Вектор− зөвхөн физик болон бусад зүйлд ашиглагддаг цэвэр математикийн ойлголт хэрэглээний шинжлэх ухаанбөгөөд энэ нь зарим нарийн төвөгтэй асуудлын шийдлийг хялбарчлах боломжийг олгодог.
Вектор− чиглэсэн шулуун сегмент.
Анхан шатны физикийн хичээл дээр хэмжигдэхүүний хоёр ангиллаар ажиллах ёстой скаляр ба вектор.
Скалярхэмжигдэхүүн (скаляр) нь тоон утга, тэмдгээр тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Скалярууд нь урт - л, масс - м, зам − с, цаг - т, температур − Т, цахилгаан цэнэг − q, эрчим хүч - В, координат гэх мэт.
Бүх алгебрийн үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх гэх мэт) скаляр хэмжигдэхүүнд хамаарна.
Жишээ 1.
q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC бол түүнд орсон цэнэгүүдээс бүрдэх системийн нийт цэнэгийг тодорхойл.
Системийн бүрэн төлбөр
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Жишээ 2.
Учир нь квадрат тэгшитгэлтөрөл
сүх 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
ВекторХэмжигдэхүүн (векторууд) нь тоон утгаас гадна чиглэлийг зааж өгөх шаардлагатайг тодорхойлох хэмжигдэхүүн юм. Векторууд - хурд v, хүч чадал Ф, импульс х, цахилгаан орны хүч Э, соронзон индукц Бгэх мэт.
Векторын (модуль) тоон утгыг вектор тэмдэггүй үсгээр тэмдэглэсэн эсвэл вектор нь босоо зураасны хооронд хаагдсан байна. r = |r|.
Графикаар векторыг сумаар дүрсэлсэн (Зураг 1),
Өгөгдсөн масштабын урт нь түүний хэмжээтэй тэнцүү бөгөөд чиглэл нь векторын чиглэлтэй давхцдаг.
Хоёр вектор нь хэмжээ, чиглэл нь давхцаж байвал тэнцүү байна.
Вектор хэмжигдэхүүнийг геометрийн аргаар нэмдэг (вектор алгебрийн дүрмийн дагуу).
Өгөгдсөн бүрэлдэхүүн векторуудаас вектор нийлбэр олохыг вектор нэмэх гэнэ.
Хоёр векторыг нэмэх нь параллелограмм эсвэл гурвалжны дүрмийн дагуу явагдана. Нийлбэр вектор
c = a + b
векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональтай тэнцүү аТэгээд б. Үүнийг модуль
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Зураг 2). 
α = 90° үед c = √(a 2 + b 2 ) нь Пифагорын теорем юм.
Хэрэв векторын төгсгөлөөс гурвалжингийн дүрмийг ашиглан ижил в векторыг авч болно авекторыг хойш тавь б. Арын вектор c (векторын эхлэлийг холбох аба векторын төгсгөл б) нь нэр томъёоны вектор нийлбэр (бүрэлдэхүүн векторууд аТэгээд б).
Үүссэн вектор нь холбоосууд нь бүрэлдэхүүн векторууд болох тасархай шугамын арын төгсгөл гэж олддог (Зураг 3). 
Жишээ 3.
F 1 = 3 N ба F 2 = 4 N гэсэн хоёр хүчийг нэмнэ, векторууд F 1Тэгээд F 2α 1 = 10 ° ба α 2 = 40 ° өнцгийг давхрагатай тус тус хийнэ.
F = F 1 + F 2(Зураг 4). 
Эдгээр хоёр хүчийг нэмсний үр дүнд үр дүн гэж нэрлэгддэг хүч үүсдэг. Вектор Фвекторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональ дагуу чиглэсэн F 1Тэгээд F 2, хоёр тал ба модуль нь түүний урттай тэнцүү байна.
Вектор модуль Фкосинусын теоремоор олно
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° - 10°)) ≈ 6.8 H.
Хэрэв
(α 2 - α 1) = 90°, дараа нь F = √(F 1 2 + F 2 2).
Вектор болох өнцөг Фнь Ox тэнхлэгтэй тэнцүү бол бид үүнийг томъёогоор олно
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = арктан((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = арктан0.51, α ≈ 0.47 рад.
a векторын Ox (Oy) тэнхлэг дээрх проекц нь векторын чиглэлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах скаляр хэмжигдэхүүн юм. аболон Ox (Oy) тэнхлэг. (Зураг 5) 
Вектор төсөөлөл атэгш өнцөгт координатын системийн Ox болон Oy тэнхлэг дээр. (Зураг 6) 
Векторын тэнхлэгт проекцын тэмдгийг тодорхойлохдоо алдаа гаргахаас зайлсхийхийн тулд дараах дүрмийг санах нь зүйтэй: хэрэв бүрэлдэхүүн хэсгийн чиглэл нь тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байвал векторын проекц нь тэнхлэгт байна. тэнхлэг эерэг, харин бүрэлдэхүүн хэсгийн чиглэл нь тэнхлэгийн чиглэлийн эсрэг байвал векторын проекц нь сөрөг байна. (Зураг 7) 
Векторыг хасах нь эхний вектор дээр эсрэг чиглэлд хоёр дахь вектортой тоогоор тэнцүү вектор нэмэхийг хэлнэ.
a − b = a + (−b) = d(Зураг 8). 
Энэ нь вектороос шаардлагатай байг авекторыг хасах б, тэдгээрийн ялгаа - г. Хоёр векторын ялгааг олохын тулд вектор руу очих хэрэгтэй авектор нэмэх ( −б), өөрөөр хэлбэл вектор d = a - bвекторын эхнээс чиглэсэн вектор байх болно авекторын төгсгөл хүртэл ( −б) (Зураг 9). 
Векторууд дээр баригдсан параллелограммд аТэгээд бхоёр тал, нэг диагональ внийлбэр гэсэн утгатай ба нөгөө г− векторын ялгаа аТэгээд б(Зураг 9).
Векторын бүтээгдэхүүн аскаляраар k тэнцүү вектор б= к а, модуль нь векторын модулиас k дахин их байна а, мөн чиглэл нь чиглэлтэй давхцдаг аэерэг k-ийн хувьд, сөрөг k-ийн эсрэг.
Жишээ 4.
5 м/с хурдтай хөдөлж буй 2 кг жинтэй биеийн импульсийг тодорхойл. (Зураг 10) 
Биеийн импульс х= м v; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с ба хурд руу чиглэсэн v.
Жишээ 5.
E = 400 В/м хүч чадалтай цахилгаан талбарт q = -7.5 nC цэнэгийг байрлуулна. Цэнэгэнд үйлчлэх хүчний хэмжээ ба чиглэлийг ол.
Хүч нь Ф= q Э. Цэнэг нь сөрөг тул хүчний вектор нь векторын эсрэг чиглэлд чиглэнэ Э. (Зураг 11) 
Хэлтэсвектор аскаляр k нь үржүүлэхтэй тэнцэнэ а 1/k.
Цэгтэй бүтээгдэхүүнвекторууд аТэгээд бЭдгээр векторуудын модулиудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинустай тэнцүү скаляр "c" гэж нэрлэдэг.
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Зураг 12) 
Жишээ 6.
Шилжилт S = 7.5 м, хүч ба шилжилтийн хоорондох α өнцөг α = 120 ° бол F = 20 Н тогтмол хүчээр хийсэн ажлыг ол.
Хүчний хийсэн ажил нь тодорхойлолтоор хүч ба шилжилтийн скаляр үржвэртэй тэнцүү байна
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 м × cos120° = -150 × 1/2 = -75 Ж.
Вектор урлагийн бүтээлвекторууд аТэгээд бвектор гэж нэрлэдэг в, a ба b векторуудын үнэмлэхүй утгуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү тоогоор:
c = a × b =,
с = ab × sinα.
Вектор ввекторууд байрлах хавтгайд перпендикуляр аТэгээд б, түүний чиглэл нь векторуудын чиглэлтэй холбоотой аТэгээд ббаруун шурагны дүрэм (Зураг 13). 
Жишээ 7.
Хэрэв дамжуулагчийн гүйдлийн хүч нь 10 А бөгөөд энэ нь талбайн чиглэлтэй α = 30 ° өнцгийг үүсгэдэг бол соронзон орон дээр байрлуулсан 0.2 м урттай, индукц нь 5 Т дамжуулагч дээр үйлчлэх хүчийг тодорхойл.
