Le dénominateur de la fraction arithmétique a/b est le nombre b, qui indique la taille des fractions d'une unité à partir de laquelle la fraction est composée. Le dénominateur de la fraction algébrique A/B s'appelle expression algébrique B. Pour effectuer des calculs avec des fractions, il faut les réduire à leur plus petit dénominateur commun.
Tu auras besoin de
- Pour travailler avec des fractions algébriques et trouver le plus petit dénominateur commun, vous devez savoir factoriser les polynômes.
Instructions
Considérons la réduction de deux fractions arithmétiques n/m et s/t au plus petit dénominateur commun, où n, m, s, t sont des nombres entiers. Il est clair que ces deux fractions peuvent être réduites à n’importe quel dénominateur divisible par m et t. Mais ils essaient de parvenir au plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs m et t des fractions données. Le plus petit multiple (LMK) d'un nombre est le plus petit divisible par tous les nombres donnés en même temps. Ceux. dans notre cas, nous devons trouver le plus petit commun multiple des nombres m et t. Noté LCM (m, t). Ensuite, les fractions sont multipliées par celles correspondantes : (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Trouvons le plus petit dénominateur commun de trois fractions : 4/5, 7/8, 11/14. Tout d'abord, développons les dénominateurs 5, 8, 14 : 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Ensuite, calculez le LCM (5, 8, 14) en multipliant tous les nombres inclus dans au moins une des extensions. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Notez que si un facteur apparaît dans le développement de plusieurs nombres (facteur 2 dans le développement des dénominateurs 8 et 14), alors prenez le facteur dans dans une plus grande mesure(2^3 dans notre cas).
Ainsi, le général est obtenu. Il est égal à 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. On obtient ici les nombres par lesquels il faut multiplier les fractions avec les dénominateurs correspondants afin de les ramener au plus petit dénominateur commun. On obtient 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Réduire au plus petit dénominateur commun fractions algébriques effectué par analogie avec l'arithmétique. Pour plus de clarté, examinons le problème à l'aide d'un exemple. Soit deux fractions (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) et (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Factorisons les deux dénominateurs. Notez que le dénominateur de la première fraction est un carré parfait: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pour
Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.
Disons donc que nous avons deux fractions avec différents dénominateurs. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :
Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.
Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - ce processus est appelé réduction à un dénominateur commun. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés facteurs supplémentaires.
Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :
- Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
- Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
- Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Pourcentages sont, en fait, des expressions ordinaires contenant des fractions.
Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.
Multiplication entrecroisée
Le plus simple et manière fiable, ce qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Regarde:
Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:
Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.
Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut faire beaucoup de comptages, car les dénominateurs sont multipliés « encore et encore », et le résultat peut être très gros chiffres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.
Méthode du diviseur commun
Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :
- Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l'un d'eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
- Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
- Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.
Tâche. Trouvez le sens des expressions :
Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:
Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !
D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.
C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisé par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.
Méthode multiple la moins courante
Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.
Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».
Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est beaucoup moins de produit 8 12 = 96.
Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur plus petit commun multiple (LCM).
Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a ; b) . Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24 .
Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regarde les exemples:
Tâche. Trouvez le sens des expressions :
Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :
Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :
- Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
- À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.
Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.
Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !
Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout peut être trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.
Cet article explique comment trouver le plus petit dénominateur commun Et comment réduire des fractions à un dénominateur commun. Tout d'abord, les définitions du dénominateur commun des fractions et du plus petit dénominateur commun sont données, et il est montré comment trouver le dénominateur commun des fractions. Vous trouverez ci-dessous une règle pour réduire les fractions à un dénominateur commun et des exemples d'application de cette règle sont considérés. En conclusion, des exemples de rapprochement de trois fractions ou plus à un dénominateur commun sont discutés.
Navigation dans les pages.
Qu’appelle-t-on réduire des fractions à un dénominateur commun ?
Nous pouvons maintenant dire ce que signifie réduire des fractions à un dénominateur commun. Réduire les fractions à un dénominateur commun- Il s'agit de la multiplication des numérateurs et des dénominateurs de fractions données par des facteurs supplémentaires tels que le résultat est des fractions avec les mêmes dénominateurs.
Dénominateur commun, définition, exemples
Il est maintenant temps de définir le dénominateur commun des fractions.
En d’autres termes, le dénominateur commun d’un certain ensemble fractions ordinaires est-ce que entier naturel, qui est divisible par tous les dénominateurs de ces fractions.
De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un ensemble donné de fractions a une infinité de dénominateurs communs, puisqu'il existe un nombre infini de multiples communs de tous les dénominateurs de l'ensemble original de fractions.
Déterminer le dénominateur commun des fractions permet de trouver les dénominateurs communs de fractions données. Supposons, par exemple, que les fractions 1/4 et 5/6 aient pour dénominateurs 4 et 6, respectivement. Les multiples communs positifs des nombres 4 et 6 sont les nombres 12, 24, 36, 48, ... N'importe lequel de ces nombres est un dénominateur commun des fractions 1/4 et 5/6.
