Διατύπωση

Η πιο δημοφιλής είναι η εργασία με πρόσθετη συνθήκη Νο. 6 από τον πίνακα - ο συμμετέχων στο παιχνίδι γνωρίζει εκ των προτέρων τους ακόλουθους κανόνες:

• το αυτοκίνητο είναι εξίσου πιθανό να τοποθετηθεί πίσω από οποιαδήποτε από τις 3 πόρτες.
• Σε κάθε περίπτωση, ο παρουσιαστής είναι υποχρεωμένος να ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα και να καλέσει τον παίκτη να αλλάξει την επιλογή, αλλά όχι την πόρτα που διάλεξε ο παίκτης.
• αν ο αρχηγός έχει να επιλέξει ποια από τις 2 πόρτες να ανοίξει, επιλέγει μία από αυτές με ίση πιθανότητα.

Το παρακάτω κείμενο εξετάζει το πρόβλημα του Monty Hall ακριβώς σε αυτή τη διατύπωση.

Ανάλυση

Όταν λύνουν αυτό το πρόβλημα, συνήθως σκέφτονται κάτι τέτοιο: ο ηγέτης καταλήγει πάντα να αφαιρεί μια πόρτα που χάνει και στη συνέχεια η πιθανότητα να εμφανιστεί ένα αυτοκίνητο πίσω από δύο ανοιχτές γίνεται ίση με το 1/2, ανεξάρτητα από την αρχική επιλογή.

Το όλο θέμα είναι ότι με την αρχική του επιλογή ο συμμετέχων χωρίζει τις πόρτες: ο εκλεκτός ΕΝΑκαι άλλα δύο - σιΚαι ντο. Η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την επιλεγμένη πόρτα = 1/3, να βρίσκεται πίσω από τις άλλες = 2/3.

Για καθεμία από τις υπόλοιπες πόρτες, η τρέχουσα κατάσταση περιγράφεται ως εξής:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Όπου 1/2 είναι η υπό όρους πιθανότητα να βρεθεί ένα αυτοκίνητο ακριβώς πίσω από μια δεδομένη πόρτα, υπό την προϋπόθεση ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται πίσω από την πόρτα που έχει επιλέξει ο παίκτης.

Ο παρουσιαστής, ανοίγοντας μια από τις υπόλοιπες πόρτες, η οποία είναι πάντα χαμένη, ενημερώνει τον παίκτη ακριβώς 1 bit πληροφοριών και αλλάζει τις υπό όρους πιθανότητες για το B και το C, αντίστοιχα, σε "1" και "0".

Ως αποτέλεσμα, οι εκφράσεις παίρνουν τη μορφή:

Ρ(Β) = 2/3*1 = 2/3

Έτσι, ο συμμετέχων θα πρέπει να αλλάξει την αρχική του επιλογή - σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα να κερδίσει θα είναι ίση με 2/3.

Μία από τις απλούστερες εξηγήσεις είναι η εξής: αν αλλάξετε την πόρτα μετά τις ενέργειες του οικοδεσπότη, τότε κερδίζετε αν αρχικά επιλέξατε την ηττημένη πόρτα (τότε ο οικοδεσπότης θα ανοίξει τη δεύτερη χαμένη και θα πρέπει να αλλάξετε την επιλογή σας για να κερδίσετε) . Και αρχικά μπορείτε να επιλέξετε μια χαμένη πόρτα με 2 τρόπους (πιθανότητα 2/3), δηλ. αν αλλάξεις πόρτα, κερδίζεις με πιθανότητα 2/3.

Αυτό το συμπέρασμα έρχεται σε αντίθεση με τη διαισθητική αντίληψη της κατάστασης από τους περισσότερους ανθρώπους, γι 'αυτό ονομάζεται η περιγραφόμενη εργασία Παράδοξο Monty Hall, δηλ. ένα παράδοξο με την καθημερινή έννοια.

Και η διαισθητική αντίληψη είναι η εξής: ανοίγοντας την πόρτα με την κατσίκα, ο παρουσιαστής θέτει ένα νέο καθήκον για τον παίκτη, το οποίο σε καμία περίπτωση δεν συνδέεται με την προηγούμενη επιλογή - τελικά, η κατσίκα θα είναι πίσω από την ανοιχτή πόρτα ανεξάρτητα από το αν ο παίκτης προηγουμένως διάλεξε μια κατσίκα ή ένα αυτοκίνητο. Αφού ανοίξει η τρίτη πόρτα, ο παίκτης θα πρέπει να κάνει ξανά μια επιλογή - και να επιλέξει είτε την ίδια πόρτα που επέλεξε πριν, είτε άλλη. Δηλαδή δεν αλλάζει την προηγούμενη επιλογή του, αλλά κάνει νέα. Η μαθηματική λύση θεωρεί δύο διαδοχικές εργασίες του ηγέτη ως σχετιζόμενες μεταξύ τους.

Ωστόσο, θα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη τον παράγοντα από την προϋπόθεση ότι ο παρουσιαστής θα ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα από τους υπόλοιπους δύο και όχι την πόρτα που επέλεξε ο παίκτης. Επομένως, η εναπομείνασα πόρτα έχει περισσότερες πιθανότητες να είναι το αυτοκίνητο αφού δεν επιλέχθηκε από τον αρχηγό. Αν αναλογιστούμε την περίπτωση που ο παρουσιαστής, γνωρίζοντας ότι υπάρχει μια κατσίκα πίσω από την πόρτα που έχει επιλέξει ο παίκτης, ωστόσο ανοίγει αυτήν την πόρτα, κάνοντάς το αυτό σκόπιμα θα μειώσει τις πιθανότητες του παίκτη να επιλέξει τη σωστή πόρτα, γιατί πιθανότητα η σωστή επιλογήθα είναι ήδη 1/2. Αλλά αυτού του είδους το παιχνίδι θα έχει διαφορετικούς κανόνες.

Ας δώσουμε μια ακόμη εξήγηση. Ας υποθέσουμε ότι παίζετε σύμφωνα με το σύστημα που περιγράφεται παραπάνω, δηλ. Από τις δύο υπόλοιπες πόρτες, επιλέγετε πάντα μια πόρτα διαφορετική από την αρχική σας επιλογή. Σε ποια περίπτωση θα χάσεις; Απώλεια θα προκύψει εάν και μόνο εάν από την αρχή επιλέξατε την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο, γιατί στη συνέχεια θα αλλάξετε αναπόφευκτα την απόφασή σας υπέρ της πόρτας με μια κατσίκα, σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα κερδίσετε, δηλαδή , αν από την αρχή κάναμε λάθος με την επιλογή της πόρτας. Αλλά η πιθανότητα να επιλέξετε την πόρτα με την κατσίκα από την αρχή είναι 2/3, οπότε αποδεικνύεται ότι για να κερδίσετε χρειάζεστε ένα λάθος, η πιθανότητα του οποίου είναι διπλάσια από τη σωστή επιλογή.

Αναφορές

• Στην ταινία Twenty-One, ο δάσκαλος, Miki Rosa, προσφέρει στον κύριο χαρακτήρα, τον Ben, να λύσει ένα πρόβλημα: πίσω από τρεις πόρτες υπάρχουν δύο σκούτερ και ένα αυτοκίνητο, πρέπει να μαντέψετε την πόρτα με το αυτοκίνητο. Μετά την πρώτη επιλογή, ο Miki προτείνει αλλαγή της επιλογής. Ο Μπεν συμφωνεί και επιχειρηματολογεί μαθηματικά για την απόφασή του. Έτσι περνά ακούσια το τεστ για την ομάδα της Mika.
• Στο μυθιστόρημα του Sergei Lukyanenko «Klutz», οι κύριοι χαρακτήρες, χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική, κερδίζουν μια άμαξα και την ευκαιρία να συνεχίσουν το ταξίδι τους.
• Στην τηλεοπτική σειρά "4isla" (επεισόδιο 13 της σεζόν 1 "Man Hunt"), ένας από τους βασικούς χαρακτήρες, ο Charlie Epps, εξηγεί το παράδοξο του Monty Hall σε μια δημοφιλή διάλεξη για τα μαθηματικά, απεικονίζοντάς το οπτικά χρησιμοποιώντας πίνακες μαρκαδόρων με κατσίκες και αυτοκίνητο τραβηγμένο στις πίσω πλευρές. Ο Τσάρλι βρίσκει πραγματικά το αυτοκίνητο αφού αλλάξει την επιλογή του. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί ότι διεξάγει μόνο ένα πείραμα, ενώ το πλεονέκτημα της στρατηγικής αλλαγής επιλογής είναι στατιστικό και θα πρέπει να διεξαχθεί μια σειρά πειραμάτων για να το απεικονίσει σωστά.
• Το παράδοξο του Monty Hall συζητείται στο ημερολόγιο του ήρωα της ιστορίας του Mark Haddon «The Curious Murder of the Dog in the Night-Time».
• Το Monty Hall Paradox δοκιμάστηκε από την MythBusters

δείτε επίσης

• Το παράδοξο του Μπερτράν

Συνδέσεις

	Παράδοξο Monty Hallστα Βικιβιβλία
	Παράδοξο Monty Hallστο Wikimedia Commons

• Διαδραστικό πρωτότυπο: για όσους θέλουν να χαζεύουν (η γενιά εμφανίζεται μετά την πρώτη επιλογή)
• Διαδραστικό πρωτότυπο: ένα πραγματικό πρωτότυπο του παιχνιδιού (οι κάρτες δημιουργούνται πριν από την επιλογή, το έργο του πρωτοτύπου είναι διαφανές)
• Επεξηγηματικό βίντεο στον ιστότοπο Smart Videos .ru

• Weisstein, Eric W.Το Monty Hall's Paradox (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
• The Monty Hall Paradox στον ιστότοπο της τηλεοπτικής εκπομπής Let’s Make a deal
• Ένα απόσπασμα από το βιβλίο του S. Lukyanenko, που χρησιμοποιεί το παράδοξο του Monty Hall
• Μια άλλη λύση Bayes Μια άλλη λύση Bayes στο φόρουμ του Novosibirsk State University

Βιβλιογραφία

• Gmurman V.E.Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές, - M.: Ανώτερη εκπαίδευση. 2005
• Gnedin, Sasha "The Mondee Gills Game." περιοδικό Ο Μαθηματικός Ευφυής, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
• Περιοδικό Paradeαπό 17 Φεβρουαρίου.
• vos Savant, Marilyn. Στήλη «Ρωτήστε τη Μέριλιν», περιοδικό Περιοδικό Paradeαπό 26 Φεβρουαρίου.
• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. "Ένα παιχνίδι με τρεις πόρτες και μερικές από τις παραλλαγές του." Περιοδικό Ο Μαθηματικός Επιστήμονας, 1992, № 2.
• Τιμς, Χενκ. Κατανόηση Κανόνων Πιθανοτήτων, Ευκαιριών στην Καθημερινή Ζωή. Cambridge University Press, Νέα Υόρκη, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Σημειώσεις

Ίδρυμα Wikimedia.

2010.

