Le logarithme d'un nombre positif b en base a (a>0, a n'est pas égal à 1) est un nombre c tel que a c = b : log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Notez que le logarithme d'un nombre non positif n'est pas défini. De plus, la base du logarithme doit être un nombre positif qui n'est pas égal à 1. Par exemple, si on met -2 au carré, on obtient le nombre 4, mais cela ne veut pas dire que le logarithme en base -2 de 4 est égal à 2.
Identité logarithmique de base
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Il est important que la portée de la définition des côtés droit et gauche de cette formule soit différente. Le côté gauche est défini uniquement pour b>0, a>0 et a ≠ 1. Le côté droit est défini pour tout b et ne dépend pas du tout de a. Ainsi, l’application de « l’identité » logarithmique de base lors de la résolution d’équations et d’inégalités peut conduire à une modification de la DO.
Deux conséquences évidentes de la définition du logarithme
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
En effet, en élevant le nombre a à la puissance premier, on obtient le même nombre, et en l'élevant à la puissance zéro, on obtient un.
Logarithme du produit et logarithme du quotient
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Je voudrais mettre en garde les écoliers contre l'application inconsidérée de ces formules lors de la résolution équations logarithmiques et les inégalités. Lorsqu'on les utilise « de gauche à droite », l'ODZ se rétrécit, et lorsqu'on passe de la somme ou de la différence des logarithmes au logarithme du produit ou du quotient, l'ODZ s'agrandit.
En effet, l'expression log a (f (x) g (x)) est définie dans deux cas : lorsque les deux fonctions sont strictement positives ou lorsque f (x) et g (x) sont tous deux inférieurs à zéro.
En transformant cette expression en somme log a f (x) + log a g (x), on est obligé de se limiter uniquement au cas où f(x)>0 et g(x)>0. Il y a un rétrécissement de la plage des valeurs acceptables, ce qui est catégoriquement inacceptable, car cela peut conduire à une perte de solutions. Un problème similaire existe pour la formule (6).
Le degré peut être retiré du signe du logarithme
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Et encore une fois, je voudrais appeler à l'exactitude. Prenons l'exemple suivant :
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Le côté gauche de l’égalité est évidemment défini pour toutes les valeurs de f(x) sauf zéro. Le côté droit est uniquement pour f(x)>0 ! En retirant le degré du logarithme, nous réduisons à nouveau l'ODZ. La procédure inverse conduit à un élargissement de la plage des valeurs acceptables. Toutes ces remarques s’appliquent non seulement à la puissance 2, mais aussi à toute puissance paire.
Formule pour passer à une nouvelle fondation
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ce cas rare où l'ODZ ne change pas pendant la transformation. Si vous avez judicieusement choisi la base c (positive et non égale à 1), la formule pour passer à une nouvelle base est totalement sûre.
Si l'on choisit le nombre b comme nouvelle base c, on obtient un cas particulier important de formule (8) :
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Quelques exemples simples avec des logarithmes
Exemple 1. Calculez : log2 + log50.
Solution. log2 + log50 = log100 = 2. Nous avons utilisé la formule de la somme des logarithmes (5) et la définition du logarithme décimal.
Exemple 2. Calculez : lg125/lg5.
Solution. log125/log5 = log 5 125 = 3. Nous avons utilisé la formule de déplacement vers une nouvelle base (8).
Tableau des formules liées aux logarithmes
| un journal a b = b (une > 0, une ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
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Logarithme du nombre b (b > 0) en base a (a > 0, a ≠ 1)– exposant auquel il faut élever le nombre a pour obtenir b.
Le logarithme en base 10 de b peut s’écrire journal(b), et le logarithme en base e (logarithme népérien) est ln(b).
Souvent utilisé pour résoudre des problèmes avec des logarithmes :
Propriétés des logarithmes
Il y a quatre principaux propriétés des logarithmes.
Soit a > 0, a ≠ 1, x > 0 et y > 0.
