Nivel de entrada

Ecuaciones cuadráticas. guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.

Ejemplo 1.

Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y organicemos los términos en orden descendente de potencias de X.

Ahora podemos decir con seguridad que ecuación dada es cuadrado!

Ejemplo 2.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!

Ejemplo 3.

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4.

Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:

Mira, se ha reducido y ¡ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado;
4. no cuadrado;
5. no cuadrado;
6. cuadrado;
7. no cuadrado;
8. cuadrado.

Los matemáticos dividen todo condicionalmente. ecuaciones cuadráticas en apariencia:

• Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

1. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
2. , en esta ecuación el término libre es igual a.
3. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo. Como sabemos cómo sacar la raíz cuadrada, usemos esta ecuación para expresar

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Respuesta:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡sin raíces!

Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Respuesta:

Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Respuesta:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.

Recordar ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo; lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene raíz. atención especial da un paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
• Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3.

Respuesta:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene una raíz.

Respuesta:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.

Respuesta: sin raíces

2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):

Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:

suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .

La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es igual a:

Compongamos y resolvamos el sistema:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Respuesta: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

Se da la ecuación, lo que significa:

Respuesta:

ECUACIONES CUADRADADAS. NIVEL MEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratis.

¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.

Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

III. , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raíces

No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces.

Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.

Respuesta:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Respuesta:

Saquemos el factor común de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:

Respuesta:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene raíces:
• Si entonces la ecuación tiene raíces idénticas, pero esencialmente una raíz:

  Estas raíces se llaman raíces dobles.

• Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué son posibles diferentes números de raíces? pasemos a sentido geométrico ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

Respuesta: .

Respuesta:

Esto significa que no hay soluciones.

Respuesta: .

2. Teorema de Vieta

Utilizar el teorema de Vieta es muy fácil: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo #1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es igual a:

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Respuesta: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:

y: dan en total.

y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.

Respuesta:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.

Seleccionemos pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es igual - no encaja;

y: - no apto;

y: - no apto;

y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Comprobamos:

Respuesta:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:

Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:

Respuesta:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Respuesta:

De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.

Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones a tareas para el trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es justo lo que necesitas.

Respuesta: ; .

Tarea 2.

Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.

Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Respuesta: ; .

Tarea 3.

Mmmm... ¿Dónde es eso?

Debes mover todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuélvela de otra manera (por ejemplo, a través de un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.

Es muy fácil elegir aquí: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).

Respuesta: ; .

Tarea 4.

El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.

Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y, desde entonces.

Respuesta: ; .

Tarea 5.

¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.

Respuesta: ; .

Déjame resumir:

1. El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
3. Si no se da la ecuación o no se encuentra ninguna ecuación par adecuado factores del término libre, lo que significa que no hay raíces enteras y es necesario resolver de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante).

3. Método para seleccionar un cuadrado completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

EN vista general la transformación se verá así:

Sigue: .

¿No te recuerda a nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRADAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
• si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
• si y, la ecuación se ve así: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Expresemos la incógnita: ,

2) Verifique el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando discriminante

1) Reduzcamos la ecuación a vista estándar: ,

2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.

2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.

Farafonova Natalia Igorevna

Sujeto: Ecuaciones cuadráticas incompletas.

Objetivos de la lección:- Introducir el concepto de ecuación cuadrática incompleta;

Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

Objetivos de la lección:- Ser capaz de determinar el tipo de ecuación cuadrática;

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

Libro web:Álgebra: libro de texto. para 8vo grado. educación general instituciones / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu V. Sidorov, etc. - M.: Educación, 2010.

Progreso de la lección.

1. Recuerde a los estudiantes que antes de resolver cualquier ecuación cuadrática, es necesario reducirla a su forma estándar. Recuerda la definición ecuación cuadrática completa:hacha 2 +bx +c = 0,un ≠ 0.

