नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान

"माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 26

व्यक्तिगत विषयों के गहन अध्ययन के साथ"

तातारस्तान गणराज्य का निज़नेकमस्क शहर

गणित पाठ नोट्स
आठवीं कक्षा में

एक चर के साथ असमानताओं को हल करना

और उनके सिस्टम

तैयार

गणित शिक्षक

प्रथम योग्यता श्रेणी

कुंगुरोवा गुलनाज़ राफेलोव्ना

निज़नेकैमस्क 2014

योजना सारांशपाठ

शिक्षक: कुंगुरोवा जी.आर.

विषय: गणित

विषय: "एक चर और उनकी प्रणालियों के साथ रैखिक असमानताओं को हल करना।"

कक्षा: 8बी

दिनांक: 04/10/2014

पाठ का प्रकार:अध्ययन की गई सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।

पाठ का उद्देश्य:एक चर और उनकी प्रणालियों के साथ असमानताओं को हल करने में व्यावहारिक कौशल का समेकन, मापांक चिह्न के तहत एक चर वाली असमानताएं।

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

एक चर के साथ असमानताओं को हल करने के तरीकों के बारे में छात्रों के ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;

असमानताओं के प्रकार का विस्तार: दोहरी असमानताएं, मापांक चिह्न के तहत एक चर युक्त असमानताएं, असमानताओं की प्रणाली;

गणित, रूसी भाषा और रसायन विज्ञान के बीच अंतःविषय संबंध स्थापित करना।

शैक्षिक:

ध्यान की सक्रियता, मानसिक गतिविधि, गणितीय भाषण का विकास, संज्ञानात्मक रुचिछात्रों में;

आत्म-मूल्यांकन और आत्म-नियंत्रण के तरीकों और मानदंडों में महारत हासिल करना।

शैक्षिक:

स्वतंत्रता, सटीकता और एक टीम में काम करने की क्षमता को बढ़ावा देना

पाठ में प्रयुक्त बुनियादी विधियाँ: संचारी, व्याख्यात्मक-चित्रणात्मक, प्रजननात्मक, क्रमादेशित नियंत्रण की विधि।

उपकरण:

कंप्यूटर

कंप्यूटर प्रस्तुति

मोनोब्लॉक (व्यक्तिगत ऑनलाइन परीक्षण करना)

हैंडआउट्स (बहु-स्तरीय व्यक्तिगत असाइनमेंट);

स्व-नियंत्रण पत्रक;

शिक्षण योजना:

1. संगठनात्मक क्षण.

4. स्वतंत्र कार्य

5. प्रतिबिम्ब

6. पाठ सारांश.

पाठ की प्रगति:

1. संगठनात्मक क्षण.

(शिक्षक छात्रों को पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य बताता है।)

आज हम बहुत सामना कर रहे हैं महत्वपूर्ण कार्य. हमें इस विषय को संक्षेप में प्रस्तुत करना चाहिए। एक बार फिर, सैद्धांतिक मुद्दों पर बहुत सावधानी से काम करना, गणना करना और इस विषय के व्यावहारिक अनुप्रयोग पर विचार करना आवश्यक होगा। रोजमर्रा की जिंदगी. और हमें यह कभी नहीं भूलना चाहिए कि हम कैसे तर्क करते हैं, विश्लेषण करते हैं और तार्किक श्रृंखलाएँ बनाते हैं। हमारी वाणी हमेशा साक्षर और सही होनी चाहिए।

आपमें से प्रत्येक के पास अपने डेस्क पर एक स्व-नियंत्रण शीट है। पूरे पाठ के दौरान, इस पाठ में अपने योगदान को "+" चिह्न से चिह्नित करना याद रखें।

शिक्षक पूछता है गृहकार्यइस पर टिप्पणी करके:

№1026(ए,बी), संख्या 1019(सी,डी); अतिरिक्त - क्रमांक 1046(ए)

2. ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को अद्यतन करना

1) शुरू करने से पहले व्यावहारिक कार्य, आइए सिद्धांत की ओर मुड़ें।

शिक्षक परिभाषा की शुरुआत की घोषणा करता है, और छात्रों को सूत्रीकरण पूरा करना होगा।

a) एक चर में असमानता ax>b, ax के रूप की असमानता है<в;

ख) किसी असमानता को हल करने का अर्थ है उसके सभी समाधान ढूंढना या यह साबित करना कि कोई समाधान नहीं है;

ग) एक चर वाली असमानता का समाधान उस चर का मान है जो इसे वास्तविक असमानता में बदल देता है;

घ) असमानताओं को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समाधानों का सेट मेल खाता हो। यदि इनका कोई समाधान न हो तो इन्हें समतुल्य भी कहा जाता है

2) बोर्ड पर एक चर के साथ असमानताएँ हैं, जो एक कॉलम में व्यवस्थित हैं। और उसके बगल में दूसरे कॉलम में उनके समाधान संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखे जाते हैं। छात्रों का कार्य असमानताओं और संगत अंतरालों के बीच पत्राचार स्थापित करना है।

असमानताओं और संख्यात्मक अंतरालों के बीच एक पत्राचार स्थापित करें:

1. 3x > 6 ए) (-∞ ; - 0.2]

2. -5x ≥ 1 बी) (- ∞ ; 15)

3. 4x > 3 सी) (2; + ∞)

4. 0.2x< 3 г) (0,75; + ∞)

3) व्यावहारिक कार्यस्व-परीक्षण नोटबुक में।

छात्र बोर्ड पर एक चर में एक रैखिक असमानता लिखते हैं। इसे पूरा करने के बाद, छात्रों में से एक अपना निर्णय सुनाता है और की गई गलतियों को सुधारा जाता है)

असमानता का समाधान करें:

4 (2x - 1) - 3(x + 6) > x;

8x - 4 - 3x - 18 > x;

8x - 3x – x > 4+18 ;

4x > 22 ;

एक्स > 5.5.

उत्तर। (5.5 ; +∞)

3. व्यावहारिक अनुप्रयोगरोजमर्रा की जिंदगी में असमानताएं ( रासायनिक प्रयोग)

हमारे दैनिक जीवन में असमानताएँ अच्छी सहायक हो सकती हैं। और इसके अलावा, निस्संदेह, स्कूली विषयों के बीच एक अटूट संबंध है। गणित न केवल रूसी भाषा के साथ, बल्कि रसायन विज्ञान के साथ भी जुड़ा हुआ है।

(प्रत्येक डेस्क पर 0 से 12 तक पीएच मान के लिए एक संदर्भ पैमाना होता है)

यदि 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;

यदि पीएच = 7, तो पर्यावरण तटस्थ है;