Амперын хүч
dF = I = Idl × B эсвэл F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 м × 1/2 = 5 Н.
Асуудлыг шийдэх талаар бодож үзээрэй.
1. Модулиуд нь ижил бөгөөд а-тай тэнцүү хоёр векторыг хэрхэн чиглүүлэх вэ, хэрэв тэдгээрийн нийлбэрийн модуль нь: a) 0; б) 2а; в) а; d) a√(2); e) a√(3)?
Шийдэл.
a) Хоёр вектор нэг шулуун шугамын дагуу эсрэг чиглэлд чиглэв. Эдгээр векторуудын нийлбэр нь тэг байна. 
b) Хоёр векторыг нэг шулуун шугамын дагуу нэг чиглэлд чиглүүлсэн. Эдгээр векторуудын нийлбэр нь 2a байна. 
в) Хоёр вектор бие биенээсээ 120° өнцгөөр чиглэнэ. Векторуудын нийлбэр нь a. Үүссэн векторыг косинусын теорем ашиглан олно. 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2,
cosα = −1/2 ба α = 120°.
d) Хоёр вектор бие биедээ 90° өнцгөөр чиглэнэ. Нийлбэрийн модуль нь тэнцүү байна
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 ба α = 90° байна. 
e) Хоёр вектор бие биенээсээ 60° өнцгөөр чиглэнэ. Нийлбэрийн модуль нь тэнцүү байна
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 ба α = 60 °.
Хариулт: Векторуудын хоорондох α өнцөг нь тэнцүү байна: a) 180°; б) 0; в) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Хэрэв a = a 1 + a 2векторуудын чиг баримжаа, векторуудын харилцан чиглэлийн талаар юу хэлж болох вэ a 1Тэгээд a 2, хэрэв: a) a = a 1 + a 2 ; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2; в) a 1 + a 2 = a 1 - a 2?
Шийдэл.
a) Хэрэв векторуудын нийлбэр нь эдгээр векторуудын модулиудын нийлбэрээр олдвол векторууд хоорондоо параллель нэг шулуун шугамын дагуу чиглэнэ. a 1 ||a 2.
б) Хэрэв векторууд өөр хоорондоо өнцгөөр чиглэсэн байвал параллелограммын косинусын теоремыг ашиглан тэдгээрийн нийлбэрийг олно.
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 ба α = 90° байна.
векторууд хоорондоо перпендикуляр байна a 1 ⊥ a 2.
в) Нөхцөл байдал a 1 + a 2 = a 1 - a 2байвал гүйцэтгэж болно a 2− тэг вектор, дараа нь a 1 + a 2 = a 1 .
Хариултууд. A) a 1 ||a 2; б) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− тэг вектор.
3. Биеийн нэг цэгт 60° өнцгөөр тус бүр нь 1.42 Н хоёр хүч үйлчилнэ. Биеийн нэг цэгт тус бүр нь 1.75 Н-тэй хоёр хүчийг ямар өнцгөөр үйлчлэх ёстой вэ, ингэснээр тэдгээрийн үйл ажиллагаа эхний хоёр хүчний үйлчлэлийг тэнцвэржүүлнэ?
Шийдэл.
Асуудлын нөхцлийн дагуу тус бүр нь 1.75 Н-ийн хоёр хүч нь тус бүр нь 1.42 Н-ийн хоёр хүчийг тэнцвэржүүлдэг бөгөөд энэ нь хос хүчний векторуудын модулиуд тэнцүү байвал боломжтой юм. Бид параллелограммын косинусын теоремыг ашиглан үүссэн векторыг тодорхойлно. Эхний хос хүчний хувьд:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2,
хоёр дахь хос хүчний хувьд тус тус
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2.
Тэгшитгэлийн зүүн талыг тэгшитгэх
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Векторуудын хоорондох шаардлагатай β өнцгийг олъё
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Тооцооллын дараа,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90.7°.
Хоёр дахь шийдэл.
OX координатын тэнхлэг дээрх векторуудын проекцийг авч үзье (Зураг). 
Талуудын хоорондын харилцааг ашиглах зөв гурвалжин, бид авдаг
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
хаана
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) ба β ≈ 90.7°.
4. Вектор a = 3i − 4j. |c-ийн скаляр хэмжигдэхүүн ямар байх ёстой вэ а| = 7,5?
Шийдэл.
в а= c( 3i − 4j) = 7,5
Вектор модуль атэнцүү байх болно
a 2 = 3 2 + 4 2, мөн a = ±5,
дараа нь
в.(±5) = 7.5,
үүнийг олъё
c = ±1.5.
5. Векторууд a 1Тэгээд a 2гарал үүслээс гарах ба декартын төгсгөлийн координат (6, 0) ба (1, 4) тус тус байна. Векторыг ол a 3ийм: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Шийдэл.
Декартын координатын систем дэх векторуудыг дүрсэлцгээе (Зураг). 
a) Үхрийн тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор нь байна
a x = 6 + 1 = 7.
Oy тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор нь
a y = 4 + 0 = 4.
Векторуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байхын тулд нөхцөлийг хангасан байх шаардлагатай
a 1 + a 2 = −a 3.
Вектор a 3модуль нь нийт вектортой тэнцүү байх болно a 1 + a 2, гэхдээ эсрэг чиглэлд чиглэсэн. Вектор төгсгөлийн координат a 3(−7, −4) ба модультай тэнцүү байна
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.
B) Ox тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор нь тэнцүү байна
a x = 6 - 1 = 5,
ба Oy тэнхлэгийн дагуу үүссэн вектор
a y = 4 − 0 = 4.
Нөхцөл хангагдсан үед
a 1 − a 2 = −a 3,
вектор a 3 a x = –5, a y = −4 векторын төгсгөлийн координаттай байх ба модуль нь тэнцүү байна.
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.
6. Элч хойд зүгт 30 м, зүүн тийш 25 м, урагшаа 12 м алхаж, дараа нь лифтээр 36 м өндөрт гарахад түүний туулсан зай ба S нүүлгэн шилжүүлэлт ?
Шийдэл.
Асуудалд тайлбарласан нөхцөл байдлыг дурын масштабаар хавтгай дээр дүрсэлж үзье (Зураг). 
Векторын төгсгөл О.А.зүүн тийш 25 м, хойшоо 18 м, дээшээ 36 (25; 18; 36) солбицолтой. Хүний туулсан зам нь тэнцүү байна
L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.
Шилжилтийн векторын хэмжээг томъёог ашиглан олж болно
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
Энд x o = 0, y o = 0, z o = 0 байна.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (м).
Хариулт: L = 103 м, S = 47.4 м.
7. Хоёр векторын хоорондох α өнцөг аТэгээд б 60°-тай тэнцүү байна. Векторын уртыг тодорхойл c = a + bба векторуудын хоорондох β өнцөг аТэгээд в. Векторуудын хэмжээ нь a = 3.0 ба b = 2.0 байна.
Шийдэл.
Вектор урт, хэмжээтэй тэнцүү байнавекторууд аТэгээд бПараллелограммын косинусын теоремыг ашиглан тодорхойлъё (Зураг). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Сэлгээний дараа
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
β өнцгийг тодорхойлохын тулд ABC гурвалжны синусын теоремыг ашиглана.
b/sinβ = a/sin(α − β).
Үүний зэрэгцээ та үүнийг мэдэж байх ёстой
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Энгийн шийдэх тригонометрийн тэгшитгэл, бид илэрхийлэлд хүрнэ
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
тиймээс,
β = арктан(bsinα/(a + bcosα)),
β = арктан(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Гурвалжны косинусын теоремыг ашиглан шалгацгаая.
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
хаана
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Тэгээд
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Хариулт: c ≈ 4.4; β ≈ 23°.
Асуудлыг шийдэх.
8. Векторуудын хувьд аТэгээд бЖишээ 7-д тодорхойлсон векторын уртыг ол d = a - bбулан γ
хооронд аТэгээд г.
9. Векторын проекцийг ол a = 4.0i + 7.0jчиглэл нь Ox тэнхлэгтэй α = 30° өнцөг үүсгэсэн шулуун шугам руу. Вектор ашулуун шугам нь xOy хавтгайд байна.