En estas ecuaciones cuadráticas, nombra los coeficientes a, b, c:

a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; c) x 2 - 4 = 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Defina una ecuación cuadrática incompleta:

La ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes, b o c, es igual a 0. Tenga en cuenta que el coeficiente a ≠ 0. De las ecuaciones presentadas anteriormente, seleccione ecuaciones cuadráticas incompletas.

3. Es más conveniente presentar tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas con ejemplos de soluciones en forma de tabla:

1. Sin resolver, determina el número de raíces de cada ecuación cuadrática incompleta:

a) 2x 2 - 3 = 0; segundo) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2-x = 0; d) 0,6x2 = 0; mi) -8x 2 - 4 = 0.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas (resolviendo ecuaciones, comprobando en la pizarra, 2 opciones):

c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

mi) 2x 2 - 16 = 0

f) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

g) (x + 1) 2 - 4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d)x 2 + 9x = 0

mi) 81x 2 - 64 = 0

f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Trabajo independiente según opciones:

1 opción

a) 3x 2 - 12 = 0

segundo) 2x 2 + 6x = 0

mi) 7x 2 - 14 = 0

Opción 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9y 2 - 4 = 0

d) -y 2 + 5 = 0

e) 1 - 4y 2 = 0

e) 8y 2 + y = 0

Opción 3

a) 6y - y 2 = 0

b) 0,1y 2 - 0,5y = 0

c) (x + 1)(x -2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

mi) x 2 - 2x = 0

mi) x 2 - 16 = 0

Opción 4

a) 9x 2 - 1 = 0

segundo) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

mi) 3x 2 + 7 = 12x+ 7

Opción 5

a) 2x 2 - 18 = 0

segundo) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

mi) 6x 2 - 18 = 0

mi) x 2 - 5x = 0

Opción 6

segundo) 4x 2 + 36 = 0

c) 25 años 2 - 1 = 0

d) -y 2 + 2 = 0

e) 9 - 16 años 2 = 0

e) 7y 2 + y = 0

Opción 7

a) 4y - y 2 = 0

b) 0,2y 2 - y = 0

c) (x + 2)(x - 1) = 0

d) (x - 0,3)x = 0

mi) x 2 + 4x = 0

mi) x 2 - 36 = 0

Opción 8

a) 16x 2 - 1 = 0

segundo) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

mi) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Respuestas a trabajo independiente:

Opción 1: a)2, b)0;-3; c)0; d) sin raíces; d);

Opción 2 a)0; b) raíces; V); GRAMO); d); e)0;- ;

Opción 3 a)0;6; b)0;5; c)-1;2; d)0;-0,5; d)0;2; mi)4

4 opción a); b)0;1,5; c)0;3; d)3; d)0;4f)5

5 opción a)3; b)0;4; c)0; d) sin raíces; e) f)0;5

6 opción a)0; b) no hay raíces; c) d) e)f)0;-

7 opción a)0;4; b)0;5; c)-2;1; d)0;0,03; d)0;-4; mi)6

8 opción a) b)0; c)0;7; d)4; d)0;3; mi)

Resumen de la lección: Se formula el concepto de “ecuación cuadrática incompleta”; se muestran soluciones diferentes tipos ecuaciones cuadráticas incompletas. En curso varias tareas Se han desarrollado habilidades para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

7. Tarea: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Tarea adicional:

¿Para qué valores de a la ecuación es una ecuación cuadrática incompleta? Resuelva la ecuación para los valores obtenidos de a:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0

Ecuaciones cuadráticas. Discriminante. Solución, ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Tipos de ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática? ¿Cómo se ve? Durante el curso ecuación cuadrática la palabra clave es "cuadrado". Esto significa que en la ecuación Necesariamente debe haber una x al cuadrado. Además, la ecuación puede (¡o no!) contener solo X (a la primera potencia) y solo un número (miembro gratuito). Y no debería haber X elevado a una potencia mayor que dos.

