Lorsqu'ils résolvent divers problèmes d'un cours de mathématiques et de physique, les élèves et les étudiants sont souvent confrontés à la nécessité d'extraire des racines du deuxième, du troisième ou du nième degré. Bien sûr, au siècle informatique Il ne sera pas difficile de résoudre ce problème à l’aide d’une calculatrice. Cependant, des situations surviennent lorsqu'il est impossible d'utiliser l'assistant électronique.
Par exemple, de nombreux examens ne vous permettent pas d’apporter des appareils électroniques. De plus, vous n’avez peut-être pas de calculatrice à portée de main. Dans de tels cas, il est utile de connaître au moins quelques méthodes de calcul manuel des radicaux.
L'une des façons les plus simples de calculer les racines est de en utilisant une table spéciale. Qu'est-ce que c'est et comment l'utiliser correctement ?
À l'aide du tableau, vous pouvez trouver le carré de n'importe quel nombre de 10 à 99. Les lignes du tableau contiennent les valeurs des dizaines et les colonnes contiennent les valeurs des unités. La cellule à l'intersection d'une ligne et d'une colonne contient un carré numéro à deux chiffres. Pour calculer le carré de 63, vous devez trouver une ligne avec une valeur de 6 et une colonne avec une valeur de 3. À l'intersection, nous trouverons une cellule avec le numéro 3969.
Puisque l'extraction de la racine est l'opération inverse de la quadrature, pour effectuer cette action vous devez faire l'inverse : recherchez d'abord la cellule avec le nombre dont vous souhaitez calculer le radical, puis utilisez les valeurs de la colonne et de la ligne pour déterminer la réponse. . A titre d'exemple, considérons le calcul racine carrée 169.
On trouve une cellule avec ce numéro dans le tableau, horizontalement on détermine les dizaines - 1, verticalement on trouve les unités - 3. Réponse : √169 = 13.
De même, vous pouvez calculer les racines cubiques et nièmes à l’aide des tableaux appropriés.
L'avantage de la méthode est sa simplicité et l'absence de calculs supplémentaires. Les inconvénients sont évidents : la méthode ne peut être utilisée que pour une plage limitée de nombres (le nombre dont la racine est trouvée doit être compris entre 100 et 9801). De plus, cela ne fonctionnera pas si le numéro donné ne figure pas dans le tableau.
Factorisation première
Si la table des carrés n'est pas à portée de main ou s'il s'avère impossible de trouver la racine avec son aide, vous pouvez essayer décomposer le nombre sous la racine en facteurs premiers . Les facteurs premiers sont ceux qui peuvent être complètement (sans reste) divisibles uniquement par eux-mêmes ou par un. Les exemples pourraient être 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.
Voyons calculer la racine en utilisant √576 comme exemple. Décomposons-le en facteurs premiers. On obtient le résultat suivant : √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². En utilisant la propriété de base des racines √a² = a, nous allons nous débarrasser des racines et des carrés, puis calculer la réponse : 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Que faire si l'un des multiplicateurs n'a pas sa propre paire ? Par exemple, considérons le calcul de √54. Après factorisation, on obtient le résultat sous la forme suivante : √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. La partie non amovible peut être laissée sous la racine. Pour la plupart des problèmes de géométrie et d’algèbre, cela comptera comme la réponse finale. Mais s'il est nécessaire de calculer des valeurs approximatives, vous pouvez utiliser les méthodes qui seront décrites ci-dessous.
La méthode du Héron
Que faire lorsqu'il faut savoir au moins approximativement à quoi est égale la racine extraite (s'il est impossible d'obtenir une valeur entière) ? Un résultat rapide et assez précis est obtenu en utilisant la méthode Heron. Son essence est d'utiliser une formule approximative :
√R = √a + (R - a) / 2√a,
où R est le nombre dont la racine doit être calculée, a est le nombre le plus proche dont la valeur racine est connue.