Δείτε τι είναι το "Monty Hall Paradox" σε άλλα λεξικά:

- (The Tie Paradox) είναι ένα πολύ γνωστό παράδοξο, παρόμοιο με το πρόβλημα των δύο φακέλων, το οποίο καταδεικνύει επίσης τις ιδιαιτερότητες της υποκειμενικής αντίληψης της θεωρίας πιθανοτήτων. Η ουσία του παραδόξου: δύο άντρες δίνουν ο ένας στον άλλο γραβάτες για τα Χριστούγεννα, αγορασμένες από αυτούς... ... Wikipedia

Οικολογία της γνώσης. Ένα από τα προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων είναι το πιο ενδιαφέρον και φαινομενικά αντιφατικό παράδοξο του Monty Hall, που πήρε το όνομά του από τον παρουσιαστή της αμερικανικής τηλεοπτικής εκπομπής «Let’s Make A Deal».

Πολλοί από εμάς πιθανότατα έχουμε ακούσει για τη θεωρία πιθανοτήτων - έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών που μελετά μοτίβα σε τυχαία φαινόμενα, τυχαία γεγονότα, καθώς και τις ιδιότητές τους. Και μόνο ένα από τα προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων είναι το πιο ενδιαφέρον και φαινομενικά αντιφατικό παράδοξο του Monty Hall, που πήρε το όνομά του από τον οικοδεσπότη της αμερικανικής τηλεοπτικής εκπομπής «Let’s Make A Deal». Θέλουμε να σας παρουσιάσουμε αυτό το παράδοξο σήμερα.

Ορισμός του Monty Hall Paradox

Ως πρόβλημα, το παράδοξο του Monty Hall ορίζεται με τη μορφή περιγραφών του παραπάνω παιχνιδιού, η πιο κοινή μεταξύ των οποίων είναι η διατύπωση που δημοσιεύτηκε από το Parade Magazine το 1990.

Σύμφωνα με αυτό, ένα άτομο πρέπει να φανταστεί τον εαυτό του ως συμμετέχοντα σε ένα παιχνίδι όπου πρέπει να επιλέξει μια πόρτα από τις τρεις.

Πίσω από τη μια πόρτα είναι ένα αυτοκίνητο και πίσω από τις άλλες κατσίκες. Ο παίκτης πρέπει να επιλέξει μία πόρτα, για παράδειγμα, την πόρτα Νο. 1.

Και ο αρχηγός, που ξέρει τι υπάρχει πίσω από κάθε πόρτα, ανοίγει μια από τις δύο πόρτες που παραμένουν, για παράδειγμα, την πόρτα Νο 3, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα.

Μετά από αυτό, ο οικοδεσπότης ρωτά τον παίκτη εάν θα ήθελε να αλλάξει την αρχική του επιλογή και να επιλέξει την πόρτα Νο. 2;

Ερώτηση: Θα αυξηθούν οι πιθανότητες νίκης ενός παίκτη αν αλλάξει την επιλογή του;

Αλλά μετά τη δημοσίευση αυτού του ορισμού, αποδείχθηκε ότι η εργασία του παίκτη διατυπώθηκε κάπως εσφαλμένα, επειδή Δεν έχουν συζητηθεί όλες οι προϋποθέσεις.

Για παράδειγμα, ο οικοδεσπότης του παιχνιδιού μπορεί να επιλέξει μια στρατηγική "Monty from Hell", προσφέροντας να αλλάξει την επιλογή μόνο εάν ο παίκτης μάντευε αρχικά την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο.

Και γίνεται σαφές ότι η αλλαγή της επιλογής θα οδηγήσει σε απώλεια 100%.

Επομένως, η πιο δημοφιλής διατύπωση του προβλήματος ήταν με την ειδική συνθήκη Νο. 6 από έναν ειδικό πίνακα:

• Ένα αυτοκίνητο είναι εξίσου πιθανό να βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα
• Ο οικοδεσπότης είναι πάντα υποχρεωμένος να ανοίγει την πόρτα με μια κατσίκα διαφορετική από αυτή που έχει επιλέξει ο παίκτης και να προσφέρει στον παίκτη την ευκαιρία να αλλάξει την επιλογή
• Η παρουσιάστρια, έχοντας την ευκαιρία να ανοίξει μία από τις δύο πόρτες, επιλέγει μία με ίση πιθανότητα

Η ανάλυση του παραδόξου του Monty Hall που παρουσιάζεται παρακάτω εξετάζεται ακριβώς με αυτήν την προϋπόθεση κατά νου. Λοιπόν, ανάλυση του παραδόξου.

Ανάλυση του παραδόξου του Monty Hall

Υπάρχουν τρεις επιλογές για την ανάπτυξη εκδηλώσεων:

Πόρτα 1	Θύρα 2	Θύρα 3	Αποτέλεσμα εάν αλλάξετε την επιλογή	Αποτέλεσμα αν δεν αλλάξετε την επιλογή
Αυτο	Γίδα	Γίδα	Γίδα	Αυτο
Γίδα	Αυτο	Γίδα	Αυτο	Γίδα
Γίδα	Γίδα	Αυτο	Αυτο	Γίδα

Κατά την επίλυση του προβλήματος που παρουσιάζεται, συνήθως δίνεται ο ακόλουθος συλλογισμός: σε κάθε περίπτωση, ο αρχηγός αφαιρεί μια πόρτα με μια κατσίκα, επομένως, η πιθανότητα να βρεθεί ένα αυτοκίνητο πίσω από μια από τις δύο κλειστές πόρτες είναι ίση με ½, ανεξάρτητα από το ποια επιλογή έγινε αρχικά. Ωστόσο, δεν είναι.

Η ιδέα είναι ότι κάνοντας την πρώτη επιλογή, ο συμμετέχων χωρίζει τις πόρτες σε A (επιλεγμένα), B και C (απομένουν). Οι πιθανότητες (P) ότι το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα A είναι 1/3 και οι πιθανότητες (P) ότι βρίσκεται πίσω από τις πόρτες B και C είναι 2/3. Και οι πιθανότητες επιτυχίας κατά την επιλογή των θυρών Β και Γ υπολογίζονται ως εξής:

Ρ(Β) = 2/3 * ½ = 1/3

P(C) = 2/3 * ½ = 1/3

Όπου ½ είναι η υπό όρους πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από αυτήν την πόρτα, δεδομένου ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται πίσω από την πόρτα που επέλεξε ο παίκτης.

Ο παρουσιαστής, ανοίγοντας μια σκόπιμα χαμένη πόρτα από τις υπόλοιπες δύο, ενημερώνει τον παίκτη 1 bit πληροφοριών και έτσι αλλάζει τις υπό όρους πιθανότητες για τις θύρες Β και Γ σε τιμές 1 και 0. Τώρα οι πιθανότητες επιτυχίας θα υπολογιστούν ως εξής:

Ρ(Β) = 2/3*1 = 2/3

P(C) = 2/3*0 = 0

Και αποδεικνύεται ότι αν ο παίκτης αλλάξει την αρχική του επιλογή, τότε η πιθανότητα επιτυχίας του θα είναι ίση με 2/3.

Αυτό εξηγείται ως εξής:Αλλάζοντας την επιλογή του μετά τους χειρισμούς του αρχηγού, ο παίκτης θα κερδίσει αν αρχικά διάλεξε την πόρτα με κατσίκα, επειδή ο παρουσιαστής ανοίγει τη δεύτερη πόρτα με την κατσίκα και ο παίκτης μπορεί να αλλάξει μόνο τις πόρτες. Υπάρχουν δύο τρόποι για να επιλέξετε αρχικά πόρτα με κατσίκα (2/3), αντίστοιχα, αν ο παίκτης αντικαταστήσει τις πόρτες, θα κερδίσει με πιθανότητα 2/3. Ακριβώς επειδή αυτό το συμπέρασμα έρχεται σε αντίθεση με τη διαισθητική αντίληψη ότι το πρόβλημα έλαβε το καθεστώς ενός παραδόξου.

Η διαισθητική αντίληψη προτείνει τα εξής: όταν ο ηγέτης ανοίγει την πόρτα που χάνει, ο παίκτης αντιμετωπίζει νέα εργασία, εκ πρώτης όψεως δεν σχετίζεται με την αρχική επιλογή, γιατί ο τράγος πίσω από την πόρτα που άνοιξε ο αρχηγός θα είναι εκεί σε κάθε περίπτωση, ανεξάρτητα από το αν ο παίκτης επέλεξε αρχικά την ήττα ή τη νικητήρια πόρτα.

Αφού ο αρχηγός ανοίξει την πόρτα, ο παίκτης πρέπει να κάνει ξανά μια επιλογή - είτε να μείνει στην προηγούμενη πόρτα είτε να επιλέξει μια νέα. Αυτό σημαίνει ότι ο παίκτης κάνει μια νέα επιλογή και δεν αλλάζει την αρχική. ΚΑΙ μαθηματική λύσηΕξετάζονται δύο διαδοχικές και αλληλένδετες εργασίες του παρουσιαστή.

Πρέπει όμως να έχετε υπόψη σας ότι ο παρουσιαστής ανοίγει την πόρτα ακριβώς των δύο που έχουν απομείνει, αλλά όχι αυτού που επέλεξε ο παίκτης. Αυτό σημαίνει ότι αυξάνεται η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την υπόλοιπη πόρτα, γιατί η παρουσιάστρια δεν την επέλεξε. Εάν ο παρουσιαστής γνωρίζει ότι υπάρχει μια κατσίκα πίσω από την πόρτα που έχει επιλέξει ο παίκτης, εξακολουθεί να την ανοίγει, μειώνοντας έτσι προφανώς την πιθανότητα ο παίκτης να επιλέξει τη σωστή πόρτα, επειδή η πιθανότητα επιτυχίας θα είναι ίση με ½. Αλλά αυτό είναι ένα παιχνίδι με διαφορετικούς κανόνες.

Εδώ είναι μια άλλη εξήγηση:Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης παίζει σύμφωνα με το σύστημα που παρουσιάζεται παραπάνω, δηλ. από τις πόρτες Β ή Γ επιλέγει πάντα αυτή που διαφέρει από την αρχική επιλογή. Θα χάσει αν αρχικά διάλεγε την πόρτα με το αυτοκίνητο, γιατί στη συνέχεια θα επιλέξει την πόρτα με την κατσίκα. Σε κάθε άλλη περίπτωση, ο παίκτης θα κερδίσει εάν αρχικά είχε επιλέξει την επιλογή της ήττας. Ωστόσο, η πιθανότητα να το επιλέξει αρχικά είναι 2/3, πράγμα που σημαίνει ότι για να πετύχει στο παιχνίδι πρέπει πρώτα να κάνει ένα λάθος διπλάσιο από την πιθανότητα να επιλέξει σωστά.

Τρίτη εξήγηση:Ας φανταστούμε ότι δεν υπάρχουν 3 πόρτες, αλλά 1000. Αφού ο παίκτης έχει κάνει μια επιλογή, ο παρουσιαστής αφαιρεί 998 περιττές πόρτες - απομένουν μόνο δύο πόρτες: αυτή που επέλεξε ο παίκτης και μία ακόμη. Αλλά η πιθανότητα να υπάρχει ένα αυτοκίνητο πίσω από κάθε πόρτα δεν είναι καθόλου ½. Πιθανότατα (0,999%) το αυτοκίνητο θα βρίσκεται πίσω από την πόρτα που δεν διάλεξε αρχικά ο παίκτης, δηλ. πίσω από την πόρτα που επιλέχθηκε από τους 999 άλλους που απομένουν μετά την πρώτη επιλογή. Το ίδιο πρέπει να σκέφτεστε όταν επιλέγετε από τρεις πόρτες, ακόμα κι αν οι πιθανότητες επιτυχίας μειωθούν και γίνουν 2/3.