En términos matemáticos, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

Aquí a, b y c- algunos números. b y c- absolutamente cualquiera, pero A– cualquier cosa distinta de cero. Por ejemplo:

Aquí A =1; b = 3; do = -4

Aquí A =2; b = -0,5; do = 2,2

Aquí A =-3; b = 6; do = -18

Bueno, entiendes...

En estas ecuaciones cuadráticas de la izquierda hay conjunto completo miembros. X al cuadrado con un coeficiente A, x a la primera potencia con coeficiente b Y miembros libres s.

Estas ecuaciones cuadráticas se llaman lleno.

Y si b= 0, ¿qué obtenemos? Tenemos X se perderá ante la primera potencia. Esto sucede cuando se multiplica por cero). Resulta, por ejemplo:

5x 2 -25 = 0,

2x2-6x=0,

-x 2 +4x=0

Etc. Y si ambos coeficientes b Y do son iguales a cero, entonces es aún más simple:

2x2=0,

-0.3x 2 =0

Las ecuaciones en las que falta algo se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas. Lo cual es bastante lógico.) Tenga en cuenta que x al cuadrado está presente en todas las ecuaciones.

Por cierto, ¿por qué? A¿No puede ser igual a cero? Y en su lugar lo sustituyes A cero.) ¡Nuestra X al cuadrado desaparecerá! La ecuación se volverá lineal. Y la solución es completamente diferente...

Esos son todos los tipos principales de ecuaciones cuadráticas. Completo e incompleto.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas.

Las ecuaciones cuadráticas son fáciles de resolver. Según fórmulas y claras. reglas simples. En la primera etapa es necesario. ecuación dada conducir a una forma estándar, es decir a la forma:

Si ya se le ha proporcionado la ecuación en este formulario, no es necesario que realice la primera etapa). Lo principal es determinar correctamente todos los coeficientes, A, b Y do.

La fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante. Pero más sobre él a continuación. Como puedes ver, para encontrar X, usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de una ecuación cuadrática. Simplemente sustituye cuidadosamente los valores. a, b y c Calculamos en esta fórmula. sustituyamos ¡Con tus propios carteles! Por ejemplo, en la ecuación:

A =1; b = 3; do= -4. Aquí lo anotamos:

El ejemplo está casi resuelto:

Ésta es la respuesta.

Es muy sencillo. ¿Y qué, crees que es imposible equivocarse? Pues sí, ¿cómo...?

Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Lo que ayuda aquí es una grabación detallada de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, haz eso!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; b = -5; do = -1

Digamos que sabes que rara vez obtienes respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Se necesitarán unos 30 segundos para escribir una línea adicional y la cantidad de errores. disminuirá drásticamente. Así que escribimos detalladamente, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil escribir con tanto cuidado. Pero sólo lo parece. Probar. Bueno, o elige. ¿Qué es mejor, rápido o correcto?

Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no será necesario escribir todo con tanto cuidado. Funcionará por sí solo. Especialmente si utiliza técnicas prácticas que se describen a continuación. ¡Este malvado ejemplo con un montón de desventajas se puede resolver fácilmente y sin errores!

Pero, a menudo, las ecuaciones cuadráticas lucen ligeramente diferentes. Por ejemplo, así: ¿Lo reconociste?) ¡Sí! Este.

ecuaciones cuadráticas incompletas

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. a, b y c.

También se pueden resolver mediante una fórmula general. Solo necesitas entender correctamente a qué equivalen aquí. ¿Lo has descubierto? En el primer ejemplo a = 1; segundo = -4; do A ? ¡No está ahí en absoluto! Pues sí, así es. En matemáticas esto significa que c = 0 ! Eso es todo. Sustituya cero en la fórmula. do, y lo lograremos. Lo mismo con el segundo ejemplo. Sólo que aquí no tenemos cero. Con b !

