Πυραμίδα. Κόλουρη πυραμίδα
Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο, του οποίου μια όψη είναι πολύγωνο ( βάση ), και όλες οι άλλες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή ( πλαϊνά πρόσωπα ) (Εικ. 15). Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός , αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης (Εικ. 16). Μια τριγωνική πυραμίδα με όλες τις άκρες ίσες ονομάζεται τετράεδρο .
Πλευρική πλευράμιας πυραμίδας είναι η πλευρά της πλευρικής όψης που δεν ανήκει στη βάση Υψος πυραμίδα είναι η απόσταση από την κορυφή της μέχρι το επίπεδο της βάσης. Όλα τα πλαϊνά πλευρά κανονική πυραμίδαίσες μεταξύ τους, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή ονομάζεται αποθεμα . Διαγώνιο τμήμα ονομάζεται τομή μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Πλάγια επιφάνειαπυραμίδα είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων. Περιοχή πλήρη επιφάνεια ονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων και της βάσης.
Θεωρήματα
1. Εάν σε μια πυραμίδα όλες οι πλευρικές ακμές έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.
2. Αν σε μια πυραμίδα όλες οι πλευρικές ακμές έχουν ίσα μήκη, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.
3. Εάν όλες οι όψεις μιας πυραμίδας έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση.
Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας, ο σωστός τύπος είναι:
Οπου V- Ενταση ΗΧΟΥ;
Βάση S– περιοχή βάσης·
H– ύψος της πυραμίδας.
Για μια κανονική πυραμίδα, οι ακόλουθοι τύποι είναι σωστοί:
Οπου Π– περίμετρος βάσης.
η α– αποθέμα·
H- ύψος;
S γεμάτο
S πλευρά
Βάση S– περιοχή βάσης·
V– όγκος κανονικής πυραμίδας.
Κόλουρη πυραμίδαονομάζεται το τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας (Εικ. 17). Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ονομάζεται το τμήμα μιας κανονικής πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας.
Αιτιολογικόκολοβωμένη πυραμίδα - παρόμοια πολύγωνα. Πλαϊνά πρόσωπα – τραπεζοειδή. Υψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι η απόσταση μεταξύ των βάσεων της. Διαγώνιος μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι ένα τμήμα που συνδέει τις κορυφές της που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη. Διαγώνιο τμήμα είναι ένα τμήμα μιας κόλουρης πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Για μια κολοβωμένη πυραμίδα ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
(4)
Οπου μικρό 1 , μικρό 2 – περιοχές των άνω και κάτω βάσεων.
S γεμάτο– συνολική επιφάνεια·
S πλευρά– πλευρική επιφάνεια·
H- ύψος;
V– όγκος κολοβωμένης πυραμίδας.
Για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ο τύπος είναι σωστός:
Οπου Π 1 , Π 2 – περίμετροι βάσεων.
η α– απόθεμα κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.
Παράδειγμα 1.Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η διεδρική γωνία στη βάση είναι 60º. Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της πλευρικής ακμής στο επίπεδο της βάσης.
Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 18).
 |
Η πυραμίδα είναι κανονική, που σημαίνει ότι στη βάση υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Η διεδρική γωνία στη βάση είναι η γωνία κλίσης της πλευρικής όψης της πυραμίδας προς το επίπεδο της βάσης. Η γραμμική γωνία είναι η γωνία έναμεταξύ δύο καθέτων: κ.λπ. Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του τριγώνου (το κέντρο του κυκλικού κύκλου και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου αλφάβητο). Η γωνία κλίσης του πλευρικού άκρου (για παράδειγμα S.B.) είναι η γωνία μεταξύ της ίδιας της ακμής και της προβολής της στο επίπεδο της βάσης. Για το πλευρό S.B.αυτή η γωνία θα είναι η γωνία SBD. Για να βρείτε την εφαπτομένη πρέπει να γνωρίζετε τα πόδια ΕΤΣΙΚαι Ο.Β.. Αφήστε το μήκος του τμήματος BDισούται με 3 ΕΝΑ. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕευθύγραμμο τμήμα BDχωρίζεται σε μέρη: και Από βρίσκουμε ΕΤΣΙ: 
Από βρίσκουμε: 
Απάντηση:
Παράδειγμα 2.Βρείτε τον όγκο του σωστού περικομμένου τετράγωνη πυραμίδα, αν οι διαγώνιοι των βάσεων του είναι ίσες με cm και cm, και το ύψος του είναι 4 cm.
