Тодорхойлолт. Хажуугийн ирмэг- энэ бол нэг өнцөг нь пирамидын дээд хэсэгт байрлах гурвалжин бөгөөд эсрэг тал нь суурийн талтай (олон өнцөгт) давхцдаг.
Тодорхойлолт. Хажуугийн хавирга- эдгээр нь хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд юм. Пирамид нь олон өнцөгтийн өнцөгтэй адил олон ирмэгтэй байдаг.
Тодорхойлолт. Пирамидын өндөр- энэ нь пирамидын оройноос доош буусан перпендикуляр юм.
Тодорхойлолт. Апотем- энэ нь пирамидын дээд талаас суурийн хажуу руу доошлуулсан пирамидын хажуугийн гадаргуутай перпендикуляр юм.
Тодорхойлолт. Диагональ хэсэг- энэ нь пирамидын дээд ба суурийн диагональ дундуур дайран өнгөрч буй хавтгайгаар пирамидын хэсэг юм.
Тодорхойлолт. Зөв пирамидсуурь нь ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй, өндөр нь суурийн төв рүү унадаг пирамид юм.
Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай
Томъёо. Пирамидын эзэлхүүнсуурь талбай ба өндрөөр:
Пирамидын шинж чанарууд
Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог зурж болох бөгөөд суурийн төв нь тойргийн төвтэй давхцдаг. Мөн дээрээс унасан перпендикуляр нь суурийн төв (тойрог) дамжин өнгөрдөг.
Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол тэдгээр нь ижил өнцгөөр суурийн хавтгайд налуу байна.
Хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайтай үүсэх үед тэнцүү байна тэнцүү өнцөгэсвэл пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол.
Хэрэв хажуугийн нүүрнүүдСуурийн хавтгайд нэг өнцгөөр налуу байгаа бол пирамидын ёроолд тойрог зурж, пирамидын дээд хэсгийг төв хэсэгт нь төсөөлж болно.
Хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байвал хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд тэнцүү байна.
Ердийн пирамидын шинж чанарууд
1. Пирамидын дээд хэсэг нь суурийн бүх булангаас ижил зайд байрладаг.
2. Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна.
3. Хажуугийн бүх хавирга нь суурьтай ижил өнцгөөр налуу байна.
4. Хажуугийн бүх нүүрнүүдийн тэмдэгтүүд тэнцүү байна.
5. Хажуугийн бүх нүүрний талбайнууд тэнцүү байна.
6. Бүх нүүр нь хоёр талт (хавтгай) өнцөгтэй.
7. Пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно. Хязгаарлагдмал бөмбөрцгийн төв нь ирмэгийн дундуур дамждаг перпендикуляруудын огтлолцох цэг болно.
8. Бөмбөрцгийг пирамид дотор оруулж болно. Бичсэн бөмбөрцгийн төв нь ирмэг ба суурийн хоорондох өнцгөөс гарч буй биссектрисын огтлолцох цэг болно.
9. Хэрэв бичээстэй бөмбөрцгийн төв нь хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн төвтэй давхцаж байвал орой дээрх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь π-тэй тэнцүү эсвэл эсрэгээр, нэг өнцөг нь π/n-тэй тэнцүү, энд n нь тоо юм. пирамидын суурь дахь өнцгүүдийн .
Пирамид ба бөмбөрцөг хоорондын холбоо
Пирамидын сууринд тойргийг дүрсэлж болох олон өнцөгт байгаа бол пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно (зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь пирамидын хажуугийн ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр перпендикуляр өнгөрч буй хавтгайн огтлолцох цэг болно.
Ямар ч гурвалжин эсвэл эргэн тойронд ердийн пирамидта бөмбөрцгийг үргэлж дүрсэлж чадна.
Хэрэв пирамидын дотоод хоёр талт өнцгүүдийн биссектрисын хавтгайнууд нэг цэгт огтлолцож байвал бөмбөрцгийг пирамид дотор бичиж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв байх болно.
Конустай пирамидын холболт
Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын сууринд бичээстэй байвал конусыг пирамид дотор бичдэг гэнэ.
Пирамидын нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамид хэлбэрээр бичиж болно.
Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн байвал конусыг тойрон хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.
Пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.
Пирамид ба цилиндрийн хоорондын хамаарал
Пирамидын дээд хэсэг нь цилиндрийн нэг суурин дээр, харин пирамидын суурь нь цилиндрийн өөр сууринд бичээстэй байвал пирамидыг цилиндрт бичээстэй гэж нэрлэдэг.
Пирамидын суурийг тойруулан тойрог дүрсэлж чадвал цилиндрийг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.
Тетраэдр нь дөрвөн нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэгтэй бөгөөд аль ч хоёр ирмэг нь нийтлэг оройгүй боловч хүрч болохгүй.
