वैक्टर के लिए, और, निर्देशांक द्वारा दिया गया, , मिश्रित उत्पाद की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: .

मिश्रित कार्यआवेदन करना: 1) टेट्राहेड्रोन और समान्तर चतुर्भुज के आयतन की गणना करने के लिए, वैक्टर पर निर्मित, और किनारों पर, सूत्र का उपयोग करके:; 2) सदिशों की समतलीयता के लिए एक शर्त के रूप में, और : और समतलीय हैं।

विषय 5. समतल पर रेखाएँ.

सामान्य रेखा सदिश , किसी दी गई रेखा पर लंबवत किसी भी गैर-शून्य वेक्टर को कहा जाता है। निर्देशन सदिश सीधा है , किसी दी गई रेखा के समानांतर कोई भी गैर-शून्य वेक्टर कहलाता है।

सीधा विमान पर समन्वय प्रणाली में निम्नलिखित में से किसी एक प्रकार के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1) - सामान्य समीकरण रेखा, रेखा का सामान्य वेक्टर कहां है;

2) - किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण;

3) - किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ( विहित समीकरण );

4) - दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण, ;

5) - एक रेखा के समीकरण साथ ढलान , वह बिंदु कहां है जिससे होकर रेखा गुजरती है; () - वह कोण जो सीधी रेखा अक्ष के साथ बनाती है; - अक्ष पर सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंड की लंबाई (चिह्न के साथ) (यदि खंड अक्ष के धनात्मक भाग पर काटा गया है और "" यदि ऋणात्मक भाग पर काटा गया है तो "" चिन्ह लगाएं)।

6) - एक रेखा का समीकरण खंडों में, निर्देशांक अक्षों पर सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई (एक चिह्न के साथ) कहां और क्या है और (यदि खंड अक्ष के सकारात्मक भाग पर काटा गया है तो "" चिन्ह लगाएं और यदि नकारात्मक भाग पर खंड काटा गया है तो "" चिन्ह लगाएं)।

बिंदु से रेखा की दूरी , समतल पर एक सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

कोना , ( )सीधी रेखाओं के बीच और, सामान्य समीकरणों या कोणीय गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दिया गया, निम्नलिखित सूत्रों में से एक का उपयोग करके पाया जाता है:

मैं, के लिए ।

मैं, के लिए

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक और सिस्टम के समाधान के रूप में पाए जाते हैं रेखीय समीकरण: या ।

विषय 10. भीड़। संख्यात्मक सेट. कार्य.

अंतर्गत अनेक किसी भी प्रकृति की वस्तुओं के एक निश्चित समूह को समझें, जो एक दूसरे से अलग हों और एक पूरे के रूप में बोधगम्य हों। वे वस्तुएँ जो एक समुच्चय बनाती हैं, कहलाती हैं तत्वों . एक समुच्चय अनंत हो सकता है (जिसमें अनंत संख्या में तत्व होते हैं), परिमित (जिसमें सीमित संख्या में तत्व होते हैं), खाली (जिसमें एक भी तत्व नहीं होता है)। समुच्चय को : , और उनके तत्वों द्वारा निरूपित किया जाता है : . एक खाली सेट को द्वारा दर्शाया जाता है।

सेट कहा जाता है उपसमुच्चय सेट करें यदि सेट के सभी तत्व सेट से संबंधित हैं और लिखें।

सेट कहलाते हैं बराबर , यदि वे समान तत्वों से मिलकर बने हों और लिखें । दो सेट और बराबर होंगे यदि और केवल यदि और।

सेट कहा जाता है सार्वभौमिक (इस गणितीय सिद्धांत के ढांचे के भीतर) , यदि इसके तत्व इस सिद्धांत में मानी जाने वाली सभी वस्तुएँ हैं।

सेट निर्दिष्ट किया जा सकता है: 1) इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना, उदाहरण के लिए: (केवल परिमित सेट के लिए); 2) यह निर्धारित करने के लिए नियम निर्दिष्ट करके कि क्या सार्वभौमिक सेट का एक तत्व किसी दिए गए सेट से संबंधित है:।

संगठन

पार करके सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

अंतर से सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

परिशिष्ट समुच्चय (सार्वभौमिक समुच्चय से पहले) को समुच्चय कहा जाता है।

दो सेट कहलाते हैं समकक्ष और लिखें ~ यदि इन सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है। सेट कहा जाता है गणनीय , यदि यह सेट के बराबर है प्राकृतिक संख्या: ~ . परिभाषा के अनुसार, खाली सेट गणनीय है।

वैध (असली) संख्या अनंत कहा जाता है दशमलव, "+" या "" चिन्ह के साथ लिया जाता है। वास्तविक संख्याओं की पहचान संख्या रेखा पर बिंदुओं से की जाती है।

मॉड्यूल किसी वास्तविक संख्या का (पूर्ण मान) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है:

सेट कहा जाता है न्यूमेरिकल , यदि इसके तत्व वास्तविक संख्याएँ हैं। न्यूमेरिकल अंतराल पर समुच्चय कहलाते हैं

संख्याएँ: , , , , , , , , .

संख्या रेखा पर सभी बिंदुओं का समूह जो शर्त को पूरा करता है, जहां एक मनमाने ढंग से छोटी संख्या होती है, कहलाती है -परिवेश (या बस एक पड़ोस) बिंदु का और द्वारा निरूपित किया जाता है। शर्त के साथ सभी बिंदुओं का सेट, जहां - मनमाने ढंग से बड़ी संख्या, बुलाया - परिवेश (या बस एक पड़ोस) अनंत का और द्वारा निरूपित किया जाता है।

वह मात्रा जो समान संख्यात्मक मान बनाए रखती है, कहलाती है स्थिर. वह मात्रा जो भिन्न-भिन्न संख्यात्मक मान ग्रहण करती है, कहलाती है चर। समारोह उस नियम को कहते हैं जिसके अनुसार प्रत्येक संख्या एक अति विशिष्ट संख्या से संबद्ध होती है और लिखते हैं। सेट कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्र कार्य, - अनेक (या क्षेत्र ) मान कार्य, - तर्क , - फ़ंक्शन मान . किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का सबसे आम तरीका विश्लेषणात्मक विधि है, जिसमें फ़ंक्शन को एक सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। परिभाषा का प्राकृतिक क्षेत्र फ़ंक्शन तर्क के मानों का समूह है जिसके लिए यह सूत्र समझ में आता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ , एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, निर्देशांक के साथ विमान के सभी बिंदुओं का सेट है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है यहां तक ​​की बिंदु के संबंध में एक सेट सममिति पर यदि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट है: और विषम , यदि शर्त पूरी होती है। अन्यथा - कार्य सामान्य रूप से देखेंया न तो सम और न ही विषम .

