itd. je splošno izobraževalne narave in ima velika vrednostštudirati CELOTEN tečaj višje matematike. Danes bomo ponovili "šolske" enačbe, vendar ne samo "šolske" - ampak tiste, ki jih najdemo povsod v različnih problemih vyshmat. Kot običajno bo zgodba podana na aplikativni način, t.j. Ne bom se osredotočal na definicije in klasifikacije, ampak bom natančno delil z vami osebna izkušnja rešitve. Podatki so namenjeni predvsem začetnikom, a tudi bolj napredni bralci bodo našli marsikaj zase. zanimivi trenutki. In seveda bo nov material, ki presega srednja šola.
Torej enačba…. Mnogi se te besede spomnijo z grozo. Kaj so vredne "sofisticirane" enačbe s koreninami ... ... pozabite nanje! Ker takrat boste srečali najbolj neškodljive "predstavnike" te vrste. Ali dolgočasno trigonometrične enačbe z več desetimi metodami rešitve. Po pravici povedano, sama jih nisem ravno marala ... Ne bom paničen! – potem vas večinoma čakajo “regratovi” z očitno rešitvijo v 1-2 korakih. Čeprav se "repinca" zagotovo drži, morate biti tu objektivni.
Nenavadno je, da je v višji matematiki veliko pogosteje obravnavati zelo primitivne enačbe, kot je linearni enačbe
Kaj pomeni rešiti to enačbo? To pomeni najti TAKŠNO vrednost "x" (koren), ki jo spremeni v pravo enakost. Vrzimo "trojko" v desno s spremembo predznaka:
in spustite "dva" na desno stran (ali, ista stvar - pomnožite obe strani s)
:
Če želite preveriti, nadomestimo osvojeni pokal v prvotno enačbo: 
Dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da je najdena vrednost res koren podana enačba. Ali, kot tudi pravijo, zadošča tej enačbi.
Upoštevajte, da je koren lahko zapisan tudi v obliki decimalno:
In poskusite se ne držati tega slabega sloga! Razlog sem ponovil več kot enkrat, zlasti na prvi lekciji na višja algebra.
Mimogrede, enačbo je mogoče rešiti tudi "v arabščini":
In kar je najbolj zanimivo, je ta posnetek povsem legalen! Če pa niste učitelj, potem je bolje, da tega ne počnete, ker je izvirnost tukaj kaznovana =)
In zdaj malo o
metoda grafične rešitve
Enačba ima obliko in njen koren je "X" koordinata stičišča graf linearne funkcije z grafom linearne funkcije (x os):
Zdi se, da je primer tako elementaren, da tukaj ni več kaj analizirati, vendar je mogoče iz njega "iztisniti" še eno nepričakovano nianso: predstavimo isto enačbo v obliki in zgradimo grafe funkcij: 
Ob istem času, prosim, ne zamenjujte obeh pojmov: enačba je enačba in funkcijo– to je funkcija! Funkcije samo pomoč poišči korenine enačbe. Od katerih sta lahko dva, trije, štirje ali celo neskončno veliko. Najbližji primer v tem smislu je znani kvadratna enačba, algoritem rešitve za katerega je prejel ločen odstavek »vroče« šolske formule. In to ni naključje! Če znaš rešiti kvadratno enačbo in veš Pitagorov izrek, potem bi lahko rekli "pol višje matematike je že v žepu" =) Seveda pretirano, a ne tako daleč od resnice!
Zato ne bodimo leni in rešimo kakšno kvadratno enačbo z uporabo standardni algoritem:
, kar pomeni, da ima enačba dve različni veljaven koren: 
Preprosto je preveriti, ali obe najdeni vrednosti dejansko izpolnjujeta to enačbo: 
Kaj storiti, če ste nenadoma pozabili algoritem rešitve in pri roki ni sredstev/pomoči? Ta situacija se lahko pojavi na primer med testom ali izpitom. Uporabljamo grafično metodo! In obstajata dva načina: lahko graditi točko za točko parabola 
, s čimer ugotovimo, kje seka os (če se sploh križa). Vendar je bolje narediti nekaj bolj zvitega: zamislite si enačbo v obliki, narišite grafe enostavnejših funkcij - in "X" koordinate njihova presečišča so jasno vidna! 
Če se izkaže, da se ravna črta dotika parabole, ima enačba dva sovpadajoča (večkratna) korena. Če se izkaže, da premica ne seka parabole, potem pravih korenin ni.
Če želite to narediti, morate seveda znati graditi grafi elementarnih funkcij, po drugi strani pa te veščine zmore tudi šolar.
In spet - enačba je enačba in funkcije so funkcije, ki le pomagalo reši enačbo!
In tukaj, mimogrede, bi bilo primerno zapomniti še eno stvar: če vse koeficiente enačbe pomnožimo z neničelnim številom, se njeni koreni ne bodo spremenili.
Torej, na primer, enačba 
ima iste korenine. Kot preprost "dokaz" bom konstanto vzel iz oklepaja: 
in ga neboleče odstranim (oba dela bom delil z "minus dva"):
AMPAK!Če upoštevamo funkcijo 
, potem se tukaj ne morete znebiti stalnice! Iz oklepaja je dovoljeno vzeti le množitelj: 
.
Mnogi podcenjujejo metodo grafične rešitve, saj jo imajo za nekaj »nedostojnega«, nekateri pa na to možnost celo popolnoma pozabijo. In to je v osnovi napačno, saj risanje grafov včasih samo reši situacijo!
Drug primer: recimo, da se ne spomnite korenin najpreprostejše trigonometrične enačbe: . Splošna formula je v šolskih učbenikih, v vseh priročnikih o osnovni matematiki, vendar vam niso na voljo. Vendar pa je reševanje enačbe kritično (ali »dve«). Obstaja izhod! – zgraditi grafe funkcij: 
nato pa mirno zapišemo koordinate "X" njihovih presečišč: 
Korenov je neskončno veliko in v algebri je sprejet njihov strnjeni zapis:
, Kje ( – množica celih števil)
.