ΚΑΙ τελευταία εξήγηση– αντικατάσταση συνθηκών. Ας πούμε ότι αντί να κάνει μια αρχική επιλογή, ας πούμε, την πόρτα #1, και αντί να έχει ο οικοδεσπότης ανοιχτή την πόρτα #2 ή #3, ο παίκτης πρέπει να κάνει τη σωστή επιλογή την πρώτη φορά εάν γνωρίζει ότι η πιθανότητα επιτυχίας με Η πόρτα #1 είναι 33%, αλλά δεν γνωρίζει τίποτα για την απουσία αυτοκινήτου πίσω από τις πόρτες Νο. 2 και Νο. 3. Από αυτό προκύπτει ότι η πιθανότητα επιτυχίας με την τελευταία πόρτα θα είναι 66%, δηλ. την πιθανότητα να κερδίσετε διπλά.

Ποια θα είναι όμως η κατάσταση εάν η παρουσιάστρια συμπεριφέρεται διαφορετικά;

Ανάλυση του παραδόξου Monty Hall με διαφορετική συμπεριφορά της παρουσιάστριας

Η κλασική εκδοχή του Monty Hall Paradox αναφέρει ότι ο οικοδεσπότης της εκπομπής πρέπει πάντα να δίνει στον παίκτη την επιλογή της πόρτας, ανεξάρτητα από το αν ο παίκτης μάντεψε σωστά ή όχι. Αλλά ο ηγέτης μπορεί επίσης να περιπλέξει τη συμπεριφορά του. Για παράδειγμα:

• Ο παρουσιαστής προσκαλεί τον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του εάν είναι αρχικά σωστή - ο παίκτης θα χάνει πάντα εάν συμφωνεί να αλλάξει την επιλογή.
• Ο παρουσιαστής προσκαλεί τον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του εάν είναι αρχικά λανθασμένη - ο παίκτης θα κερδίζει πάντα εάν συμφωνεί.
• Ο παρουσιαστής ανοίγει την πόρτα τυχαία, χωρίς να ξέρει πού βρίσκεται - οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει όταν αλλάζει την πόρτα θα είναι πάντα ½.
• Ο παρουσιαστής ανοίγει την πόρτα με μια κατσίκα, εάν ο παίκτης επέλεξε πραγματικά την πόρτα με μια κατσίκα, οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει όταν αλλάζει την πόρτα θα είναι πάντα ½.
• Ο οικοδεσπότης πάντα ανοίγει την πόρτα με μια κατσίκα. Εάν ο παίκτης διάλεξε την πόρτα με το αυτοκίνητο, η αριστερή πόρτα με την κατσίκα θα ανοίξει με πιθανότητα (q) ίση με p, και η δεξιά πόρτα με πιθανότητα q = 1-p. Εάν ο αρχηγός άνοιξε την πόρτα στα αριστερά, τότε η πιθανότητα νίκης υπολογίζεται ως 1/(1+p). Αν ο αρχηγός άνοιξε την πόρτα στα δεξιά, τότε: 1/(1+q).Αλλά η πιθανότητα να ανοίξει η πόρτα στα δεξιά είναι: (1+q)/3;
• Συνθήκες από το παραπάνω παράδειγμα, αλλά p=q=1/2 - οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει όταν αλλάζει την πόρτα θα είναι πάντα 2/3.
• Συνθήκες από το παραπάνω παράδειγμα, αλλά p=1 και q=0. Εάν ο αρχηγός ανοίξει την πόρτα στα δεξιά, τότε η αλλαγή επιλογής του παίκτη θα οδηγήσει στη νίκη, εάν η πόρτα στα αριστερά ανοίξει, τότε η πιθανότητα νίκης θα είναι ίση με ½.
• Εάν ο οικοδεσπότης ανοίγει πάντα την πόρτα με μια κατσίκα όταν ο παίκτης επιλέγει την πόρτα με το αυτοκίνητο και με πιθανότητα ½ εάν ο παίκτης επιλέξει την πόρτα με την κατσίκα, τότε οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει όταν αλλάζει την πόρτα θα είναι πάντα ½.
• Εάν το παιχνίδι επαναλαμβάνεται πολλές φορές και το αυτοκίνητο είναι πάντα πίσω από τη μία ή την άλλη πόρτα με την ίδια πιθανότητα, συν ο αρχηγός ανοίγει την πόρτα με την ίδια πιθανότητα, αλλά ο αρχηγός ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο και πάντα βάζει τον παίκτη πριν από μια επιλογή , ανοίγοντας την πόρτα με μια κατσίκα, τότε η πιθανότητα να κερδίσετε θα είναι ίση με 1/3.
• Οι συνθήκες είναι από το παραπάνω παράδειγμα, αλλά ο παρουσιαστής μπορεί να μην ανοίξει καθόλου την πόρτα - οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει θα είναι 1/3.

Αυτό είναι το παράδοξο του Motney Hall. Ελέγξτε τον κλασική έκδοσηστην πράξη είναι αρκετά απλό, αλλά θα είναι πολύ πιο δύσκολο να διεξαχθούν πειράματα με την αλλαγή της συμπεριφοράς του παρουσιαστή. Αν και για σχολαστικούς ασκούμενους αυτό είναι δυνατό. Αλλά δεν έχει σημασία αν θα δοκιμάσετε το Monty Hall Paradox προσωπική εμπειρίαή όχι, τώρα γνωρίζετε μερικά από τα μυστικά των παιχνιδιών που παίζονται με τους ανθρώπους διαφορετικές παραστάσειςκαι τηλεοπτικές εκπομπές, καθώς και ενδιαφέροντα μαθηματικά μοτίβα.

Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ενδιαφέρον: Το παράδοξο του Monty Hall αναφέρεται στην ταινία του Robert Luketic "Twenty-One", το μυθιστόρημα του Sergei Lukyanenko "The Klutz", την τηλεοπτική σειρά "4isla", την ιστορία του Mark Haddon "The Mysterious Murder of a Dog in the Night-Time", το κόμικ "XKCD", και ήταν επίσης ο "ήρωας" ενός από τα επεισόδια της τηλεοπτικής εκπομπής "MythBusters"δημοσίευσε

Ελάτε μαζί μας

Οι άνθρωποι έχουν συνηθίσει να θεωρούν ότι είναι προφανές ότι είναι σωστό. Γι' αυτό συχνά μπαίνουν σε μπελάδες εκτιμώντας εσφαλμένα την κατάσταση, εμπιστεύονται τη διαίσθησή τους και δεν αφιερώνουν χρόνο για να σκεφτούν κριτικά τις επιλογές τους και τις συνέπειές τους.

Ο Monty είναι μια σαφής απεικόνιση της αδυναμίας ενός ατόμου να σταθμίσει τις πιθανότητες επιτυχίας του όταν επιλέγει ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα παρουσία περισσότερων από ενός δυσμενών.

Διατύπωση του παραδόξου του Monty Hall

Λοιπόν, τι είδους ζώο είναι αυτό; Για τι ακριβώς μιλάμε; Το περισσότερο διάσημο παράδειγμαΤο παράδοξο του Monty Hall αντιπροσωπεύεται από μια τηλεοπτική εκπομπή δημοφιλής στην Αμερική στα μέσα του περασμένου αιώνα που ονομάζεται "Let's Make a Bet!" Παρεμπιπτόντως, χάρη στον οικοδεσπότη αυτού του κουίζ το Monty Hall Paradox έλαβε στη συνέχεια το όνομά του.

Το παιχνίδι αποτελούνταν από τα εξής: στον συμμετέχοντα έδειξαν τρεις πόρτες που έμοιαζαν ακριβώς ίδιες. Ωστόσο, πίσω από ένα από αυτά υπήρχε δρόμος που περίμενε τον παίκτη καινούριο αυτοκίνητο, αλλά οι άλλοι δύο καρφώθηκαν ανυπόμονα για την κατσίκα. Όπως συμβαίνει συνήθως με τις εκπομπές παιχνιδιών, ό,τι βρισκόταν πίσω από την πόρτα που διάλεξε ο διαγωνιζόμενος γινόταν τα κέρδη του.

Ποιο είναι το κόλπο;

Αλλά δεν είναι τόσο απλό. Αφού έγινε η επιλογή, ο παρουσιαστής, γνωρίζοντας πού κρύβεται το κύριο έπαθλο, άνοιξε μια από τις υπόλοιπες δύο πόρτες (φυσικά, αυτή πίσω από την οποία κρυβόταν ο αρτιοδάκτυλος) και στη συνέχεια ρώτησε τον παίκτη αν θα ήθελε να αλλάξει απόφαση.

Το παράδοξο του Monty Hall, που διατυπώθηκε από επιστήμονες το 1990, είναι ότι, σε αντίθεση με τη διαίσθηση ότι δεν υπάρχει διαφορά στη λήψη μιας ηγετικής απόφασης με βάση ένα ζήτημα, πρέπει να συμφωνήσει κανείς να αλλάξει την επιλογή του. Αν θέλετε να αποκτήσετε ένα υπέροχο αυτοκίνητο, φυσικά.

Πως δουλεύει;

Υπάρχουν διάφοροι λόγοι για τους οποίους οι άνθρωποι δεν θέλουν να εγκαταλείψουν την επιλογή τους. Η διαίσθηση και η απλή (αλλά λανθασμένη) λογική λένε ότι τίποτα δεν εξαρτάται από αυτή την απόφαση. Επιπλέον, δεν θέλουν όλοι να ακολουθήσουν το παράδειγμα κάποιου άλλου - αυτό είναι πραγματική χειραγώγηση, έτσι δεν είναι; Όχι όχι έτσι. Αλλά αν όλα ήταν αμέσως διαισθητικά, δεν θα το ονομάτιζαν καν. Δεν είναι περίεργο να έχεις αμφιβολίες. Όταν αυτό το παζλ δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά σε ένα από τα σημαντικότερα περιοδικά, χιλιάδες αναγνώστες, συμπεριλαμβανομένων αναγνωρισμένων μαθηματικών, έστειλαν επιστολές στον εκδότη ισχυριζόμενοι ότι η απάντηση που τυπώθηκε στο τεύχος δεν ήταν αληθινή. Εάν η ύπαρξη της θεωρίας πιθανοτήτων δεν ήταν είδηση ​​για το άτομο που ανέβηκε στην εκπομπή, τότε ίσως θα μπορούσε να λύσει αυτό το πρόβλημα. Και με αυτόν τον τρόπο αυξήστε τις πιθανότητες να κερδίσετε. Στην πραγματικότητα, η εξήγηση του παραδόξου του Monty Hall καταλήγει στα απλά μαθηματικά.