Examinons comment la méthode fonctionne dans la pratique et évaluons sa précision. Calculons à quoi √111 est égal. Le nombre le plus proche de 111, dont la racine est connue, est 121. Ainsi, R = 111, a = 121. Remplacez les valeurs dans la formule :
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
Vérifions maintenant l'exactitude de la méthode:
10,55² = 111,3025.
L'erreur de la méthode était d'environ 0,3. Si la précision de la méthode doit être améliorée, vous pouvez répéter les étapes décrites précédemment :
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Vérifions l'exactitude du calcul :
10,536² = 111,0073.
Après avoir réappliqué la formule, l’erreur est devenue totalement insignifiante.
Calculer la racine par division longue
Cette méthode pour trouver la valeur de la racine carrée est un peu plus complexe que les précédentes. Cependant, c'est la plus précise parmi les autres méthodes de calcul sans calculatrice..
Disons que vous devez trouver la racine carrée avec une précision de 4 décimales. Analysons l'algorithme de calcul en utilisant l'exemple d'un nombre arbitraire 1308.1912.
- Divisez la feuille de papier en 2 parties avec une ligne verticale, puis tracez une autre ligne vers la droite, légèrement en dessous du bord supérieur. Écrivons le numéro sur le côté gauche, en le divisant en groupes de 2 chiffres, en nous déplaçant vers la droite et côté gauche de la virgule. Le tout premier chiffre à gauche peut être sans paire. S'il manque le signe à droite du numéro, alors vous devez ajouter 0. Dans notre cas, le résultat sera 13 08.19 12.
- Choisissons le meilleur grand nombre, dont le carré sera inférieur ou égal au premier groupe de chiffres. Dans notre cas c'est 3. Écrivons-le en haut à droite ; 3 est le premier chiffre du résultat. En bas à droite on indique 3×3 = 9 ; cela sera nécessaire pour les calculs ultérieurs. De 13 dans la colonne on soustrait 9, on obtient un reste de 4.
- Attribuons la paire de nombres suivante au reste 4 ; nous obtenons 408.
- Multipliez le nombre en haut à droite par 2 et notez-le en bas à droite en y ajoutant _ x _ =. On obtient 6_ x _ =.
- Au lieu de tirets, il faut remplacer le même nombre, inférieur ou égal à 408. On obtient 66 × 6 = 396. On écrit 6 en haut à droite, puisqu'il s'agit du deuxième chiffre du résultat. Soustrayez 396 de 408, nous obtenons 12.
- Répétons les étapes 3 à 6. Puisque les chiffres descendus sont dans la partie fractionnaire du nombre, il faut placer une virgule décimale en haut à droite après 6. Notons le résultat double avec des tirets : 72_ x _ =. Un nombre approprié serait 1 : 721×1 = 721. Écrivons-le comme réponse. Soustrayons 1219 - 721 = 498.
- Effectuons encore trois fois la séquence d'actions donnée dans le paragraphe précédent pour obtenir quantité requise décimales. S'il n'y a pas assez de caractères pour d'autres calculs, vous devez ajouter deux zéros au nombre actuel à gauche.
En conséquence, nous obtenons la réponse : √1308,1912 ≈ 36,1689. Si vous vérifiez l'action à l'aide d'une calculatrice, vous pouvez vous assurer que tous les signes ont été correctement identifiés.
Calcul de racine carrée au niveau du bit
La méthode est très précise. De plus, cela est tout à fait compréhensible et ne nécessite pas la mémorisation de formules ou un algorithme d'actions complexe, puisque l'essence de la méthode est de sélectionner le résultat correct.
Extrayons la racine du nombre 781. Examinons la séquence d'actions en détail.
- Voyons quel chiffre de la valeur de la racine carrée sera le plus significatif. Pour ce faire, mettons au carré 0, 10, 100, 1000, etc. et découvrons entre lequel d'entre eux se trouve le nombre radical. On obtient ça 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Choisissons la valeur des dizaines. Pour ce faire, nous allons élever à tour de rôle à la puissance 10, 20, ..., 90 jusqu'à obtenir un nombre supérieur à 781. Pour notre cas, nous obtenons 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Le la valeur du résultat n sera inférieure à 20< n <30.