Λύση.Για να βρούμε τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Για να βρείτε το εμβαδόν των βάσεων, πρέπει να βρείτε τις πλευρές των τετραγώνων της βάσης, γνωρίζοντας τις διαγώνιες τους. Οι πλευρές των βάσεων είναι ίσες με 2 cm και 8 cm, αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι οι περιοχές των βάσεων και Αντικαθιστώντας όλα τα δεδομένα στον τύπο, υπολογίζουμε τον όγκο της κολοβωμένης πυραμίδας:
Απάντηση: 112 cm 3.
Παράδειγμα 3.Βρείτε την περιοχή της πλευρικής όψης μιας κανονικής τριγωνικής κολοβωμένης πυραμίδας, οι πλευρές των βάσεων της οποίας είναι 10 cm και 4 cm και το ύψος της πυραμίδας είναι 2 cm.
Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 19).
Η πλευρική όψη αυτής της πυραμίδας είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές. Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς, πρέπει να γνωρίζετε τη βάση και το ύψος. Οι βάσεις δίνονται ανάλογα με την συνθήκη, μόνο το ύψος παραμένει άγνωστο. Θα τη βρούμε από που ΕΝΑ 1 μικάθετη από ένα σημείο ΕΝΑ 1 στο επίπεδο της κάτω βάσης, ΕΝΑ 1 ρε– κάθετη από ΕΝΑ 1 ανά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. ΕΝΑ 1 μι= 2 cm, αφού αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας. Να βρω DEΑς κάνουμε ένα επιπλέον σχέδιο που δείχνει την επάνω όψη (Εικ. 20). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή των κέντρων της άνω και κάτω βάσης. αφού (βλ. Εικ. 20) και Από την άλλη Εντάξει– ακτίνα εγγεγραμμένη στον κύκλο και 
ΟΜ– ακτίνα εγγεγραμμένη σε κύκλο:
ΜΚ = ΔΕ.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα από
Πλαϊνή περιοχή προσώπου: 
Απάντηση:
Παράδειγμα 4.Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, οι βάσεις του οποίου ΕΝΑΚαι σι (ένα> σι). Κάθε πλευρική όψη σχηματίζει γωνία ίση με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας ι. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.
Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 21). Συνολική επιφάνεια της πυραμίδας SABCDίσο με το άθροισμα των εμβαδών και του εμβαδού του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη δήλωση ότι εάν όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι εξίσου κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή κορυφής μικρόστη βάση της πυραμίδας. Τρίγωνο ΧΛΟΟΤΑΠΗΤΑΣείναι η ορθογώνια προβολή του τριγώνου CSDστο επίπεδο της βάσης. Με το θεώρημα για την περιοχή της ορθογώνιας προβολής επίπεδη φιγούραπαίρνουμε:
Το ίδιο σημαίνει 
Έτσι, το πρόβλημα περιορίστηκε στην εύρεση της περιοχής του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ. Ας σχεδιάσουμε ένα τραπεζοειδές Α Β Γ Δχωριστά (Εικ. 22). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένο σε τραπεζοειδές.
Εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπέζιο, τότε ή Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε
Ορισμός. Πλαϊνή άκρη- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας και η απέναντι πλευρά συμπίπτει με την πλευρά της βάσης (πολύγωνο).
Ορισμός. Πλαϊνά πλευρά- αυτές είναι οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων. Μια πυραμίδα έχει τόσες άκρες όσες και οι γωνίες ενός πολυγώνου.
Ορισμός. Ύψος πυραμίδας- αυτή είναι μια κάθετη χαμηλωμένη από την κορυφή στη βάση της πυραμίδας.