Орой бүр нь гурван нүүр, ирмэгээс бүрддэг гурвалжин өнцөг.
Тетраэдрийн оройг эсрэг талын нүүрний төвтэй холбосон сегментийг нэрлэдэг тетраэдрийн медиан(GM).
Бимедианхүрэлгүй эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг (KL).
Тетраэдрийн бүх бимедиан ба медианууд нэг цэгт (S) огтлолцдог. Энэ тохиолдолд хоёр медианыг хагасаар хувааж, дээд талаас нь 3: 1 харьцаагаар хуваана.
Тодорхойлолт. Хурц өнцөгт пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн хагасаас илүү урттай пирамид.
Тодорхойлолт. Мохоо пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн уртаас хагасаас бага урттай пирамид.
Тодорхойлолт. Ердийн тетраэдр- дөрвөн нүүр нь тэгш талт гурвалжин байдаг тетраэдр. Энэ нь ердийн таван олон өнцөгтийн нэг юм. Ердийн тетраэдрт бүх хоёр өнцөгт өнцөг (нүүрний хоорондох) ба гурвалсан өнцөг (орой дээр) тэнцүү байна.
Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт тетраэдророй дээрх гурван ирмэгийн хооронд тэгш өнцөгтэй (ирмэгүүд нь перпендикуляр) байдаг тетраэдр гэж нэрлэдэг. Гурван нүүр үүсдэг тэгш өнцөгт гурвалжин өнцөгба ирмэгүүд нь зөв гурвалжин, суурь нь дурын гурвалжин юм. Аливаа царайны нэрийн тэмдэг нь апотем унасан суурийн талтай тэнцүү байна.
Тодорхойлолт. Изохедр тетраэдрхажуу тал нь хоорондоо тэнцүү тетраэдр гэж нэрлэгддэг ба суурь нь ердийн гурвалжин юм. Ийм тетраэдр нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй нүүртэй байдаг.
Тодорхойлолт. Ортоцентрик тетраэдрдээрээс эсрэг талын нүүр рүү буулгасан бүх өндөр (перпендикуляр) нэг цэгт огтлолцдог тетраэдр гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт. Од пирамидсуурь нь од байдаг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Оршил
Бид стереометрийн тоонуудыг судалж эхлэхдээ "Пирамид" сэдвийг хөндсөн. Пирамидыг архитектурт маш их ашигладаг тул энэ сэдэв бидэнд таалагдсан. Тэгээд манайхаас хойш ирээдүйн мэргэжилЭнэ дүрээс санаа авсан архитектор биднийг гайхалтай төслүүдэд түлхэж чадна гэж бид бодож байна.
Архитектурын бүтцийн бат бөх чанар нь тэдний хамгийн чухал чанар юм. Хүч чадлыг нэгдүгээрт, тэдгээрийг бүтээсэн материалтай, хоёрдугаарт, дизайны шийдлийн онцлогтой холбосноор бүтцийн бат бөх байдал нь түүний үндсэн геометрийн хэлбэрээс шууд хамааралтай болох нь харагдаж байна.
Өөрөөр хэлбэл, бид архитектурын холбогдох хэлбэрийн загвар гэж үзэж болох геометрийн дүрсийн тухай ярьж байна. Геометрийн хэлбэр нь архитектурын бүтцийн бат бөх чанарыг тодорхойлдог.
Эрт дээр үеэс Египетийн пирамидууд нь хамгийн бат бөх архитектурын байгууламж гэж тооцогддог. Та бүхний мэдэж байгаагаар тэд ердийн дөрвөлжин пирамид хэлбэртэй байдаг.
Чухамхүү энэ геометрийн хэлбэр нь том суурийн талбайн улмаас хамгийн тогтвортой байдлыг хангадаг. Нөгөөтэйгүүр, пирамид хэлбэр нь газрын гадаргаас дээш өндөр нэмэгдэх тусам масс нь багасч байгааг баталгаажуулдаг. Энэ хоёр шинж чанар нь пирамидыг тогтвортой, улмаар таталцлын нөхцөлд хүчтэй болгодог.
Төслийн зорилго: пирамидын талаар шинэ зүйл сурч, мэдлэгээ гүнзгийрүүлж, практик хэрэглээг олж аваарай.
Энэ зорилгод хүрэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай байв.