In, ne da bi "odšli", nekaj besed o grafični metodi za reševanje neenačb z eno spremenljivko. Princip je enak. Tako je na primer rešitev neenakosti poljuben "x", ker Sinusoida leži skoraj v celoti pod ravno črto. Rešitev neenakosti je množica intervalov, v katerih deli sinusoide ležijo strogo nad ravno črto (x-os):
ali na kratko:
Toda tukaj je veliko rešitev za neenakost: prazno, saj nobena točka sinusoide ne leži nad premico.
Ali česa ne razumeš? Nujno preučite lekcije o kompleti in funkcijski grafi!
Ogrejmo se:
Naloga 1
Grafično rešite naslednje trigonometrične enačbe:
Odgovori na koncu lekcije
Kot lahko vidite, za študij natančnih znanosti sploh ni treba nabijati formul in referenčnih knjig! Poleg tega je to v osnovi napačen pristop.
Kot sem vas že prepričal na samem začetku lekcije, je treba kompleksne trigonometrične enačbe v standardnem tečaju višje matematike reševati zelo redko. Vsa kompleksnost se praviloma konča z enačbami, kot je , katerih rešitev sta dve skupini korenov, ki izhajata iz najpreprostejših enačb in 
. Za reševanje slednjega se ne obremenjujte preveč – poglejte v knjigo ali jo poiščite na internetu =)
Metoda grafičnega reševanja lahko pomaga tudi v manj trivialnih primerih. Upoštevajte na primer naslednjo enačbo "ragtag":
Obeti za njegovo rešitev so videti ... ne izgledajo čisto nič, ampak enačbo si morate samo predstavljati v obliki , zgraditi funkcijski grafi in vse se bo izkazalo za neverjetno preprosto. Na sredini članka je risba o infinitezimalne funkcije (odpre se v naslednjem zavihku).
Z isto grafično metodo lahko ugotovite, da enačba že ima dve korenini, ena od njih pa je enaka nič, druga pa navidezno neracionalno in spada v segment . Ta koren lahko približno izračunamo, npr. tangentna metoda. Mimogrede, pri nekaterih težavah se zgodi, da vam ni treba najti korenin, ampak ugotovite ali sploh obstajajo?. In tudi tukaj lahko pomaga risba - če se grafi ne sekajo, potem ni korenin.
Racionalne korenine polinomov s celimi koeficienti.
Hornerjeva shema
Zdaj pa vas vabim, da pogled usmerite v srednji vek in občutite edinstveno vzdušje klasične algebre. Za boljše razumevanje Priporočam, da vsaj malo preberete gradivo kompleksna števila.
Najboljši so. Polinomi.
Predmet našega zanimanja bodo najpogostejši polinomi oblike z cela koeficientov Naravno število klical stopnja polinoma, število – koeficient najvišje stopnje (ali samo najvišji koeficient), koeficient pa je brezplačen član.
Ta polinom bom na kratko označil z .
Korenine polinoma imenujemo korenine enačbe
Obožujem železno logiko =)
Za primere pojdite na sam začetek članka: 
Pri iskanju korenin polinomov 1. in 2. stopnje ni težav, z večanjem pa postaja ta naloga čedalje težja. Čeprav je po drugi strani vse bolj zanimivo! In prav temu bo posvečen drugi del lekcije.
Najprej dobesedno pol zaslona teorije:
1) Glede na posledico temeljni izrek algebre, polinom stopnje ima točno kompleksen korenine. Nekatere korenine (ali celo vse) so lahko še posebej veljaven. Še več, med pravimi koreninami so lahko enake (večkratne) korenine (najmanj dva, največ kosa).
Če je neko kompleksno število koren polinoma, potem konjugat njeno število je nujno tudi koren tega polinoma (konjugirani kompleksni koreni imajo obliko ).
Najenostavnejši primer je kvadratna enačba, ki se je prvič pojavila v 8 (všeč mi je) razreda, in ki smo ga v temi dokončno »dodelali«. kompleksna števila. Naj vas spomnim: kvadratna enačba ima dva različna realna korena, več korenin ali konjugirane kompleksne korenine.
2) Od Bezoutov izrek iz tega sledi, da če je število koren enačbe, potem lahko ustrezen polinom faktoriziramo:
, kjer je polinom stopnje .
In spet naš stari primer: ker je koren enačbe, potem . Po kateri ni težko pridobiti znane "šolske" razširitve.
Posledica Bezoutovega izreka ima veliko praktično vrednost: če poznamo koren enačbe 3. stopnje, jo lahko predstavimo v obliki 
in iz kvadratne enačbe je enostavno ugotoviti preostale korenine. Če poznamo koren enačbe 4. stopnje, potem je mogoče levo stran razširiti v produkt itd.
In tukaj sta dve vprašanji:
Prvo vprašanje. Kako najti prav to korenino? Najprej opredelimo njegovo naravo: v mnogih problemih višje matematike je treba najti racionalno, še posebej cela korenine polinomov in v zvezi s tem nas bodo v nadaljevanju zanimale predvsem te.... ...tako dobri so, tako puhasti, da si jih kar želiš najti! =)
Prva stvar, ki pride na misel, je metoda izbire. Upoštevajte na primer enačbo. Ulov je v prostem izrazu - če bi bil enak nič, bi bilo vse v redu - vzamemo "X" iz oklepajev in korenine same "padejo" na površje: 
Toda naš prosti izraz je enak "tri", zato začnemo zamenjati v enačbo različne številke, ki trdi, da je "root". Najprej se predlaga zamenjava posameznih vrednosti. Zamenjajmo: 
Prejeto nepravilno enakost, zato enota »ni ustrezala«. No, v redu, zamenjajmo: 
Prejeto res enakost! To pomeni, da je vrednost koren te enačbe.
