Enseigner la planimétrie dans un cours scolaire

26.09.2019

Enseignement de la planimétrie dans un cours scolaire.

Lycée n°000

Lycée n°000.

"Si la même tâche est confiée

deux également l'ignorent

des gens et l'un d'eux est un mathématicien,

alors un mathématicien le fera mieux »,

Introduction

Maîtriser presque tous les métiers modernes nécessite certaines connaissances mathématiques. Idée sur le rôle des mathématiques dans monde moderne, les connaissances mathématiques sont devenues une composante nécessaire culture générale. Pour la réalisation de soi dans la vie, la possibilité d'une activité productive dans monde de l'information Une formation mathématique assez solide est requise.

Le rôle et la place des mathématiques dans la science et la vie de la société, la valeur de l'enseignement mathématique, l'humanisation et l'humanisation de l'éducation, la compréhension du sujet mathématique et la structure de la personnalité déterminent les objectifs de l'enseignement mathématique. On distingue trois groupes d'objectifs, les mettant en corrélation avec des fonctions pédagogiques générales, pédagogiques et pratiques.

Ø L'enseignement mathématique comprend la maîtrise d'un système de connaissances, d'aptitudes et de compétences mathématiques qui donnent une idée du sujet des mathématiques, de son langage et de son symbolisme, des périodes de développement, de la modélisation mathématique, des techniques mathématiques spéciales et des méthodes scientifiques générales de base de cognition.

Ø Formation de la vision du monde des étudiants, des composantes logiques et heuristiques de la pensée, de l'éducation à la moralité, de la culture de la communication, de l'indépendance, de l'activité, de l'éducation au travail acharné, de la responsabilité de la prise de décision et du désir de réalisation de soi.

Ø La spécification des objectifs des composants individuels est importante pour construire un ensemble d'objectifs de cours et l'adéquation au contenu disciplinaire du matériel pédagogique. La transformation des objectifs pédagogiques en actions permettra de diagnostiquer et de gérer le processus d'acquisition de connaissances, de compétences, de développement et d'éducation d'un élève.

Au niveau du processus éducatif lui-même, les objectifs d'apprentissage sont formés en tenant compte des caractéristiques des étudiants et des possibilités de différenciation de leurs apprentissages.

Dans le processus d’activité mathématique des élèves, l’arsenal de techniques et de méthodes de pensée comprend l’induction et la déduction, la généralisation et la spécification, l’analyse et la synthèse, la classification et la systématisation, l’abstraction et l’analogie. Les objets d'inférences mathématiques et les règles de leur construction révèlent le mécanisme des constructions logiques, développent la capacité de formuler, justifier et prouver des jugements, développant ainsi la pensée logique. Le rôle principal appartient aux mathématiques dans la formation de la pensée algorithmique, développant la capacité d'agir selon un algorithme donné et d'en construire de nouveaux au cours de la résolution de problèmes, base des activités éducatives dans les cours de mathématiques. Les côtés créatifs et appliqués de la pensée se développent.

objections à la réduction du cours de mathématiques à l'école ;

· évaluation du programme de cours comme surchargé d'informations inutiles ou trop particulières (par exemple, beaucoup de formules à mémoriser) ;

· conversations sur l'insuffisance évidente des heures allouées aux mathématiques (en tant que principal outil de développement pensée logiqueécoliers, etc.) ;

exigences du cours de mathématiques à l'école et des examens d'entrée ; qualifications des professeurs de mathématiques, car toute réforme pédagogique, toute restructuration du programme n'est vouée au succès que si les enseignants y sont préparés à l'avance et de manière globale.

Actuellement, les enseignants disposent dans leur arsenal de nombreux manuels pour chaque parallèle. Lors du choix d'un système particulier, chaque enseignant part naturellement de ses propres critères et des spécificités de l'établissement d'enseignement. Il faut cependant prendre en compte la possibilité de mettre en œuvre des liaisons successives entre les formations, et analyser également la possibilité d'organiser des formations différenciées. L'enseignant, en fonction des conditions de travail spécifiques et du niveau de préparation des étudiants, peut organiser un processus pédagogique à part entière. L'étudiant a une réelle opportunité, en étudiant dans la même classe et selon le même programme, de choisir le niveau d'apprentissage qui correspond à ses besoins, ses intérêts et ses capacités. La minimum obligatoire en mathématiques détermine la liste des questions qui doivent être présentées dans le programme et les manuels de mathématiques, quels que soient leur niveau et leur orientation. En d’autres termes, les programmes et manuels spécifiques utilisés dans une institution particulière peuvent augmenter ce niveau, mais pas le réduire ou le réduire.

Le choix du niveau de préparation mathématique doit être déterminé par les besoins des étudiants. les établissements d'enseignement dans les sciences humaines, le droit et d'autres domaines, il est conseillé d'utiliser un programme approfondi en mathématiques, car leurs diplômés fréquentent également des universités techniques ; de plus, des études sérieuses en mathématiques sont nécessaires à la formation et au développement de la pensée logique.

L'essence de la géométrie est contradictoire : "... elle étudie directement des figures géométriques idéales qui n'existent pas dans la réalité, mais ses conclusions sont applicables aux choses réelles, aux problèmes pratiques." La tâche de tout enseignant est de rapprocher les élèves de leur compréhension, sans masquer la géométrie elle-même aux élèves avec de nombreuses enquêtes, tests, tests, et en permettant aux enfants de choisir leur propre niveau de connaissance de la géométrie. Chaque choix est à la hauteur de l'objectif auquel l'élève est confronté, parfois déterminé intuitivement, mais librement. Souvent, l’adhésion persistante à un objectif fixé et la persistance à l’atteindre n’ont aucun sens, surtout si l’objectif de l’enseignant n’est pas celui de l’élève. Cela vaut probablement la peine d’essayer d’apprendre à organiser les activités des élèves dans les cours de géométrie pour qu’ils ne soient pas contraints par nos objectifs, nos questions, pour qu’ils soient ouverts à toutes sortes de perceptions. Un enfant va à l'école avec beaucoup de questions, mais l'école elle-même lui a préparé plusieurs fois plus de questions. Elle répond elle-même à ses questions, et se met même en colère lorsque ses réponses sont mal reçues.

L'une des voies de connaissance comprend les étapes suivantes : une pensée, une chaîne de pensées et enfin, un résultat souhaité de la recherche strictement justifié logiquement. Je souhaite mettre en œuvre la deuxième voie, plus ouverte, à travers un ensemble généreux de tâches proposées pour chaque sujet. En utilisant ce chemin, la pensée n'inhibe pas la fantaisie, ne ferme pas la recherche intuitive, il n'y a pas de poursuite des pensées, il n'y a pas de saut rapide vers le but, mais la perception et l'observation calmes et sans hâte règnent, la sensibilité apparaît, semble-t-il. être étranger, mais parfois c'est cet étranger qui enrichit la recherche, mène au but. Combien de fois en classe bousculons-nous les enfants, les poussant comme un fouet avec les mots : « Réfléchissez. Pense." Ou peut-être est-il vrai que quelqu’un qui cherche excessivement n’a pas le temps de trouver ?

Notre tâche est de rechercher des chemins menant à la connaissance de la géométrie. Nous réfléchirons à la manière d'aider les enfants à découvrir par eux-mêmes des vérités, les vérités de la géométrie. Par quoi un enseignant doit-il être guidé, quelles tactiques et stratégies doit-il choisir ? Que doit faire un enseignant en classe ? Devons-nous défendre les connaissances, les capacités, les compétences, en affirmant que la connaissance est un pouvoir, ou essayer de toutes nos forces d'organiser le processus éducatif de manière à ce que la connaissance n'éclipse pas la connaissance, ne détourne pas l'âme de l'enfant de la connaissance.