10. Вектор а AB шулуун шугамаар α = 30 ° өнцгийг үүсгэнэ, a = 3.0. Векторыг AB шулуун шугамаас β ямар өнцгөөр чиглүүлэх вэ? б(b = √(3)) тул вектор c = a + b AB-тай параллель байсан уу? Векторын уртыг ол в.
11. Гурван вектор өгөгдсөн: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. a) олох a+b; б) a+c; V) (а, б); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Векторуудын хоорондох өнцөг аТэгээд бα = 60°, a = 2.0, b = 1.0-тэй тэнцүү байна. Векторуудын уртыг ол c = (a, b)a + bТэгээд d = 2b − a/2.
13. Векторууд гэдгийг батал аТэгээд б a = (2, 1, −5) ба b = (5, −5, 1) бол перпендикуляр байна.
14. Векторуудын хоорондох α өнцгийг ол аТэгээд б, хэрэв a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Вектор а Ox тэнхлэгтэй α = 30 ° өнцгийг үүсгэдэг бөгөөд энэ векторын Oy тэнхлэг дээрх проекц нь y = 2.0-тэй тэнцүү байна. Вектор бвекторт перпендикуляр аба b = 3.0 (зураг харна уу). 
Вектор c = a + b. Олно: a) векторын проекц бҮхэр ба Ой тэнхлэг дээр; b) c-ийн утга ба векторын хоорондох β өнцөг вба Үхрийн тэнхлэг; в) (а, б); г) (а, в).
Хариултууд:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7.0.
10. β = 300°; c = 3.5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2.6; d = 1.7.
14. α = 44.4°.
15. a) b x = −1.5; b y = 2.6; b) c = 5; β ≈ 67°; в) 0; d) 16.0.
Физикийн чиглэлээр суралцсанаар техникийн их сургуульд үргэлжлүүлэн суралцах сайхан боломжууд бий. Энэ нь математик, хими, хэл болон бусад хичээлүүдийн мэдлэгийг зэрэгцүүлэн гүнзгийрүүлэх шаардлагатай болно. Бүгд найрамдах улсын олимпиадын ялагч Савич Егор химийн чиглэлээр мэдлэгт өндөр шаардлага тавьдаг MIPT-ийн нэг факультетийг төгссөн. Хэрэв танд ШУА-ийн химийн чиглэлээр тусламж хэрэгтэй бол мэргэжлийн хүмүүстэй холбоо бариарай, та мэргэшсэн, цаг тухайд нь тусламж авах болно.
Физик, механик, техникийн шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарыг судлахдаа тэдгээрийн тоон утгыг тодорхой зааж өгөх замаар бүрэн тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь нэгж болгон авсан нэгэн төрлийн хэмжигдэхүүнээр хэмжсэний үр дүнд олж авсан тоог ашиглан бүрэн тодорхойлогддог. . Ийм хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг скалярэсвэл товчхондоо скаляр. Жишээлбэл, скаляр хэмжигдэхүүн нь урт, талбай, эзэлхүүн, цаг, масс, биеийн температур, нягтрал, ажил, цахилгаан багтаамж гэх мэт. харгалзах координатын тэнхлэг. Жишээлбэл, цаг хугацаа, температур, урт (туулсан зай) болон бусад тэнхлэгийг ихэвчлэн бүтээдэг.
Янз бүрийн асуудалд скаляр хэмжигдэхүүнүүдээс гадна тоон утгаас гадна орон зай дахь чиглэлийг мэдэх шаардлагатай хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Ийм хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг вектор. Вектор хэмжигдэхүүний физик жишээнд шилжилт орно материаллаг цэгорон зайд хөдөлж, энэ цэгийн хурд ба хурдатгал, түүнчлэн түүнд үйлчлэх хүч, цахилгаан эсвэл соронзон орны хүч. Вектор хэмжигдэхүүнийг жишээлбэл, уур амьсгал судлалд ашигладаг. Цаг уур судлалын энгийн жишээг авч үзье. Хэрэв бид салхи 10 м/с хурдтай салхилж байна гэвэл салхины хурдны скаляр утгыг оруулна, харин хойд салхи 10 м/с хурдтай байна гэвэл энэ тохиолдолд салхины хурд аль хэдийн вектор хэмжигдэхүүн болно.
Вектор хэмжигдэхүүнийг вектор ашиглан илэрхийлнэ.
Вектор хэмжигдэхүүний геометрийн дүрслэлд чиглэсэн сегментүүд, өөрөөр хэлбэл орон зайд тогтмол чиглэлтэй сегментүүдийг ашигладаг. Энэ тохиолдолд сегментийн урт нь тоон утгатай тэнцүү байна вектор хэмжигдэхүүн, түүний чиглэл нь вектор хэмжигдэхүүний чиглэлтэй давхцдаг. Өгөгдсөн вектор хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон чиглүүлсэн сегмент гэж нэрлэдэг геометрийн векторэсвэл зүгээр л вектор.
Векторын тухай ойлголт нь математик болон физик, механикийн олон салбарт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Олон физик хэмжигдэхүүнийг вектор ашиглан дүрсэлж болох бөгөөд энэ дүрслэл нь томъёо, үр дүнг ерөнхийд нь нэгтгэх, хялбаршуулахад ихээхэн хувь нэмэр оруулдаг. Ихэнхдээ вектор хэмжигдэхүүнүүд болон тэдгээрийг илэрхийлдэг векторууд нь бие биентэйгээ тодорхойлогддог: жишээлбэл, хүч (эсвэл хурд) нь вектор гэж хэлдэг.
Вектор алгебрийн элементүүдийг дараахь чиглэлээр ашигладаг: 1) цахилгаан машин; 2) автоматжуулсан цахилгаан хөтөч; 3) цахилгаан гэрэлтүүлэг, цацраг туяа; 4) салаалаагүй хувьсах гүйдлийн хэлхээ; 5) хэрэглээний механик; 6) онолын механик; 7) физик; 8) гидравлик: 9) машины эд анги; 10) материалын бат бөх байдал; 11) удирдлага; 12) хими; 13) кинематик; 14) статик гэх мэт.
2. Векторын тодорхойлолт.Шулуун шугамын сегментийг хоёр тэнцүү цэгээр тодорхойлдог - түүний төгсгөлүүд. Гэхдээ бид эрэмбэлэгдсэн хос цэгээр тодорхойлогдсон чиглэсэн сегментийг авч үзэж болно. Эдгээр цэгүүдийн аль нь эхний (эхлэл), аль нь хоёр дахь (төгсгөл) болохыг мэддэг.
Чиглүүлсэн сегментийг цэгцлэгдсэн хос цэг гэж ойлгодог бөгөөд эхнийх нь А цэгийг түүний эхлэл, хоёр дахь нь B - төгсгөл гэж нэрлэдэг.
Дараа нь доор векторхамгийн энгийн тохиолдолд чиглэсэн сегментийг өөрөө ойлгодог бөгөөд бусад тохиолдолд өөр өөр векторууд нь зарим тодорхой эквивалент хамаарлаар тодорхойлогддог чиглэсэн сегментүүдийн өөр өөр эквивалент ангиуд юм. Түүнээс гадна эквивалентийн хамаарал нь векторын төрлийг тодорхойлдог ("чөлөөт", "тогтмол" гэх мэт) өөр байж болно. Энгийнээр хэлбэл, эквивалент ангилалд багтсан бүх чиглэгдсэн сегментүүдийг бүрэн тэнцүү гэж үздэг бөгөөд тус бүр нь бүхэл бүтэн ангиудыг адил тэгш төлөөлж чадна.
Орон зайн хязгааргүй жижиг өөрчлөлтийг судлахад векторууд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Тодорхойлолт 1.Бид чиглүүлсэн сегментийг (эсвэл ижилхэн, дараалсан хос цэгүүдийг) дуудна. вектор. Сегмент дээрх чиглэлийг ихэвчлэн сумаар тэмдэглэдэг. Дууслаа үсгийн тэмдэглэгээвектор бичихдээ сумыг байрлуулна, жишээлбэл: (энэ тохиолдолд векторын эхлэлд тохирох үсгийг урд нь байрлуулах ёстой). Номонд векторыг илэрхийлсэн үсгүүдийг ихэвчлэн тодоор бичдэг, жишээлбэл: А.