यदि सूचक 7 है< pH ≤ 12, то среда щелочная

शिक्षक अलग-अलग परखनलियों में 3 रंगहीन घोल डालता है। रसायन विज्ञान पाठ्यक्रम से, छात्रों को समाधान मीडिया (अम्लीय, तटस्थ, क्षारीय) के प्रकारों को याद रखने के लिए कहा जाता है। इसके बाद, प्रयोगात्मक रूप से, छात्रों को शामिल करते हुए, तीनों समाधानों में से प्रत्येक का वातावरण निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक समाधान में एक सार्वभौमिक संकेतक डाला जाता है। होता यह है कि प्रत्येक संकेतक तदनुसार रंगीन होता है। और रंग योजना के अनुसार, मानक पैमाने के लिए धन्यवाद, छात्र प्रत्येक प्रस्तावित समाधान का वातावरण स्थापित करते हैं।

निष्कर्ष:

1 सूचक लाल हो जाता है, सूचक 0 ≤ पीएच< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке

2 सूचक घुमाव हरा, पीएच = 7, जिसका अर्थ है कि दूसरे घोल का माध्यम तटस्थ है, यानी हमारे पास टेस्ट ट्यूब 2 में पानी था

3 सूचक घुमाव नीला, सूचक 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь

पीएच सीमा को जानकर, आप मिट्टी, साबुन और कई सौंदर्य प्रसाधनों की अम्लता का स्तर निर्धारित कर सकते हैं।

ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का निरंतर अद्यतनीकरण।

1) फिर से, शिक्षक परिभाषाएँ बनाना शुरू करता है, और छात्रों को उन्हें पूरा करना होगा

परिभाषाएँ जारी रखें:

ए) रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान ढूंढना या यह साबित करना कि कोई भी नहीं है

बी) एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली का समाधान उस चर का मान है जिसके लिए प्रत्येक असमानता सत्य है

ग) एक चर वाली असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिए, आपको प्रत्येक असमानता का समाधान ढूंढना होगा, और इन अंतरालों का प्रतिच्छेदन ढूंढना होगा

शिक्षक छात्रों को फिर से याद दिलाते हैं कि एक चर और उनकी प्रणालियों के साथ रैखिक असमानताओं को हल करने की क्षमता ही आधार है, अधिक के लिए आधार है जटिल असमानताएँ, जिसका अध्ययन उच्च ग्रेड में किया जाएगा। ज्ञान की नींव रखी गई है, जिसकी ताकत 9वीं कक्षा के बाद गणित में ओजीई में पुष्टि करनी होगी।

छात्र अपनी नोटबुक में एक चर के साथ रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को हल करते हैं। (2 छात्र बोर्ड पर इन कार्यों को पूरा करते हैं, उनके समाधान की व्याख्या करते हैं, सिस्टम को हल करने में उपयोग की जाने वाली असमानताओं के गुणों को आवाज देते हैं)।

№1012(डी). रैखिक असमानताओं की प्रणाली को हल करें

0.3 x+1< 0,4х-2;

1.5 x-3 > 1.3 x-1. उत्तर। (30;+∞).

№1028(डी). दोहरी असमानता को हल करें और उन सभी पूर्णांकों को सूचीबद्ध करें जो इसका समाधान हैं

1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0

2) मापांक चिह्न के अंतर्गत एक चर वाली असमानताओं को हल करना।

अभ्यास से पता चलता है कि मापांक चिह्न के तहत एक चर वाली असमानताएं छात्रों में चिंता और आत्म-संदेह का कारण बनती हैं। और अक्सर छात्र ऐसी असमानताओं को स्वीकार नहीं करते हैं। और इसका कारण ख़राब ढंग से रखी गई नींव है। शिक्षक छात्रों को समय पर खुद पर काम करने और इन असमानताओं को सफलतापूर्वक लागू करने के लिए सभी चरणों को लगातार सीखने के लिए प्रोत्साहित करता है।

मौखिक कार्य किया जाता है। (सामने सर्वेक्षण)

मापांक चिह्न के अंतर्गत एक चर वाली असमानताओं को हल करना:

1. किसी संख्या x का मापांक मूल बिंदु से निर्देशांक x वाले बिंदु तक की दूरी है।

| 35 | = 35,

| - 17 | = 17,

| 0 | = 0

2. असमानताओं को हल करें:

ए) | एक्स |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)

बी) | एक्स | > 2. उत्तर। (- ∞; -2) यू (2; +∞)

इन असमानताओं को हल करने की प्रगति को स्क्रीन पर विस्तार से प्रदर्शित किया जाता है और मापांक चिह्न के तहत एक चर वाली असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का वर्णन किया जाता है।

4. स्वतंत्र कार्य

इस विषय में महारत की डिग्री को नियंत्रित करने के लिए, 4 छात्र मोनोब्लॉक में सीटें लेते हैं और विषयगत ऑनलाइन परीक्षण देते हैं। परीक्षण का समय 15 मिनट है. पूरा होने के बाद, एक स्व-परीक्षण अंक और प्रतिशत दोनों के रूप में किया जाता है।

अपने डेस्क पर बाकी छात्र भिन्न-भिन्न प्रकार से स्वतंत्र कार्य करते हैं।

स्वतंत्र कार्य (समापन समय) 13 मिनट)

विकल्प 1

विकल्प 2

1. असमानताओं को हल करें:

ए) 6+x< 3 - 2х;

बी) 0.8(x-3) - 3.2 ≤ 0.3(2 - x)।

3(x+1) - (x-2)< х,

2 > 5x - (2x-1) .

-6 < 5х - 1 < 5

4*. (इसके अतिरिक्त)

असमानता का समाधान करें:

| 2- 2x | ≤ 1

1. असमानताओं को हल करें:

ए) 4+x< 1 - 2х;

बी) 0.2(3x - 4) - 1.6 ≥ 0.3(4-3x)।

2. असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

2(x+3) - (x - 8)< 4,

6x > 3(x+1) -1.

3. दोहरी असमानता का समाधान करें:

-1 < 3х - 1 < 2

4*. (इसके अतिरिक्त)

असमानता का समाधान करें:

| 6x -1 | ≤ 1

निष्पादन के बाद स्वतंत्र कार्यछात्र अपनी नोटबुक जाँचने के लिए देते हैं। जिन छात्रों ने मोनोब्लॉक पर काम किया, वे अपनी नोटबुक भी जांच के लिए शिक्षक को सौंप देते हैं।

5. प्रतिबिम्ब

शिक्षक छात्रों को आत्म-नियंत्रण शीट की याद दिलाते हैं, जिस पर उन्हें पूरे पाठ के विभिन्न चरणों में "+" के साथ अपने काम का मूल्यांकन करना था।

लेकिन छात्रों को अपनी गतिविधियों का मुख्य मूल्यांकन एक प्राचीन दृष्टांत को व्यक्त करने के बाद ही देना होगा।

दृष्टांत.

एक साधु पैदल जा रहे थे और उन्हें 3 लोग मिले। वे मंदिर के निर्माण के लिए तेज़ धूप में पत्थरों से भरी गाड़ियाँ ले गए।

ऋषि ने उन्हें रोका और पूछा:

- आज पुरे दिन क्या किया?

