartésiennes (Fig.) 
a) Le vecteur résultant le long de l'axe Ox est
un x = 6 + 1 = 7.
Le vecteur résultant le long de l’axe Oy est
une y = 4 + 0 = 4.
Pour que la somme des vecteurs soit égale à zéro, il faut que la condition soit satisfaite
un 1 + un 2 = −un 3.
Vecteur un 3 modulo sera égal au vecteur total un 1 + un 2, mais dirigé dans la direction opposée. Coordonnée de fin du vecteur un 3 est égal à (−7, −4), et le module
une 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.
B) Le vecteur résultant le long de l'axe Ox est égal à
une X = 6 - 1 = 5,
et le vecteur résultant le long de l'axe Oy
une y = 4 - 0 = 4.
Lorsque la condition est remplie
un 1 − un 2 = −un 3,
vecteur un 3 aura les coordonnées de la fin du vecteur a x = –5 et a y = −4, et son module est égal à
une 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.
6. Un messager marche 30 m vers le nord, 25 m vers l'est, 12 m vers le sud, puis prend un ascenseur jusqu'à une hauteur de 36 m dans un immeuble Quelle est la distance L parcourue par lui et le déplacement S. ?
Solution.
Représentons la situation décrite dans le problème sur un plan à une échelle arbitraire (Fig.). 
Fin du vecteur O.A. a les coordonnées 25 m à l'est, 18 m au nord et 36 en haut (25 ; 18 ; 36). La distance parcourue par une personne est égale à
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
L'amplitude du vecteur déplacement peut être trouvée à l'aide de la formule
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
où x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Répondre: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Angle α entre deux vecteurs un Et b est égal à 60°. Déterminer la longueur du vecteur c = une + b et angle β entre les vecteurs un Et c. Les magnitudes des vecteurs sont a = 3,0 et b = 2,0.
Solution.
Longueur du vecteur, égal au montant vecteurs un Et b Déterminons en utilisant le théorème du cosinus pour un parallélogramme (Fig.). 
с = √(une 2 + b 2 + 2abcosα).
Après remplacement
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4,4.
Pour déterminer l'angle β, on utilise le théorème des sinus pour le triangle ABC :
b/sinβ = a/sin(α − β).
En même temps, il faut savoir que
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Résoudre un simple équation trigonométrique, on arrive à l'expression
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
ainsi,
β = arctan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Vérifions en utilisant le théorème du cosinus pour un triangle :
une 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
où
cosβ = (une 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Et
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Répondre: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Résoudre des problèmes.
8. Pour les vecteurs un Et b défini dans l'exemple 7, trouvez la longueur du vecteur d = une − b coin γ
entre un Et d.
9. Trouver la projection du vecteur une = 4,0i + 7,0jà une droite dont la direction fait un angle α = 30° avec l'axe Ox. Vecteur un et la droite se trouvent dans le plan xOy.
10. Vecteur un fait un angle α = 30° avec la droite AB, a = 3,0. Sous quel angle β par rapport à la droite AB le vecteur doit-il être dirigé ? b(b = √(3)) pour que le vecteur c = une + bétait parallèle à AB ? Trouver la longueur du vecteur c.
11. Trois vecteurs sont donnés : une = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = je + 3j. Trouver un) a+b; b) a+c; V) (un B); G) (une, c)b − (une, b)c.
12. Angle entre les vecteurs un Et b est égal à α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Trouver les longueurs des vecteurs c = (une, b)une + b Et d = 2b − une/2.
13. Prouver que les vecteurs un Et b sont perpendiculaires si a = (2, 1, −5) et b = (5, −5, 1).
14. Trouvez l'angle α entre les vecteurs un Et b, si a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vecteur un fait un angle α = 30° avec l'axe Ox, la projection de ce vecteur sur l'axe Oy est égale à a y = 2,0. Vecteur b perpendiculaire au vecteur un et b = 3,0 (voir figure). 
Vecteur c = une + b. Trouver : a) projections du vecteur b sur l'axe Ox et Oy ; b) la valeur de c et l'angle β entre le vecteur c et l'axe Bœuf ; taxi); d) (une, c).
Réponses:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300° ; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) je + 3j − 2k ; c) 15i − 18j + 9k.
12. c = 2,6 ; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) bx = −1,5 ; par y = 2,6 ; b) c = 5 ; β ≈ 67° ; c) 0 ; d) 16,0.
