Εγγεγραμμένη γωνία, θεωρία του προβλήματος. Φίλοι! Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για εργασίες για τις οποίες πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες μιας εγγεγραμμένης γωνίας. Αυτή είναι μια ολόκληρη ομάδα εργασιών, περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Τα περισσότερα από αυτά μπορούν να λυθούν πολύ απλά, με μία ενέργεια.
Υπάρχουν πιο δύσκολα προβλήματα, αλλά δεν θα παρουσιάσουν μεγάλη δυσκολία για εσάς, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες μιας εγγεγραμμένης γωνίας. Σταδιακά θα αναλύσουμε όλα τα πρωτότυπα των εργασιών, σας προσκαλώ στο blog!
Τώρα η απαραίτητη θεωρία. Ας θυμηθούμε τι είναι μια κεντρική και εγγεγραμμένη γωνία, μια χορδή, ένα τόξο, πάνω στα οποία στηρίζονται αυτές οι γωνίες:
Η κεντρική γωνία σε έναν κύκλο είναι μια επίπεδη γωνία μεκορυφή στο κέντρο του.
Το τμήμα ενός κύκλου που βρίσκεται μέσα σε μια επίπεδη γωνίαονομάζεται τόξο κύκλου.
Το μέτρο της μοίρας ενός τόξου ενός κύκλου ονομάζεται μέτρο μοιρώντην αντίστοιχη κεντρική γωνία.
Μια γωνία λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο εάν η κορυφή της γωνίας βρίσκεταισε έναν κύκλο και οι πλευρές της γωνίας τέμνουν αυτόν τον κύκλο.
Ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο ονομάζεταιχορδή. Η μεγαλύτερη χορδή διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και ονομάζεταιδιάμετρος.
Για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν γωνίες εγγεγραμμένες σε κύκλο,πρέπει να γνωρίζετε τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της κεντρικής γωνίας, με βάση το ίδιο τόξο.
2. Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποβάλλουν το ίδιο τόξο είναι ίσες.
3. Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βασίζονται στην ίδια χορδή και των οποίων οι κορυφές βρίσκονται στην ίδια πλευρά αυτής της χορδής είναι ίσες.
4. Οποιοδήποτε ζεύγος γωνιών που βασίζεται στην ίδια χορδή, των οποίων οι κορυφές βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της χορδής, άθροισμα έως 180°.
Συμπέρασμα: οι απέναντι γωνίες ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο αθροίζονται έως και 180 μοίρες.
5. Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποτείνονται από μια διάμετρο είναι ορθές.
Γενικά, αυτή η ιδιότητα είναι συνέπεια της ιδιοκτησίας (1). Κοίτα - επίκεντρη γωνίαισούται με 180 μοίρες (και αυτή η ξεδιπλωμένη γωνία δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια διάμετρος), που σημαίνει, σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα, η εγγεγραμμένη γωνία C είναι ίση με το ήμισυ της, δηλαδή 90 μοίρες.
Η γνώση αυτής της ιδιότητας βοηθά στην επίλυση πολλών προβλημάτων και συχνά σας επιτρέπει να αποφύγετε περιττούς υπολογισμούς. Έχοντας κατακτήσει καλά, θα μπορέσετε να λύσετε περισσότερα από τα μισά προβλήματα αυτού του τύπου προφορικά. Δύο συμπεράσματα που μπορούν να εξαχθούν:
Συμπέρασμα 1: αν ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και μια από τις πλευρές του συμπίπτει με τη διάμετρο αυτού του κύκλου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (κορυφή ορθή γωνίαβρίσκεται στον κύκλο).
Συμπέρασμα 2: το κέντρο του περιγραφόμενου περίπου ορθογώνιο τρίγωνοκύκλος συμπίπτει με το μέσο της υποτείνυσής του.