Εξήγηση πρώτη, πιο περίπλοκη

Η πιθανότητα το έπαθλο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που επιλέχθηκε αρχικά είναι μία στις τρεις. Η πιθανότητα να το βρείτε πίσω από ένα από τα υπόλοιπα δύο ισούται με δύο στα τρία. Λογικό, σωστά; Τώρα, αφού ανοίξει μια από αυτές τις πόρτες και βρεθεί μια κατσίκα πίσω της, μένει μόνο μία επιλογή στο δεύτερο σετ (αυτή που αντιστοιχεί στα 2/3 της πιθανότητας επιτυχίας). Η τιμή αυτής της επιλογής παραμένει η ίδια, που είναι δύο στα τρία. Έτσι, γίνεται προφανές ότι αλλάζοντας την απόφασή του, ο παίκτης θα διπλασιάσει την πιθανότητα να κερδίσει.

Εξήγηση νούμερο δύο, πιο απλή

Μετά από μια τέτοια ερμηνεία της απόφασης, πολλοί εξακολουθούν να επιμένουν ότι δεν έχει νόημα αυτή η επιλογή, επειδή υπάρχουν μόνο δύο επιλογές και η μία από αυτές κερδίζει σίγουρα και η άλλη οδηγεί σίγουρα στην ήττα.

Αλλά η θεωρία πιθανοτήτων έχει αυτό το πρόβλημαη γνώμη σας. Και αυτό γίνεται ακόμη πιο ξεκάθαρο αν φανταστούμε ότι αρχικά δεν υπήρχαν τρεις πόρτες, αλλά, ας πούμε, εκατό. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατόν να μαντέψουμε πού το βραβείο, την πρώτη φορά, είναι μόνο ένα στα ενενήντα εννέα. Τώρα ο συμμετέχων κάνει την επιλογή του και ο Μόντι καταργεί ενενήντα οκτώ πόρτες με κατσίκες, αφήνοντας μόνο δύο, εκ των οποίων τη μία διάλεξε ο παίκτης. Έτσι, η επιλογή που επιλέχθηκε αρχικά διατηρεί τις πιθανότητες νίκης ίση με 1/100, και η δεύτερη επιλογή που προσφέρεται παραμένει 99/100. Η επιλογή πρέπει να είναι προφανής.

Υπάρχουν διαψεύσεις;

Η απάντηση είναι απλή: όχι. Δεν υπάρχει ούτε μία επαρκώς τεκμηριωμένη διάψευση του παραδόξου του Monty Hall. Όλες οι «αποκαλύψεις» που μπορούν να βρεθούν στο Διαδίκτυο συνοψίζονται σε μια παρανόηση των αρχών των μαθηματικών και της λογικής.

Για όποιον γνωρίζει καλά τις μαθηματικές αρχές, η μη τυχαιότητα των πιθανοτήτων είναι απολύτως προφανής. Μόνο όσοι δεν καταλαβαίνουν πώς λειτουργεί η λογική μπορούν να διαφωνήσουν μαζί τους. Αν όλα τα παραπάνω εξακολουθούν να ακούγονται μη πειστικά, το σκεπτικό του παραδόξου δοκιμάστηκε και επιβεβαιώθηκε στο διάσημο πρόγραμμα «MythBusters» και ποιον άλλο να πιστέψει αν όχι;

Δυνατότητα να δείτε καθαρά

Εντάξει, ας ακούγονται πειστικά όλα αυτά. Αλλά αυτό είναι μόνο μια θεωρία, είναι δυνατόν να δούμε με κάποιο τρόπο το έργο αυτής της αρχής στην πράξη και όχι μόνο στα λόγια; Πρώτον, κανείς δεν ακύρωσε ζωντανούς ανθρώπους. Βρείτε έναν συνεργάτη που θα αναλάβει το ρόλο του συντονιστή και θα σας βοηθήσει να παίξετε τον αλγόριθμο που περιγράφεται παραπάνω στην πραγματικότητα. Για ευκολία, μπορείτε να πάρετε κουτιά, κιβώτια ή ακόμα και να σχεδιάσετε σε χαρτί. Αφού επαναλάβετε τη διαδικασία αρκετές δεκάδες φορές, συγκρίνετε τον αριθμό των νικών σε περίπτωση αλλαγής της αρχικής επιλογής με πόσες νίκες έφερε το πείσμα και όλα θα ξεκαθαρίσουν. Ή μπορείτε να το κάνετε ακόμα πιο απλά και να χρησιμοποιήσετε το Διαδίκτυο. Υπάρχουν πολλοί προσομοιωτές του παραδόξου Monty Hall στο Διαδίκτυο, στους οποίους μπορείτε να δοκιμάσετε τα πάντα μόνοι σας και χωρίς περιττά στηρίγματα.

Ποια είναι η χρήση αυτής της γνώσης;

Μπορεί να φαίνεται ότι αυτό είναι απλώς ένα άλλο παζλ που έχει σχεδιαστεί για να καταπονεί τον εγκέφαλό σας και εξυπηρετεί μόνο ψυχαγωγικούς σκοπούς. Ωστόσο, είναι πρακτική χρήσηΤο παράδοξο του Monty Hall εντοπίζεται κυρίως στα τυχερά παιχνίδια και σε διάφορες κληρώσεις. Όσοι έχουν μεγάλη εμπειρία γνωρίζουν καλά τις κοινές στρατηγικές για την αύξηση των πιθανοτήτων εύρεσης ενός value bet (από Αγγλική λέξηαξία, που κυριολεκτικά σημαίνει «αξία» - μια πρόβλεψη που είναι πιο πιθανό να πραγματοποιηθεί από ό,τι εκτιμήθηκε από τους στοιχηματιστές). Και μία από αυτές τις στρατηγικές εμπλέκει άμεσα το Παράδοξο του Monty Hall.

Παράδειγμα στην εργασία με το στοίχημα

Ένα αθλητικό παράδειγμα θα διαφέρει ελάχιστα από ένα κλασικό. Ας πούμε ότι υπάρχουν τρεις ομάδες από την πρώτη κατηγορία. Τις επόμενες τρεις ημέρες, κάθε μία από αυτές τις ομάδες πρέπει να παίξει έναν καθοριστικό αγώνα. Αυτός που θα συγκεντρώσει περισσότερους βαθμούς από τους άλλους δύο στο τέλος του αγώνα θα παραμείνει στην πρώτη κατηγορία, ενώ οι υπόλοιποι θα αναγκαστούν να την εγκαταλείψουν. Η προσφορά του στοιχηματισμού είναι απλή: πρέπει να στοιχηματίσετε στη διατήρηση της θέσης ενός από αυτούς τους ποδοσφαιρικούς συλλόγους, ενώ οι αποδόσεις στοιχηματισμού είναι ίσες.

Για λόγους ευκολίας, γίνονται αποδεκτοί όροι υπό τους οποίους οι αντίπαλοι των συλλόγων που συμμετέχουν στην επιλογή είναι περίπου ίσοι σε δύναμη. Έτσι, δεν θα είναι δυνατός ο ξεκάθαρος προσδιορισμός του φαβορί πριν την έναρξη των αγώνων.

Εδώ πρέπει να θυμάστε την ιστορία για τις κατσίκες και ένα αυτοκίνητο. Κάθε ομάδα έχει μία στις τρεις πιθανότητες να μείνει στη θέση της. Επιλέγεται οποιοδήποτε από αυτά και τοποθετείται ένα στοίχημα σε αυτό. Ας είναι Baltika. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της πρώτης ημέρας, ένας από τους συλλόγους χάνει και δύο δεν έχουν ακόμη παίξει. Αυτό είναι το ίδιο "Baltika" και, ας πούμε, "Shinnik".

Η πλειοψηφία θα διατηρήσει την αρχική της προσφορά - η Baltika θα παραμείνει στην πρώτη κατηγορία. Αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι οι πιθανότητές του παρέμειναν ίδιες, αλλά οι ευκαιρίες του Shinnik διπλασιάστηκαν. Ως εκ τούτου, είναι λογικό να στοιχηματίσουμε ένα άλλο, μεγαλύτερο, στη νίκη του Shinnik.

Έρχεται η επόμενη μέρα και ο αγώνας με τη Μπαλτίκα λήγει ισόπαλος. Ακολουθεί η Shinnik και το παιχνίδι τους τελειώνει με νίκη με σκορ 3:0. Αποδεικνύεται ότι θα παραμείνει στην πρώτη κατηγορία. Επομένως, αν και το πρώτο στοίχημα στο Baltika χάθηκε, αυτή η απώλεια καλύπτεται από το κέρδος στο νέο στοίχημα στο Shinnik.

Μπορεί κανείς να υποθέσει, και οι περισσότεροι θα το κάνουν, ότι η νίκη του Shinnik ήταν απλώς ένα ατύχημα. Στην πραγματικότητα, το να μπερδεύει κανείς την πιθανότητα με την τύχη είναι το μεγαλύτερο λάθος για ένα άτομο που συμμετέχει σε αθλητικά στοιχήματα. Εξάλλου, ένας επαγγελματίας θα λέει πάντα ότι οποιαδήποτε πιθανότητα εκφράζεται κυρίως σε σαφή μαθηματικά μοτίβα. Εάν γνωρίζετε τα βασικά αυτής της προσέγγισης και όλες τις αποχρώσεις που σχετίζονται με αυτήν, τότε οι κίνδυνοι απώλειας χρημάτων θα ελαχιστοποιηθούν.

Χρήσιμο στην πρόβλεψη οικονομικών διαδικασιών

Έτσι, στα αθλητικά στοιχήματα, το παράδοξο του Monty Hall είναι απλά απαραίτητο να γνωρίζουμε. Όμως το πεδίο εφαρμογής του δεν περιορίζεται στο στοίχημα. Η θεωρία πιθανοτήτων συνδέεται πάντα στενά με τη στατιστική, γι' αυτό και η κατανόηση των αρχών του παραδόξου δεν είναι λιγότερο σημαντική στην πολιτική και την οικονομία.

Σε συνθήκες οικονομικής αβεβαιότητας, με την οποία ασχολούνται συχνά οι αναλυτές, πρέπει να θυμόμαστε το ακόλουθο συμπέρασμα που προκύπτει από την επίλυση του προβλήματος: δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ακριβώς τη μόνη σωστή λύση. Οι πιθανότητες για μια επιτυχημένη πρόβλεψη αυξάνονται πάντα αν ξέρετε τι σίγουρα δεν θα συμβεί. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το πιο χρήσιμο συμπέρασμα από το παράδοξο του Monty Hall.

Όταν ο κόσμος βρίσκεται στα πρόθυρα οικονομικής αναταραχής, οι πολιτικοί προσπαθούν πάντα να μαντέψουν τη σωστή πορεία δράσης προκειμένου να ελαχιστοποιήσουν τις συνέπειες της κρίσης. Επιστρέφοντας στα προηγούμενα παραδείγματα, στον οικονομικό τομέα το έργο μπορεί να περιγραφεί ως εξής: υπάρχουν τρεις πόρτες μπροστά στους ηγέτες των χωρών. Το ένα οδηγεί σε υπερπληθωρισμό, το δεύτερο σε αποπληθωρισμό και το τρίτο στην προσφιλή μέτρια οικονομική ανάπτυξη. Πώς όμως να βρείτε τη σωστή απάντηση;

Οι πολιτικοί ισχυρίζονται ότι οι ενέργειές τους θα οδηγήσουν σε περισσότερες θέσεις εργασίας και οικονομική ανάπτυξη. Αλλά κορυφαίοι οικονομολόγοι, έμπειροι άνθρωποι, συμπεριλαμβανομένων ακόμη και βραβευθέντων βραβείο Νόμπελ, δείξτε τους ξεκάθαρα ότι μια από αυτές τις επιλογές σίγουρα δεν θα οδηγήσει σε επιθυμητό αποτέλεσμα. Θα αλλάξουν οι πολιτικοί τις επιλογές τους μετά από αυτό; Είναι εξαιρετικά απίθανο, αφού από αυτή την άποψη δεν διαφέρουν πολύ από τους ίδιους συμμετέχοντες στην τηλεοπτική εκπομπή. Επομένως, η πιθανότητα λάθους θα αυξηθεί μόνο με την αύξηση του αριθμού των συμβούλων.