Propriété 1. Logarithme du produit
Logarithme du produit égal à la somme logarithmes :
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Propriété 2. Logarithme du quotient
Logarithme du quotientégal à la différence des logarithmes :
log a (x / y) = log a x – log a y
Propriété 3. Logarithme de puissance
Logarithme de degréégal au produit de la puissance et du logarithme :
Si la base du logarithme est en degré, alors une autre formule s'applique :
Propriété 4. Logarithme de la racine
Cette propriété peut être obtenue à partir de la propriété du logarithme d'une puissance, puisque la racine nième de la puissance est égale à la puissance de 1/n :
Formule pour convertir un logarithme dans une base en un logarithme dans une autre base
Cette formule est aussi souvent utilisée pour résoudre diverses tâches aux logarithmes :
Cas particulier:
Comparaison de logarithmes (inégalités)
Ayons 2 fonctions f(x) et g(x) sous logarithmes de mêmes bases et entre elles il y a un signe d'inégalité :
Pour les comparer, il faut d'abord regarder la base des logarithmes a :
- Si a > 0, alors f(x) > g(x) > 0
- Si 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Comment résoudre des problèmes avec les logarithmes : exemples
Problèmes avec les logarithmes inclus dans l'examen d'État unifié en mathématiques pour la 11e année dans les tâches 5 et 7, vous pouvez trouver des tâches avec des solutions sur notre site Web dans les sections appropriées. De plus, des tâches comportant des logarithmes se trouvent dans la banque de tâches mathématiques. Vous pouvez trouver tous les exemples en effectuant une recherche sur le site.
Qu'est-ce qu'un logarithme
Les logarithmes ont toujours été considérés comme un sujet difficile dans cours scolaire mathématiques. Il existe de nombreuses définitions différentes du logarithme, mais pour une raison quelconque, la plupart des manuels utilisent les plus complexes et les plus infructueuses d'entre elles.
Nous définirons le logarithme simplement et clairement. Pour ce faire, créons un tableau :
Nous avons donc des puissances de deux.
Logarithmes - propriétés, formules, comment résoudre
Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.
Et maintenant - en fait, la définition du logarithme :
la base a de l'argument x est la puissance à laquelle le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre x.
Désignation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est ce à quoi le logarithme est réellement égal.
Par exemple, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même succès, log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.
L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre selon une base donnée est appelée. Alors, ajoutons une nouvelle ligne à notre tableau :
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| journal 2 2 = 1 | journal 2 4 = 2 | journal 2 8 = 3 | journal 2 16 = 4 | journal 2 32 = 5 | journal 2 64 = 6 |
Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем plus de diplôme deux, plus le nombre est grand.
De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Au début, beaucoup de gens confondent où se trouve la base et où se trouve l’argument. Pour éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder l'image :
Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. Souviens-toi: le logarithme est une puissance, dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! J'enseigne cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.
Comment compter les logarithmes
Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :
- L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition d'un degré par un exposant rationnel, à laquelle se réduit la définition d'un logarithme.
- La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en obtenir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !
De telles restrictions sont appelées plage de valeurs acceptables(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.
Cependant, nous ne considérons maintenant que des expressions numériques, pour lesquelles il n'est pas nécessaire de connaître la VA du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des tâches. Mais lorsque les équations logarithmiques et les inégalités entreront en jeu, les exigences DL deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.
Examinons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :
- Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
- Résolvez l'équation de la variable b : x = a b ;
- Le nombre résultant b sera la réponse.
C'est tout! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très importante : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. Même avec décimales: si vous les convertissez immédiatement en standards, il y aura beaucoup moins d'erreurs.
Voyons comment ce schéma fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :
Tâche. Calculez le logarithme : log 5 25
- Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Nous avons reçu la réponse : 2.
Créons et résolvons l'équation :
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Tâche. Calculez le logarithme :
Tâche. Calculez le logarithme : log 4 64
- Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Créons et résolvons l'équation :
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Nous avons reçu la réponse : 3.