Бид мөн эхлэл ба төгсгөл нь давхцаж байгаа тэг векторыг вектор болгон оруулах болно.
Эхлэл нь төгсгөлтэйгээ давхцаж байгаа векторыг тэг гэнэ. Тэг векторыг энгийнээр 0 гэж тэмдэглэнэ.
Векторын эхлэл ба төгсгөлийн хоорондох зайг түүний гэнэ урт(мөн түүнчлэн модульба үнэмлэхүй утга). Векторын уртыг | гэж тэмдэглэнэ | эсвэл | |. Векторын урт буюу векторын модуль нь харгалзах чиглэсэн сегментийн урт юм: | | = .
Векторуудыг дууддаг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг бол товчхондоо параллель байгаа шугам байгаа бол.
Векторуудыг дууддаг хавтгай, хэрэв тэдгээр нь параллель байх хавтгай байгаа бол тэдгээрийг нэг хавтгай дээр байрлах векторуудаар дүрсэлж болно. Тэг вектор нь тодорхой чиглэлгүй тул аль ч вектортой коллинеар гэж тооцогддог. Түүний урт нь мэдээжийн хэрэг тэг юм. Мэдээжийн хэрэг, дурын хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай байдаг; гэхдээ огторгуй дахь гурван вектор бүр нэгдмэл байдаггүй нь мэдээж. Өөр хоорондоо параллель векторууд нь нэг хавтгайд параллель байдаг тул коллинеар векторууд нь бүр илүү хавтгайрсан байдаг. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: coplanar векторууд коллинеар биш байж болно. Дээр баталсан нөхцлийн дагуу тэг вектор нь дурын вектортой коллинеар, дурын хос вектортой coplanar байна. хэрэв дунд гурван векторядаж нэг нь тэг, тэгвэл тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байна.
2) "Coplanar" гэдэг үг нь үндсэндээ "нийтлэг хавтгайтай байх", өөрөөр хэлбэл "нэг хавтгайд байрлах" гэсэн утгатай. Гэхдээ бид энд дурын аргаар (урт, чиглэлийг өөрчлөхгүйгээр) шилжүүлж болох чөлөөт векторуудын тухай ярьж байгаа тул бид ижил хавтгайтай параллель векторуудыг копланар гэж нэрлэх ёстой, учир нь энэ тохиолдолд тэдгээрийг байрлуулахын тулд шилжүүлж болно. нэг онгоц.
Яриагаа богиносгохын тулд нэг үгээр тохиролцъё: хэрвээ хэд хэдэн чөлөөт векторууд нэг хавтгайд параллель байвал тэдгээрийг копланар гэж хэлэх болно. Ялангуяа хоёр вектор нь үргэлж ижил төстэй байдаг; үүнд итгэлтэй байхын тулд тэдгээрийг нэг цэгээс хойшлуулахад хангалттай. Цаашилбал, хэрэв эдгээр хоёр вектор параллель биш бол өгөгдсөн хоёр вектор параллель байх хавтгайн чиглэл бүрэн тодорхойлогддог нь тодорхой байна. Эдгээр копланар векторууд нь эдгээр векторуудын хавтгайтай параллель байх ямар ч хавтгайг бид зүгээр л нэрлэх болно.
Тодорхойлолт 2.Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал ижил чиглэлтэй, ижил урттай байна.
Хоёр векторын уртын тэгш байдал нь эдгээр векторууд тэнцүү гэсэн үг биш гэдгийг та үргэлж санаж байх ёстой.
Тодорхойлолтын утгаараа гурав дахь нь тус тусад нь тэнцүү хоёр вектор бие биетэйгээ тэнцүү байна. Бүх тэг векторууд хоорондоо тэнцүү байх нь ойлгомжтой.
Энэ тодорхойлолтоос харахад ямар ч А цэгийг сонгосноор бид заримтай тэнцүү A "B" векторыг (мөн зөвхөн нэг) байгуулж болно. өгөгдсөн вектор, эсвэл тэдний хэлснээр векторыг А цэг рүү шилжүүлээрэй."
Сэтгэгдэл. Векторуудын хувьд "илүү" эсвэл "бага" гэсэн ойлголт байдаггүй, өөрөөр хэлбэл. тэдгээр нь тэнцүү эсвэл тэнцүү биш юм.
Урт нь нэгтэй тэнцүү векторыг нэрлэнэ ганц биевектор ба д-ээр тэмдэглэсэн чиглэл нь а векторын чиглэлтэй давхцаж байгаа нэгж векторыг гэнэ ортомвектор бөгөөд a гэж тэмдэглэгдсэн.
3. Векторын өөр нэг тодорхойлолтын тухай. Векторуудын тэгш байдлын тухай ойлголт нь тэгш байдлын тухай ойлголтоос, жишээлбэл, тооноос эрс ялгаатай болохыг анхаарна уу. Тоо бүр зөвхөн өөртэйгээ тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хоёр байна тэнцүү тооямар ч тохиолдолд ижил тоо гэж үзэж болно. Векторуудын хувьд, бидний харж байгаагаар нөхцөл байдал өөр байна: тодорхойлолтоор бол өөр өөр боловч тэнцүү векторууд байдаг. Хэдийгээр ихэнх тохиолдолд бид тэдгээрийг хооронд нь ялгах шаардлагагүй боловч хэзээ нэгэн цагт бид өөр тэнцүү вектор А "В" биш харин векторыг сонирхож магадгүй юм.
Векторуудын тэгш байдлын тухай ойлголтыг хялбарчлахын тулд (мөн үүнтэй холбоотой зарим бэрхшээлийг арилгах) заримдаа векторын тодорхойлолтыг улам хүндрүүлдэг. Бид энэ төвөгтэй тодорхойлолтыг ашиглахгүй, гэхдээ бид үүнийг томъёолох болно. Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд бид доор тодорхойлсон ойлголтыг илэрхийлэхийн тулд "Вектор" (том үсгээр) бичнэ.
Тодорхойлолт 3. Чиглүүлсэн сегментийг өгье. Тодорхойлолт 2-ын утгаараа өгөгдсөнтэй тэнцэх бүх чиглүүлсэн сегментүүдийн олонлогийг нэрлэдэг Вектор.
Тиймээс чиглэсэн сегмент бүр Векторыг тодорхойлдог. Хоёр чиглэгдсэн сегмент нь ижил Векторыг тодорхойлоход хялбар бөгөөд хэрэв тэд тэнцүү бол л болно. Векторуудын хувьд, тоонуудын хувьд тэгш байдал нь давхцлыг илэрхийлдэг: хоёр Вектор нь ижил Вектор байвал л тэнцүү байна.
Орон зайг параллель шилжүүлснээр цэг ба түүний дүрс нь эрэмбэлэгдсэн хос цэгийг бүрдүүлж, чиглэсэн сегментийг тодорхойлох ба тодорхойлолт 2-ын утгаараа ийм чиглэсэн бүх сегментүүд тэнцүү байна. Иймээс орон зайн зэрэгцээ шилжүүлгийг бүрдсэн Вектороор тодорхойлж болно. эдгээр бүх чиглэсэн сегментүүдийн.
Хүчийг чиглэсэн сегментээр төлөөлүүлж болохыг физикийн анхны хичээлээс сайн мэддэг. Гэхдээ үүнийг Вектороор илэрхийлэх боломжгүй, учир нь тэнцүү чиглэсэн сегментүүдээр төлөөлүүлсэн хүч нь ерөнхийдөө өөр өөр үйлдлийг үүсгэдэг. (Хэрэв уян харимхай биед хүч үйлчилдэг бол түүнийг дүрсэлсэн чиглүүлсэн сегментийг түүний байрлах шулуун шугамын дагуу ч шилжүүлэх боломжгүй.)
Энэ нь Векторуудын хамт, өөрөөр хэлбэл ижил чиглэгдсэн сегментүүдийн багц (эсвэл тэдний хэлснээр ангиуд) эдгээр ангиудын бие даасан төлөөлөгчдийг авч үзэх шаардлагатай байгаа шалтгаануудын зөвхөн нэг юм. Ийм нөхцөлд 3-р тодорхойлолтыг хэрэглэх нь илүү хэцүү болно их тоозахиалга Бид 1-р тодорхойлолтыг дагаж мөрдөх болно ерөнхий мэдрэмжБид нарийн тодорхойлогдсон векторын тухай ярьж байна уу, эсвэл түүнтэй тэнцэх хэн нэгнийг оронд нь орлуулж болох уу гэдэг нь үргэлж тодорхой байх болно.