Αυτό εξαντλεί τις πληροφορίες για το θέμα;

Μάλιστα, μέχρι στιγμής έχει εξεταστεί μόνο η «κλασική» εκδοχή του παραδόξου, δηλαδή η κατάσταση στην οποία ο παρουσιαστής ξέρει ακριβώς ποια πόρτα βρίσκεται πίσω από το έπαθλο και ανοίγει μόνο την πόρτα με την κατσίκα. Υπάρχουν όμως και άλλοι μηχανισμοί συμπεριφοράς του ηγέτη, ανάλογα με τους οποίους θα διαφέρει η αρχή λειτουργίας του αλγορίθμου και το αποτέλεσμα της εκτέλεσής του.

Η επιρροή της συμπεριφοράς του ηγέτη στο παράδοξο

Τι μπορεί λοιπόν να κάνει ο παρουσιαστής για να αλλάξει την πορεία των γεγονότων; Ας επιτρέψουμε διαφορετικές επιλογές.

Το λεγόμενο "Devil Monty" είναι μια κατάσταση στην οποία ο οικοδεσπότης θα προσφέρει πάντα στον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του, υπό την προϋπόθεση ότι αρχικά ήταν σωστή. Σε αυτή την περίπτωση, η αλλαγή της απόφασης θα οδηγεί πάντα σε ήττα.

Αντίθετα, το "Angel Monty" είναι μια παρόμοια αρχή συμπεριφοράς, αλλά σε περίπτωση που η επιλογή του παίκτη ήταν αρχικά λανθασμένη. Είναι λογικό ότι σε μια τέτοια κατάσταση η αλλαγή της απόφασης θα οδηγήσει στη νίκη.

Αν ο παρουσιαστής ανοίξει τις πόρτες τυχαία, χωρίς να έχει ιδέα τι κρύβεται πίσω από καθεμία από αυτές, τότε οι πιθανότητες να κερδίσει θα είναι πάντα πενήντα τοις εκατό. Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να υπάρχει ένα αυτοκίνητο πίσω από την ανοιχτή πόρτα.

Ο GM έχει 100% πιθανότητα να ανοίξει την πόρτα με κατσίκα αν ο παίκτης επέλεξε αυτοκίνητο και με 50% πιθανότητα αν ο παίκτης διάλεξε κατσίκα. Με αυτόν τον αλγόριθμο ενεργειών, αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του, θα κερδίζει πάντα σε μία περίπτωση από τις δύο.

Όταν το παιχνίδι επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά, και η πιθανότητα να κερδίσει μια συγκεκριμένη πόρτα είναι πάντα αυθαίρετη (καθώς και ποια πόρτα θα ανοίξει ο παρουσιαστής, ενώ ξέρει πού κρύβεται το αυτοκίνητο, και πάντα ανοίγει την πόρτα με μια κατσίκα και προσφέρεται να αλλάξει την επιλογή) - η πιθανότητα να κερδίσετε θα είναι πάντα ίση με μία στις τρεις. Αυτό ονομάζεται ισορροπία Nash.

Το ίδιο όπως και στην ίδια περίπτωση, αλλά με την προϋπόθεση ότι ο αρχηγός δεν είναι υποχρεωμένος να ανοίξει καθόλου μια από τις πόρτες - η πιθανότητα νίκης θα εξακολουθεί να είναι ίση με το 1/3.

Ενώ το κλασικό σχήμα είναι αρκετά εύκολο στη δοκιμή, τα πειράματα με άλλους πιθανούς αλγόριθμους συμπεριφοράς για τον παρουσιαστή είναι πολύ πιο δύσκολο να πραγματοποιηθούν στην πράξη. Αλλά με τη δέουσα σχολαστικότητα του πειραματιστή, αυτό είναι επίσης δυνατό.

Κι όμως, προς τι όλα αυτά;

Κατανόηση των μηχανισμών δράσης οποιουδήποτε λογικά παράδοξαπολύ χρήσιμο για ένα άτομο, τον εγκέφαλό του και την επίγνωση του πώς μπορεί πραγματικά να δομηθεί ο κόσμος, πόσο μπορεί να διαφέρει η δομή του από τη συνηθισμένη ιδέα του ατόμου για αυτόν.

Πως περισσότεροι άνθρωποιξέρει πώς λειτουργούν τα πράγματα γύρω του Καθημερινή ζωήΚαι αυτό που δεν έχει καθόλου συνηθίσει να σκέφτεται, τόσο καλύτερα λειτουργεί η συνείδησή του και τόσο πιο αποτελεσματικός μπορεί να είναι στις πράξεις και τις φιλοδοξίες του.

Περί λαχειοφόρων αγορών

Αυτό το παιχνίδι έχει γίνει από καιρό διαδεδομένο και έχει γίνει αναπόσπαστο μέρος του μοντέρνα ζωή. Και παρόλο που η λοταρία επεκτείνει ολοένα και περισσότερο τις δυνατότητές της, πολλοί άνθρωποι εξακολουθούν να τη βλέπουν μόνο ως έναν τρόπο πλουτισμού. Μπορεί να μην είναι δωρεάν ή αξιόπιστο. Από την άλλη, όπως σημείωσε ένας από τους ήρωες του Τζακ Λόντον, στο ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑΔεν μπορείτε να αγνοήσετε τα γεγονότα - μερικές φορές οι άνθρωποι είναι τυχεροί.

Μαθηματικά της τύχης. Ιστορία της θεωρίας πιθανοτήτων

Αλεξάντερ Μπουφέτοφ

Απομαγνητοφώνηση και βιντεοσκόπηση της διάλεξης από τον Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών, παρουσιάστρια επιστημονικός συνεργάτηςΜαθηματικό Ινστιτούτο Steklov, κορυφαίος ερευνητής στο Ινστιτούτο Βιομηχανικών Προβλημάτων της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών, καθηγητής στη Μαθηματική Σχολή ΛύκειοΟικονομικά, Διευθυντής Ερευνών Εθνικό Κέντρο επιστημονική έρευναστη Γαλλία (CNRS) από τον Alexander Bufetov, που δόθηκε ως μέρος της σειράς "Public lectures "Polit.ru"" στις 6 Φεβρουαρίου 2014.

Η ψευδαίσθηση της κανονικότητας: γιατί η τυχαιότητα φαίνεται αφύσικη

Οι ιδέες μας για το τυχαίο, το φυσικό και το αδύνατο συχνά διαφωνούν με τα δεδομένα της στατιστικής και της θεωρίας πιθανοτήτων. Στο βιβλίο «Imperfect Chance. Πώς η τύχη κυβερνά τη ζωή μας», ο Αμερικανός φυσικός και εκλαϊκευτής της επιστήμης Leonard Mlodinow μιλάει για το γιατί οι τυχαίοι αλγόριθμοι φαίνονται τόσο παράξενοι, ποιο είναι το ενδιαφέρον στην «τυχαία» ανακάτεμα τραγουδιών σε ένα iPod και από τι εξαρτάται η τύχη ενός χρηματοοικονομικού αναλυτή. «Θεωρίες και Πρακτικές» δημοσιεύει ένα απόσπασμα από το βιβλίο.

Αιτιοκρατία

Ο ντετερμινισμός είναι μια γενική επιστημονική έννοια και φιλοσοφικό δόγμα σχετικά με την αιτιότητα, τα πρότυπα, τις γενετικές συνδέσεις, την αλληλεπίδραση και τις προϋποθέσεις όλων των φαινομένων και διαδικασιών που συμβαίνουν στον κόσμο.

Ο Θεός είναι μια στατιστική

Η Deborah Nolan, καθηγήτρια στατιστικής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ, ζητά από τους μαθητές της να ολοκληρώσουν μια πολύ περίεργη εργασία με την πρώτη ματιά. Η πρώτη ομάδα πρέπει να πετάξει ένα νόμισμα εκατό φορές και να γράψει το αποτέλεσμα: κεφάλια ή ουρές. Η δεύτερη πρέπει να φανταστεί ότι πετάει ένα νόμισμα - και επίσης να κάνει μια λίστα με εκατοντάδες «φανταστικά» αποτελέσματα.

Τι είναι ντετερμινισμός

Εάν οι αρχικές συνθήκες ενός συστήματος είναι γνωστές, είναι δυνατό, χρησιμοποιώντας τους νόμους της φύσης, να προβλέψουμε την τελική του κατάσταση.

Το Πρόβλημα της Επιλεκτικής Νύφης

Huseyn-Zade S. M.

Το παράδοξο του Ζήνωνα

Είναι δυνατόν να φτάσουμε από το ένα σημείο του διαστήματος στο άλλο; Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία πίστευε ότι η κίνηση δεν μπορούσε να πραγματοποιηθεί καθόλου, αλλά πώς το υποστήριξε; Ο Κολμ Κέλερ θα μιλήσει για το πώς να λύσετε το περίφημο παράδοξο του Ζήνωνα.

Παράδοξα άπειρων συνόλων

Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Φτάνει ένα λεωφορείο με ατελείωτο αριθμό μελλοντικών επισκεπτών. Αλλά η τοποθέτηση όλων δεν είναι τόσο εύκολη. Αυτή είναι μια ατελείωτη ταλαιπωρία και οι επισκέπτες είναι ατελείωτα κουρασμένοι. Και αν δεν καταφέρετε να αντεπεξέλθετε στην εργασία, τότε μπορείτε να χάσετε ένα άπειρο χρηματικό ποσό! Τι να κάνω;

Εξάρτηση του ύψους του παιδιού από το ύψος των γονέων

Οι νέοι γονείς, φυσικά, θέλουν να ξέρουν πόσο ψηλό θα είναι το παιδί τους ως ενήλικας. Οι μαθηματικές στατιστικές μπορούν να προσφέρουν μια απλή γραμμική σχέση για την προσέγγιση του ύψους των παιδιών με βάση μόνο το ύψος του πατέρα και της μητέρας και επίσης να υποδεικνύουν την ακρίβεια μιας τέτοιας εκτίμησης.

Το παράδοξο του Monty Hall είναι ίσως το πιο διάσημο παράδοξο στη θεωρία πιθανοτήτων. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές του, για παράδειγμα, το παράδοξο των τριών κρατουμένων. Και υπάρχουν πολλές ερμηνείες και εξηγήσεις για αυτό το παράδοξο. Αλλά εδώ, θα ήθελα να δώσω όχι μόνο μια επίσημη εξήγηση, αλλά να δείξω τη «φυσική» βάση του τι συμβαίνει στο παράδοξο του Monty Hall και άλλα παρόμοια.

