6 ба 5 тоонуудын арифметик дундаж. Тоонуудын арифметик дундаж ба геометрийн дундажийг хэрхэн олох вэ

Энэ нь дундажийг тооцоход алдагддаг.

Дундаж утга учиртооны багц нь S тоонуудын нийлбэрийг эдгээр тоонуудын тоонд хуваасантай тэнцүү байна. Энэ нь ийм болж байна дундаж утга учиртэнцүү: 19/4 = 4.75.

тэмдэглэл

Хэрэв та ердөө хоёр тооны геометрийн дундажийг олох шаардлагатай бол инженерийн тооцоолуур хэрэггүй: хоёр дахь үндсийг ав ( Квадрат язгуур) аль ч тооноос хамгийн энгийн тооны машин ашиглан хийж болно.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Арифметик дундажаас ялгаатай нь геометрийн дундаж нь судалж буй үзүүлэлтүүдийн багц дахь бие даасан утгуудын хоорондох том хазайлт, хэлбэлзэлд тийм ч хүчтэй нөлөөлдөггүй.

Эх сурвалжууд:

• Геометрийн дундажийг тооцоолох онлайн тооцоолуур
• дундаж геометрийн томъёо

Дундажутга нь олон тооны тооны шинж чанаруудын нэг юм. Хамгийн том багаар тодорхойлсон мужаас гадуур байж болохгүй тоог илэрхийлнэ хамгийн бага утгуудэнэ багц тоонд. Дундажарифметик утга нь дундажийн хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг төрөл юм.

Зааварчилгаа

Багц дахь бүх тоог нэмээд гишүүний тоонд хувааж арифметик дундажийг гарга. Тооцооллын тодорхой нөхцлөөс хамааран тоо бүрийг багц дахь утгын тоогоор хувааж, үр дүнг нэгтгэх нь заримдаа хялбар байдаг.

Жишээлбэл, толгойн арифметик дундажийг тооцоолох боломжгүй бол Windows үйлдлийн системд багтсан хэрэглээрэй. Та програмыг эхлүүлэх харилцах цонхыг ашиглан үүнийг нээж болно. Үүнийг хийхийн тулд WIN + R товчийг дарж эсвэл Start товчийг дараад үндсэн цэснээс Run командыг сонгоно уу. Дараа нь оруулах талбарт calc гэж бичээд Enter товчийг дарах эсвэл OK товчийг дарна уу. Үүнтэй ижил зүйлийг үндсэн цэсээр хийж болно - үүнийг нээгээд "Бүх програмууд" хэсэг болон "Стандарт" хэсэгт очоод "Тооцоолуур" гэсэн мөрийг сонгоно уу.

Багц дахь бүх тоонуудыг дарааллаар нь оруулаад тэдгээрийн араас нэмэх товчийг дарж (сүүлийнхээс бусад) эсвэл тооцоолуурын интерфейсийн харгалзах товчийг дарна уу. Та мөн гараас эсвэл холбогдох интерфейсийн товчлуур дээр дарж тоо оруулах боломжтой.

Талуур зураасыг дарах эсвэл оруулсны дараа тооцоолуурын интерфейс дээр дарна уу сүүлчийн утгадараалсан тооны тоог тохируулж хэвлэнэ. Дараа нь тэнцүү тэмдгийг дарахад тооцоолуур нь арифметик дундажийг тооцоолж харуулах болно.

Үүнтэй ижил зорилгоор та хүснэгт засварлагчийг ашиглаж болно. Microsoft Excel. Энэ тохиолдолд засварлагчийг ажиллуулж, зэргэлдээх нүднүүдэд тоонуудын дарааллын бүх утгыг оруулна уу. Хэрэв та тоо бүрийг оруулсны дараа Enter товч эсвэл доош эсвэл баруун сумыг дарвал засварлагч өөрөө оролтын фокусыг зэргэлдээх нүд рүү шилжүүлнэ.

Хэрэв та дундажийг харахыг хүсэхгүй байгаа бол сүүлийн оруулсан тооны хажууд байгаа нүдэн дээр дарна уу. Нүүр хуудас таб дээрх Засах командуудын Грекийн сигма (Σ) унждаг цэсийг өргөжүүлнэ үү. мөрийг сонгоно уу " Дундаж" гэсэн ба редактор нь сонгосон нүдэнд арифметик дундажийг тооцоолох томьёог оруулах болно. Enter товчийг дарснаар утгыг тооцоолох болно.

Арифметик дундаж нь математик, статистикийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг төв хандлагын хэмжүүрүүдийн нэг юм. Хэд хэдэн утгын арифметик дундажийг олох нь маш энгийн боловч даалгавар бүр өөрийн гэсэн нюанстай байдаг бөгөөд үүнийг зөв тооцоолол хийхийн тулд мэдэх шаардлагатай.