"मैं शापित पत्थर ले गया," पहले ने उत्तर दिया।

“मैंने अपना काम कर्तव्यनिष्ठा से किया,” दूसरे ने उत्तर दिया।

"और मैंने मंदिर के निर्माण में भाग लिया," तीसरे ने गर्व से उत्तर दिया।

स्व-नियंत्रण पत्रक में, बिंदु संख्या 3 में, छात्रों को एक वाक्यांश दर्ज करना होगा जो इस पाठ में उनके कार्यों के अनुरूप होगा।

स्व-नियंत्रण शीट ____________________________________________

№ एन /एन

पाठ चरण

श्रेणी शैक्षणिक गतिविधियां

कक्षा में मौखिक कार्य

व्यावहारिक भाग:

एक चर के साथ असमानताओं को हल करना;

असमानताओं की प्रणाली को हल करना;

दोहरी असमानताओं को हल करना;

मापांक चिह्न के साथ असमानताओं को हल करना

प्रतिबिंब

पैराग्राफ 1 और 2 में, पाठ में सही उत्तरों को "+" चिह्न से चिह्नित करें;

पैराग्राफ 3 में दिए गए निर्देशों के अनुसार कक्षा में अपने काम का मूल्यांकन करें

6. पाठ सारांश.

शिक्षक, पाठ का सारांश देते हुए, सफल क्षणों और समस्याओं को नोट करता है जिन पर अतिरिक्त काम किया जाना बाकी है।

छात्रों को स्व-नियंत्रण शीट के अनुसार अपने काम का मूल्यांकन करने के लिए कहा जाता है, और छात्रों को स्वतंत्र कार्य के परिणामों के आधार पर एक और अंक मिलता है।

पाठ के अंत में, शिक्षक छात्रों का ध्यान फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लेज़ पास्कल के शब्दों की ओर आकर्षित करते हैं: "किसी व्यक्ति की महानता उसकी सोचने की क्षमता में निहित है।"

सन्दर्भ:

1 . बीजगणित. आठवीं कक्षा. यू.एन.मकार्यचेव, एन.जी. मिंड्युक, के.ई. नेशकोव, आई.ई. फेओक्टिस्टोव.-एम.:

निमोसिने, 2012

2. बीजगणित.8वीं कक्षा. उपदेशात्मक सामग्री. पद्धतिगत सिफ़ारिशें/ आई.ई. फेओक्टिस्टोव।

दूसरा संस्करण, सेंट-एम.: मेनेमोसिन, 2011

3. परीक्षण और माप सामग्री: 8वीं कक्षा / एल.आई. द्वारा संकलित। मार्टीशोवा.-

एम.: वाको, 2010

इंटरनेट संसाधन:

पाठ विषय: एक चर के साथ रैखिक असमानताओं की प्रणाली को हल करना

तारीख: _______________

कक्षा: 6ए, 6बी, 6सी

पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखना और प्राथमिक समेकन।

उपदेशात्मक लक्ष्य:नई शैक्षिक जानकारी के एक ब्लॉक की जागरूकता और समझ के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ।

लक्ष्य: 1) शैक्षिक:अवधारणाओं का परिचय दें: असमानताओं की प्रणालियों का समाधान, असमानताओं की समकक्ष प्रणाली और उनके गुण; एक चर के साथ असमानताओं की सरल प्रणालियों को हल करते समय इन अवधारणाओं को कैसे लागू किया जाए, यह सिखाएं।

2) विकासात्मक:छात्रों की रचनात्मक, स्वतंत्र गतिविधि के तत्वों के विकास को बढ़ावा देना; भाषण, सोचने, विश्लेषण करने, सामान्यीकरण करने, अपने विचारों को स्पष्ट और संक्षिप्त रूप से व्यक्त करने की क्षमता विकसित करें।

3) शैक्षिक:एक-दूसरे के प्रति सम्मानजनक रवैया और शैक्षिक कार्यों के प्रति जिम्मेदार रवैया अपनाना।

कार्य:

संख्यात्मक असमानताओं और संख्यात्मक अंतरालों के विषय पर सिद्धांत दोहराएँ;

किसी समस्या का उदाहरण दीजिए जिसे असमानताओं की प्रणाली द्वारा हल किया जा सकता है;

असमानताओं की प्रणाली को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें;

स्वतंत्र कार्य करें.

शैक्षिक गतिविधियों के आयोजन के रूप:- ललाट - सामूहिक - व्यक्तिगत।

तरीके:व्याख्यात्मक - उदाहरणात्मक।

शिक्षण योजना:

1. संगठनात्मक क्षण, प्रेरणा, लक्ष्य निर्धारण

2. विषय के अध्ययन को अद्यतन करना

3. नई सामग्री सीखना

4. प्राथमिक समेकन और नई सामग्री का अनुप्रयोग

5. स्वतंत्र कार्य करना

7. पाठ का सारांश। प्रतिबिंब।

पाठ की प्रगति:

1. संगठनात्मक क्षण

असमानता हो सकती है एक अच्छा सहायक. आपको बस यह जानना होगा कि मदद के लिए उसके पास कब जाना है। गणित के कई अनुप्रयोगों में समस्याओं का सूत्रीकरण अक्सर असमानताओं की भाषा में किया जाता है। उदाहरण के लिए, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के अध्ययन में कई आर्थिक समस्याएं सामने आती हैं। इसलिए, असमानताओं की प्रणालियों को हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। "असमानता की व्यवस्था को हल करने" का क्या मतलब है? आज के पाठ में हम यही देखेंगे।

2. ज्ञान को अद्यतन करना।

मौखिक कार्यकक्षा के साथ, तीन छात्र व्यक्तिगत कार्ड का उपयोग करके काम करते हैं.

"असमानताएं और उनके गुण" विषय के सिद्धांत की समीक्षा करने के लिए हम परीक्षण करेंगे, उसके बाद सत्यापन करेंगे और इस विषय के सिद्धांत पर बातचीत करेंगे। प्रत्येक परीक्षण कार्य के लिए उत्तर "हाँ" की आवश्यकता होती है - आकृति, "नहीं" - आकृति ____

परीक्षण का परिणाम कुछ प्रकार का होना चाहिए।

(उत्तर: )।

असमानता और संख्यात्मक अंतराल के बीच एक पत्राचार स्थापित करें

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

"गणित आपको कठिनाइयों पर काबू पाना और अपनी गलतियों को सुधारना सिखाता है।"असमानता को हल करने में त्रुटि ढूंढें, बताएं कि त्रुटि क्यों हुई, सही समाधान अपनी नोटबुक में लिखें।

2x<8-6

x>-1

3. नई सामग्री का अध्ययन.

आपके अनुसार असमानताओं की व्यवस्था का समाधान किसे कहा जाता है?

(एक चर वाली असमानताओं की प्रणाली का समाधान उस चर का मान है जिसके लिए प्रणाली की प्रत्येक असमानता सत्य है)

"असमानता की व्यवस्था को हल करें" का क्या मतलब है?

(असमानताओं की प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान ढूंढना या यह साबित करना कि कोई समाधान नहीं है)

"एक दी गई संख्या है" प्रश्न का उत्तर देने के लिए क्या करने की आवश्यकता है

असमानताओं की व्यवस्था का समाधान?