· Пирамидын талаарх түүхэн мэдээлэлтэй танилцах
· Пирамидыг геометрийн дүрс
· Амьдрал, архитектурт хэрэглэгдэхүүнийг олох
· Байршсан пирамидуудын ижил төстэй ба ялгааг ол өөр өөр хэсгүүдСвета
Онолын хэсэг
Түүхэн мэдээлэл
Пирамидын геометрийн эхлэл нь Эртний Египт, Вавилонд тавигдсан боловч идэвхтэй хөгжиж байв. Эртний Грек. Пирамидын эзэлхүүнийг анх тогтоосон хүн бол Демокрит байсан бөгөөд Книдын Евдокс үүнийг баталжээ. Эртний Грекийн математикч Евклид "Элементүүд"-ийн XII ботид пирамидын тухай мэдлэгийг системчилсэн бөгөөд пирамидын анхны тодорхойлолтыг гаргаж авсан: нэг хавтгайгаас нэг цэг рүү нийлдэг хавтгайгаар хязгаарлагдсан хатуу дүрс.
Египетийн фараонуудын булшнууд. Тэдний хамгийн том нь болох Эль Гиза дахь Хеопс, Хафре, Микериний пирамидууд нь эрт дээр үед дэлхийн долоон гайхамшгийн нэгд тооцогддог байв. Грекчүүд, Ромчууд Египетийн бүх ард түмнийг утга учиргүй бүтээн байгуулалтад хүргэсэн урьд өмнө хэзээ ч байгаагүй хаадын бахархал, харгислалын хөшөөг олж харсан пирамид барих нь хамгийн чухал тахин шүтэх үйлдэл байсан бөгөөд үүнийг илэрхийлэх ёстой байв. улс орны болон түүний захирагчийн ид шидийн шинж чанар. Тус улсын хүн ам газар тариалангийн ажлаасаа чөлөөлөгдсөн бүтэн жилийн хугацаанд булш барих ажилд ажилласан. Хэд хэдэн бичвэрүүд нь хаад өөрсдөө (хэдийгээр хожим нь байсан ч) бунхан болон түүнийг баригчиддаа анхаарал халамж тавьж байсныг гэрчилдэг. Пирамид өөрт нь өгсөн тахин шүтэх онцгой хүндэтгэлийн талаар бас мэддэг.
Үндсэн ойлголтууд
Пирамиднь олон өнцөгт, суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин юм.
Апотем- ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр, оройгоос нь татсан;
Хажуугийн нүүр царай- орой дээр нийлдэг гурвалжнууд;
Хажуугийн хавирга- хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд;
Пирамидын орой- хажуугийн хавиргыг холбосон, суурийн хавтгайд хэвтээгүй цэг;
Өндөр- пирамидын оройгоос түүний суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр сегмент (энэ сегментийн төгсгөлүүд нь пирамидын орой ба перпендикулярын суурь);
Пирамидын диагональ хэсэг- суурийн дээд ба диагональ дундуур дамждаг пирамидын хэсэг;
Суурь- пирамидын оройд хамаарахгүй олон өнцөгт.
Ердийн пирамидын үндсэн шинж чанарууд
Хажуугийн ирмэг, хажуугийн нүүр ба апотемууд тус тус тэнцүү байна.
Суурийн хоёр талт өнцөг нь тэнцүү байна.
Хажуугийн ирмэг дээрх хоёр талт өнцөг нь тэнцүү байна.
Өндөр цэг бүр нь суурийн бүх оройноос ижил зайд байна.
Өндөр цэг бүр нь бүх талын нүүрнээс ижил зайд байрладаг.
Пирамидын үндсэн томъёо
Хажуугийн талбай ба бүрэн гадаргуупирамидууд.
Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай (бүрэн ба таслагдсан) нь түүний бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр, нийт гадаргуугийн талбай нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм.
Теорем: Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба пирамидын нэрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
х- суурийн периметр;
h- үг.
Таслагдсан пирамидын хажуу ба бүтэн гадаргуугийн талбай.
х 1, х 2 - суурийн периметрүүд;
h- үг.
Р- ердийн таслагдсан пирамидын нийт гадаргуугийн талбай;
S тал- ердийн таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай;
S 1 + S 2- суурь талбай
Пирамидын эзэлхүүн
Маягт эзлэхүүн ula нь ямар ч төрлийн пирамидуудад ашиглагддаг.
Х- пирамидын өндөр.
Пирамидын булангууд
Пирамидын хажуугийн нүүр ба суурийн үүсгэсэн өнцгийг пирамидын суурийн хоёр талт өнцөг гэж нэрлэдэг.
Хоёр өнцөгт өнцөг нь хоёр перпендикуляраар үүсгэгддэг.
Энэ өнцгийг тодорхойлохын тулд та ихэвчлэн гурван перпендикуляр теоремыг ашиглах хэрэгтэй.
Хажуугийн ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцоос үүссэн өнцгийг гэнэ хажуугийн ирмэг ба суурийн хавтгай хоорондын өнцөг.
Хоёр хажуугийн ирмэгээр үүссэн өнцгийг гэж нэрлэдэг пирамидын хажуугийн ирмэг дээрх хоёр өнцөгт өнцөг.