Векторын тодорхойлолттой холбогдуулан уран зохиолоос олдсон зарим үгсийн утгыг тайлбарлах нь зүйтэй.
Скаляр ба вектор хэмжигдэхүүнүүд
- Векторын тооцоо (жишээлбэл, шилжилт (s), хүч (F), хурдатгал (a), хурд (V) энерги (E)).
скаляр хэмжигдэхүүнүүд нь тэдгээрийн тоон утгыг (урт (L), талбай (S), эзэлхүүн (V), цаг (t), масс (м) гэх мэт) зааж өгөх замаар бүрэн тодорхойлогддог.
- Скаляр хэмжигдэхүүнүүд: температур, эзэлхүүн, нягтрал, цахилгаан потенциал, биеийн потенциал энерги (жишээлбэл, таталцлын талбарт). Мөн аливаа векторын модуль (жишээлбэл, доор жагсаасан).
Вектор хэмжигдэхүүн: радиус вектор, хурд, хурдатгал, цахилгаан орны хүч, соронзон орны хүч. Мөн бусад олон :)
- вектор хэмжигдэхүүн нь тоон илэрхийлэл, чиглэлтэй: хурд, хурдатгал, хүч, цахилгаан соронзон индукц, шилжилт гэх мэт, харин скаляр хэмжигдэхүүн нь зөвхөн тоон илэрхийлэлтэй: эзэлхүүн, нягт, урт, өргөн, өндөр, масс (андуурч болохгүй. жинтэй), температур
- вектор, жишээлбэл, хурд (v), хүч (F), шилжилт (s), импульс (p), энерги (E). Эдгээр үсэг бүрийн дээр сум-вектор байрлуулсан байна. ийм учраас тэд вектор юм. ба скаляр нь масс (м), эзэлхүүн (V), талбай (S), цаг (t), өндөр (h) юм.
- Вектор хөдөлгөөн нь шугаман, тангенциал хөдөлгөөн юм.
Скаляр хөдөлгөөн нь векторын хөдөлгөөнийг дэлгэцээр харуулдаг хаалттай хөдөлгөөн юм.
Векторын хөдөлгөөн нь дамжуулагчаар дамжин атомаас атом руу гүйдэл дамждаг шиг зуучлагчаар дамжин скаляраар дамждаг. - Скаляр хэмжигдэхүүнүүд: температур, эзэлхүүн, нягтрал, цахилгаан потенциал, биеийн потенциал энерги (жишээлбэл, таталцлын талбарт). Мөн аливаа векторын модуль (жишээлбэл, доор жагсаасан).
Вектор хэмжигдэхүүн: радиус вектор, хурд, хурдатгал, цахилгаан орны хүч, соронзон орны хүч. Мөн бусад олон: -
- Скаляр хэмжигдэхүүн (скаляр) нь зөвхөн нэг шинж чанартай физик хэмжигдэхүүн юм: тоон утга.
Скаляр хэмжигдэхүүн нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно.
Скаляр хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ: масс, температур, зам, ажил, цаг, үе, давтамж, нягт, энерги, эзэлхүүн, цахилгаан багтаамж, хүчдэл, гүйдэл гэх мэт.
Скаляр хэмжигдэхүүнтэй математик үйлдлүүд нь алгебрийн үйлдэл юм.
Вектор хэмжигдэхүүн
Вектор хэмжигдэхүүн (вектор) нь модуль ба орон зай дахь чиглэл гэсэн хоёр шинж чанартай физик хэмжигдэхүүн юм.
Вектор хэмжигдэхүүний жишээ: хурд, хүч, хурдатгал, хурцадмал байдал гэх мэт.
Геометрийн хувьд векторыг шулуун шугамын чиглүүлсэн сегмент хэлбэрээр дүрсэлсэн бөгөөд түүний урт нь векторын модулийн хэмжээтэй тэнцүү байна.
Вектор хэмжигдэхүүн (вектор)нь модуль ба орон зай дахь чиглэл гэсэн хоёр шинж чанартай физик хэмжигдэхүүн юм.
Вектор хэмжигдэхүүний жишээ: хурд (), хүч (), хурдатгал () гэх мэт.
Геометрийн хувьд векторыг шулуун шугамын чиглүүлсэн сегмент хэлбэрээр дүрсэлсэн бөгөөд урт нь векторын үнэмлэхүй утга юм.
Радиус вектор(ихэвчлэн тэмдэглэсэн эсвэл энгийн) - эх үүсвэр гэж нэрлэгддэг урьдчилан тогтоосон зарим цэгтэй харьцуулахад орон зай дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлдог вектор.
Сансар огторгуйн дурын цэгийн хувьд радиус вектор нь эх цэгээс тухайн цэг рүү шилжих вектор юм.
Радиусын векторын урт буюу түүний модуль нь тухайн цэгийн эхлэлээс ямар зайд байрлахыг тодорхойлох ба сум нь орон зайн энэ цэг хүртэлх чиглэлийг заана.
Хавтгай дээр радиус векторын өнцөг нь радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг чиглэлд х тэнхлэгтэй харьцуулахад эргүүлэх өнцөг юм.
биеийн хөдөлж буй шугамыг гэнэ хөдөлгөөний замнал.Замын хөдөлгөөний хэлбэрээс хамааран бүх хөдөлгөөнийг шулуун ба муруй шугам гэж хувааж болно.
Хөдөлгөөний тайлбар нь тодорхой хугацааны туршид орон зай дахь биеийн байрлал хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ гэсэн асуултын хариултаас эхэлдэг. Биеийн орон зай дахь байрлалын өөрчлөлтийг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Хөдөлж байна- биеийн эхний ба эцсийн байрлалыг холбосон чиглүүлсэн сегмент (вектор).
Хурд(Англи хэлнээс ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг. хурдэсвэл fr. витессе) нь сонгосон лавлах системтэй (жишээлбэл, өнцгийн хурд) харьцангуй орон зай дахь материалын цэгийн хөдөлгөөний хурд ба хөдөлгөөний чиглэлийг тодорхойлдог вектор физик хэмжигдэхүүн юм. Үүнтэй ижил үгийг скаляр хэмжигдэхүүн, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар радиус векторын деривативын модулийг хэлж болно.
Шинжлэх ухаан нь мөн хурдыг ашигладаг өргөн утгаараа, зарим хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурд (заавал радиус вектор биш) нөгөөгөөс хамааран (ихэвчлэн цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөг, гэхдээ бас орон зайд эсвэл бусад). Жишээлбэл, тэд температурын өөрчлөлтийн хурд, хурдны тухай ярьдаг химийн урвал, бүлгийн хурд, холболтын хурд, өнцгийн хурд гэх мэт. Математикийн хувьд функцийн деривативаар тодорхойлогддог.
Хурдатгал(ихэвчлэн онолын механикт тэмдэглэдэг) хурдны цаг хугацааны дериватив нь тухайн цэгийн (биеийн) хурдны вектор нь нэгж хугацаанд шилжихэд хэр их өөрчлөгдөж байгааг харуулсан вектор хэмжигдэхүүн юм (өөрөөр хэлбэл хурдатгал нь зөвхөн хурдатгалын өөрчлөлтийг харгалзан үздэггүй) юм. хурдны хэмжээ, гэхдээ бас түүний чиглэл ).
Жишээлбэл, дэлхийн ойролцоо, дэлхий дээр унасан бие нь агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлож болох тохиолдолд секунд тутамд хурдаа ойролцоогоор 9.8 м/с-ээр нэмэгдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл хурдатгал нь 9.8 м/с²-тэй тэнцүү байна.
Гурван хэмжээст Евклидийн орон зай дахь хөдөлгөөн, түүний бичлэг, түүнчлэн янз бүрийн лавлагааны систем дэх хурд, хурдатгалын бичлэгийг судалдаг механикийн салбарыг кинематик гэж нэрлэдэг.
Хурдатгалын нэгж секундэд метр ( м/с 2, м/с 2), мөн системийн бус нэгж Гал (Гал) байдаг бөгөөд таталцалд хэрэглэгддэг ба 1 см/с 2-тэй тэнцүү.