(इस संख्या को प्रणाली की दोनों असमानताओं में रखें, यदि असमानताएं सत्य हैं, तो दी गई संख्या असमानताओं की प्रणाली का समाधान है, यदि असमानताएं गलत हैं, तो दी गई संख्या असमानताओं की प्रणाली का समाधान नहीं है)

असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें

1. सिस्टम की प्रत्येक असमानता को हल करें।

2. निर्देशांक रेखा पर प्रत्येक असमानता के समाधान को आलेखीय रूप से चित्रित करें।

3. निर्देशांक रेखा पर असमानताओं के समाधानों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए।

4. उत्तर को संख्या अंतराल के रूप में लिखें।

उदाहरणों पर विचार करें:

उत्तर:

उत्तर: कोई समाधान नहीं

4. विषय को सुरक्षित करना.

पाठ्यपुस्तक संख्या 1016, संख्या 1018, संख्या 1022 के साथ कार्य करना

5. स्वतंत्र कार्यविकल्पों के अनुसार (टेबल पर छात्रों के लिए टास्क कार्ड)

स्वतंत्र कार्य

विकल्प 1

असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

1. एक चर के साथ असमानता की अवधारणा

2. समतुल्य असमानताएँ। असमानताओं की तुल्यता पर प्रमेय

3. एक चर के साथ असमानताओं को हल करना

4. एक चर के साथ असमानताओं का ग्राफिकल समाधान

5. मापांक चिह्न के अंतर्गत एक चर युक्त असमानताएँ

6. मुख्य निष्कर्ष

एक चर के साथ असमानताएँ

ऑफर 2 एक्स + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 को एक चर वाली असमानताएँ कहा जाता है।

में सामान्य रूप से देखेंइस अवधारणा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

परिभाषा। मान लीजिए f(x) और g(x) एक चर x और डोमेन X के साथ दो अभिव्यक्तियाँ हैं। फिर f(x) > g(x) या f(x) के रूप की एक असमानता< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

परिवर्तनीय मान एक्सबहुतों से एक्स,जिसमें असमानता वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाती है, कहलाती है फ़ैसला।किसी असमानता को हल करने का अर्थ है उसके कई समाधान खोजना।

इस प्रकार, असमानता को हल करके 2 एक्स + 7 > 10 -एक्स, एक्स? आरसंख्या है एक्स= 5, चूँकि 2 5 + 7 > 10 - 5 एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता है। और इसके समाधान का सेट अंतराल (1, ∞) है, जो असमानता का परिवर्तन करके पाया जाता है: 2 एक्स + 7 > 10-एक्स => 3एक्स >3 => एक्स >1.

समतुल्य असमानताएँ. असमानताओं की तुल्यता पर प्रमेय

एक चर के साथ असमानताओं को हल करने का आधार तुल्यता की अवधारणा है।

परिभाषा। दो असमानताओं को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समाधान सेट समान हों।

उदाहरण के लिए, असमानताएँ 2 एक्स+ 7 > 10 और 2 एक्स> 3 समतुल्य हैं, क्योंकि उनके समाधान सेट समान हैं और अंतराल (2/3, ∞) का प्रतिनिधित्व करते हैं।

असमानताओं की समतुल्यता पर प्रमेय और उनके परिणाम समीकरणों की समतुल्यता पर संबंधित प्रमेयों के समान हैं। उनका प्रमाण वास्तविक संख्यात्मक असमानताओं के गुणों का उपयोग करता है।

प्रमेय 3.चलो असमानता एफ(एक्स) > जी(एक्स)सेट पर परिभाषित किया गया एक्सऔर एच(एक्स) एक ही सेट पर परिभाषित एक अभिव्यक्ति है। फिर असमानताएँ f(x) > g(x) और f(x)+ h(x) > g(x) + h(x)सेट पर बराबर हैं एक्स।

इस प्रमेय से परिणाम निकलते हैं, जिनका उपयोग अक्सर असमानताओं को हल करते समय किया जाता है:

1) यदि असमानता के दोनों पक्षों के लिए एफ(एक्स) > जी(एक्स)वही संख्या जोड़ें डी,तब हमें असमानता प्राप्त होती है एफ(एक्स) + डी > जी(एक्स)+ डी,मूल के समतुल्य.

2) यदि किसी पद (संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति) को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाता है, तो पद के संकेत को विपरीत में बदल दिया जाता है, तो हमें दिए गए एक के बराबर एक असमानता प्राप्त होती है।

प्रमेय 4.चलो असमानता एफ(एक्स) > जी(एक्स)सेट पर परिभाषित किया गया एक्सऔर एच(एक्स एक्सबहुतों से एक्सअभिव्यक्ति एच(एक्स)सकारात्मक मान लेता है। फिर असमानताएँ f(x) > g(x) और f(x) h(x) > g(x) h(x)सेट पर बराबर हैं एक्स।

एफ(एक्स) > जी(एक्स)उसी धनात्मक संख्या से गुणा करें डी,तब हमें असमानता प्राप्त होती है एफ(एक्स) डी > जी(एक्स) डी,इसके बराबर.

प्रमेय 5.चलो असमानता एफ(एक्स) > जी(एक्स)सेट पर परिभाषित किया गया एक्सऔर एच(एक्स) - एक ही सेट पर और सभी के लिए परिभाषित एक अभिव्यक्ति एक्सउनमें से कई हैं एक्सअभिव्यक्ति एच(एक्स) स्वीकार करता है नकारात्मक मान. फिर असमानताएँ f(x) > g(x) और f(x) h(x) > g(x) h(x)सेट पर बराबर हैं एक्स.

इस प्रमेय से एक परिणाम निकलता है: यदि असमानता के दोनों पक्ष एफ(एक्स) > जी(एक्स)उसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करें डीऔर असमानता के चिह्न को विपरीत चिह्न में बदलें, हमें असमानता प्राप्त होती है एफ(एक्स) डी > जी(एक्स) डी,इसके बराबर.

एक चर के साथ असमानताओं को हल करना

आइए असमानता को हल करें 5 एक्स - 5 < 2х - 16, एक्स? आर, और हम समाधान प्रक्रिया में किए जाने वाले सभी परिवर्तनों को उचित ठहराएंगे।

असमानता का समाधान एक्स < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5एक्स - 5 < 2x+ 16 अंतराल (-∞, 7) है।

अभ्यास

1. निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी प्रविष्टियाँ एक चर के साथ असमानताएँ हैं:

ए) -12 - 7 एक्स< 3एक्स+ 8; घ) 12 एक्स + 3(एक्स- 2);

बी) 15( एक्स+2)>4; ई) 17-12·8;

ग) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3एक्स-4> 0.

2. क्या संख्या 3 असमानता का समाधान है? 6(2x + 7) < 15(एक्स + 2), एक्स? आर? संख्या 4.25 के बारे में क्या?

3. क्या असमानताओं के निम्नलिखित जोड़े वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समतुल्य हैं:

ए)-17 एक्स< -51 и एक्स > 3;

बी) (3 एक्स-1)/4 >0 और 3 एक्स-1>0;

ग) 6-5 एक्स>-4 और एक्स<2?