Пирамидын нэг нүүрний хоёр хажуугийн ирмэгээс үүссэн өнцгийг гэнэ пирамидын дээд хэсэгт байрлах өнцөг.
Пирамидын хэсгүүд
Пирамидын гадаргуу нь олон талт гадаргуу юм. Түүний нүүр тус бүр нь хавтгай тул огтлох хавтгайгаар тодорхойлсон пирамидын хэсэг нь байна эвдэрсэн шугам, тусдаа шулуун шугамуудаас бүрдэх.
Диагональ хэсэг
Пирамидын нэг нүүрэн дээр хэвтдэггүй хажуугийн хоёр ирмэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайн огтлолыг гэнэ. диагональ хэсэгпирамидууд.
Зэрэгцээ хэсгүүд
Теорем:
Хэрэв пирамид нь суурьтай параллель хавтгайгаар огтлолцсон бол пирамидын хажуугийн ирмэг ба өндрийг энэ хавтгайгаар пропорциональ хэсгүүдэд хуваана;
Энэ хавтгайн хэсэг нь суурьтай төстэй олон өнцөгт хэлбэртэй;
Хэсэг ба суурийн талбайнууд нь оройноос хол зайн квадратууд шиг хоорондоо холбоотой байна.
Пирамидын төрлүүд
Зөв пирамид– пирамидын суурь нь жирийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байдаг.
Ердийн пирамидын хувьд:
1. хажуугийн хавирга тэнцүү байна
2. хажуугийн нүүр нь тэнцүү байна
3. апотемууд тэнцүү байна
4. Суурийн хоёр талт өнцөг нь тэнцүү байна
5. хажуугийн ирмэг дээрх хоёр талт өнцөг тэнцүү байна
6. өндрийн цэг бүр нь суурийн бүх оройноос ижил зайд байна
7. өндрийн цэг бүр нь бүх талын ирмэгээс ижил зайд байна
Таслагдсан пирамид- пирамидын суурь ба суурьтай параллель зүсэх хавтгай хооронд бэхлэгдсэн хэсэг.
Таслагдсан пирамидын суурь ба харгалзах хэсгийг дуудна таслагдсан пирамидын суурь.
Нэг суурийн аль ч цэгээс нөгөө суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр гэж нэрлэдэг таслагдсан пирамидын өндөр.
Даалгаврууд
№1. Баруун талд дөрвөлжин пирамидО цэг нь суурийн төв, SO=8 см, BD=30 см SA хажуугийн ирмэгийг ол.
Асуудал шийдэх
№1. Ердийн пирамидын хувьд бүх нүүр ба ирмэгүүд тэнцүү байна.
OSB-ийг анхаарч үзээрэй: OSB нь тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт, учир нь.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Архитектур дахь пирамид
Пирамид бол ердийн жирийн хэлбэртэй хөшөө дурсгал юм геометрийн пирамид, үүнд талууднэг цэгт нэгдэх. Функциональ зорилгынхоо дагуу эртний пирамидууд нь оршуулга, шүтлэгийн газар байсан. Пирамидын суурь нь гурвалжин, дөрвөлжин эсвэл дурын тооны оройтой олон өнцөгт хэлбэртэй байж болох ч хамгийн түгээмэл хувилбар нь дөрвөлжин суурь юм.
Маш олон тооны пирамидууд баригдсан өөр соёлууд Эртний ертөнцголчлон сүм хийд эсвэл дурсгалт газар. Том пирамидуудад Египетийн пирамидууд багтдаг.
Дэлхий даяар та харж болно архитектурын байгууламжуудпирамид хэлбэрээр. Пирамидын барилгууд нь эртний цагийг санагдуулам бөгөөд маш үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.
Египетийн пирамидуудхамгийн агуу архитектурын дурсгалууд Эртний Египет"Дэлхийн долоон гайхамшиг"-ийн нэг бол Хеопс пирамид юм. Хөлнөөс орой хүртэл 137.3 м хүрдэг бөгөөд оройгоо алдахаасаа өмнө 146.7 м өндөр байжээ.
Словакийн нийслэлд урвуу пирамидтай төстэй радио станцын барилга нь 1983 онд баригдсан. Оффис, үйлчилгээний байрнаас гадна эзлэхүүн дотор нэлээд өргөн уудам байдаг. концертын танхим, энэ нь Словакийн хамгийн том эрхтэнүүдийн нэг юм.
"Пирамид шиг чимээгүй, сүрлэг" Луврын музей болохоосоо өмнө олон зуун жилийн туршид олон өөрчлөлтийг туулж ирсэн. хамгийн том музейамар амгалан. Энэ нь 1190 онд Филипп Августийн босгосон цайз хэлбэрээр төрсөн бөгөөд удалгүй хааны оршин суух газар болжээ. 1793 онд ордон музей болжээ. Цуглуулга нь гэрээслэл эсвэл худалдан авалтаар баяжуулдаг.