Tâche. Calculez le logarithme : log 16 1
- Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Créons et résolvons l'équation :
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Nous avons reçu la réponse : 0.
Tâche. Calculez le logarithme : log 7 14
- Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
- Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
- La réponse est aucun changement : log 7 14.
Une petite note sur le dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le décomposer en facteurs premiers. Si l’expansion comporte au moins deux facteurs différents, le nombre n’est pas une puissance exacte.
Tâche. Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;
Notons également que nous-mêmes nombres premiers sont toujours des degrés exacts d'eux-mêmes.
Logarithme décimal
Certains logarithmes sont si courants qu’ils portent un nom et un symbole spéciaux.
de l'argument x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire La puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre x. Désignation : LG X.
Par exemple, log 10 = 1 ; LG 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.
Désormais, lorsqu'une phrase comme « Trouver lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez : ce n'est pas une faute de frappe. Il s'agit d'un logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x
Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.
Un algorithme naturel
Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Nous parlons du logarithme népérien.
de l'argument x est le logarithme en base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : lnx.
Beaucoup de gens se demanderont : quel est le nombre e ? C'est un nombre irrationnel, c'est valeur exacte impossible à trouver et à enregistrer. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459…
Nous n'entrerons pas dans les détails de ce qu'est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x
Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel est irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.
Pour logarithmes naturels toutes les règles vraies pour les logarithmes ordinaires sont valides.
Voir également:
Logarithme. Propriétés du logarithme (puissance du logarithme).
Comment représenter un nombre sous forme de logarithme ?
Nous utilisons la définition du logarithme.
Un logarithme est un exposant auquel il faut élever la base pour obtenir le nombre sous le signe du logarithme.
Ainsi, pour représenter un certain nombre c sous forme de logarithme en base a, il faut mettre une puissance de même base que la base du logarithme sous le signe du logarithme, et écrire ce nombre c comme exposant :
Absolument n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de logarithme - positif, négatif, entier, fractionnaire, rationnel, irrationnel :
Afin de ne pas confondre a et c dans les conditions stressantes d'un test ou d'un examen, vous pouvez utiliser la règle de mémorisation suivante :
ce qui est en bas descend, ce qui est en haut monte.
Par exemple, vous devez représenter le nombre 2 sous forme de logarithme en base 3.
Nous avons deux nombres - 2 et 3. Ces nombres sont la base et l'exposant, que nous écrirons sous le signe du logarithme. Reste à déterminer lequel de ces nombres doit être écrit, à la base de la puissance, et lequel – vers le haut, à l'exposant.
La base 3 dans la notation d'un logarithme est en bas, ce qui signifie que lorsque nous représentons deux sous forme de logarithme en base 3, nous écrirons également 3 en base.
2 est supérieur à trois. Et en notation du degré deux, nous écrivons au-dessus des trois, c'est-à-dire en exposant :
Logarithmes. Premier niveau.
Logarithmes
Logarithme nombre positif b basé sur un, Où une > 0, une ≠ 1, est appelé l'exposant auquel le nombre doit être élevé un, Obtenir b.
Définition du logarithme peut s'écrire brièvement ainsi :
Cette égalité est valable pour b > 0, une > 0, une ≠ 1. On l'appelle généralement identité logarithmique.
L’action de trouver le logarithme d’un nombre s’appelle par logarithme.
Propriétés des logarithmes :
Logarithme du produit :
Logarithme du quotient :
Remplacement de la base du logarithme :
Logarithme du degré :
Logarithme de la racine :
Logarithme avec base de puissance :
Logarithmes décimaux et naturels.
Logarithme décimal les nombres appellent le logarithme de ce nombre en base 10 et écrivent lg b
Un algorithme naturel les nombres sont appelés le logarithme de ce nombre à la base e, Où e- un nombre irrationnel approximativement égal à 2,7. En même temps, ils écrivent dans b.