- Semblable à l’étape précédente, la valeur du chiffre des unités est sélectionnée. Mettons au carré 21,22, ..., 29 un par un : 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. On obtient que 27< n < 28.
- Chaque chiffre suivant (dixièmes, centièmes, etc.) est calculé de la même manière qu'indiqué ci-dessus. Les calculs sont effectués jusqu'à ce que la précision requise soit atteinte.
Le cercle montrait comment extraire des racines carrées dans une colonne. Vous pouvez calculer la racine avec une précision arbitraire, trouver n'importe quel nombre de chiffres dans sa notation décimale, même si cela s'avère irrationnel. L'algorithme a été mémorisé, mais des questions demeurent. Il n’était pas clair d’où venait la méthode et pourquoi elle donnait le bon résultat. Ce n’était pas dans les livres, ou peut-être que je cherchais simplement dans les mauvais livres. En fin de compte, comme beaucoup de ce que je sais et peux faire aujourd’hui, je l’ai inventé moi-même. Je partage ici mes connaissances. D'ailleurs, je ne sais toujours pas où est donnée la justification de l'algorithme)))
Donc, d’abord je vous explique « comment le système fonctionne » avec un exemple, puis j’explique pourquoi il fonctionne réellement.
Prenons un chiffre (le chiffre a été pris « de nulle part », il m'est venu à l'esprit).
1. On divise ses nombres par paires : ceux à gauche de la virgule décimale sont regroupés par deux de droite à gauche, et ceux de droite sont regroupés par deux de gauche à droite. Nous obtenons.
2. On extrait la racine carrée du premier groupe de nombres à gauche - dans notre cas c'est le cas (il est clair que la racine exacte ne peut pas être extraite, on prend un nombre dont le carré est le plus proche possible de notre nombre formé par le premier groupe de nombres, mais ne le dépasse pas). Dans notre cas, ce sera un nombre. Nous notons la réponse - c'est le chiffre le plus significatif de la racine.
3. Nous mettons au carré le nombre qui est déjà dans la réponse - ceci - et le soustrayons du premier groupe de nombres à gauche - du nombre. Dans notre cas, cela reste.
4. Nous attribuons le groupe suivant de deux nombres à droite : . Nous multiplions le nombre déjà présent dans la réponse par , et nous obtenons .
5. Maintenant, surveillez attentivement. Nous devons attribuer un chiffre au nombre de droite et multiplier le nombre par, c'est-à-dire par le même chiffre attribué. Le résultat doit être aussi proche que possible de ce nombre, mais là encore pas supérieur. Dans notre cas, ce sera le numéro, nous l'écrivons dans la réponse à côté, à droite. C'est le chiffre suivant dans la notation décimale de notre racine carrée.
6. En soustrayant le produit, on obtient .
7. Ensuite, nous répétons les opérations familières : nous attribuons le groupe de chiffres suivant à droite, multiplié par , au nombre obtenu > nous attribuons un chiffre à droite, de telle sorte que lorsqu'il est multiplié par celui-ci, nous obtenons un nombre plus petit que , mais le plus proche à cela - c'est le chiffre suivant en notation racine décimale.
Les calculs s'écriront comme suit :
Et maintenant l'explication promise. L'algorithme est basé sur la formule
Commentaires : 50
2Anton :
Trop chaotique et déroutant. Disposez le tout point par point et numérotez-les. Plus : expliquez où nous remplaçons dans chaque action valeurs requises. Je n’ai jamais calculé de racine auparavant ; j’ai eu du mal à la comprendre.
5Julie :
6 :
Yulia, 23 ans à l'heure actuelleécrits à droite, ce sont les deux premiers (à gauche) chiffres déjà obtenus de la racine dans la réponse. Multipliez par 2 selon l'algorithme. Nous répétons les étapes décrites au point 4.