Тодорхойлолт
Пирамиднь нийтлэг оройтой \(P\) (олон өнцөгтийн хавтгайд хэвтэхгүй) олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(n\) гурвалжнуудаас бүрдэх олон өнцөгт бөгөөд түүний эсрэг талуудтай давхцаж байгаа олон өнцөгт юм. олон өнцөгтийн талууд.
Тэмдэглэл: \(PA_1A_2...A_n\) .
Жишээ нь: таван өнцөгт пирамид \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Гурвалжин \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) гэх мэт. гэж нэрлэдэг хажуугийн нүүрнүүдпирамид, сегмент \(PA_1, PA_2\) гэх мэт. – хажуугийн хавирга, олон өнцөгт \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – суурь, цэг \(P\) – дээд.
ӨндөрПирамидууд нь пирамидын оройноос суурийн хавтгайд буусан перпендикуляр юм.
Суурьдаа гурвалжинтай пирамид гэж нэрлэдэг тетраэдр.
Пирамид гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан бол:
\((a)\) пирамидын хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна;
\((b)\) пирамидын өндөр нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг;
\(c)\) хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
\((d)\) хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
Ердийн тетраэдр- Энэ гурвалжин пирамид, бүх нүүр нь тэнцүү тэгш талт гурвалжин байна.
Теорем
\((a), (b), (c), (d)\) нөхцөлүүд тэнцүү байна.
Баталгаа
Пирамидын өндрийг олцгооё \(PH\) . Пирамидын суурийн хавтгайг \(\альфа\) гэж үзье.
1) \((a)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) байг.
Учир нь \(PH\perp \alpha\), тэгвэл \(PH\) нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд перпендикуляр байх бөгөөд энэ нь гурвалжингууд тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм. Энэ нь эдгээр гурвалжин нь нийтлэг хөл \(PH\) ба гипотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) тэнцүү байна гэсэн үг юм. Энэ нь \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) гэсэн үг. Энэ нь \(A_1, A_2, ..., A_n\) цэгүүд \(H\) цэгээс ижил зайд байгаа тул \(A_1H\) радиустай нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм. Тодорхойлолтоор энэ тойрог \(A_1A_2...A_n\) олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн байна.
2) \((b)\) нь \((c)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт, хоёр хөл дээр тэнцүү. Энэ нь тэдний өнцөг нь тэнцүү гэсэн үг, тиймээс \(\өнцөг PA_1H=\өнцөг PA_2H=...=\өнцөг PA_nH\).
3) \((c)\) нь \((a)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Эхний цэгтэй төстэй гурвалжин \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт ба хөлний дагуу ба хурц булан. Энэ нь тэдний гипотенузууд мөн тэнцүү байна гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) \((b)\)-аас \((d)\) дагахыг баталцгаая.
Учир нь жирийн олон өнцөгт дотор хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн төвүүд давхцдаг (ерөнхийдөө энэ цэгийг ердийн олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг), тэгвэл \(H\) нь бичээстэй тойргийн төв болно. \(H\) цэгээс суурийн талууд руу перпендикуляр зуръя: \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. Эдгээр нь бичээстэй тойргийн радиус юм (тодорхойлолтоор). Дараа нь TTP-ийн дагуу (\(PH\) нь хавтгайд перпендикуляр, \(HK_1, HK_2\) гэх мэт проекцууд, талуудтай перпендикуляр) ташуу \(PK_1, PK_2\) гэх мэт. талуудтай перпендикуляр \(A_1A_2, A_2A_3\) гэх мэт. тус тус. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H\)хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Учир нь гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү (хоёр талдаа тэгш өнцөгт хэлбэртэй), дараа нь өнцөг \(\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H, ...\)тэнцүү байна.
5) \((d)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Дөрөв дэх цэгтэй адил гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү байна (хөлний дагуу тэгш өнцөгт ба хурц өнцөг) нь \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) сегментүүд гэсэн үг юм. тэнцүү. Энэ нь тодорхойлолтоор \(H\) нь сууринд бичигдсэн тойргийн төв гэсэн үг юм. Гэхдээ учир нь Ердийн олон өнцөгтүүдийн хувьд бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд давхцаж, дараа нь \(H\) нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв болно. Chtd.
Үр дагавар
Ердийн пирамидын хажуу талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Тодорхойлолт
Тогтмол пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройноос нь татсан гэж нэрлэдэг апотем.
Ердийн пирамидын бүх хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд мөн медиан ба биссектрис юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Тогтмол гурвалжин пирамидын өндөр нь суурийн өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн гурвалжин юм).
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь дөрвөлжин).
3. Тогтмол зургаан өнцөгт пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн зургаан өнцөгт).