, A

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver de manera mucho más sencilla. Sin fórmulas. Consideremos la primera ecuación incompleta. ¿Qué puedes hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar X de los paréntesis! Saquémoslo.
¿Y qué hay de esto? ¡Y el hecho de que el producto es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero! ¿No me crees? Bien, entonces piensa en dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, ¡darán cero!
¿No funciona? Eso es todo... Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:, x1 = 0.

x2 = 4 Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos son adecuados. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más sencilla que usar la fórmula general. Permítanme señalar, por cierto, cuál X será el primero y cuál el segundo, absolutamente indiferente. Es conveniente escribir en orden, x1 - ¿Qué es más pequeño y x2

- lo que es mayor.

La segunda ecuación también se puede resolver de forma sencilla. Mueva 9 hacia el lado derecho. Obtenemos:

Sólo queda extraer la raíz del 9 y listo. Resultará: . También dos raíces, x1 = -3.

x2 = 3
Así se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea colocando X entre corchetes o simplemente moviendo el número hacia la derecha y luego extrayendo la raíz.

Es extremadamente difícil confundir estas técnicas. Simplemente porque en el primer caso tendrás que extraer la raíz de X, que es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...

Discriminante. Fórmula discriminante. discriminante ! ¡Rara vez un estudiante de secundaria no ha escuchado esta palabra! La frase “resolvemos mediante un discriminante” inspira confianza y tranquilidad. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y sin problemas de usar.) Les recuerdo la fórmula más general para resolver cualquier ecuaciones cuadráticas:

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante. Normalmente el discriminante se indica con la letra D. Fórmula discriminante:

re = segundo 2 - 4ac

¿Y qué tiene de notable esta expresión? ¿Por qué merecía un nombre especial? Qué ¿El significado del discriminante? Después de todo -b, o 2a en esta fórmula no lo llaman específicamente de nada... Letras y letras.

Aquí está la cosa. Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula, es posible sólo tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que se puede extraer la raíz. Otra cuestión es si la raíz se extrae bien o mal. Lo importante es lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tendrás una solución. Ya que sumar o restar cero en el numerador no cambia nada. Estrictamente hablando, esta no es una raíz, sino dos identicos. Pero, en una versión simplificada, se acostumbra hablar de una solución.

3. El discriminante es negativo. No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Ah, bueno. Esto significa que no hay soluciones.

Honestamente hablando, cuando solución sencilla En ecuaciones cuadráticas, el concepto de discriminante no es particularmente necesario. Sustituimos los valores de los coeficientes en la fórmula y contamos. Allí todo sucede por sí solo, dos raíces, una y ninguna. Sin embargo, al resolver tareas más complejas, sin conocimientos. significado y fórmula del discriminante no puedo arreglármelas. Especialmente en ecuaciones con parámetros. ¡Estas ecuaciones son acrobacias aéreas para el examen estatal y el examen estatal unificado!)

Entonces, cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través del discriminante que recordaste. O aprendiste, lo cual tampoco está mal.) Sabes cómo determinar correctamente a, b y c. ¿Sabes cómo? atentamente sustitúyelos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. ¿Entendiste eso? palabra clave Aquí - ¿atentamente?

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores. Los mismos que son por falta de atención... Por lo que luego se vuelve doloroso y ofensivo...

Primera cita . No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática y llevarla a su forma estándar. ¿Qué quiere decir esto?
Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:

Y de nuevo, ¡no te apresures! Un signo menos delante de una X al cuadrado puede realmente molestarte. Es fácil de olvidar... Deshazte de los menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo. Decide por ti mismo.