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Dans l'étude de diverses branches de la physique, de la mécanique et des sciences techniques, il existe des grandeurs entièrement déterminées en précisant leurs valeurs numériques, plus précisément, qui sont entièrement déterminées à l'aide d'un nombre obtenu à la suite de leur mesure par une grandeur homogène prise comme unité . De telles quantités sont appelées scalaire ou, en bref, des scalaires. Les quantités scalaires, par exemple, sont la longueur, la surface, le volume, le temps, la masse, la température corporelle, la densité, le travail, la capacité électrique, etc. Puisqu'une quantité scalaire est déterminée par un nombre (positif ou négatif), elle peut être tracée sur le axe de coordonnées correspondant. Par exemple, l'axe du temps, de la température, de la longueur (distance parcourue) et autres sont souvent construits.
En plus des grandeurs scalaires, dans divers problèmes, il existe des grandeurs pour lesquelles, en plus de leur valeur numérique, il faut également connaître leur direction dans l'espace. De telles quantités sont appelées vecteur. Les exemples physiques de quantités vectorielles incluent le déplacement point matériel se déplaçant dans l'espace, la vitesse et l'accélération de ce point, ainsi que la force agissant sur lui, la force du champ électrique ou magnétique. Les grandeurs vectorielles sont utilisées, par exemple, en climatologie. Regardons un exemple simple de la climatologie. Si nous disons que le vent souffle à une vitesse de 10 m/s, alors nous introduirons une valeur scalaire de la vitesse du vent, mais si nous disons que le vent du nord souffle à une vitesse de 10 m/s, alors dans ce cas Dans ce cas, la vitesse du vent sera déjà une quantité vectorielle.
Les quantités vectorielles sont représentées à l'aide de vecteurs.
Pour la représentation géométrique des quantités vectorielles, on utilise des segments orientés, c'est-à-dire des segments qui ont une direction fixe dans l'espace. Dans ce cas, la longueur du segment est égale à la valeur numérique quantité de vecteur, et sa direction coïncide avec la direction de la quantité vectorielle. Le segment orienté caractérisant une quantité vectorielle donnée est appelé vecteur géométrique ou juste un vecteur.
La notion de vecteur joue un rôle important tant en mathématiques que dans de nombreux domaines de la physique et de la mécanique. De nombreuses grandeurs physiques peuvent être représentées à l'aide de vecteurs, et cette représentation contribue très souvent à la généralisation et à la simplification des formules et des résultats. Souvent les grandeurs vectorielles et les vecteurs qui les représentent sont identifiés les uns aux autres : par exemple, on dit que la force (ou la vitesse) est un vecteur.
Des éléments de l'algèbre vectorielle sont utilisés dans des disciplines telles que : 1) les machines électriques ; 2) entraînement électrique automatisé ; 3) éclairage et irradiation électriques ; 4) circuits alternatifs non ramifiés ; 5) mécanique appliquée ; 6) mécanique théorique ; 7) physique ; 8) système hydraulique : 9) pièces de machine ; 10) résistance des matériaux ; 11) gestion ; 12) chimie ; 13) cinématique ; 14) statique, etc.
2. Définition d'un vecteur. Un segment de droite est défini par deux points égaux : ses extrémités. Mais on peut considérer un segment orienté défini par une paire ordonnée de points. On sait sur ces points lequel d'entre eux est le premier (début) et lequel est le second (fin).
Un segment orienté est compris comme une paire ordonnée de points, dont le premier - le point A - est appelé son début et le second - le point B - sa fin.
Puis sous vecteur dans le cas le plus simple, le segment dirigé lui-même est compris, et dans d'autres cas, différents vecteurs sont différentes classes d'équivalence de segments dirigés, déterminées par une relation d'équivalence spécifique. De plus, la relation d'équivalence peut être différente, déterminant le type de vecteur (« libre », « fixe », etc.). En termes simples, au sein d'une classe d'équivalence, tous les segments orientés qui y sont inclus sont traités comme complètement égaux et chacun peut également représenter la classe entière.
Les vecteurs jouent un rôle important dans l'étude des transformations infinitésimales de l'espace.
Définition 1. Nous appellerons un segment orienté (ou, ce qui revient au même, une paire ordonnée de points) vecteur. La direction d'un segment est généralement indiquée par une flèche. Au-dessus de désignation de la lettre lors de l'écriture d'un vecteur, une flèche est placée, par exemple : (dans ce cas, la lettre correspondant au début du vecteur doit être placée devant). Dans les livres, les lettres désignant un vecteur sont souvent saisies en gras, par exemple : UN.
Nous inclurons également comme vecteurs ce qu'on appelle le vecteur zéro, dont le début et la fin coïncident.
Un vecteur dont le début coïncide avec sa fin est appelé zéro. Le vecteur zéro est simplement noté 0.