4. Пирамидын өндөр нь сууринд байрлах аливаа шулуун шугамд перпендикуляр байна.
Тодорхойлолт
Пирамид гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт, хэрэв түүний хажуугийн ирмэгүүдийн аль нэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал.
Чухал тэмдэглэл
1. Тэгш өнцөгт пирамидын суурьтай перпендикуляр ирмэг нь пирамидын өндөр юм. Энэ нь \(SR\) нь өндөр юм.
2. Учир нь \(SR\) нь суурийн аль ч шулуунд перпендикуляр байна \(\гурвалжин SRM, \гурвалжин SRP\)- тэгш өнцөгт гурвалжин.
3. Гурвалжин \(\гурвалжин SRN, \гурвалжин SRK\)- бас тэгш өнцөгт.
Өөрөөр хэлбэл, энэ ирмэгээс үүссэн аливаа гурвалжин ба суурь дээр байрлах энэ ирмэгийн оройноос гарч буй диагональ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
\[(\Том(\текст(Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай)))\]
Теорем
Пирамидын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба пирамидын өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. \
Үр дагавар
\(a\) нь суурийн тал, \(h\)-ийг пирамидын өндөр гэж үзье.
1. Энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун гурвалжин.пир.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн \(V_(\текст(баруун.дөрвөн.пир.))=\dfrac13a^2h\).
3. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун. зургаан пир.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Энгийн тетраэдрийн эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорем
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн хагас үржвэртэй тэнцүү байна.
\[(\Том(\текст(Frustum)))\]
Тодорхойлолт
Дурын пирамидыг авч үзье \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Пирамидын хажуугийн ирмэг дээр байрлах тодорхой цэгээр дамжуулан пирамидын суурьтай параллель хавтгай зурцгаая. Энэ хавтгай нь пирамидыг хоёр олон талт хэлбэрт хуваах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь пирамид (\(PB_1B_2...B_n\)), нөгөөг нь нэрлэдэг. таслагдсан пирамид(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Таслагдсан пирамид нь хоорондоо төстэй олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(B_1B_2...B_n\) гэсэн хоёр суурьтай.
Таслагдсан пирамидын өндөр нь дээд суурийн зарим цэгээс доод суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
2. Энгийн таслагдсан пирамидын (өөрөөр хэлбэл ердийн пирамидын хөндлөн огтлолоор олж авсан пирамид) суурийн төвүүдийг холбосон сегмент нь өндөр юм.
Бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтад багтсан даалгавруудыг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно. Нөхцөл өгөгдсөн бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэг эсвэл өнцгийн хоорондох зайг олох шаардлагатай асуудлуудыг бид аль хэдийн судалж үзсэн.
Пирамид нь олон өнцөгт, суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь нийтлэг оройтой байдаг.
Энгийн пирамид нь суурь нь ердийн олон өнцөгт байрладаг пирамид бөгөөд түүний орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байдаг.
Ердийн дөрвөлжин пирамид - суурь нь дөрвөлжин юм.
ML - үг хэллэг
∠MLO - пирамидын суурь дахь хоёр талт өнцөг
∠MCO - пирамидын суурийн хажуугийн ирмэг ба хавтгай хоорондын өнцөг
Энэ нийтлэлд бид ердийн пирамидыг шийдэх асуудлыг авч үзэх болно. Та зарим элемент, хажуугийн гадаргуугийн талбай, эзэлхүүн, өндрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг та Пифагорын теорем, пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томъёо, пирамидын эзэлхүүнийг олох томъёог мэдэх хэрэгтэй.
Нийтлэлд "" Стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай томьёог танилцуулж байна. Тиймээс, даалгаварууд:
SABCDцэг О- суурийн төв,Сорой, SO = 51, А.С.= 136. Хажуугийн ирмэгийг олС.С..
IN энэ тохиолдолдсуурь нь дөрвөлжин юм. Энэ нь AC ба BD диагональууд тэнцүү, огтлолцох ба огтлолцлын цэгээр хуваагдана гэсэн үг юм. Ердийн пирамид дээр дээрээс нь унасан өндөр нь пирамидын суурийн төвөөр дамждаг гэдгийг анхаарна уу. Тэгэхээр SO нь өндөр ба гурвалжин юмSOCтэгш өнцөгт. Дараа нь Пифагорын теоремын дагуу:
Хэрхэн үндсийг нь гаргаж авах вэ их тоо.
Хариулт: 85
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Ердийн дөрвөлжин пирамид SABCDцэг О- суурийн төв, Сорой, SO = 4, А.С.= 6. Хажуугийн ирмэгийг ол С.С..
Ердийн дөрвөлжин пирамид SABCDцэг О- суурийн төв, Сорой, С.С. = 5, А.С.= 6. Хэсгийн уртыг ол SO.
