Μπορείτε να κάνετε τα πάντα με τα κλάσματα, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης. Αυτό το άρθρο δείχνει τη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων. Θα δοθούν ορισμοί και θα συζητηθούν παραδείγματα. Ας σταθούμε αναλυτικά στη διαίρεση των κλασμάτων με τους φυσικούς αριθμούς και το αντίστροφο. Θα συζητηθεί η διαίρεση ενός κοινού κλάσματος με έναν μικτό αριθμό.
Διαίρεση κλασμάτων
Η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Κατά τη διαίρεση, ο άγνωστος παράγοντας βρίσκεται στο διάσημο έργοκαι ένας άλλος παράγοντας, όπου η δεδομένη σημασία του διατηρείται με συνηθισμένα κλάσματα.
Εάν είναι απαραίτητο να διαιρέσετε ένα κοινό κλάσμα a b με το c d, τότε για να προσδιορίσετε έναν τέτοιο αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσετε με τον διαιρέτη c d, αυτό θα δώσει τελικά το μέρισμα a b. Ας πάρουμε έναν αριθμό και τον γράψουμε a b · d c , όπου d c είναι το αντίστροφο του c d αριθμού. Οι ισότητες μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, δηλαδή: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, όπου η παράσταση a b · d c είναι το πηλίκο της διαίρεσης του a b με το c d.
Από εδώ λαμβάνουμε και διατυπώνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:
Ορισμός 1
Για να διαιρέσετε ένα κοινό κλάσμα a b με c d, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Ας γράψουμε τον κανόνα σε μορφή έκφρασης: α β: γ δ = α β · δ γ
Οι κανόνες της διαίρεσης καταλήγουν στον πολλαπλασιασμό. Για να το διατηρήσετε, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της διαίρεσης των συνηθισμένων κλασμάτων.
Παράδειγμα 1
Διαιρέστε το 9 7 με το 5 3. Γράψε το αποτέλεσμα ως κλάσμα.
Διάλυμα
Ο αριθμός 5 3 είναι το αμοιβαίο κλάσμα 3 5. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Γράφουμε αυτήν την έκφραση ως εξής: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Απάντηση: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Κατά τη μείωση των κλασμάτων, διαχωρίστε ολόκληρο το μέρος εάν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
Παράδειγμα 2
Διαιρέστε 8 15: 24 65. Γράψε την απάντηση ως κλάσμα.
Διάλυμα
Για να λύσετε, πρέπει να μετακινηθείτε από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Ας το γράψουμε με αυτή τη μορφή: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Είναι απαραίτητο να κάνετε μια μείωση και αυτό γίνεται ως εξής: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Επιλέξτε ολόκληρο το μέρος και λάβετε 13 9 = 1 4 9.
Απάντηση: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Διαίρεση ενός έκτακτου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαίρεσης ενός κλάσματος με φυσικός αριθμός: για να διαιρέσετε το b με έναν φυσικό αριθμό n, χρειάζεται μόνο να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με το n. Από εδώ παίρνουμε την έκφραση: a b: n = a b · n.
Ο κανόνας της διαίρεσης είναι συνέπεια του κανόνα του πολλαπλασιασμού. Επομένως, η αναπαράσταση ενός φυσικού αριθμού ως κλάσματος θα δώσει μια ισότητα αυτού του τύπου: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Θεωρήστε αυτή τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό.
Παράδειγμα 3
Διαιρέστε το κλάσμα 16 45 με τον αριθμό 12.
Διάλυμα
Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό. Λαμβάνουμε μια έκφραση της μορφής 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Ας μειώσουμε το κλάσμα. Παίρνουμε 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Απάντηση: 16 45: 12 = 4 135 .
Διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ένα κλάσμα
Ο κανόνας της διαίρεσης είναι παρόμοιος Οο κανόνας για τη διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα: για να διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό n με ένα συνηθισμένο κλάσμα a b, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό n με το αντίστροφο του κλάσματος a b.
Με βάση τον κανόνα, έχουμε n: a b = n · b a, και χάρη στον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα, παίρνουμε την έκφρασή μας με τη μορφή n: a b = n · b a. Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αυτή τη διαίρεση με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 4
Διαιρέστε το 25 με το 15 28.