Цаг хугацааны хувьд хурдатгалын дериватив i.e. Цаг хугацааны явцад хурдатгалын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог хэмжигдэхүүнийг цочрол гэж нэрлэдэг.
Биеийн хамгийн энгийн хөдөлгөөн бол биеийн бүх цэгүүд ижил замаар хөдөлж, ижил замналыг дүрсэлсэн хөдөлгөөн юм. Энэ хөдөлгөөнийг нэрлэдэг дэвшилтэт. Бид ийм төрлийн хөдөлгөөнийг хэлтэрхий нь үргэлж өөртэйгээ зэрэгцээ байхаар хөдөлгөж авдаг. Урагшлах хөдөлгөөний үед траекторууд нь шулуун (Зураг 7, а) эсвэл муруй (Зураг 7, б) шугамууд байж болно.
Хөрвүүлэх хөдөлгөөний үед биед зурсан аливаа шулуун шугам өөртэйгээ параллель хэвээр байдгийг баталж болно. Өгөгдсөн биеийн хөдөлгөөн орчуулгатай эсэх талаар асуултанд хариулахын тулд энэ онцлог шинж чанарыг ашиглах нь тохиромжтой. Жишээлбэл, цилиндр нь хавтгай дагуу эргэлдэж байх үед тэнхлэгийг огтолж буй шулуун шугамууд хоорондоо параллель хэвээр үлддэг: өнхрөх нь хөрвүүлэх хөдөлгөөн биш юм. Хөндлөвч ба дөрвөлжин нь зургийн самбарын дагуу хөдөлж байх үед тэдгээрт зурсан аливаа шулуун шугам нь өөртэйгөө параллель хэвээр байх бөгөөд энэ нь урагш хөдөлнө гэсэн үг юм (Зураг 8). Оёдлын машины зүү, уурын хөдөлгүүр эсвэл хөдөлгүүрийн цилиндр дэх бүлүүр аажмаар хөдөлдөг. дотоод шаталт, машины их бие (гэхдээ дугуй биш!) шулуун зам дээр жолоодох үед гэх мэт.
Өөр нэг энгийн хөдөлгөөн бол хөдөлгөөн юм эргэлтийн хөдөлгөөнбие, эсвэл эргэлт. Эргэлтийн хөдөлгөөний үед биеийн бүх цэгүүд нь шулуун шугам дээр байрладаг тойрог хэлбэрээр хөдөлдөг. Энэ шулуун шугамыг эргэлтийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг (9-р зурагт шулуун шугам 00"). Тойргууд нь эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр зэрэгцээ хавтгайд байрладаг. Эргэлтийн тэнхлэг дээр байрлах биеийн цэгүүд хөдөлгөөнгүй хэвээр байна. Эргэлт биш. орчуулгын хөдөлгөөн: тэнхлэг OO эргэх үед" . Үзүүлсэн траекторууд нь зөвхөн эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамууд зэрэгцээ хэвээр байна.
Үнэхээр хатуу биетэй- материаллаг цэгийн хамт механикийн хоёр дахь туслах объект.
Хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг:
1. Үнэмлэхүй хөшүүн бие гэдэг нь энэ биеийн гүйцэтгэх аливаа хөдөлгөөний үед тэдгээрийн хоорондын зайг хадгалдаг материаллаг цэгүүдийн багцыг илэрхийлдэг сонгодог механикийн загвар ойлголт юм. Өөрөөр хэлбэл, туйлын хатуу бие нь хэлбэр дүрсээ өөрчилдөггүй төдийгүй доторх массын тархалтыг хэвээр хадгалдаг.
2. Үнэмлэхүй хөшүүн бие гэдэг нь зөвхөн хөрвүүлэх болон эргэлтийн эрх чөлөөний зэрэгтэй механик систем юм. “Хатуулаг” гэдэг нь биеийг гажуудуулж болохгүй, өөрөөр хэлбэл хөрвүүлэлтийн болон эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энергиэс өөр энергийг биед шилжүүлэх боломжгүй гэсэн үг юм.
3. Мэдээжийн хэрэг хатуу- ямар ч процесст оролцож байгаагаас үл хамааран аль ч цэгийн харьцангуй байрлал өөрчлөгддөггүй бие (систем).
Гурван хэмжээст орон зайд, холболт байхгүй тохиолдолд туйлын хатуу бие нь 6 градусын эрх чөлөөтэй байдаг: гурван орчуулгын, гурван эргэлтийн. Үл хамаарах зүйл бол хоёр атомт молекул эсвэл сонгодог механикийн хэлээр бол тэг зузаантай хатуу саваа юм. Ийм систем нь зөвхөн хоёр эргэлтийн эрх чөлөөтэй байдаг.
Ажлын төгсгөл -
Энэ сэдэв нь дараах хэсэгт хамаарна.
Батлагдаагүй, үгүйсгэгдээгүй таамаглалыг нээлттэй асуудал гэж нэрлэдэг.
Физик нь математиктай нягт холбоотой байдаг. Математик нь физикийн хуулиудыг нарийн томъёолж болох аппаратаар хангадаг.. онол Грекийн бодол.. онолыг шалгах стандарт арга нь үнэнийг шууд туршилтаар баталгаажуулах туршилтын шалгуур юм.
Хэрэв танд хэрэгтэй бол нэмэлт материалЭнэ сэдвээр, эсвэл та хайж байсан зүйлээ олсонгүй бол манай ажлын мэдээллийн сангаас хайлтыг ашиглахыг зөвлөж байна.
Хүлээн авсан материалыг бид юу хийх вэ:
Хэрэв энэ материал танд хэрэгтэй байсан бол та үүнийг нийгмийн сүлжээн дэх хуудсандаа хадгалах боломжтой.
| Жиргээ |
Энэ хэсгийн бүх сэдвүүд:
Механик дахь харьцангуйн зарчим
Инерцийн лавлагааны систем ба харьцангуйн зарчим.
Галилеогийн өөрчлөлтүүд. Өөрчлөлтийн инвариантууд. Үнэмлэхүй ба харьцангуй хурд, хурдатгал. Тусгай технологийн постулатууд
Материаллаг цэгийн эргэлтийн хөдөлгөөн.
Материаллаг цэгийн эргэлтийн хөдөлгөөн нь тойрог дахь материаллаг цэгийн хөдөлгөөн юм.
Эргэлтийн хөдөлгөөн нь механик хөдөлгөөний нэг төрөл юм. At
Шугаман ба өнцгийн хурд, шугаман ба өнцгийн хурдатгалын векторуудын хамаарал.
Эргэлтийн хөдөлгөөний хэмжүүр: эргэлтийн тэнхлэгт хэвийн хавтгайд цэгийн радиус векторыг эргүүлэх өнцөг φ. Нэг төрлийн эргэлтийн хөдөлгөөнМуруй хөдөлгөөний үед хурд ба хурдатгал.
Муруйн хөдөлгөөн илүү
нарийн төвөгтэй дүр төрх Хөдөлгөөн нь шулуун шугамтай харьцуулахад хөдөлгөөн, учир нь хөдөлгөөн нь хавтгай дээр явагдсан ч биеийн байрлалыг тодорхойлдог хоёр координат өөрчлөгддөг. Хурд баМуруй хөдөлгөөний үед хурдатгал.
харгалзан үзэж байна
муруйн хөдөлгөөн
бие, түүний хурд өөр өөр мөчүүдэд өөр өөр байдгийг бид харж байна. Хурдны хэмжээ өөрчлөгдөхгүй байсан ч хурдны чиглэл өөрчлөгддөг
Ньютоны хөдөлгөөний тэгшитгэл (1) ерөнхий тохиолдолд F хүчМассын төв
инерцийн төв,
геометрийн цэг
, байрлал нь биеийн болон механик систем дэх массын тархалтыг тодорхойлдог. Төвийн массын координатыг томъёогоор тодорхойлно
Массын төвийн хөдөлгөөний хууль.
Импульсийн өөрчлөлтийн хуулийг ашиглан бид массын төвийн хөдөлгөөний хуулийг олж авна: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Системийн массын төв нь ижил аргаар хөдөлдөг.