Ердийн дөрвөлжин пирамид SABCDцэг О- суурийн төв, Сорой, SO = 4, С.С.= 5. Хэсгийн уртыг ол А.С..
SABC Р- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна AB= 7, a С.Р.= 16. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна (апотем гэдэг нь ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр бөгөөд оройгоос нь татсан).
Эсвэл бид үүнийг хэлж болно: пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь нийлбэртэй тэнцүү байна гурван квадратхажуугийн ирмэгүүд. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн нүүрнүүд нь ижил талбайтай гурвалжин юм. Энэ тохиолдолд:
Хариулт: 168
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Ердийн гурвалжин пирамид SABC Р- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна AB= 1, a С.Р.= 2. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Ердийн гурвалжин пирамид SABC Р- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна AB= 1, хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 3. Хэсгийн уртыг ол С.Р..
Ердийн гурвалжин пирамид SABC Л- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна SL= 2, хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 3. Хэсгийн уртыг ол AB.
Ердийн гурвалжин пирамид SABC М. Гурвалжны талбай ABC 25, пирамидын эзэлхүүн 100. Хэсгийн уртыг ол MS.
Пирамидын суурь нь тэгш талт гурвалжин юм. Тийм ч учраас Мсуурийн төв нь баMS- ердийн пирамидын өндөрSABC. Пирамидын эзэлхүүн SABCтэнцүү: шийдлийг харах
Ердийн гурвалжин пирамид SABCсуурийн медианууд цэг дээр огтлолцоно М. Гурвалжны талбай ABCтэнцүү 3, MS= 1. Пирамидын эзэлхүүнийг ол.
Ердийн гурвалжин пирамид SABCсуурийн медианууд цэг дээр огтлолцоно М. Пирамидын эзэлхүүн 1, MS= 1. Гурвалжны талбайг ол ABC.
Энд дуусгая. Таны харж байгаагаар асуудлыг нэг эсвэл хоёр алхамаар шийддэг. Ирээдүйд бид хувьсгалын биеийг өгдөг энэ хэсгээс бусад асуудлыг авч үзэх болно, бүү алдаарай!
Чамд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
Геометрийн бодлогод ихэвчлэн гардаг гурван хэмжээст дүрс бол пирамид юм. Энэ ангийн хамгийн энгийн дүрс нь гурвалжин юм. Энэ нийтлэлд бид зөвийн үндсэн томъёо, шинж чанарыг нарийвчлан шинжлэх болно
Зургийн талаархи геометрийн санаанууд
Ердийн гурвалжин пирамидын шинж чанарыг авч үзэхээсээ өмнө бид ямар дүрсийн тухай ярьж байгааг нарийвчлан авч үзье.
Гурван хэмжээст орон зайд дурын гурвалжин байна гэж бодъё. Энэ орон зайн гурвалжны хавтгайд ороогүй аль ч цэгийг сонгон гурвалжны гурван оройтой холбоно. Бид гурвалжин пирамид авсан.
Энэ нь 4 талаас бүрдэх бөгөөд бүгд гурвалжин юм. Гурван нүүр уулздаг цэгүүдийг орой гэж нэрлэдэг. Зурагт мөн дөрөв нь байна. Хоёр нүүрний огтлолцлын шугамууд нь ирмэг юм. Энэ пирамид нь 6 ирмэгтэй.
Энэ дүрс нь дөрвөн талаас бүрддэг тул үүнийг тетраэдр гэж нэрлэдэг.
Зөв пирамид
Дээр хэлэлцсэн дур зоргоороо дүрсгурвалжин суурьтай. Одоо бид пирамидын оройноос суурь хүртэл перпендикуляр хэрчмийг зурлаа гэж бодъё. Энэ сегментийг өндөр гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, та зургийн хувьд 4 өөр өндрийг зурж болно. Хэрэв өндөр нь геометрийн төвд гурвалжин суурьтай огтлолцдог бол ийм пирамидыг шулуун гэж нэрлэдэг.
Суурь нь тэгш талт гурвалжин болох шулуун пирамидыг тогтмол гэж нэрлэдэг. Түүний хувьд бүх гурван гурвалжин үүсдэг хажуугийн гадаргуутоонууд нь ижил өнцөгт бөгөөд бие биетэйгээ тэнцүү. Ердийн пирамидын онцгой тохиолдол бол дөрвөн тал нь ижил талт гурвалжин байх нөхцөл юм.
Ердийн гурвалжин пирамидын шинж чанарыг авч үзээд түүний параметрүүдийг тооцоолох харгалзах томъёог өгье.
Суурийн тал, өндөр, хажуугийн ирмэг ба апотем
Бүртгэгдсэн параметрүүдийн аль нэг нь үлдсэн хоёр шинж чанарыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Эдгээр хэмжигдэхүүнтэй холбоотой томьёог танилцуулъя.