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है आवधिक सेट पर यदि कोई संख्या है ( समारोह की अवधि ), जैसे कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट हो: . सबसे छोटी संख्यामुख्य काल कहा जाता है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है नीरस रूप से बढ़ रहा है (घटते ) सेट पर अगर उच्च मूल्यतर्क फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है सीमित सेट पर, यदि कोई संख्या ऐसी है कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए पूरी होती है: . अन्यथा फ़ंक्शन है असीमित .

रिवर्स कार्य करने के लिए , , एक फ़ंक्शन है जिसे एक सेट पर परिभाषित किया गया है और प्रत्येक को ऐसा असाइन किया गया है। किसी फ़ंक्शन का व्युत्क्रम ज्ञात करना , समीकरण को हल करने की आवश्यकता है अपेक्षाकृत . यदि फ़ंक्शन , पर सख्ती से मोनोटोनिक है, तो इसका हमेशा उलटा होता है, और यदि फ़ंक्शन बढ़ता है (घटता है), तो उलटा कार्यबढ़ता (घटता) भी है।

एक फ़ंक्शन को फॉर्म में दर्शाया जाता है, जहां, कुछ फ़ंक्शन ऐसे होते हैं कि फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन में फ़ंक्शन के मानों का पूरा सेट शामिल होता है, कहलाता है जटिल कार्य स्वतंत्र तर्क. चर को मध्यवर्ती तर्क कहा जाता है। जटिल कार्यइसे फ़ंक्शंस की संरचना भी कहा जाता है और, और लिखा जाता है:।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों पर विचार किया जाता है: शक्ति समारोह, सूचक समारोह ( , ), लघुगणकीय समारोह ( , ), त्रिकोणमितीय कार्य , , , , व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य , , , . प्राथमिक बेसिक से प्राप्त एक फ़ंक्शन कहा जाता है प्राथमिक कार्यउनके अंकगणितीय संक्रियाओं और रचनाओं की एक सीमित संख्या।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय है, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर या नीचे की ओर निर्देशित होती हैं।

कुछ मामलों में, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, इसकी परिभाषा के क्षेत्र को कई गैर-अतिव्यापी अंतरालों में विभाजित करने और उनमें से प्रत्येक पर क्रमिक रूप से एक ग्राफ़ बनाने की सलाह दी जाती है।

वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक क्रमबद्ध सेट को कहा जाता है बिंदु-आयामी अंकगणित (समन्वय) अंतरिक्ष और इसे या से दर्शाया जाता है, जबकि संख्याओं को ई कहा जाता है COORDINATES .

आइए और बिंदुओं के कुछ सेट बनें और। यदि प्रत्येक बिंदु को, किसी नियम के अनुसार, एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या सौंपी जाती है, तो वे कहते हैं कि सेट पर चर का एक संख्यात्मक कार्य दिया गया है और वे लिखते हैं या संक्षेप में और, जिसे कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्र , - अर्थों का समुच्चय , - बहस (स्वतंत्र चर) कार्य।

दो चरों वाले एक फलन को अक्सर , तीन चरों वाले एक फलन को , द्वारा निरूपित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन विमान में बिंदुओं का एक निश्चित सेट है; किसी फ़ंक्शन का डोमेन अंतरिक्ष में बिंदुओं का एक निश्चित सेट है।

विषय 7. संख्या अनुक्रम और श्रृंखला. संगति सीमा. कार्य की सीमा और निरंतरता.

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या, किसी नियम के अनुसार, एक सुपरिभाषित वास्तविक संख्या से जुड़ी हो, तो वे कहते हैं कि दी गई संख्या संख्या क्रम . संक्षेप में दर्शाता है। नंबर पर कॉल किया जाता है अनुक्रम का सामान्य सदस्य . अनुक्रम को प्राकृतिक तर्क फ़ंक्शन भी कहा जाता है। एक अनुक्रम में हमेशा अनंत रूप से कई तत्व होते हैं, जिनमें से कुछ बराबर हो सकते हैं।

नंबर पर कॉल किया जाता है अनुक्रम की सीमा , और लिखें कि क्या किसी संख्या के लिए कोई ऐसी संख्या है जो सभी असमानताओं के लिए हो।

एक परिमित सीमा वाले अनुक्रम को कहा जाता है संमिलित , अन्यथा - विभिन्न .

: 1) घटते , अगर ; 2) की बढ़ती , अगर ; 3) गैर घटते , अगर ; 4) गैर बढ़ती , अगर । उपरोक्त सभी अनुक्रम कहलाते हैं नीरस .

अनुक्रम कहा जाता है सीमित , यदि कोई संख्या ऐसी है कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट होती है: . अन्यथा क्रम है असीमित .

प्रत्येक मोनोटोनिक बंधे अनुक्रम की एक सीमा होती है ( वीयरस्ट्रैस का प्रमेय).

अनुक्रम कहा जाता है बहुत छोता , अगर । अनुक्रम कहा जाता है असीम रूप से बड़ा (अनंत में परिवर्तित) यदि .

संख्या अनुक्रम की सीमा कहलाती है, जहाँ

स्थिरांक को नेपर संख्या कहा जाता है। किसी संख्या का उसके आधार से लघुगणक कहलाता है प्राकृतिकसंख्याओं और द्वारा निरूपित किया जाता है।

रूप की अभिव्यक्ति, जहां संख्याओं का अनुक्रम होता है, कहलाती है संख्या श्रृंखला और नामित किया जाएगा. श्रृंखला के प्रथम पदों का योग कहलाता है -वाँ आंशिक राशि पंक्ति।

शृंखला कहलाती है संमिलित , यदि कोई सीमित सीमा है और विभिन्न , यदि सीमा मौजूद नहीं है। नंबर पर कॉल किया जाता है एक अभिसारी श्रृंखला का योग , साथ ही वे लिखते भी हैं।

यदि शृंखला अभिसरित होती है, तो (किसी श्रृंखला के अभिसरण का एक आवश्यक संकेत ) . उलटा कथन सत्य नहीं है.

यदि , तो श्रृंखला अलग हो जाती है ( किसी शृंखला के विचलन का पर्याप्त संकेत ).

सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखलाएक ऐसी शृंखला है जो पर अभिसरण और विसरित होती है।

जियोमीट्रिक श्रंखला एक श्रृंखला है जो पर अभिसरित होती है, जबकि इसका योग बराबर होता है और पर विसरित होता है। कोई संख्या या प्रतीक ढूंढें.