Πολλά πρωτότυπα στερεομετρικών προβλημάτων επιλύονται επίσης χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα και αυτές τις συνέπειες. Θυμηθείτε το ίδιο το γεγονός: εάν η διάμετρος ενός κύκλου είναι μια πλευρά ενός εγγεγραμμένου τριγώνου, τότε αυτό το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (η γωνία απέναντι από τη διάμετρο είναι 90 μοίρες). Μπορείτε να βγάλετε μόνοι σας όλα τα συμπεράσματα και τις συνέπειες που δεν χρειάζεται να τα διδάξετε.
Κατά κανόνα, τα μισά προβλήματα σε εγγεγραμμένες γωνίες δίνονται με σκίτσο, αλλά χωρίς σύμβολα. Για να κατανοήσουμε τη διαδικασία συλλογισμού κατά την επίλυση προβλημάτων (παρακάτω στο άρθρο), εισάγονται σημειώσεις για κορυφές (γωνίες). Δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό στην Ενιαία Κρατική Εξέταση.Ας εξετάσουμε τα καθήκοντα:
Ποια είναι η τιμή μιας οξείας εγγεγραμμένης γωνίας που υποβάλλεται από μια χορδή ίση με την ακτίνα του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Ας κατασκευάσουμε μια κεντρική γωνία για μια δεδομένη εγγεγραμμένη γωνία και ας ορίσουμε τις κορυφές:
Σύμφωνα με την ιδιότητα μιας γωνίας εγγεγραμμένης σε κύκλο:
Η γωνία ΑΟΒ είναι ίση με 60 0, αφού το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο και μέσα ισόπλευρο τρίγωνοόλες οι γωνίες είναι ίσες με 60 0. Οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, αφού η συνθήκη λέει ότι η χορδή είναι ίση με την ακτίνα.
Έτσι, η εγγεγραμμένη γωνία ACB είναι ίση με 30 0.
Απάντηση: 30
Βρείτε τη χορδή που υποστηρίζεται από γωνία 30 0 εγγεγραμμένη σε κύκλο ακτίνας 3.
Αυτό είναι ουσιαστικά το αντίστροφο πρόβλημα (του προηγούμενου). Ας κατασκευάσουμε την κεντρική γωνία.
Είναι διπλάσιο από το εγγεγραμμένο, δηλαδή η γωνία AOB είναι ίση με 60 0. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο. Έτσι, η χορδή είναι ίση με την ακτίνα, δηλαδή τρεις.
Απάντηση: 3
Η ακτίνα του κύκλου είναι 1. Βρείτε το μέγεθος της αμβλείας εγγεγραμμένης γωνίας που υποβάλλεται από τη χορδή ίση με τη ρίζα του δύο. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Ας κατασκευάσουμε την κεντρική γωνία:
Γνωρίζοντας την ακτίνα και τη χορδή, μπορούμε να βρούμε την κεντρική γωνία ASV. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου. Γνωρίζοντας την κεντρική γωνία, μπορούμε εύκολα να βρούμε την εγγεγραμμένη γωνία ACB.
Θεώρημα συνημιτονίου: τετράγωνο οποιαδήποτε πλευρά του τριγώνου ίσο με το άθροισματετράγωνα των άλλων δύο πλευρών, χωρίς να διπλασιαστεί το γινόμενο αυτών των πλευρών με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
Επομένως, η δεύτερη κεντρική γωνία είναι 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Η γωνία ACB, με την ιδιότητα της εγγεγραμμένης γωνίας, είναι ίση με το μισό της, δηλαδή 135 μοίρες.
Απάντηση: 135
Βρείτε τη χορδή που υποτείνεται από γωνία 120 μοιρών εγγεγραμμένη σε κύκλο ρίζας ακτίνας τριών.
Ας συνδέσουμε τα σημεία Α και Β στο κέντρο του κύκλου. Ας το χαρακτηρίσουμε ως Ο:
Γνωρίζουμε την ακτίνα και την εγγεγραμμένη γωνία ASV. Μπορούμε να βρούμε την κεντρική γωνία AOB (μεγαλύτερη από 180 μοίρες), στη συνέχεια να βρούμε τη γωνία AOB στο τρίγωνο AOB. Και μετά, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, υπολογίστε το ΑΒ.