Ahora deberías tener las raíces 2 y -1. Recepción segunda. ¡Comprueba las raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te asustes, te lo explicaré todo! De chequesúltimo ecuación. Aquellos. el que usamos para escribir la fórmula raíz. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1 , comprobar las raíces es fácil. Basta multiplicarlos. El resultado debería ser un miembro gratuito, es decir. en nuestro caso -2. ¡Tenga en cuenta que no 2, sino -2! Miembro gratuito con tu signo

. Si no funciona, significa que ya se han equivocado en alguna parte. Busque el error. b Si funciona, necesitas agregar las raíces. Última y definitiva comprobación. El coeficiente debe ser Con opuesto b familiar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente
, que está antes de la X, es igual a -1. Entonces, ¡todo es correcto! Es una pena que esto sea tan simple sólo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1.

¡Pero al menos comprueba esas ecuaciones! Cada vez habrá menos errores. Recepción tercero . Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por denominador común

, como se describe en la lección "¿Cómo resolver ecuaciones? Transformaciones idénticas". Cuando se trabaja con fracciones, los errores siguen apareciendo por alguna razón...

Por cierto, prometí simplificar el malvado ejemplo con un montón de desventajas. ¡Por favor! Aquí está.

Para no confundirnos con los inconvenientes, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Resolver es un placer!

Entonces, resumamos el tema.:

Consejos prácticos 1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos..

Bien

2. Si delante de la X al cuadrado hay un coeficiente negativo, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente. 4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente usando el teorema de Vieta.

¡Hazlo!

Ahora podemos decidir.)

Resolver ecuaciones:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:
Respuestas (en desorden):

x2 = 52

x 1,2 =
x1 = 2

x2 = -0,5

También dos raíces
x1 = -3

x - cualquier número

sin soluciones
x1 = 0,25

¿Todo encaja? ¡Excelente! Las ecuaciones cuadráticas no son tu dolor de cabeza. ¿Los primeros tres funcionaron, pero el resto no? Entonces el problema no son las ecuaciones cuadráticas. El problema está en transformaciones idénticas de ecuaciones. Echa un vistazo al enlace, es útil.

¿No funciona del todo? ¿O no funciona en absoluto? Entonces la Sección 555 le ayudará. Todos estos ejemplos se desglosan allí. Mostrado principal errores en la solución. Por supuesto, también hablamos del uso de transformaciones idénticas en la solución. diferentes ecuaciones. ¡Ayuda mucho!

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Ecuaciones cuadráticas. Información general.

EN ecuación cuadrática debe haber una x al cuadrado (por eso se llama

"cuadrado") Además de esto, la ecuación puede (¡o no!) contener simplemente X (a la primera potencia) y

solo un numero (miembro gratis). Y no debería haber X elevado a una potencia mayor que dos.

ecuación algebraica apariencia general.

Dónde incógnita- variable libre, a, b, do- coeficientes, y a≠0 .

Por ejemplo:

Expresión llamado trinomio cuadrático.

Los elementos de una ecuación cuadrática tienen nombres propios:

llamado el primer coeficiente o el más alto,

· llamado segundo o coeficiente en ,

· llamado miembro gratuito.

Completa ecuación cuadrática.

Estas ecuaciones cuadráticas tienen un conjunto completo de términos a la izquierda. X al cuadrado c

coeficiente A, x a la primera potencia con coeficiente b Y gratis miembroCon. EN todos los coeficientes

debe ser diferente de cero.

Incompleto es una ecuación cuadrática en la que al menos uno de los coeficientes, excepto

el término principal (ya sea el segundo coeficiente o el término libre) es igual a cero.

Supongamos que b= 0, - X elevado a la primera potencia desaparecerá. Resulta, por ejemplo:

2x2-6x=0,

Etc. Y si ambos coeficientes b Y do son iguales a cero, entonces todo es aún más sencillo, Por ejemplo:

2x2=0,

Tenga en cuenta que x al cuadrado aparece en todas las ecuaciones.

Por qué A¿No puede ser igual a cero? Entonces x al cuadrado desaparecerá y la ecuación quedará lineal .

Y la solución es completamente diferente...