Peut-être que la sagesse d'un enseignant réside dans la connaissance des secrets de la découverte, des secrets de la cognition et, en particulier, des secrets de la géométrie, dans la capacité de créer une atmosphère en classe qui facilite la maîtrise de ces méthodes de perception et de cognition. La logique du professeur et la logique de l’élève, dans quel rapport doivent-elles être dans le cours ? Quoi de plus? Peut-être lorsque l'enseignant propose non pas une série de questions clairement réfléchies, mais une séquence de tâches, en réfléchissant sur lesquelles l'élève, sa pensée fait tout le travail nécessaire au moment précédant la découverte. La logique de l’enseignant est alors en relation nécessaire avec la logique de l’élève. Ou peut-être que la base de la recherche devrait être de choisir l'intuition, de la libérer, de la stimuler, de s'appuyer sur elle ? Ou autre chose?

Peut-être que parmi tous les manuels et parmi toutes les leçons, le manuel de la 7e année est le plus important et la première leçon est la plus responsable, car ils introduisent un cours systématique à l'étude. Dès les premiers cours, dès la lecture des toutes premières pages du manuel, cela dépend de la réussite du processus d'apprentissage et de la capacité des élèves à développer un intérêt durable pour la matière. Aucun étudiant n'est empêché d'étudier un cours de géométrie à quelque niveau que ce soit. Le seul obstacle n'est peut-être pas la complexité du matériel, ni la difficulté de la présentation, mais le manque d'intérêt pour la lecture des pages suivantes du manuel. Cependant, après avoir étudié la théorie même au tout premier niveau (visuel), l'étudiant peut résoudre n'importe quel problème sur ce sujet, puisqu'il aura suffisamment de connaissances pour le résoudre.

Passons à la caractérisation des niveaux de maîtrise du matériel pédagogique et expliquons à l'enseignant comment il peut découvrir le matériel lié à chacun d'eux.

Le premier niveau est l'enseignement général, humanitaire. Il comprend un contenu que chaque étudiant doit maîtriser. En géométrie, l’étude d’un tel matériau se fait à un niveau visuel, c’est pourquoi nous appelons le premier niveau visuel. Il comprend des définitions de concepts, accompagnées d'un grand nombre d'illustrations, de formulations de théorèmes, d'explications de leur signification dans des dessins et de déductions logiques simples.

Au deuxième niveau, le matériel du premier niveau s'agrandit, les problèmes appliqués sont résolus, il est montré comment les connaissances géométriques sont appliquées à la connaissance du monde. Nous appelons ce niveau le niveau application. A ce niveau, les étudiants doivent maîtriser les preuves de la plupart des théorèmes.

Enfin, le troisième niveau est un approfondissement significatif de la matière du premier niveau, une justification logique assez complète est donnée. Ce niveau avancé comprend les preuves de théorèmes et de problèmes théoriques les plus difficiles. Le troisième niveau est également problématique.

Nous avons identifié le premier niveau d'assimilation - visuelle - pratique, auquel les écoliers, comme les physiciens, obtiennent des informations par l'expérience. L'élève doit imaginer un objet, le décrire, résoudre des problèmes qui s'y rapportent tâche simple. Et peu importe s'il ne peut pas en même temps prononcer la définition avec précision. À ce niveau, une connaissance visuelle et opérationnelle du sujet est essentielle, contenant des représentations visuelles et la capacité de les utiliser correctement.

Lors de l'étude de la géométrie, il est nécessaire d'inviter les étudiants à formuler de manière indépendante une définition d'un concept particulier. Ceci n'est pas fait pour que les enfants le mémorisent ensuite, mais pour qu'en participant à ce processus, ils approfondissent le sens du concept, apprennent la structure de la définition elle-même et plusieurs formulations des théorèmes. Cela contribuera à une assimilation plus profonde du matériel pédagogique pertinent. Les découvertes des enfants sont une grande incitation à l'apprentissage.

Il est généralement admis qu’un cours de géométrie devrait enseigner la pensée logique. Cependant, de nombreux étudiants n’assimilent souvent pas tant la logique des formulations et des preuves qu’ils les mémorisent formellement. Un des premiers moyens de surmonter ce danger est de réduire le nombre de formulations et d'évidences que l'élève doit connaître (apprendre, mémoriser). Si nous voulons enseigner la pensée logique, nous devons alors enseigner cela, et non la mémorisation mécanique d'un raisonnement tout fait. Par conséquent, les formulations doivent être considérées davantage comme des exercices de développement de la pensée logique, et non comme des postulats qui doivent être connus par cœur. Il est utile pour les étudiants de comprendre, et de ne pas mémoriser sans réfléchir, autant de preuves que possible et de résoudre autant de problèmes de preuve que possible : c'est beaucoup plus agréable et utile pour l'étudiant s'il le découvre par lui-même et le fait au moins petite conclusion, et ne mémorisera pas les raisonnements des autres (sans compter, bien sûr, ceux qui sont particulièrement instructifs, pleins d’esprit et élégants).

La logique de la géométrie ne réside pas seulement dans les formulations individuelles, mais dans l'ensemble de leur système dans son ensemble. La signification de chaque définition, de chaque théorème et preuve n’est finalement déterminée que par ce système. Ce qui fait de la géométrie une théorie holistique et non un ensemble de définitions et d’énoncés individuels. Par conséquent, nous suggérons à nos collègues d'essayer de ne pas demander aux étudiants d'évaluer une seule preuve de théorèmes pendant un certain temps, mais de mener cette enquête jusqu'à la fin d'un sujet assez vaste comme un test théorique, ce que nous faisons au Lyceum. . Les enfants doivent s'habituer aux concepts et termes mêmes de « théorème », « donné », « prouver », « preuve » et en comprendre le sens. Bien entendu, les théorèmes doivent être prouvés. Il peut être nécessaire d'analyser leurs épreuves plus d'une fois en classe : frontalement en binôme, sur des dessins différents. Il est tout à fait acceptable que, de notre point de vue, avant de prouver le théorème, immédiatement après avoir analysé sa formulation, nous commencions à résoudre des problèmes. Et lorsque les élèves s’habituent à la formulation et comprennent sa signification, ils peuvent commencer à analyser la preuve. À ce stade, les élèves auront développé dans une certaine mesure un goût pour la recherche de la vérité. Respect pour elle.

Bien entendu, si l'enseignement se limite entièrement aux connaissances géométriques elles-mêmes, alors le développement des capacités de pensée logique et des éléments d'une vision scientifique du monde se fera uniquement dans le cadre de cette science. Par conséquent, l’enseignant doit constamment attirer l’attention des élèves sur le lien entre la géométrie et les autres sciences et pratiques et montrer l’importance universelle (et pas seulement pour la géométrie) de l’exigence de preuve et d’exactitude dans l’établissement de la vérité. Ce point est particulièrement important pour les étudiants qui n'ont pas suffisamment de motivation pour étudier la géométrie en tant que science, contrairement aux enfants motivés et intéressés qui n'ont pas besoin d'être poussés et stimulés pour résoudre des problèmes complexes et non standard, considèrent diverses options solutions. La pratique montre également que les élèves aiment écouter les histoires de l’enseignant sur l’histoire de la matière. Dans la première leçon, les élèves plus forts et intéressés peuvent être invités à résoudre simplement des problèmes qui sont beaux, intéressants et inhabituels dans leur forme et leurs méthodes de résolution. Des problèmes qui permettraient aux élèves de découvrir quelque chose de nouveau. Pour les élèves non motivés, le processus est important, ils veulent construire et dessiner des formes géométriques de leurs propres mains, et il faut répondre à leurs attentes surtout dès les premiers cours, leur proposer de dessiner des ornements comprenant diverses formes géométriques, puis le début émotionnel de ces cours sera assuré. La première leçon est importante ; elle, comme un diapason, donne le ton à l’ensemble de l’œuvre.