Σύμφωνα με την ιδιότητα της εγγεγραμμένης γωνίας, η κεντρική γωνία ΑΟΒ (η οποία είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες) θα είναι ίση με το διπλάσιο της εγγεγραμμένης γωνίας, δηλαδή 240 μοίρες. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία AOB στο τρίγωνο AOB είναι ίση με 360 0 – 240 0 = 120 0.
Σύμφωνα με το θεώρημα του συνημιτόνου:
Απάντηση: 3
Βρείτε την εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από ένα τόξο που είναι το 20% του κύκλου. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Σύμφωνα με την ιδιότητα της εγγεγραμμένης γωνίας, είναι το μισό μέγεθος της κεντρικής γωνίας που βασίζεται στο ίδιο τόξο, σε σε αυτή την περίπτωσηΜιλάμε για τόξο ΑΒ.
Λέγεται ότι το τόξο ΑΒ είναι το 20 τοις εκατό της περιφέρειας. Αυτό σημαίνει ότι η κεντρική γωνία AOB είναι επίσης 20 τοις εκατό του 360 0.*Ο κύκλος είναι μια γωνία 360 μοιρών. Μέσα,
Έτσι, η εγγεγραμμένη γωνία ACB είναι 36 μοίρες.
Απάντηση: 36
Τόξο κύκλου A.C., που δεν περιέχει σημείο σι, είναι 200 μοίρες. Και το τόξο ενός κύκλου π.Χ., που δεν περιέχει σημείο ΕΝΑ, είναι 80 μοίρες. Βρείτε την εγγεγραμμένη γωνία ACB. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Για λόγους σαφήνειας, ας υποδηλώσουμε τα τόξα των οποίων τα γωνιακά μέτρα δίνονται. Τόξο που αντιστοιχεί σε 200 μοίρες – μπλε, το τόξο που αντιστοιχεί στις 80 μοίρες είναι κόκκινο, το υπόλοιπο τμήμα του κύκλου είναι κίτρινος.
Έτσι, το μέτρο μοίρας του τόξου ΑΒ (κίτρινο) και επομένως η κεντρική γωνία ΑΟΒ είναι: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Η εγγεγραμμένη γωνία ACB είναι το μισό του μεγέθους της κεντρικής γωνίας AOB, δηλαδή ίση με 40 μοίρες.
Απάντηση: 40
Ποια είναι η εγγεγραμμένη γωνία που υποβάλλεται από τη διάμετρο του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ιδιότητα μιας εγγεγραμμένης γωνίας. κατανοήστε πότε και πώς να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συνημιτόνου, μάθετε περισσότερα για αυτό.
Αυτό είναι όλο! Καλή σου τύχη!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh
Δάσκαλος μαθηματικών στο σχολείο στην τρίτη τάξη:
- Παιδιά, πείτε μου, πόσο είναι το 6*6;
Τα παιδιά απαντούν ομόφωνα:
- Εβδομήντα έξι!
- Λοιπόν, τι λέτε, παιδιά! Έξι επί έξι θα είναι τριάντα έξι... καλά, ίσως άλλα 37, 38, 39... καλά, το πολύ 40... αλλά όχι εβδομήντα έξι!
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Η γωνία ABC είναι μια εγγεγραμμένη γωνία. Στηρίζεται στο τόξο AC, που περικλείεται μεταξύ των πλευρών του (Εικ. 330).
Θεώρημα. Μια εγγεγραμμένη γωνία μετριέται από το μισό του τόξου στο οποίο τείνει.
Αυτό πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: μια εγγεγραμμένη γωνία περιέχει τόσες γωνιακές μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα όσες είναι οι μοίρες τόξου, λεπτά και δευτερόλεπτα που περιέχονται στο μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται.