(बायां आधा-पड़ोस, दायां आधा-पड़ोस) और

वैक्टर के लिए, और, उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट, मिश्रित उत्पाद की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:। 1) टेट्राहेड्रोन और समान्तर चतुर्भुज के आयतन की गणना करने के लिए, वैक्टर पर निर्मित, और किनारों पर, सूत्र का उपयोग करके:; 2) सदिशों की समतलीयता के लिए एक शर्त के रूप में, और : और समतलीय हैं।

विषय 5. एक मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है:

सामान्य रेखा सदिश , किसी दी गई रेखा पर लंबवत किसी भी गैर-शून्य वेक्टर को कहा जाता है। निर्देशन सदिश सीधा है , किसी दी गई रेखा के समानांतर कोई भी गैर-शून्य वेक्टर कहलाता है।

सीधा विमान पर

1) - सामान्य समीकरण रेखा, रेखा का सामान्य वेक्टर कहां है;

2) - किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण;

3) विहित समीकरण );

4)

5) - एक रेखा के समीकरण ढलान के साथ , वह बिंदु कहां है जिससे होकर रेखा गुजरती है; () - वह कोण जो सीधी रेखा अक्ष के साथ बनाती है; - अक्ष पर सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंड की लंबाई (चिह्न के साथ) (यदि खंड अक्ष के धनात्मक भाग पर काटा गया है और "" यदि ऋणात्मक भाग पर काटा गया है तो "" चिन्ह लगाएं)।

6) - एक रेखा का समीकरण खंडों में, निर्देशांक अक्षों पर सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई (एक चिह्न के साथ) कहां और क्या है और (यदि खंड अक्ष के सकारात्मक भाग पर काटा गया है तो "" चिन्ह लगाएं और यदि नकारात्मक भाग पर खंड काटा गया है तो "" चिन्ह लगाएं)।

बिंदु से रेखा की दूरी , समतल पर एक सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

कोना , ( )सीधी रेखाओं के बीच और, सामान्य समीकरणों या कोणीय गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दिया गया, निम्नलिखित सूत्रों में से एक का उपयोग करके पाया जाता है:

मैं, के लिए ।

मैं, के लिए

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं: या।

विमान का सामान्य वेक्टर , किसी दिए गए तल पर लंबवत किसी भी गैर-शून्य वेक्टर को कहा जाता है।

विमान समन्वय प्रणाली में निम्नलिखित में से किसी एक प्रकार के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1) - सामान्य समीकरण समतल, समतल का सामान्य वेक्टर कहां है;

2) - किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण;

3) - तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण, और;

4) - समतल समीकरण खंडों में, जहां, और समन्वय अक्षों पर विमान द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई (एक संकेत के साथ) हैं, और (यदि खंड अक्ष के सकारात्मक भाग पर काटा जाता है और "" यदि नकारात्मक भाग पर काटा जाता है तो "" चिह्न लगाएं) .

बिंदु से समतल तक की दूरी सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

कोना ,( )विमानों के बीच और, सामान्य समीकरणों द्वारा दिया गया, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

सीधा अंतरिक्ष में समन्वय प्रणाली में निम्नलिखित में से किसी एक प्रकार के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1) - सामान्य समीकरण दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में सीधी, जहां और तलों के सामान्य सदिश हैं तथा ;

2) - किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ( विहित समीकरण );

3) - दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण, ;

4) - किसी दिए गए वेक्टर के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, ( पैरामीट्रिक समीकरण );

कोना , ( ) सीधी रेखाओं के बीच और अंतरिक्ष में , विहित समीकरणों द्वारा दिया गया सूत्र द्वारा पाया जाता है:

रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक , पैरामीट्रिक समीकरण द्वारा दिया गया और विमान सामान्य समीकरण द्वारा दिए गए, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं:।

कोना , ( ) सीधी रेखा के बीच , दिया गया विहित समीकरण और विमान , सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया सूत्र द्वारा पाया जाता है: .

विषय 6. दूसरे क्रम के वक्र.

दूसरे क्रम का बीजगणितीय वक्रसमन्वय प्रणाली में एक वक्र कहा जाता है, सामान्य समीकरण जिसका स्वरूप है:

जहां संख्याएं - एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। दूसरे क्रम के वक्रों का निम्नलिखित वर्गीकरण है: 1) यदि , तो सामान्य समीकरण वक्र को परिभाषित करता है अण्डाकार प्रकार (वृत्त (पर), दीर्घवृत्त (पर), रिक्त समुच्चय, बिंदु); 2) यदि , तो - वक्र अतिपरवलयिक प्रकार (अतिशयोक्ति, प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी); 3) यदि , तो - वक्र परवलयिक प्रकार(परवलय, रिक्त समुच्चय, रेखा, समांतर रेखाओं का युग्म)। वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय कहलाते हैं दूसरे क्रम के गैर-पतित वक्र।

सामान्य समीकरण, जहां , एक गैर-पतित वक्र (वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय) को परिभाषित करना, हमेशा (चयन की विधि द्वारा) पूर्ण वर्ग) को निम्नलिखित में से किसी एक प्रकार के समीकरण में घटाया जा सकता है:

1ए) -एक केंद्र और एक त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण (चित्र 5)।

1बी)- एक बिंदु पर केंद्र और निर्देशांक अक्षों के समानांतर समरूपता अक्षों के साथ एक दीर्घवृत्त का समीकरण। संख्याओं तथा - को कहा जाता है दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष दीर्घवृत्त का मुख्य आयत; दीर्घवृत्त के शीर्ष .

समन्वय प्रणाली में एक दीर्घवृत्त बनाने के लिए: 1) दीर्घवृत्त के केंद्र को चिह्नित करें; 2) केंद्र से गुजरें बिंदुयुक्त रेखादीर्घवृत्त की समरूपता की धुरी; 3) हम एक बिंदीदार रेखा के साथ दीर्घवृत्त के मुख्य आयत का निर्माण करते हैं जिसका केंद्र और भुजाएं समरूपता के अक्षों के समानांतर होती हैं; 4) हम एक ठोस रेखा के साथ एक दीर्घवृत्त खींचते हैं, इसे मुख्य आयत में अंकित करते हैं ताकि दीर्घवृत्त केवल दीर्घवृत्त के शीर्षों पर इसके किनारों को छू सके (चित्र 6)।

इसी तरह से एक वृत्त का निर्माण किया जाता है, जिसके मुख्य आयत में भुजाएँ होती हैं (चित्र 5)।

चित्र.5 चित्र.6

2) - अतिपरवलय के समीकरण (कहा जाता है संयुग्मित) एक बिंदु पर एक केंद्र और समन्वय अक्षों के समानांतर समरूपता अक्ष के साथ। संख्याओं तथा - को कहा जाता है अतिपरवलय के अर्धअक्ष ; सममिति अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला और बिंदु पर केंद्र वाला आयत - अतिपरवलय का मुख्य आयत; समरूपता के अक्षों के साथ मुख्य आयत के प्रतिच्छेदन बिंदु - अतिपरवलय के शीर्ष; मुख्य आयत के विपरीत शीर्षों से गुजरने वाली सीधी रेखाएँ - अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख .

एक समन्वय प्रणाली में हाइपरबोला का निर्माण करने के लिए: 1) हाइपरबोला के केंद्र को चिह्नित करें; 2) एक बिंदीदार रेखा के साथ केंद्र के माध्यम से हाइपरबोला की समरूपता की धुरी खींचें; 3) हम एक बिंदीदार रेखा से हाइपरबोला के मुख्य आयत का निर्माण करते हैं जिसका केंद्र और भुजाएँ समरूपता के अक्षों के समानांतर होती हैं; 4) एक बिंदीदार रेखा के साथ मुख्य आयत के विपरीत शीर्षों के माध्यम से सीधी रेखाएं खींचें, जो हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख हैं, जिसके लिए हाइपरबोला की शाखाएं निर्देशांक की उत्पत्ति से अनंत दूरी पर, उन्हें काटे बिना, अनिश्चित काल तक करीब पहुंचती हैं; 5) हम एक ठोस रेखा से हाइपरबोला (चित्र 7) या हाइपरबोला (चित्र 8) की शाखाओं को चित्रित करते हैं।

चित्र.7 चित्र.8

3ए)- एक बिंदु पर एक शीर्ष और सममिति अक्ष के समानांतर एक परवलय का समीकरण समन्वय अक्ष(चित्र 9)।

3बी)- एक बिंदु पर एक शीर्ष और निर्देशांक अक्ष के समानांतर एक समरूपता अक्ष के साथ एक परवलय का समीकरण (चित्र 10)।

समन्वय प्रणाली में एक परवलय का निर्माण करने के लिए: 1) परवलय के शीर्ष को चिह्नित करें; 2) एक बिंदीदार रेखा के साथ शीर्ष के माध्यम से परवलय की समरूपता की धुरी खींचें; 3) हम एक परवलय को एक ठोस रेखा के साथ चित्रित करते हैं, उसकी शाखा को निर्देशित करते हुए, परवलय पैरामीटर के संकेत को ध्यान में रखते हुए: जब - में सकारात्मक पक्षपरवलय की समरूपता के अक्ष के समानांतर एक समन्वय अक्ष (चित्र 9ए और 10ए); पर - पर नकारात्मक पक्षसमन्वय अक्ष (चित्र 9बी और 10बी)।

चावल। 9ए चित्र. 9बी

चावल। 10ए चित्र. 10बी

विषय 7. भीड़। संख्यात्मक सेट. समारोह।

अंतर्गत अनेक किसी भी प्रकृति की वस्तुओं के एक निश्चित समूह को समझें, जो एक दूसरे से अलग हों और एक पूरे के रूप में बोधगम्य हों। वे वस्तुएँ जो एक समुच्चय बनाती हैं, कहलाती हैं तत्वों . एक समुच्चय अनंत हो सकता है (जिसमें अनंत संख्या में तत्व होते हैं), परिमित (जिसमें सीमित संख्या में तत्व होते हैं), खाली (जिसमें एक भी तत्व नहीं होता है)। समुच्चय को : , और उनके तत्वों द्वारा निरूपित किया जाता है : . एक खाली सेट को द्वारा दर्शाया जाता है।

सेट कहा जाता है उपसमुच्चय सेट करें यदि सेट के सभी तत्व सेट से संबंधित हैं और लिखें। सेट कहलाते हैं बराबर , यदि वे समान तत्वों से मिलकर बने हों और लिखें । दो सेट और बराबर होंगे यदि और केवल यदि और।

सेट कहा जाता है सार्वभौमिक (इस गणितीय सिद्धांत के ढांचे के भीतर) , यदि इसके तत्व इस सिद्धांत में मानी जाने वाली सभी वस्तुएँ हैं।

सेट निर्दिष्ट किया जा सकता है: 1) इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना, उदाहरण के लिए: (केवल परिमित सेट के लिए); 2) यह निर्धारित करने के लिए नियम निर्दिष्ट करके कि क्या सार्वभौमिक सेट का एक तत्व किसी दिए गए सेट से संबंधित है:।

संगठन

पार करके सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

अंतर से सेट होता है और इसे सेट कहा जाता है

परिशिष्ट समुच्चय (सार्वभौमिक समुच्चय से पहले) को समुच्चय कहा जाता है।

दो सेट कहलाते हैं समकक्ष और लिखें ~ यदि इन सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है। सेट कहा जाता है गणनीय , यदि यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बराबर है: ~। परिभाषा के अनुसार, खाली सेट गणनीय है।

किसी सेट की प्रमुखता की अवधारणा तब उत्पन्न होती है जब सेट की तुलना उनमें मौजूद तत्वों की संख्या से की जाती है। किसी सेट की कार्डिनैलिटी को द्वारा दर्शाया जाता है। एक परिमित समुच्चय की प्रमुखता उसके तत्वों की संख्या है।

समतुल्य सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है। सेट कहा जाता है अनगिनत , यदि इसकी शक्ति सेट की शक्ति से अधिक है।

वैध (असली) संख्या "+" या "" चिह्न के साथ लिया गया अनंत दशमलव अंश कहलाता है। वास्तविक संख्याओं की पहचान संख्या रेखा पर बिंदुओं से की जाती है। मॉड्यूल किसी वास्तविक संख्या का (पूर्ण मान) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है:

सेट कहा जाता है न्यूमेरिकल , यदि इसके तत्व वास्तविक संख्याएँ हैं अंतराल पर संख्याओं के समूह को कहा जाता है: , , , , , , , , .

संख्या रेखा पर सभी बिंदुओं का समूह जो शर्त को पूरा करता है, जहां एक मनमाने ढंग से छोटी संख्या होती है, कहलाती है -परिवेश (या बस एक पड़ोस) बिंदु का और द्वारा निरूपित किया जाता है। शर्त के साथ सभी बिंदुओं का समुच्चय, जहां एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या है, कहा जाता है - परिवेश (या बस एक पड़ोस) अनंत का और द्वारा निरूपित किया जाता है।

वह मात्रा जो समान संख्यात्मक मान बनाए रखती है, कहलाती है स्थिर. वह मात्रा जो भिन्न-भिन्न संख्यात्मक मान ग्रहण करती है, कहलाती है चर। समारोह उस नियम को कहते हैं जिसके अनुसार प्रत्येक संख्या एक अति विशिष्ट संख्या से संबद्ध होती है और लिखते हैं। सेट कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्र कार्य, - अनेक (या क्षेत्र ) मान कार्य, - तर्क , - फ़ंक्शन मान . किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का सबसे आम तरीका विश्लेषणात्मक विधि है, जिसमें फ़ंक्शन को एक सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। परिभाषा का प्राकृतिक क्षेत्र फ़ंक्शन तर्क के मानों का समूह है जिसके लिए यह सूत्र समझ में आता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ , एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, निर्देशांक के साथ विमान के सभी बिंदुओं का सेट है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है यहां तक ​​की बिंदु के संबंध में एक सेट सममिति पर यदि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट है: और विषम , यदि शर्त पूरी होती है। अन्यथा, सामान्य रूप का एक कार्य या न तो सम और न ही विषम .