Pour consolider le matériel, considérons la solution de l’exemple suivant.
Exemple.
Les fractions 2/3, 23/6 et 7/12 peuvent-elles être réduites à un dénominateur commun de 150 ?
Solution.
Pour répondre à la question posée, il faut savoir si le nombre 150 est un commun multiple des dénominateurs 3, 6 et 12. Pour cela, vérifions si 150 est divisible par chacun de ces nombres (voir si nécessaire les règles et exemples de division des nombres naturels, ainsi que les règles et exemples de division des nombres naturels avec un reste) : 150:3=50 , 150 : 6=25, 150 : 12=12 (6 restants) .
Donc, 150 n'est pas divisible également par 12, donc 150 n'est pas un multiple commun de 3, 6 et 12. Le nombre 150 ne peut donc pas être le dénominateur commun des fractions originales.
Répondre:
C'est interdit.
Plus petit dénominateur commun, comment le trouver ?
Dans l’ensemble des nombres qui sont les dénominateurs communs de fractions données, il existe un plus petit nombre naturel, appelé plus petit dénominateur commun. Formulons la définition du plus petit dénominateur commun de ces fractions.
Définition.
Plus petit dénominateur commun- Ce le plus petit nombre, de tous les dénominateurs communs de ces fractions.
Reste à résoudre la question de savoir comment trouver le plus petit diviseur commun.
Puisque c'est le plus petit positif diviseur commun d'un ensemble de nombres donné, alors le LCM des dénominateurs des fractions données est le plus petit dénominateur commun des fractions données.
Ainsi, trouver le plus petit dénominateur commun des fractions revient aux dénominateurs de ces fractions. Regardons la solution de l'exemple.
Exemple.
Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions 3/10 et 277/28.
Solution.
Les dénominateurs de ces fractions sont 10 et 28. Le plus petit dénominateur commun souhaité est le LCM des nombres 10 et 28. Dans notre cas c'est simple : puisque 10=2·5, et 28=2·2·7, alors LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Répondre:
140 .
Comment réduire des fractions à un dénominateur commun ? Règle, exemples, solutions
Les fractions communes aboutissent généralement à un plus petit dénominateur commun. Nous allons maintenant écrire une règle qui explique comment réduire les fractions à leur plus petit dénominateur commun.
Règle pour réduire les fractions au plus petit dénominateur commun se compose de trois étapes :
- Tout d’abord, trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.
- Deuxièmement, un facteur supplémentaire est calculé pour chaque fraction en divisant le plus petit dénominateur commun par le dénominateur de chaque fraction.
- Troisièmement, le numérateur et le dénominateur de chaque fraction sont multipliés par son facteur supplémentaire.
Appliquons la règle énoncée pour résoudre l’exemple suivant.
Exemple.
Réduisez les fractions 5/14 et 7/18 à leur plus petit dénominateur commun.
Solution.
Effectuons toutes les étapes de l'algorithme de réduction des fractions au plus petit dénominateur commun.
On trouve d’abord le plus petit dénominateur commun, qui est égal au plus petit commun multiple des nombres 14 et 18. Puisque 14=2·7 et 18=2·3·3, alors LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Nous calculons maintenant des facteurs supplémentaires à l'aide desquels les fractions 5/14 et 7/18 seront réduites au dénominateur 126. Pour la fraction 5/14, le facteur supplémentaire est 126:14=9, et pour la fraction 7/18, le facteur supplémentaire est 126:18=7.
Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions 5/14 et 7/18 par des facteurs supplémentaires 9 et 7, respectivement. Nous avons et 
.
Ainsi, la réduction des fractions 5/14 et 7/18 au plus petit dénominateur commun est terminée. Les fractions résultantes étaient 45/126 et 49/126.
Pour réduire des fractions au plus petit dénominateur commun, il faut : 1) trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données, ce sera le plus petit dénominateur commun. 2) trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction en divisant le nouveau dénominateur par le dénominateur de chaque fraction. 3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.
Exemples. Réduisez les fractions suivantes à leur plus petit dénominateur commun.
On trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs : LCM(5; 4) = 20, puisque 20 est le plus petit nombre divisible par 5 et 4. Trouvez pour la 1ère fraction un facteur supplémentaire 4 (20 : 5=4). Pour la 2ème fraction le facteur supplémentaire est 5 (20 : 4=5). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 4, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 20 ).
Le plus petit dénominateur commun de ces fractions est le nombre 8, puisque 8 est divisible par 4 et par lui-même. Il n'y aura pas de facteur supplémentaire pour la 1ère fraction (ou on peut dire qu'il est égal à un), pour la 2ème fraction le facteur supplémentaire est de 2 (8 : 4=2). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 2. On a réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 8 ).
Ces fractions ne sont pas irréductibles.