4. निम्नलिखित बयानों में से कौन सा सही हैं:

ए)-7 एक्स < -28 => एक्स>4;

बी) एक्स < 6 => एक्स < 5;

वी) एक्स< 6 => एक्स< 20?

5. असमानता को हल करें 3( एक्स - 2) - 4(एक्स + 1) < 2(х - 3) - 2 और आपके द्वारा किए जाने वाले सभी परिवर्तनों का औचित्य सिद्ध करें।

6. असमानता को हल करके सिद्ध करें 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2एक्स) कोई वास्तविक संख्या है.

7. सिद्ध करें कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो असमानता 3(2 -) का समाधान हो एक्स) - 2 > 5 - 3एक्स.

8. त्रिभुज की एक भुजा 5 सेमी है, और दूसरी भुजा 8 सेमी है, यदि त्रिभुज का परिमाप है:

क) 22 सेमी से कम;

बी) 17 सेमी से अधिक?

एक चर के साथ असमानताओं का ग्राफिकल समाधान।असमानता को रेखांकन द्वारा हल करना एफ (एक्स) > जी (एक्स)कार्यों के ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है

वाई = एफ (एक्स) = जी (एक्स)और भुज अक्ष के उन अंतरालों का चयन करें जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ होता है वाई = एफ(एक्स)फ़ंक्शन y = के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है जी(एक्स).

उदाहरण 17.8.असमानता को ग्राफिक रूप से हल करें एक्स 2- 4 > 3एक्स।

वाई - एक्स* - 4

समाधान।आइए एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ़ बनाएं

वाई = एक्स 2 - 4 और य = Zx (चित्र 17.5)। चित्र से पता चलता है कि कार्यों के ग्राफ़ पर= एक्स 2- 4 फ़ंक्शन y = 3 के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है एक्सपर एक्स< -1 और एक्स > 4, यानी मूल असमानता के समाधान का समुच्चय समुच्चय है

(- ¥; -1) È (4; + ऊ) .

उत्तर: एक्स ओ(- ऊ; -1) और ( 4; + ऊ).

अनुसूची द्विघात कार्य पर= कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सीएक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर इंगित करती हैं एक > 0, और नीचे यदि ए< 0. इस स्थिति में, तीन स्थितियाँ संभव हैं: परवलय अक्ष को प्रतिच्छेद करता है ओह(अर्थात समीकरण आह 2+ बीएक्स+ सी = 0 की दो अलग-अलग जड़ें हैं); परवलय अक्ष को स्पर्श करता है एक्स(अर्थात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स+ c = 0 का एक मूल है); परवलय अक्ष को नहीं काटता ओह(अर्थात समीकरण आह 2+ बीएक्स+ सी = 0 की कोई जड़ नहीं है)। इस प्रकार, परवलय की छह संभावित स्थितियाँ हैं, जो फ़ंक्शन y = के ग्राफ़ के रूप में कार्य करती हैं आह 2+ बी एक्स + सी(चित्र 17.6)। इन दृष्टांतों का उपयोग करके, आप द्विघात असमानताओं को हल कर सकते हैं।

उदाहरण 17.9.असमानता को हल करें: ए) 2 एक्स जी+ 5x - 3 > 0; बी) -जेडएक्स 2 - 2x- 6 < 0.

समाधान, a) समीकरण 2x 2 + 5x -3 = 0 के दो मूल हैं: x, = -3, एक्स 2 = 0.5. परवलय किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में कार्य करता है पर= 2x 2+ 5x -3, चित्र में दिखाया गया है। एक।असमानता 2x 2+ 5x -3 > 0 उन मानों के लिए संतुष्ट है एक्स,जिसके लिए परवलय के बिंदु अक्ष के ऊपर स्थित होते हैं ओह:यह पर होगा एक्स< х х या जब एक्स> x जी>वे। पर एक्स< -3 या पर एक्स > 0.5. इसका मतलब यह है कि मूल असमानता के समाधान का सेट (- ¥; -3) और (0.5; + ¥) का सेट है।

बी) समीकरण -Зх 2 + 2x- 6 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है। परवलय किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में कार्य करता है पर= - 3एक्स 2 - 2एक्स - 6, चित्र में दिखाया गया है। 17.6 असमानता -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях एक्स,जिसके लिए परवलय के बिंदु अक्ष के नीचे स्थित होते हैं ओह।चूँकि संपूर्ण परवलय अक्ष के नीचे स्थित होता है ओह,तो मूल असमानता के समाधान का समुच्चय समुच्चय R है .

मॉड्यूल चिह्न के अंतर्गत एक चर वाली असमानताएँ।इन असमानताओं को हल करते समय यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि:

|एफ(एक्स) | =

एफ(एक्स), अगर एफ(एक्स) ³ 0,

- एफ(एक्स), अगर एफ(एक्स) < 0,

इस मामले में, असमानता के अनुमेय मूल्यों की सीमा को अंतरालों में विभाजित किया जाना चाहिए, जिनमें से प्रत्येक पर मापांक चिह्न के तहत भाव अपना चिह्न बनाए रखते हैं। फिर, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए (अभिव्यक्तियों के संकेतों को ध्यान में रखते हुए), आपको प्रत्येक अंतराल पर असमानता को हल करने और परिणामी समाधानों को मूल असमानता के समाधानों के एक सेट में संयोजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण 17.10.असमानता का समाधान करें:

|x -1| + |2- एक्स| > 3+x.

समाधान। बिंदु x = 1 और x = 2 संख्यात्मक अक्ष (असमानता का ODZ (17.9)) को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. आइए उनमें से प्रत्येक के लिए इस असमानता को हल करें। यदि एक्स< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; इसलिए |x -1| = - (एक्स - आई), |2 - एक्स | = 2 - एक्स. इसका मतलब यह है कि असमानता (17.9) इस प्रकार लेती है: 1- x + 2 - x > 3 + x, यानी। एक्स< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

यदि 1 £ x £.2 है, तो x - 1 ³ 0 और 2 – x ³ 0; इसलिए | एक्स- 1| = एक्स - 1, |2 - एक्स| = 2 – एक्स. इसका मतलब यह है कि सिस्टम रखता है:

एक्स - 1 + 2 - एक्स > 3 + एक्स,

असमानताओं की परिणामी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। इसलिए, अंतराल पर [1; 2] असमानता के समाधान का सेट (17.9) खाली है।

यदि x > 2, तो x - 1 >0 और 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 या

ODZ असमानता (17.9) के सभी भागों पर पाए गए समाधानों को मिलाकर, हम इसका समाधान प्राप्त करते हैं - सेट (-¥; 0) È (6; +oo)।

कभी-कभी किसी वास्तविक संख्या के मापांक की ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करना उपयोगी होता है, जिसके अनुसार | ए | इसका अर्थ है मूल बिंदु O, a | से निर्देशांक रेखा के बिंदु a की दूरी ए - बी | इसका अर्थ है निर्देशांक रेखा पर बिंदु a और b के बीच की दूरी। वैकल्पिक रूप से, आप असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं।

प्रमेय 17.5. यदि अभिव्यक्ति एफ(एक्स) और जी(एक्स)किसी भी x के लिए केवल गैर-नकारात्मक मान लें, फिर असमानताएँ एफ (एक्स) > जी (एक्स)और एफ (एक्स) ² > जी (एक्स) ²समतुल्य हैं.