Ган хавтанг (жишээлбэл, төмөр хөрөө) бага зэрэг нугалж, хэсэг хугацааны дараа суллана. Hacksaw нь бүрэн (ядаж анхны харцаар) хэлбэрээ сэргээх болно гэдгийг бид харах болно. Хэрэв бид авбал
ГАДААД ДОТООД ХҮЧИН
. Механик дээр гадаад хүчөгөгдсөн материаллаг цэгүүдийн системтэй холбоотой (өөрөөр хэлбэл, цэг бүрийн хөдөлгөөн нь бүх тэнхлэгийн байрлал эсвэл хөдөлгөөнөөс хамаардаг материаллаг цэгүүдийн багц.
Кинетик энерги
механик системийн энерги нь түүний цэгүүдийн хөдөлгөөний хурдаас хамаарна. K. e. Материаллаг цэгийн T нь энэ цэгийн m массын үржвэрийн хагасаар хурдны квадратаар хэмжигдэнэ
Кинетик энерги.
Кинетик энерги нь хөдөлгөөнт биеийн энерги юм (Грек үгнээс kinema - хөдөлгөөн). Тодорхойлолтоор бол өгөгдсөн жишиг хүрээн дэх тайван байдалд байгаа аливаа зүйлийн кинетик энерги
Биеийн масс ба хурдны квадратын үржвэрийн хагастай тэнцэх утга.
=Ж.
Кинетик энерги нь СО-ийн сонголтоос хамааран харьцангуй хэмжигдэхүүн юм, учир нь биеийн хурд нь CO-ийн сонголтоос хамаарна.
Тэр.
хүчний момент
· Хүчний момент. Цагаан будаа. Хүч чадлын мөч. Цагаан будаа. Хүчний момент, хэмжигдэхүүн
Эргэдэг биеийн кинетик энерги
Кинетик энерги нь нэмэлт хэмжигдэхүүн юм. Иймд дур зоргоороо хөдөлж буй биеийн кинетик энерги нь бүх n материалын кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Хатуу биеийг эргүүлэх үеийн ажил ба хүч.
Хатуу биеийг эргүүлэх үеийн ажил ба хүч.
Темп дэх ажлын илэрхийлэлийг олцгооё Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэл(5.8) тэгшитгэлийн дагуу эргэлтийн хөдөлгөөний Ньютоны хоёр дахь хууль P
Математикийн хувьд вектор нь тодорхой урттай чиглэсэн сегмент юм. Физикийн хувьд вектор хэмжигдэхүүн гэж ойлгогддог
бүрэн тайлбар
модуль, үйл ажиллагааны чиглэлтэй зарим физик хэмжигдэхүүн. Векторуудын үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье, мөн вектор болох физик хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг авч үзье. Скаляр ба векторууд, хурдатгалын хувьд үүнийг 5 м/с 2-тэй тэнцүү гэж хэлэхэд хангалтгүй байх болно, учир нь та биеийн хурдны эсрэг, энэ хурдны аль нэг өнцгөөр хаашаа чиглүүлж байгааг мэдэх хэрэгтэй. Физик дэх вектор хэмжигдэхүүний жишээ бол хурдатгалаас гадна хурд юм. Мөн энэ ангилалд хүч, цахилгаан талбайн хүч болон бусад зүйлс багтана.
Вектор хэмжигдэхүүнийг орон зайд чиглэсэн сегмент гэж тодорхойлсоны дагуу тодорхой координатын системд авч үзвэл тоонуудын багц (векторын бүрэлдэхүүн хэсэг) хэлбэрээр илэрхийлж болно. Физик, математикийн хувьд ихэвчлэн векторыг дүрслэхийн тулд түүний хоёр (хавтгай дээрх асуудал) эсвэл гурван (сансар огторгуй дахь асуудал) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн талаархи мэдлэг шаардлагатай байдаг.
n хэмжээст орон зай дахь векторын тодорхойлолт
n нь бүхэл тоо болох n хэмжээст орон зайд n бүрэлдэхүүн хэсэг нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд векторыг онцгойлон тодорхойлно. Бүрэлдэхүүн хэсэг бүр нь векторын төгсгөлийн координатыг харгалзах координатын тэнхлэгийн дагуу илэрхийлдэг бөгөөд векторын эхлэл нь n хэмжээст орон зайн координатын системийн эхэнд байгаа тохиолдолд. Үүний үр дүнд векторыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), энд a 1 - скаляр утгавекторын 1-р бүрэлдэхүүн хэсэг v. Үүний дагуу 3 хэмжээст орон зайд векторыг v = (a 1, a 2, a 3), 2 хэмжээст орон зайд - v = (a 1, a 2) гэж бичнэ.
Вектор хэмжигдэхүүнийг хэрхэн тэмдэглэдэг вэ? 1 хэмжээст, 2 хэмжээст, 3 хэмжээст орон зай дахь дурын векторыг А ба В цэгүүдийн хооронд байрлах чиглүүлсэн хэрчмээр дүрсэлж болно. Энэ тохиолдолд үүнийг AB → гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энд сум нь бид нэг хэмжээстийн тухай ярьж байгааг харуулж байна. вектор хэмжигдэхүүн. Үсгүүдийн дарааллыг ихэвчлэн векторын эхнээс төгсгөл хүртэл зааж өгдөг. Энэ нь жишээлбэл, 3 хэмжээст орон зай дахь А ба В цэгүүдийн координатууд (x 1, y 1, z 1) ба (x 2, y 2, z 2) тэнцүү байвал AB → векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд тэнцүү байх болно (x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1).
Векторын график дүрслэл
Зурган дээр вектор хэмжигдэхүүнийг сегмент болгон дүрслэх нь заншилтай байдаг; түүний төгсгөлд дүрслэл болох физик хэмжигдэхүүний үйл ажиллагааны чиглэлийг харуулсан сум байдаг. Энэ сегмент нь ихэвчлэн v → эсвэл F → гэж гарын үсэг зурдаг бөгөөд ингэснээр бид ямар шинж чанарын тухай ярьж байгаа нь тодорхой болно.
Векторын график дүрслэл нь физик хэмжигдэхүүнийг хаана хэрэглэж, ямар чиглэлд үйлчилж байгааг ойлгоход тусална. Нэмж дурдахад, векторууд дээр тэдгээрийн зургийг ашиглан математикийн олон үйлдлийг гүйцэтгэх нь тохиромжтой.
Векторууд дээрх математик үйлдлүүд
Вектор хэмжигдэхүүн нь ердийн тоонуудын нэгэн адил өөр хоорондоо болон бусад тоонуудтай нэмэх, хасах, үржүүлэх боломжтой.
Хоёр векторын нийлбэрийг гурав дахь вектор гэж ойлгодог бөгөөд хэрэв нийлсэн параметрүүдийг эхний векторын төгсгөл нь хоёр дахь векторын эхлэлтэй давхцаж, дараа нь эхний векторын төгсгөл ба эхний векторын төгсгөлийг холбоно. хоёрдугаарт. Энэхүү математик үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд гурван үндсэн аргыг боловсруулсан:
- Параллелограммын арга нь бүтээхээс бүрдэнэ геометрийн дүрсорон зайн нэг цэгээс үүссэн хоёр вектор дээр. Векторуудын гарал үүслийн нийтлэг цэгээс сунаж тогтсон энэ параллелограммын диагональ нь тэдгээрийн нийлбэр болно.
- Олон өнцөгт арга, түүний мөн чанар нь дараагийн вектор бүрийн эхлэл нь өмнөх векторын төгсгөлд байх ёстой бөгөөд дараа нь нийт вектор нь эхний ба сүүлчийнх нь төгсгөлийг холбоно.
- Мэдэгдэж буй векторуудын харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хосоор нэмэхээс бүрдэх аналитик арга.
Вектор хэмжигдэхүүний зөрүүний хувьд эхний параметрийг хоёр дахь параметрийн эсрэг чиглэлд нэмэх замаар сольж болно.
Векторыг тодорхой А тоогоор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ энгийн дүрэм: Векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг энэ тоогоор үржүүлнэ. Үр дүн нь модуль нь анхныхаас А дахин их, чиглэл нь анхныхтай ижил эсвэл эсрэг байх вектор бөгөөд энэ нь бүгд А тооны тэмдгээс хамаарна.
Та вектор эсвэл тоог хувааж болохгүй, харин векторыг А тоонд хуваах нь 1/А тоогоор үржүүлэхтэй адил юм.