Κατά την απόδειξη αυτού του θεωρήματος, πρέπει να ληφθούν υπόψη τρεις περιπτώσεις.
Πρώτη περίπτωση. Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας (Εικ. 331).
Έστω ∠ABC εγγεγραμμένη γωνία και το κέντρο του κύκλου O βρίσκεται στην πλευρά BC. Απαιτείται να αποδειχθεί ότι μετριέται με μισό τόξο AC.
Συνδέστε το σημείο Α στο κέντρο του κύκλου. Λαμβάνουμε ένα ισοσκελές \(\Δέλτα\)AOB, στο οποίο AO = OB, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Επομένως, ∠A = ∠B.
Το ∠AOC είναι εξωτερικό του τριγώνου AOB, άρα ∠AOC = ∠A + ∠B, και εφόσον οι γωνίες A και B είναι ίσες, τότε το ∠B είναι 1/2 ∠AOC.
Αλλά το ∠AOC μετριέται με το τόξο AC, επομένως το ∠B μετριέται με το μισό του τόξου AC.
Για παράδειγμα, αν το \(\breve(AC)\) περιέχει 60°18', τότε το ∠B περιέχει 30°9'.
Δεύτερη περίπτωση. Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της εγγεγραμμένης γωνίας (Εικ. 332).
Έστω ∠ABD μια εγγεγραμμένη γωνία. Το κέντρο του κύκλου O βρίσκεται ανάμεσα στις πλευρές του. Πρέπει να αποδείξουμε ότι το ∠ABD μετριέται με το ήμισυ του τόξου AD.
Για να το αποδείξουμε αυτό, ας σχεδιάσουμε τη διάμετρο π.Χ. Η γωνία ABD χωρίζεται σε δύο γωνίες: ∠1 και ∠2.
Το ∠1 μετριέται με μισό τόξο AC και το ∠2 μετριέται με μισό τόξο CD, επομένως, ολόκληρο το ∠ABD μετράται με 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), δηλ. μισό τόξο μ.Χ.
Για παράδειγμα, αν το \(\breve(AD)\) περιέχει 124°, τότε το ∠B περιέχει 62°.
Τρίτη περίπτωση. Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται έξω από την εγγεγραμμένη γωνία (Εικ. 333).
Έστω ∠MAD μια εγγεγραμμένη γωνία. Το κέντρο του κύκλου Ο βρίσκεται έξω από τη γωνία. Πρέπει να αποδείξουμε ότι το ∠MAD μετριέται κατά το ήμισυ του τόξου MD.
Για να το αποδείξουμε αυτό, ας σχεδιάσουμε τη διάμετρο ΑΒ. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Αλλά το ∠MAB μετρά 1 / 2 \(\breve(MB)\) και το ∠DAB μετρά 1 / 2 \(\breve(DB)\).
Επομένως, το ∠MAD μετρά 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), δηλαδή 1 / 2 \(\breve(MD)\).
Για παράδειγμα, εάν το \(\breve(MD)\) περιέχει 48° 38", τότε το ∠MAD περιέχει 24° 19' 8".
Συνέπειες
1.
Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποτάσσουν το ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους, αφού μετρώνται από το μισό του ίδιου τόξου
(Εικ. 334, α).
2. Μια εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από μια διάμετρο είναι μια ορθή γωνία, αφού υποκλίνει μισό κύκλο. Ο μισός κύκλος περιέχει 180 μοίρες τόξου, που σημαίνει ότι η γωνία με βάση τη διάμετρο περιέχει 90 μοίρες τόξου (Εικ. 334, β).