Za iskanje korenin polinoma 3. stopnje obstaja analitična metoda (tako imenovane formule Cardano), zdaj pa nas zanima nekoliko drugačna naloga.
Ker je - koren našega polinoma, lahko polinom predstavimo v obliki in nastane Drugo vprašanje: kako najti "mlajšega brata"?
Najenostavnejša algebrska razmišljanja kažejo, da moramo za to deliti z . Kako deliti polinom s polinomom? enako šolska metoda, ki se uporablja za deljenje navadnih števil - v “stolpcu”! Ta metoda jaz bolj podrobno razpravljali v prvih primerih lekcije Kompleksne omejitve, zdaj pa si bomo ogledali drugo metodo, ki se imenuje Hornerjeva shema.
Najprej zapišemo "najvišji" polinom z vsemi
, vključno z ničelnimi koeficienti:
, nato pa te koeficiente vnesemo (strogo v vrstnem redu) v zgornjo vrstico tabele:
Na levi pišemo koren:
Takoj bom rezerviral, da Hornerjeva shema deluje tudi, če je "rdeča" številka ne je koren polinoma. Vendar ne prehitevajmo stvari.
Od zgoraj odstranimo vodilni koeficient:
Postopek polnjenja spodnjih celic nekoliko spominja na vezenje, kjer je "minus ena" nekakšna "igla", ki prežema naslednje korake. »Odneseno« število pomnožimo z (–1) in zmnožku dodamo število iz zgornje celice:
Dobljeno vrednost pomnožimo z "rdečo iglo" in produktu dodamo naslednji koeficient enačbe:
In končno, dobljeno vrednost ponovno "obdelamo" z "iglo" in zgornjim koeficientom:
Ničla v zadnji celici nam pove, da je polinom razdeljen na brez sledu (kot mora biti), medtem ko so ekspanzijski koeficienti "odstranjeni" neposredno iz spodnje vrstice tabele:
Tako smo iz enačbe prešli na ekvivalentno enačbo in s preostalima korenoma je vse jasno (V v tem primeru dobimo konjugirane kompleksne korene).
Enačbo, mimogrede, lahko rešimo tudi grafično: izris "strela" 
in vidite, da graf prečka os x ()
na točki. Ali isti "zvit" trik - prepišemo enačbo v obliki , narišemo elementarne grafe in zaznamo koordinato "X" njihove presečišča.
Mimogrede, graf katere koli polinomske funkcije tretje stopnje seka os vsaj enkrat, kar pomeni, da ima ustrezna enačba vsaj eno veljaven korenina. To dejstvo velja za katero koli polinomsko funkcijo lihe stopnje.
In tukaj bi se rad tudi ustavil pomembna točka kar zadeva terminologijo: polinom in polinomska funkcija – to ni isto! Toda v praksi pogosto govorijo na primer o "grafu polinoma", kar je seveda malomarnost.
Vendar se vrnimo k Hornerjevi shemi. Kot sem pred kratkim omenil, ta shema deluje tudi za druge številke, vendar če št ne je koren enačbe, potem se v naši formuli pojavi neničelni dodatek (ostanek):
"Zaženimo" "neuspešno" vrednost po Hornerjevi shemi. V tem primeru je priročno uporabiti isto tabelo - na levo napišite novo "iglo", premaknite vodilni koeficient od zgoraj (zelena puščica levo), in gremo: 
Za preverjanje odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze:
, OK.
Zlahka opazimo, da je ostanek ("šest") natanko vrednost polinoma pri . In pravzaprav - kako je: 
, in še lepše - takole:
Iz zgornjih izračunov je enostavno razumeti, da Hornerjeva shema omogoča ne samo faktorizacijo polinoma, ampak tudi izvedbo "civilizirane" izbire korena. Predlagam, da sami utrdite algoritem izračuna z majhno nalogo:
Naloga 2
S Hornerjevo shemo poiščite celoštevilski koren enačbe in faktorizirajte ustrezen polinom
Z drugimi besedami, tukaj morate zaporedno preverjati števila 1, –1, 2, –2, ... – dokler se v zadnjem stolpcu ne “izriše” preostanek nič. To bo pomenilo, da je "igla" te črte koren polinoma
Izračune je priročno urediti v eni tabeli. Podrobna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Metoda izbire korenin je dobra za relativno enostavni primeri, če pa so koeficienti in/ali stopnja polinoma veliki, lahko postopek traja dlje. Ali morda obstaja nekaj vrednosti z istega seznama 1, –1, 2, –2 in jih ni smiselno upoštevati? In poleg tega se lahko izkaže, da so korenine delne, kar bo vodilo do popolnoma neznanstvenega pikanja.
Na srečo obstajata dva močna izreka, ki lahko znatno zmanjšata iskanje vrednosti "kandidatov" za racionalne korenine:
1. izrek Razmislimo ireduktibilen ulomek , kjer . Če je število koren enačbe, se prosti člen deli z in vodilni koeficient deli s.
Zlasti, če je vodilni koeficient , potem je ta racionalni koren celo število:
In začnemo izkoriščati teorem s samo to okusno podrobnostjo:
Vrnimo se k enačbi. Ker je njegov vodilni koeficient , potem so lahko hipotetični racionalni koreni izključno celo število, prosti člen pa mora biti nujno razdeljen na te korene brez ostanka. In "tri" lahko razdelimo le na 1, –1, 3 in –3. To pomeni, da imamo samo 4 "korenske kandidate". In glede na 1. izrek, druga racionalna števila NAČELOM ne morejo biti koreni te enačbe.
V enačbi je malo več "tekmovalcev": prosti člen je razdeljen na 1, –1, 2, – 2, 4 in –4.
Upoštevajte, da sta številki 1, –1 »običajni« na seznamu možnih korenin (očitna posledica izreka) in večina najboljša izbira za prednostno preverjanje.