La distance entre le début et la fin d'un vecteur est appelée son longueur(et module et valeur absolue). La longueur du vecteur est notée | | ou | |. La longueur d'un vecteur, ou le module d'un vecteur, est la longueur du segment orienté correspondant : | | = .
Les vecteurs sont appelés colinéaire, s'ils sont situés sur la même ligne ou sur des lignes parallèles, bref, s'il existe une ligne à laquelle ils sont parallèles.
Les vecteurs sont appelés coplanaire, s'il existe un plan auquel ils sont parallèles, ils peuvent être représentés par des vecteurs situés sur le même plan. Le vecteur nul est considéré comme colinéaire à n’importe quel vecteur, car il n’a pas de direction spécifique. Sa longueur est bien entendu nulle. Évidemment, deux vecteurs quelconques sont coplanaires ; mais bien sûr, tous les trois vecteurs dans l'espace ne sont pas coplanaires. Puisque les vecteurs parallèles entre eux sont parallèles au même plan, les vecteurs colinéaires sont encore plus coplanaires. Bien entendu, l’inverse n’est pas vrai : les vecteurs coplanaires peuvent ne pas être colinéaires. En vertu de la condition adoptée ci-dessus, le vecteur zéro est colinéaire à tout vecteur et coplanaire à n'importe quelle paire de vecteurs, c'est-à-dire si parmi trois vecteurs au moins un vaut zéro, alors ils sont coplanaires.
2) Le mot « coplanaire » signifie essentiellement : « ayant un plan commun », c'est-à-dire « situé dans le même plan ». Mais comme nous parlons ici de vecteurs libres qui peuvent être transférés (sans changer de longueur et de direction) de manière arbitraire, nous devons appeler coplanaires les vecteurs parallèles au même plan, car dans ce cas ils peuvent être transférés de telle sorte qu'ils se trouvent dans un avion.
Pour abréger le discours, mettons-nous d'accord sur un terme : si plusieurs vecteurs libres sont parallèles à un même plan, alors on dira qu'ils sont coplanaires. En particulier, deux vecteurs sont toujours coplanaires ; pour s'en convaincre, il suffit de les reporter du même point. Il est clair en outre que la direction du plan dans lequel deux vecteurs donnés sont parallèles est complètement définie si ces deux vecteurs ne sont pas parallèles entre eux. Nous appellerons simplement tout plan auquel ces vecteurs coplanaires sont parallèles le plan de ces vecteurs.
Définition 2. Les deux vecteurs sont appelés égal, s’ils sont colinéaires, ont la même direction et ont des longueurs égales.
Il faut toujours se rappeler que l’égalité des longueurs de deux vecteurs ne signifie pas que ces vecteurs sont égaux.
Au sens même de la définition, deux vecteurs séparément égaux au troisième sont égaux entre eux. Évidemment, tous les vecteurs nuls sont égaux les uns aux autres.
De cette définition, il résulte immédiatement qu'en choisissant n'importe quel point A", on peut construire (et d'ailleurs un seul) vecteur A" B", égal à certains vecteur donné, ou, comme on dit, déplacez le vecteur vers le point A."
Commentaire. Pour les vecteurs, il n'y a pas de concepts de « plus » ou de « moins », c'est-à-dire ils sont égaux ou inégaux.
Un vecteur dont la longueur est égale à un est appelé célibataire vecteur et est noté e. Un vecteur unitaire dont la direction coïncide avec la direction du vecteur a est appelé ortom vecteur et est noté a.
3. À propos d'une autre définition d'un vecteur. Notez que le concept d'égalité des vecteurs diffère considérablement du concept d'égalité, par exemple des nombres. Chaque nombre n'est égal qu'à lui-même, c'est-à-dire deux nombres égaux en toutes circonstances peut être considéré comme le même numéro. Avec les vecteurs, comme on le voit, la situation est différente : par définition, il existe des vecteurs différents mais égaux. Bien que dans la plupart des cas nous n'ayons pas besoin de les distinguer, il se peut qu'à un moment donné nous nous intéressions au vecteur , et non à un autre vecteur égal A "B".
Afin de simplifier le concept d'égalité des vecteurs (et de supprimer certaines des difficultés qui y sont associées), ils vont parfois compliquer la définition d'un vecteur. Nous n'utiliserons pas cette définition compliquée, mais nous la formulerons. Pour éviter toute confusion, nous écrirons « Vecteur » (avec une majuscule) pour désigner la notion définie ci-dessous.
Définition 3. Soit un segment dirigé. L'ensemble de tous les segments orientés égaux à un segment donné au sens de la définition 2 est appelé Vecteur.