Je voudrais souligner une chose : désormais, alors qu'il n'y a pas d'examen obligatoire en géométrie, peut-être que la poursuite du savoir ne devrait pas détourner un enfant d'une science aussi belle et incroyablement utile que la géométrie ? Peut-être travailler en paix une fois dans votre vie. Pour que l'épée de Damoclès des notes et des appréciations ne pèse pas sur vous. Pour que dans la leçon, l'enseignant et l'élève soient égaux en connaissances et en potentiel. Avoir la GÉOMÉTRIE.

Quels problèmes de mathématiques élémentaires sont considérés comme les plus difficiles ? La plupart des lecteurs répondront probablement : géométrique. Pourquoi? Oui, car en algèbre, en trigonométrie et dans les principes de l'analyse mathématique, des séries entières d'algorithmes de résolution ont été développées. tâches typiques. S’il existe un algorithme, alors il existe un programme d’action, et donc les difficultés, si elles surviennent, sont le plus souvent de nature technique plutôt que fondamentale.

Les problèmes géométriques sont une autre affaire. En règle générale, il n'existe pas d'algorithmes pour les résoudre et choisir celui qui convient le mieux. ce cas un théorème à partir d’une longue liste de théorèmes n’est pas facile. La recette principale est donc de nature plus philosophique que didactique : si vous voulez apprendre à résoudre des problèmes géométriques, résolvez-les ! Cependant, il existe quelques principes généraux qu’il est utile de connaître lors de la résolution de problèmes géométriques. À propos de ces dispositions générales nous aimerions parler.

Lors de la résolution de problèmes géométriques, trois méthodes principales sont généralement utilisées : géométrique- lorsque l'énoncé requis est dérivé à l'aide d'un raisonnement logique à partir d'un certain nombre de théorèmes bien connus ; algèbrecéleste- lorsque la grandeur géométrique souhaitée est calculée en fonction de diverses dépendances entre des éléments de formes géométriques directement ou à l'aide d'équations ; combiné- quand à certaines étapes la solution est réalisée par la méthode géométrique, et à d'autres - par la méthode algébrique.

Quelle que soit la voie de solution choisie, le succès de son utilisation dépend naturellement de la connaissance des théorèmes et de la capacité de les appliquer. Sans considérer ici tous les théorèmes de la planimétrie, prêtons attention à ceux qui, d'une part, sont activement utilisés dans la résolution de problèmes, mais, d'autre part, comme le montre l'expérience, ne sont pas toujours « au premier niveau de la mémoire ». » parmi les étudiants. Il faut aimer ces théorèmes, en faire vos assistants, pour que vos élèves leur donnent la préférence.

Exprimons ces théorèmes et montrons comment ils fonctionnent à l'aide de problèmes spécifiques.

En règle générale, lors de la résolution de problèmes, les étapes individuelles du raisonnement sont enregistrées. Ceci est fait par commodité, pour permettre de suivre plus facilement la progression du raisonnement. Et je tiens aussi à préciser : les tâches seront de difficulté variable, mais celles qui sont les plus utiles à l'enseignant d'un point de vue méthodologique.

TRIANGLES ET QUADRAGONS.

Lors de la résolution de problèmes concernant les triangles et les quadrilatères, prêtons attention aux théorèmes suivants :

THÉORÈME 1. Égalité des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires :

Si les deux sont pointus ou les deux sont obtus et , alors .

THÉORÈME 2. Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze :

UN) ligne médiane le trapèze est parallèle aux bases du trapèze ;

B) la ligne médiane est égale à la moitié de la somme des bases du trapèze ;

C) la ligne médiane (et seulement elle) coupe en deux tout segment compris entre les bases du trapèze.

Ces propriétés sont également valables pour la ligne médiane d'un triangle, si l'on considère le triangle comme un trapèze « dégénéré » dont l'une des bases a une longueur égale à zéro.

THÉORÈME 3. Sur les points d'intersection des médianes, bissectrices, altitudes d'un triangle :

A) trois médianes d'un triangle se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle le centre de gravité du triangle) et se divisent en ce point dans un rapport de 2 : 1, en comptant à partir du sommet ;

B) trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point ;

C) trois altitudes se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle l'orthocentre du triangle).

THÉORÈME 4. Propriété de la médiane dans un triangle rectangle :

dans un triangle rectangle, la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci.

Le théorème inverse est également vrai : si dans un triangle une des médianes est égale à la moitié du côté vers lequel elle est tracée, alors ce triangle est rectangle

THÉORÈME 5. propriété de la bissectrice d'un angle interne d'un triangle :

La bissectrice d'un angle interne d'un triangle divise le côté vers lequel il est dessiné en parties proportionnelles aux côtés opposés :

THÉORÈME 6. Relations métriques dans un triangle rectangle :

Siun etb – les jambes,c – hypoténuse,h est la hauteur, et sont les projections des jambes sur l'hypoténuse, alors : a) ; b) ; V) ; G) ; d)

THÉORÈME 7. Détermination du type de triangle en fonction de ses côtés :

Laisserun,b,c sont les côtés du triangle, c étant le plus grand côté ; Alors:

A) si , alors le triangle est aigu ;

B) si , alors le triangle est rectangle ;

C) si , alors le triangle est obtus.

THÉORÈME 8. Relations métriques dans un parallélogramme :

La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de tous ses côtés :

Lors de la résolution de problèmes géométriques, il faut souvent établir l'égalité de deux segments (ou angles). Indiquons trois manières principales de prouver géométriquement l’égalité de deux segments :

1) considérer les segments comme les côtés de deux triangles et prouver que ces triangles sont égaux ;

2) représenter les segments comme les côtés d'un triangle et prouver que ce triangle est isocèle ;

3) remplacer le segment UN un segment égal https://pandia.ru/text/78/456/images/image008_12.gif" width="17" height="19 src=">et prouver l'égalité des segments et .

Tache 1.Deux lignes mutuellement perpendiculaires coupent les côtésUN B,AVANT JC.CD,carré ADABCD aux pointsE,F,K,L en conséquence. Prouve-leEK =FL (voir figure pour la tâche n°1).

Solution: 1. En utilisant le premier des chemins ci-dessus pour l'égalité de deux segments, nous dessinons les segments et - puis les segments qui nous intéressent E.K. Et FL devenir les côtés de deux triangles rectangles EPK Et FML(voir figure pour la tâche n°1) .

2 . Nous avons: PC =FM(plus de détails: PC =ANNONCE.AD=UN B,AB =FM signifiePC =FM),(sous forme d'angles à côtés mutuellement perpendiculaires, théorème 1). Cela signifie (le long de la jambe et de l'angle aigu). De l'égalité des triangles rectangles découle l'égalité de leurs hypoténuses, c'est-à-dire des segments E.K. Et FL. ■

Notez que lors de la résolution de problèmes géométriques, il faut souvent réaliser des constructions supplémentaires, par exemple les suivantes : tracer une droite parallèle ou perpendiculaire à l'une de celles de la figure (comme nous l'avons fait dans la tâche 1) ; doubler la médiane du triangle afin de compléter le triangle en un parallélogramme (nous le ferons dans le problème 2), en traçant une bissectrice auxiliaire. Il existe des constructions supplémentaires utiles liées au cercle.