Pojdimo k bolj smiselnim primerom:
Problem 3
rešitev: ker je vodilni koeficient , potem so lahko hipotetični racionalni koreni le celo število in morajo biti nujno delitelji prostega člena. "Minus štirideset" je razdeljen na naslednje pare številk:
– skupaj 16 “kandidatov”.
In tu se takoj pojavi mamljiva misel: ali je mogoče izločiti vse negativne ali vse pozitivne korenine? V nekaterih primerih je to mogoče! Oblikoval bom dva znaka:
1) Če VseČe so koeficienti polinoma nenegativni, potem ne more imeti pozitivnih korenin. Na žalost to ni naš primer (zdaj, če bi dobili enačbo - potem da, pri zamenjavi katere koli vrednosti polinoma je vrednost polinoma strogo pozitivna, kar pomeni, da so vsa pozitivna števila (in tudi neracionalne) ne morejo biti koreni enačbe.
2) Če so koeficienti za lihe potence nenegativni in za vse sode potence (vključno z brezplačnim članom) so negativni, potem polinom ne more imeti negativnih korenin. To je naš primer! Če pogledate malo bližje, lahko vidite, da bo pri zamenjavi katerega koli negativnega "X" v enačbi leva stran strogo negativna, kar pomeni, da negativni koreni izginejo
Tako je za raziskavo ostalo 8 številk:
"Napolnimo" jih zaporedno po Hornerjevi shemi. Upam, da ste že obvladali miselne izračune: 
Pri testiranju »dvojke« nas je pričakala sreča. Tako je koren obravnavane enačbe in
Ostaja še preučevanje enačbe 
. To je enostavno narediti prek diskriminatorja, vendar bom izvedel okvirni test z isto shemo. Najprej naj opozorimo, da je prosti termin enak 20, kar pomeni 1. izrekštevilki 8 in 40 izpadeta s seznama možnih korenin, vrednosti pa ostanejo za raziskovanje (eden je bil izločen po Hornerjevi shemi).
Koeficiente trinoma zapišemo v zgornjo vrstico nove tabele in Začnemo preverjati z istim "dvema". Zakaj? In ker so koreni lahko večkratniki, prosim: - ta enačba ima 10 enake korenine. Ampak ne pustimo se motiti: 
In tukaj sem se seveda malo zlagal, saj sem vedel, da so korenine racionalne. Konec koncev, če bi bili neracionalni ali kompleksni, bi se soočil z neuspešnim preverjanjem vseh preostalih številk. Zato se v praksi ravnajte po diskriminatorju.
Odgovori: racionalne korenine: 2, 4, 5
Pri problemu, ki smo ga analizirali, smo imeli srečo, saj: a) so takoj odpadle negativne vrednosti, in b) zelo hitro smo našli koren (in teoretično bi lahko preverili celoten seznam).
Toda v resnici je stanje veliko hujše. Vabim vas k ogledu razburljiva igra imenovan " Zadnji junak»:
Problem 4
Poiščite racionalne korenine enačbe
rešitev: Avtor 1. izrekštevniki hipotetičnega racionalne korenine mora izpolnjevati pogoj (beremo "dvanajst je deljeno z el"), imenovalce pa na pogoj . Na podlagi tega dobimo dva seznama:
"seznam el":
in "seznam um": (na srečo so številke tukaj naravne).
Sedaj pa naredimo seznam vseh možnih korenin. Najprej razdelimo »el seznam« na . Popolnoma jasno je, da bodo pridobljene enake številke. Za udobje jih postavimo v tabelo:
Številni ulomki so bili zmanjšani, kar je povzročilo vrednosti, ki so že na "seznamu junakov". Dodajamo samo "novince": 
Podobno delimo isti "seznam" z: 
in končno naprej
Tako je ekipa udeležencev naše igre zaključena: 
Na žalost polinom v tem problemu ne izpolnjuje "pozitivnega" ali "negativnega" kriterija, zato ne moremo zavreči zgornje ali spodnje vrstice. Delati boste morali z vsemi številkami.
kako se počutiš Daj no, pokonci – obstaja še en izrek, ki ga lahko figurativno imenujemo »ubijalski izrek«…. ..."kandidati", seveda =)
Toda najprej se morate pomakniti po Hornerjevem diagramu za vsaj enega celotoštevilke. Tradicionalno, vzemimo enega. V zgornjo vrstico zapišemo koeficiente polinoma in vse je kot običajno:
Ker štiri očitno ni nič, vrednost ni koren zadevnega polinoma. Ampak ona nam bo zelo pomagala.
Izrek 2Če za nekatere na splošno vrednost polinoma ni nič: , potem njegove racionalne korenine (če obstajajo) izpolnjevati pogoj
V našem primeru morajo zato vse možne korenine izpolnjevati pogoj (recimo temu pogoj št. 1). Ta četverica bo "ubijalec" mnogih "kandidatov". Za predstavitev si bom ogledal nekaj pregledov:
Preverimo "kandidata". Da bi to naredili, ga umetno predstavimo v obliki ulomka, iz katerega je jasno razvidno, da . Izračunajmo testno razliko: . Štiri je deljeno z "minus dva": , kar pomeni, da je možni koren prestal test.
Preverimo vrednost. Tukaj je razlika v testu: 
. Seveda in zato tudi drugi »predmet« ostaja na seznamu.
Pri reševanju enačb in neenačb je pogosto treba faktorizirati polinom s stopnjo tri ali več. V tem članku si bomo ogledali, kako to najlažje storiti.
Kot ponavadi se za pomoč obrnemo na teorijo.
Bezoutov izrek navaja, da je ostanek pri deljenju polinoma z binomom .
Toda za nas ni pomemben sam izrek, ampak posledica tega:
Če je število koren polinoma, potem je polinom deljiv z binomom brez ostanka.