Ainsi, chaque segment orienté définit un Vecteur. Il est facile de voir que deux segments orientés définissent le même vecteur si et seulement s'ils sont égaux. Pour les Vecteurs, comme pour les nombres, l'égalité signifie coïncidence : deux Vecteurs sont égaux si et seulement s'ils sont le même Vecteur.
Dans un transfert parallèle d'espace, un point et son image forment une paire ordonnée de points et définissent un segment dirigé, et tous ces segments dirigés sont égaux au sens de la définition 2. Par conséquent, le transfert parallèle d'espace peut être identifié avec un vecteur composé de tous ces segments dirigés.
Il est bien connu dès le cours de physique initial qu'une force peut être représentée par un segment orienté. Mais il ne peut pas être représenté par un vecteur, puisque les forces représentées par des segments de direction égale produisent, en général, des actions différentes. (Si une force agit sur un corps élastique, alors le segment dirigé qui la représente ne peut pas être transféré même le long de la ligne droite sur laquelle il repose.)
Ce n'est qu'une des raisons pour lesquelles, à côté des vecteurs, c'est-à-dire des ensembles (ou, comme on dit, des classes) de segments égaux dirigés, il est nécessaire de considérer des représentants individuels de ces classes. Dans ces circonstances, l’application de la définition 3 devient plus difficile un grand nombre Réservations Nous nous en tiendrons à la définition 1, et selon sens général il sera toujours clair si nous parlons d'un vecteur bien défini, ou si quelqu'un d'égal à lui peut être substitué à sa place.
En lien avec la définition d'un vecteur, il convient d'expliquer le sens de certains mots trouvés dans la littérature.
Grandeurs scalaires et vectorielles
- Calcul vectoriel (par exemple, déplacement(s), force (F), accélération (a), vitesse (V) énergie (E)).
grandeurs scalaires entièrement déterminées en précisant leurs valeurs numériques (longueur (L), surface (S), volume (V), temps (t), masse (m), etc.) ;
- Grandeurs scalaires : température, volume, densité, potentiel électrique, énergie potentielle d'un corps (par exemple, dans un champ de gravité). Également le module de n'importe quel vecteur (par exemple, ceux répertoriés ci-dessous).
Grandeurs vectorielles : rayon vectoriel, vitesse, accélération, intensité du champ électrique, intensité du champ magnétique. Et plein d'autres :)
- une grandeur vectorielle a une expression numérique et une direction : vitesse, accélération, force, induction électromagnétique, déplacement, etc., et une grandeur scalaire n'a qu'une expression numérique : volume, densité, longueur, largeur, hauteur, masse (à ne pas confondre avec le poids), la température
- vecteur, par exemple, vitesse (v), force (F), déplacement (s), impulsion (p), énergie (E). Une flèche-vecteur est placée au-dessus de chacune de ces lettres. c'est pourquoi ils sont vectoriels. et les scalaires sont la masse (m), le volume (V), la surface (S), le temps (t), la hauteur (h)
- Les mouvements vectoriels sont des mouvements linéaires et tangentiels.
Les mouvements scalaires sont des mouvements fermés qui filtrent les mouvements vectoriels.
Les mouvements vectoriels se transmettent par des mouvements scalaires, comme par des intermédiaires, tout comme le courant se transmet d'atome à atome à travers un conducteur. - Grandeurs scalaires : température, volume, densité, potentiel électrique, énergie potentielle d'un corps (par exemple, dans un champ de gravité). Également le module de n'importe quel vecteur (par exemple, ceux répertoriés ci-dessous).
Grandeurs vectorielles : rayon vectoriel, vitesse, accélération, intensité du champ électrique, intensité du champ magnétique. Et plein d'autres:-
- Une grandeur scalaire (scalaire) est une grandeur physique qui n'a qu'une seule caractéristique : une valeur numérique.
Une quantité scalaire peut être positive ou négative.
Exemples de grandeurs scalaires : masse, température, trajet, travail, temps, période, fréquence, densité, énergie, volume, capacité électrique, tension, courant, etc.
Les opérations mathématiques avec des quantités scalaires sont des opérations algébriques.
Quantité de vecteur
Une grandeur vectorielle (vecteur) est une grandeur physique qui possède deux caractéristiques : module et direction dans l'espace.
Exemples de grandeurs vectorielles : vitesse, force, accélération, tension, etc.
Géométriquement, un vecteur est représenté comme un segment orienté d'une ligne droite, dont la longueur est adaptée au module du vecteur.