Réduisons la 1ère fraction de 4, et réduisons la 2ème fraction de 2. ( voir des exemples de réduction de fractions ordinaires : Plan du site → 5.4.2. Exemples de réduction de fractions communes). Trouver le LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Le multiplicateur supplémentaire pour la 1ère fraction est de 5 (80 : 16=5). Le facteur supplémentaire pour la 2ème fraction est 4 (80 : 20=4). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 5, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 4. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 80 ).
Nous trouvons le plus petit dénominateur commun NCD(5 ; 6 et 15)=NOK(5 ; 6 et 15)=30. Le facteur supplémentaire à la 1ère fraction est 6 (30 : 5=6), le facteur supplémentaire à la 2ème fraction est 5 (30 : 6=5), le facteur supplémentaire à la 3ème fraction est 2 (30 : 15=2). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 6, le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5, le numérateur et le dénominateur de la 3ème fraction par 2. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 30 ).
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Dans cette leçon, nous examinerons la réduction des fractions à un dénominateur commun et résoudrons des problèmes sur ce sujet. Définissons la notion de dénominateur commun et de facteur supplémentaire, rappelons la mutuelle nombres premiers. Définissons le concept de plus petit dénominateur commun (LCD) et résolvons un certain nombre de problèmes pour le trouver.
Sujet : Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs
Leçon : Réduire des fractions à un dénominateur commun
Répétition. La propriété principale d'une fraction.
Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, vous obtenez une fraction égale.
Par exemple, le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par 2. Nous obtenons la fraction. Cette opération est appelée réduction de fraction. Vous pouvez également effectuer la transformation inverse en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2. Dans ce cas, on dit que l'on a réduit la fraction à un nouveau dénominateur. Le chiffre 2 est appelé facteur supplémentaire.
Conclusion. Une fraction peut être réduite à n’importe quel dénominateur qui est un multiple du dénominateur de la fraction donnée. Pour amener une fraction à un nouveau dénominateur, son numérateur et son dénominateur sont multipliés par un facteur supplémentaire.
1. Réduisez la fraction au dénominateur 35.
Le nombre 35 est un multiple de 7, c'est-à-dire que 35 est divisible par 7 sans reste. Cela signifie que cette transformation est possible. Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez 35 par 7. Nous obtenons 5. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par 5.
2. Réduisez la fraction au dénominateur 18.
Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez le nouveau dénominateur par celui d'origine. On obtient 3. Multipliez le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 3.
3. Réduisez la fraction à un dénominateur de 60.
Diviser 60 par 15 donne un facteur supplémentaire. Il est égal à 4. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 4.
4. Réduisez la fraction au dénominateur 24
Dans les cas simples, la réduction à un nouveau dénominateur s'effectue mentalement. Il est seulement d'usage d'indiquer le facteur supplémentaire derrière une parenthèse légèrement à droite et au-dessus de la fraction originale.
Une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15 et une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15. Les fractions ont également un dénominateur commun de 15.
Le dénominateur commun des fractions peut être n’importe quel multiple commun de leurs dénominateurs. Par souci de simplicité, les fractions sont réduites à leur plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données.
Exemple. Réduisez les fractions et au plus petit dénominateur commun.
Tout d'abord, trouvons le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions. Ce nombre est 12. Trouvons un facteur supplémentaire pour les première et deuxième fractions. Pour ce faire, divisez 12 par 4 et 6. Trois est un facteur supplémentaire pour la première fraction et deux pour la seconde. Ramenons les fractions au dénominateur 12.
Nous avons ramené les fractions à un dénominateur commun, c'est-à-dire que nous avons trouvé des fractions égales qui ont le même dénominateur.
Règle. Pour réduire des fractions à leur plus petit dénominateur commun, il faut
Trouvez d’abord le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera leur plus petit commun dénominateur ;
Deuxièmement, divisez le plus petit dénominateur commun par les dénominateurs de ces fractions, c'est-à-dire trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction.
Troisièmement, multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.
a) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.
Le plus petit dénominateur commun est 12. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 4, pour la seconde - 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 24.
b) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.
Le plus petit dénominateur commun est 45. Diviser 45 par 9 par 15 donne respectivement 5 et 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 45.
c) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.
Le dénominateur commun est 24. Les facteurs supplémentaires sont respectivement 2 et 3.
Parfois, il peut être difficile de trouver verbalement le plus petit commun multiple des dénominateurs de fractions données. Ensuite, le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires sont trouvés en décomposant en facteurs premiers.
Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.
Factorisons les nombres 60 et 168 en facteurs premiers. Écrivons le développement du nombre 60 et ajoutons les facteurs manquants 2 et 7 du deuxième développement. Multiplions 60 par 14 et obtenons un dénominateur commun de 840. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 14. Le facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 5. Ramenons les fractions à un dénominateur commun de 840.
Bibliographie
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Vous pouvez télécharger les livres spécifiés à la clause 1.2. de cette leçon.
Devoirs
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnemosyne, 2012. (lien voir 1.2)
Devoirs : n°297, n°298, n°300.
Autres tâches : n° 270, n° 290