Tâche 2.Les côtés sont égauxun,b,c. Calculez la médiane tracée du côté c (voir la figure pour le problème 2).

Solution: Doublons la médiane en la construisant jusqu'au parallélogramme ACVR, et appliquons le théorème 8 à ce parallélogramme. On obtient : , c'est-à-dire , où l'on trouve :

Tâche 3.Montrer que dans tout triangle, la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre, mais inférieure au périmètre.

Solution: 1. Considérez https://pandia.ru/text/78/456/images/image036_6.gif" width="131" height="41"> ; . Parce que AM + MS > AC, Que

https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt="(!LANG : Signature :" align="left" width="148" height="32">Проведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим:!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image041_3.gif" width="111" height="41 src="> (3)

En additionnant les inégalités (1), (2), (3), on obtient : ,

c'est-à-dire que nous avons prouvé que la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre.

2. Doublons la médiane BD, complétant le triangle en un parallélogramme (voir la figure du problème 3)..gif" width="80" height="24 src="> (4)

De même : https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt="(!LANG : Légende : Fig. pour la tâche n°3" align="left hspace=12" width="148" height="32"> (6)!}

En ajoutant les inégalités (4), (5), (6), nous obtenons : https://pandia.ru/text/78/456/images/image049_2.gif" align="left" width="159" height=" 93 "> Solution: Soit DIA un triangle rectangle, https://pandia.ru/text/78/456/images/image051_2.gif" width="233" height="21"> (voir figure pour le problème 4).

1. comme angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires (https://pandia.ru/text/78/456/images/image054_2.gif" alt="(!LANG : Signature :" align="left" width="148" height="33">!} 2. Puisque (voir Théorème 4), alors SM = MV, et alors nous concluons que So,

3. Puisque et (après tout, CD est une bissectrice), c'est ce qu'il fallait prouver. ■

Tâche 5. Dans un parallélogramme à côtésun Etb les bissectrices des angles internes sont dessinées (voir figure du problème 5). Trouver les longueurs des diagonales du quadrilatère formé à l'intersection des bissectrices.

Solution: 1 ..gif" width="27 height=17" height="17">(voir figure). puisque dans un parallélogramme c'est-à-dire alors Cela signifie que dans le triangle ABC la somme des angles A et B est égale à 900, alors l'angle K est égal à 900, c'est-à-dire que les bissectrices AE et BP sont perpendiculaires entre elles.

De même, la perpendiculaire mutuelle des bissectrices AE et DQ, BP et CF, CF et DQ est prouvée.

SORTIE : KLMN est un quadrilatère à angles droits, c'est-à-dire un rectangle. Un rectangle a des diagonales égales, il suffit donc de trouver la longueur de l'une d'elles, par exemple KM.

2. Considérons qu'Il a AK - à la fois la bissectrice et la hauteur. Cela signifie tout d’abord que le triangle ABP est isocèle, c’est-à-dire AB = AP = b, et, d'autre part, que le segment AK est simultanément la médiane du triangle ABP, c'est-à-dire que K est le milieu de la bissectrice BP.

On prouve de la même manière que M est le milieu de la bissectrice DQ.

3. Considérons le segment KM. Il coupe en deux les segments BP et DQ. Mais la ligne médiane d'un parallélogramme (notez qu'un parallélogramme est un cas particulier de trapèze ; si on peut parler de la ligne médiane d'un trapèze, alors on peut tout aussi bien parler de la ligne médiane d'un parallélogramme, qui a la même propriétés) passe par les points K et M (voir théorème 2). Cela signifie que KM est un segment sur la ligne médiane, et donc .

4. Puisque et , alors KMDP est un parallélogramme, et donc

Répondre: ■

En fait, en train de résoudre le problème (aux étapes 1 et 2), nous avons prouvé une propriété assez importante : les bissectrices des angles adjacents au côté du trapèze se coupent à angle droit en un point situé sur la ligne médiane du trapèze.

Il convient de noter que la principale méthode de composition des équations dans les problèmes géométriques est méthode élément de support, qui est la suivante : un même élément (côté, angle, aire, rayon, etc.) s'exprime en grandeurs connues et inconnues par deux différentes façons et les expressions résultantes sont assimilées.

Bien souvent, une zone est choisie comme élément de référence Les figures. Alors on dit que pour construire l’équation on utilise méthode des zones.

Il est nécessaire d’apprendre aux écoliers à résoudre des problèmes de base, c’est-à-dire des problèmes techniques. Qui sont inclus en tant que composants dans de nombreuses autres tâches. Il s'agit par exemple de problèmes de recherche des éléments de base d'un triangle : médiane, hauteur, bissectrice, rayons de cercle inscrit et circonscrit, aire.

Tâche 6. Dans le triangle ABC, les côtés AB et BC sont égaux et BH est la hauteur. Un point est pris du côté de la Colombie-BritanniqueD pour que (voir figure pour le problème 6). Dans quel rapport est le segmentAD divise la hauteur de VN ?

Solution: 1. Soit BD = un, alors CD = 4 un, AB = 5a.

2. Traçons un segment (voir figure du problème 6) Puisque NK est la ligne médiane du triangle ACD DK = KC = 2 un .

3. Considérons le triangle VNK. On a : BD = un,

NSP = 2un et https://pandia.ru/text/78/456/images/image080_2.gif" width="84" height="41"> mais Cela signifie que ■

Si le problème nécessite de trouver le rapport de certaines - ou quantités, alors, en règle générale, le problème est résolu en utilisant la méthode des paramètres auxiliaires. Cela signifie qu'au début de la résolution du problème, nous déclarons une quantité linéaire connue, en la désignant, par exemple, par la lettre UN, puis l'exprimer à travers UN les quantités dont le rapport doit être trouvé. Lorsque la relation requise est construite, le paramètre auxiliaire UN est en train de rétrécir. C'est exactement ainsi que nous avons agi face au problème . Nos conseils : lors de la résolution de problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver le rapport des quantités (en particulier dans les problèmes de détermination d'un angle - après tout, en règle générale, lors du calcul d'un angle, nous parlons de trouver son fonction trigonométrique, c'est-à-dire sur la relation des parties triangle rectangle), il faut apprendre aux élèves à mettre en évidence l'introduction d'un paramètre auxiliaire comme première étape de la résolution. La méthode des paramètres auxiliaires est également utilisée dans les problèmes où figure géométrique déterminé jusqu’à la similarité.

Tâche 7. Un rectangle s'inscrit dans un triangle de côtés égaux à 10, 17 et 21 cm de telle sorte que ses deux sommets soient d'un côté du triangle, et les deux autres sommets soient des deux autres côtés du triangle. Trouvez les côtés du rectangle si l'on sait que son périmètre est de 22,5 cm.