Διάλυμα
Πρέπει να περάσουμε από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Ας το γράψουμε με τη μορφή της έκφρασης 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Ας μειώσουμε το κλάσμα και ας πάρουμε το αποτέλεσμα με τη μορφή του κλάσματος 46 2 3.
Απάντηση: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Διαίρεση κλάσματος με μικτό αριθμό
Όταν διαιρείτε ένα κοινό κλάσμα με έναν μικτό αριθμό, μπορείτε εύκολα να αρχίσετε να διαιρείτε κοινά κλάσματα. Πρέπει να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα.
Παράδειγμα 5
Διαιρέστε το κλάσμα 35 16 με το 3 1 8.
Διάλυμα
Επειδή το 3 1 8 είναι μικτός αριθμός, ας τον παραστήσουμε ως ακατάλληλο κλάσμα. Τότε παίρνουμε 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Τώρα ας διαιρέσουμε τα κλάσματα. Παίρνουμε 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Απάντηση: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Η διαίρεση ενός μικτού αριθμού γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (βλ. μάθημα «Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων»). Το πιο δύσκολο μέρος αυτών των ενεργειών ήταν να φέρουν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Τα καλά νέα είναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμη πιο απλές από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, ας δούμε απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διαχωρισμένο ακέραιο μέρος.
Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.
Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο κλάσμα.
Ονομασία:
Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται στον πολλαπλασιασμό. Για να «αναποδογυρίσετε» ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, σε όλο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.
Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα αναγώγιμο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - αυτό, φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν μετά από όλες τις μειώσεις το κλάσμα αποδειχθεί λανθασμένο, θα πρέπει να τονιστεί ολόκληρο το τμήμα. Αλλά αυτό που σίγουρα δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρωμένες μεθόδους, μεγαλύτερους παράγοντες και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.
Εξ ορισμού έχουμε:
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ολόκληρα μέρη και αρνητικά κλάσματα
Εάν τα κλάσματα περιέχουν ένα ακέραιο μέρος, πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.
Εάν υπάρχει ένα μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τον πολλαπλασιασμό ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:
- Συν με πλην δινει πλην?
- Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.
Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες υπήρχαν μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν ήταν απαραίτητο να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα έργο, μπορούν να γενικευτούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:
- Διαγράφουμε τα αρνητικά ανά δύο μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε ακραίες περιπτώσεις, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό για το οποίο δεν υπήρχε σύντροφος.
- Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Αν δεν διαγραφεί το τελευταίο μείον, επειδή δεν υπήρχε ζευγάρι για αυτό, το βγάζουμε από τα όρια πολλαπλασιασμού. Το αποτέλεσμα είναι ένα αρνητικό κλάσμα.
Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Μετατρέπουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά αφαιρούμε τα πλην από τον πολλαπλασιασμό. Πολλαπλασιάζουμε ό,τι απομένει σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:
Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που εμφανίζεται μπροστά από ένα κλάσμα με τονισμένο ολόκληρο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο σε ολόκληρο το τμήμα του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).
Προσοχή επίσης στους αρνητικούς αριθμούς: όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε παρένθεση. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει πιο ακριβής ολόκληρη η σημείωση.
Μείωση κλασμάτων εν κινήσει
Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πράξη που απαιτεί πολύ κόπο. Οι αριθμοί εδώ αποδεικνύονται αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε το πρόβλημα, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε περαιτέρω το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:
Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Εξ ορισμού έχουμε:
Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι απομένει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.
Σημειώστε: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Στη θέση τους παραμένουν ενότητες που, γενικά, δεν χρειάζεται να γραφτούν. Στο δεύτερο παράδειγμα πλήρης μείωσηΔεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί αυτό, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.
Ωστόσο, μην χρησιμοποιείτε ποτέ αυτή την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:
Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!
Το σφάλμα προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι όταν προσθέτουμε τον αριθμητή ενός κλάσματος, εμφανίζεται το άθροισμα και όχι το γινόμενο των αριθμών. Κατά συνέπεια, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, καθώς αυτή η ιδιότητα ασχολείται ειδικά με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.