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है आवधिक सेट पर यदि कोई संख्या है ( समारोह की अवधि ), जैसे कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए संतुष्ट हो: . सबसे छोटी संख्या को मुख्य आवर्त कहा जाता है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है नीरस रूप से बढ़ रहा है (घटते ) सेट पर यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है सीमित सेट पर, यदि कोई संख्या ऐसी है कि निम्नलिखित शर्त सभी के लिए पूरी होती है: . अन्यथा फ़ंक्शन है असीमित .

रिवर्स कार्य करने के लिए , , एक फ़ंक्शन है जिसे सेट पर और प्रत्येक के लिए परिभाषित किया गया है

ऐसे मेल खाता है. किसी फ़ंक्शन का व्युत्क्रम ज्ञात करना , समीकरण को हल करने की आवश्यकता है अपेक्षाकृत . यदि फ़ंक्शन , पर सख्ती से मोनोटोनिक है, तो इसमें हमेशा एक व्युत्क्रम होता है, और यदि कार्य बढ़ता (घटता) है, तो व्युत्क्रम फलन भी बढ़ता (घटता) है।

एक फ़ंक्शन को फॉर्म में दर्शाया जाता है, जहां, कुछ फ़ंक्शन ऐसे होते हैं कि फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन में फ़ंक्शन के मानों का पूरा सेट शामिल होता है, कहलाता है जटिल कार्य स्वतंत्र तर्क. चर को मध्यवर्ती तर्क कहा जाता है। एक जटिल फ़ंक्शन को फ़ंक्शंस की संरचना भी कहा जाता है और, और लिखा जाता है:।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों पर विचार किया जाता है: शक्ति समारोह, सूचक समारोह ( , ), लघुगणकीय समारोह ( , ), त्रिकोणमितीय कार्य , , , , व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य , , , . प्राथमिक एक फ़ंक्शन है जो बुनियादी प्रारंभिक कार्यों से उनके अंकगणितीय संचालन और रचनाओं की एक सीमित संख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है।

यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिया गया है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण ग्राफ़ के परिवर्तनों (शिफ्ट, संपीड़न या स्ट्रेचिंग, डिस्प्ले) की एक श्रृंखला में कम हो जाता है:

1) 2) परिवर्तन ग्राफ़ को अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित करता है; 3) परिवर्तन ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश इकाइयों द्वारा स्थानांतरित करता है (- दाईं ओर, - बाईं ओर); 4) परिवर्तन ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश इकाइयों द्वारा स्थानांतरित करता है (- ऊपर, - नीचे); 5) ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश रूपांतरित करना एक कारक द्वारा फैलाया जाता है, यदि या एक कारक द्वारा संपीड़ित किया जाता है, यदि; 6) ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश रूपांतरित करना किसी कारक द्वारा संपीड़ित होता है या किसी कारक द्वारा फैलता है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय परिवर्तनों के अनुक्रम को प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

टिप्पणी। परिवर्तन करते समय, ध्यान रखें कि अक्ष के साथ बदलाव की मात्रा उस स्थिरांक से निर्धारित होती है जो सीधे तर्क में जोड़ा जाता है, न कि तर्क में।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय है, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर या नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। एक रेखीय भिन्नात्मक फलन का ग्राफ एक अतिपरवलय होता है जिसका केंद्र बिंदु पर होता है, जिसके अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्षों के समानांतर, केंद्र से होकर गुजरते हैं।

, शर्त को संतुष्ट करना। बुलाया। सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, और
, इस प्रकार रचित:

. यहां पहले दो वैक्टर को वेक्टर से गुणा किया जाता है, और उनके परिणाम को तीसरे वेक्टर से स्केलर रूप से गुणा किया जाता है। ऐसे उत्पाद को सदिश-अदिश या तीन सदिशों का मिश्रित गुणनफल कहा जाता है। मिश्रित उत्पाद एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है. आइए जानेंज्यामितीय अर्थ
.

अभिव्यक्ति प्रमेय

. तीन सदिशों का मिश्रित उत्पाद इन सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है, यदि ये सदिश एक दायां त्रिक बनाते हैं तो धन चिह्न के साथ लिया जाता है, और यदि वे बायां त्रिक बनाते हैं तो ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।सबूत.. , , आइए एक समांतर चतुर्भुज बनाएं जिसके किनारे सदिश हों
.

और वेक्टर
,
हमारे पास है: , कहाँ सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, ,
- सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
सदिशों के सही त्रिक के लिए और
बाएँ के लिए, कहाँ
- समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई। हम पाते हैं:
हमारे पास है: , यानी , सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, .

- सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन

मिश्रित उत्पाद के गुण 1. मिश्रित उत्पाद कब नहीं बदलताचक्रीय

इसके कारकों की पुनर्व्यवस्था, अर्थात् .

दरअसल, इस मामले में न तो समांतर चतुर्भुज का आयतन बदलता है और न ही उसके किनारों का अभिविन्यास बदलता है।
.

2. जब वेक्टर और अदिश गुणन के चिह्नों की अदला-बदली की जाती है, तो मिश्रित उत्पाद नहीं बदलता है, अर्थात।
सदिशों के गुणनफल पर विचार करें,
वास्तव में, , , सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, , , . हम सदिशों के त्रिगुण के बाद से, इन समानताओं के दाईं ओर एक ही चिह्न लेते हैं

- एक ओरिएंटेशन.
इस तरह,
. यह आपको वैक्टर का मिश्रित उत्पाद लिखने की अनुमति देता है
प्रपत्र में

सदिश, अदिश गुणन के चिह्नों के बिना।
,
,
.

3. जब कोई दो कारक सदिश स्थान बदलते हैं तो मिश्रित उत्पाद का चिह्न बदल जाता है, अर्थात।

वास्तव में, इस तरह की पुनर्व्यवस्था एक वेक्टर उत्पाद में कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने, उत्पाद के चिह्न को बदलने के बराबर है। , सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, 4. शून्येतर सदिशों का मिश्रित गुणनफल

शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि वे समतलीय हों।

2.12. ऑर्थोनॉर्मल आधार पर समन्वयित रूप में मिश्रित उत्पाद की गणना
,
,
मान लीजिए सदिश दिए गए हैं

. (10)

. आइए सदिश और अदिश उत्पादों के निर्देशांकों में व्यंजकों का उपयोग करके उनका मिश्रित उत्पाद खोजें:

,

परिणामी सूत्र को अधिक संक्षेप में लिखा जा सकता है:

तो, वैक्टर का मिश्रित उत्पाद तीसरे क्रम के निर्धारक के बराबर है, जो गुणा किए गए वैक्टर के निर्देशांक से बना है।

2.13.मिश्रित उत्पाद के कुछ अनुप्रयोग

अंतरिक्ष में सदिशों के सापेक्ष अभिविन्यास का निर्धारण

सदिशों के सापेक्ष अभिविन्यास का निर्धारण , सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, निम्नलिखित विचारों के आधार पर। अगर
, वह , , - सही तीन; अगर
, वह , , - तीन बचे।

सदिशों की समतलीयता के लिए शर्त

वैक्टर , सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, समतलीय हैं यदि और केवल यदि उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर है (
,
,
):

वैक्टर , , समतलीय.

एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिकोणीय पिरामिड के आयतन का निर्धारण

यह दिखाना आसान है कि एक समांतर चतुर्भुज का आयतन सदिशों पर निर्मित होता है , सदिशों के गुणनफल पर विचार करें, के रूप में गणना की गई
, और वॉल्यूम त्रिकोणीय पिरामिड, समान वैक्टर पर निर्मित, के बराबर है
.

उदाहरण 1.सिद्ध कीजिए कि सदिश
,
,
समतलीय.

समाधान।आइए सूत्र का उपयोग करके इन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद खोजें:

.

इसका मतलब यह है कि वैक्टर
समतलीय.

उदाहरण 2.चतुष्फलक के शीर्षों को देखते हुए: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). शीर्ष से कम की गई इसकी ऊँचाई की लंबाई ज्ञात कीजिए .

समाधान।आइए सबसे पहले चतुष्फलक का आयतन ज्ञात करें
. हमें प्राप्त सूत्र का उपयोग करना:

चूँकि सारणिक एक ऋणात्मक संख्या के बराबर है, तो में इस मामले मेंआपको फ़ॉर्मूले के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा. इस तरह,
.

आवश्यक मात्रा एचहम सूत्र से निर्धारित करते हैं
, कहाँ एस – आधार क्षेत्र. आइए क्षेत्रफल निर्धारित करें एस:

कहाँ

तब से

सूत्र में प्रतिस्थापित करना
मान
सदिशों के गुणनफल पर विचार करें,
, हम पाते हैं एच= 3.

उदाहरण 3.क्या वेक्टर बनते हैं?
अंतरिक्ष में आधार? वेक्टर का विस्तार करें
वेक्टर पर आधारित.

समाधान।यदि सदिश अंतरिक्ष में आधार बनाते हैं, तो वे एक ही तल में नहीं होते हैं, अर्थात। गैर-समतलीय हैं। आइए सदिशों का मिश्रित गुणनफल ज्ञात करें
:
,

परिणामस्वरूप, सदिश समतलीय नहीं होते हैं और अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैं। यदि सदिश अंतरिक्ष में आधार बनाते हैं, तो कोई भी सदिश अर्थात् आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है
,कहाँ
वेक्टर निर्देशांक सदिश आधार पर
. आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाकर और हल करके इन निर्देशांकों को खोजें

.

गॉस विधि द्वारा इसे हल करना, हमारे पास है

यहाँ से
. .

तब
.

इस प्रकार,उदाहरण 4.
,
,
,
पिरामिड के शीर्ष बिंदुओं पर स्थित हैं:

. गणना करें:
;

ए) चेहरा क्षेत्र
;

बी) पिरामिड का आयतन
ग) वेक्टर प्रक्षेपण
;

वेक्टर की दिशा में
;

घ) कोण
,
,
समतलीय.

घ) जांचें कि वेक्टर

समाधान

.

ए) वेक्टर उत्पाद की परिभाषा से यह ज्ञात होता है कि:
सदिशों के गुणनफल पर विचार करें,
वेक्टर ढूँढना

,
.

, सूत्र का उपयोग कर

हमारे पास है:
.

उनके प्रक्षेपणों द्वारा निर्दिष्ट वेक्टरों के लिए, वेक्टर उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है

.

हमारे मामले के लिए

,
.

हम सूत्र का उपयोग करके परिणामी वेक्टर की लंबाई ज्ञात करते हैं
और तब

(वर्ग इकाई)। , , ख) तीन सदिशों का मिश्रित उत्पाद सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आयतन के निरपेक्ष मान के बराबर होता है

जैसे पसलियों पर.

.

आइए वेक्टर खोजें
,
,
, पिरामिड के किनारों के शीर्ष पर एकत्रित होने के साथ मेल खाता है :

,

,

.

इन सदिशों का मिश्रित उत्पाद

.

चूँकि पिरामिड का आयतन सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के आयतन के भाग के बराबर है
,
,
, वह
(घन इकाई)

ग) सूत्र का उपयोग करना
, सदिशों के अदिश गुणनफल को परिभाषित करना , , इस प्रकार लिखा जा सकता है:

,

कहाँ
या
;

या
.

एक वेक्टर का प्रक्षेपण खोजने के लिए
ग) वेक्टर प्रक्षेपण
सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए
,
, और फिर सूत्र लागू करना

,

हम पाते हैं

घ) कोण ज्ञात करना
वेक्टर को परिभाषित करें
,
होना सामान्य शुरुआतबिंदु पर :

,

.

फिर, अदिश उत्पाद सूत्र का उपयोग करें

,

ई) तीन वैक्टर के क्रम में

,
,

समतलीय थे, इसलिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर हो।

हमारे मामले में हमारे पास है
.

इसलिए, सदिश समतलीय हैं।

इस पाठ में हम वैक्टर के साथ दो और ऑपरेशन देखेंगे: सदिशों का सदिश गुणनफलऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (उन लोगों के लिए तत्काल लिंक जिन्हें इसकी आवश्यकता है). यह ठीक है, कभी-कभी ऐसा होता है कि पूर्ण सुख के लिए भी सदिशों का अदिश गुणनफल, और अधिक की आवश्यकता है। यह वेक्टर एडिक्शन है. ऐसा लग सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में जा रहे हैं। यह गलत है। उच्च गणित के इस खंड में आमतौर पर पिनोच्चियो के लिए पर्याप्त लकड़ी को छोड़कर, बहुत कम लकड़ी होती है। वास्तव में, सामग्री बहुत सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक जटिल हो डॉट उत्पाद, यहां तक ​​की विशिष्ट कार्यकम होगा. विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि कई लोग आश्वस्त होंगे या पहले ही आश्वस्त हो चुके हैं, गणना में गलतियाँ नहीं करना है। एक मंत्र की तरह दोहराएँ और आप खुश हो जायेंगे =)

यदि सदिश कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली चमकती है, तो कोई बात नहीं, पाठ से शुरुआत करें डमी के लिए वेक्टरवैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान को पुनर्स्थापित या पुनः प्राप्त करना। अधिक तैयार पाठक चुनिंदा जानकारी से परिचित हो सकते हैं, मैंने उदाहरणों का सबसे संपूर्ण संग्रह एकत्र करने का प्रयास किया जो अक्सर व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं

कौन सी चीज़ आपको तुरंत खुश कर देगी? जब मैं छोटा था तो मैं दो या तीन गेंदें भी खेल सकता था। इसने अच्छा काम किया. अब आपको बिल्कुल भी जुगाड़ नहीं करना पड़ेगा, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल स्थानिक सदिश, ए फ्लैट वैक्टरदो निर्देशांकों के साथ छोड़ दिया जाएगा। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वेक्टर और वेक्टर के मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। यह पहले से ही आसान है!