Solution. 1. Tout d’abord, déterminons le type de triangle. Nous avons : 102 = 100 ; 172 = 289 ; 212 = 441. Puisque 212 > 102 + 172, le triangle est obtus (voir Théorème 7), ce qui signifie qu'un rectangle ne peut s'y inscrire que d'une seule manière : en plaçant ses deux sommets sur le plus grand côté du triangle ABC ( voir la figure du problème 7 ), où AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

2. Trouvez la hauteur ВН du triangle ABC. BH = 8 cm.

3. Mettons ED=X. Alors FE = 11,25 –X(puisque le périmètre du rectangle DEFKégale à 22,5 cm), TA = 8 – x. Les triangles BEF et ABC sont similaires, ce qui signifie (dans les triangles similaires le rapport des hauteurs correspondantes est égal au coefficient de similarité), c'est-à-dire d'où on trouve x = 6.

Réponse : 6 cm, 5,25 cm.

Lors de la résolution du problème, nous avons utilisé l'affirmation selon laquelle dans des triangles similaires, non seulement les côtés, mais aussi les hauteurs correspondantes sont proportionnels. Un facteur plus général est le suivant, qui est, pour ainsi dire, un théorème de similarité généralisé :

Si deux triangles sont similaires, alors tout élément de ligne (ou somme d'éléments de ligne) d'un triangle est lié à l'élément de ligne correspondant (ou à la somme d'éléments de ligne correspondants) de l'autre triangle en tant que côtés correspondants.

En particulier, les rayons des cercles circonscrits ou inscrits, les périmètres, les altitudes correspondantes, les médianes et les bissectrices de deux triangles similaires sont liés comme des côtés correspondants.

Tâche 8.Dans le triangle ABC, l'angle A est 2 fois plus grand que l'angle C, le côté BC est 2 cm plus grand que le côté AB et AC = 5 cm Trouvez AB et BC.

Solution. 1. Traçons la bissectrice AD de l'angle A..gif" alt="(!LANG : Signature :" align="left" width="148" height="33">!} 3. Les triangles ABC et ABC sont semblables, puisque l'angle B de ces triangles est commun. De la similitude des triangles, nous concluons que c'est à dire.

4. Pour trouver X Et à on obtient un système de deux équations à deux inconnues : où

En soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons 5y – 10 = 2y, c'est-à-dire y = . Cela signifie, c'est-à-dire x = 4.

Réponse : AB = 4 cm ; BC = 6 cm.

Très souvent, lors de la composition des relations des côtés correspondants dans des triangles similaires dans des cas non triviaux (les cas triviaux de similitude étaient dans les problèmes 6 et 7 - le triangle était coupé de ce dernier par une droite parallèle à l'un de ses côtés) , ceux qui résolvent le problème. Ils commettent des erreurs purement techniques : soit ils confondent l'ordre des triangles (lequel est le premier et lequel est le deuxième), soit ils choisissent sans succès des paires de côtés comme correspondantes. Notre conseil : si la similitude des triangles ABC et DEF est établie, alors nous vous recommandons de procéder comme suit : « enfoncer » les côtés d'un triangle dans les numérateurs, par exemple comme ceci : Considérant que les côtés correspondants dans des triangles similaires sont ceux qui se trouvent en face d’angles égaux, trouvez les paires les plus simples de côtés correspondants ; s'il s'agit de AB et DE, BC et DF, alors écrivez : https://pandia.ru/text/78/456/images/image100_1.gif" align="left" width="121" height="96 src= " >b) afin que vous puissiez y installer env.circonférence, il faut et il suffit que les sommes des longueurs de ses côtés opposés soient égales.

THÉORÈME 5. Rapports métriques dans un cercle :

https://pandia.ru/text/78/456/images/image103_2.gif" alt="(!LANG : Signature : Fig. 2" align="left" width="76" height="29">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image105_2.gif" alt="(!LANG : Signature : Fig. 3" align="left" width="76" height="28">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image107_1.gif" width="13 height=19" height="19">, hypoténuse - c (voir figure). Calculez le rayon r du cercle inscrit.

Solution. 1. A partir du centre O du cercle inscrit, tracez des rayons jusqu'aux points de sa tangence avec les côtés du triangle ; en tenant compte du fait qu'ils sont perpendiculaires aux côtés correspondants (voir Théorème 1, a), puis en utilisant le Théorème 1, b, on marque des paires de segments égaux : CD= SE, AE= UN F,BD =B.F.(voir l'image).

2. Parce que EODC- carré (coins E,D, C- droit et UE= CD), alors OE =O.D.= CD = CE= r. Alors BD= UN -r, AE =b-r Et , respectivement, PC=BD = un– r,AF=AE =b–r.

3. Depuis UN B= AF+Facebook, Que c = (b-r) + (une –r), d'où .

A noter que si le problème concerne un cercle inscrit dans un triangle (ou un quadrilatère), alors il est presque toujours conseillé de tracer des rayons aux points de contact du cercle avec les côtés, en tenant compte du fait que les rayons seront perpendiculaires au correspondant côtés, et marquez immédiatement des paires de segments égaux dans le dessin (pour deux tangentes dessinées au cercle à partir d'un point donné). C'est ce que nous avons fait en résolvant le problème ci-dessus.

Faisons attention à la formule https://pandia.ru/text/78/456/images/image110_1.gif" width="43" height="44">, où S est l'aire, R.– demi-périmètre d'un triangle.

Concernant le rayon R. cercle circonscrit à un triangle, puis pour un triangle rectangle (l'hypoténuse est le diamètre d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle), pour un triangle non rectangle, la formule est généralement utilisée https://pandia.ru/text/78 /456/images/image114_1.gif" width="59 " height="41 src=">.

Problème 10. Étant donné un secteur circulaire rectangulaire.Un cercle de même rayon est tracé avec le centre à l'extrémité de l'arc du secteur ; il divise le secteur en deux triangles curvilignes. Un cercle est inscrit dans le plus petit de ces triangles (voir figure). Trouvez le rapport des rayons du cercle inscrit et du secteur.

Solution. 1. Réalisons les constructions complémentaires nécessaires, qui sont habituellement effectuées lorsqu'il s'agit de la tangence interne ou externe des cercles ou de la tangence d'un cercle et d'une droite : O2O3– ligne de centres ; DANS- point de contact; O1O3– ligne de centres ; UN- point de contact; O3C O1C ; AVEC– point de contact (voir figure).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image119_1.gif" width="43" height="41">. Donc, .

Répondre: . ■

Donnons encore deux ajouts sur les constructions supplémentaires utiles : 1) si deux cercles se touchent (intérieurement ou extérieurement), alors il faut tracer une ligne de centres, c'est-à-dire une ligne droite passant par les centres des cercles tangents, et prendre en tenant compte du fait que le point de contact se situe sur la ligne des centres (c'est ce que nous avons fait en résolvant le problème ci-dessus, qui a été la clé du succès) ; 2) parfois il est utile (comme constructions supplémentaires) de réaliser un dessin dit « à distance », c'est-à-dire de retirer séparément un fragment d'un dessin existant assez complexe pour une étude particulière (par exemple, lors de la résolution d'un problème, nous avons retiré un fragment séparé contenant ∆ O1O2O3– voir fig.).

Problème 11. Rayon du cercleR passe par deux sommets adjacents A etCarré D (voir figure). Le segment BM tangent au cercle tiré du troisième sommet B du carré est le double du côté de ce dernier. Trouvez le côté du carré.