7zzz :
erreur dans « 6. De 167 on soustrait le produit 43 * 3 = 123 (129 nada), on obtient 38. »
Je ne comprends pas comment il s'est avéré qu'il s'agissait de 08 après la virgule décimale...9 Fedotov Alexandre :
Et même à l'ère pré-calculatrice, on nous enseignait à l'école non seulement le carré, mais aussi racine cubique extraire dans une colonne, mais c'est un travail plus fastidieux et minutieux. Il était plus facile d'utiliser des tables de Bradis ou une règle à calcul, que nous avions déjà étudiées au lycée.
10 :
Alexandre, tu as raison, tu peux l'extraire dans une colonne et des racines diplômes supérieurs. Je vais écrire sur la façon de trouver la racine cubique.
12 Sergueï Valentinovitch :
Chère Elizaveta Alexandrovna ! À la fin des années 70, j'ai développé un système de calcul automatique (c'est-à-dire sans sélection) des quadra. root sur la machine à additionner Felix. Si vous êtes intéressé, je peux vous envoyer une description.
14 Vlad à Engelsstadt :
(((Extraction de la racine carrée de la colonne)))
L'algorithme est simplifié si vous utilisez le 2ème système numérique, étudié en informatique, mais également utile en mathématiques. UN. Kolmogorov a présenté cet algorithme lors de conférences populaires destinées aux écoliers. Son article peut être trouvé dans la « Collection Chebyshev » (Mathematical Journal, cherchez un lien vers celui-ci sur Internet)
Au fait, dites :
G. Leibniz a autrefois caressé l'idée de passer du système de nombres 10 au système binaire en raison de sa simplicité et de son accessibilité pour les débutants (écoliers du primaire). Mais briser les traditions établies, c’est comme briser une porte de forteresse avec le front : c’est possible, mais cela ne sert à rien. Il s’avère donc, comme le dit le philosophe barbu le plus cité de l’époque : les traditions de toutes les générations mortes suppriment la conscience des vivants.Jusqu'à la prochaine fois.
15 Vlad à Engelsstadt :
))Sergey Valentinovich, oui, je suis intéressé...((
Je parie que c'est une variante de la méthode babylonienne "Felix" d'extraction de chevaux. méthode carrée approximations successives. Cet algorithme a été couvert par la méthode de Newton (méthode de la tangente)
Je me demande si je me suis trompé dans mes prévisions ?
18 :
2Vlad à Engelsstadt
Oui, l'algorithme en binaire devrait être plus simple, c'est assez évident.
À propos de la méthode de Newton. C'est peut-être vrai, mais c'est quand même intéressant
20 Cyrille :
Merci beaucoup. Mais il n’existe toujours pas d’algorithme, personne ne sait d’où il vient, mais le résultat est correct. MERCI BEAUCOUP! je cherchais ça depuis longtemps)
21 Alexandre :
Comment allez-vous extraire la racine d’un nombre dont le deuxième groupe de gauche à droite est très petit ? par exemple, le numéro préféré de tous est 4 398 046 511 104. Après la première soustraction, il n'est pas possible de tout continuer selon l'algorithme. Veuillez expliquer.
22 Alexeï :
Oui, je connais cette méthode. Je me souviens de l'avoir lu dans le livre « Algèbre » d'une ancienne édition. Puis, par analogie, il a lui-même déduit comment extraire la racine cubique d'une colonne. Mais là c'est déjà plus compliqué : chaque chiffre est déterminé non pas par un (comme pour un carré), mais par deux soustractions, et même là il faut multiplier à chaque fois des nombres longs.
23 Artem :
Il y a des fautes de frappe dans l'exemple d'extraction de la racine carrée de 56789,321. Le groupe de nombres 32 est attribué deux fois aux nombres 145 et 243, dans le nombre 2388025 le deuxième 8 doit être remplacé par 3. Ensuite la dernière soustraction doit s'écrire comme suit : 2431000 – 2383025 = 47975.