Τις περισσότερες φορές, η διαδικασία προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά ξεκινά με επανάληψη βασικών ορισμών, τύπων και θεωρημάτων, συμπεριλαμβανομένου του θέματος "Κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες σε έναν κύκλο". Κατά κανόνα, αυτή η ενότητα επιπεδομετρίας μελετάται σε γυμνάσιο. Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν την ανάγκη να επαναλάβουν βασικές έννοιεςκαι θεωρήματα με θέμα «Κεντρική γωνία κύκλου». Έχοντας κατανοήσει τον αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι μαθητές μπορούν να υπολογίζουν στη λήψη ανταγωνιστικών βαθμολογιών με βάση τα αποτελέσματα της επιτυχίας της ενιαίας κρατικής εξέτασης.
Πώς να προετοιμαστείτε εύκολα και αποτελεσματικά για να περάσετε το τεστ πιστοποίησης;
Όταν μελετούν πριν περάσουν την ενιαία κρατική εξέταση, πολλοί μαθητές γυμνασίου αντιμετωπίζουν το πρόβλημα να βρουν τις απαραίτητες πληροφορίες για το θέμα "Κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες σε κύκλο". Δεν συμβαίνει πάντα να υπάρχει ένα σχολικό εγχειρίδιο. Και η αναζήτηση τύπων στο Διαδίκτυο απαιτεί μερικές φορές πολύ χρόνο.
Η ομάδα μας θα σας βοηθήσει να «αυξήσετε» τις δεξιότητές σας και να βελτιώσετε τις γνώσεις σας σε ένα τόσο δύσκολο τμήμα της γεωμετρίας όπως η επιπεδομετρία εκπαιδευτική πύλη. Το “Shkolkovo” προσφέρει σε μαθητές γυμνασίου και στους δασκάλους τους έναν νέο τρόπο να οικοδομήσουν τη διαδικασία προετοιμασίας για τις ενιαίες κρατικές εξετάσεις. Όλο το βασικό υλικό παρουσιάζεται από τους ειδικούς μας στην πιο προσιτή μορφή. Αφού διαβάσουν τις πληροφορίες στην ενότητα «Θεωρητικό υπόβαθρο», οι μαθητές θα μάθουν ποιες ιδιότητες έχει η κεντρική γωνία ενός κύκλου, πώς να βρουν την τιμή του κ.λπ.
Στη συνέχεια, για να εμπεδωθούν οι αποκτηθείσες γνώσεις και οι δεξιότητες εξάσκησης, συνιστούμε την εκτέλεση κατάλληλων ασκήσεων. Μεγάλη επιλογήΟι εργασίες για την εύρεση της τιμής μιας γωνίας εγγεγραμμένης σε κύκλο και άλλες παραμέτρους παρουσιάζονται στην ενότητα "Κατάλογος". Για κάθε άσκηση, οι ειδικοί μας έγραψαν μια λεπτομερή λύση και υπέδειξαν τη σωστή απάντηση. Ο κατάλογος των εργασιών στον ιστότοπο συμπληρώνεται και ενημερώνεται συνεχώς.
Οι μαθητές γυμνασίου μπορούν να προετοιμαστούν για την Ενιαία Κρατική Εξέταση ασκώντας ασκήσεις, για παράδειγμα, εύρεση του μεγέθους μιας κεντρικής γωνίας και του μήκους ενός τόξου ενός κύκλου, διαδικτυακά, από οποιαδήποτε περιοχή της Ρωσίας.
Εάν είναι απαραίτητο, η ολοκληρωμένη εργασία μπορεί να αποθηκευτεί στην ενότητα "Αγαπημένα" για να επιστρέψετε σε αυτήν αργότερα και να αναλύσετε ξανά την αρχή της επίλυσής της.
Επίκεντρη γωνίαείναι μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου.
Εγγεγραμένη γωνία- μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε κύκλο και της οποίας οι πλευρές την τέμνουν.
Το σχήμα δείχνει κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες, καθώς και τις πιο σημαντικές ιδιότητές τους.