Απλώς δεν υπάρχουν άλλοι λόγοι για τη μείωση των κλασμάτων, έτσι η σωστή απόφασηη προηγούμενη εργασία μοιάζει με αυτό:
Σωστή λύση:
Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν τόσο όμορφη. Σε γενικές γραμμές, να είστε προσεκτικοί.
Ένα κλάσμα είναι ένα ή περισσότερα μέρη ενός συνόλου, που συνήθως λαμβάνεται ως ένα (1). Όπως και με τους φυσικούς αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε όλες τις βασικές αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση, πολλαπλασιασμό) για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τα χαρακτηριστικά της εργασίας με κλάσματα και να διακρίνετε τους τύπους τους. Υπάρχουν διάφοροι τύποι κλασμάτων: δεκαδικά και συνηθισμένα ή απλά. Κάθε τύπος κλάσματος έχει τις δικές του ιδιαιτερότητες, αλλά μόλις κατανοήσετε καλά πώς να τα χειρίζεστε, θα μπορείτε να λύσετε τυχόν παραδείγματα με κλάσματα, αφού θα γνωρίζετε τις βασικές αρχές εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών με κλάσματα. Ας δούμε παραδείγματα για το πώς να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπουςκλάσματα
Πώς να διαιρέσετε ένα απλό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό;Συνήθη ή απλά κλάσματα είναι αυτά που γράφονται με τη μορφή αναλογίας αριθμών στον οποίο το μέρισμα (αριθμητής) υποδεικνύεται στην κορυφή του κλάσματος και ο διαιρέτης (παρονομαστής) του κλάσματος στο κάτω μέρος. Πώς να διαιρέσετε ένα τέτοιο κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό; Ας δούμε ένα παράδειγμα! Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 8/12 με το 2.
Για να γίνει αυτό πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από ενέργειες:
Έτσι, εάν αντιμετωπίζουμε το έργο της διαίρεσης ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό, το σχήμα λύσης θα μοιάζει κάπως έτσι: 
Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να διαιρέσετε οποιοδήποτε συνηθισμένο (απλό) κλάσμα με έναν ακέραιο.
Πώς να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με έναν ακέραιο αριθμό;
Δεκαδικός είναι ένα κλάσμα που προκύπτει από τη διαίρεση μιας μονάδας σε δέκα, χίλια κ.λπ. μέρη. Η αριθμητική με δεκαδικούς αριθμούς είναι αρκετά απλή.
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,925 με τον φυσικό αριθμό 5.
Για να συνοψίσουμε, ας σταθούμε σε δύο κύρια σημεία που είναι σημαντικά κατά την εκτέλεση της λειτουργίας διαίρεσης δεκαδικάκατά ακέραιο αριθμό: - Για να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, χρησιμοποιείται διαίρεση μεγάλης διάρκειας.
- Ένα κόμμα μπαίνει σε πηλίκο όταν ολοκληρωθεί η διαίρεση ολόκληρου του μερίσματος.
Να λύσει διάφορα καθήκοντααπό ένα μάθημα μαθηματικών και φυσικής πρέπει να διαιρέσεις κλάσματα. Αυτό είναι πολύ εύκολο να το κάνετε εάν γνωρίζετε ορισμένους κανόνες για την εκτέλεση αυτής της μαθηματικής πράξης.
Πριν προχωρήσουμε στη διατύπωση του κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων, ας θυμηθούμε μερικούς μαθηματικούς όρους:
- Το πάνω μέρος του κλάσματος ονομάζεται αριθμητής και το κάτω μέρος ονομάζεται παρονομαστής.
