मापांक के साथ असमानताएँ. समाधान पर एक नया नजरिया. मापांक के साथ समीकरण और असमानताएँ

16.10.2019

संख्याओं का मापांकयदि यह संख्या गैर-ऋणात्मक है, तो यह संख्या स्वयं कहलाती है, या यदि यह ऋणात्मक है, तो विपरीत चिह्न वाली वही संख्या कहलाती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 6 का मापांक 6 है, और संख्या -6 का मापांक भी 6 है।

अर्थात्, किसी संख्या के मापांक को निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या के चिह्न को ध्यान में रखे बिना इसका निरपेक्ष मान।

इसे इस प्रकार नामित किया गया है: |6|, | एक्स|, |ए| वगैरह।

("संख्या मॉड्यूल" अनुभाग में अधिक विवरण)।

मापांक के साथ समीकरण.

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें|10 एक्स - 5| = 15.

समाधान.

नियम के अनुसार, समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

हमने निर्णय किया:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण 2 . प्रश्न हल करें|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

समाधान.

चूँकि मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है एक्स+ 2 ≥ 0. तदनुसार:

एक्स ≥ -2.

आइए दो समीकरण बनाएं:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

हमने निर्णय किया:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोनों संख्याएँ -2 से बड़ी हैं। तो दोनों समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

समाधान.

यदि हर शून्य नहीं है तो समीकरण समझ में आता है - इसका मतलब है यदि एक्स≠ 1. आइए इस स्थिति को ध्यान में रखें। हमारी पहली क्रिया सरल है - हम केवल अंश से छुटकारा नहीं पाते हैं, बल्कि इसे परिवर्तित करते हैं ताकि मॉड्यूल को उसके शुद्ध रूप में प्राप्त किया जा सके:

|एक्स+3| - 1 = 4 · ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

अब हमारे पास समीकरण के बाईं ओर मापांक के अंतर्गत केवल एक अभिव्यक्ति है। पर चलते हैं।
किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है - अर्थात, यह शून्य से बड़ा या शून्य के बराबर होना चाहिए। तदनुसार, हम असमानता को हल करते हैं:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

इस प्रकार, हमारे पास दूसरी शर्त है: समीकरण का मूल कम से कम 3/4 होना चाहिए।

नियम के अनुसार, हम दो समीकरणों का एक सेट बनाते हैं और उन्हें हल करते हैं:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

हमें दो उत्तर मिले. आइए जाँच करें कि क्या वे मूल समीकरण की जड़ें हैं।

हमारी दो स्थितियाँ थीं: समीकरण का मूल 1 के बराबर नहीं हो सकता, और यह कम से कम 3/4 होना चाहिए। वह है एक्स ≠ 1, एक्स≥ 3/4. प्राप्त दो उत्तरों में से केवल एक ही इन दोनों स्थितियों से मेल खाता है - संख्या 2। इसका मतलब है कि केवल यही मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: एक्स = 2.

मापांक के साथ असमानताएँ.

उदाहरण 1 . असमानता का समाधान करें| एक्स - 3| < 4

समाधान.

मॉड्यूल नियम कहता है:

|ए| = ए, अगर ए ≥ 0.

|ए| = -ए, अगर ए < 0.

मॉड्यूल में गैर-नकारात्मक और नकारात्मक दोनों संख्याएं हो सकती हैं। इसलिए हमें दोनों मामलों पर विचार करना होगा: एक्स- 3 ≥ 0 और एक्स - 3 < 0.

1) कब एक्स- 3 ≥ 0 हमारी मूल असमानता वैसी ही बनी हुई है, केवल मापांक चिह्न के बिना:
एक्स - 3 < 4.

2) कब एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कोष्ठक खोलने पर, हमें मिलता है:

-एक्स + 3 < 4.