Цэг ба хөндлөн бүтээгдэхүүн
Векторын үржүүлгийг хоёр ашиглан хийж болно янз бүрийн аргаар: скаляр ба вектор.
Вектор хэмжигдэхүүний скаляр үржвэр нь тэдгээрийг үржүүлэх арга бөгөөд үр дүн нь нэг тоо, өөрөөр хэлбэл скаляр юм. IN матриц хэлбэр цэгийн бүтээгдэхүүн 1-р векторын эгнээний бүрэлдэхүүн хэсэг болгон 2-р баганын бүрэлдэхүүн хэсэг болгон бичнэ. Үүний үр дүнд n хэмжээст орон зайд бид томъёог авна: (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .
3 хэмжээст орон зайд цэгийн үржвэрийг өөрөөр тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та харгалзах векторуудын модулиудыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл (A → *B →) = |A → |*|B → |*cos(θ AB). Энэ томъёоноос харахад векторууд нэг чиглэлд чиглүүлбэл скаляр үржвэр нь тэдгээрийн модулиудын үржвэртэй тэнцүү байх ба хэрэв векторууд бие биендээ перпендикуляр байвал тэг болно. Тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын модулийг дараах байдлаар тодорхойлно гэдгийг анхаарна уу квадрат язгуурэнэ векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн квадратуудын нийлбэрээс.
Векторын үржвэр нь векторыг вектороор үржүүлэх гэж ойлгогддог бөгөөд үр дүн нь мөн вектор юм. Түүний чиглэл нь үржүүлсэн параметр бүрт перпендикуляр болж, урт нь векторуудын модулиуд ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл A → x B → = |A → | *|B → |*sin(θ AB), энд "x" тэмдэг нь вектор үржвэрийг илэрхийлнэ. Матриц хэлбэрээр энэ төрлийн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлогч байдлаар төлөөлдөг бөгөөд тэдгээрийн мөр нь өгөгдсөн координатын системийн элементар векторууд ба вектор бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд юм.
Скаляр ба вектор урлагийн бүтээлматематик, физикт олон хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход ашигладаг, тухайлбал, дүрсийн талбай, эзэлхүүн.
Хурд ба хурдатгал
Физикийн хувьд хурдыг тухайн материаллаг цэгийн байршлын өөрчлөлтийн хурд гэж ойлгодог. Хурдыг SI нэгжээр секундэд метрээр (м/с) хэмжиж v → тэмдгээр тэмдэглэнэ. Хурдасгал гэдэг нь хурд өөрчлөгдөх хурдыг илэрхийлдэг. Хурдатгалыг метр квадрат секундэд (м/с2) хэмждэг бөгөөд ихэвчлэн a → тэмдгээр тэмдэглэдэг. 1 м/с2 гэсэн утга нь секунд тутамд бие нь хурдаа 1 м/с-ээр нэмэгдүүлнэ гэсэн үг.
Хурд ба хурдатгал нь Ньютоны хоёрдугаар хуулийн томьёо болон биеийг материаллаг цэг болгон шилжүүлэхэд оролцдог вектор хэмжигдэхүүнүүд юм. Хурд нь үргэлж хөдөлгөөний чиглэлийн дагуу чиглэгддэг боловч хурдатгал нь хөдөлж буй биетэй харьцуулахад ямар ч байдлаар чиглэгдэж болно.
Физик хэмжигдэхүүний хүч
Хүч гэдэг нь биетүүдийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн эрчмийг илэрхийлдэг вектор физик хэмжигдэхүүн юм. Үүнийг F → тэмдгээр тэмдэглэж, Ньютоноор (N) хэмждэг. Тодорхойлолтоор бол 1 Н нь 1 кг масстай биеийн хурдыг секунд тутамд 1 м/с өөрчлөх чадвартай хүч юм.
Энэ физик хэмжигдэхүүнийг физикт өргөн ашигладаг, учир нь харилцан үйлчлэлийн үйл явцын энергийн шинж чанарууд үүнтэй холбоотой байдаг. Хүчний мөн чанар нь маш өөр байж болно, жишээлбэл, гарагуудын таталцлын хүч, машиныг хөдөлгөдөг хүч, хатуу орчны уян харимхай хүч, зан төлөвийг тодорхойлдог цахилгаан хүч цахилгаан цэнэг, атомын цөмийн тогтвортой байдлыг тодорхойлдог соронзон, цөмийн хүч гэх мэт.
вектор хэмжигдэхүүн даралт
Хүчний тухай ойлголттой нягт холбоотой өөр нэг хэмжигдэхүүн бол даралт юм. Физикийн хувьд энэ нь түүний үйлчилж буй хэсэг рүү чиглэсэн хүчний хэвийн төсөөлөл гэж ойлгогддог. Хүч бол вектор тул тоог вектороор үржүүлэх дүрмийн дагуу даралт нь мөн вектор хэмжигдэхүүн болно: P → = F → / S, S нь талбай юм. Даралтыг паскаль (Па) -аар хэмждэг бөгөөд 1 Па нь 1 м2 гадаргуу дээр 1 Н перпендикуляр хүч үйлчлэх параметр юм. Тодорхойлолт дээр үндэслэн даралтын вектор нь хүчний вектортой ижил чиглэлд чиглэнэ.
Физикийн хувьд даралтын тухай ойлголтыг шингэн ба хий дэх үзэгдлийг судлахад ихэвчлэн ашигладаг (жишээлбэл, Паскалийн хууль эсвэл төлөв байдлын идеал хийн тэгшитгэл). Даралт нь биеийн температуртай нягт холбоотой байдаг, учир нь атом ба молекулуудын кинетик энерги нь температур нь даралтын оршин тогтнох мөн чанарыг тайлбарладаг.
Цахилгаан талбайн хүч
Аливаа цэнэглэгдсэн биеийн эргэн тойронд цахилгаан орон байдаг бөгөөд түүний хүчний шинж чанар нь түүний эрчим юм. Энэ эрчмийг цахилгаан талбайн өгөгдсөн цэг дээр энэ цэг дээр байрлуулсан нэгж цэнэгт үйлчлэх хүч гэж тодорхойлдог. Цахилгаан талбайн хүчийг E → үсгээр тэмдэглэж, нэг кулон тутамд Ньютоноор (N/C) хэмжинэ. Эрчим хүчний вектор нь эерэг цэнэгтэй бол цахилгаан талбайн шугамын дагуу, сөрөг цэнэгтэй бол түүний эсрэг чиглэнэ.
Цэгэн цэнэгийн улмаас үүссэн цахилгаан орны хүчийг Кулоны хуулийг ашиглан аль ч цэг дээр тодорхойлж болно.
Соронзон индукц
Соронзон орон нь 19-р зуунд эрдэмтэд Максвелл, Фарадей нар харуулсан бөгөөд цахилгаан оронтой нягт холбоотой байдаг. Тиймээс өөрчлөгдөж буй цахилгаан орон нь соронзон орон үүсгэдэг ба эсрэгээр. Иймээс хоёр төрлийн талбайг цахилгаан соронзон физик үзэгдлийн үүднээс тайлбарласан болно.
Соронзон индукц нь соронзон орны хүчний шинж чанарыг тодорхойлдог. Соронзон индукц нь скаляр эсвэл вектор хэмжигдэхүүн мөн үү? Энэ нь соронзон орны v → хурдтай нисч буй q цэнэгт үйлчлэх F → хүчээр тодорхойлогддог гэдгийг мэдэж байвал F → = q*|v → x B → томъёогоор ойлгож болно. |, энд B → - соронзон индукц. Тиймээс соронзон индукц нь скаляр эсвэл вектор хэмжигдэхүүн мөн үү гэсэн асуултад хариулахдаа энэ нь хойд соронзон туйлаас урагш чиглэсэн вектор гэж хэлж болно. B нь → teslas (T) -ээр хэмжигддэг.
Канделагийн физик хэмжигдэхүүн
Вектор хэмжигдэхүүний өөр нэг жишээ бол 1 стерадианы өнцгөөр хязгаарлагдсан гадаргуугаар дамжин өнгөрч буй люменээр хэмжигдэх гэрлийн урсгал гэж физикт нэвтэрсэн кандела юм. Кандела нь гэрлийн урсгалын нягтыг илэрхийлдэг тул гэрлийн тод байдлыг тусгадаг.