Solution. Introduisons la notation Virginie= x, MV = 2x. Continuons le segment Virginie jusqu'à ce qu'il coupe le cercle au point À. Alors VK ∙ VA = VM2(voir Théorème 5, c), c'est-à-dire VK ∙ x= 4x2, où l'on trouve : Capital-risque= 4x- Moyens, AK= Zx. Plus loin, KAD = = 90°, ce qui signifie KD– diamètre du cercle. D'un triangle rectangle ADK on trouve : AD2+ AK2= KD2, c'est à dire. x2+9x2= 4R. 2, d'où X= https://pandia.ru/text/78/456/images/image125_0.gif" width="45" height="45 src=">. ■

L'orthocentre, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs d'un triangle, possède un certain nombre de propriétés intéressantes : l'orthocentre d'un triangle à angle aigu coïncide avec le centre d'un cercle inscrit dans un triangle dont les sommets sont les bases des altitudes d'un triangle donné ; dans un triangle non rectangle ABC, la distance de l'orthocentre au sommet B est le double de la distance du centre du cercle circonscrit autour du triangle au côté AC. Nous utilisons la dernière propriété pour introduire le concept de droite d’Euler. Pour des raisons visuelles, nous nous limiterons à un triangle à angle aigu.

Alors laisse N– orthocentre, O – centre circonscrit, O.D. ca,DO║BH,ANNONCE= CC(voir l'image).

Traçons la médiane BD et segmenter IL. Triangles VNM Et MODÈLE similaire, ce qui signifie https://pandia.ru/text/78/456/images/image128_0.gif" width="56" height="41 src=">.gif" width="17" height="16 src = ">C = 90°, alors la droite d'Euler est une droite passant par le sommet C angle droit et milieu À PROPOS hypoténuse UN B, c'est-à-dire la médiane.

Poursuivons la conversation sur la résolution de problèmes planimétriques. Passons à la résolution de problèmes liés à la notion d'aire d'une figure plane.

Commençons, comme dans les cas précédents, par identifier les théorèmes « fonctionnels ». Il existe deux théorèmes de ce type sur le calcul des aires.

THÉORÈME 1. Le rapport des aires de figures similaires est égal au carré du coefficient de similarité.

THÉORÈME 2. UN) Si deux triangles sont égauxbases, alors leurs surfaces sont liées à leurs hauteurs.

b) Si deux triangles ont des hauteurs égales, alors leurles zones sont traitées comme des bases.

Et, bien sûr, il est logique de donner les formules de base pour calculer les aires des figures planes.

1. Formules pour l'aire d'un triangle :

a) https://pandia.ru/text/78/456/images/image131_0.gif" width="84" height="41 src=">; c) ;

d) S = R.r, Où R.=; R.– rayon du cercle circonscrit ; r- rayon du cercle inscrit ;

e) S = https://pandia.ru/text/78/456/images/image136_0.gif" align="left hspace=12" width="159" height="139"> a) S= A.C.∙ BDsin ;

THÉORÈME 1.Égalité des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires :Si
à la fois pointu ou à la fois obtus et
,
, Que
. THÉORÈME 2. Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze :A) la ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases du trapèze ;B) la ligne médiane est égale à la moitié de la somme des bases du trapèze ;C) la ligne médiane (et seulement elle) coupe en deux tout segment compris entre les bases du trapèze. Ces propriétés sont également valables pour la ligne médiane d'un triangle, si l'on considère le triangle comme un trapèze « dégénéré » dont l'une des bases a une longueur égale à zéro. THÉORÈME 3. Sur les points d'intersection des médianes, bissectrices, altitudes d'un triangle :A) trois médianes d'un triangle se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle le centre de gravité du triangle) et se divisent en ce point dans un rapport de 2 : 1, en comptant à partir du sommet ;B) trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point ;C) trois altitudes se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle l'orthocentre du triangle).THÉORÈME 4. Propriété de la médiane dans un triangle rectangle :dans un triangle rectangle, la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci. Le théorème inverse est également vrai : si dans un triangle une des médianes est égale à la moitié du côté vers lequel elle est tracée, alors ce triangle est rectangleTHÉORÈME 5. propriété de la bissectrice d'un angle interne d'un triangle :La bissectrice d'un angle interne d'un triangle divise le côté vers lequel il est dessiné en parties proportionnelles aux côtés opposés :
THÉORÈME 6. Relations métriques dans un triangle rectangle :SiunEtb- jambes,c– l'hypoténuse,h- hauteur, Et - projections des jambes sur l'hypoténuse, puis : a)
; b)
; V)
; G)
; d)
THÉORÈME 7. Détermination du type de triangle en fonction de ses côtés :Laisserun, b, c– les côtés du triangle, c étant le plus grand côté ; Alors:Et si
, alors le triangle est aigu ;B) si
, alors le triangle est rectangle ;B) si
, alors le triangle est obtus.THÉORÈME 8. Relations métriques dans un parallélogramme :La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de tous ses côtés :
. Lors de la résolution de problèmes géométriques, il faut souvent établir l'égalité de deux segments (ou angles). Indiquons trois manières principales de prouver géométriquement l’égalité de deux segments : 1) considérer les segments comme les côtés de deux triangles et prouver que ces triangles sont égaux ; 2) représenter les segments comme les côtés d'un triangle et prouver que ce triangle est isocèle ; 3 ) remplacer le segment UN un segment égal , et le segment b – égal à lui et prouver l’égalité des segments et . Tache 1.Deux lignes mutuellement perpendiculaires coupent les côtésUN B, AVANT JC., CD, ANNONCEcarréA B C Daux pointsE, F, K, Lrespectivement. Prouve-leE.K. = FL(voir figure pour la tâche n°1).R.

Riz. à la tâche n°1

Solution: 1. En utilisant le premier des chemins ci-dessus pour l'égalité de deux segments, nous dessinons les segments
Et
- puis les segments qui nous intéressent E.K. Et FL devenir les côtés de deux triangles rectangles EPK Et FML(voir figure pour la tâche n°1) . 2

Riz. à la tâche n°1

Nous avons: PK = FM(plus de détails: PK = ANNONCE, ANNONCE = UN B, UN B = FM, Moyens,PK = FM), (sous forme d'angles à côtés mutuellement perpendiculaires, théorème 1). Cela signifie (le long de la jambe et de l'angle aigu). De l'égalité des triangles rectangles, il résulte que leurs hypoténuses sont égales, c'est-à-dire segments E.K. Et FL. ■ Notez que lors de la résolution de problèmes géométriques, vous devez souvent faire des constructions supplémentaires, par exemple les suivantes : tracer une droite parallèle ou perpendiculaire à l'une de celles de la figure (comme nous l'avons fait dans la tâche 1) ; doubler la médiane du triangle afin de compléter le triangle en un parallélogramme (nous le ferons dans le problème 2), en traçant une bissectrice auxiliaire. Il existe des constructions supplémentaires utiles liées au cercle. Tâche 2.Des soirées
égalun, b, c. Calculer la médiane , dessiné du côté c (voir figure pour le problème 2).R.