इस प्रकार, इन दो स्थितियों से हम असमानताओं की दो प्रणालियों के एकीकरण पर पहुंचे:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

आइए उन्हें हल करें:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तो, हमारा उत्तर दो सेटों का मिलन है:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

सबसे छोटा और निर्धारित करें उच्चतम मूल्य. ये -1 और 7 हैं। इसके अलावा एक्स-1 से अधिक लेकिन 7 से कम.
अलावा, एक्स≥ 3. इसका मतलब है कि असमानता का समाधान इन चरम संख्याओं को छोड़कर -1 से 7 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -1 < एक्स < 7.

या: एक्स ∈ (-1; 7).

ऐड-ऑन.

1) हमारी असमानता को हल करने का एक सरल और छोटा तरीका है - ग्राफिक रूप से। ऐसा करने के लिए, आपको एक क्षैतिज अक्ष (चित्र 1) खींचने की आवश्यकता है।

अभिव्यक्ति | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सबिंदु 3 से चार इकाई कम है। हम अक्ष पर संख्या 3 अंकित करते हैं और उसके बायीं और दायीं ओर 4 प्रभागों को गिनते हैं। बाईं ओर हम बिंदु -1 पर आएंगे, दाईं ओर - बिंदु 7 पर। इस प्रकार, अंक एक्सहमने उन्हें बिना हिसाब लगाए बस देख लिया।

इसके अलावा, असमानता की स्थिति के अनुसार, -1 और 7 स्वयं समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है:

1 < एक्स < 7.

2) लेकिन एक और समाधान है जो ग्राफ़िकल विधि से भी सरल है। ऐसा करने के लिए, हमारी असमानता को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:

4 < एक्स - 3 < 4.

आख़िरकार, मापांक नियम के अनुसार ऐसा ही होता है। गैर-ऋणात्मक संख्या 4 और समान ऋणात्मक संख्या -4 असमानता को हल करने की सीमाएँ हैं।

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण 2 . असमानता का समाधान करें| एक्स - 2| ≥ 5

समाधान.

यह उदाहरण पिछले वाले से काफी अलग है. बायां भाग 5 से बड़ा या 5 के बराबर है। C ज्यामितीय बिंदुदृष्टिकोण से, असमानता का समाधान वे सभी संख्याएँ हैं जो बिंदु 2 से 5 इकाइयों या अधिक की दूरी पर हैं (चित्र 2)। ग्राफ़ दिखाता है कि ये सभी संख्याएँ हैं जो -3 से कम या उसके बराबर हैं और 7 से बड़ी या उसके बराबर हैं। इसका मतलब है कि हमें उत्तर पहले ही मिल चुका है।

उत्तर: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

साथ ही, हम मुक्त पद को बाएँ और दाएँ विपरीत चिह्न के साथ पुनर्व्यवस्थित करके समान असमानता को हल करते हैं:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर वही है: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

या: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण हल हो गया है.

उदाहरण 3 . असमानता का समाधान करें 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

समाधान.

संख्या एक्सयह एक धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या या शून्य हो सकता है। इसलिए, हमें तीनों परिस्थितियों को ध्यान में रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, उन्हें दो असमानताओं में ध्यान में रखा जाता है: एक्स≥ 0 और एक्स < 0. При एक्स≥ 0 हम अपनी मूल असमानता को वैसे ही फिर से लिखते हैं, केवल मापांक चिह्न के बिना:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

अब दूसरे मामले के बारे में: यदि एक्स < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कोष्ठक का विस्तार:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

इस प्रकार, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त हुईं:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

हमें प्रणालियों में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है - और इसका मतलब है कि हमें दो की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है द्विघातीय समीकरण. ऐसा करने के लिए, हम असमानताओं के बाएँ पक्ष को शून्य के बराबर करते हैं।

आइए पहले वाले से शुरू करें:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें - "द्विघात समीकरण" अनुभाग देखें। हम तुरंत उत्तर देंगे:

एक्स 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

असमानताओं की पहली प्रणाली से हम पाते हैं कि मूल असमानता का समाधान -1/2 से 2/3 तक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। हम समाधानों का संघ लिखते हैं एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