- Κατά τη διαίρεση, οι αριθμοί καλούνται ως εξής: μέρισμα: διαιρέτης = πηλίκο
Πώς να διαιρέσετε τα κλάσματα: απλά κλάσματα
Για να διαιρέσετε δύο απλά κλάσματα, πολλαπλασιάστε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη. Αυτό το κλάσμα ονομάζεται επίσης ανεστραμμένο επειδή προκύπτει από την εναλλαγή του αριθμητή και του παρονομαστή. Για παράδειγμα:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Πώς να διαιρέσετε τα κλάσματα: μικτά κλάσματα
Εάν πρέπει να διαιρέσουμε μικτά κλάσματα, τότε όλα εδώ είναι επίσης αρκετά απλά και ξεκάθαρα. Αρχικά, μετατρέπουμε το μικτό κλάσμα σε κανονικό ακατάλληλο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή ενός τέτοιου κλάσματος με έναν ακέραιο και προσθέστε τον αριθμητή στο γινόμενο που προκύπτει. Ως αποτέλεσμα, έχουμε έναν νέο αριθμητή μικτό κλάσμα, και ο παρονομαστής του θα παραμείνει αμετάβλητος. Περαιτέρω, η διαίρεση των κλασμάτων θα πραγματοποιηθεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως η διαίρεση των απλών κλασμάτων. Για παράδειγμα:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Πώς να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να διαιρέσουμε ένα απλό κλάσμα με έναν αριθμό, ο τελευταίος θα πρέπει να γραφεί ως κλάσμα (ακανόνιστο). Αυτό είναι πολύ εύκολο να γίνει: αυτός ο αριθμός γράφεται στη θέση του αριθμητή και ο παρονομαστής ενός τέτοιου κλάσματος είναι ίσος με ένα. Η περαιτέρω διαίρεση πραγματοποιείται με τον συνήθη τρόπο. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά
Συχνά ένας ενήλικας δυσκολεύεται να διαιρέσει έναν ακέραιο αριθμό ή ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα δεκαδικό κλάσμα χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής.
Έτσι, για να διαιρέσετε δεκαδικούς αριθμούς, πρέπει απλώς να διαγράψετε το κόμμα στον διαιρέτη και να σταματήσετε να δίνετε προσοχή σε αυτό. Στο μέρισμα, το κόμμα πρέπει να μετακινηθεί προς τα δεξιά ακριβώς τόσες θέσεις όσες ήταν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη, προσθέτοντας μηδενικά εάν χρειάζεται. Και μετά εκτελούν τη συνήθη διαίρεση με έναν ακέραιο. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.
Περιεχόμενο μαθήματοςΠροσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι προσθήκης κλασμάτων:
- Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
- Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αρχικά, ας μάθουμε την πρόσθεση κλασμάτων με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:
Παράδειγμα 2.Προσθέστε κλάσματα και .
Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Όταν έρθει το τέλος της εργασίας, είναι συνηθισμένο να απαλλαγούμε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του. Στην περίπτωσή μας, ολόκληρο το μέρος απομονώνεται εύκολα - δύο διαιρούνται με δύο ίσον ένα:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:
Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .
Και πάλι, αθροίζουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:
Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα πάρετε πίτσα:
Παράδειγμα 4.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Τώρα ας μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.
Για παράδειγμα, μπορούν να προστεθούν κλάσματα επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν αμέσως, αφού αυτά τα κλάσματα διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο μία από αυτές, αφού οι άλλες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.
Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι πρώτα γίνεται αναζήτηση του LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος για να ληφθεί ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.
Στη συνέχεια, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1. Ας προσθέσουμε τα κλάσματα και
Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6
LCM (2 και 3) = 6
Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λάβετε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.
Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, κάντε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώστε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.
Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος επιπλέον πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:
Τώρα τα έχουμε όλα έτοιμα για προσθήκη. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Αυτό συμπληρώνει το παράδειγμα. Αποδεικνύεται να προσθέσετε .
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσα σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο μιας πίτσας:
Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τα ίδια κομμάτια πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).
Το πρώτο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι), και το δεύτερο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Προσθέτοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι ακατάλληλο, οπότε τονίσαμε ολόκληρο το μέρος του. Ως αποτέλεσμα, πήραμε (μία ολόκληρη πίτσα και μια άλλη έκτη πίτσα).
Σημειώστε ότι έχουμε περιγράψει αυτό το παράδειγμαπολύ λεπτομερής. ΣΕ εκπαιδευτικά ιδρύματαΔεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόση λεπτομέρεια. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν με τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:
Υπάρχει όμως και η άλλη όψη του νομίσματος. Εάν δεν κρατάτε λεπτομερείς σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε αρχίζουν να εμφανίζονται ερωτήσεις αυτού του είδους. «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.
Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:
- Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
- Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα.
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
- Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
- Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος του.