Энгийн гурвалжин пирамидын суурийн тал нь a гэж бодъё. Түүний урт хажуугийн хавирга b-тэй тэнцүү. Ердийн гурвалжин пирамид ба түүний нэр томъёоны өндөр ямар байх вэ?
h өндрийн хувьд бид дараах илэрхийллийг авна.
Энэ томъёо нь хажуугийн ирмэг, өндөр ба суурийн өндрийн 2/3 нь Пифагорын теоремоос гардаг.
Пирамидын нэр томъёо нь аль ч хажуугийн гурвалжны өндөр юм. Апотемийн урт a b нь дараахтай тэнцүү байна.
a b = √(b 2 - a 2 /4)
Эдгээр томъёоноос харахад гурвалжин ердийн пирамидын суурийн тал ба хажуугийн ирмэгийн урт нь ямар ч байсан апотем нь пирамидын өндрөөс үргэлж их байх болно.
Үзүүлсэн хоёр томьёо нь тухайн зургийн бүх дөрвөн шугаман шинж чанарыг агуулна. Тиймээс, тэдгээрийн мэдэгдэж буй хоёрыг өгвөл үлдсэнийг нь бичгийн тэгш байдлын системийг шийдэж болно.
Зургийн хэмжээ
Ямар ч пирамидын хувьд (налууг оруулаад) түүгээр хязгаарлагдах зайны эзэлхүүний утгыг зургийн өндөр ба түүний суурийн талбайг мэдэх замаар тодорхойлж болно. Холбогдох томъёо нь:
Энэ илэрхийллийг тухайн зурагт хэрэглэснээр бид дараах томъёог авна.
Энгийн гурвалжин пирамидын өндөр нь h, суурийн тал нь a.
Бүх талууд нь хоорондоо тэнцүү, тэгш талт гурвалжныг төлөөлдөг тетраэдрийн эзэлхүүний томъёог олж авахад хэцүү биш юм. Энэ тохиолдолд зургийн эзлэхүүнийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
Өөрөөр хэлбэл, энэ нь а талын уртаар тодорхойлогддог.
Гадаргуугийн талбай
Ердийн гурвалжин пирамидын шинж чанарыг үргэлжлүүлэн авч үзье. Зургийн бүх нүүрний нийт талбайг түүний гадаргуугийн талбай гэж нэрлэдэг. Сүүлийнх нь холбогдох хөгжлийг харгалзан үзэхэд хялбархан судалж болно. Доорх зураг нь ердийн гурвалжин пирамидын хөгжил ямар байгааг харуулж байна.
Зургийн a суурийн хажуугийн h ба өндөрийг бид мэднэ гэж бодъё. Дараа нь түүний суурийн талбай нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байх болно.
Сургуулийн хүүхэд бүр гурвалжны талбайг хэрхэн олохоо санаж, мөн адил талт гурвалжны өндөр нь биссектриса ба медиан гэдгийг харгалзан үзвэл энэ илэрхийллийг олж авах боломжтой.
Гурван ижил тэгш өнцөгт гурвалжнаас үүссэн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Энэхүү тэгш байдал нь пирамидын апотемийг суурийн өндөр ба уртаар илэрхийлснээс үүсдэг.
Зургийн нийт гадаргуугийн талбай нь:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Дөрвөн тал нь тэнцүү байдаг тетраэдрийн хувьд гэдгийг анхаарна уу тэгш талт гурвалжин, S талбайтай тэнцүү байна:
Ердийн таслагдсан гурвалжин пирамидын шинж чанарууд
Хэрэв гурвалжин пирамидын дээд хэсгийг суурьтай параллель хавтгайгаар таславал үлдсэн доод хэсгийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэнэ.
Гурвалжин суурийн хувьд тайлбарласан зүсэлтийн аргын үр дүн нь шинэ гурвалжин бөгөөд энэ нь мөн адил талт боловч хажуугийн урт нь суурийн хажуугаас богино байна. Тасалсан гурвалжин пирамидыг доор үзүүлэв.
Энэ тоо аль хэдийн хоёроор хязгаарлагдаж байгааг бид харж байна гурвалжин суурьба гурван ижил өнцөгт трапец.
Үүссэн зургийн өндөр нь h-тэй тэнцүү, доод ба дээд суурийн талуудын урт нь тус тус 1 ба 2, апотем (трапецын өндөр) нь b-тэй тэнцүү гэж үзье. Дараа нь тайрсан пирамидын гадаргуугийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Энд эхний нэр томъёо нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, хоёр дахь гишүүн нь гурвалжин суурийн талбай юм.
Зургийн эзлэхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно.
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
Таслагдсан пирамидын шинж чанарыг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд өгөгдсөн томъёогоор харуулсан түүний гурван параметрийг мэдэх шаардлагатай.