अदिश उत्पाद की तरह ही इस ऑपरेशन में भी शामिल है दो वैक्टर. यह अविनाशी अक्षर हों।

क्रिया ही द्वारा निरूपितनिम्नलिखित नुसार: । अन्य विकल्प भी हैं, लेकिन मैं वेक्टर के वेक्टर उत्पाद को क्रॉस के साथ वर्गाकार कोष्ठक में इस तरह से दर्शाने का आदी हूं।

और तुरंत सवाल: मैं फ़िन सदिशों का अदिश गुणनफलदो सदिश शामिल हैं, और यहाँ भी दो सदिशों को गुणा किया गया है क्या फर्क पड़ता है? स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में है:

सदिशों के अदिश गुणनफल का परिणाम NUMBER है:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम वेक्टर है: , अर्थात, हम सदिशों को गुणा करते हैं और फिर से एक सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब. दरअसल, यहीं से ऑपरेशन का नाम आता है। विभिन्न में शैक्षणिक साहित्यपदनाम भी भिन्न हो सकते हैं, मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले चित्र के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणियाँ।

परिभाषा: वेक्टर उत्पाद गैर समरेखवेक्टर, इसी क्रम में लिया गया, जिसे वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन वैक्टरों पर निर्मित; वेक्टर सदिशों के लिए ओर्थोगोनल, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

आइए परिभाषा को टुकड़े-टुकड़े करके देखें, यहां बहुत सारी दिलचस्प चीजें हैं!

तो, निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर प्रकाश डाला जा सकता है:

1) मूल वेक्टर, परिभाषा के अनुसार, लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है संरेख नहीं. संरेख सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) सदिश लिये गये हैं कड़ाई से परिभाषित क्रम में: – "ए" को "बी" से गुणा किया जाता है, और "ए" के साथ "होना" नहीं। सदिश गुणन का परिणामवेक्टर है, जो नीले रंग में दर्शाया गया है। यदि सदिशों को उल्टे क्रम में गुणा किया जाए, तो हमें लंबाई में बराबर और दिशा में विपरीत (रास्पबेरी रंग) एक सदिश प्राप्त होता है। अर्थात् समानता सत्य है .

3) अब आइए वेक्टर उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) की लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है। चित्र में, यह समांतर चतुर्भुज काले रंग से छायांकित है।

टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है, और, स्वाभाविक रूप से, वेक्टर उत्पाद की नाममात्र लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

आइए इनमें से एक को याद करें ज्यामितीय सूत्र: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है. इसलिए, उपरोक्त के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र वेक्टर की लंबाई के बारे में है, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और तात्पर्य यह है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अक्सर एक वेक्टर उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

आइए दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त करें। एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (लाल बिंदीदार रेखा) इसे दो भागों में विभाजित करता है समान त्रिकोण. इसलिए, सदिशों (लाल छायांकन) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

4) कम नहीं महत्वपूर्ण तथ्ययह है कि वेक्टर वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है, अर्थात . बेशक, विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर (रास्पबेरी तीर) भी मूल वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है।

5) वेक्टर को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है आधारहै सहीअभिविन्यास। के बारे में पाठ में एक नए आधार पर संक्रमणमैंने इसके बारे में पर्याप्त विस्तार से बात की समतल अभिविन्यास, और अब हम समझेंगे कि अंतरिक्ष अभिविन्यास क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दांया हाथ . मानसिक रूप से गठबंधन करें तर्जनी वेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ. अनामिका और छोटी उंगलीइसे अपनी हथेली में दबाएँ. नतीजतन अँगूठा - वेक्टर उत्पाद ऊपर दिखेगा। यह एक अधिकार-उन्मुख आधार है (चित्र में यही है)। अब वेक्टर बदलें ( तर्जनी और मध्यमा उंगलियाँ) कुछ स्थानों पर, परिणामस्वरूप अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी अधिकारोन्मुख आधार है। आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: वामपंथी रुझान किस आधार पर है? उन्हीं उंगलियों को "असाइन करें"। बायां हाथवेक्टर, और अंतरिक्ष का बायां आधार और बायां अभिविन्यास प्राप्त करें (इस मामले में, अंगूठा निचले वेक्टर की दिशा में स्थित होगा). लाक्षणिक रूप से कहें तो, ये आधार स्थान को "मोड़" देते हैं या अलग-अलग दिशाओं में उन्मुख करते हैं। और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या अमूर्त नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष का अभिविन्यास सबसे साधारण दर्पण द्वारा बदल दिया जाता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दिखने वाले कांच से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य मामले में यह इसे "मूल" के साथ जोड़ना संभव नहीं होगा। वैसे, तीन अंगुलियों को दर्पण तक पकड़ें और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

...यह कितना अच्छा है जिसके बारे में अब आप जानते हैं दाएँ- और बाएँ-उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास में बदलाव के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान डरावने हैं =)

संरेख सदिशों का क्रॉस उत्पाद

परिभाषा पर विस्तार से चर्चा की गई है, यह देखना बाकी है कि जब सदिश संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश संरेख हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "जोड़" देता है। ऐसा क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमांतर चतुर्भुज शून्य के बराबर है. सूत्र से भी यही पता चलता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल शून्य है

इस प्रकार, यदि, तो और . कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य के बराबर है।

एक विशेष मामला अपने आप में एक वेक्टर का वेक्टर उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की संरेखता की जांच कर सकते हैं, और हम अन्य समस्याओं के अलावा इस समस्या का भी विश्लेषण करेंगे।

हल करने के लिए आपको व्यावहारिक उदाहरणों की आवश्यकता हो सकती है त्रिकोणमितीय तालिकाइससे ज्या का मान ज्ञात करना।

खैर, चलो आग जलाएं:

उदाहरण 1

ए) यदि सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात करें

b) यदि सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

घ) जांचें कि वेक्टर: नहीं, यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है, मैंने जानबूझकर खंडों में प्रारंभिक डेटा को वही बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा लंबाईवेक्टर (क्रॉस उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