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
.
Ας χρησιμοποιήσουμε τις οδηγίες που δίνονται παραπάνω.
Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων
Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4
Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Τον γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους
Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέστε το:
Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή νέα γραμμή. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.
Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της
Η απάντησή μας αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να αναδείξουμε ένα ολόκληρο κομμάτι του. Τονίζουμε:
Λάβαμε απάντηση
Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:
- Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
- Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας κάνουμε αυτό:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
- Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της.
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα επειδή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά δεν μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το δεύτερο κλάσμα.
Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1.Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Πρώτα βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12
LCM (3 και 4) = 12
Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράψτε ένα τέσσερα πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τρία στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα είμαστε έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Λάβαμε απάντηση
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Αν κόψεις πίτσα από πίτσα, παίρνεις πίτσα
Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα πιο σύντομα. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:
Η αναγωγή των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν σε ίσα μερίδια (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):
Η πρώτη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα), και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ας βρούμε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:
Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.
Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:
Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα κανονικό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο απλό. Τι μπορεί να γίνει; Μπορείτε να συντομεύσετε αυτό το κλάσμα.
Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (GCD) των αριθμών 20 και 30.
Έτσι, βρίσκουμε το gcd των αριθμών 20 και 30:
Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το gcd που βρέθηκε, δηλαδή με το 10
Λάβαμε απάντηση
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε ένα κλάσμα με τον αριθμό 1.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1
Η ηχογράφηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως η λήψη μισής ώρας. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα μια φορά, θα πάρετε πίτσα
Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο παράγοντας ανταλλάσσονται, το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος λειτουργεί:
Αυτός ο συμβολισμός μπορεί να γίνει κατανοητός ως λήψη του μισού του ενός. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4
Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε 4 πίτσες, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες
Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή, παίρνουμε την έκφραση . Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της.
Παράδειγμα 1.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Λάβαμε απάντηση. Συνιστάται να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:
Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:
Θα φτιάξουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει η πίτσα όταν χωρίζεται σε τρία μέρη:
Ένα κομμάτι αυτής της πίτσας και τα δύο κομμάτια που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:
Με άλλα λόγια, μιλάμε για πίτσα ίδιου μεγέθους. Επομένως η αξία της έκφρασης είναι
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:
Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση αποδείχθηκε κανονικό κλάσμα, αλλά καλό θα ήταν να συντομευόταν. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτης(GCD) αριθμοί 105 και 450.
Λοιπόν, ας βρούμε το gcd των αριθμών 105 και 450:
Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας με το gcd που βρήκαμε τώρα, δηλαδή με το 15
Αναπαράσταση ακέραιου αριθμού ως κλάσμα
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Αυτό δεν θα αλλάξει την έννοια του πέντε, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα" και αυτό, όπως γνωρίζουμε, είναι ίσο με πέντε:
Αμοιβαίοι αριθμοί
Τώρα θα εξοικειωθούμε με πολύ ενδιαφέρον θέμαστα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».
Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει ένα.
Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για τη μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:
Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει ένα.
Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό. Ας φανταστούμε το πέντε ως κλάσμα:
Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανάποδα:
Τι θα συμβεί ως αποτέλεσμα αυτού; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:
Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν πολλαπλασιάσετε το 5 με το παίρνετε ένα.
Το αντίστροφο ενός αριθμού μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.
Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο οποιουδήποτε άλλου κλάσματος. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αναποδογυρίστε το.
Διαιρώντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόση πίτσα θα πάρει ο καθένας;
Φαίνεται ότι μετά τη διαίρεση της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.
Η διαίρεση των κλασμάτων γίνεται με τη χρήση αντίστροφων. Οι αμοιβαίοι αριθμοί σας επιτρέπουν να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με τον πολλαπλασιασμό.
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, θα γράψουμε τη διαίρεση της μισής πίτσας μας σε δύο μέρη.
Επομένως, πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα με τον αριθμό 2. Εδώ το μέρισμα είναι το κλάσμα και ο διαιρέτης είναι ο αριθμός 2.
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με τον αριθμό 2, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη 2. Το αντίστροφο του διαιρέτη 2 είναι το κλάσμα. Πρέπει λοιπόν να πολλαπλασιάσετε με