Арифметик дундаж гэж юу вэ

Арифметик дундаж нь бүх тооны анхны массивын дундаж утгыг тодорхойлдог. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой тооны багцаас бүх элементүүдэд нийтлэг утгыг сонгосон бөгөөд математикийн харьцуулалт нь бүх элементүүдтэй ойролцоогоор тэнцүү байна. Арифметик дундажийг голчлон санхүү, статистикийн тайлан гаргах эсвэл ижил төстэй туршилтын үр дүнг тооцоолоход ашигладаг.

Арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ

Тоонуудын массивын арифметик дундажийг олох нь эдгээр утгуудын алгебрийн нийлбэрийг тодорхойлох замаар эхлэх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв массив нь 23, 43, 10, 74, 34 тоонуудыг агуулж байвал тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр нь 184-тэй тэнцүү байх болно. Бичих үед арифметик дундажийг μ (mu) эсвэл x (x бүхий a) үсгээр тэмдэглэнэ. бар). Дараа нь алгебрийн нийлбэрийг массив дахь тоонуудын тоонд хуваах хэрэгтэй. Харж буй жишээнд таван тоо байсан тул арифметик дундаж нь 184/5-тай тэнцүү бөгөөд 36.8 болно.

Сөрөг тоотой ажиллах онцлог

Хэрэв массив нь сөрөг тоонуудыг агуулж байвал арифметик дундажийг ижил төстэй алгоритм ашиглан олно. Ялгаа нь зөвхөн програмчлалын орчинд тооцоолох үед эсвэл асуудал нэмэлт нөхцөлтэй үед л бий болно. Эдгээр тохиолдолд тоонуудын арифметик дундажийг олох өөр өөр шинж тэмдэггурван үе шаттай:

1. Стандарт аргыг ашиглан ерөнхий арифметик дундажийг олох;
2. Сөрөг тооны арифметик дундажийг олох.
3. Эерэг тооны арифметик дундажийг тооцоолох.

Үйлдэл бүрийн хариултыг таслалаар тусгаарлан бичнэ.

Натурал ба аравтын бутархай

Хэрэв тоонуудын массив гарч ирвэл аравтын бутархай, шийдлийг бүхэл тооны арифметик дундажийг тооцоолох аргыг ашиглан гүйцэтгэдэг боловч хариултын үнэн зөв байхын тулд асуудлын шаардлагын дагуу үр дүн нь буурдаг.

Хамт ажиллаж байхдаа байгалийн фракцуудтэднийг авчрах ёстой Ерөнхий хуваарь, энэ нь массив дахь тооны тоогоор үрждэг. Хариултын тоологч нь анхны бутархай элементүүдийн өгөгдсөн тооны нийлбэр байх болно.

Инженерийн тооцоолуур.

Зааварчилгаа

Ерөнхийдөө тоонуудын геометрийн дундаж нь эдгээр тоонуудыг үржүүлж, тэдгээрээс тоонуудын тоотой тохирч буй хүчний үндсийг авах замаар олддог гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, хэрэв та таван тооны геометрийн дундажийг олох шаардлагатай бол тухайн бүтээгдэхүүнээс хүч чадлын үндсийг гаргаж авах шаардлагатай болно.

Хоёр тооны геометрийн дундажийг олохын тулд үндсэн дүрмийг ашиглана уу. Тэдний үржвэрийг олоод дараа нь язгуурын язгуурыг ав, учир нь тоо нь хоёр бөгөөд энэ нь язгуурын чадалтай тохирч байна. Жишээлбэл, 16 ба 4 тоонуудын геометрийн дундажийг олохын тулд тэдгээрийн үржвэр 16 4 = 64-ийг ол. Гарсан тооноос √64=8 квадрат язгуурыг гарга. Энэ нь хүссэн үнэ цэнэ байх болно. Эдгээр хоёр тооны арифметик дундаж нь 10-аас их ба тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв үндсийг бүхэлд нь гаргаагүй бол үр дүнг хүссэн дарааллаар нь дугуйлна уу.

Хоёроос дээш тооны геометрийн дундажийг олохын тулд үндсэн дүрмийг ашиглана уу. Үүнийг хийхийн тулд геометрийн дундажийг олох шаардлагатай бүх тооны үржвэрийг ол. Үүссэн бүтээгдэхүүнээс тооны тоотой тэнцүү чадлын үндсийг гаргаж авна. Жишээлбэл, 2, 4, 64 тоонуудын геометрийн дундажийг олохын тулд тэдгээрийн үржвэрийг ол. 2 4 64=512. Гурван тооны геометрийн дундаж үр дүнг олох шаардлагатай тул үр дүнгээс гурав дахь үндсийг авна. Үүнийг амаар хийхэд хэцүү байдаг тул инженерийн тооцоолуур ашиглана уу. Энэ зорилгоор "x^y" товчлууртай. 512 дугаарыг залгаад "x^y" товчийг дараад 3 дугаарыг залгаад "1/x" товчийг дарж 1/3-ын утгыг олохын тулд "=" товчийг дарна уу. Бид 512-ыг 1/3 хүртэл өсгөсний үр дүнг авдаг бөгөөд энэ нь гурав дахь үндэстэй тохирч байна. 512^1/3=8 авна. Энэ нь 2.4 ба 64 тоонуудын геометрийн дундаж юм.