Quantité de vecteur (vecteur) est une grandeur physique qui a deux caractéristiques : le module et la direction dans l'espace.
Exemples de grandeurs vectorielles : vitesse (), force (), accélération (), etc.
Géométriquement, un vecteur est représenté comme un segment dirigé d'une ligne droite dont la longueur sur une échelle est la valeur absolue du vecteur.
Vecteur de rayon(généralement noté ou simplement) - un vecteur qui spécifie la position d'un point dans l'espace par rapport à un point préfixe, appelé l'origine.
Pour un point arbitraire dans l’espace, le rayon vecteur est le vecteur allant de l’origine à ce point.
La longueur du rayon vecteur, ou son module, détermine la distance à laquelle se trouve le point par rapport à l'origine, et la flèche indique la direction vers ce point dans l'espace.
Sur un plan, l'angle du rayon vecteur est l'angle dont le rayon vecteur tourne par rapport à l'axe des x dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
la ligne le long de laquelle un corps se déplace s'appelle trajectoire de mouvement. Selon la forme de la trajectoire, tous les mouvements peuvent être divisés en rectilignes et curvilignes.
La description du mouvement commence par une réponse à la question : comment la position du corps dans l'espace a-t-elle changé au cours d'une certaine période de temps ? Comment est déterminé un changement de position d’un corps dans l’espace ?
En mouvement- un segment orienté (vecteur) reliant la position initiale et finale du corps.
Vitesse(souvent noté , de l'anglais. rapidité ou fr. vitesse) est une grandeur physique vectorielle qui caractérise la vitesse de déplacement et la direction de déplacement d'un point matériel dans l'espace par rapport au système de référence sélectionné (par exemple, la vitesse angulaire). Le même mot peut être utilisé pour désigner une quantité scalaire, ou plus précisément, le module de la dérivée du rayon vecteur.
La science utilise également la vitesse pour dans un sens large, comme la vitesse de changement d'une quantité (pas nécessairement le rayon vecteur) en fonction d'une autre (change généralement dans le temps, mais aussi dans l'espace ou tout autre). Par exemple, ils parlent du taux de changement de température, du taux réaction chimique, vitesse de groupe, vitesse de connexion, vitesse angulaire, etc. Caractérisé mathématiquement par la dérivée de la fonction.
Accélération(généralement désignée en mécanique théorique), la dérivée de la vitesse par rapport au temps est une quantité vectorielle montrant à quel point le vecteur vitesse d'un point (corps) change à mesure qu'il se déplace par unité de temps (c'est-à-dire que l'accélération prend en compte non seulement le changement de l'ampleur de la vitesse, mais aussi sa direction).
Par exemple, à proximité de la Terre, un corps tombant sur Terre, dans le cas où la résistance de l'air peut être négligée, augmente sa vitesse d'environ 9,8 m/s chaque seconde, c'est-à-dire que son accélération est égale à 9,8 m/s².
La branche de la mécanique qui étudie le mouvement dans l'espace euclidien tridimensionnel, son enregistrement, ainsi que l'enregistrement des vitesses et des accélérations dans divers systèmes de référence, est appelée cinématique.
L'unité d'accélération est le mètre par seconde par seconde ( m/s 2, m/s 2), il existe également une unité non-système Gal (Gal), utilisée en gravimétrie et égale à 1 cm/s 2.
Dérivée de l'accélération par rapport au temps, c'est-à-dire la quantité caractérisant le taux de variation de l'accélération dans le temps est appelée secousse.
Le mouvement le plus simple d’un corps est celui dans lequel tous les points du corps se déplacent de manière égale, décrivant les mêmes trajectoires. Ce mouvement s'appelle progressive. On obtient ce type de mouvement en déplaçant l'éclat de manière à ce qu'il reste à tout moment parallèle à lui-même. Lors du mouvement vers l'avant, les trajectoires peuvent être des lignes droites (Fig. 7, a) ou courbes (Fig. 7, b).
Il peut être prouvé que lors d’un mouvement de translation, toute ligne droite tracée dans le corps reste parallèle à elle-même. Il est pratique d'utiliser cette caractéristique pour répondre à la question de savoir si un mouvement corporel donné est translationnel. Par exemple, lorsqu'un cylindre roule le long d'un plan, les droites coupant l'axe ne restent pas parallèles à elles-mêmes : le roulage n'est pas un mouvement de translation. Lorsque la barre transversale et le carré se déplacent le long de la planche à dessin, toute ligne droite qui y est tracée reste parallèle à elle-même, ce qui signifie qu'ils avancent (Fig. 8). L'aiguille d'une machine à coudre, le piston dans le cylindre d'une machine à vapeur ou d'un moteur se déplace progressivement combustion interne, la carrosserie (mais pas les roues !) lors de la conduite sur route droite, etc.