यदि आपसे लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो उत्तर में हम आयाम - इकाइयों का संकेत देते हैं।

b) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा वर्गसदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से वेक्टर उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि उत्तर उस वेक्टर उत्पाद के बारे में बिल्कुल भी बात नहीं करता है जिसके बारे में हमसे पूछा गया था आकृति का क्षेत्रफलतदनुसार, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा यह देखते हैं कि स्थिति के अनुसार हमें क्या खोजने की आवश्यकता है, और, इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं स्पष्टउत्तर। यह शाब्दिकवाद की तरह लग सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच बहुत सारे शाब्दिकवाद हैं, और असाइनमेंट को पुनरीक्षण के लिए लौटाए जाने की अच्छी संभावना है। हालाँकि यह कोई विशेष रूप से दूर की बात नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो किसी को यह आभास हो जाता है कि व्यक्ति समझ नहीं रहा है सरल चीज़ेंऔर/या कार्य का सार नहीं समझा। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते समय इस बिंदु को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, इसे अतिरिक्त रूप से समाधान से जोड़ा जा सकता था, लेकिन प्रविष्टि को छोटा करने के लिए, मैंने ऐसा नहीं किया। मुझे आशा है कि हर कोई इसे समझता है और यह उसी चीज़ के लिए एक पदनाम है।

लोकप्रिय उदाहरणस्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 2

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र परिभाषा की टिप्पणियों में दिया गया है। समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

व्यवहार में, यह कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है, त्रिकोण आम तौर पर आपको परेशान कर सकता है;

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए हमें आवश्यकता होगी:

सदिशों के सदिश गुणनफल के गुण

हम पहले ही वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर विचार कर चुके हैं, हालाँकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूँगा।

मनमाना वैक्टर और मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) जानकारी के अन्य स्रोतों में, इस आइटम को आमतौर पर गुणों में हाइलाइट नहीं किया जाता है, लेकिन व्यावहारिक दृष्टि से यह बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो.

2) -संपत्ति की चर्चा ऊपर भी की गई है, कभी-कभी इसे भी कहा जाता है प्रतिसंक्रामकता. दूसरे शब्दों में, सदिशों का क्रम मायने रखता है।

3) - साहचर्य या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून. स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के बाहर आसानी से ले जाया जा सकता है। सचमुच, उन्हें वहां क्या करना चाहिए?

4)- वितरण या विभाजित करनेवालावेक्टर उत्पाद कानून. ब्रैकेट खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।

प्रदर्शित करने के लिए, आइए एक संक्षिप्त उदाहरण देखें:

उदाहरण 3

यदि खोजें

समाधान:स्थिति में फिर से वेक्टर उत्पाद की लंबाई खोजने की आवश्यकता होती है। आइए अपना लघुचित्र बनाएं:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के दायरे से बाहर लेते हैं।

(2) हम स्थिरांक को मॉड्यूल के बाहर ले जाते हैं, और मॉड्यूल ऋण चिह्न को "खा लेता है"। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती.

(3) बाकी सब स्पष्ट है.

उत्तर:

अब आग में और लकड़ी डालने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

घ) जांचें कि वेक्टर: सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें . समस्या यह है कि सदिश "tse" और "de" स्वयं सदिशों के योग के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यहां एल्गोरिदम मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है वैक्टर का डॉट उत्पाद. स्पष्टता के लिए, हम समाधान को तीन चरणों में विभाजित करेंगे:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद को वेक्टर उत्पाद के माध्यम से व्यक्त करते हैं, वास्तव में, आइए एक सदिश को सदिश के रूप में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!

(1) सदिशों के भावों को प्रतिस्थापित करें।

(2) वितरण नियमों का प्रयोग करते हुए हम बहुपदों के गुणन नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम सभी स्थिरांकों को सदिश उत्पादों से परे ले जाते हैं। थोड़े से अनुभव के साथ, चरण 2 और 3 को एक साथ निष्पादित किया जा सकता है।

(4) प्रथम और अंतिम पद शून्य (शून्य सदिश) के बराबर हैं सुखद संपत्ति. दूसरे पद में हम एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी की संपत्ति का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।

परिणामस्वरूप, वेक्टर को एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे प्राप्त करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें आवश्यक वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात होती है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान है:

3) आवश्यक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में लिखा जा सकता था।

उत्तर:

जिस समस्या पर विचार किया गया वह काफी सामान्य है परीक्षण, यहां एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

यदि खोजें

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)

निर्देशांक में सदिशों का क्रॉस उत्पाद

, में निर्दिष्ट ऑर्थोनॉर्मल आधार , सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:

सूत्र वास्तव में सरल है: सारणिक की शीर्ष पंक्ति में हम निर्देशांक सदिश लिखते हैं, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में हम सदिशों के निर्देशांक "डालते हैं", और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले "ve" वेक्टर के निर्देशांक, फिर "डबल-वे" वेक्टर के निर्देशांक। यदि सदिशों को भिन्न क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो पंक्तियों की अदला-बदली की जानी चाहिए:

उदाहरण 10

जाँचें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:
ए)
बी)

घ) जांचें कि वेक्टर: सत्यापन एक कथन पर आधारित है यह सबक: यदि सदिश संरेख हैं, तो उनका सदिश गुणनफल शून्य (शून्य सदिश) के बराबर होता है: .

ए) वेक्टर उत्पाद खोजें:

इस प्रकार, सदिश संरेख नहीं हैं।

बी) वेक्टर उत्पाद खोजें:

उत्तर: ए) संरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, सदिशों के सदिश गुणनफल के बारे में सारी बुनियादी जानकारी है।

यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि ऐसी कुछ समस्याएं हैं जहां वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ कार्य सूत्रों पर निर्भर करेगा।

सदिशों का मिश्रित गुणनफल गुणनफल है तीन वेक्टर :

इसलिए वे एक ट्रेन की तरह कतार में खड़े हो गए और पहचाने जाने का इंतजार नहीं कर सकते।

सबसे पहले, फिर से, एक परिभाषा और एक चित्र:

परिभाषा: मिश्रित कार्य गैर समतलीयवेक्टर, इसी क्रम में लिया गया, बुलाया समांतर चतुर्भुज आयतन, इन वैक्टरों पर निर्मित, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न से सुसज्जित है, और यदि आधार बाएँ है तो "-" चिह्न से सुसज्जित है।

चलो ड्राइंग बनाते हैं. हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ बिंदीदार रेखाओं से खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में उतरें:

2) सदिश लिये गये हैं एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टरों की पुनर्व्यवस्था, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणामों के बिना नहीं होती है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं एक स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: सदिशों का मिश्रित गुणनफल एक संख्या है: . शैक्षिक साहित्य में, डिज़ाइन थोड़ा अलग हो सकता है; मैं मिश्रित उत्पाद को, और गणना के परिणाम को "पे" अक्षर से निरूपित करने का आदी हूँ।

परिभाषा से मिश्रित उत्पाद समांतर चतुर्भुज का आयतन है, सदिशों पर निर्मित (आकृति लाल सदिशों और काली रेखाओं से खींची गई है)। अर्थात्, संख्या किसी दिए गए समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है.

4) आइए आधार और स्थान के अभिविन्यास की अवधारणा के बारे में फिर से चिंता न करें। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में ऋण चिह्न जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, मिश्रित उत्पाद नकारात्मक हो सकता है: .

परिभाषा से सीधे वैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना के लिए सूत्र का पालन किया जाता है।