Riz. au problème n°2

Solution : Doublez la médiane en complétant
au parallélogramme ACVR, et appliquons le théorème 8 à ce parallélogramme On obtient : , soit
, où l'on trouve :
Tâche 3.Montrer que dans tout triangle, la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre, mais inférieure au périmètre.R.
solution: 1. Considérons
(voir figure pour le problème 3) Nous avons :
;
. Parce que AM + MS > AC, Que
(1)P

Riz. au problème n°3

En effectuant un raisonnement similaire pour les triangles AMB et BMC, on obtient :
(2)
(3) En additionnant les inégalités (1), (2), (3), on obtient :
, T.
.e. nous avons prouvé que la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre. 2. Doublons la médiane BD, complétant le triangle en un parallélogramme (voir la figure du problème 3). Puis à partir de
on a: B.K. < AVANT JC. + CK, ceux.
(4) De même:
(5)

Riz. au problème n°3

(6) En additionnant les inégalités (4), (5), (6), on obtient : , soit la somme des médianes est inférieure au périmètre. ■ Tâche 4.Montrer que dans un triangle rectangle non isocèle, la bissectrice d'un angle droit coupe l'angle entre la médiane et l'altitude tirée du même sommet.R.
solution: Soit ACB un triangle rectangle,

, CH – hauteur, CD – bissectrice, SM – médiane. Introduisons la notation suivante : (voir figure pour le problème 4) . 1.

comme des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires (). 2

Riz. au problème n°4

Parce que
(voir Théorème 4), alors SM = MV, et ensuite de
nous concluons que
Donc, 3. Puisque et (après tout, CD est une bissectrice), c'est ce qu'il fallait prouver. ■ Tâche 5.Dans un parallélogramme à côtésun Etbles bissectrices des angles internes sont dessinées (voir figure pour le problème 5). Trouver les longueurs des diagonales du quadrilatère formé à l'intersection des bissectrices.Solution: 1 . AE – bissectrice
, BP – bissectrice
(voir figure) . puisque dans un parallélogramme
ceux. alors Cela signifie que dans le triangle ABC la somme des angles A et B est égale à 90 0, alors l'angle K est égal à 90 0, c'est-à-dire que les bissectrices AE et BP sont mutuellement perpendiculaires. UN
La perpendiculaire mutuelle des bissectrices AE et DQ, BP et CF, CF et DQ se prouve logiquement. SORTIE : KLMN est un quadrilatère à angles droits, c'est-à-dire rectangle. Un rectangle a des diagonales égales, il suffit donc de trouver la longueur de l'une d'elles, par exemple KM. 2

Riz. au problème n°5

Considérons
Il a AK - à la fois la bissectrice et la hauteur. Cela signifie, premièrement, que le triangle ABP est isocèle, c'est-à-dire AB = AP = b, et, d'autre part, que le segment AK est en même temps la médiane du triangle ABP, c'est-à-dire K – le milieu de la bissectrice BP. On prouve de la même manière que M est le milieu de la bissectrice DQ. 3. Considérons le segment KM. Il coupe en deux les segments BP et DQ. Mais la ligne médiane d'un parallélogramme (notez qu'un parallélogramme est un cas particulier de trapèze ; si on peut parler de la ligne médiane d'un trapèze, alors on peut tout aussi bien parler de la ligne médiane d'un parallélogramme, qui a la même propriétés) passe par les points K et M (voir théorème 2). Cela signifie que KM est un segment sur la ligne médiane, et donc
.4. Parce que
Et
, alors KMDP est un parallélogramme, et donc. Répondre:
■ En fait, dans le processus de résolution du problème (aux étapes 1 et 2), nous avons démontré une propriété assez importante : les bissectrices des angles adjacents au côté d'un trapèze se coupent à angle droit en un point situé sur la ligne médiane du trapèze. trapèze. Il convient de noter que la principale méthode de composition des équations dans les problèmes géométriques est méthodeélément de support, qui est la suivante : le même élément (côté, angle, aire, rayon, etc.) est exprimé par des quantités connues et inconnues de deux manières différentes et les expressions résultantes sont assimilées. Bien souvent, une zone est choisie comme élément de référenceLes figures. Alors on dit que pour construire l’équation on utilise méthode des zones. Il est nécessaire d'apprendre aux écoliers à résoudre des problèmes de base, c'est-à-dire ceux. Qui sont inclus en tant que composants dans de nombreuses autres tâches. Il s'agit par exemple de problèmes de recherche des éléments de base d'un triangle : médiane, hauteur, bissectrice, rayons de cercle inscrit et circonscrit, aire. Z problème 6.Dans le triangle ABC, les côtés AB et BC sont égaux et BH est la hauteur. Un point est pris du côté de la Colombie-BritanniqueDDonc
(voir figure pour le problème 6). Dans quel rapport est le segmentANNONCEdivise la hauteur du VN ?Solution: 1. Soit BD = un, alors CD = 4 un, AB = 5a.2

Riz. au problème n°6

Dessinons un segment
(voir figure pour le problème 6) Puisque NK est la ligne médiane du triangle ACD DK = KC = 2 un .3. Considérons le triangle VNK. On a : BD = un,NSP = 2 un Et
. D'après le théorème de Thalès
Mais
Cela signifie
■ Si le problème nécessite de trouver le rapport d'un nombre quelconque de quantités, alors, en règle générale, le problème est résolu en utilisant la méthode des paramètres auxiliaires. Cela signifie qu'au début de la résolution du problème, nous déclarons une quantité linéaire connue, en la désignant, par exemple, par la lettre UN, puis l'exprimer à travers UN les quantités dont le rapport doit être trouvé. Lorsque la relation requise est construite, le paramètre auxiliaire UN est en train de rétrécir. C'est exactement ainsi que nous avons agi face au problème . Nos conseils : lors de la résolution de problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver le rapport des quantités (en particulier dans les problèmes de détermination d'un angle - après tout, en règle générale, lors du calcul d'un angle, nous parlons de trouver sa fonction trigonométrique, c'est-à-dire du rapport de les côtés d'un triangle rectangle), les élèves doivent apprendre La première étape de la solution est l'introduction d'un paramètre auxiliaire. La méthode des paramètres auxiliaires est également utilisée dans les problèmes où une figure géométrique est définie à similarité près. Tâche 7.Un rectangle s'inscrit dans un triangle de côtés égaux à 10, 17 et 21 cm de telle sorte que ses deux sommets soient d'un côté du triangle, et les deux autres sommets soient des deux autres côtés du triangle. Trouvez les côtés du rectangle si l'on sait que son périmètre est de 22,5 cm.R.
décision . 1. Tout d’abord, déterminons le type de triangle. Nous avons : 10 2 = 100 ; 17 2 = 289 ; 21 2 = 441. Puisque 21 2 > 10 2 + 17 2, le triangle est à angle obtus (voir Théorème 7), ce qui signifie qu'un rectangle ne peut s'y inscrire que d'une seule manière : en plaçant ses deux sommets sur le plus grand côté du triangle ABC (voir fig. . au problème 7), où AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

53.Angles (angles internes) d'un triangle on appelle trois angles, dont chacun est formé de trois rayons émergeant des sommets du triangle et passant par les deux autres sommets.

54. Théorème de la somme des angles du triangle. La somme des angles d'un triangle est de 180°.

55. Coin extérieur d'un triangle est un angle adjacent à un angle de ce triangle.

56. Coin extérieur Triangle égal à la somme deux angles d'un triangle qui ne lui sont pas adjacents.

57. Si les trois coins Triangle épicé, alors le triangle s'appelle à angle aigu.

58. Si un des coins Triangle émoussé, alors le triangle s'appelle à angle obtus.

59. Si un des coins Triangle droit, alors le triangle s'appelle rectangulaire.

60. Le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse(mot grec gyipotenusa - « contraction »), et deux côtés formant un angle droit - jambes(mot latin katetos – « plomb ») .

61. Théorème sur les relations entre les côtés et les angles d'un triangle. Dans un triangle le plus grand angle est opposé au plus grand côté, et retour, Le plus grand côté se trouve à l’opposé du plus grand angle.

62. Dans un triangle rectangle L'hypoténuse est plus longue que la jambe.

parce que Le plus grand côté se trouve toujours à l’opposé du plus grand angle.