Un autre type de mouvement simple est mouvement de rotation corps, ou rotation. Lors d'un mouvement de rotation, tous les points du corps se déplacent en cercles dont les centres se trouvent sur une ligne droite. Cette ligne droite est appelée axe de rotation (ligne droite 00" sur la figure 9). Les cercles se trouvent dans des plans parallèles perpendiculaires à l'axe de rotation. Les points du corps situés sur l'axe de rotation restent stationnaires. La rotation n'est pas un mouvement de translation : lorsque l'axe tourne OO" . Les trajectoires représentées restent parallèles uniquement aux droites parallèles à l'axe de rotation.
Corps absolument solide- le deuxième objet support de la mécanique avec le point matériel.
Il existe plusieurs définitions :
1. Un corps absolument rigide est un concept modèle de la mécanique classique, désignant un ensemble de points matériels dont les distances sont maintenues lors de tout mouvement effectué par ce corps. En d’autres termes, un corps absolument solide non seulement ne change pas de forme, mais maintient également la répartition de la masse à l’intérieur inchangée.
2. Un corps absolument rigide est un système mécanique qui ne possède que des degrés de liberté en translation et en rotation. « Dureté » signifie que le corps ne peut pas être déformé, c'est-à-dire qu'aucune autre énergie ne peut être transférée au corps autre que l'énergie cinétique du mouvement de translation ou de rotation.
3. Absolument solide- un corps (système) dont la position relative des points ne change pas, quels que soient les processus auxquels il participe.
Dans l'espace tridimensionnel et en l'absence de connexions, un corps absolument rigide possède 6 degrés de liberté : trois en translation et trois en rotation. L'exception est une molécule diatomique ou, dans le langage de la mécanique classique, une tige solide d'épaisseur nulle. Un tel système ne possède que deux degrés de liberté en rotation.
Fin du travail -
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Une hypothèse non prouvée et non réfutée est appelée un problème ouvert.
La physique est étroitement liée aux mathématiques ; les mathématiques fournissent un appareil à l'aide duquel les lois physiques peuvent être formulées avec précision.. théorie considération grecque.. méthode standard de test des théories vérification expérimentale directe critère d'expérimentation de la vérité, quelle que soit la fréquence.
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En mathématiques, un vecteur est un segment orienté d'une certaine longueur. En physique, une quantité vectorielle est comprise comme description complète une quantité physique qui a un module et une direction d'action. Considérons les propriétés de base des vecteurs, ainsi que des exemples de grandeurs physiques vectorielles.
Scalaires et vecteurs
Les quantités scalaires en physique sont des paramètres qui peuvent être mesurés et représentés par un seul nombre. Par exemple, la température, la masse et le volume sont des scalaires car ils sont mesurés respectivement en degrés, kilogrammes et mètres cubes.
Dans la plupart des cas, il s’avère que le nombre définissant une grandeur scalaire ne contient pas d’informations complètes. Par exemple, en considérant ceci caractéristiques physiques, comme accélération, il ne suffira pas de dire qu'elle est égale à 5 m/s 2, puisqu'il faut savoir où elle est dirigée, contre la vitesse du corps, sous un certain angle par rapport à cette vitesse ou autrement. Outre l’accélération, un exemple de quantité vectorielle en physique est la vitesse. Cette catégorie comprend également la force, l’intensité du champ électrique et bien plus encore.
Selon la définition d'une quantité vectorielle comme un segment dirigé dans l'espace, elle peut être représentée comme un ensemble de nombres (composantes vectorielles) si elle est considérée dans un certain système de coordonnées. Le plus souvent en physique et en mathématiques, des problèmes surviennent qui, pour décrire un vecteur, nécessitent la connaissance de ses deux (problèmes sur un plan) ou trois (problèmes dans l'espace) composantes.
Définition d'un vecteur dans un espace à n dimensions
Dans un espace à n dimensions, où n est un nombre entier, un vecteur sera déterminé de manière unique si ses n composantes sont connues. Chaque composante représente la coordonnée de la fin du vecteur le long de l'axe de coordonnées correspondant, à condition que le début du vecteur soit à l'origine du système de coordonnées de l'espace à n dimensions. En conséquence, le vecteur peut être représenté comme suit : v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), où a 1 - valeur scalaire 1ère composante du vecteur v. En conséquence, dans l'espace à 3 dimensions, le vecteur s'écrira v = (a 1, a 2, a 3) et dans l'espace à 2 dimensions - v = (a 1, a 2).