Ετσι, το μέγεθος της κεντρικής γωνίας είναι ίσο με το γωνιακό μέγεθος του τόξου στο οποίο στηρίζεται. Αυτό σημαίνει ότι μια κεντρική γωνία 90 μοιρών θα στηρίζεται σε ένα τόξο ίσο με 90°, δηλαδή σε έναν κύκλο. Η κεντρική γωνία, ίση με 60°, στηρίζεται σε ένα τόξο 60 μοιρών, δηλαδή στο έκτο μέρος του κύκλου.
Το μέγεθος της εγγεγραμμένης γωνίας είναι δύο φορές μικρότερο από την κεντρική γωνία που βασίζεται στο ίδιο τόξο.
Επίσης, για να λύσουμε προβλήματα θα χρειαστούμε την έννοια της «χορδής».
Οι ίσες κεντρικές γωνίες υποτάσσουν ίσες συγχορδίες.
1. Ποια είναι η εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από τη διάμετρο του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Μια εγγεγραμμένη γωνία που υποβάλλεται από μια διάμετρο είναι μια ορθή γωνία.
2. Η κεντρική γωνία είναι 36° μεγαλύτερη από την οξεία εγγεγραμμένη γωνία που υποβάλλεται από το ίδιο κυκλικό τόξο. Βρείτε την εγγεγραμμένη γωνία. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Έστω η κεντρική γωνία ίση με x και η εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από το ίδιο τόξο είναι ίση με y.
Γνωρίζουμε ότι x = 2y.
Άρα 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με 1. Βρείτε την τιμή της αμβλείας εγγεγραμμένης γωνίας που υποτάσσεται από τη χορδή, ίση με . Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Έστω η χορδή ΑΒ ίση με . Η αμβλεία εγγεγραμμένη γωνία που υποτάσσεται από αυτή τη χορδή θα συμβολίζεται με α.
Στο τρίγωνο ΑΟΒ, οι πλευρές ΑΟ και ΟΒ είναι ίσες με 1, η πλευρά ΑΒ ισούται με . Έχουμε ήδη συναντήσει τέτοια τρίγωνα. Προφανώς, το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή η γωνία ΑΟΒ είναι 90°.
Τότε το τόξο ACB είναι ίσο με 90° και το τόξο AKB είναι ίσο με 360° - 90° = 270°.
Η εγγεγραμμένη γωνία α στηρίζεται στο τόξο AKB και είναι ίση με το ήμισυ της γωνιακής τιμής αυτού του τόξου, δηλαδή 135°.
Απάντηση: 135.
4. Η χορδή ΑΒ χωρίζει τον κύκλο σε δύο μέρη, οι τιμές των βαθμών των οποίων είναι σε αναλογία 5:7. Σε ποια γωνία είναι ορατή αυτή η χορδή από το σημείο Γ, που ανήκει στο μικρότερο τόξο του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Το κύριο πράγμα σε αυτό το έργο είναι η σωστή σχεδίαση και κατανόηση των συνθηκών. Πώς καταλαβαίνετε την ερώτηση: «Σε ποια γωνία είναι ορατή η χορδή από το σημείο Γ;»
Φανταστείτε ότι κάθεστε στο σημείο Γ και πρέπει να δείτε όλα όσα συμβαίνουν στη συγχορδία ΑΒ. Λες και η συγχορδία ΑΒ είναι οθόνη σε κινηματογράφο :-)
Προφανώς, πρέπει να βρείτε τη γωνία ACB.
Το άθροισμα των δύο τόξων στα οποία η χορδή ΑΒ διαιρεί τον κύκλο είναι ίσο με 360°, δηλαδή
5x + 7x = 360°
Ως εκ τούτου x = 30°, και μετά η εγγεγραμμένη γωνία ACB στηρίζεται σε ένα τόξο ίσο με 210°.
Το μέγεθος της εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου στο οποίο στηρίζεται, πράγμα που σημαίνει ότι η γωνία ACB είναι ίση με 105°.