Инженерийн тооцоолуур ашиглан геометрийн дундажийг өөр аргаар олох боломжтой. Гар дээрх бүртгэлийн товчийг олоорой. Үүний дараа тоо тус бүрийн логарифмыг авч, нийлбэрийг нь олоод тооны тоонд хуваана. Гарсан тооноос антилогарифмыг авна. Энэ нь тоонуудын геометрийн дундаж болно. Жишээлбэл, ижил тооны 2, 4, 64-ийн геометрийн дундажийг олохын тулд тооны машин дээр хэд хэдэн үйлдлийг гүйцэтгэнэ. 2 дугаарыг залгаад бүртгэлийн товчийг дарж, "+" товчийг дарж, 4 дугаарыг залгаад лог болон "+" товчийг дахин дарж, 64 руу залгаад log, "=" товчийг дарна уу. Үр дүн нь тоо байх болно нийлбэртэй тэнцүү байна 2, 4, 64 тоонуудын аравтын бутархай логарифмууд. Гарсан тоог 3-т хуваа, учир нь энэ нь геометрийн дундажийг хайж буй тоонуудын тоо юм. Үр дүнгээс харгалзах товчийг сольж антилогарифмыг аваад ижил бүртгэлийн товчлуурыг ашиглана уу. Үр дүн нь 8 тоо байх болно, энэ нь хүссэн геометрийн дундаж юм.

Математикийн хувьд тоонуудын арифметик дундаж (эсвэл зүгээр л дундаж) нь тухайн багц дахь бүх тоонуудын нийлбэрийг тоонд хуваасан юм. Энэ бол дундаж утгын хамгийн ерөнхий бөгөөд өргөн тархсан ойлголт юм. Та аль хэдийн ойлгосноор олохын тулд танд өгсөн бүх тоог нэгтгэн дүгнэж, үр дүнг нэр томъёоны тоонд хуваах хэрэгтэй.

Арифметик дундаж нь юу вэ?

Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ 1. Өгөгдсөн тоо: 6, 7, 11. Та тэдгээрийн дундаж утгыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл.

Эхлээд эдгээр бүх тооны нийлбэрийг олъё.

Одоо үүссэн нийлбэрийг гишүүний тоонд хуваа. Бид гурван нэр томъёотой тул бид гурав хуваах болно.

Тиймээс 6, 7, 11 тоонуудын дундаж нь 8. Яагаад 8 вэ? Тийм ээ, учир нь 6, 7, 11-ийн нийлбэр нь гурван наймтай ижил байх болно. Үүнийг дүрслэлээс тодорхой харж болно.

Дундаж нь хэд хэдэн тооны "үдшийн" шиг жаахан юм. Таны харж байгаагаар овоолсон харандаанууд ижил түвшинд болжээ.

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэхийн тулд өөр жишээг авч үзье.

Жишээ 2.Өгөгдсөн тоо: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Та тэдгээрийн арифметик дундажийг олох хэрэгтэй.

Шийдэл.

Хэмжээг нь ол.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Нэр томъёоны тоогоор хуваана (энэ тохиолдолд - 15).

Тиймээс энэ цуврал тоонуудын дундаж утга 22 байна.

Одоо сөрөг тоонуудыг харцгаая. Тэдгээрийг хэрхэн нэгтгэн дүгнэхийг санацгаая. Жишээлбэл, танд 1 ба -4 гэсэн хоёр тоо байна. Тэдний нийлбэрийг олцгооё.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Үүнийг мэдэж байгаа тул өөр нэг жишээг харцгаая.

Жишээ 3.Цуврал тоонуудын дундаж утгыг ол: 3, -7, 5, 13, -2.

Шийдэл.

Тоонуудын нийлбэрийг ол.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

5 гишүүн байгаа тул гарсан нийлбэрийг 5-д хуваа.

Тиймээс 3, -7, 5, 13, -2 тоонуудын арифметик дундаж нь 2.4 байна.

Технологийн дэвшил хөгжиж буй өнөө үед дундаж утгыг олохын тулд компьютерийн програмуудыг ашиглах нь илүү тохиромжтой. Тэдний нэг нь Microsoft Office Excel юм. Excel дээр дундаж утгыг олох нь хурдан бөгөөд хялбар байдаг. Түүнчлэн, энэ програм нь Microsoft Office програм хангамжийн багцад багтсан болно. Ингээд авч үзье товч заавар, энэ програмыг ашиглан үнэ цэнэтэй.

Цуврал тоонуудын дундаж утгыг тооцоолохын тулд та AVERAGE функцийг ашиглах ёстой. Энэ функцийн синтакс нь:
= Дундаж(аргумент1, аргумент2, ... аргумент255)
Энд аргумент1, аргумент2, ... аргумент255 нь тоо эсвэл нүдний лавлагаа (нүд нь муж болон массивыг хэлнэ).

Илүү ойлгомжтой болгохын тулд олж авсан мэдлэгээ туршиж үзье.

1. C1 - C6 нүдэнд 11, 12, 13, 14, 15, 16 тоонуудыг оруулна уу.
2. Үүн дээр дарж C7 нүдийг сонгоно уу. Энэ нүдэнд бид дундаж утгыг харуулах болно.
3. Томъёо таб дээр дарна уу.
4. Нээх бол More Functions > Statistical-г сонго
5. AVERAGE-г сонгоно уу. Үүний дараа харилцах цонх нээгдэх ёстой.
6. Харилцах цонхны мужийг тохируулахын тулд C1-C6 нүднүүдийг сонгоод чирнэ үү.
7. "OK" товчлуураар үйлдлээ баталгаажуулна уу.
8. Хэрэв та бүх зүйлийг зөв хийсэн бол C7 - 13.7 нүдэнд хариулт байх ёстой. C7 нүдэн дээр дарахад томьёоны мөрөнд (=Average(C1:C6)) функц гарч ирнэ.

Энэ функц нь нягтлан бодох бүртгэл, нэхэмжлэх, эсвэл маш урт цувралын дундажийг олоход маш их хэрэгтэй байдаг. Тиймээс энэ нь ихэвчлэн оффис, томоохон компаниудад ашиглагддаг. Энэ нь таны бүртгэлийг эмх цэгцтэй байлгах боломжийг олгодог бөгөөд ямар нэгэн зүйлийг хурдан тооцоолох боломжтой болгодог (жишээлбэл, сарын дундаж орлого). Та Excel програмыг ашиглан функцийн дундаж утгыг олох боломжтой.

Excel дээр дундаж утгыг олохын тулд (тоон, текст, хувь эсвэл бусад утга байхаас үл хамааран) олон функц байдаг. Мөн тус бүр өөрийн гэсэн онцлог, давуу талтай. Үнэн хэрэгтээ энэ даалгаварт тодорхой нөхцөлүүдийг тавьж болно.

Жишээлбэл, Excel-ийн цуврал тоонуудын дундаж утгыг статистик функц ашиглан тооцдог. Та мөн өөрийн томъёог гараар оруулж болно. Төрөл бүрийн хувилбаруудыг авч үзье.

Тоонуудын арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ?

Арифметик дундажийг олохын тулд олонлогийн бүх тоог нэмж, нийлбэрийг тоонд хуваах хэрэгтэй. Тухайлбал, компьютерийн хичээлээр сурагчийн авсан дүн: 3, 4, 3, 5, 5. Улиралд юу багтдаг вэ: 4. Арифметик дундажийг =(3+4+3+5+5) томъёогоор оллоо. /5.

Үүнийг ашиглан хэрхэн хурдан хийх вэ Excel функцууд? Жишээлбэл, цувралыг авч үзье санамсаргүй тоошугаманд:

Эсвэл: идэвхтэй нүдийг хийж, томъёог гараар оруулна: = AVERAGE(A1:A8).

Одоо AVERAGE функц өөр юу хийж чадахыг харцгаая.

Эхний хоёр ба гурвын арифметик дундажийг олъё сүүлийн тоонууд. Томъёо: =ДУНДЖ(A1:B1,F1:H1). Үр дүн:



Нөхцөл байдал дундаж

Арифметик дундажийг олох нөхцөл нь тоон шалгуур эсвэл текст байж болно. Бид функцийг ашиглана: =AVERAGEIF().

Дундажыг ол арифметик тоо 10-аас их буюу тэнцүү байна.

Функц: =ДУНДАЖ(A1:A8,">=10")

">=10" нөхцөлд AVERAGEIF функцийг ашигласны үр дүн:

Гурав дахь аргумент болох "Дунджийн муж" -ыг орхигдуулсан. Юуны өмнө энэ нь шаардлагагүй юм. Хоёрдугаарт, програмын дүн шинжилгээ хийсэн муж нь ЗӨВХӨН тоон утгыг агуулна. Эхний аргументад заасан нүднүүдийг хоёр дахь аргументад заасан нөхцлийн дагуу хайх болно.

Анхаар! Хайлтын шалгуурыг нүдэнд зааж өгч болно. Мөн томъёонд үүнтэй холбогдох холбоосыг хий.

Текстийн шалгуурыг ашиглан тоонуудын дундаж утгыг олъё. Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний дундаж борлуулалт "хүснэгтүүд".

Функц нь иймэрхүү харагдах болно: = AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Хүрээ – бүтээгдэхүүний нэр бүхий багана. Хайлтын шалгуур нь "хүснэгтүүд" гэсэн үгтэй нүд рүү холбох холбоос юм (та A7 холбоосын оронд "хүснэгт" гэсэн үгийг оруулж болно). Дундаж муж - дундаж утгыг тооцоолохдоо өгөгдөл авах нүднүүд.

Функцийг тооцоолсны үр дүнд бид олж авна дараагийн утга:

Анхаар! Текстийн шалгуурын (нөхцөл) хувьд дундаж хүрээг зааж өгөх ёстой.

Excel дээр жигнэсэн дундаж үнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Бид жигнэсэн дундаж үнийг хэрхэн олж мэдсэн бэ?

Томъёо: = СУПРОДУКТ(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

SUMPRODUCT томьёог ашиглан бид бүхэл бүтэн барааг борлуулсны дараа нийт орлогыг олдог. Мөн SUM функц нь барааны тоог нэгтгэн гаргадаг. Бараа борлуулсны нийт орлогыг нийт нэгжийн барааны тоонд хувааснаар бид жигнэсэн дундаж үнийг оллоо. Энэ үзүүлэлт нь үнэ бүрийн "жин"-ийг харгалзан үздэг. Нийт үнэ цэнийн масс дахь түүний эзлэх хувь.

Стандарт хазайлт: Excel-ийн томъёо

Нийт хүн ам болон түүврийн хувьд стандарт хазайлт байдаг. Эхний тохиолдолд энэ нь ерөнхий дисперсийн үндэс юм. Хоёрдугаарт, түүврийн хэлбэлзлээс.

Энэхүү статистик үзүүлэлтийг тооцоолохын тулд дисперсийн томъёог эмхэтгэсэн болно. Үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг. Гэхдээ Excel-д стандарт хазайлтыг олоход бэлэн функц байдаг.

Стандарт хазайлт нь эх өгөгдлийн масштабтай холбоотой байдаг. Энэ нь дүн шинжилгээ хийсэн хүрээний өөрчлөлтийг дүрслэн харуулахад хангалтгүй юм. Өгөгдлийн тархалтын харьцангуй түвшинг олж авахын тулд хэлбэлзлийн коэффициентийг тооцоолно.

стандарт хазайлт / арифметик дундаж

Excel дээрх томъёо дараах байдалтай байна.

STDEV (утгын муж) / AVERAGE (утгын муж).

Өөрчлөлтийн коэффициентийг хувиар тооцно. Тиймээс бид нүдэнд эзлэх хувийн форматыг тохируулсан.

Тоонуудын арифметик дундаж гэсэн ойлголт нь урьдчилан тодорхойлсон хэд хэдэн тооны дундаж утгыг тооцоолох энгийн дарааллын үр дүнг хэлнэ. Энэ үнэ цэнэ нь дотор байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй хугацаа өгсөнолон салбарын мэргэжилтнүүд өргөнөөр ашигладаг. Жишээлбэл, эдийн засагчид эсвэл статистикийн салбарын ажилчдын тооцоолол хийх үед томъёог мэддэг бөгөөд энэ нь үнэ цэнэтэй байх шаардлагатай байдаг. энэ төрлийн. Нэмж дурдахад энэ үзүүлэлтийг дээр дурдсантай холбоотой бусад олон салбарт идэвхтэй ашигладаг.

Тооцооллын нэг онцлог өгөгдсөн үнэ цэнэЭнэ нь процедурын энгийн байдал юм. Тооцоолол хийхХэн ч үүнийг хийж чадна. Үүнийг хийхийн тулд танд байх шаардлагагүй тусгай боловсрол. Ихэнхдээ компьютерийн технологийг ашиглах шаардлагагүй байдаг.

Арифметик дундажийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулахын тулд хэд хэдэн нөхцөл байдлыг авч үзье.

Хамгийн энгийн сонголтөгөгдсөн утгыг тооцоолох нь үүнийг хоёр тоогоор тооцоолох явдал юм. Энэ тохиолдолд тооцоолох журам нь маш энгийн:

1. Эхлээд та сонгосон тоонуудыг нэмэх үйлдлийг хийх хэрэгтэй. Үүнийг ихэвчлэн электрон төхөөрөмж ашиглахгүйгээр гараар хийж болно.
2. Нэмэлтийг хийж, үр дүнг гаргасны дараа хуваах шаардлагатай. Энэ үйлдэл нь хоёр нэмсэн тооны нийлбэрийг хоёрт хуваах явдал юм - нэмсэн тооны тоо. Энэ нь шаардлагатай утгыг олж авах боломжийг танд олгоно.

Томъёо

Тиймээс, хоёр тохиолдолд шаардлагатай утгыг тооцоолох томъёо дараах байдлаар харагдах болно.

(A+B)/2

Энэ томьёо нь дараах тэмдэглэгээг ашигладаг.

А ба В нь урьдчилан сонгосон тоо бөгөөд тэдгээрийн утгыг олох шаардлагатай.

Гуравын утгыг олох

Гурван тоог сонгосон тохиолдолд энэ утгыг тооцоолох нь өмнөх сонголтоос тийм ч их ялгаатай биш юм.

1. Үүнийг хийхийн тулд тооцоололд шаардлагатай тоонуудыг сонгоод нийт дүнг авахын тулд нэмнэ.
2. Энэ гурвын нийлбэр олдсоны дараа хуваах процедурыг дахин хийх ёстой. Энэ тохиолдолд үр дүнгийн дүнг гуравт хуваах ёстой бөгөөд энэ нь сонгосон тооны тоотой тохирч байна.

Томъёо

Тиймээс арифметик гурвыг тооцоолоход шаардлагатай томъёо дараах байдалтай байна.

(A+B+C)/3

Энэ томъёондДараах тэмдэглэгээг хүлээн авна.

A, B, C нь арифметик дундажийг олох шаардлагатай тоонууд юм.

Дөрөвийн арифметик дундажийг тооцоолох

Өмнөх сонголтуудтай аналогиас харахад дөрөвтэй тэнцэх хэмжигдэхүүнд энэ утгыг тооцоолох нь дараах дарааллаар явагдана.

1. Арифметик дундажийг тооцоолох дөрвөн оронтой тоог сонгосон. Дараа нь нийлбэрийг хийж, энэ процедурын эцсийн үр дүнг олно.
2. Одоо эцсийн үр дүнг авахын тулд та дөрвийн нийлбэрийг аваад дөрөвт хуваах хэрэгтэй. Хүлээн авсан өгөгдөл нь шаардлагатай утга байх болно.

Томъёо

Дөрөв дэх арифметик дундажийг олохын тулд дээр дурдсан үйлдлүүдийн дарааллаас та дараах томъёог гаргаж болно.

(A+B+C+E)/4

Энэ томъёондхувьсагч нь дараах утгатай байна.

A, B, C, E нь арифметик дундаж утгыг олох шаардлагатай байдаг.

Энэ томъёог ашигласнаар өгөгдсөн тооны тоонд шаардлагатай утгыг тооцоолох боломжтой болно.

Тавын арифметик дундажийг тооцоолох

Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд тодорхой үйлдлийн алгоритм шаардлагатай болно.

1. Юуны өмнө та арифметик дундажийг тооцоолох таван тоог сонгох хэрэгтэй. Энэ сонгон шалгаруулалтын дараа өмнөх сонголтуудын нэгэн адил эдгээр тоонуудыг нэмж, эцсийн дүнг авах шаардлагатай.
2. Үүссэн дүнг таваар нь хуваах шаардлагатай бөгөөд энэ нь шаардлагатай утгыг авах боломжийг танд олгоно.

Томъёо

Тиймээс, өмнө нь авч үзсэн хувилбаруудын нэгэн адил бид арифметик дундажийг тооцоолох дараах томъёог олж авна.

(A+B+C+E+P)/5

Энэ томъёонд хувьсагчдыг дараах байдлаар тодорхойлно.

A, B, C, E, P нь арифметик дундажийг авах шаардлагатай тоонууд юм.

Бүх нийтийн тооцооллын томъёо

Шалгалт явуулж байна янз бүрийн сонголтуудтомъёо арифметик дундажийг тооцоолох, тэдгээр нь ерөнхий хэв маягтай байгааг анхаарч үзэх боломжтой.

Тиймээс арифметик дундажийг олохын тулд ерөнхий томъёог ашиглах нь илүү практик байх болно. Эцсийн эцэст тооцооллын тоо, хэмжээ нь маш том байж болох нөхцөл байдал байдаг. Тиймээс энэ утгыг тооцоолох бүрдээ хувь хүний ​​технологийг хөгжүүлэхгүй байх нь бүх нийтийн томъёог ашиглах нь илүү үндэслэлтэй байх болно.

Томьёог тодорхойлохдоо гол зүйл бол арифметик дундажийг тооцох зарчимО.

Өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад энэ зарчим дараах байдалтай байна.

1. Шаардлагатай утгыг авахын тулд заасан тооны тоог тоолно. Энэ үйлдлийг гараар цөөн тооны тоогоор эсвэл компьютерийн технологийг ашиглан хийж болно.
2. Сонгосон тоонуудыг нэгтгэн харуулав. Ихэнх тохиолдолд энэ үйлдлийг компьютерийн технологи ашиглан гүйцэтгэдэг, учир нь тоо нь хоёр, гурав ба түүнээс дээш цифрээс бүрдэх боломжтой.
3. Сонгосон тоонуудыг нэмснээр олж авсан дүнг тэдгээрийн тоонд хуваах ёстой. Энэ утгыг арифметик дундажийг тооцоолох эхний шатанд тодорхойлно.

Тиймээс сонгосон тоонуудын арифметик дундажийг тооцоолох ерөнхий томъёо дараах байдалтай байна.

(A+B+…+N)/N

Энэ томъёог агуулдагдараах хувьсагчууд:

А ба В нь арифметик дундажийг тооцоолохын тулд урьдчилан сонгосон тоонууд юм.

N нь шаардлагатай утгыг тооцоолохын тулд авсан тооны тоо юм.

Сонгосон тоонуудыг энэ томьёо болгонд орлуулснаар бид үргэлж арифметик дундажийн шаардлагатай утгыг олж авах боломжтой.

Харагдсанаар, арифметик дундажийг олохэнгийн журам юм. Гэсэн хэдий ч та хийсэн тооцоололдоо болгоомжтой хандаж, олж авсан үр дүнг шалгах хэрэгтэй. Энэ хандлагыг хамгийн энгийн нөхцөлд ч гэсэн алдаа гарах магадлалтай бөгөөд энэ нь цаашдын тооцоололд нөлөөлж болзошгүй гэж тайлбарладаг. Үүнтэй холбогдуулан аливаа нарийн төвөгтэй тооцоолол хийх чадвартай компьютерийн технологийг ашиглахыг зөвлөж байна.

) болон түүврийн дундаж(ууд).

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

• 1 / 5

  Өгөгдлийн багцыг тэмдэглэе X = (x 1 , x 2 , …, x n), дараа нь түүврийн дундаж утгыг ихэвчлэн хувьсагчийн дээгүүр хэвтээ зураасаар заадаг (" гэж дууддаг" xшугамтай").

  Грекийн μ үсгийг нийт хүн амын арифметик дундажийг илэрхийлэхэд ашигладаг. Дундаж утга нь тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд μ нь байна магадлалын дундажэсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт. Хэрэв багц Xнь магадлалын дундаж μ, дараа нь дурын түүврийн хувьд санамсаргүй тоонуудын цуглуулга юм x биэнэ олонлогоос μ = E( x би) нь энэ түүврийн математикийн хүлээлт юм.

  Практикт μ ба хоорондын ялгаа x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))μ нь ердийн хувьсагч юм, учир нь та нийт олонлогоос илүү түүврийг харж болно. Тиймээс хэрэв түүврийг санамсаргүй байдлаар (магадлалын онолын хувьд) төлөөлвөл x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(гэхдээ μ биш) түүвэр дээрх магадлалын тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно (дундаж магадлалын тархалт).

  Эдгээр хоёр хэмжигдэхүүнийг ижил аргаар тооцоолно.

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) .

  (\ displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_) (1)+\cdots +x_(n)).)

  • Жишээ Учир ньгурван тоо
  Та тэдгээрийг нэмж, 3-т хуваах хэрэгтэй:
  • Жишээ x 1 + x 2 + x 3 3 .(\ displaystyle (\ frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  дөрвөн тоо

  Та тэдгээрийг нэмж, 4-т хуваах хэрэгтэй:

  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 .

  (\ displaystyle (\ frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Эсвэл энгийн: 5+5=10, 10:2. Учир нь бид 2 тоог нэмж байгаа бөгөөд энэ нь бид хэдэн тоог нэмсэн гэсэн үг юм, бид тэр олон тоог хуваадаг.

  Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

  Хэдийгээр арифметик утгыг ихэвчлэн дундаж буюу төв чиг хандлага болгон ашигладаг боловч энэ ойлголт нь баттай статистик биш бөгөөд энэ нь арифметик дундаж нь "их хазайлт"-аас ихээхэн нөлөөлдөг гэсэн үг юм. Их хэмжээний хазайлтын коэффициент бүхий тархалтын хувьд арифметик дундаж нь "дундаж" гэсэн ойлголттой тохирохгүй байж болох бөгөөд найдвартай статистикийн дундаж утгууд (жишээлбэл, медиан) нь төвийг илүү сайн дүрсэлж болох нь анхаарал татаж байна. хандлага.

  Сонгодог жишээ бол дундаж орлогыг тооцоолох явдал юм. Арифметик дунджийг медиан гэж буруу тайлбарлаж болох бөгөөд энэ нь хүмүүс дараах дүгнэлтэд хүргэдэг. их орлогободит байдлаас илүү. “Дундаж” орлогыг ихэнх хүмүүс энэ тоо орчим орлоготой гэж тайлбарладаг. Энэхүү "дундаж" (арифметик дундаж утгаараа) орлого нь ихэнх хүмүүсийн орлогоос өндөр байдаг, учир нь дунджаас их хэмжээний хазайлттай өндөр орлого нь арифметик дундажийг ихээхэн хазайлттай болгодог (эсрэгээр нь дундаж орлого нь дундаж утгаараа). Ийм хазайлтыг "эсэргүүцдэг"). Гэсэн хэдий ч, энэ "дундаж" орлого нь дундаж орлоготой ойролцоо байгаа хүмүүсийн тооны талаар юу ч хэлдэггүй (мөн модаль орлогын ойролцоох хүмүүсийн тооны талаар юу ч хэлдэггүй). Гэсэн хэдий ч, хэрэв та "дундаж", "ихэнх хүмүүс" гэсэн ойлголтыг хөнгөнөөр авч үзвэл ихэнх хүмүүс бодит байдлаасаа өндөр орлоготой гэсэн буруу дүгнэлт хийж болно. Жишээлбэл, Вашингтоны Медина хотын оршин суугчдын жилийн цэвэр орлогын арифметик дундажаар тооцсон "дундаж" цэвэр орлогын тайлан нь гайхалтай үр дүнд хүрэх болно. том тооБилл Гейтсийн улмаас. Дээжийг авч үзье (1, 2, 2, 2, 3, 9). Арифметик дундаж нь 3.17 боловч зургаан утгын тав нь энэ дунджаас доогуур байна.

  Нийлмэл хүү

  Хэрэв тоонууд үржүүлэх, гэхдээ үгүй нугалах, та арифметик дундаж биш геометрийн дундажийг ашиглах хэрэгтэй. Санхүүгийн хөрөнгө оруулалтын өгөөжийг тооцоолоход ихэвчлэн ийм тохиолдол гардаг.

  Жишээлбэл, хэрэв хувьцааны үнэ эхний жилд 10% буурч, хоёр дахь жилдээ 30% өссөн бол эдгээр хоёр жилийн "дундаж" өсөлтийг арифметик дундаж (−10% + 30%) / 2 гэж тооцох нь буруу юм. = 10%; Энэ тохиолдолд зөв дундажийг жилийн нийлмэл өсөлтийн хурдаар өгсөн бөгөөд энэ нь зөвхөн 8.16653826392% ≈ 8.2% жилийн өсөлтийн хурдыг өгдөг.

  Үүний шалтгаан нь хувь хэмжээ бүрт шинэ эхлэлийн цэг байдаг: 30% нь 30% юм. эхний жилийн эхэн үеийн үнээс бага тооноос:Хэрэв хувьцааны үнэ 30 доллараас эхэлж, 10% унасан бол хоёр дахь жилийн эхэнд 27 доллар болно. Хэрэв хувьцааны үнэ 30%-иар өссөн бол хоёр дахь жилийн эцэст 35.1 доллар болно. Энэхүү өсөлтийн арифметик дундаж нь 10% боловч хувьцааны үнэ 2 жилийн хугацаанд ердөө 5.1 доллараар өссөн тул 8.2% -ийн дундаж өсөлт нь 35.1 долларын эцсийн үр дүнг өгдөг.

  [30 доллар (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 доллар (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 доллар]. Хэрэв бид арифметик дундаж 10% -ийг ижил аргаар ашиглавал бид бодит утгыг авахгүй: [30 доллар (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 доллар].

  2 жилийн эцсийн нийлмэл хүү: 90% * 130% = 117%, өөрөөр хэлбэл нийт өсөлт 17%, жилийн дундаж нийлмэл хүү 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\ойролцоогоор 108.2\%), өөрөөр хэлбэл, жилд дунджаар 8.2% -иар өссөн нь хоёр шалтгааны улмаас буруу байна.

  Дээрх томьёог ашиглан тооцоолсон мөчлөгт хувьсагчийн дундаж утгыг бодит дундажтай харьцуулахад тоон хүрээний дунд хүртэл зохиомлоор шилжүүлнэ. Үүнээс болж дундажийг өөр аргаар тооцдог, тухайлбал хамгийн бага хэлбэлзэлтэй тоог (төв цэг) дундаж утга болгон сонгоно. Мөн хасахын оронд модульчлагдсан зайг (өөрөөр хэлбэл тойргийн зай) ашигладаг. Жишээлбэл, 1°-аас 359°-ын хоорондох модульчлагдсан зай нь 358° биш 2° байна (359° ба 360°-ын хоорондох тойрог дээр==0° - нэг градус, 0° ба 1° хооронд - мөн 1°, нийтдээ - 2 °).