De plus, en divisant le reste par la valeur doublée de la réponse (sans tenir compte de la virgule), on obtient un nombre supplémentaire de chiffres significatifs (47975/(2*238305) = 0,100658819...), qu'il faut ajouter à la réponse (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).24 Sergueï :
Apparemment, l’algorithme vient du livre d’Isaac Newton « General Arithmetic or a book on arithmétique synthèse et analyse ». En voici un extrait :
À PROPOS DE L'EXTRACTION DES RACINES
Pour extraire la racine carrée d’un nombre, vous devez tout d’abord placer un point sur ses chiffres, en commençant par les unités. Ensuite, vous devez écrire dans le quotient ou le radical le nombre dont le carré est égal ou le plus proche en désavantage aux nombres ou au nombre précédant le premier point. Après avoir soustrait ce carré, les chiffres restants de la racine seront trouvés séquentiellement en divisant le reste par deux fois la valeur de la partie déjà extraite de la racine et en soustrayant à chaque fois du reste du carré le dernier chiffre trouvé et son produit décuplé par le diviseur nommé.
25 Sergueï :
Veuillez également corriger le titre du livre « Arithmétique générale ou un livre sur la synthèse et l'analyse arithmétique »
26 Alexandre :
Merci pour le matériel intéressant. Mais cette méthode me semble un peu plus compliquée que ce dont, par exemple, un écolier a besoin. J'utilise une méthode plus simple basée sur la décomposition fonction quadratique en utilisant les deux premières dérivées. Sa formule est :
sqrt(x)= A1+A2-A3, où
A1 est l'entier dont le carré est le plus proche de x ;
A2 est une fraction, le numérateur est x-A1, le dénominateur est 2*A1.
Pour la plupart des nombres trouvés dans cours scolaire, cela suffit pour obtenir un résultat précis au centième.
Si vous avez besoin d'un résultat plus précis, prenez
A3 est une fraction, le numérateur est A2 au carré, le dénominateur est 2*A1+1.
Bien sûr, pour l’utiliser, il faut un tableau de carrés d’entiers, mais ce n’est pas un problème à l’école. Se souvenir de cette formule est assez simple.
Cependant, cela me rend confus que j'ai obtenu A3 empiriquement à la suite d'expériences avec un tableur et je ne comprends pas très bien pourquoi ce membre a cette apparence. Peut-être pourriez-vous me donner quelques conseils ?27 Alexandre :
Oui, j'ai également réfléchi à ces considérations, mais le diable se cache dans les détails. Vous écrivez :
"puisque a2 et b diffèrent assez peu." La question est exactement de savoir dans quelle mesure.
Cette formule fonctionne bien sur les nombres de la deuxième dizaine et bien pire (pas jusqu'aux centièmes, seulement jusqu'aux dixièmes) sur les nombres de la première dizaine. Il est difficile de comprendre pourquoi cela se produit sans recourir à des produits dérivés.28 Alexandre :
Je vais préciser ce que je considère comme l'avantage de la formule que je propose. Cela ne nécessite pas la division pas tout à fait naturelle des nombres en paires de chiffres, qui, comme le montre l'expérience, est souvent effectuée avec des erreurs. Sa signification est évidente, mais pour une personne familiarisée avec l’analyse, elle est triviale. Fonctionne bien sur les nombres de 100 à 1000, qui sont les nombres les plus courants rencontrés à l'école.
29 Alexandre :
Au fait, j'ai fait quelques recherches et j'ai trouvé l'expression exacte de A3 dans ma formule :
A3= A22 /2(A1+A2)30 Vasil Stryzhak :
A notre époque, avec l'utilisation généralisée de la technologie informatique, la question de l'extraction du chevalier carré d'un nombre n'en vaut pas la peine d'un point de vue pratique. Mais pour les amateurs de mathématiques, elles intéressent sans aucun doute diverses options solutions à ce problème. DANS programme scolaire la méthode de ce calcul sans implication de fonds supplémentaires devrait s'effectuer sur un pied d'égalité avec la multiplication et la division en colonne. L'algorithme de calcul doit non seulement être mémorisé, mais aussi compréhensible. La méthode classique proposée dans ce matériel pour discussion avec divulgation de l’essence, répond pleinement aux critères ci-dessus.