Soočeni smo z nalogo, da nekako najdemo vsaj en koren polinoma, nato pa polinom delimo z , kjer je koren polinoma. Kot rezultat dobimo polinom, katerega stopnja je za ena manjša od stopnje prvotnega. In potem, če je potrebno, lahko postopek ponovite.
Ta naloga je razdeljena na dvoje: kako najti koren polinoma in kako polinom deliti z binomom.
Oglejmo si te točke podrobneje.
1. Kako najti koren polinoma.
Najprej preverimo, ali sta števili 1 in -1 korenini polinoma.
Tu nam bodo v pomoč naslednja dejstva:
Če je vsota vseh koeficientov polinoma enaka nič, potem je število koren polinoma.
Na primer, v polinomu je vsota koeficientov nič: . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.
Če je vsota koeficientov polinoma pri sodih potencah enaka vsoti koeficientov pri lihih potencah, potem je število koren polinoma. Prosti člen se šteje za koeficient za sodo stopnjo, saj je , a sodo število.
Na primer, v polinomu je vsota koeficientov za sode potence: , vsota koeficientov za lihe potence pa je: . Preprosto je preveriti, kaj je koren polinoma.
Če niti 1 niti -1 nista korena polinoma, gremo naprej.
Za zmanjšan polinom stopnje (to je polinom, pri katerem je vodilni koeficient - koeficient at - enak enoti) velja formula Vieta:
Kje so korenine polinoma.
Obstajajo tudi Vieta formule za preostale koeficiente polinoma, vendar nas zanima ta.
Iz te formule Vieta sledi, da če so korenine polinoma cela števila, potem so delitelji njegovega prostega člena, ki je prav tako celo število.
Na podlagi tega, prosti člen polinoma moramo razložiti na faktorje in zaporedno od najmanjšega do največjega preveriti, kateri izmed faktorjev je koren polinoma.
Razmislite na primer o polinomu
Delitelji prostega člena: ;
;
;
Vsota vseh koeficientov polinoma je enaka , zato število 1 ni koren polinoma.
Vsota koeficientov za sode potence:
Vsota koeficientov za lihe potence:
Zato tudi število -1 ni koren polinoma.
Preverimo, ali je število 2 koren polinoma: torej je število 2 koren polinoma. To pomeni, da je po Bezoutovem izreku polinom deljiv z binomom brez ostanka.
2. Kako polinom razdeliti na binom.
Polinom lahko s stolpcem razdelimo na binom.
Polinom razdelite na binom z uporabo stolpca: Obstaja še en način za delitev polinoma z binomom - Hornerjeva shema.
Oglejte si ta video, da boste razumeli
kako deliti polinom z binomom s stolpcem in z uporabo Hornerjevega diagrama.
Opažam, da če pri deljenju s stolpcem v prvotnem polinomu manjka neka stopnja neznanke, na njeno mesto zapišemo 0 - enako kot pri sestavljanju tabele za Hornerjevo shemo. Torej, če moramo polinom deliti z binomom in kot rezultat delitve dobimo polinom, potem lahko poiščemo koeficiente polinoma s pomočjo Hornerjeve sheme: Lahko tudi uporabimo Hornerjeva shema koren polinoma: če je število koren polinoma, potem je ostanek pri deljenju polinoma enak nič, to pomeni, da v zadnjem stolpcu druge vrstice Hornerjevega diagrama dobimo 0.
S Hornerjevo shemo »ubijemo dve muhi na en mah«: hkrati preverimo, ali je število koren polinoma in ta polinom delimo z binomom.
Primer. Reši enačbo:
1. Zapišimo delitelje prostega člena in med delitelji prostega člena poiščimo korenine polinoma.
Delitelji 24:
2. Preverimo, ali je število 1 koren polinoma.
Vsota koeficientov polinoma, torej je število 1 koren polinoma.
3. Prvotni polinom razdeli na binom s Hornerjevo shemo.
A) Zapišimo koeficiente prvotnega polinoma v prvo vrstico tabele.
Ker vsebni člen manjka, v stolpec tabele, v katerega naj bo zapisan koeficient, vpišemo 0. Na levi vpišemo najdeni koren: število 1.
B) Izpolnite prvo vrstico tabele.
V zadnjem stolpcu smo pričakovano dobili ničlo; prvotni polinom smo delili z binomom brez ostanka. Koeficienti polinoma, ki izhajajo iz deljenja, so prikazani modro v drugi vrstici tabele:
Preprosto je preveriti, da števili 1 in -1 nista korena polinoma
B) Nadaljujmo tabelo. Preverimo, ali je število 2 koren polinoma:
Torej je stopnja polinoma, ki ga dobimo kot rezultat deljenja z ena, manjša od stopnje prvotnega polinoma, zato je število koeficientov in število stolpcev manjše za eno.
V zadnjem stolpcu smo dobili -40 - število, ki ni enako nič, zato je polinom deljiv z binomom z ostankom, število 2 pa ni koren polinoma.
C) Preverimo, ali je število -2 koren polinoma. Ker prejšnji poskus ni uspel, bom v izogib zmedi s koeficienti izbrisal vrstico, ki ustreza temu poskusu:
odlično! Kot ostanek smo dobili ničlo, zato smo polinom razdelili na binom brez ostanka, torej je število -2 koren polinoma. Koeficienti polinoma, ki ga dobimo z deljenjem polinoma z binomom, so v tabeli označeni z zeleno barvo.