Comment désigne-t-on une quantité vectorielle ? Tout vecteur dans des espaces unidimensionnels, bidimensionnels et tridimensionnels peut être représenté comme un segment orienté situé entre les points A et B. Dans ce cas, il est noté AB →, où la flèche indique qu'il s'agit d'un quantité vectorielle. La séquence de lettres est généralement indiquée du début du vecteur jusqu'à sa fin. Cela signifie que si les coordonnées des points A et B, par exemple, dans un espace tridimensionnel, sont respectivement égales à (x 1, y 1, z 1) et (x 2, y 2, z 2), alors le les composantes du vecteur AB → seront égales (x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1).
Représentation graphique du vecteur
Dans les dessins, il est d'usage de représenter une grandeur vectorielle sous la forme d'un segment ; à son extrémité se trouve une flèche indiquant la direction d'action de la grandeur physique dont elle est une représentation. Ce segment est généralement signé, par exemple, v → ou F →, afin qu'il soit clair de quelle caractéristique nous parlons.
Une représentation graphique d'un vecteur permet de comprendre où la grandeur physique est appliquée et dans quelle direction elle agit. De plus, il est pratique d’effectuer de nombreuses opérations mathématiques sur des vecteurs en utilisant leurs images.
Opérations mathématiques sur les vecteurs
Les quantités vectorielles, tout comme les nombres ordinaires, peuvent être ajoutées, soustraites et multipliées entre elles et avec d'autres nombres.
La somme de deux vecteurs est comprise comme le troisième vecteur, qui est obtenu si les paramètres sommés sont disposés de manière à ce que la fin du premier coïncide avec le début du deuxième vecteur, puis reliez le début du premier et la fin du deuxième. Pour réaliser cette opération mathématique, trois méthodes principales ont été développées :
- La méthode du parallélogramme consiste à construire figure géométrique sur deux vecteurs provenant du même point de l’espace. La diagonale de ce parallélogramme, qui s'étend à partir du point commun d'origine des vecteurs, sera leur somme.
- La méthode des polygones, dont l'essence est que le début de chaque vecteur suivant doit être situé à la fin du précédent, puis le vecteur total reliera le début du premier et la fin du dernier.
- Méthode analytique qui consiste à additionner par paires les composantes correspondantes de vecteurs connus.
Quant à la différence des quantités vectorielles, elle peut être remplacée en ajoutant le premier paramètre par celui de sens opposé au second.
La multiplication d'un vecteur par un certain nombre A s'effectue par règle simple: Chaque composante du vecteur doit être multipliée par ce nombre. Le résultat est aussi un vecteur dont le module est A fois supérieur à celui d'origine, et la direction est soit la même, soit opposée à celle d'origine, tout dépend du signe du nombre A.
Vous ne pouvez pas diviser un vecteur ou un nombre par celui-ci, mais diviser un vecteur par le nombre A équivaut à multiplier par le nombre 1/A.
Produit scalaire et croisé
La multiplication vectorielle peut être effectuée en utilisant deux différentes façons: scalaire et vectoriel.
Le produit scalaire des quantités vectorielles est une méthode de multiplication de celles-ci, dont le résultat est un nombre, c'est-à-dire un scalaire. DANS forme matricielle produit scalaire s'écrit comme la composante ligne du 1er vecteur dans la composante colonne du 2ème. En conséquence, dans l'espace à n dimensions, nous obtenons la formule : (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .
Dans un espace tridimensionnel, le produit scalaire peut être défini différemment. Pour ce faire, vous devez multiplier les modules des vecteurs correspondants par le cosinus de l'angle qui les sépare, c'est-à-dire (A → *B →) = |A → |*|B → |*cos(θ AB). De cette formule, il résulte que si les vecteurs sont dirigés dans la même direction, alors le produit scalaire est égal à la multiplication de leurs modules, et si les vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres, alors il s'avère nul. Notez que le module d'un vecteur dans un système de coordonnées rectangulaires est défini comme Racine carréeà partir de la somme des carrés des composantes de ce vecteur.
Le produit vectoriel s'entend comme la multiplication d'un vecteur par un vecteur dont le résultat est également un vecteur. Sa direction s'avère perpendiculaire à chacun des paramètres multipliés, et la longueur est égale au produit des modules des vecteurs et du sinus de l'angle entre eux, c'est-à-dire A → x B → = |A → | *|B → |*sin(θ AB), où le signe « x » désigne le produit vectoriel. Sous forme matricielle, ce type de produit est représenté comme un déterminant dont les lignes sont les vecteurs élémentaires d'un système de coordonnées donné et les composantes de chaque vecteur.