Οδηγίες
Εάν είναι γνωστά η ακτίνα (R) του κύκλου και το μήκος του τόξου (L) που αντιστοιχεί στην επιθυμητή κεντρική γωνία (θ), μπορεί να υπολογιστεί τόσο σε μοίρες όσο και σε ακτίνια. Το σύνολο καθορίζεται από τον τύπο 2*π*R και αντιστοιχεί σε μια κεντρική γωνία 360° ή δύο αριθμούς Pi, εάν χρησιμοποιούνται ακτίνια αντί για μοίρες. Επομένως, προχωρήστε από την αναλογία 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Εκφράστε από αυτήν την κεντρική γωνία σε ακτίνια θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R ή μοίρες θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) και υπολογίστε χρησιμοποιώντας τον τύπο που προκύπτει.
Με βάση το μήκος της χορδής (m) που συνδέει τα σημεία που καθορίζουν την κεντρική γωνία (θ), η τιμή της μπορεί επίσης να υπολογιστεί εάν είναι γνωστή η ακτίνα (R) του κύκλου. Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο ακτίνες και . Αυτό είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, όλοι είναι γνωστοί, αλλά πρέπει να βρείτε τη γωνία απέναντι από τη βάση. Ημίτονος του μισού του ίσο με την αναλογίατο μήκος της βάσης - η χορδή - στο διπλάσιο του μήκους της πλευράς - την ακτίνα. Επομένως, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση αντίστροφου ημιτονοειδούς για τους υπολογισμούς - τόξο: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Η κεντρική γωνία μπορεί να καθοριστεί σε κλάσματα μιας περιστροφής ή από μια περιστρεφόμενη γωνία. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε την κεντρική γωνία που αντιστοιχεί σε ένα τέταρτο της πλήρους περιστροφής, διαιρέστε τις 360° με τέσσερις: θ = 360°/4 = 90°. Η ίδια τιμή σε ακτίνια πρέπει να είναι 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Η γωνία ξεδίπλωσης είναι ίση με μισή πλήρη περιστροφή, επομένως, για παράδειγμα, η κεντρική γωνία που αντιστοιχεί στο ένα τέταρτο της θα είναι το ήμισυ των τιμών που υπολογίστηκαν παραπάνω τόσο σε μοίρες όσο και σε ακτίνια.
Το αντίστροφο του ημιτόνου ονομάζεται τριγωνομετρική συνάρτηση τόξο. Μπορεί να λάβει τιμές εντός του μισού του αριθμού Pi, τόσο θετικές όσο και αρνητικές. αρνητική πλευράόταν μετριέται σε ακτίνια. Όταν μετρώνται σε μοίρες, αυτές οι τιμές θα είναι αντίστοιχα στην περιοχή από -90° έως +90°.
Οδηγίες
Ορισμένες «στρογγυλές» τιμές δεν χρειάζεται να υπολογιστούν. Για παράδειγμα: - εάν το όρισμα της συνάρτησης είναι μηδέν, τότε το τόξο του είναι επίσης μηδέν - του 1/2 είναι ίσο με 30° ή 1/6 Pi, - το τόξο του -1/2 είναι -30° ή -1/6 από τον αριθμό Pi in - το τόξο του 1 είναι ίσο με 90° ή 1/2 του αριθμού Pi σε ακτίνια - το τόξο του -1 είναι ίσο με -90° ή -1/2 του ο αριθμός Pi σε ακτίνια.
Για να μετρήσετε τις τιμές αυτής της συνάρτησης από άλλα ορίσματα, ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε μια τυπική αριθμομηχανή Windows, εάν έχετε στη διάθεσή σας. Για να ξεκινήσετε, ανοίξτε το κύριο μενού στο κουμπί "Έναρξη" (ή πατώντας το πλήκτρο WIN), μεταβείτε στην ενότητα "Όλα τα προγράμματα" και, στη συνέχεια, στην υποενότητα "Αξεσουάρ" και κάντε κλικ στην "Αριθμομηχανή".