Autres notes sur l'algèbre et la géométrie
Propriétés de base des logarithmes
Propriétés de base des logarithmes
Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.
Vous devez absolument connaître ces règles - aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu sans elles. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.
Additionner et soustraire des logarithmes
Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : log a x et log a y. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x − log a y = log a (x : y).
Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !
Ces formules vous aideront à calculer expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas comptées (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :
Journal 6 4 + journal 6 9.
Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.
Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48 : 3) = log 2 16 = 4.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.
Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.
Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, on obtient des nombres tout à fait normaux. Beaucoup sont construits sur ce fait papiers de test. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.
Extraire l'exposant du logarithme
Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes :
Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.
Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même.
Comment résoudre des logarithmes
C'est ce qui est le plus souvent demandé.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .
Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nous avons:
Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».
Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.
Transition vers une nouvelle fondation
En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?
Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :
Soit le logarithme log a x. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :
En particulier, si on pose c = x, on obtient :
De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.
Ces formules sont rarement trouvées dans les expressions numériques. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.
Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.
Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Sortons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; journal 2 25 = journal 2 5 2 = 2 journal 2 5 ;
Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :
Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.
Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.
La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :
Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :
Identité logarithmique de base
Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée.
Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :
Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.
La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .
En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.
Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Notez que log 25 64 = log 5 8 - nous avons simplement pris le carré de la base et de l'argument du logarithme. Considérant les règles de multiplication des pouvoirs avec la même base, on a:
Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)
Unité logarithmique et zéro logarithmique
En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».
- log a a = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
- log a 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.
C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.
Aujourd'hui, nous parlerons de formules logarithmiques et nous donnerons à titre indicatif exemples de solutions.
Ils impliquent eux-mêmes des modèles de solutions selon les propriétés fondamentales des logarithmes. Avant d'appliquer des formules de logarithme à résoudre, rappelons toutes les propriétés :
Maintenant, sur la base de ces formules (propriétés), nous allons montrer exemples de résolution de logarithmes.
Exemples de résolution de logarithmes basés sur des formules.
Logarithme un nombre positif b en base a (noté log a b) est un exposant auquel a doit être élevé pour obtenir b, avec b > 0, a > 0 et 1.
D'après la définition, log a b = x, ce qui équivaut à a x = b, donc log a a x = x.
Logarithmes, exemples:
log 2 8 = 3, car 2 3 = 8
log 7 49 = 2, car 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, car 5 -1 = 1/5
Logarithme décimal- il s'agit d'un logarithme ordinaire dont la base est 10. Il est noté lg.
log 10 100 = 2, car 10 2 = 100
Un algorithme naturel- aussi un logarithme ordinaire, un logarithme, mais de base e (e = 2,71828... - un nombre irrationnel). Noté ln.
Il est conseillé de mémoriser les formules ou les propriétés des logarithmes, car nous en aurons besoin plus tard lors de la résolution de logarithmes, d'équations logarithmiques et d'inégalités. Reprenons chaque formule avec des exemples.
- Identité logarithmique de base
un journal a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Propriétés de la puissance d'un nombre logarithmique et de la base du logarithme
Exposant du nombre logarithmique log a b m = mlog a b
Exposant de la base du logarithme log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
si m = n, on obtient log a n b n = log a b
journal 4 9 = journal 2 2 3 2 = journal 2 3
- Transition vers une nouvelle fondation
log a b = log c b/log c a,si c = b, on obtient log b b = 1
alors log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Comme vous pouvez le constater, les formules des logarithmes ne sont pas aussi compliquées qu’il y paraît. Maintenant, après avoir examiné des exemples de résolution de logarithmes, nous pouvons passer aux équations logarithmiques. Nous examinerons plus en détail des exemples de résolution d'équations logarithmiques dans l'article : "". Ne manquez pas!
Si vous avez encore des questions sur la solution, écrivez-les dans les commentaires de l'article.
Remarque : nous avons décidé de suivre une formation différente et d'étudier à l'étranger en option.