Η κλασική σύνθεση είναι:

«Είσαι συμμετέχων στο παιχνίδι. Υπάρχουν τρεις πόρτες μπροστά σας. Υπάρχει ένα βραβείο για ένα από αυτά. Ο οικοδεσπότης σας προσκαλεί να προσπαθήσετε να μαντέψετε πού βρίσκεται το βραβείο. Δείχνεις μια από τις πόρτες (τυχαία).

Διατύπωση του παραδόξου του Monty Hall

Ο οικοδεσπότης ξέρει πού βρίσκεται πραγματικά το έπαθλο. Δεν ανοίγει ακόμα την πόρτα που του δείξατε. Αλλά σου ανοίγει μια ακόμη από τις πόρτες που έχουν απομείνει, πίσω από τις οποίες δεν υπάρχει έπαθλο. Το ερώτημα είναι, πρέπει να αλλάξετε την επιλογή σας ή να μείνετε στην προηγούμενη απόφασή σας;

Αποδεικνύεται ότι αν απλώς αλλάξετε τις επιλογές σας, οι πιθανότητές σας να κερδίσετε θα αυξηθούν!

Το παράδοξο της κατάστασης είναι προφανές. Φαίνεται ότι όλα όσα συμβαίνουν είναι τυχαία. Δεν έχει σημασία αν θα αλλάξεις γνώμη ή όχι. Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια.

«Φυσική» εξήγηση της φύσης αυτού του παραδόξου

Ας μην πάμε πρώτα σε μαθηματικές λεπτότητες, αλλά απλώς να δούμε την κατάσταση με ανοιχτό μυαλό.

Σε αυτό το παιχνίδι κάνετε μόνο πρώτοι τυχαία επιλογή. Μετά σου λέει ο οικοδεσπότης Επιπλέον πληροφορίες , που σας επιτρέπει να αυξήσετε τις πιθανότητές σας να κερδίσετε.

Πώς σας δίνει ο παρουσιαστής επιπλέον πληροφορίες; Πολύ απλό. Σημειώστε ότι ανοίγει καθόλουθύρα.

Ας εξετάσουμε, για λόγους απλότητας (αν και υπάρχει ένα στοιχείο δόλου σε αυτό), μια πιο πιθανή κατάσταση: δείξατε μια πόρτα πίσω από την οποία δεν υπάρχει έπαθλο. Στη συνέχεια, πίσω από μια από τις υπόλοιπες πόρτες υπάρχει ένα έπαθλο Υπάρχει. Δηλαδή, η παρουσιάστρια δεν έχει άλλη επιλογή. Ανοίγει μια πολύ συγκεκριμένη πόρτα. (Δείξατε το ένα, υπάρχει ένα βραβείο πίσω από το άλλο, έχει μείνει μόνο μία πόρτα που μπορεί να ανοίξει ο αρχηγός.)

Είναι αυτή τη στιγμή της ουσιαστικής επιλογής που σας δίνει πληροφορίες που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε.

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση, η χρήση των πληροφοριών είναι ότι αλλάζετε την απόφασή σας.

Παρεμπιπτόντως, η δεύτερη επιλογή σας είναι ήδη επίσης όχι τυχαία(ή μάλλον όχι τόσο τυχαία όσο η πρώτη επιλογή). Εξάλλου, επιλέγετε από τις κλειστές πόρτες, αλλά μια είναι ήδη ανοιχτή και είναι όχι αυθαίρετο.

Στην πραγματικότητα, μετά από αυτές τις σκέψεις, μπορεί να έχετε την αίσθηση ότι είναι καλύτερο να αλλάξετε την απόφασή σας. Αυτό είναι αλήθεια. Ας το δείξουμε πιο επίσημα.

Μια πιο επίσημη εξήγηση του παραδόξου του Monty Hall

Στην πραγματικότητα, η πρώτη, τυχαία επιλογή σας χωρίζει όλες τις πόρτες σε δύο ομάδες. Πίσω από την πόρτα που επιλέξατε, το έπαθλο βρίσκεται με πιθανότητα 1/3, πίσω από τα άλλα δύο - με πιθανότητα 2/3. Τώρα ο αρχηγός κάνει μια αλλαγή: ανοίγει μια πόρτα στη δεύτερη ομάδα. Και τώρα ολόκληρη η πιθανότητα 2/3 ισχύει μόνο για κλειστή πόρτααπό μια ομάδα δύο θυρών.

Είναι σαφές ότι τώρα είναι πιο κερδοφόρο για εσάς να αλλάξετε την απόφασή σας.

Αν και, φυσικά, έχετε ακόμα μια ευκαιρία να χάσετε.

Ωστόσο, η αλλαγή της επιλογής σας αυξάνει τις πιθανότητές σας να κερδίσετε.

Παράδοξο Monty Hall

Το παράδοξο του Monty Hall είναι ένα πιθανολογικό πρόβλημα, η λύση του οποίου (σύμφωνα με ορισμένους) είναι αντίθετη με την κοινή λογική. Διατύπωση προβλήματος:

Φανταστείτε ότι συμμετέχετε σε ένα παιχνίδι στο οποίο πρέπει να επιλέξετε μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από τη μια πόρτα είναι ένα αυτοκίνητο, πίσω από τις άλλες δύο πόρτες είναι κατσίκες.
Επιλέγετε μια από τις πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 1, μετά από την οποία ο αρχηγός, που ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο και πού είναι οι κατσίκες, ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 3, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα.

Παράδοξο Monty Hall. Τα πιο ανακριβή μαθηματικά

Στη συνέχεια σας ρωτά αν θέλετε να αλλάξετε την επιλογή σας και να επιλέξετε την πόρτα νούμερο 2.
Θα αυξηθούν οι πιθανότητές σας να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο αν αποδεχτείτε την πρόταση του παρουσιαστή και αλλάξετε την επιλογή σας;

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος, συχνά θεωρείται λανθασμένα ότι οι δύο επιλογές είναι ανεξάρτητες και, επομένως, η πιθανότητα δεν θα αλλάξει εάν αλλάξει η επιλογή. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν συμβαίνει, όπως μπορείτε να δείτε αν θυμηθείτε τον τύπο του Bayes ή κοιτάζοντας τα αποτελέσματα της προσομοίωσης παρακάτω:

Εδώ: "στρατηγική 1" - μην αλλάξετε την επιλογή, "στρατηγική 2" - αλλάξτε την επιλογή. Θεωρητικά, για την περίπτωση με 3 πόρτες, η κατανομή πιθανοτήτων είναι 33,(3)% και 66,(6)%. Οι αριθμητικές προσομοιώσεις θα πρέπει να αποδώσουν παρόμοια αποτελέσματα.

Συνδέσεις

Παράδοξο Monty Hall– πρόβλημα από το τμήμα της θεωρίας πιθανοτήτων, η λύση του οποίου έρχεται σε αντίθεση με την κοινή λογική.

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Στα τέλη του 1963, προβλήθηκε μια νέα εκπομπή με τίτλο «Let’s Make a Deal». Σύμφωνα με το σενάριο του κουίζ, οι θεατές από το κοινό έλαβαν βραβεία για σωστές απαντήσεις, έχοντας την ευκαιρία να τα αυξήσουν κάνοντας νέα στοιχήματα, αλλά διακινδυνεύοντας τα υπάρχοντα κέρδη τους. Ιδρυτές του σόου ήταν ο Stefan Hatosu και ο Monty Hall, ο τελευταίος από τους οποίους έγινε σταθερός οικοδεσπότης για πολλά χρόνια.

Μία από τις εργασίες για τους συμμετέχοντες ήταν η κλήρωση του Κύριου Βραβείου, το οποίο βρισκόταν πίσω από μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από τα υπόλοιπα δύο υπήρχαν βραβεία κινήτρων και ο παρουσιαστής, με τη σειρά του, γνώριζε τη σειρά της τακτοποίησής τους. Ο διαγωνιζόμενος έπρεπε να καθορίσει τη νικητήρια πόρτα ποντάροντας ολόκληρα τα κέρδη του για την παράσταση.

Όταν ο μαντευτής αποφάσισε τον αριθμό, ο παρουσιαστής άνοιξε μια από τις υπόλοιπες πόρτες, πίσω από τις οποίες υπήρχε ένα έπαθλο κινήτρου, και κάλεσε τον παίκτη να αλλάξει την αρχικά επιλεγμένη πόρτα.

Διατύπωση[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Ως συγκεκριμένο πρόβλημα, το παράδοξο διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Steve Selvin το 1975, όταν έστειλε στο περιοδικό The American Statistician και τον οικοδεσπότη Monty Hall την ερώτηση: θα άλλαζαν οι πιθανότητες ενός διαγωνιζόμενου να κερδίσει το Μεγάλο Βραβείο εάν, αφού ανοίξει την πόρτα με κίνητρο, αλλάξει την επιλογή του; Μετά από αυτό το περιστατικό, εμφανίστηκε η έννοια του "Monty Hall Paradox".

Το 1990, η πιο κοινή εκδοχή του παραδόξου δημοσιεύτηκε στο Parade Magazine με ένα παράδειγμα:

«Φανταστείτε τον εαυτό σας σε μια εκπομπή παιχνιδιού όπου πρέπει να επιλέξετε μία από τις τρεις πόρτες: δύο από αυτές είναι κατσίκες και η τρίτη είναι ένα αυτοκίνητο. Όταν κάνετε μια επιλογή, υποθέτοντας, για παράδειγμα, ότι η νικητήρια πόρτα είναι η νούμερο ένα, ο αρχηγός ανοίγει μία από τις υπόλοιπες δύο πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό τρία, πίσω από την οποία βρίσκεται μια κατσίκα. Τότε σας δίνεται η ευκαιρία να αλλάξετε την επιλογή σε άλλη πόρτα; Μπορείτε να αυξήσετε τις πιθανότητές σας να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο αν αλλάξετε την επιλογή σας από την πρώτη πόρτα στην πόρτα νούμερο δύο;

Αυτή η διατύπωση είναι μια απλοποιημένη έκδοση, γιατί Παραμένει ο παράγοντας επιρροής του παρουσιαστή, ο οποίος γνωρίζει ακριβώς πού βρίσκεται το αυτοκίνητο και ενδιαφέρεται για την απώλεια του συμμετέχοντος.

Για να γίνει το έργο καθαρά μαθηματικό, είναι απαραίτητο να εξαλειφθεί ο ανθρώπινος παράγοντας εισάγοντας το άνοιγμα μιας πόρτας με ένα έπαθλο κινήτρου και τη δυνατότητα αλλαγής της αρχικής επιλογής ως αναπόσπαστες συνθήκες.