Αλλάξτε τη διεπαφή της αριθμομηχανής στον τρόπο λειτουργίας που σας επιτρέπει να υπολογίζετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για να το κάνετε αυτό, ανοίξτε την ενότητα «Προβολή» στο μενού της και επιλέξτε «Μηχανική» ή «Επιστημονική» (ανάλογα με το λειτουργικό σύστημα που χρησιμοποιείται).
Εισαγάγετε την τιμή του ορίσματος από το οποίο θα πρέπει να υπολογιστεί η τοξωτή. Αυτό μπορεί να γίνει κάνοντας κλικ στα κουμπιά διεπαφής της αριθμομηχανής με το ποντίκι ή πατώντας τα πλήκτρα στο , ή αντιγράφοντας την τιμή (CTRL + C) και στη συνέχεια επικολλώντας την (CTRL + V) στο πεδίο εισαγωγής της αριθμομηχανής.
Επιλέξτε τις μονάδες μέτρησης στις οποίες πρέπει να λάβετε το αποτέλεσμα του υπολογισμού της συνάρτησης. Κάτω από το πεδίο εισαγωγής υπάρχουν τρεις επιλογές, από τις οποίες πρέπει να επιλέξετε (κάνοντας κλικ με το ποντίκι) ένα - , radians ή rads.
Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου που αντιστρέφει τις λειτουργίες που υποδεικνύονται στα κουμπιά διασύνδεσης της αριθμομηχανής. Δίπλα του υπάρχει μια σύντομη επιγραφή Inv.
Κάντε κλικ στο κουμπί αμαρτία. Η αριθμομηχανή θα αντιστρέψει τη συνάρτηση που σχετίζεται με αυτήν, θα εκτελέσει τον υπολογισμό και θα σας παρουσιάσει το αποτέλεσμα στις καθορισμένες μονάδες.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Ένα από τα κοινά γεωμετρικά προβλήματα είναι ο υπολογισμός του εμβαδού ενός κυκλικού τμήματος - το τμήμα του κύκλου που οριοθετείται από μια χορδή και η αντίστοιχη χορδή από ένα τόξο κύκλου.
Το εμβαδόν ενός κυκλικού τμήματος είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του εμβαδού του αντίστοιχου κυκλικού τομέα και του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ακτίνες του τομέα που αντιστοιχεί στο τμήμα και τη χορδή που περιορίζει το τμήμα.
Παράδειγμα 1
Το μήκος της χορδής που υποτάσσει τον κύκλο είναι ίσο με την τιμή a. Μέτρο πτυχίουτο τόξο που αντιστοιχεί στη συγχορδία είναι 60°. Βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος.
Διάλυμα
Ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο ακτίνες και μια χορδή είναι ισοσκελές, επομένως το υψόμετρο που σύρεται από την κορυφή της κεντρικής γωνίας προς την πλευρά του τριγώνου που σχηματίζεται από τη χορδή θα είναι επίσης η διχοτόμος της κεντρικής γωνίας, διαιρώντας τη στο μισό και διάμεσος, χωρίζοντας τη χορδή στη μέση. Γνωρίζοντας ότι το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με τον λόγο του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, μπορούμε να υπολογίσουμε την ακτίνα:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
Το εμβαδόν του τριγώνου που αντιστοιχεί στον τομέα υπολογίζεται ως εξής:
S▲=1/2*ah, όπου h το ύψος που τραβιέται από την κορυφή της κεντρικής γωνίας προς τη χορδή. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Αντίστοιχα, S▲=√3/4*a².
Η περιοχή του τμήματος, που υπολογίζεται ως Sreg = Sc - S▲, ισούται με:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Αντικαθιστώντας μια αριθμητική τιμή με την τιμή του a, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της περιοχής του τμήματος.
Παράδειγμα 2
Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με α. Το μέτρο μοιρών του τόξου που αντιστοιχεί στο τμήμα είναι 60°. Βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος.
Διάλυμα:
Περιοχή του κλάδου που αντιστοιχεί δεδομένη γωνίαμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: