Formulacija

Najbolj priljubljena je naloga z dodatnim pogojem št. 6 iz tabele - udeleženec v igri vnaprej pozna naslednja pravila:

• avto je enako verjetno postavljen za katera koli od treh vrat;
• V vsakem primeru je voditelj dolžan odpreti vrata s kozo in ponuditi igralcu, da spremeni izbiro, ne pa vrat, ki jih je igralec izbral;
• če ima vodja izbiro, katera od 2 vrat bo odprl, z enako verjetnostjo izbere katera od njih.

Naslednje besedilo obravnava problem Montyja Halla v natanko tej formulaciji.

Razčlenjevanje

Pri reševanju tega problema običajno sklepajo nekako takole: vodja na koncu vedno odstrani ena izgubljena vrata, nato pa postane verjetnost, da se avtomobil pojavi za dvema odprtima, enaka 1/2, ne glede na prvotno izbiro.

Bistvo je v tem, da udeleženec s prvotno izbiro razdeli vrata: izbrani A in še dva - B in C. Verjetnost, da je avto za izbranimi vrati = 1/3, da je za ostalimi = 2/3.

Za vsaka od preostalih vrat je trenutno stanje opisano takole:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Pri čemer je 1/2 pogojna verjetnost, da najdemo avto točno za danimi vrati, pod pogojem, da avto ni za vrati, ki jih izbere igralec.

Voditelj, ki odpre ena od preostalih vrat, ki so vedno izgubljena, s tem sporoči igralcu točno 1 bit informacije in spremeni pogojne verjetnosti za B oziroma C na "1" oziroma "0".

Posledično dobijo izrazi obliko:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

Tako bi moral udeleženec spremeniti svojo prvotno izbiro - v tem primeru bo verjetnost zmage enaka 2/3.

Ena najpreprostejših razlag je naslednja: če spremenite vrata po dejanju gostitelja, potem zmagate, če ste prvotno izbrali izgubljena vrata (nato bo gostitelj odprl druga izgubljena vrata in boste morali spremeniti svojo izbiro, da boste zmagali) . In na začetku lahko izberete izgubljena vrata na 2 načina (verjetnost 2/3), tj. če zamenjaš vrata, zmagaš z 2/3 verjetnostjo.

Ta sklep je v nasprotju z intuitivnim dojemanjem situacije večine ljudi, zato se opisana naloga imenuje Paradoks Montyja Halla, tj. paradoks v vsakdanjem smislu.

In intuitivna zaznava je naslednja: s tem, ko odpre vrata s kozo, voditelj postavi igralcu novo nalogo, ki ni v nobeni povezavi s prejšnjo izbiro – navsezadnje bo koza za odprtimi vrati ne glede na to, ali igralec je predhodno izbral kozo ali avto. Ko se odprejo tretja vrata, se mora igralec znova odločiti - in izbrati ista vrata, ki jih je izbral prej, ali druga. To pomeni, da ne spremeni svoje prejšnje izbire, ampak naredi novo. Matematična rešitev obravnava dve zaporedni nalogi vodje kot medsebojno povezani.

Upoštevati pa je treba dejavnik iz pogoja, da bo podajalec odprl vrata s kozo iz preostalih dveh in ne z vrati, ki jih izbere igralec. Zato imajo preostala vrata več možnosti, da so avto, saj jih ni izbral vodilni. Če upoštevamo primer, ko podajalec, ki ve, da je za vrati, ki si jih izbere igralec, ta vrata vendarle odpre, bo s tem namenoma zmanjšal igralčeve možnosti, da izbere prava vrata, ker verjetnost prava izbira bo že 1/2. Toda takšna igra bo imela drugačna pravila.

Dajmo še eno razlago. Predpostavimo, da igrate po zgoraj opisanem sistemu, tj. izmed preostalih dveh vrat vedno izberete vrata, ki se razlikujejo od vaše prvotne izbire. V katerem primeru boste izgubili? Izguba bo nastala, če in samo, če ste od samega začetka izbrali vrata, za katerimi se nahaja avto, saj boste kasneje neizogibno spremenili svojo odločitev v korist vrat s kozo, v vseh ostalih primerih boste zmagali, tj. , če smo se že na samem začetku zmotili pri izbiri vrat. Toda verjetnost, da izberete vrata s kozo že od samega začetka, je 2/3, zato se izkaže, da za zmago potrebujete napako, katere verjetnost je dvakrat večja od pravilne izbire.

Omembe

• V filmu Enaindvajset učiteljica Miki Rosa glavnemu junaku Benu ponudi rešitev težave: za tremi vrati sta dva skuterja in en avto, z avtomobilom morate uganiti vrata. Po prvi izbiri Miki predlaga spremembo izbire. Ben se strinja in matematično argumentira svojo odločitev. Tako nehote opravi preizkus za Mikino ekipo.
• V romanu Sergeja Lukjanenka "Klutz" si glavni junaki s to tehniko pridobijo kočijo in možnost nadaljevanja potovanja.
• V televizijski seriji »4isla« (13. epizoda 1. sezone »Man Hunt«) eden od glavnih likov, Charlie Epps, razloži paradoks Montyja Halla na priljubljenem predavanju o matematiki, ki ga vizualno ponazori z uporabo označevalnih desk s kozami in avto narisan na zadnji strani. Charlie dejansko najde avto, potem ko je spremenil svojo izbiro. Vendar je treba opozoriti, da izvaja samo en poskus, medtem ko je prednost strategije preklopa statistična in je treba izvesti vrsto poskusov, da jo ustrezno ponazorimo.
• Paradoks Montyja Halla je obravnavan v dnevniku junaka romana Marka Haddona The Curious Murder of the Dog in the Night-Time.
• Paradoks Montyja Halla so testirali Razbijalci mitov

Glej tudi

• Bertrandov paradoks

Povezave

	Paradoks Montyja Halla v Wikiknjigah
	Paradoks Montyja Halla na Wikimedia Commons

• Interaktivni prototip: za tiste, ki se želijo norčevati (generacija se pojavi po prvi izbiri)
• Interaktivni prototip: pravi prototip igre (karte se generirajo pred izbiro, delo prototipa je pregledno)
• Razlagalni video na spletnem mestu Smart Videos .ru

• Weisstein, Eric W. Paradoks Montyja Halla (angleščina) na spletni strani Wolfram MathWorld.
• Paradoks Monty Halla na spletni strani televizijske oddaje Let’s Make a deal
• Odlomek iz knjige S. Lukjanenka, ki uporablja paradoks Montyja Halla
• Še ena Bayesova rešitev Še ena Bayesova rešitev na forumu Novosibirske državne univerze

Literatura

• Gmurman V.E. Teorija verjetnosti in matematična statistika, - M.: Visoka izobrazba. 2005
• Gnedin, Sasha "Igra Mondee Gills." revija Matematični inteligent, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
• Revija Parada od 17. februarja.
• vas Savant, Marilyn. Kolumna "Vprašaj Marilyn", revija Revija Parada od 26. februarja.
• Bapeswara Rao, V. V. in Rao, M. Bhaskara. "Igra s tremi vrati in nekatere njene različice." Revija Matematični znanstvenik, 1992, № 2.
• Tijms, Henk. Razumevanje pravil verjetnosti, naključja v vsakdanjem življenju. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Opombe

Fundacija Wikimedia.

2010.

Oglejte si, kaj je "paradoks Montyja Halla" v drugih slovarjih:

- (The Tie Paradox) je znan paradoks, podoben problemu dveh ovojnic, ki prav tako prikazuje posebnosti subjektivnega dojemanja teorije verjetnosti. Bistvo paradoksa: dva moška si za božič podarita kravato, ki sta si jo kupila... ... Wikipedia

Ekologija znanja. Eden od problemov teorije verjetnosti je najbolj zanimiv in na videz kontraintuitiven paradoks Montyja Halla, poimenovan po voditelju ameriške televizijske oddaje "Let's Make A Deal".

Mnogi od nas so verjetno slišali za teorijo verjetnosti - posebno vejo matematike, ki preučuje vzorce v naključnih pojavih, naključnih dogodkih, pa tudi njihove lastnosti. In samo eden od problemov teorije verjetnosti je najbolj zanimiv in navidezno kontraintuitiven paradoks Montyja Halla, poimenovan po voditelju ameriške televizijske oddaje »Sklenimo dogovor«. Danes vam želimo predstaviti ta paradoks.

Opredelitev paradoksa Montyja Halla

Kot problem je paradoks Monty Hall definiran v obliki opisov omenjene igre, med katerimi je najpogostejša formulacija, ki jo je leta 1990 objavila revija Parade.

V skladu z njim si mora oseba predstavljati sebe kot udeleženca v igri, kjer mora izbrati ena vrata od treh.

Za enimi vrati je avto, za drugimi pa koze. Igralec mora izbrati ena vrata, na primer vrata št. 1.

In vodja, ki ve, kaj je za posameznimi vrati, odpre ena od dveh vrat, ki ostanejo, na primer vrata št. 3, za katerimi je koza.

Po tem gostitelj vpraša igralca, ali bi želel spremeniti svojo prvotno izbiro in izbrati vrata št. 2?

Vprašanje: Ali se igralčeve možnosti za zmago povečajo, če spremeni svojo izbiro?

Toda po objavi te definicije se je izkazalo, da je igralčeva naloga oblikovana nekoliko napačno, ker O vseh pogojih se ni razpravljalo.

Na primer, gostitelj igre lahko izbere strategijo »Monty from Hell« in ponudi spremembo izbire le, če je igralec prvotno uganil vrata, za katerimi se nahaja avto.

In postane jasno, da bo sprememba izbire povzročila 100-odstotno izgubo.

Zato je bila najbolj priljubljena formulacija problema s posebnim pogojem št. 6 iz posebne tabele:

• Enako verjetno je, da je za vsakimi vrati avto
• Domačin je vedno dolžan odpreti vrata s kozo, ki ni tista, ki si jo je izbral igralec, in igralcu ponuditi možnost, da izbiro spremeni
• Voditelj, ki ima možnost odpreti ena od dveh vrat, z enako verjetnostjo izbere katera koli

Spodaj predstavljena analiza Monty Hallovega paradoksa je obravnavana ravno ob upoštevanju tega pogoja. Torej, analiza paradoksa.

Analiza Monty Hallovega paradoksa

Obstajajo tri možnosti za razvoj dogodkov:

Vrata 1	Vrata 2	Vrata 3	Rezultat, če spremenite izbiro	Rezultat, če izbire ne spremenite
Avto	Koza	Koza	Koza	Avto
Koza	Avto	Koza	Avto	Koza
Koza	Koza	Avto	Avto	Koza

Pri reševanju predstavljenega problema je običajno navedeno naslednje sklepanje: v vsakem primeru vodja odstrani ena vrata s kozo, zato je verjetnost, da najdemo avto za enimi od obeh zaprtih vrat, enaka ½, ne glede na izbiro. je bil narejen na začetku. Vendar to ne drži.

Ideja je, da udeleženec s prvo izbiro razdeli vrata na A (izbrana), B in C (preostala). Možnosti (P), da je avto za vrati A, so 1/3, možnosti (P), da je za vrati B in C, pa 2/3. In možnosti za uspeh pri izbiri vrat B in C se izračunajo na naslednji način:

P(B) = 2/3 * ½ = 1/3

P(C) = 2/3 * ½ = 1/3

Kjer je ½ pogojna verjetnost, da je avto za temi vrati, glede na to, da avto ni za vrati, ki jih je izbral igralec.

Voditelj, ki odpre namerno izgubljena vrata od preostalih dveh, sporoči igralcu 1 bit informacije in s tem spremeni pogojne verjetnosti za vrata B in C na vrednosti 1 in 0. Zdaj bodo možnosti za uspeh izračunane na naslednji način:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

P(C) = 2/3*0 = 0

In izkaže se, da če igralec spremeni svojo prvotno izbiro, bo njegova možnost za uspeh enaka 2/3.

To je razloženo na naslednji način: S spremembo izbire po manipulacijah vodje bo igralec zmagal, če je prvotno izbral vrata s kozo, ker voditelj odpre druga vrata s kozo, igralec pa lahko samo zamenja vrata. Obstajata dva načina za prvotno izbiro vrat s kozo (2/3), oziroma če igralec zamenja vrata, bo zmagal z verjetnostjo 2/3. Prav zato, ker je ta sklep v nasprotju z intuitivnim dojemanjem, je problem dobil status paradoksa.

Intuitivno dojemanje nakazuje naslednje: ko vodja odpre poražena vrata, se igralec sooči nova naloga, prvi pogled nepovezana s prvotno izbiro, saj koza za vrati, ki jih odpre vodja, bo tam v vsakem primeru, ne glede na to, ali je igralec prvotno izbral poražena ali zmagovalna vrata.

Ko vodja odpre vrata, se mora igralec znova odločiti - ali ostati na prejšnjih vratih ali izbrati nova. To pomeni, da igralec naredi novo izbiro in ne spremeni prvotne. IN matematična rešitev Upoštevani sta dve zaporedni in med seboj povezani nalogi voditelja.

Vendar morate upoštevati, da voditelj odpre vrata natanko tistima dvema, ki ostaneta, ne pa tistemu, ki ga je izbral igralec. To pomeni, da se poveča možnost, da je avto za preostalimi vrati, saj voditelj ni izbral nje. Če voditelj ve, da je za vrati, ki jih je izbral igralec, koza, jih vseeno odpre in s tem očitno zmanjša verjetnost, da bo igralec izbral prava vrata, saj bo verjetnost uspeha enaka ½. Ampak to je igra po drugačnih pravilih.

Tukaj je še ena razlaga: Recimo, da igralec igra po zgoraj predstavljenem sistemu, tj. od vrat B ali C vedno izbere tisto, ki se razlikuje od prvotne izbire. Bo izgubil, če je sprva izbral vrata z avtom, saj nato bo izbral vrata s kozo. V vsakem drugem primeru bo igralec zmagal, če je prvotno izbral izgubljeno možnost. Vendar je verjetnost, da jo bo sprva izbral, 2/3, kar pomeni, da mora za uspeh v igri najprej narediti napako, kar je dvakrat večja od verjetnosti pravilne izbire.

Tretja razlaga: Predstavljajmo si, da ni 3 vrat, ampak 1000. Ko se igralec odloči, voditelj odstrani 998 nepotrebnih vrat - ostanejo samo dvoje vrat: tista, ki jih izbere igralec, in še ena. Toda možnost, da je za vsakimi vrati avto, sploh ni ½. Najverjetneje (0,999%) bo avto za vrati, ki jih igralec sprva ni izbral, tj. za vrati izbran izmed 999 drugih, ki so ostali po prvi izbiri. Približno enako morate razmišljati, ko izbirate med tremi vrati, tudi če se možnosti za uspeh zmanjšajo in postanejo 2/3.

IN zadnja razlaga– zamenjava pogojev. Recimo, da mora igralec namesto prve izbire, recimo, vrat št. 1 in namesto da bi gostitelj odprl vrata št. 2 ali št. 3, prvič pravilno izbrati, če ve, da je verjetnost uspeha z vrata št. 1 je 33 %, vendar ne ve ničesar o odsotnosti avtomobila za vrati št. 2 in št. 3. Iz tega sledi, da bo možnost uspeha pri zadnjih vratih 66-odstotna, tj. verjetnost zmage pri dvojicah.

Kakšno pa bo stanje, če se bo voditelj obnašal drugače?

Analiza Monty Hallovega paradoksa z različnim obnašanjem voditelja

Klasična različica Monty Hallovega paradoksa navaja, da mora voditelj oddaje igralcu vedno dati možnost izbire vrat, ne glede na to, ali je igralec pravilno uganil ali ne. Toda vodja lahko svoje vedenje tudi zakomplicira. Na primer:

• Voditelj povabi igralca, da spremeni svojo izbiro, če je na začetku pravilna - igralec bo vedno izgubil, če se strinja s spremembo izbire;
• Voditelj povabi igralca, da spremeni svojo izbiro, če je sprva napačna - igralec bo vedno zmagal, če se strinja;
• Voditelj naključno odpre vrata, ne da bi vedel, kaj je kje - igralčeve možnosti za zmago pri zamenjavi vrat bodo vedno ½;
• Voditelj odpre vrata s kozo, če je igralec dejansko izbral vrata s kozo, bodo igralčeve možnosti za zmago pri zamenjavi vrat vedno ½;
• Domačin vedno odpre vrata s kozo. Če je igralec izbral vrata z avtomobilom, se bodo leva vrata s kozo odprla z verjetnostjo (q) enako p, desna pa z verjetnostjo q = 1-p. Če je vodilni odprl vrata na levi, se verjetnost zmage izračuna kot 1/(1+p). Če je vodja odprl vrata na desni, potem: 1/(1+q). Toda verjetnost, da se bodo vrata na desni odprla, je: (1+q)/3;
• Pogoji iz zgornjega primera, vendar p=q=1/2 - igralčeve možnosti za zmago pri zamenjavi vrat bodo vedno 2/3;
• Pogoji iz zgornjega primera, vendar p=1 in q=0. Če vodja odpre vrata na desni, bo igralčeva sprememba izbire vodila do zmage, če se odprejo vrata na levi, bo verjetnost zmage enaka ½;
• Če gostitelj vedno odpre vrata s kozo, ko igralec izbere vrata z avtomobilom, in z verjetnostjo ½, če igralec izbere vrata s kozo, potem bodo igralčeve možnosti za zmago pri menjavi vrat vedno ½;
• Če se igra večkrat ponovi in ​​je avto vedno za enimi ali drugimi vrati z enako verjetnostjo, plus vodja odpre vrata z enako verjetnostjo, vendar vodja ve, kje je avto in vedno postavi igralca pred izbiro , odpiranje vrat s kozo, potem bo verjetnost zmage enaka 1/3;
• Pogoji so iz zgornjega primera, vendar voditelj morda sploh ne odpre vrat - igralčeve možnosti za zmago bodo 1/3.

To je paradoks Motney Hall. Preverite klasična različica v praksi je precej preprosto, vendar bo veliko težje izvajati poskuse s spreminjanjem vedenja voditelja. Čeprav je za natančne praktike to mogoče. Vendar ni pomembno, ali testirate paradoks Monty Hall za osebna izkušnja ali ne, zdaj poznate nekaj skrivnosti iger, ki se igrajo z ljudmi različne predstave in televizijskih oddaj ter zanimivih matematičnih vzorcev.

Mimogrede, to je zanimivo: Paradoks Monty Halla je omenjen v filmu Roberta Luketiča "Enaindvajset", romanu Sergeja Lukjanenka "The Klutz", televizijski seriji "4isla", zgodbi Marka Haddona "The Mysterious Murder of a Dog in the Night-Time", strip "XKCD", bil pa je tudi "junak" ene od epizod televizijske oddaje "Uničevalci mitov" objavljeno

Pridružite se nam

Ljudje smo navajeni šteti za pravilno tisto, kar se zdi očitno. Zato se pogosto znajdejo v težavah, ker napačno ocenijo situacijo, zaupajo svoji intuiciji in si ne vzamejo časa za kritičen premislek o svojih odločitvah in njihovih posledicah.

Monty je jasna ilustracija človekove nezmožnosti, da pretehta svoje možnosti za uspeh, ko izbere ugoden izid ob prisotnosti več kot enega neugodnega.

Oblikovanje Monty Hallovega paradoksa

Torej, kakšna žival je to? O čem točno govorimo? Najbolj znan primer Paradoks Montyja Halla predstavlja sredi prejšnjega stoletja v Ameriki priljubljena televizijska oddaja »Sklenimo stavo!«. Mimogrede, po zaslugi gostitelja tega kviza je paradoks Monty Hall kasneje dobil svoje ime.

Igra je bila sestavljena iz naslednjega: udeležencu so bila prikazana tri vrata, ki so bila videti popolnoma enaka. Toda za enim od njih je igralca čakala cesta nov avto, druga dva pa sta nestrpno hrepenela po kozi. Kot je običajno pri igralnih šovih, je karkoli je bilo za tekmovalčevimi izbranimi vrati, postalo njegov dobitek.

V čem je trik?

A ni tako preprosto. Po opravljeni izbiri je podajalec, ki je vedel, kje se skriva glavni dobitek, odprl ena od preostalih dveh vrat (seveda tista, za katerimi se je skrival artiodaktil), nato pa igralca vprašal, ali bi želel spremeniti svojega odločitev.

Paradoks Montyja Halla, ki so ga oblikovali znanstveniki leta 1990, je, da se je treba v nasprotju z intuicijo, da ni razlike pri sprejemanju vodilne odločitve na podlagi vprašanja, strinjati s spremembo svoje izbire. Če hočeš dobiti odličen avto, seveda.

Kako to deluje?

Obstaja več razlogov, zakaj se ljudje nočejo odreči svoji izbiri. Intuicija in preprosta (vendar nepravilna) logika pravita, da od te odločitve ni odvisno nič. Poleg tega ne želi vsak slediti vodstvu drugega - to je prava manipulacija, kajne? Ne, ne tako. A če bi bilo vse takoj intuitivno, tega sploh ne bi poimenovali. Ni čudno dvomiti. Ko je bila ta uganka prvič objavljena v eni večjih revij, je na tisoče bralcev, vključno s priznanimi matematiki, uredniku poslalo pisma, v katerih so trdili, da odgovor, natisnjen v številki, ni resničen. Če obstoj teorije verjetnosti ne bi bil novica za osebo, ki je prišla v oddajo, potem bi morda lahko rešil ta problem. In s tem povečati možnosti za zmago. Pravzaprav se razlaga paradoksa Montyja Halla skrči na preprosto matematiko.

Razlaga prva, bolj zapletena

Verjetnost, da je nagrada za prvotno izbranimi vrati, je ena proti tri. Možnost, da ga najdete za enim od preostalih dveh, je enaka dvema od treh. Logično, kajne? Zdaj, ko se odprejo ena od teh vrat in se za njimi znajde koza, ostane samo še ena možnost v drugem nizu (tista, ki ustreza 2/3 možnosti za uspeh). Vrednost te opcije ostaja enaka, kar je dve od treh. Tako postane očitno, da bo igralec s spremembo svoje odločitve podvojil verjetnost zmage.

Razlaga številka dve, preprostejša

Po takšni interpretaciji odločitve mnogi še vedno vztrajajo, da ta izbira nima smisla, saj sta le dve možnosti in ena je zagotovo zmagovalna, druga pa zagotovo vodi v poraz.

Toda teorija verjetnosti ima ta problem vaše mnenje. In to postane še bolj jasno, če si predstavljamo, da sprva niso bila tri vrata, ampak recimo sto. V tem primeru je mogoče ugibati, kje nagrada, prvič, je samo ena od devetindevetdeset. Zdaj se udeleženec odloči in Monty odpravi osemindevetdeset vrat s kozami, tako da ostanejo samo dve, od katerih je ena izbral igralec. Tako prvotno izbrana možnost ohrani kvoto zmage 1/100, druga ponujena možnost pa ostane 99/100. Izbira mora biti očitna.

Ali obstajajo zavrnitve?

Odgovor je preprost: ne. Ne obstaja niti ena dovolj utemeljena zavrnitev paradoksa Montyja Halla. Vsa "razkritja", ki jih je mogoče najti na internetu, se skrčijo na napačno razumevanje principov matematike in logike.

Za vsakogar, ki dobro pozna matematične principe, je nenaključnost verjetnosti popolnoma očitna. Z njimi se lahko ne strinjajo samo tisti, ki ne razumejo, kako deluje logika. Če vse našteto še vedno zveni neprepričljivo, je bila utemeljitev paradoksa preizkušena in potrjena na znameniti oddaji “MythBusters” in komu drugemu verjeti, če ne njim?

Možnost jasnega videnja

V redu, naj se vse to sliši prepričljivo. Toda to je le teorija, ali je mogoče nekako pogledati na delovanje tega principa v dejanjih, ne le z besedami? Prvič, nihče ni preklical živih ljudi. Poiščite partnerja, ki bo prevzel vlogo povezovalca in vam pomagal odigrati zgoraj opisani algoritem v realnosti. Za udobje lahko vzamete škatle, zaboje ali celo narišete na papir. Ko postopek ponovite več desetkrat, primerjajte število zmag v primeru spremembe začetne izbire s tem, koliko zmag je prinesla trma, in vse vam bo jasno. Lahko pa naredite še preprosteje in uporabite internet. Na internetu je veliko simulatorjev paradoksa Monty Hall, v katerih lahko vse preizkusite sami in brez nepotrebnih pripomočkov.

Kakšna je uporaba tega znanja?

Morda se zdi, da je to le še ena uganka, namenjena napenjanju možganov, in služi zgolj zabavi. Vendar pa je praktična uporaba Paradoks Monty Hall najdemo predvsem pri igrah na srečo in raznih nagradnih igrah. Tisti z bogatimi izkušnjami dobro poznajo običajne strategije za povečanje možnosti, da najdejo vrednostno stavo (od angleška beseda vrednost, kar dobesedno pomeni "vrednost" - napoved, za katero je bolj verjetno, da se bo uresničila, kot so jo ocenili stavnice). Ena od teh strategij neposredno vključuje paradoks Montyja Halla.

Primer pri delu s stavami

Športni primerek se bo malo razlikoval od klasičnega. Recimo, da so tri ekipe iz prve lige. V naslednjih treh dneh mora vsaka od teh ekip odigrati eno odločilno tekmo. Tisti, ki bo ob koncu tekme zbral več točk od ostalih dveh, bo ostal v prvi ligi, ostali pa jo bodo prisiljeni zapustiti. Ponudba stavnice je preprosta: staviti morate na ohranitev položaja enega od teh nogometnih klubov, stavne kvote pa so enake.

Za udobje so sprejeti pogoji, pod katerimi so tekmeci klubov, ki sodelujejo v izboru, približno enaki po moči. Tako pred začetkom iger ne bo mogoče jasno določiti favorita.

Tukaj se morate spomniti zgodbe o kozah in avtomobilu. Vsaka ekipa ima eno od treh možnosti, da ostane na svojem mestu. Kateri koli izmed njih je izbran in nanj se položi stava. Naj bo Baltika. Po rezultatih prvega dne eden od klubov izgubi, dva pa še nista odigrala. To je ista "Baltika" in, recimo, "Shinnik".

Večina bo ohranila prvotno ponudbo - Baltika bo ostala v prvi ligi. Vendar je treba spomniti, da so njegove možnosti ostale enake, vendar so se Shinnikove možnosti podvojile. Zato je logično staviti še eno, večjo stavo na Shinnikovo zmago.

Naslednji dan pride in tekma z Baltiko se konča z remijem. Sledi Shinnik, njihova tekma pa se konča z zmago s 3:0. Izkazalo se je, da bo ostal v prvi ligi. Torej, čeprav je prva stava na Baltiko izgubljena, je ta izguba pokrita z dobičkom na novi stavi na Shinnik.

Lahko domnevamo, in večina bo tako, da je bila Shinnikova zmaga le nesreča. Pravzaprav je zamenjava verjetnosti za naključje največja napaka za osebo, ki sodeluje pri športnih stavah. Navsezadnje bo strokovnjak vedno rekel, da je vsaka verjetnost izražena predvsem v jasnih matematičnih vzorcih. Če poznate osnove tega pristopa in vse nianse, povezane z njim, bodo tveganja izgube denarja čim manjša.

Uporabno pri napovedovanju gospodarskih procesov

Pri športnih stavah je paradoks Monty Halla preprosto treba poznati. Toda njegova uporaba ni omejena na stave. Teorija verjetnosti je vedno tesno povezana s statistiko, zato razumevanje principov paradoksa ni nič manj pomembno v politiki in gospodarstvu.

V razmerah ekonomske negotovosti, s katero se pogosto srečujejo analitiki, se je treba spomniti naslednje ugotovitve, ki izhaja iz reševanja problema: ni treba natančno poznati edine pravilne rešitve. Možnosti za uspešno napoved se vedno povečajo, če veste, kaj se zagotovo ne bo zgodilo. Pravzaprav je to najbolj uporaben zaključek paradoksa Montyja Halla.

Ko je svet na robu gospodarskih pretresov, politiki vedno poskušajo uganiti pravo pot, da bi čim bolj zmanjšali posledice krize. Če se vrnemo k prejšnjim primerom, lahko na gospodarskem področju nalogo opišemo takole: pred voditelji držav so troja vrata. Ena vodi v hiperinflacijo, druga v deflacijo, tretja pa v opevano zmerno gospodarsko rast. Toda kako najti pravi odgovor?

Politiki trdijo, da bodo njihova dejanja privedla do več delovnih mest in gospodarske rasti. Pa vodilni ekonomisti, izkušeni ljudje, tudi nagrajenci Nobelova nagrada, jim jasno pokažite, da ena od teh možnosti zagotovo ne bo vodila do želeni rezultat. Bodo politiki po tem spremenili svoje odločitve? Zelo malo verjetno, saj se v tem pogledu ne razlikujejo veliko od istih udeležencev televizijske oddaje. Zato se bo verjetnost napake samo povečala, ko se bo povečalo število svetovalcev.

Ali so s tem informacije o temi izčrpane?

Pravzaprav je bila do zdaj tukaj obravnavana le »klasična« različica paradoksa, torej situacija, v kateri voditelj točno ve, katera vrata so za nagrado, vrata pa odpre šele s kozo. Obstajajo pa tudi drugi mehanizmi vedenja vodje, od katerih se bo razlikovalo načelo delovanja algoritma in rezultat njegovega izvajanja.

Vpliv vedenja voditelja na paradoks

Kaj lahko torej voditelj naredi, da spremeni potek dogodkov? Dovolimo različne možnosti.

Tako imenovani "Devil Monty" je situacija, v kateri bo gostitelj igralcu vedno ponudil, da spremeni svojo izbiro, pod pogojem, da je bila prvotno pravilna. V tem primeru bo sprememba odločitve vedno vodila v poraz.

Nasprotno, "Angel Monty" je podoben princip obnašanja, vendar v primeru, da je bila igralčeva izbira sprva napačna. Logično je, da bo v takšni situaciji sprememba odločitve vodila do zmage.

Če voditelj odpre vrata naključno, ne da bi vedel, kaj se skriva za vsakim od njih, potem bodo možnosti za zmago vedno petdesetodstotne. V tem primeru je lahko za odprtimi vodilnimi vrati avtomobil.

GM ima 100 % možnost, da odpre vrata s kozo, če je igralec izbral avto, in 50 % možnost, če je igralec izbral kozo. S tem algoritmom dejanj, če igralec spremeni svojo izbiro, bo vedno zmagal v enem primeru od dveh.

Ko se igra vedno znova ponavlja in je verjetnost zmage določenih vrat vedno poljubna (pa tudi, katera vrata bo voditelj odprl, medtem ko ve, kje se skriva avto, in vedno odpre vrata s kozo in ponudi spremembo izbire) - možnost zmage bo vedno enaka ena proti tri. To se imenuje Nashevo ravnovesje.

Enako kot v istem primeru, vendar pod pogojem, da vodja sploh ni dolžan odpreti enih vrat - verjetnost zmage bo še vedno enaka 1/3.

Medtem ko je klasično shemo precej enostavno preizkusiti, je poskuse z drugimi možnimi algoritmi obnašanja za predstavitelja v praksi veliko težje izvesti. Toda z ustrezno natančnostjo eksperimentatorja je tudi to mogoče.

Pa vendar, čemu vse to?

Razumevanje mehanizmov delovanja katerega koli logični paradoksi zelo koristno za človeka, njegove možgane in zavedanje, kako je lahko svet pravzaprav strukturiran, koliko se njegova struktura lahko razlikuje od posameznikove običajne predstave o njem.

kako več ljudi ve, kako stvari okoli njega delujejo vsakdanjem življenju in o čemer sploh ni vajen razmišljati, bolje deluje njegova zavest in učinkovitejši je lahko v svojih dejanjih in težnjah.

O loterijah

Ta igra je že dolgo postala razširjena in je postala sestavni del moderno življenje. In čeprav loterija vse bolj širi svoje zmožnosti, jo mnogi še vedno vidijo le kot način za obogatenje. Morda ni brezplačen ali zanesljiv. Po drugi strani pa, kot je zapisal eden izmed junakov Jacka Londona, v igre na srečo Ne morete prezreti dejstev - včasih imajo ljudje srečo.

Matematika naključja. Zgodovina teorije verjetnosti

Aleksander Bufetov

Prepis in videoposnetek predavanja dr. fizikalno-matematičnih znanosti, voditelja znanstveni sodelavec Steklov matematični inštitut, vodilni raziskovalec na Inštitutu za industrijske probleme Ruske akademije znanosti, profesor na Fakulteti za matematiko Srednja šola ekonomije, vodja raziskav Nacionalni center znanstveno raziskovanje v Franciji (CNRS) Aleksandra Bufetova, ki je potekalo v okviru cikla “Javna predavanja “Polit.ru”” 6. februarja 2014.

Iluzija pravilnosti: zakaj se naključnost zdi nenaravna

Naše predstave o naključnem, naravnem in nemogočem se pogosto razlikujejo od podatkov statistike in teorije verjetnosti. V knjigi »Nepopolna priložnost. Kako naključje vlada našim življenjem,« ameriški fizik in popularizator znanosti Leonard Mlodinow o tem, zakaj so naključni algoritmi videti tako čudni, v čem je caka v »naključnem« premešanju pesmi na iPodu in od česa je odvisna sreča borznega analitika. Teorije in prakse objavljajo odlomek iz knjige.

determinizem

Determinizem je splošen znanstveni pojem in filozofski nauk o vzročnosti, vzorcih, genetskih povezavah, interakciji in pogojenosti vseh pojavov in procesov, ki se dogajajo v svetu.

Bog je statistika

Deborah Nolan, profesorica statistike na kalifornijski univerzi Berkeley, prosi svoje študente, naj opravijo na prvi pogled zelo čudno nalogo. Prva skupina mora stokrat vreči kovanec in zapisati rezultat: glavo ali repo. Druga si mora predstavljati, da meče kovanec - in narediti seznam na stotine "namišljenih" rezultatov.

Kaj je determinizem

Če so znani začetni pogoji sistema, je mogoče z uporabo naravnih zakonov predvideti njegovo končno stanje.

Problem izbirčne neveste

Huseyn-Zade S. M.

Zenonov paradoks

Ali je mogoče priti iz ene točke v vesolju v drugo? Starogrški filozof Zenon iz Eleje je verjel, da gibanja sploh ni mogoče doseči, toda kako je to argumentiral? Colm Keller bo govoril o tem, kako rešiti znameniti Zenonov paradoks.

Paradoksi neskončnih množic

Predstavljajte si hotel z neskončnim številom sob. Pride avtobus z nepreglednim številom bodočih gostov. Toda postaviti vse ni tako enostavno. To so neskončne težave, gostje pa neskončno utrujeni. In če se ne boste spopadli z nalogo, potem lahko izgubite neskončno količino denarja! Kaj narediti?

Odvisnost rasti otroka od višine staršev

Mladi starši seveda želijo vedeti, kako visok bo njihov otrok kot odrasel. Matematična statistika lahko ponudi preprosto linearno razmerje za približno višino otrok, ki temelji le na višini očeta in matere, in tudi nakaže točnost takšne ocene.

Paradoks Montyja Halla je verjetno najbolj znan paradoks v teoriji verjetnosti. Obstaja veliko njegovih različic, na primer paradoks treh zapornikov. In obstaja veliko interpretacij in razlag tega paradoksa. Toda tukaj bi rad dal ne le formalno razlago, ampak pokazal "fizično" osnovo dogajanja v paradoksu Montyja Halla in drugih podobnih.

Klasična formulacija je:

»Ste udeleženec igre. Pred vami so tri vrata. Za enega od njih je nagrada. Voditelj vas vabi, da poskusite uganiti, kje je nagrada. Pokažete na ena od vrat (naključno).

Oblikovanje Monty Hallovega paradoksa

Voditelj ve, kje je nagrada. Še vedno ne odpre vrat, na katera ste pokazali. Odpre pa vam še ena od preostalih vrat, za katerimi ni nagrade. Vprašanje je, ali bi morali spremeniti svojo izbiro ali ostati pri prejšnji odločitvi?

Izkazalo se je, da se bodo vaše možnosti za zmago povečale, če preprosto spremenite svojo izbiro!

Paradoksalnost situacije je očitna. Zdi se, da je vse, kar se zgodi, naključno. Ni razlike, ali si premislite ali ne. Ampak to ni res.

"Fizična" razlaga narave tega paradoksa

Najprej se ne spuščajmo v matematične tankosti, ampak preprosto poglejmo na situacijo odprtega uma.

V tej igri narediš samo prvi naključni izbor. Nato vam voditelj pove dodatne informacije , ki vam omogoča, da povečate svoje možnosti za dobitek.

Kako vam voditelj posreduje dodatne informacije? Zelo preprosto. Upoštevajte, da se odpre ne katerikoli vrata.

Zavoljo poenostavitve (čeprav je v tem tudi element prevare) razmislimo o bolj verjetni situaciji: pokazali ste na vrata, za katerimi ni nagrade. Nato je za enimi od preostalih vrat nagrada Obstaja. Se pravi, voditelj nima izbire. Odpre zelo specifična vrata. (Pokazali ste na enega, za drugim je nagrada, ostala so le še ena vrata, ki jih lahko odpre vodja.)

V tem trenutku smiselne izbire vam da informacije, ki jih lahko uporabite.

IN v tem primeru, uporaba informacij je, da spremenite svojo odločitev.

Mimogrede, tudi vaša druga izbira je že ni naključno(oziroma ne tako naključno kot prva izbira). Konec koncev izbirate med zaprtimi vrati, ena pa so že odprta in to ne poljubno.

Pravzaprav boste po teh premislekih morda imeli občutek, da je bolje, da spremenite svojo odločitev. To je res. Pokažimo to bolj formalno.

Bolj formalna razlaga paradoksa Montyja Halla

Pravzaprav vaša prva, naključna izbira razdeli vsa vrata v dve skupini. Za vrati, ki ste jih izbrali, je dobitek z verjetnostjo 1/3, za ostalima dvema - z verjetnostjo 2/3. Zdaj vodja naredi spremembo: odpre ena vrata v drugi skupini. In zdaj celotna verjetnost 2/3 velja samo za zaprta vrata iz skupine dvojih vrat.

Jasno je, da se vam zdaj bolj splača spremeniti svojo odločitev.

Čeprav seveda še vedno imate možnost izgubiti.

Vendar pa sprememba izbire poveča vaše možnosti za zmago.

Paradoks Montyja Halla

Paradoks Montyja Halla je verjetnostni problem, katerega rešitev je (po mnenju nekaterih) v nasprotju z zdravo pametjo. Formulacija problema:

Predstavljajte si, da ste udeleženec igre, v kateri morate izbrati ena izmed treh vrat. Za enimi vrati je avto, za drugimi dvemi vrati pa koze.
Izberete ena od vrat, na primer številka 1, nato pa vodja, ki ve, kje je avto in kje so koze, odpre ena od preostalih vrat, na primer številka 3, za katerimi je koza.

Paradoks Montyja Halla. Najbolj netočna matematika

Nato vas vpraša, ali želite spremeniti svojo izbiro in izbrati vrata številka 2.
Se bodo vaše možnosti za osvojitev avtomobila povečale, če sprejmete ponudbo voditelja in spremenite svojo izbiro?

Pri reševanju problema se pogosto napačno domneva, da sta obe izbiri neodvisni in se zato verjetnost ne bo spremenila, če se izbira spremeni. Pravzaprav ni tako, kot lahko vidite, če se spomnite Bayesove formule ali si ogledate spodnje rezultate simulacije:

Tukaj: "strategija 1" - ne spreminjajte izbire, "strategija 2" - spremenite izbiro. Teoretično je za primer s 3 vrati porazdelitev verjetnosti 33.(3)% in 66.(6)%. Numerične simulacije bi morale dati podobne rezultate.

Povezave

Paradoks Montyja Halla– problem iz razdelka teorije verjetnosti, katerega rešitev je v nasprotju z zdravo pametjo.

Zgodovina[uredi | uredi wiki besedilo]

Konec leta 1963 je bila predvajana nova pogovorna oddaja »Sklenimo dogovor«. Po scenariju kviza so gledalci iz občinstva prejeli nagrade za pravilne odgovore, ki so jih imeli možnost povečati z novimi stavami, vendar tvegati svoje obstoječe dobitke. Ustanovitelja oddaje sta bila Stefan Hatosu in Monty Hall, slednji je postal njen dolgoletni stalni voditelj.

Ena od nalog udeležencev je bilo žrebanje glavne nagrade, ki se je nahajala za enimi od treh vrat. Za preostalima dvema sta bili stimulativni nagradi, voditeljica pa je poznala vrstni red njihove ureditve. Tekmovalec je moral določiti zmagovalna vrata tako, da je stavil svoj celoten dobitek za oddajo.

Ko se je ugibalec odločil za število, je voditelj odprl ena od preostalih vrat, za katerimi je bila stimulativna nagrada, in povabil igralca, da spremeni prvotno izbrana vrata.

Besedilo[uredi | uredi wiki besedilo]

Kot specifičen problem je paradoks prvi oblikoval Steve Selvin leta 1975, ko je reviji The American Statistician in voditelju Montyju Hallu poslal vprašanje: ali bi se tekmovalčeve možnosti za zmago na glavni nagradi spremenile, če bi po tem, ko je odprl vrata s spodbudo, spremeni svojo izbiro? Po tem incidentu se je pojavil koncept "paradoksa Montyja Halla".

Leta 1990 je bila najpogostejša različica paradoksa objavljena v reviji Parade Magazine s primerom:

»Predstavljajte si sebe v igri, kjer morate izbrati ena od treh vrat: dvoje od njih sta kozi, tretja pa avto. Ko se odločite, ob predpostavki, da so na primer zmagovalna vrata številka ena, vodja odpre ena od preostalih dveh vrat, na primer številka tri, za katerimi je koza. Potem imate možnost spremeniti izbiro na druga vrata? Ali lahko povečate svoje možnosti za osvojitev avtomobila, če svojo izbiro zamenjate z vrat številka ena na vrata številka dve?

Ta formulacija je poenostavljena različica, ker Ostaja dejavnik vpliva voditelja, ki točno ve, kje je avto in ga zanima izguba udeleženca.

Da bi naloga postala povsem matematična, je treba odpraviti človeški faktor z uvedbo odpiranja vrat s spodbujevalno nagrado in možnostjo spreminjanja začetne izbire kot integralnih pogojev.

Rešitev[uredi | uredi wiki besedilo]

Če primerjamo možnosti, na prvi pogled sprememba številke vrat ne bo dala nobene prednosti, ker vse tri možnosti imajo 1/3 možnosti za zmago (cca. 33,33% za vsaka od treh vrat). V tem primeru odpiranje enih vrat ne bo na noben način vplivalo na možnosti preostalih dveh, katerih možnosti bodo postale 1/2 proti 1/2 (50% za vsaka od preostalih dveh vrat). Ta presoja temelji na predpostavki, da sta igralčeva izbira vrat in voditeljeva izbira vrat dva neodvisna dogodka, ki ne vplivata drug na drugega. V resnici je treba upoštevati celotno zaporedje dogodkov kot celoto. V skladu s teorijo verjetnosti so možnosti prvih izbranih vrat od začetka do konca igre vedno 1/3 (cca. 33,33 %), preostali dve pa imata skupaj 1/3+1. /3 = 2/3 (pribl. 66,66%). Ko se odprejo ena od preostalih dveh vrat, postanejo njihove možnosti 0 % (za njimi se skriva spodbudna nagrada), posledično pa bodo možnosti za zaprtje neizbranih vrat 66,66 %, tj. dvakrat toliko kot prvotno izbrani.

Za lažje razumevanje rezultatov izbire lahko razmislite o alternativni situaciji, v kateri bo število možnosti večje, na primer tisoč. Verjetnost izbire dobitne možnosti je 1/1000 (0,1%). Glede na to, da se od preostalih devetsto devetindevetdeset možnosti odpre devetsto osemindevetdeset nepravilnih, postane jasno, da je verjetnost, da ena preostala vrata od devetindevetdeset neizbranih ni večja od tistega edinega izbranega na začetku.

Omembe[uredi | uredi wiki besedilo]

Paradoks Montyja Halla lahko najdete v "Enaindvajset" (film Roberta Luketiča), "Klutz" (roman Sergeja Lukjanenka), televizijski seriji "4isla" (TV serija), "Skrivnostni umor". of a Dog in the Night-Time« (zgodba Marka Haddona), »XKCD« (strip), »MythBusters« (TV oddaja).

Glej tudi[uredi | uredi wiki besedilo]

Slika prikazuje postopek izbire med dvema vkopanima vratoma izmed treh prvotno predlaganih

Primeri rešitev kombinatoričnih nalog

Kombinatorika je znanost, s katero se vsak sreča v vsakdanjem življenju: na koliko načinov izbrati 3 dežurne osebe za čiščenje učilnice ali na koliko načinov sestaviti besedo iz danih črk.

Na splošno vam kombinatorika omogoča, da izračunate, koliko različnih kombinacij, glede na določene pogoje, lahko sestavite iz danih predmetov (enakih ali različnih).

Kot veda je kombinatorika nastala v 16. stoletju, zdaj pa jo preučuje vsak študent (in pogosto celo šolar). Študij začnejo s koncepti permutacij, umestitev, kombinacij (z ali brez ponovitev), težave o teh temah boste našli spodaj. Najbolj znana pravila kombinatorike so pravila vsote in produkta, ki se najpogosteje uporabljajo pri tipičnih kombinatoričnih problemih.

Spodaj boste našli več primerov problemov z rešitvami z uporabo kombinatoričnih konceptov in pravil, ki vam bodo pomagali razumeti tipične naloge. Če imate težave z nalogami, se naročite na test iz kombinatorike.

Kombinatorični problemi s spletnimi rešitvami

Naloga 1. Mama ima 2 jabolki in 3 hruške. Vsak dan 5 dni zapored daje en sadež. Na koliko načinov je to mogoče storiti?

Rešitev kombinatorične naloge 1 (pdf, 35 Kb)

Naloga 2. Podjetje lahko zagotovi delovna mesta za 4 ženske v eni specialnosti, 6 moških v drugi in 3 delavce v tretji, ne glede na spol. Na koliko načinov je mogoče zapolniti prosta delovna mesta, če je prijavljenih 14 kandidatov: 6 žensk in 8 moških?

Rešitev naloge iz kombinatorike 2 (pdf, 39 Kb)

Naloga 3. V potniškem vlaku je 9 vagonov. Na koliko načinov lahko na vlaku sedijo 4 osebe, če se vse vozijo v različnih vagonih?

Rešitev kombinatorične naloge 3 (pdf, 33 Kb)

Naloga 4. V skupini je 9 ljudi. Koliko različnih podskupin lahko sestavite, če sta v podskupini vsaj 2 osebi?

Rešitev kombinatorične naloge 4 (pdf, 34 Kb)

Naloga 5. Skupino 20 študentov je treba razdeliti v 3 ekipe, pri čemer naj bo prva ekipa vključevala 3 osebe, druga - 5 in tretja - 12. Na koliko načinov je to mogoče storiti?

Rešitev naloge iz kombinatorike 5 (pdf, 37 Kb)

Naloga 6. Trener izbere 5 fantov od 10, da bodo v ekipi. Na koliko načinov lahko sestavi ekipo, če bosta v ekipi 2 fanta?

Kombinatorični problem z rešitvijo 6 (pdf, 33 Kb)

Naloga 7.Šahovskega turnirja se je udeležilo 15 šahistov, vsak pa je z vsakim odigral le eno partijo. Koliko iger je bilo odigranih na tem turnirju?

Kombinatorični problem z rešitvijo 7 (pdf, 37 Kb)

Naloga 8. Koliko različnih ulomkov lahko sestavimo iz števil 3, 5, 7, 11, 13, 17, tako da vsak ulomek vsebuje 2 različne številke? Koliko med njimi je pravih ulomkov?

Kombinatorični problem z rešitvijo 8 (pdf, 32 Kb)

Naloga 9. Koliko besed lahko dobite s prerazporeditvijo črk v besedi Gora in Zavod?

Kombinatorični problem z rešitvijo 9 (pdf, 32 Kb)

Problem 10. Katera števila od 1 do 1.000.000 so večja: tista, v katerih je enota, ali tista, v katerih je ni?

Kombinatorični problem z rešitvijo 10 (pdf, 39 Kb)

Pripravljeni primeri

Potrebujete rešene kombinatorične probleme? Poišči v delovnem zvezku:

Druge rešitve problemov v teoriji verjetnosti

"Obstajajo tri vrste laži: laži, preklete laži in statistika." Ta stavek, ki ga je Mark Twain pripisal britanskemu premierju Benjaminu Disraeliju, pošteno odraža odnos večine do matematičnih zakonitosti. Res, verjetnostna teorija včasih pokvari neverjetna dejstva, ki jim je na prvi pogled težko verjeti – in ki jih kljub temu potrjuje znanost. "Teorije in prakse" so spomnile na najbolj znane paradokse.

Problem Montyja Halla

Prav to je problem, ki ga je pretkani profesor MIT predstavil študentom v filmu Enaindvajset. Ko je dal pravilen odgovor, glavni lik konča v ekipi briljantnih mladih matematikov, ki premagujejo igralnice v Las Vegasu.

Klasična formulacija gre takole: »Recimo, da je določenemu igralcu ponujeno sodelovanje v slavni ameriški televizijski oddaji Let's Make a Deal, ki jo vodi Monty Hall, in mora izbrati ena od treh vrat. Za dvemi vrati so koze, za enimi je glavna nagrada, avto, voditeljica pozna lokacijo nagrad. Ko se igralec odloči, gostitelj odpre ena od preostalih vrat, za katerimi je koza, in igralca povabi, naj spremeni svojo odločitev. Ali naj se igralec strinja ali je bolje obdržati prvotno izbiro?«

Tukaj je tipično sklepanje: potem ko gostitelj odpre ena od vrat in pokaže kozo, mora igralec izbrati med dvema vratoma. Avto se nahaja za enim od njih, kar pomeni, da je verjetnost, da ga uganete, ½. Torej ni razlike, ali spremeniti svojo izbiro ali ne. Pa vendar teorija verjetnosti pravi, da lahko povečate svoje možnosti za zmago, če spremenite svojo odločitev. Ugotovimo, zakaj je temu tako.

Če želite to narediti, stopimo korak nazaj. V trenutku, ko smo se prvotno odločili, smo vrata razdelili na dva dela: ena, ki smo jo izbrali, in druga dva. Očitno je verjetnost, da se avto skriva za "našimi" vrati, ⅓ - zato je avto za enimi od obeh preostalih vrat z verjetnostjo ⅔. Ko voditelj pokaže, da je za enimi od teh vrat koza, se izkaže, da ta ⅔ priložnost pade na druga vrata. In to zmanjša igralčevo izbiro na dvoje vrat, od katerih se za enimi (prvotno izbranim) avtomobil nahaja z verjetnostjo ⅓, za drugim pa z verjetnostjo ⅔. Izbira postane očitna. Kar pa seveda ne spremeni dejstva, da je igralec že od vsega začetka lahko izbiral vrata z avtomobilom.

Problem treh zapornikov

Paradoks treh zapornikov je podoben problemu Montyja Halla, čeprav se dogaja v bolj dramatičnem okolju. Trije zaporniki (A, B in C) so obsojeni na smrtna kazen in ga dali v samico. Guverner naključno izbere enega izmed njih in mu da pomilostitev. Upravnik ve, kateri od trojice je bil pomiloščen, a mu je naročeno, naj ostane skrivnost. Zapornik A prosi paznika, naj mu pove ime drugega zapornika (poleg njega samega), ki bo zagotovo usmrčen: »če bo B pomiloščen, mi povej, da bo C pomiloščen, povej mi, da bo B usmrčen .. Če sta oba usmrčena in sem bil pomiloščen, vrzi kovanec in izgovori katero koli od teh dveh imen.« Upravnik pravi, da bo zapornik B usmrčen. Ali naj bo zapornik A srečen?

Zdelo bi se tako. Navsezadnje je bila pred prejemom te informacije verjetnost smrti zapornika A ⅔, zdaj pa ve, da bo eden od drugih dveh zapornikov usmrčen - kar pomeni, da se je verjetnost njegove usmrtitve zmanjšala na ½. A v resnici ujetnik A ni izvedel nič novega: če ne bi bil pomiloščen, bi mu povedali ime drugega jetnika in že je vedel, da bo eden od preostalih dveh usmrčen. Če bo imel srečo in bo usmrtitev preklicana, bo slišal naključno ime B ali C. Zato se njegove možnosti za rešitev niso spremenile v ničemer.

Zdaj pa si predstavljajte, da eden od preostalih zapornikov izve za vprašanje zapornika A in prejeti odgovor. To bo spremenilo njegove poglede na verjetnost pomilostitve.

Če bo ujetnik B slišal pogovor, bo vedel, da bo zagotovo usmrčen. In če je zapornik B, potem bo verjetnost njegove pomilostitve ⅔. Zakaj se je to zgodilo? Zapornik A ni prejel nobenih informacij in ima še vedno ⅓ možnosti za pomilostitev. Zapornik B zagotovo ne bo pomiloščen in njegove možnosti so nične. To pomeni, da je verjetnost, da bo tretji zapornik izpuščen, ⅔.

Paradoks dveh ovojnic

Ta paradoks je postal znan po zaslugi matematika Martina Gardnerja in je formuliran takole: »Predpostavimo, da so vam in prijatelju ponudili dve ovojnici, od katerih ena vsebuje določeno vsoto denarja X, druga pa dvakrat večjo vsoto. Samostojno odprete ovojnice, preštejete denar in jih nato zamenjate. Ovojnici sta enaki, zato je verjetnost, da boste prejeli kuverto z nižjim zneskom, ½. Recimo, da odprete kuverto in v njej najdete 10 dolarjev. Zato je enako verjetno, da kuverta vašega prijatelja vsebuje 5 ali 20 dolarjev. Če se odločite za zamenjavo, potem lahko izračunate matematično pričakovanje končnega zneska - to je njegovo povprečno vrednost. Je 1/2x5$+1/2x20=12,5$. Tako je izmenjava koristna za vas. In najverjetneje bo vaš prijatelj razmišljal enako. Vendar je očitno, da izmenjava ne more biti koristna za oba. Kaj je napaka?

Paradoks je, da dokler ne odprete kuverte, se verjetnosti obnašajo dobro: dejansko imate 50-odstotno možnost, da najdete znesek X v kuverti, in 50-odstotno možnost, da najdete znesek 2X. In zdrava pamet narekuje, da podatek o znesku, ki ga imate, ne more vplivati ​​na vsebino druge ovojnice.

Ko pa kuverto odprete, se situacija dramatično spremeni (ta paradoks je nekoliko podoben zgodbi o Schrödingerjevem mačku, kjer že sama prisotnost opazovalca vpliva na stanje stvari). Dejstvo je, da mora biti verjetnost, da boste v drugi ovojnici našli večji ali manjši znesek od vašega, enaka, da bi izpolnili pogoje paradoksa. Toda potem je vsaka vrednost te vsote od nič do neskončnosti enako verjetna. In če obstaja enako verjetno neskončno število možnosti, se te seštejejo do neskončnosti. In to je nemogoče.

Zaradi jasnosti si lahko predstavljate, da v kuverti najdete en cent. Očitno druga kuverta ne more vsebovati polovice zneska.

Zanimivo je, da se razprave o razrešitvi paradoksa nadaljujejo še danes. Hkrati se poskuša paradoks razložiti od znotraj in razviti najboljša strategija obnašanje v taki situaciji. Zlasti profesor Thomas Cover je predlagal izviren pristop k oblikovanju strategije - spremeniti ali ne spremeniti ovojnice, ki ga vodi nekaj intuitivnih pričakovanj. Recimo, če odprete kuverto in v njej najdete 10 dolarjev – po vaši oceni majhen znesek – se jo splača zamenjati. In če je v kuverti recimo 1000 dolarjev, kar presega vaša najbolj nora pričakovanja, potem menjava ni potrebna. Ta intuitivna strategija, če vas redno prosimo, da izberete dve ovojnici, vam omogoča, da povečate svoje skupne dobitke bolj kot strategija nenehnega menjavanja ovojnic.

Paradoks dečka in dekleta

Ta paradoks je predlagal tudi Martin Gardner in je formuliran takole: »G. Smith ima dva otroka. Vsaj en otrok je deček. Kolikšna je verjetnost, da je tudi drugi fant?

Zdi se, da je naloga preprosta. Vendar, če se začnete ukvarjati s tem, se pojavi zanimiva okoliščina: pravilen odgovor se bo razlikoval glede na to, kako izračunamo verjetnost spola drugega otroka.

Možnost 1

Razmislimo o vseh možnih kombinacijah v družinah z dvema otrokoma:

Dekle/dekle

Dekle/Fant

Fant/Dekle

Fant/Fant

Možnost dekle/dekle nam glede na pogoje naloge ne ustreza. Za družino gospoda Smitha torej obstajajo tri enako verjetne možnosti – kar pomeni, da je verjetnost, da bo tudi drugi otrok fantek, ⅓. To je točno odgovor, ki ga je sprva dal sam Gardner.

Možnost 2

Predstavljajmo si, da gospoda Smitha srečamo na ulici, ko se sprehaja s svojim sinom. Kakšna je verjetnost, da bo tudi drugi otrok deček? Ker spol drugega otroka nima nobenega vpliva na spol prvega, je očiten (in pravilen) odgovor ½.

Zakaj se to dogaja, saj se zdi, da se ni nič spremenilo?

Vse je odvisno od tega, kako se lotimo vprašanja izračuna verjetnosti. V prvem primeru smo upoštevali vse možne možnosti Družina Smith. V drugem smo upoštevali vse družine, ki spadajo pod predpogoj"mora biti en fant." Izračun verjetnosti spola drugega otroka je bil izveden s tem pogojem (v teoriji verjetnosti se to imenuje "pogojna verjetnost"), kar je privedlo do rezultata, ki se razlikuje od prvega.