Λύση[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Κατά τη σύγκριση των πιθανοτήτων, με την πρώτη ματιά, η αλλαγή του αριθμού της πόρτας δεν θα δώσει κανένα πλεονέκτημα, γιατί Και οι τρεις επιλογές έχουν 1/3 πιθανότητες νίκης (περίπου 33,33% για κάθε μία από τις τρεις πόρτες). Σε αυτήν την περίπτωση, το άνοιγμα μιας από τις πόρτες δεν θα επηρεάσει σε καμία περίπτωση τις πιθανότητες των υπόλοιπων δύο, των οποίων οι πιθανότητες θα γίνουν 1/2 έως 1/2 (50% για κάθε μία από τις δύο υπόλοιπες πόρτες). Αυτή η κρίση βασίζεται στην υπόθεση ότι η επιλογή μιας πόρτας από τον παίκτη και η επιλογή μιας πόρτας από τον αρχηγό είναι δύο ανεξάρτητα γεγονότα που δεν επηρεάζουν το ένα το άλλο. Στην πραγματικότητα, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ολόκληρη τη σειρά των γεγονότων ως σύνολο. Σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων, οι πιθανότητες της πρώτης επιλεγμένης πόρτας από την αρχή μέχρι το τέλος του παιχνιδιού είναι πάντα 1/3 (περίπου 33,33%), και οι δύο υπόλοιπες έχουν συνολικά 1/3+1 /3 = 2/3 (περίπου 66,66%). Όταν ανοίξει μία από τις δύο πόρτες που απομένουν, οι πιθανότητές της γίνονται 0% (από πίσω κρύβεται ένα έπαθλο κινήτρου) και ως αποτέλεσμα, οι πιθανότητες να κλείσει η μη επιλεγμένη πόρτα θα είναι 66,66%, δηλ. διπλάσιο από αυτό που είχε αρχικά επιλεγεί.

Για να διευκολύνετε την κατανόηση των αποτελεσμάτων μιας επιλογής, μπορείτε να εξετάσετε μια εναλλακτική κατάσταση στην οποία ο αριθμός των επιλογών θα είναι μεγαλύτερος, για παράδειγμα, χίλιες. Η πιθανότητα να επιλέξετε την επιλογή που θα κερδίσετε είναι 1/1000 (0,1%). Δεδομένου ότι στη συνέχεια ανοίγονται εννιακόσια ενενήντα οκτώ λανθασμένες επιλογές από τις υπόλοιπες εννιακόσιες ενενήντα εννέα επιλογές, καθίσταται σαφές ότι η πιθανότητα να απομείνει μία πόρτα από τις εννιακόσιες ενενήντα εννέα που δεν επιλέχθηκαν είναι υψηλότερη από αυτή του μοναδικού που επιλέχθηκε στην αρχή.

Αναφορές[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Μπορείτε να βρείτε αναφορές στο παράδοξο του Monty Hall στο "Twenty-One" (ταινία του Robert Luketic), "The Klutz" (μυθιστόρημα του Sergei Lukyanenko), την τηλεοπτική σειρά "4isla" (τηλεοπτική σειρά), "The Mysterious Murder". of a Dog in the Night-Time» (μια ιστορία του Mark Haddon), «XKCD» (κόμικ), «MythBusters» (τηλεοπτική εκπομπή).

Δείτε επίσης[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Η εικόνα δείχνει τη διαδικασία επιλογής ανάμεσα σε δύο θαμμένες πόρτες από τις τρεις που προτάθηκαν αρχικά

Παραδείγματα λύσεων σε προβλήματα συνδυαστικής

Συνδυαστικήείναι μια επιστήμη που συναντά ο καθένας στην καθημερινή ζωή: πόσους τρόπους να επιλέξεις 3 εφημερεύοντες για να καθαρίσουν την τάξη ή πόσους τρόπους να σχηματίσεις μια λέξη από δεδομένα γράμματα.

Γενικά, η συνδυαστική σάς επιτρέπει να υπολογίσετε πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί, σύμφωνα με ορισμένες συνθήκες, μπορούν να γίνουν από δεδομένα αντικείμενα (ίδια ή διαφορετικά).

Ως επιστήμη, η συνδυαστική ξεκίνησε τον 16ο αιώνα και τώρα κάθε μαθητής (και συχνά ακόμη και μαθητές) τη μελετά. Αρχίζουν να μελετούν τις έννοιες των μεταθέσεων, των τοποθετήσεων, των συνδυασμών (με ή χωρίς επαναλήψεις, θα βρείτε προβλήματα σε αυτά τα θέματα παρακάτω). Οι πιο γνωστοί κανόνες της συνδυαστικής είναι οι κανόνες αθροίσματος και προϊόντος, οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνότερα σε τυπικά συνδυαστικά προβλήματα.

Παρακάτω θα βρείτε πολλά παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις που χρησιμοποιούν συνδυαστικές έννοιες και κανόνες που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε τυπικές εργασίες. Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες με τις εργασίες, παραγγείλετε ένα τεστ συνδυαστικής.

Προβλήματα συνδυαστικής με διαδικτυακές λύσεις

Εργασία 1.Η μαμά έχει 2 μήλα και 3 αχλάδια. Κάθε μέρα για 5 μέρες στη σειρά δίνει ένα φρούτο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση συνδυαστικού προβλήματος 1 (pdf, 35 Kb)

Εργασία 2.Μια επιχείρηση μπορεί να προσφέρει θέσεις εργασίας για 4 γυναίκες σε μια ειδικότητα, 6 άνδρες για μια άλλη και 3 εργαζόμενους για μια τρίτη, ανεξαρτήτως φύλου. Με πόσους τρόπους μπορούν να καλυφθούν οι κενές θέσεις εάν υπάρχουν 14 υποψήφιοι: 6 γυναίκες και 8 άνδρες;

Λύση προβλήματος συνδυαστικής 2 (pdf, 39 Kb)

Εργασία 3.Σε ένα επιβατικό τρένο υπάρχουν 9 βαγόνια. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 άτομα σε ένα τρένο, με την προϋπόθεση ότι όλοι ταξιδεύουν σε διαφορετικά βαγόνια;

Επίλυση προβλήματος συνδυαστικής 3 (pdf, 33 Kb)

Εργασία 4.Στην ομάδα είναι 9 άτομα. Πόσες διαφορετικές υποομάδες μπορείτε να σχηματίσετε, με την προϋπόθεση ότι η υποομάδα περιλαμβάνει τουλάχιστον 2 άτομα;

Λύση στο πρόβλημα της συνδυαστικής 4 (pdf, 34 Kb)

Εργασία 5.Μια ομάδα 20 μαθητών πρέπει να χωριστεί σε 3 ομάδες και η πρώτη ομάδα πρέπει να περιλαμβάνει 3 άτομα, η δεύτερη - 5 και η τρίτη - 12. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση προβλήματος συνδυαστικής 5 (pdf, 37 Kb)

Εργασία 6.Ο προπονητής επιλέγει 5 αγόρια από τα 10 για να είναι στην ομάδα Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματίσει την ομάδα εάν πρόκειται να είναι 2 συγκεκριμένα αγόρια;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 6 (pdf, 33 Kb)

Εργασία 7.Στο σκακιστικό τουρνουά συμμετείχαν 15 σκακιστές και ο καθένας από αυτούς έπαιξε μόνο ένα παιχνίδι με τον καθένα από τους άλλους. Πόσα παιχνίδια παίχτηκαν σε αυτό το τουρνουά;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 7 (pdf, 37 Kb)

Εργασία 8.Πόσα διαφορετικά κλάσματα μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 3, 5, 7, 11, 13, 17 ώστε κάθε κλάσμα να περιέχει 2 διαφορετικούς αριθμούς? Πόσα από αυτά είναι σωστά κλάσματα;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 8 (pdf, 32 Kb)

Εργασία 9.Πόσες λέξεις μπορείτε να πάρετε αναδιατάσσοντας τα γράμματα στη λέξη Mountain and Institute;

Πρόβλημα συνδυαστικής με τη λύση 9 (pdf, 32 Kb)

Πρόβλημα 10.Ποιοι αριθμοί από το 1 έως το 1.000.000 είναι μεγαλύτεροι: αυτοί στους οποίους εμφανίζεται η μονάδα ή αυτοί στους οποίους δεν εμφανίζεται;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 10 (pdf, 39 Kb)

Έτοιμα παραδείγματα

Χρειάζεστε λυμένα προβλήματα συνδυαστικής; Βρείτε στο βιβλίο εργασίας:

Άλλες λύσεις σε προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων

«Υπάρχουν τρία είδη ψεμάτων: ψέματα, καταραμένα ψέματα και στατιστικές». Αυτή η φράση, που αποδόθηκε από τον Mark Twain στον Βρετανό πρωθυπουργό Benjamin Disraeli, αντικατοπτρίζει δικαίως τη στάση της πλειοψηφίας απέναντι στους μαθηματικούς νόμους. Πράγματι, η θεωρία πιθανοτήτων μερικές φορές κάνει εμετό καταπληκτικά γεγονότα, που είναι δύσκολο να πιστέψουμε με την πρώτη ματιά - και που, ωστόσο, επιβεβαιώνονται από την επιστήμη. Το «Θεωρίες και Πρακτικές» υπενθύμισε τα πιο διάσημα παράδοξα.

Πρόβλημα Monty Hall

Αυτό ακριβώς είναι το πρόβλημα που παρουσίασε ένας πανούργος καθηγητής του MIT στους φοιτητές στην ταινία Twenty-One. Έχοντας δώσει τη σωστή απάντηση, κύριος χαρακτήραςκαταλήγει σε μια ομάδα λαμπρών νεαρών μαθηματικών να χτυπά καζίνο στο Λας Βέγκας.

Η κλασική διατύπωση έχει ως εξής: «Ας πούμε ότι ένας συγκεκριμένος παίκτης προσφέρεται να λάβει μέρος στη διάσημη αμερικανική τηλεοπτική εκπομπή Let’s Make a Deal, με παρουσιαστή τον Monty Hall, και πρέπει να επιλέξει μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από δύο πόρτες είναι κατσίκες, πίσω από τη μία είναι το κύριο βραβείο, ένα αυτοκίνητο, ο παρουσιαστής ξέρει την τοποθεσία των βραβείων. Αφού ο παίκτης κάνει την επιλογή του, ο οικοδεσπότης ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα, και καλεί τον παίκτη να αλλάξει την απόφασή του. Πρέπει ο παίκτης να συμφωνήσει ή είναι καλύτερα να διατηρήσει την αρχική του επιλογή;»

Ακολουθεί μια τυπική συλλογιστική: αφού ο οικοδεσπότης ανοίξει μια από τις πόρτες και δείξει την κατσίκα, ο παίκτης πρέπει να επιλέξει ανάμεσα σε δύο πόρτες. Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από ένα από αυτά, πράγμα που σημαίνει ότι η πιθανότητα να το μαντέψετε είναι ½. Επομένως, δεν έχει σημασία αν θα αλλάξετε την επιλογή σας ή όχι. Κι όμως, η θεωρία πιθανοτήτων λέει ότι μπορείτε να αυξήσετε τις πιθανότητές σας να κερδίσετε αλλάζοντας την απόφασή σας. Ας καταλάβουμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Για να το κάνουμε αυτό, ας κάνουμε ένα βήμα πίσω. Τη στιγμή που κάναμε την αρχική μας επιλογή, χωρίσαμε τις πόρτες σε δύο μέρη: αυτό που επιλέξαμε και τα άλλα δύο. Προφανώς, η πιθανότητα το αυτοκίνητο να κρύβεται πίσω από την πόρτα "μας" είναι ⅓ - κατά συνέπεια, το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από μία από τις δύο υπόλοιπες πόρτες με πιθανότητα ⅔. Όταν ο παρουσιαστής δείχνει ότι υπάρχει μια κατσίκα πίσω από μία από αυτές τις πόρτες, αποδεικνύεται ότι αυτή η πιθανότητα ⅔ πέφτει στη δεύτερη πόρτα. Και αυτό μειώνει την επιλογή του παίκτη σε δύο πόρτες, πίσω από τη μία (αρχικά επιλεγμένη) το αυτοκίνητο βρίσκεται με πιθανότητα ⅓ και πίσω από την άλλη - με πιθανότητα ⅔. Η επιλογή γίνεται προφανής. Κάτι που φυσικά δεν αλλάζει το γεγονός ότι από την αρχή ο παίκτης μπορούσε να επιλέξει την πόρτα με το αυτοκίνητο.