Ορισμός. Απόθεμ- αυτή είναι μια κάθετη προς την πλευρική όψη της πυραμίδας, χαμηλωμένη από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης.
Ορισμός. Διαγώνιο τμήμα- αυτό είναι ένα τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη διαγώνιο της βάσης.
Ορισμός. Σωστή πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, και το ύψος κατεβαίνει στο κέντρο της βάσης.
Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας
Τύπος. Όγκος της πυραμίδαςμέσω του εμβαδού και του ύψους της βάσης:
Ιδιότητες της πυραμίδας
Εάν όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες, τότε μπορεί να σχεδιαστεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας και το κέντρο της βάσης να συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Επίσης, από το κέντρο της βάσης (κύκλος) περνάει μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή.
Εάν όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, τότε έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στις ίδιες γωνίες.
Οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες όταν σχηματίζονται με το επίπεδο της βάσης ίσες γωνίεςή αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Εάν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της.
Αν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε τα αποθέματα των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
Ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας
1. Η κορυφή της πυραμίδας έχει ίση απόσταση από όλες τις γωνίες της βάσης.
2. Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.
3. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση σε ίσες γωνίες ως προς τη βάση.
4. Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
5. Τα εμβαδά όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
6. Όλες οι όψεις έχουν τις ίδιες δίεδρες (επίπεδες) γωνίες.
7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα. Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των κάθετων που διέρχονται από το μέσο των άκρων.
8. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε μια πυραμίδα. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων που προέρχονται από τη γωνία μεταξύ της άκρης και της βάσης.
9. Αν το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, τότε το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι ίσο με π ή αντίστροφα, μια γωνία είναι ίση με π/n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στη βάση της πυραμίδας.
Η σύνδεση μεταξύ της πυραμίδας και της σφαίρας
Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα όταν στη βάση της πυραμίδας υπάρχει ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται κάθετα από τα μέσα των πλευρικών άκρων της πυραμίδας.
Είναι πάντα δυνατό να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική ή κανονική πυραμίδα.
Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται σε ένα σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα είναι το κέντρο της σφαίρας.
Σύνδεση πυραμίδας με κώνο
Ένας κώνος λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος σε μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι εγγεγραμμένη στη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα αποθέματα της πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους.
Ένας κώνος λέγεται ότι περιβάλλεται γύρω από μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι περιγεγραμμένη γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους.
Σχέση πυραμίδας και κυλίνδρου
Μια πυραμίδα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο εάν η κορυφή της πυραμίδας βρίσκεται σε μια βάση του κυλίνδρου και η βάση της πυραμίδας είναι εγγεγραμμένη σε μια άλλη βάση του κυλίνδρου.
Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις και τέσσερις κορυφές και έξι ακμές, όπου οποιαδήποτε δύο ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές αλλά δεν αγγίζονται.
Κάθε κορυφή αποτελείται από τρεις όψεις και ακμές που σχηματίζονται τριγωνική γωνία.
Το τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τετραέδρου με το κέντρο της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του τετραέδρου(GM).
Διδιάμεσοςονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των απέναντι άκρων που δεν εφάπτονται (KL).
Όλα τα δίμεσα και οι διάμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο (S). Σε αυτή την περίπτωση, οι δίμεσοι χωρίζονται στο μισό και οι διάμεσοι χωρίζονται σε αναλογία 3:1 ξεκινώντας από την κορυφή.
Ορισμός. Οξεία γωνιακή πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι περισσότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Αμβλεία πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι μικρότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Κανονικό τετράεδρο- ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. Σε ένα κανονικό τετράεδρο, όλες οι διεδρικές γωνίες (μεταξύ όψεων) και οι τριεδρικές γωνίες (στην κορυφή) είναι ίσες.
Ορισμός. Ορθογώνιο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο υπάρχει ορθή γωνία μεταξύ τριών άκρων στην κορυφή (οι ακμές είναι κάθετες). Σχηματίζονται τρία πρόσωπα ορθογώνια τριγωνική γωνίακαι οι όψεις είναι ορθογώνια τρίγωνα, και η βάση είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Το απόθεμα οποιουδήποτε προσώπου ισούται με το ήμισυ της πλευράς της βάσης στην οποία πέφτει το απόθεμα.