À la fois scalaire et illustrations vectorielles utilisé en mathématiques et en physique pour déterminer de nombreuses quantités, par exemple l'aire et le volume de figures.
Vitesse et accélération
En physique, la vitesse est comprise comme la vitesse de changement de l'emplacement d'un point matériel donné. La vitesse est mesurée en unités SI en mètres par seconde (m/s) et est désignée par le symbole v → . L'accélération fait référence à la vitesse à laquelle la vitesse change. L'accélération est mesurée en mètres par seconde carrée (m/s2) et est généralement désignée par le symbole a →. La valeur de 1 m/s2 signifie que pour chaque seconde, le corps augmente sa vitesse de 1 m/s.
La vitesse et l'accélération sont des grandeurs vectorielles qui participent aux formules de la deuxième loi de Newton et du déplacement d'un corps en tant que point matériel. La vitesse est toujours dirigée dans la direction du mouvement, mais l’accélération peut être dirigée de n’importe quelle manière par rapport au corps en mouvement.
Force de grandeur physique
La force est une grandeur physique vectorielle qui reflète l’intensité de l’interaction entre les corps. Elle est désignée par le symbole F → et mesurée en newtons (N). Par définition, 1 N est une force capable de modifier la vitesse d’un corps pesant 1 kg de 1 m/s par seconde.
Cette grandeur physique est largement utilisée en physique, puisque les caractéristiques énergétiques des processus d'interaction y sont associées. La nature de la force peut être très différente, par exemple les forces gravitationnelles des planètes, la force qui fait bouger une voiture, les forces élastiques des milieux solides, les forces électriques qui décrivent le comportement. charges électriques, les forces magnétiques et nucléaires qui déterminent la stabilité des noyaux atomiques, etc.
Pression de quantité vectorielle
Une autre grandeur étroitement liée à la notion de force est la pression. En physique, on entend par projection normale une force sur la zone sur laquelle elle agit. Puisque la force est un vecteur, alors, selon la règle de multiplication d'un nombre par un vecteur, la pression sera également une quantité vectorielle : P → = F → /S, où S est l'aire. La pression est mesurée en pascals (Pa), 1 Pa est le paramètre auquel une force perpendiculaire de 1 N agit sur une surface de 1 m2. D’après la définition, le vecteur pression est dirigé dans la même direction que le vecteur force.
En physique, la notion de pression est souvent utilisée dans l'étude des phénomènes dans les liquides et les gaz (par exemple, la loi de Pascal ou l'équation d'état des gaz parfaits). La pression est étroitement liée à la température d'un corps, puisque l'énergie cinétique des atomes et des molécules, dont la représentation est la température, explique la nature même de l'existence de la pression.
Intensité du champ électrique
Il existe un champ électrique autour de tout corps chargé dont la force caractéristique est son intensité. Cette intensité est définie comme la force agissant en un point donné du champ électrique sur une charge unitaire placée en ce point. L'intensité du champ électrique est désignée par la lettre E → et est mesurée en newtons par coulomb (N/C). Le vecteur d'intensité est dirigé le long de la ligne de champ électrique dans sa direction si la charge est positive, et contre elle si la charge est négative.
L'intensité du champ électrique créé par une charge ponctuelle peut être déterminée à tout moment à l'aide de la loi de Coulomb.
Induction magnétique
Le champ magnétique, comme l’ont montré les scientifiques Maxwell et Faraday au XIXe siècle, est étroitement lié au champ électrique. Ainsi, un champ électrique changeant génère un champ magnétique, et vice versa. Par conséquent, les deux types de champs sont décrits en termes de phénomènes physiques électromagnétiques.
L'induction magnétique décrit les propriétés de force d'un champ magnétique. L'induction magnétique est-elle une quantité scalaire ou vectorielle ? Cela peut être compris en sachant qu'elle est déterminée par la force F → agissant sur une charge q, qui vole à une vitesse v → dans un champ magnétique, selon la formule suivante : F → = q*|v → x B → |, où B → - induction magnétique. Ainsi, en répondant à la question de savoir si l’induction magnétique est une quantité scalaire ou vectorielle, nous pouvons dire qu’il s’agit d’un vecteur dirigé du pôle magnétique nord vers le sud. B est mesuré → en teslas (T).
Candela de quantité physique
Un autre exemple de grandeur vectorielle est la candela, qui est introduite en physique comme le flux lumineux, mesuré en lumens, traversant une surface délimitée par un angle de 1 stéradian. Candela reflète la luminosité de la lumière car elle indique la densité du flux lumineux.