Kot rezultat delitve smo dobili kvadratni trinom 
, katerega korenine lahko zlahka najdemo z uporabo Vietovega izreka:
Torej, korenine izvirne enačbe so:
{
}
Odgovor: ( 
}
Ta polinom ima cele koeficiente. Če je celo število koren tega polinoma, potem je to delitelj števila 16. Torej, če ima dani polinom cele korenine, so to lahko le števila ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Z neposrednim preverjanjem se prepričamo, da je število 2 koren tega polinoma, to je x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), kjer je Q (x) polinom od druga stopnja. Posledično se polinom razgradi na faktorje, od katerih je eden (x – 2). Za iskanje vrste polinoma Q (x) uporabimo tako imenovano Hornerjevo shemo. Glavna prednost te metode je kompaktnost zapisa in možnost hitre razdelitve polinoma na binom. Pravzaprav je Hornerjeva shema še ena oblika zapisa metode združevanja, čeprav je za razliko od slednje povsem nevizualna. Odgovor (faktorizacija) se tu dobi sam od sebe, procesa pridobivanja pa ne vidimo. Ne bomo se ukvarjali s strogo utemeljitvijo Hornerjeve sheme, ampak bomo le pokazali, kako deluje.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Število iz celice nad njim se »premakne« v drugo celico spodnje vrstice, to je 1. Nato naredijo to. Koren enačbe (število 2) pomnožimo z zadnjim zapisanim številom (1) in rezultatu dodamo število, ki je v zgornji vrstici nad naslednjo prosto celico, v našem primeru imamo:
Stopnja polinoma, ki izhaja iz deljenja, je vedno za 1 manjša od stopnje prvotnega. Torej:
Dokazano je, da morate za faktorizacijo polinoma najti njegove korenine. Formule za korenine kvadratnega polinoma. Metoda iskanja celih korenin. Metoda faktoriziranja bikvadratnega polinoma in njegove redukcije na kvadratnega. Rekurentni polinomi.
Osnova metode
Naj
- polinom stopnje n ≥ 1
realne ali kompleksne spremenljivke z z realnimi ali kompleksnimi koeficienti a i.
Sprejmimo naslednji izrek brez dokaza.
1. izrek Enačba Pn(z) = 0
ima vsaj en koren.
Dokažimo naslednjo lemo.
Lema 1 Naj bo P n(z) 1
- polinom stopnje n, z
P n (z 1) = 0.
Nato P n Naj bo P n lahko predstavimo na edini način v obliki:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
kjer je Pn- 1(z)- polinom stopnje n - 1
.
Dokaz
Da bi to dokazali, uporabimo izrek (glej Deljenje in množenje polinoma s polinomom z vogalom in stolpcem), po katerem za poljubna dva polinoma P n Naj bo P n in Qk Naj bo P n, stopinji n in k, pri n ≥ k obstaja edinstvena predstavitev v obliki:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
kjer je Pn-k Naj bo P n- polinom stopnje n-k, U k- 1(z)- polinom stopnje, ki ni višja od k- 1
.
Postavimo k = 1
, Q k (z) = z - z 1, Potem
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c,
kjer je c konstanta. Tukaj nadomestimo z = z 1
in upoštevajte, da je P n (z 1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zato c = 0
.
Potem
Pn,
Q.E.D. Naj bo P n Torej, na podlagi izreka 1, polinom P n 1
ima vsaj en koren. Označimo ga z z (z 1) = 0,Pn
P n ..
Nato na podlagi leme 1: 1
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 1(z) Nadalje, če je n > 2
, potem polinom P n- ima tudi vsaj en koren, ki ga označimo z z.
,Pn- 1 (z 2) = 0;
P n Pn-.
1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z) (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)Če nadaljujemo s tem postopkom, pridemo do zaključka, da obstaja n števil z
P n 1, z 2, ..., z n.
tako da (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z) Ampak P
(1)
0(z) - to je stalnica. Če izenačimo koeficiente za z n, ugotovimo, da je enak a n..
Kot rezultat dobimo formulo za faktorizacijo polinoma: Naj bo P n.
P n (1)
(z) = a n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) (1)
Števila z i so korenine polinoma P n
(2)
0(z) Na splošno niso vključeni vsi z i;
.
, so različni. Med njimi so lahko enake vrednosti. Nato faktoriziraj polinom 1
lahko zapišemo kot: (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k Tukaj je z i ≠ z j za i ≠ j. Če je n i =, To korenina z i 1
lahko zapišemo kot: (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k Tukaj je z i ≠ z j za i ≠ j. imenovano preprosto. Vstopi v faktorizacijo v obliki (z-z i): ..
Če je n i >
imenujemo večkratni koren množice
n i.
Dokaz
V faktorizacijo vstopi v obliki produkta n i
glavni dejavniki
,
(z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i
Nato razgradnja (2)
polinom z realnimi koeficienti v faktorje lahko predstavimo v obliki, v kateri so prisotne samo realne konstante:
(3)
;
.
Metode za faktoring polinoma
Ob upoštevanju zgoraj navedenega morate za faktorizacijo polinoma najti vse korene enačbe P n (z) = 0 in določi njihovo množino. Faktorje s kompleksnimi koreni je treba združiti s kompleksnimi konjugati. Nato je ekspanzija določena s formulo (3) .
Metoda faktoriziranja polinoma je torej naslednja:
1.
Iskanje korena z 1
enačbe Pn (z 1) = 0.
2.1.
Če je koren z 1
realno, nato dodamo faktor ekspanziji (z - z 1) (z - z 1) 1
:
.
1(z), začenši od točke (1)
dokler ne najdemo vseh korenin.
2.2.
Če je koren kompleksen, potem je kompleksno konjugirano število tudi koren polinoma. Nato razširitev vključuje faktor
,
kjer b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
V tem primeru razširitvi dodamo faktor (z 2 + b 1 z + c 1) in delite polinom P n (z) z (z 2 + b 1 z + c 1). 2
:
.
Kot rezultat dobimo polinom stopnje n - Nato ponovimo postopek za polinom P n-, začenši od točke (1)
dokler ne najdemo vseh korenin.
2(z)
Iskanje korenin polinoma
Glavna naloga pri faktoriziranju polinoma je iskanje njegovih korenin. Na žalost tega ni vedno mogoče storiti analitično. Tu si bomo ogledali več primerov, ko lahko analitično najdete korenine polinoma.
Korenine polinoma prve stopnje
.