Ορισμός. Ισοεδρικό τετράεδροονομάζεται τετράεδρο του οποίου οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και η βάση είναι κανονικό τρίγωνο. Ένα τέτοιο τετράεδρο έχει όψεις που είναι ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός. Ορθόκεντρο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο όλα τα ύψη (κάθετοι) που είναι χαμηλωμένα από την κορυφή προς την απέναντι όψη τέμνονται σε ένα σημείο.
Ορισμός. Αστρική πυραμίδαΈνα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα αστέρι ονομάζεται.
Τριγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τρίγωνο στη βάση της. Το ύψος αυτής της πυραμίδας είναι η κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της.
Εύρεση του ύψους μιας πυραμίδας
Πώς να βρείτε το ύψος μιας πυραμίδας; Πολύ απλό! Για να βρείτε το ύψος οποιουδήποτε τριγωνική πυραμίδαμπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο όγκου: V = (1/3)Sh, όπου S είναι το εμβαδόν της βάσης, V είναι ο όγκος της πυραμίδας, h το ύψος της. Από αυτόν τον τύπο, εξάγετε τον τύπο ύψους: για να βρείτε το ύψος μιας τριγωνικής πυραμίδας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον όγκο της πυραμίδας επί 3 και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε την τιμή που προκύπτει με το εμβαδόν της βάσης, θα είναι: h = (3V)/S. Δεδομένου ότι η βάση μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Αν γνωρίζουμε: το εμβαδόν του τριγώνου S και την πλευρά του z, τότε σύμφωνα με τον τύπο εμβαδού S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, όπου h το ύψος της πυραμίδας, γ είναι η άκρη του τριγώνου. τη γωνία μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των ίδιων των δύο πλευρών, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S = (1/2)γφsinQ, όπου γ, φ είναι οι πλευρές του τριγώνου, βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου. Η τιμή του ημιτόνου της γωνίας Q πρέπει να εξεταστεί στον πίνακα ημιτόνων, ο οποίος είναι διαθέσιμος στο Διαδίκτυο. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή του εμβαδού στον τύπο ύψους: h = (2S)/γ. Εάν η εργασία απαιτεί τον υπολογισμό του ύψους μιας τριγωνικής πυραμίδας, τότε ο όγκος της πυραμίδας είναι ήδη γνωστός.
Κανονική τριγωνική πυραμίδα
Βρείτε το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, δηλαδή μιας πυραμίδας στην οποία όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα, γνωρίζοντας το μέγεθος της άκρης γ. Στην περίπτωση αυτή, οι άκρες της πυραμίδας είναι οι πλευρές των ισόπλευρων τριγώνων. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας θα είναι: h = γ√(2/3), όπου γ είναι μια ακμή ισόπλευρο τρίγωνο, h είναι το ύψος της πυραμίδας. Εάν το εμβαδόν της βάσης (S) είναι άγνωστο και δίνονται μόνο το μήκος της ακμής (γ) και ο όγκος (V) του πολύεδρου, τότε η απαραίτητη μεταβλητή στον τύπο από το προηγούμενο βήμα πρέπει να αντικατασταθεί από το ισοδύναμό του, το οποίο εκφράζεται ως προς το μήκος της άκρης. Το εμβαδόν ενός τριγώνου (κανονικό) είναι ίσο με το 1/4 του γινομένου του μήκους της πλευράς αυτού του τριγώνου τετραγωνισμένο με την τετραγωνική ρίζα του 3. Αντικαθιστούμε αυτόν τον τύπο αντί για το εμβαδόν της βάσης στο προηγούμενο τύπος, και λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Ο όγκος ενός τετραέδρου μπορεί να εκφραστεί μέσω του μήκους της άκρης του, στη συνέχεια από τον τύπο για τον υπολογισμό του ύψους ενός σχήματος, μπορείτε να αφαιρέσετε όλες τις μεταβλητές και να αφήσετε μόνο την πλευρά της τριγωνικής όψης του σχήματος. Ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας με το 12 από το γινόμενο το μήκος σε κύβους της όψης της με την τετραγωνική ρίζα του 2.
Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για υπολογισμό: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Επίσης σωστό τριγωνικό πρίσμαμπορεί να εγγραφεί σε μια σφαίρα, και γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα της σφαίρας (R) μπορεί κανείς να βρει το ύψος του ίδιου του τετραέδρου. Το μήκος της ακμής του τετραέδρου είναι: γ = 4R/√6. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή γ με αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και παίρνουμε τον τύπο: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί γνωρίζοντας την ακτίνα (R) ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τετράεδρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος της άκρης του τριγώνου θα είναι ίσο με 12 αναλογίες μεταξύ τετραγωνική ρίζατου 6 και ακτίνας. Αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και έχουμε: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Για να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε το μήκος του ύψους μιας πυραμίδας, πρέπει να ξέρετε τι είναι μια κανονική πυραμίδα. Μια τετραγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τετράγωνο στη βάση της. Εάν στις συνθήκες του προβλήματος έχουμε: όγκο (V) και εμβαδόν της βάσης (S) της πυραμίδας, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του ύψους του πολυέδρου (h) θα είναι ο εξής - διαιρέστε τον όγκο πολλαπλασιασμένο κατά 3 από την περιοχή S: h = (3V)/S. Δεδομένης μιας τετραγωνικής βάσης μιας πυραμίδας με δεδομένο όγκο (V) και μήκος πλευράς γ, αντικαταστήστε το εμβαδόν (S) στον προηγούμενο τύπο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας h = SO διέρχεται ακριβώς από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση. Δεδομένου ότι η βάση αυτής της πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο, το σημείο Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων AD και BC. Έχουμε: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Στη συνέχεια, είμαστε μέσα ορθογώνιο τρίγωνοΒρίσκουμε SOC (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα): SO = √(SC 2 -OC 2). Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας.
Συνεχίζουμε να εξετάζουμε τα καθήκοντα που περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Έχουμε ήδη μελετήσει προβλήματα όπου δίνεται η συνθήκη και απαιτείται να βρεθεί η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων ή μιας γωνίας.
Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο, οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα και έχουν μια κοινή κορυφή.
Μια κανονική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα - η βάση είναι ένα τετράγωνο Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (τετράγωνο).
ML - αποθέμα
∠MLO - διεδρική γωνία στη βάση της πυραμίδας
∠MCO - γωνία μεταξύ του πλευρικού άκρου και του επιπέδου της βάσης της πυραμίδας
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα για την επίλυση μιας κανονικής πυραμίδας. Πρέπει να βρείτε κάποιο στοιχείο, πλευρική επιφάνεια, όγκο, ύψος. Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, τον τύπο για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας και τον τύπο για την εύρεση του όγκου μιας πυραμίδας.
Στο άρθρο Το "" παρουσιάζει τους τύπους που είναι απαραίτητοι για την επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία. Λοιπόν, οι εργασίες:
SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης,μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 51, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 136. Βρείτε την πλευρική άκρηS.C..
ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη βάση είναι τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι οι διαγώνιοι AC και BD είναι ίσες, τέμνονται και διχοτομούνται από το σημείο τομής. Σημειώστε ότι σε μια κανονική πυραμίδα το ύψος που πέφτει από την κορυφή της περνά από το κέντρο της βάσης της πυραμίδας. Άρα SO είναι το ύψος και το τρίγωνοSOCορθογώνιος. Τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα από μεγάλος αριθμός.
Απάντηση: 85
Αποφασίστε μόνοι σας:
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 6. Βρείτε το πλευρικό άκρο S.C..
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, S.C. = 5, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 6. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΕΤΣΙ.
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, S.C.= 5. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ..
SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 7, α S.R.= 16. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος (απόθεμα είναι το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της):
Ή μπορούμε να πούμε αυτό: το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι ίσο με το άθροισμα τρία τετράγωναπλευρικές άκρες. Οι πλευρικές όψεις σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι τρίγωνα ίσου εμβαδού. Σε αυτήν την περίπτωση:
Απάντηση: 168
Αποφασίστε μόνοι σας:
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, α S.R.= 2. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος S.R..
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC μεγάλο- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι SL= 2, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοείναι 25, ο όγκος της πυραμίδας είναι 100. Βρείτε το μήκος του τμήματος Κυρία.
Η βάση της πυραμίδας είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Να γιατί Μείναι το κέντρο της βάσης, καιΚυρία- ύψος κανονικής πυραμίδαςSABC. Όγκος της πυραμίδας SABCίσον: προβολή λύσης
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοισούται με 3, Κυρία= 1. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Ο όγκος της πυραμίδας είναι 1, Κυρία= 1. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου αλφάβητο.
Ας τελειώσουμε εδώ. Όπως μπορείτε να δείτε, τα προβλήματα λύνονται σε ένα ή δύο βήματα. Στο μέλλον, θα εξετάσουμε και άλλα προβλήματα από αυτό το κομμάτι, όπου δίνονται φορείς επανάστασης, μην το χάσετε!
Σου εύχομαι επιτυχία!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Ορισμός
Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από ένα πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) και \(n\) τρίγωνα με κοινή κορυφή \(P\) (δεν βρίσκεται στο επίπεδο του πολυγώνου) και πλευρές απέναντι από αυτό, που συμπίπτουν με την πλευρές του πολυγώνου.
Ονομασία: \(PA_1A_2...A_n\) .
Παράδειγμα: πενταγωνική πυραμίδα \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Τρίγωνα \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), κ.λπ. λέγονται πλαϊνά πρόσωπαπυραμίδες, τμήματα \(PA_1, PA_2\), κ.λπ. – πλευρικές νευρώσεις, πολύγωνο \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – βάση, σημείο \(P\) – μπλουζα.
ΥψοςΟι πυραμίδες είναι μια κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης.
Μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της ονομάζεται τετράεδρο.
Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός, εάν η βάση του είναι κανονικό πολύγωνο και πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
\((α)\) οι πλευρικές άκρες της πυραμίδας είναι ίσες.
\((β)\) το ύψος της πυραμίδας διέρχεται από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.
\((γ)\) οι πλευρικές νευρώσεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.
\((δ)\) οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.
Κανονικό τετράεδροείναι μια τριγωνική πυραμίδα, της οποίας όλες οι όψεις είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.
Θεώρημα
Οι συνθήκες \((α), (β), (γ), (δ)\) είναι ισοδύναμες.
Απόδειξη
Ας βρούμε το ύψος της πυραμίδας \(PH\) . Έστω \(\άλφα\) το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας.
1) Ας αποδείξουμε ότι το \((a)\) υποδηλώνει \((b)\) . Έστω \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Επειδή \(PH\perp \alpha\), τότε το \(PH\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα στο κοινό σκέλος \(PH\) και στην υποτείνουσα \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Αυτό σημαίνει \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία \(A_1, A_2, ..., A_n\) βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το σημείο \(H\), επομένως, βρίσκονται στον ίδιο κύκλο με την ακτίνα \(A_1H\) . Αυτός ο κύκλος, εξ ορισμού, περικλείεται στο πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) .
2) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και ίσο σε δύο πόδια. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες τους είναι επίσης ίσες, επομένως, \(\γωνία PA_1H=\γωνία PA_2H=...=\γωνία PA_nH\).
3) Ας αποδείξουμε ότι το \((c)\) υποδηλώνει \((a)\) .
Παρόμοια με το πρώτο σημείο, τρίγωνα \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και κατά μήκος του ποδιού και αιχμηρή γωνία. Αυτό σημαίνει ότι και οι υποτείνυσές τους είναι ίσες, δηλαδή \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((d)\) .