Signes d'un triangle isocèle.

Si dans un triangle deux angles sont égaux, alors il est isocèle ;

Si dans un triangle la bissectrice est la médiane ou la hauteur,
alors ce triangle est isocèle ;

Si dans un triangle la médiane est la bissectrice ou la hauteur, Que

ce triangle est isocèle ;

Si dans un triangle la hauteur est médiane ou bissectrice,

alors ce triangle est isocèle.

64. Théorème. Inégalité triangulaire. La longueur de chaque côté d'un triangle est supérieure à la différence et inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés:

Propriétés des angles d'un triangle rectangle.

Somme de deux coins pointus d'un triangle rectangle est de 90°.

UN + B = 90°

66. Propriété du triangle rectangle.

Un côté d'un triangle rectangle opposé à un angle de 30° est égal à la moitié de l'hypoténuse.

Si/ A = 30°, alors BC = ½ AB

67. Propriétés d'un triangle rectangle.

a) Si une branche d'un triangle rectangle est égale à la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle opposé à cette branche est de 30°.

Si BC = ½ AB, alors / B = 30°

B) La médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse.

CF médian = ½ AB

Signe d'égalité des triangles rectangles sur deux côtés.

Si les jambes d’un triangle rectangle sont égales aux jambes d’un autre, alors ces triangles sont congrus.

Pour les angles avec respectivement côtés parallèles les propositions suivantes sont valables :

1. Si les côtés a et b d'un angle sont respectivement parallèles aux côtés a et b d'un autre angle et ont les mêmes directions qu'eux, alors les angles sont égaux.

2. Si, dans les mêmes conditions de parallélisme, les côtés a et b sont opposés aux côtés a et b, alors les angles sont également égaux.

3. Si, enfin, les côtés a et sont parallèles et de même direction, et que les côtés sont parallèles et de direction opposée, alors les angles se complètent jusqu'à ce qu'ils s'inversent.

Preuve. Démontrons la première de ces propositions. Que les côtés des angles soient parallèles et également dirigés (Fig. 191). Relions les sommets des coins par une ligne droite.

Dans ce cas, deux cas sont possibles : la droite passe à l'intérieur des coins ou à l'extérieur de ces coins (Fig. 191, b). Dans les deux cas la preuve est évidente : donc, dans le premier cas

mais d'où le sort-on ? Dans le deuxième cas nous avons

et le résultat découle encore une fois des égalités

Nous laissons les preuves des propositions 2 et 3 au lecteur. On peut dire que si les côtés des angles sont respectivement parallèles, alors les angles sont soit égaux, soit leur somme donne l'angle opposé.

Évidemment, ils sont égaux si les deux sont simultanément aigus ou les deux sont obtus, et leur somme est égale si l'un d'eux est aigu et l'autre est obtus.

Les angles avec des côtés perpendiculaires correspondants sont égaux ou complémentaires les uns aux autres jusqu'à un angle droit.

Preuve. Soit a un angle (Fig. 192), et O le sommet de l'angle formé par les lignes droites, respectivement, il peut s'agir de l'un des quatre angles formés par ces deux lignes droites). Faisons pivoter l'angle (c'est-à-dire ses deux côtés) autour de son sommet O à angle droit ; on obtient un angle égal à celui-ci, mais dont les côtés sont perpendiculaires aux côtés de l'angle de rotation indiqué sur la Fig. 192 passant par Elles sont parallèles aux droites formant un angle a donné. Par conséquent, les angles signifient que les angles sont égaux ou forment un angle inversé au total.

Un angle est une partie d'un plan délimitée par deux rayons émanant d'un même point. Les rayons qui limitent l’angle sont appelés les côtés de l’angle.

Le point d’où émergent les rayons s’appelle le sommet de l’angle. Schéma de désignation des coins

Regardons l'exemple de l'angle représenté sur la figure 1.

L'angle représenté sur la figure 1 peut être désigné de trois manières :

Les angles sont appelés angles égaux s’ils peuvent être combinés. Si l'intersection de deux droites produit quatre angles égaux , alors ces angles sont appelés angles droits (Fig. 2). Les lignes droites sécantes formant des angles droits sont appelées.

les lignes perpendiculaire Si par un point A, ne se trouvant pas sur une ligne l, une ligne est tracée perpendiculairement à la ligne l et coupant la ligne l jusqu'au point B, alors on dit qu'à partir du point B perpendiculaire AB est déposé sur la ligne l (Fig. 3). Le point B est appelé.

Note. La longueur du segment AB est appelée distance du point A à la droite l.

Angle de 1° (un degré) appelé l'angle qui constitue une quatre-vingt-dixième partie angle droit.

Un angle k fois supérieur à un angle de 1° est appelé angle de k° (k degrés).

Les angles sont également mesurés en radians. Vous pouvez en savoir plus sur les radians dans la section de notre ouvrage de référence « Mesure des angles. Degrés et radians".

Tableau 1 - Types d'angles selon la valeur en degrés

Dessin	Types d'angles	Propriétés des coins
	Angle droit	Un angle droit vaut 90°
	Angle vif	Angle aigu inférieur à 90°
	Angle obtus	Angle obtus supérieur à 90° mais inférieur à 180°
	Angle droit	L'angle de rotation est de 180°
		Cet angle est supérieur à 180° mais inférieur à 360°
	Plein angle	L'angle complet est de 360°
	Angle égal à zéro	Cet angle est de 0°

Angle droit

Propriété:

Un angle droit vaut 90°

Angle vif

Propriété:

Angle aigu inférieur à 90°

Angle obtus

Propriété:

Angle obtus supérieur à 90° mais inférieur à 180°

Angle droit

Propriété:

L'angle de rotation est de 180°

Angle supérieur à droit

Propriété:

Cet angle est supérieur à 180° mais inférieur à 360°

Plein angle

Propriété:

L'angle complet est de 360°

Angle égal à zéro

Propriété:

Cet angle est de 0°

Tableau 2 - Types d'angles selon l'emplacement des côtés

Dessin	Types d'angles	Propriétés des coins
	Angles verticaux	Les angles verticaux sont égaux
	Angles adjacents	La somme des angles adjacents est de 180°
		Les angles avec des côtés respectivement parallèles sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus
		La somme des angles dont les côtés sont parallèles est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.
		Les angles avec des côtés respectivement perpendiculaires sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus
		La somme des angles dont les côtés sont perpendiculaires est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.

Angles verticaux

Propriété des angles verticaux :

Les angles verticaux sont égaux

Angles adjacents

Propriété des angles adjacents :

La somme des angles adjacents est de 180°

Angles avec côtés parallèles correspondants

Les angles avec des côtés respectivement parallèles sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus

Propriété des angles avec des côtés parallèles correspondants :

La somme des angles dont les côtés sont parallèles est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.

Angles avec côtés perpendiculaires correspondants

Les angles avec des côtés respectivement perpendiculaires sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus

Propriété des angles avec des côtés perpendiculaires correspondants :

La somme des angles dont les côtés sont perpendiculaires est égale à 180° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.

Définition . La bissectrice d'un angle est le rayon qui coupe l'angle en son milieu.

Tâche . Montrer que les bissectrices des angles adjacents sont perpendiculaires.

Solution . Considérez la figure 4.

Sur cette figure, les angles AOB et BOC sont adjacents, et les rayons OE et OD sont les bissectrices de ces angles. Parce que le

2α + 2β = 180°.

Q.E.D.

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