Polinom prve stopnje je linearna funkcija. Ima eno korenino. Razširitev ima samo en faktor, ki vsebuje spremenljivko z:
Korenine polinoma druge stopnje
Če želite najti korenine polinoma druge stopnje, morate rešiti kvadratno enačbo: p.
2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0
, .
Če je diskriminanta , ima enačba dva realna korena:
.
Potem ima faktorizacija obliko: 0
Če je diskriminanta D =
;
.
, potem ima enačba en dvojni koren:< 0
Če je diskriminant D
.
, potem so koreni enačbe kompleksni,
Polinomi stopnje, višje od dve
Obstajajo formule za iskanje korenin polinomov 3. in 4. stopnje. Vendar se redko uporabljajo, ker so zajetni. Formul za iskanje korenin polinomov stopnje, višje od 4., ni. Kljub temu je v nekaterih primerih polinom možno faktorizirati.
Iskanje celih korenin
Če vemo, da ima polinom, katerega koeficienti so cela števila, celoštevilski koren, ga lahko najdemo z iskanjem po vseh možnih vrednostih.
Lema 3
,
Naj polinom 1
katerega koeficienti a i so cela števila, ima celoštevilski koren z 0
.
Dokaz
Prepišimo enačbo P n (z 1) = 0 v obliki:
.
Potem celota
Mz 1 = - a 0.
Deli z z 1
:
.
Ker je M celo število, potem je M celo število. Q.E.D.
Torej, če so koeficienti polinoma cela števila, potem lahko poskusite najti cele korenine. Če želite to narediti, morate najti vse delitelje prostega člena a 0
in s substitucijo v enačbo P n Enačba Pn, preverite, ali so koreni te enačbe.
Opomba. Če so koeficienti polinoma racionalna števila, potem množenje enačbe P n Enačba Pn na skupni imenovalecštevila a i , dobimo enačbo za polinom s celimi koeficienti.
Iskanje racionalnih korenin
Če so koeficienti polinoma cela števila in ni celih korenin, potem za a n ≠ 1
, lahko poskusite najti racionalne korenine. Če želite to narediti, morate narediti zamenjavo
z = y/a n
in pomnožite enačbo z a n n- 1
.
Kot rezultat dobimo enačbo za polinom v spremenljivki y s celimi koeficienti. Nato med delitelji prostega člena iščemo celoštevilske korene tega polinoma. Če smo našli takšen koren y i, potem s prehodom na spremenljivko x dobimo racionalni koren
z i = y i /a n.
Uporabne formule
Predstavljamo formule, ki jih lahko uporabimo za faktorizacijo polinoma.
P n Bolj splošno, za razširitev polinoma,
(z) = z n - a 0 0
kjer a
- zapleteno, morate najti vse njegove korenine, to je rešiti enačbo: 0
.
z n = a 0
To enačbo je mogoče enostavno rešiti z izrazom a
.
preko modula r in argumenta φ: 0
Ker a se ne bo spremenilo, če dodamo argumentu 2π 0
v obliki:
,
, potem si predstavljajte a
;
.
kjer je k celo število. Potem Dodeljevanje k vrednosti k = 0, 1, 2, ... n-1
.
, dobimo n korenin polinoma. Potem ima njegova faktorizacija obliko:
Bikvadratni polinom
.
Razmislite o bikvadratnem polinomu:
Bikvadratni polinom je mogoče faktorizirati brez iskanja korenin.
,
Ko imamo:
kje .
Bikubični in kvadratni polinomi
.
Razmislite o polinomu:
.
Njegove korenine so določene iz enačbe: To vodi do kvadratna enačba
zamenjava t = z n : a.
2 n t 2 + a n t + a 0 = 0 1
Ko rešimo to enačbo, najdemo njene korenine, t 2
,t
.
. 1
Nato najdemo razširitev v obliki: 2
Nato z uporabo zgoraj navedene metode faktoriziramo z n - t
in z n - t
. Na koncu združimo faktorje, ki vsebujejo kompleksne konjugirane korene. Rekurentni polinomi
Polinom se imenuje
.
povratno -1
, če so njegovi koeficienti simetrični: + 1
Primer refleksivnega polinoma: - 1
.
Če je stopnja ponavljajočega se polinoma n soda, potem se s substitucijo reducira na polinom stopnje n/ 2
.
Cm. Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f)x[f Q ] (z racionalnimi koeficienti) zmanjša na vprašanje iskanja racionalnih korenin polinomov
∙
Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f)
k[f Z ] (z racionalnimi koeficienti) zmanjša na vprašanje iskanja racionalnih korenin polinomov] (s celimi koeficienti). Tukaj je številka
je najmanjši skupni mnogokratnik imenovalcev koeficientov danega polinoma.
Nujne, a ne zadostne pogoje za obstoj racionalnih korenin polinoma s celimi koeficienti podaja naslednji izrek.
Izrek 6.1 (o racionalnih koreninah polinoma s celimi koeficienti).
–
čeVprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f)
=
racionalni koren polinoma a
f a +
+
…+
racionalni koren polinoma 1
f
+
racionalni koren polinoma 0
n
cela
z(koeficienti in,
str)
= 1qkoeficienti in, nato števec ulomka 0
je delitelj prostega člena astr, in imenovalec 0
.
je delitelj vodilnega koeficienta aIzrek 6.1 (o racionalnih koreninah polinoma s celimi koeficienti).
x
(
Izrek 6.2.
(koeficienti in,
str)
=
1)
kje
Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f)
je racionalni koren polinoma
–s celimi koeficienti, torej
Primer. cela števila.
Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f) = 6 f 4 + f 3 + 2 f 2 – 4 Poiščite vse racionalne korenine polinoma 1.
x+
–
1. Po izreku 6.1: če Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f),
( racionalni koren polinoma koeficienti in,
str)
= 1),
kje( racionalni koren polinoma 0
= 1
koeficienti in,
racionalni koren polinoma a
= 6
str to . zato 
{
1}, str 
q
.