Πρόβλημα τριών κρατουμένων

Το The Three Prisoners Paradox είναι παρόμοιο με το πρόβλημα του Monty Hall, αν και διαδραματίζεται σε ένα πιο δραματικό περιβάλλον. Τρεις κρατούμενοι (Α, Β και Γ) καταδικάζονται σε θανατική ποινήκαι τέθηκε σε απομόνωση. Ο κυβερνήτης επιλέγει τυχαία έναν από αυτούς και του δίνει χάρη. Ο αρχιφύλακας γνωρίζει ποιος από τους τρεις έχει λάβει χάρη, αλλά έχει εντολή να το κρατήσει μυστικό. Ο κρατούμενος Α ζητά από τον φρουρό να του πει το όνομα του δεύτερου κρατούμενου (εκτός από τον ίδιο) που θα εκτελεστεί οπωσδήποτε: «αν ο Β έχει χάρη, πες μου ότι ο Β θα εκτελεστεί, πες μου ότι ο Β θα εκτελεστεί Εάν εκτελεστούν και οι δύο και έχω συγχωρεθεί, πέταξε ένα νόμισμα και πείτε κάποιο από αυτά τα δύο ονόματα.» Ο αρχιφύλακας λέει ότι ο κρατούμενος Β θα εκτελεστεί.

Θα φαινόταν έτσι. Άλλωστε, πριν λάβει αυτές τις πληροφορίες, η πιθανότητα θανάτου του κρατούμενου Α ήταν ⅔ και τώρα γνωρίζει ότι ένας από τους άλλους δύο κρατούμενους θα εκτελεστεί - πράγμα που σημαίνει ότι η πιθανότητα εκτέλεσής του έχει μειωθεί στο ½. Αλλά στην πραγματικότητα, ο κρατούμενος Α δεν έμαθε τίποτα καινούργιο: αν δεν του χορηγούνταν χάρη, θα του έλεγαν το όνομα ενός άλλου κρατουμένου και ήξερε ήδη ότι ο ένας από τους δύο που είχαν απομείνει θα εκτελούνταν. Αν είναι τυχερός και η εκτέλεση ακυρωθεί, θα ακούσει ένα τυχαίο όνομα Β ή Γ. Επομένως, οι πιθανότητες σωτηρίας του δεν έχουν αλλάξει με κανέναν τρόπο.

Τώρα φανταστείτε ότι ένας από τους υπόλοιπους κρατούμενους μαθαίνει για την ερώτηση του κρατούμενου Α και την απάντηση που έλαβε. Αυτό θα αλλάξει τις απόψεις του για την πιθανότητα μιας χάρης.

Αν ο κρατούμενος Β κρυφάκουγε τη συνομιλία, θα ξέρει ότι σίγουρα θα εκτελεστεί. Και αν ο κρατούμενος Β, τότε η πιθανότητα της χάρης του θα είναι ⅔. Γιατί συνέβη; Ο κρατούμενος Α δεν έχει λάβει καμία πληροφορία και εξακολουθεί να έχει ⅓ πιθανότητες να του δοθεί χάρη. Ο κρατούμενος Β σίγουρα δεν θα του δοθεί χάρη και οι πιθανότητές του είναι μηδενικές. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να αποφυλακιστεί ο τρίτος κρατούμενος είναι ⅔.

Παράδοξο δύο φακέλων

Αυτό το παράδοξο έγινε γνωστό χάρη στον μαθηματικό Μάρτιν Γκάρντνερ και διατυπώνεται ως εξής: «Ας υποθέσουμε ότι προσφέρθηκαν σε εσάς και έναν φίλο δύο φάκελοι, ο ένας περιέχει ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό Χ και ο άλλος περιέχει ένα διπλάσιο ποσό. Ανοίγεις ανεξάρτητα τους φακέλους, μετράς τα χρήματα και μετά μπορείς να τους ανταλλάξεις. Οι φάκελοι είναι ίδιοι, επομένως η πιθανότητα να λάβετε φάκελο με μικρότερη ποσότητα είναι ½. Ας υποθέσουμε ότι ανοίγετε έναν φάκελο και βρίσκετε 10 $ σε αυτόν. Επομένως, είναι εξίσου πιθανό ο φάκελος του φίλου σας να περιέχει $5 ή $20. Εάν αποφασίσετε να ανταλλάξετε, τότε μπορείτε να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία του τελικού ποσού - δηλαδή τη μέση τιμή του. Είναι 1/2x$5+1/2x20=12,5$. Έτσι, η ανταλλαγή είναι επωφελής για εσάς. Και, πιθανότατα, ο φίλος σας θα σκεφτεί το ίδιο. Αλλά είναι προφανές ότι η ανταλλαγή δεν μπορεί να είναι επωφελής και για τους δυο σας. Ποιο είναι το λάθος;

Το παράδοξο είναι ότι μέχρι να ανοίξετε τον φάκελο σας, οι πιθανότητες συμπεριφέρονται καλά: στην πραγματικότητα έχετε 50% πιθανότητα να βρείτε το ποσό Χ στον φάκελο σας και 50% πιθανότητα να βρείτε το ποσό 2Χ. Και η κοινή λογική υπαγορεύει ότι οι πληροφορίες σχετικά με το ποσό που έχετε δεν μπορούν να επηρεάσουν το περιεχόμενο του δεύτερου φακέλου.

Ωστόσο, μόλις ανοίξετε το φάκελο, η κατάσταση αλλάζει δραματικά (αυτό το παράδοξο μοιάζει κάπως με την ιστορία της γάτας του Σρέντιγκερ, όπου η ίδια η παρουσία ενός παρατηρητή επηρεάζει την κατάσταση των πραγμάτων). Γεγονός είναι ότι για να συμμορφωθείτε με τις προϋποθέσεις του παραδόξου, η πιθανότητα να βρείτε στον δεύτερο φάκελο μεγαλύτερη ή μικρότερη ποσότητα από τη δική σας πρέπει να είναι η ίδια. Αλλά τότε οποιαδήποτε τιμή αυτού του αθροίσματος από το μηδέν έως το άπειρο είναι εξίσου πιθανή. Και αν υπάρχει ένας εξίσου πιθανός άπειρος αριθμός πιθανοτήτων, αθροίζονται στο άπειρο. Και αυτό είναι αδύνατο.

Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να φανταστείτε ότι βρίσκετε ένα σεντ στον φάκελο σας. Προφανώς, ο δεύτερος φάκελος δεν μπορεί να περιέχει τη μισή ποσότητα.

Είναι αξιοπερίεργο το γεγονός ότι οι συζητήσεις για την επίλυση του παραδόξου συνεχίζονται μέχρι σήμερα. Ταυτόχρονα, επιχειρείται τόσο να εξηγηθεί το παράδοξο εκ των έσω όσο και να αναπτυχθεί η καλύτερη στρατηγικήσυμπεριφορά σε μια τέτοια κατάσταση. Συγκεκριμένα, ο καθηγητής Thomas Cover πρότεινε μια πρωτότυπη προσέγγιση για τη διαμόρφωση στρατηγικής - να αλλάξει ή να μην αλλάξει το φάκελο, καθοδηγούμενος από κάποια διαισθητική προσδοκία. Ας πούμε, αν ανοίξετε έναν φάκελο και βρείτε 10 $ σε αυτόν - ένα μικρό ποσό κατά την εκτίμησή σας - αξίζει να τον ανταλλάξετε. Και αν υπάρχουν, ας πούμε, 1.000 $ στο φάκελο, που ξεπερνά τις πιο τρελές προσδοκίες σας, τότε δεν χρειάζεται να αλλάξετε. Αυτή η διαισθητική στρατηγική, εάν σας ζητείται τακτικά να επιλέξετε δύο φακέλους, σας επιτρέπει να αυξήσετε τα συνολικά σας κέρδη περισσότερο από τη στρατηγική της συνεχούς αλλαγής φακέλων.

Παράδοξο αγόρι και κορίτσι

Αυτό το παράδοξο προτάθηκε και από τον Μάρτιν Γκάρντνερ και διατυπώνεται ως εξής: «Ο κ. Σμιθ έχει δύο παιδιά. Τουλάχιστον ένα παιδί είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και ο δεύτερος αγόρι;

Φαίνεται ότι το έργο είναι απλό. Ωστόσο, αν αρχίσετε να το εξετάζετε, προκύπτει μια περίεργη περίσταση: η σωστή απάντηση θα διαφέρει ανάλογα με το πώς υπολογίζουμε την πιθανότητα του φύλου του άλλου παιδιού.

Επιλογή 1

Ας εξετάσουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σε οικογένειες με δύο παιδιά:

Κορίτσι/Κορίτσι

Κορίτσι αγόρι

Αγόρι κορίτσι

Αγόρι/Αγόρι

Η επιλογή κορίτσι/κορίτσι δεν μας ταιριάζει σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας. Επομένως, για την οικογένεια του κυρίου Σμιθ, υπάρχουν τρεις εξίσου πιθανές επιλογές - που σημαίνει ότι η πιθανότητα το άλλο παιδί να είναι επίσης αγόρι είναι ⅓. Αυτή ακριβώς είναι η απάντηση που έδωσε αρχικά ο ίδιος ο Γκάρντνερ.

Επιλογή 2

Ας φανταστούμε ότι συναντάμε τον κύριο Σμιθ στο δρόμο όταν περπατάει με τον γιο του. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί αγόρι; Δεδομένου ότι το φύλο του δεύτερου παιδιού δεν έχει καμία σχέση με το φύλο του πρώτου, η προφανής (και σωστή) απάντηση είναι ½.

Γιατί συμβαίνει αυτό, αφού φαίνεται ότι τίποτα δεν έχει αλλάξει;

Όλα εξαρτώνται από το πώς προσεγγίζουμε το ζήτημα του υπολογισμού της πιθανότητας. Στην πρώτη περίπτωση εξετάσαμε τα πάντα πιθανές επιλογέςοικογένεια Σμιθ. Στο δεύτερο, θεωρήσαμε ότι όλες οι οικογένειες πέφτουν κάτω απαιτούμενη προϋπόθεση«Πρέπει να υπάρχει ένα αγόρι». Ο υπολογισμός της πιθανότητας του φύλου του δεύτερου παιδιού πραγματοποιήθηκε με αυτή τη συνθήκη (στη θεωρία πιθανοτήτων αυτό ονομάζεται "υπό όρους πιθανότητα"), η οποία οδήγησε σε ένα αποτέλεσμα διαφορετικό από το πρώτο.