Επειδή Σε ένα κανονικό πολύγωνο τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν (γενικά μιλώντας, αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου), τότε το \(H\) είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Ας σχεδιάσουμε κάθετες από το σημείο \(H\) στις πλευρές της βάσης: \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. Αυτές είναι οι ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου (εξ ορισμού). Στη συνέχεια, σύμφωνα με το TTP (το \(PH\) είναι κάθετο στο επίπεδο, \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. είναι προβολές, κάθετα στις πλευρές) λοξό \(PK_1, PK_2\), κ.λπ. κάθετες στις πλευρές \(A_1A_2, A_2A_3\), κ.λπ. αντίστοιχα. Έτσι, εξ ορισμού \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H\)ίσες με τις γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης. Επειδή τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια σε δύο πλευρές), τότε οι γωνίες \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H, ...\)είναι ίσα.
5) Ας αποδείξουμε ότι το \((d)\) υποδηλώνει \((b)\) .
Παρόμοια με το τέταρτο σημείο, τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια κατά μήκος του σκέλους και οξεία γωνία), που σημαίνει ότι τα τμήματα \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) είναι ίσος. Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, το \(H\) είναι το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο στη βάση. Αλλά επειδή Για κανονικά πολύγωνα, τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν, τότε το \(H\) είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Chtd.
Συνέπεια
Οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός
Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της ονομάζεται αποθεμα.
Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους και είναι επίσης διάμεσοι και διχοτόμοι.
Σημαντικές σημειώσεις
1. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των υψών (ή διχοτόμων, ή διαμέσου) της βάσης (η βάση είναι κανονικό τρίγωνο).
2. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι τετράγωνο).
3. Το ύψος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι κανονικό εξάγωνο).
4. Το ύψος της πυραμίδας είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται στη βάση.
Ορισμός
Η πυραμίδα ονομάζεται ορθογώνιος, αν ένα από τα πλευρικά άκρα του είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης.
Σημαντικές σημειώσεις
1. Σε μια ορθογώνια πυραμίδα, η άκρη κάθετη στη βάση είναι το ύψος της πυραμίδας. Δηλαδή, \(SR\) είναι το ύψος.
2. Επειδή Το \(SR\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε γραμμή από τη βάση, λοιπόν \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– ορθογώνια τρίγωνα.
3. Τρίγωνα \(\τρίγωνο SRN, \τρίγωνο SRK\)- επίσης ορθογώνιο.
Δηλαδή, κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται από αυτή την άκρη και η διαγώνιος που αναδύεται από την κορυφή αυτής της ακμής που βρίσκεται στη βάση θα είναι ορθογώνιο.
\[(\Large(\text(Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας)))\]
Θεώρημα
Ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους της πυραμίδας: \
Συνέπειες
Έστω \(a\) η πλευρά της βάσης, \(h\) το ύψος της πυραμίδας.
1. Ο όγκος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(δεξιό τρίγωνο.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Ο όγκος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Ο όγκος ενός κανονικού τετραέδρου είναι \(V_(\text(δεξιά tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Θεώρημα
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Ορισμός
Σκεφτείτε μια αυθαίρετη πυραμίδα \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Ας περάσουμε από κάποιο σημείο ξαπλωμένοι πλευρική πλευράπυραμίδα, το επίπεδο είναι παράλληλο με τη βάση της πυραμίδας. Αυτό το επίπεδο θα χωρίσει την πυραμίδα σε δύο πολύεδρα, το ένα από τα οποία είναι πυραμίδα (\(PB_1B_2...B_n\)) και το άλλο ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Η κολοβωμένη πυραμίδα έχει δύο βάσεις - πολύγωνα \(A_1A_2...A_n\) και \(B_1B_2...B_n\) που είναι παρόμοια μεταξύ τους.
Το ύψος μιας κόλουρης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από κάποιο σημείο της άνω βάσης στο επίπεδο της κάτω βάσης.
Σημαντικές σημειώσεις
1. Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή.
2. Το τμήμα που συνδέει τα κέντρα των βάσεων μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας (δηλαδή μιας πυραμίδας που προκύπτει από διατομή μιας κανονικής πυραμίδας) είναι το ύψος.