58. मुख्य निष्कर्ष § 12

इस अनुभाग में हमने निम्नलिखित को परिभाषित किया है अवधारणाएँ:

संख्यात्मक अभिव्यक्ति;

अर्थ संख्यात्मक अभिव्यक्ति;

एक ऐसी अभिव्यक्ति जिसका कोई अर्थ नहीं है;

चर(ओं) के साथ अभिव्यक्ति;

अभिव्यक्ति परिभाषा का दायरा;

समान रूप से समान भाव;

पहचान;

किसी अभिव्यक्ति का समान परिवर्तन;

संख्यात्मक समानता;

संख्यात्मक असमानता;

एक चर वाला समीकरण;

समीकरण का मूल;

किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है;

समतुल्य समीकरण;

एक चर के साथ असमानता;

असमानताओं का समाधान;

असमानता को हल करने का क्या मतलब है;

समतुल्य असमानताएँ.

इसके अलावा, हमने समीकरणों और असमानताओं की तुल्यता पर प्रमेयों की जांच की, जो उनके समाधान का आधार हैं।

समीकरणों और असमानताओं की समानता पर उपरोक्त सभी अवधारणाओं और प्रमेयों की परिभाषाओं का ज्ञान प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के साथ बीजीय सामग्री के पद्धतिगत रूप से सक्षम अध्ययन के लिए एक आवश्यक शर्त है।

पाठ का विषय है "असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करना" (गणित ग्रेड 9)

पाठ का प्रकार:ज्ञान और कौशल के व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण पर पाठ

पाठ प्रौद्योगिकी:आलोचनात्मक सोच, विभेदित शिक्षण, आईसीटी प्रौद्योगिकियों के विकास के लिए प्रौद्योगिकी

पाठ का उद्देश्य: असमानताओं के गुणों और उन्हें हल करने के तरीकों के बारे में ज्ञान को दोहराना और व्यवस्थित करना, मानक और रचनात्मक समस्याओं को हल करते समय इस ज्ञान को लागू करने के लिए कौशल विकसित करने के लिए स्थितियां बनाना।

कार्य.

शैक्षिक:

अर्जित ज्ञान को सामान्य बनाने, विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना करने और आवश्यक निष्कर्ष निकालने के लिए छात्रों के कौशल के विकास में योगदान करें

अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लागू करने के लिए छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करें

गैर-मानक परिस्थितियों में अर्जित ज्ञान को लागू करने के लिए कौशल के विकास को बढ़ावा देना

शैक्षिक:

गठन जारी रखें तर्कसम्मत सोच, ध्यान और स्मृति;

विश्लेषण, व्यवस्थितकरण, सामान्यीकरण के कौशल में सुधार;

ऐसी स्थितियाँ बनाना जो छात्रों में आत्म-नियंत्रण कौशल के विकास को सुनिश्चित करें;

स्वतंत्र शिक्षण गतिविधियों के लिए आवश्यक कौशल के अधिग्रहण को बढ़ावा देना।

शैक्षिक:

अनुशासन और संयम, जिम्मेदारी, स्वतंत्रता, स्वयं के प्रति आलोचनात्मक रवैया और सावधानी पैदा करें।

नियोजित शैक्षिक परिणाम.

निजी:सीखने के प्रति जिम्मेदार रवैया और संचार क्षमताइस प्रक्रिया में साथियों के साथ संचार और सहयोग में शैक्षणिक गतिविधियां.

संज्ञानात्मक:अवधारणाओं को परिभाषित करने, सामान्यीकरण बनाने, वर्गीकरण के लिए स्वतंत्र रूप से आधार और मानदंड चुनने, तार्किक तर्क बनाने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता;

नियामक:किसी शैक्षिक और संज्ञानात्मक कार्य को हल करते समय संभावित कठिनाइयों की पहचान करने और उन्हें खत्म करने के साधन खोजने, किसी की उपलब्धियों का मूल्यांकन करने की क्षमता

संचारी:गणितीय शब्दों और अवधारणाओं का उपयोग करके निर्णय लेने की क्षमता, कार्य के दौरान प्रश्न और उत्तर तैयार करना, प्रभावी संयुक्त निर्णय लेने के लिए समूह के सदस्यों के बीच ज्ञान का आदान-प्रदान करना।

बुनियादी नियम और अवधारणाएँ:रैखिक असमानता, द्विघात असमानता, असमानताओं की प्रणाली।

उपकरण

प्रोजेक्टर, शिक्षक का लैपटॉप, छात्रों के लिए कई नेटबुक;

प्रस्तुति;

पाठ के विषय पर बुनियादी ज्ञान और कौशल वाले कार्ड (परिशिष्ट 1);

स्वतंत्र कार्य वाले कार्ड (परिशिष्ट 2)।

शिक्षण योजना

पाठ प्रगति
तकनीकी चरण. लक्ष्य।	शिक्षक गतिविधियाँ	छात्र गतिविधियाँ
परिचयात्मक और प्रेरक घटक
1.संगठनात्मकलक्ष्य: संचार के लिए मनोवैज्ञानिक तैयारी।	नमस्ते। आप सभी को देखकर अच्छा लगा. बैठ जाओ. जांचें कि क्या आपके पास पाठ के लिए सब कुछ तैयार है। अगर सब कुछ ठीक है तो मुझे देखो.	वे नमस्ते कहते हैं. सहायक उपकरण की जाँच करें. काम के लिए तैयार हो रहा हूँ।	निजी।सीखने के प्रति एक जिम्मेदार रवैया बनता है।
2.ज्ञान अद्यतन करना (2 मिनट) लक्ष्य: किसी विषय पर व्यक्तिगत ज्ञान अंतराल की पहचान करना	हमारे पाठ का विषय है "एक चर और उनकी प्रणालियों के साथ असमानताओं को हल करना।" (स्लाइड 1) यहां विषय पर बुनियादी ज्ञान और कौशल की एक सूची दी गई है। अपने ज्ञान और कौशल का मूल्यांकन करें. उपयुक्त चिह्न लगाएं. (स्लाइड 2)	उनके स्वयं के ज्ञान और कौशल का मूल्यांकन करें। (परिशिष्ट 1)	नियामक अपने ज्ञान और कौशल का स्व-मूल्यांकन
3.प्रेरणा (2 मिनट) उद्देश्य: पाठ लक्ष्य निर्धारित करने के लिए गतिविधियाँ प्रदान करना .	में OGE का कार्यगणित में, पहले और दूसरे दोनों भागों में कई प्रश्न असमानताओं को हल करने की क्षमता निर्धारित करते हैं। इन कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए हमें कक्षा में क्या दोहराने की आवश्यकता है?	वे तर्क करते हैं और दोहराव के लिए प्रश्नों के नाम देते हैं।	संज्ञानात्मक।एक संज्ञानात्मक लक्ष्य को पहचानें और तैयार करें।
गर्भाधान चरण (सामग्री घटक)
4.आत्मसम्मान और प्रक्षेप पथ का चुनाव (1-2 मिनट)	आपने विषय पर अपने ज्ञान और कौशल का मूल्यांकन कैसे किया, इसके आधार पर पाठ में कार्य का रूप चुनें। आप मेरे साथ पूरी कक्षा के साथ काम कर सकते हैं। आप नेटबुक पर व्यक्तिगत रूप से, मेरे परामर्श का उपयोग करके, या जोड़ियों में, एक-दूसरे की मदद से काम कर सकते हैं।	एक व्यक्तिगत शिक्षण पथ के साथ निर्धारित। यदि आवश्यक हो तो स्थान बदलें।	नियामक शैक्षिक और संज्ञानात्मक कार्य को हल करते समय संभावित कठिनाइयों की पहचान करें और उन्हें खत्म करने के साधन खोजें
5-7 जोड़ियों में या व्यक्तिगत रूप से कार्य करें (25 मिनट)	शिक्षक विद्यार्थियों को स्वतंत्र रूप से कार्य करने की सलाह देते हैं।	जो छात्र विषय को अच्छी तरह से जानते हैं वे व्यक्तिगत रूप से या जोड़ियों में एक प्रस्तुति के साथ काम करते हैं (स्लाइड्स 4-10) असाइनमेंट पूरा करें (स्लाइड्स 6,9)।	संज्ञानात्मक अवधारणाओं को परिभाषित करने, सामान्यीकरण बनाने, तार्किक श्रृंखला बनाने की क्षमता नियामकशैक्षिक और संज्ञानात्मक कार्य के अनुसार कार्यों को निर्धारित करने की क्षमता संचारशैक्षिक सहयोग को व्यवस्थित करने की क्षमता और संयुक्त गतिविधियाँ, सूचना के स्रोत के साथ काम करें निजीसीखने के प्रति जिम्मेदार रवैया, आत्म-विकास और आत्म-शिक्षा के लिए तत्परता और क्षमता
5. रैखिक असमानताओं को हल करना। (10 मिनट)	असमानताओं को हल करने के लिए हम उनके किन गुणों का उपयोग करते हैं? क्या आप रैखिक और द्विघात असमानताओं और उनकी प्रणालियों के बीच अंतर कर सकते हैं? (स्लाइड 5) रैखिक असमानता को कैसे हल करें? समाधान का पालन करें. (स्लाइड 6) शिक्षक बोर्ड पर समाधान की निगरानी करता है। समाधान की शुद्धता की जाँच करें.	असमानताओं के गुणों को नाम दें; उत्तर देने के बाद या कठिनाई की स्थिति में, शिक्षक स्लाइड 4 खोलता है। असमानताओं की विशिष्ट विशेषताओं का नाम बताइए। असमानताओं के गुणों का उपयोग करना। एक छात्र बोर्ड में असमानता संख्या 1 को हल करता है। उत्तर देने वाले के निर्णय के बाद बाकी सभी नोटबुक में हैं। असमानता संख्या 2 और 3 स्वतंत्र रूप से संतुष्ट हैं। वे तैयार उत्तर की जाँच करते हैं।	संज्ञानात्मक संचार
6. द्विघात असमानताओं को हल करना। (10 मिनट)	असमानता का समाधान कैसे करें? यह कैसी असमानता है? द्विघात असमानताओं को हल करने के लिए किन विधियों का उपयोग किया जाता है? आइए परवलय विधि को याद करें (स्लाइड 7) शिक्षक असमानता को हल करने के चरणों को याद करते हैं। अंतराल विधि का उपयोग दूसरे या अधिक की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है उच्च डिग्री. (स्लाइड 8) द्विघात असमानताओं को हल करने के लिए, आप वह विधि चुन सकते हैं जो आपके लिए सुविधाजनक हो। असमानताओं को हल करें. (स्लाइड 9)। शिक्षक समाधान की प्रगति की निगरानी करता है और अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों को याद करता है। शिक्षक व्यक्तिगत रूप से काम करने वाले छात्रों को सलाह देते हैं।	उत्तर: द्विघात असमानताहम परवलय विधि या अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। छात्र प्रेजेंटेशन समाधान का अनुसरण करते हैं। बोर्ड में, छात्र बारी-बारी से असमानताओं संख्या 1 और 2 को हल करते हैं। वे उत्तर की जाँच करते हैं। (तंत्रिका संख्या 2 को हल करने के लिए, आपको अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि याद रखनी होगी)। असमानता संख्या 3 को स्वतंत्र रूप से हल किया जाता है और उत्तर के विरुद्ध जाँच की जाती है।	संज्ञानात्मक अवधारणाओं को परिभाषित करने, सामान्यीकरण बनाने, सामान्य पैटर्न से विशेष समाधान तक तर्क बनाने की क्षमता संचारकिसी की अपनी गतिविधियों की विस्तृत योजना मौखिक और लिखित रूप में प्रस्तुत करने की क्षमता;
7. असमानताओं की समाधान प्रणाली (4-5 मिनट)	असमानताओं की प्रणाली को हल करने के चरणों को याद करें। सिस्टम को हल करें (स्लाइड 10)	समाधान के चरणों का नाम बताइए छात्र बोर्ड पर हल करता है और स्लाइड पर हल की जाँच करता है।
चिंतनशील-मूल्यांकनात्मक चरण
8.ज्ञान का नियंत्रण एवं परीक्षण (10 मिनट) लक्ष्य: सामग्री सीखने की गुणवत्ता की पहचान करना।	आइए विषय पर आपके ज्ञान का परीक्षण करें। समस्याओं का समाधान स्वयं करें. शिक्षक तैयार उत्तरों का उपयोग करके परिणाम की जाँच करता है।	विकल्पों पर स्वतंत्र कार्य करें (परिशिष्ट 2) कार्य पूरा करने के बाद, छात्र इसकी सूचना शिक्षक को देता है। छात्र अपना ग्रेड मानदंड (स्लाइड 11) के अनुसार निर्धारित करता है। यदि कार्य सफलतापूर्वक पूरा हो जाता है, तो वह एक अतिरिक्त कार्य शुरू कर सकता है (स्लाइड 11)	संज्ञानात्मक।तर्क की तार्किक शृंखलाएँ बनाएँ।
9.प्रतिबिंब (2 मिनट) लक्ष्य: किसी की क्षमताओं और क्षमताओं, फायदों और सीमाओं का पर्याप्त आत्म-सम्मान बनता है	क्या परिणाम में कोई सुधार हुआ है? यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं, तो घर पर पाठ्यपुस्तक देखें (पृष्ठ 120)	कागज के एक ही टुकड़े पर अपने स्वयं के ज्ञान और कौशल का आकलन करें (परिशिष्ट 1)। पाठ की शुरुआत में आत्मसम्मान से तुलना करें और निष्कर्ष निकालें।	नियामक अपनी उपलब्धियों का स्व-मूल्यांकन
10.होमवर्क (2 मिनट) लक्ष्य: अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।	स्वतंत्र कार्य के परिणामों के आधार पर गृहकार्य निर्धारित करें (स्लाइड 13)	निर्धारित करें और रिकॉर्ड करें व्यक्तिगत असाइनमेंट	संज्ञानात्मक।तर्क की तार्किक शृंखलाएँ बनाएँ। जानकारी का विश्लेषण और परिवर्तन करें.

प्रयुक्त साहित्य की सूची: बीजगणित. 9वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। / यू.एन.माक्रीचेव, एन.जी.मिंडयुक, के.आई.नेशकोव, एस.बी.सुवोरोवा। - एम.: शिक्षा, 2014

रैखिक, द्विघात और भिन्नात्मक असमानताओं को हल करने का एक कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि देता भी है विस्तृत समाधानस्पष्टीकरण के साथ, यानी गणित और/या बीजगणित में ज्ञान का परीक्षण करने के लिए समाधान प्रक्रिया प्रदर्शित करता है।

इसके अलावा, यदि उदाहरण के लिए, किसी असमानता को हल करने की प्रक्रिया में इसे हल करना आवश्यक है, द्विघात समीकरण, तो इसका विस्तृत समाधान भी प्रदर्शित होता है (इसमें एक स्पॉइलर होता है)।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए तैयारी में उपयोगी हो सकता है परीक्षण, माता-पिता को अपने बच्चों की असमानताओं के समाधान की निगरानी करने के लिए।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी हो सकता है माध्यमिक स्कूलोंपरीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी में, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करना।

या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

असमानताएं दर्ज करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि।

संख्याओं को पूर्ण या आंशिक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
दशमलव भिन्नों में, भिन्नात्मक भाग को पूर्ण भाग से या तो एक अवधि या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप प्रवेश कर सकते हैं दशमलवइस तरह: 2.5x - 3.5x^2

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
संपूर्ण भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

अभिव्यक्ति दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, असमानताओं को हल करते समय, अभिव्यक्तियों को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

चुनना सही संकेतअसमानताएँ और बहुपदों को नीचे दिए गए बक्सों में दर्ज करें।

व्यवस्था की पहली असमानता.

पहली असमानता का प्रकार बदलने के लिए बटन पर क्लिक करें।

> >= < <=

असमानताओं की व्यवस्था को हल करें

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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समाधान प्रकट करने के लिए, आपको जावास्क्रिप्ट सक्षम करना होगा।
यहां आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश दिए गए हैं।

क्योंकि समस्या का समाधान करने के इच्छुक बहुत से लोग हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध हो गया है।
कुछ ही सेकंड में समाधान नीचे दिखाई देगा.
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर आप समाधान में एक त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो बताएं कि कौन सा कार्य हैआप तय करें क्या फ़ील्ड में प्रवेश करें.

हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

एक अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणाली। संख्यात्मक अंतराल

आप 7वीं कक्षा में एक प्रणाली की अवधारणा से परिचित हुए और दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना सीखा। आगे हम एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताओं की प्रणालियों पर विचार करेंगे। असमानताओं की प्रणालियों के समाधान के सेट को अंतराल (अंतराल, अर्ध-अंतराल, खंड, किरण) का उपयोग करके लिखा जा सकता है। आप संख्या अंतरालों के अंकन से भी परिचित हो जायेंगे।

यदि असमानताओं \(4x > 2000\) और \(5x \leq 4000\) में अज्ञात संख्या x समान है, तो इन असमानताओं को एक साथ माना जाता है और कहा जाता है कि वे असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं: $$ \leq\ (\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$।

घुंघराले ब्रैकेट से पता चलता है कि आपको x के मान खोजने की आवश्यकता है जिसके लिए सिस्टम की दोनों असमानताएं सही संख्यात्मक असमानताओं में बदल जाती हैं। यह प्रणाली- एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताओं की प्रणाली का एक उदाहरण।

एक अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणाली का समाधान अज्ञात का वह मूल्य है जिस पर प्रणाली की सभी असमानताएँ वास्तविक संख्यात्मक असमानताओं में बदल जाती हैं। असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इस प्रणाली के सभी समाधान ढूंढना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

असमानताएँ \(x \geq -2 \) और \(x \leq 3 \) को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है: \(-2 \leq x \leq 3 \)।

एक अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणालियों के समाधान विभिन्न संख्यात्मक सेट हैं। इन सेटों के नाम हैं. इस प्रकार, संख्या अक्ष पर, संख्या x का समुच्चय इस प्रकार है कि \(-2 \leq x \leq 3 \) को बिंदु -2 और 3 पर समाप्त होने वाले एक खंड द्वारा दर्शाया जाता है।

-2

3

यदि \(a एक खंड है और इसे [a; b] द्वारा निरूपित किया जाता है

यदि \(a एक अंतराल है और इसे (a; b) से दर्शाया जाता है

असमानताओं को संतुष्ट करने वाली संख्याओं \(x\) के समूह \(a \leq x) अर्ध-अंतराल हैं और इन्हें क्रमशः [a; b) और (a; b] दर्शाया गया है।

खंड, अंतराल, अर्ध-अंतराल और किरणें कहलाती हैं संख्यात्मक अंतराल.

इस प्रकार, संख्यात्मक अंतरालों को असमानताओं के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

दो अज्ञात में असमानता का समाधान संख्याओं (x; y) की एक जोड़ी है जो दी गई असमानता को वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देती है। किसी असमानता को हल करने का अर्थ है उसके सभी समाधानों का समुच्चय खोजना। इस प्रकार, असमानता x > y का समाधान, उदाहरण के लिए, संख्याओं के जोड़े (5; 3), (-1; -1) होंगे, क्योंकि \(5 \geq 3 \) और \(-1 \geq - 1\)

असमानताओं की समाधान प्रणालियाँ

आप पहले ही सीख चुके हैं कि एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताओं को कैसे हल किया जाए। क्या आप जानते हैं कि असमानताओं की प्रणाली और प्रणाली का समाधान क्या हैं? इसलिए, एक अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणालियों को हल करने की प्रक्रिया से आपको कोई कठिनाई नहीं होगी।

और फिर भी, हम आपको याद दिला दें: असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको प्रत्येक असमानता को अलग से हल करना होगा, और फिर इन समाधानों का प्रतिच्छेदन ढूंढना होगा।

उदाहरण के लिए, असमानताओं की मूल प्रणाली को इस रूप में घटा दिया गया था:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

असमानताओं की इस प्रणाली को हल करने के लिए, प्रत्येक असमानता के समाधान को संख्या रेखा पर चिह्नित करें और उनका प्रतिच्छेदन ज्ञात करें:

-2

3

चौराहा खंड है [-2; 3] - यह असमानताओं की मूल प्रणाली का समाधान है।