Más de una manera sencilla. Para hacer esto, elimine z entre paréntesis. Obtendrás: z(аz + b) = 0. Los factores se pueden escribir: z=0 y az + b = 0, ya que ambos pueden resultar en cero. En la notación az + b = 0, movemos el segundo hacia la derecha con diferente signo. De aquí obtenemos z1 = 0 y z2 = -b/a. Éstas son las raíces del original.

Si hay una ecuación incompleta de la forma аz² + с = 0, en en este caso se encuentran simplemente moviendo el término libre al lado derecho de la ecuación. También cambia su signo. El resultado será az² = -с. Exprese z² = -c/a. Tome la raíz y escriba dos soluciones: positiva y valor negativo raíz cuadrada.

tenga en cuenta

Si hay coeficientes fraccionarios en la ecuación, multiplica la ecuación completa por el factor apropiado para eliminar las fracciones.

El conocimiento de cómo resolver ecuaciones cuadráticas es necesario tanto para los escolares como para los estudiantes, a veces esto también puede ayudar a un adulto; vida ordinaria. Existen varios métodos de solución específicos.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Ecuación cuadrática de la forma a*x^2+b*x+c=0. El coeficiente x es la variable deseada, a, b, c son coeficientes numéricos. Recuerde que el signo “+” puede cambiar a un signo “-”.

Para resolver esta ecuación es necesario utilizar el teorema de Vieta o encontrar el discriminante. El método más común es encontrar el discriminante, ya que para algunos valores de a, b, c no es posible utilizar el teorema de Vieta.

Para encontrar el discriminante (D), necesitas escribir la fórmula D=b^2 - 4*a*c. El valor D puede ser mayor, menor o igual a cero. Si D es mayor o menor que cero, entonces habrá dos raíces, si D = 0, entonces solo queda una raíz más precisamente, podemos decir que D en este caso tiene dos raíces equivalentes; Sustituya los coeficientes conocidos a, b, c en la fórmula y calcule el valor.

Una vez que haya encontrado el discriminante, use las fórmulas para encontrar x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a donde sqrt es una función que significa extraer raíz cuadrada de numero dado. Después de calcular estas expresiones, encontrarás dos raíces de tu ecuación, después de lo cual la ecuación se considerará resuelta.

Si D es menor que cero, entonces todavía tiene raíces. Esta sección prácticamente no se estudia en la escuela. Los estudiantes universitarios deben tener en cuenta que debajo de la raíz aparece un número negativo. Se deshacen de él resaltando la parte imaginaria, es decir, -1 bajo la raíz siempre es igual al elemento imaginario “i”, que se multiplica por la raíz con el mismo número positivo. Por ejemplo, si D=sqrt(-20), después de la transformación obtenemos D=sqrt(20)*i. Después de esta transformación, la resolución de la ecuación se reduce al mismo hallazgo de raíces descrito anteriormente.

El teorema de Vieta consiste en seleccionar los valores de x(1) y x(2). Se utilizan dos ecuaciones idénticas: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. y muy punto importante es el signo delante del coeficiente b, recuerda que este signo es opuesto al de la ecuación. A primera vista, parece que calcular x(1) y x(2) es muy sencillo, pero a la hora de resolver te encontrarás con el hecho de que tendrás que seleccionar los números.

Elementos para resolver ecuaciones cuadráticas.

De acuerdo con las reglas de las matemáticas, algunas se pueden factorizar: (a+x(1))*(b-x(2))=0, si lograste transformar esta ecuación cuadrática de manera similar usando fórmulas matemáticas, entonces siéntete libre de escribe la respuesta. x(1) y x(2) serán iguales a los coeficientes adyacentes entre paréntesis, pero con el signo opuesto.

Además, no te olvides de las ecuaciones cuadráticas incompletas. Es posible que le falten algunos de los términos; de ser así, entonces todos sus coeficientes son simplemente iguales a cero. Si no hay nada delante de x^2 o x, entonces los coeficientes a y b son iguales a 1.