Un inconvénient important de la méthode proposée par Alexander est l'utilisation d'un tableau de carrés d'entiers. L'auteur passe sous silence la majorité des chiffres rencontrés dans le cursus scolaire. Quant à la formule, je l'aime en général en raison de la précision relativement élevée du calcul.31 Alexandre :
pour 30 vasil stryzhak
Je n'ai rien gardé sous silence. La table des carrés est censée aller jusqu'à 1000. À l'époque où j'étais à l'école, ils l'apprenaient simplement par cœur et elle figurait dans tous les manuels de mathématiques. J'ai explicitement nommé cet intervalle.
Quant à l’informatique, elle n’est pas utilisée principalement dans les cours de mathématiques, sauf si le thème de l’utilisation d’une calculatrice est spécifiquement abordé. Les calculatrices sont désormais intégrées à des appareils dont l'utilisation est interdite lors de l'examen d'État unifié.32 Vasil Stryzhak :
Alexandre, merci pour la précision ! Je pensais que pour la méthode proposée il fallait théoriquement mémoriser ou utiliser un tableau de carrés de tous les nombres à deux chiffres. Ensuite pour les nombres radicaux non compris dans l'intervalle de 100 à 10000, vous pouvez. utilisez la technique consistant à les augmenter ou à les diminuer du nombre d'ordres de grandeur requis en déplaçant la virgule décimale.
33 Vasil Stryzhak :
39 ALEXANDRE :
MON PREMIER PROGRAMME EN LANGAGE IAMB SUR LA MACHINE SOVIÉTIQUE « ISKRA 555 » A ÉTÉ ÉCRIT POUR EXTRAIRE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE EN UTILISANT L'ALGORITHME D'EXTRACTION DE COLONNE ! et maintenant j'ai oublié comment l'extraire manuellement !
Les mathématiques sont nées lorsque l’homme a pris conscience de lui-même et a commencé à se positionner comme une unité autonome du monde. Le désir de mesurer, comparer, compter ce qui vous entoure - c'est ce qui sous-tend l'un des sciences fondamentales nos jours. Au début, il s'agissait de particules de mathématiques élémentaires, qui permettaient de relier les nombres à leurs expressions physiques, plus tard les conclusions ont commencé à être présentées uniquement théoriquement (en raison de leur abstraction), mais après un certain temps, comme l'a dit un scientifique, " les mathématiques ont atteint le plafond de la complexité lorsqu’elles en ont disparu. » Le concept de « racine carrée » est apparu à une époque où il pouvait être facilement étayé par des données empiriques, dépassant le plan des calculs.
Où tout a commencé
La première mention de la racine, actuellement notée √, a été enregistrée dans les travaux des mathématiciens babyloniens, qui ont jeté les bases de l'arithmétique moderne. Bien sûr, ils ne ressemblaient guère à la forme actuelle - les scientifiques de ces années-là utilisaient pour la première fois des comprimés volumineux. Mais au deuxième millénaire avant JC. e. Ils ont dérivé une formule de calcul approximative montrant comment extraire la racine carrée. La photo ci-dessous montre une pierre sur laquelle des scientifiques babyloniens ont gravé le processus de déduction de √2, et cela s'est avéré si correct que la divergence dans la réponse n'a été trouvée qu'à la dixième décimale.
De plus, la racine était utilisée s'il fallait trouver un côté d'un triangle, à condition que les deux autres soient connus. Eh bien, lors de la résolution d’équations quadratiques, il n’y a pas d’échappatoire à l’extraction de la racine.