(1, 2, 3, 6), kar pomeni 2. Znano je, da (posledica 5.3) število A Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f je koren polinoma Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f) če in samo če ) je deljeno z ().
x – a Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f Zato preverimo, ali sta števili 1 in –1 korenini polinoma
Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(1)
= 6
0,Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(–1)
= 12
) lahko uporabite Hornerjevo shemo: Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f).
0, torej 1 in –1 nista korena polinoma 
3. Izločiti nekaj preostalih številk 
, bomo uporabili izrek 6.2. Če izrazi 
oz koeficienti in sprejema celoštevilske vrednosti za ustrezne vrednosti števcev str in imenovalec
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
, potem bomo v ustrezne celice tabele (glej spodaj) zapisali črko "ts", drugače - "dr". 
4. S Hornerjevo shemo preverimo, ali bodo številke, ki ostanejo po presejanju Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f korenine Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f). Najprej razdelimo ) do (
–
).
X Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f) = () do ( – )(6 f 3 + 4 f 2 + 4 Kot rezultat imamo: X - Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f 2) in – koren str(f) = 6 f 3 + 4 f 2 + 4 Kot rezultat imamo:). Zasebno ) do ( + ).
deli 2 z ( str
(–)
= 3
Ker str(f 0, potem (–) ni koren polinoma Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f).
), in s tem polinom str(f) = 6 f 3 + 4 f 2 + + 4 Kot rezultat imamo: Končno razdelimo polinom ) do ( – ).
2 na ( str Prejeto: str(f() = 0, tj. – koren Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma (f), in je torej koren Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma (f). Torej polinom
) ima dva racionalna korena: in.
Osvoboditev algebraične iracionalnosti v imenovalcu ulomka
V šolskem tečaju je pri reševanju določenih vrst problemov, da se znebite iracionalnosti v imenovalcu ulomka, dovolj pomnožiti števec in imenovalec ulomka s številom, ki je konjugirano na imenovalec. 1.Primeri.
=
.
t
Tu deluje skrajšana formula množenja (razlika kvadratov) v imenovalcu, ki vam omogoča, da se osvobodite iracionalnosti v imenovalcu.
Primeri.
=
. Izraz – nepopolni kvadrat razlike števil 2. Znano je, da (posledica 5.3) število=
in b= 1. Z uporabo formule za skrajšano množenje 2. Znano je, da (posledica 5.3) število 3
–
b 3
=
(a +b)
· ( racionalni koren polinoma 2
–
ab
+
b 2
), lahko določimo množitelj m
= (a +b)
=
+ 1, s katerim je treba pomnožiti števec in imenovalec ulomka Primeri. da se znebimo neracionalnosti v imenovalcu ulomka Primeri.. torej
V primerih, ko skrajšane formule množenja ne delujejo, je mogoče uporabiti druge tehnike. Spodaj bomo oblikovali izrek, katerega dokaz nam zlasti omogoča, da najdemo algoritem za odpravo iracionalnosti v imenovalcu ulomka v bolj zapletenih situacijah.
Opredelitev 6.1.številka z klical algebrsko nad poljem
F, če obstaja polinom Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f)
F[f], katerega koren je z, sicer število z klical transcendentalno nad poljemF.
Opredelitev 6.2.Stopnja algebraične nad poljem
F
številke
z se imenuje stopnja ireduktibile nad poljem F polinom koeficienti in(f)
F[f], katerega koren je število z.
Primer. Pokažimo, da je število z = 
je algebrska nad poljem x in poiščite njegovo stopnjo.
Poiščimo ireduktibilo nad poljem x polinom koeficienti in() do (), katerega koren je f
=
. Dvignimo obe strani enakosti f
=
na četrto potenco, dobimo ) do ( 4
= 2 oz ) do ( 4
–
2
= 0. Torej, koeficienti in() do ()
= ) do ( 4
–
2, in moč števila z enako deg
koeficienti in() do ()
= 4.
Izrek 6.3
(o osvoboditvi algebraične iracionalnosti v imenovalcu ulomka).Najz– algebrsko število nad poljemFstopnjea. Izražanje oblikePrimeri.
=
,Izrek 6.2.
Vprašanje iskanja racionalnih korenin polinoma(f),
(f)
F[f],
(z) 
0
se lahko predstavi samo v obliki:
Primeri.
= n a -1
z a -1
+
c a -2
z a -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c i
F.
Na konkretnem primeru bomo prikazali algoritem, kako se znebiti iracionalnosti v imenovalcu ulomka.
Primer. Osvobodite se iracionalnosti v imenovalcu ulomka:
Primeri.
=
1. Imenovalec ulomka je vrednost polinoma 
() do ()
= ) do ( 2
– ) do (+1 ko ) do (
=
. Prejšnji primer to kaže 
– algebrsko število nad poljem x stopnje 4, saj je koren ireduktibilnega nad x polinom koeficienti in() do ()
= ) do ( 4
–
2.
2. Poiščimo linearno širitev GCD ( 
() do (),
koeficienti in(f)) z uporabo evklidskega algoritma.
_x 4 – 2 | f 2 –x + 1
f 4 – x 3 +x 2 x 2 + x = q 1 (f)
_ f 3 – x 2 – 2
f 3 – x 2 +x
f 2 –x + 1 | – f –2 = r 1 (f )
f 2 + 2 f – x + 3 = str 2 (f)
_–3f+ 1
–3 f – 6
_ – f –2 |7 = r 2
– f –2 -f - =str 3 (f)
Torej, GCD ( 
() do (),
koeficienti in(f))
= r 2
=
7. Poiščimo njegovo linearno širitev.
Zapišimo evklidsko zaporedje s polinomskim zapisom.
koeficienti in(f)
=
(f)
· str 1
(f)
+ r 1
(f)
r 1
(f)
=str(f)
–
(f)
· str 1
(f)