Parallèlement aux œuvres babyloniennes, l'objet de l'article a également été étudié dans l'ouvrage chinois « Mathématiques en neuf livres », et les anciens Grecs sont arrivés à la conclusion que tout nombre dont la racine ne peut être extraite sans reste donne un résultat irrationnel. .
L'origine de ce terme est associée à la représentation arabe du nombre : les anciens scientifiques croyaient que le carré d'un nombre arbitraire poussait à partir d'une racine, comme une plante. En latin, ce mot sonne comme radix (vous pouvez tracer un motif - tout ce qui a une signification « racine » est une consonne, qu'il s'agisse de radis ou de radiculite).
Les scientifiques des générations suivantes ont repris cette idée en la désignant sous le nom de Rx. Par exemple, au XVe siècle, pour indiquer que la racine carrée d'un nombre arbitraire a était prise, on écrivait R 2 a. La « tique », familière aux yeux modernes, n'est apparue qu'au XVIIe siècle grâce à René Descartes.
Nos journées
En termes mathématiques, la racine carrée d'un nombre y est le nombre z dont le carré est égal à y. En d'autres termes, z 2 =y équivaut à √y=z. Cependant cette définition pertinent uniquement pour la racine arithmétique, car il implique une valeur non négative de l'expression. En d’autres termes, √y=z, où z est supérieur ou égal à 0.
En général, ce qui s'applique à la détermination d'une racine algébrique, la valeur de l'expression peut être positive ou négative. Ainsi, du fait que z 2 =y et (-z) 2 =y, on a : √y=±z ou √y=|z|.
Étant donné que l'amour pour les mathématiques n'a fait qu'augmenter avec le développement de la science, il existe diverses manifestations d'affection pour celles-ci qui ne s'expriment pas dans des calculs secs. Par exemple, outre des phénomènes aussi intéressants que le Pi Day, les fêtes de racine carrée sont également célébrées. Ils sont célébrés neuf fois tous les cent ans, et sont déterminés selon le principe suivant : les nombres qui indiquent dans l'ordre le jour et le mois doivent être la racine carrée de l'année. Ainsi, la prochaine fois que nous célébrerons cette fête, c'est le 4 avril 2016.
Propriétés de la racine carrée sur le corps R
Presque toutes les expressions mathématiques sont basées sur base géométrique, ce sort n’a pas échappé à √y, qui est défini comme le côté d’un carré d’aire y.
Comment trouver la racine d'un nombre ?
Il existe plusieurs algorithmes de calcul. Le plus simple, mais en même temps assez fastidieux, est le calcul arithmétique habituel, qui est le suivant :
1) du nombre dont nous avons besoin de la racine, les nombres impairs sont soustraits à leur tour - jusqu'à ce que le reste en sortie soit inférieur à celui soustrait ou même égal à zéro. Le nombre de coups deviendra finalement le nombre souhaité. Par exemple, en calculant la racine carrée de 25 :
Ce qui suit n'est pas nombre pair- c'est 11, le reste est le suivant : 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Pour de tels cas, il existe un développement en série de Taylor :
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , où n prend des valeurs de 0 à
+∞ et |y|≤1.
Représentation graphique de la fonction z=√y
Considérons la fonction élémentaire z=√y sur le corps des nombres réels R, où y est supérieur ou égal à zéro. Son planning ressemble à ceci :
La courbe grandit à partir de l'origine et coupe nécessairement le point (1 ; 1).
Propriétés de la fonction z=√y sur le corps des nombres réels R
1. Le domaine de définition de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est inclus).
2. La plage de valeurs de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est à nouveau inclus).
3. La fonction prend sa valeur minimale (0) uniquement au point (0 ; 0). Il n'y a pas de valeur maximale.
4. La fonction z=√y n’est ni paire ni impaire.
5. La fonction z=√y n’est pas périodique.
6. Il n'y a qu'un seul point d'intersection du graphique de la fonction z=√y avec les axes de coordonnées : (0 ; 0).
7. Le point d'intersection du graphique de la fonction z=√y est aussi le zéro de cette fonction.
8. La fonction z=√y croît continuellement.
9. La fonction z=√y ne prend que des valeurs positives, son graphique occupe donc le premier angle de coordonnées.
Options d'affichage de la fonction z=√y
En mathématiques, pour faciliter le calcul d'expressions complexes, la forme puissante de l'écriture de la racine carrée est parfois utilisée : √y=y 1/2. Cette option est pratique, par exemple, pour élever une fonction à une puissance : (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Cette méthode est également une bonne représentation pour la différenciation avec intégration, puisque grâce à elle la racine carrée est représentée comme une fonction puissance ordinaire.
Et en programmation, remplacer le symbole √ est la combinaison de lettres sqrt.
Il convient de noter que dans ce domaine, la racine carrée est très demandée, car elle fait partie de la plupart des formules géométriques nécessaires aux calculs. L'algorithme de comptage lui-même est assez complexe et repose sur la récursivité (une fonction qui s'appelle elle-même).
Racine carrée dans un corps complexe C
Dans l'ensemble, c'est le sujet de cet article qui a stimulé la découverte du domaine des nombres complexes C, puisque les mathématiciens étaient hantés par la question de l'obtention d'une racine paire d'un nombre négatif. C'est ainsi qu'est apparue l'unité imaginaire i, qui se caractérise par une propriété très intéressante : son carré est -1. Grâce à cela, les équations quadratiques ont été résolues même avec un discriminant négatif. En C, les mêmes propriétés sont pertinentes pour la racine carrée qu'en R, la seule chose est que les restrictions sur l'expression radicale sont supprimées.
Extraire la racine est l’opération inverse de l’élévation d’une puissance. Autrement dit, en prenant la racine du nombre X, nous obtenons un nombre dont le carré donnera le même nombre X.
Extraire la racine est une opération assez simple. Un tableau de carrés peut faciliter le travail d’extraction. Parce qu'il est impossible de mémoriser tous les carrés et racines par cœur, mais les nombres peuvent être grands.
Extraire la racine d'un nombre
Prendre la racine carrée d’un nombre est facile. De plus, cela ne peut pas être fait immédiatement, mais progressivement. Par exemple, prenons l'expression √256. Au départ, il est difficile pour une personne ignorante de donner une réponse tout de suite. Ensuite, nous procéderons étape par étape. Tout d’abord, nous divisons uniquement par le nombre 4, à partir duquel nous prenons le carré sélectionné comme racine.
Représentons : √(64 4), alors cela équivaudra à 2√64. Et comme vous le savez, d'après la table de multiplication 64 = 8 8. La réponse sera 2*8=16.
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Extraire une racine complexe
La racine carrée ne peut pas être calculée à partir de nombres négatifs, car tout nombre au carré est un nombre positif !
Un nombre complexe est le nombre i, dont le carré est égal à -1. Autrement dit, i2=-1.
En mathématiques, il existe un nombre qui s’obtient en prenant la racine du nombre -1.
Autrement dit, il est possible de calculer la racine d'un nombre négatif, mais cela s'applique déjà aux mathématiques supérieures, pas aux mathématiques scolaires.
Considérons un exemple d'une telle extraction de racine : √(-49)=7*√(-1)=7i.
Calculateur de racine en ligne
A l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer l'extraction d'un nombre à partir de la racine carrée :
Conversion d'expressions contenant une opération racine
L’essence de la transformation d’expressions radicales est de décomposer le nombre radical en nombres plus simples, à partir desquels la racine peut être extraite. Comme 4, 9, 25 et ainsi de suite.
Donnons un exemple, √625. Divisons l'expression radicale par le nombre 5. On obtient √(125 5), répétez l'opération √(25 25), mais nous savons que 25 vaut 52. Ce qui signifie que la réponse sera 5*5=25.
Mais il existe des nombres dont la racine ne peut pas être calculée avec cette méthode et il suffit de connaître la réponse ou d'avoir un tableau des carrés à portée de main.
√289=√(17*17)=17
Conclusion
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