आइए अब दूसरा द्विघात समीकरण हल करें:

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

इसकी जड़ें:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: कब एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आइए दोनों उत्तरों को मिलाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें: समाधान इन चरम संख्याओं सहित -2/3 से 2/3 तक की संख्याओं का संपूर्ण सेट है।

उत्तर: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

या: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

कैसे अधिक लोगजो समझता है, उसकी समझने की इच्छा उतनी ही प्रबल होती है

थॉमस एक्विनास

अंतराल विधि आपको मापांक वाले किसी भी समीकरण को हल करने की अनुमति देती है। इस पद्धति का सार संख्या अक्ष को कई खंडों (अंतराल) में विभाजित करना है, और अक्ष को मॉड्यूल में अभिव्यक्तियों के शून्य से विभाजित करने की आवश्यकता है। फिर, प्रत्येक परिणामी अनुभाग पर, प्रत्येक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति या तो सकारात्मक या नकारात्मक है। इसलिए, प्रत्येक मॉड्यूल को ऋण चिह्न या प्लस चिह्न के साथ खोला जा सकता है। इन कार्रवाइयों के बाद, जो कुछ बचता है वह प्राप्त में से प्रत्येक को हल करना है सरल समीकरणविचाराधीन अंतराल पर और प्राप्त उत्तरों को संयोजित करें।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस विधि को देखें।

|एक्स + 1| + |2x – 4| – |एक्स + 3| = 2x – 6.

1) आइए मॉड्यूल में भावों के शून्य खोजें। ऐसा करने के लिए, हमें उन्हें शून्य के बराबर करना होगा और परिणामी समीकरणों को हल करना होगा।

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

एक्स = -1 2एक्स = 4 एक्स = -3

2) परिणामी बिंदुओं को निर्देशांक रेखा पर आवश्यक क्रम में रखें। वे संपूर्ण अक्ष को चार खंडों में विभाजित करेंगे।

3) आइए हम प्रत्येक परिणामी अनुभाग पर मॉड्यूल में अभिव्यक्तियों के संकेत निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम उनमें हमारी रुचि के अंतरालों में से कोई भी संख्या प्रतिस्थापित करते हैं। यदि गणना का परिणाम एक सकारात्मक संख्या है, तो हम तालिका में "+" डालते हैं, और यदि संख्या नकारात्मक है, तो हम "-" डालते हैं। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

4) अब हम तालिका में दर्शाए गए संकेतों के साथ मॉड्यूल को प्रकट करते हुए, चार अंतरालों में से प्रत्येक पर समीकरण को हल करेंगे। तो, आइए पहले अंतराल पर नजर डालें:

मैं अंतराल (-∞; -3). इस पर, सभी मॉड्यूल "-" चिह्न के साथ खोले जाते हैं। हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. आइए पहले परिणामी समीकरण में कोष्ठक खोलकर समान पद प्रस्तुत करें:

एक्स - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

प्राप्त उत्तर विचाराधीन अंतराल में शामिल नहीं है, इसलिए इसे अंतिम उत्तर में लिखना आवश्यक नहीं है।

द्वितीय अंतराल [-3; -1). तालिका में इस अंतराल पर "-", "-", "+" चिह्न हैं। यह ठीक इसी प्रकार है कि हम मूल समीकरण के मॉड्यूल कैसे खोलते हैं:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. आइए कोष्ठक खोलकर सरल करें:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. आइए परिणामी समीकरण में समान समीकरण प्रस्तुत करें:

एक्स = 6/5. परिणामी संख्या विचाराधीन अंतराल से संबंधित नहीं है, इसलिए यह मूल समीकरण की जड़ नहीं है।

तृतीय अंतराल [-1; 2). हम चित्र में तीसरे कॉलम में दिखाई देने वाले संकेतों के साथ मूल समीकरण के मॉड्यूल का विस्तार करते हैं। हम पाते हैं:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. आइए कोष्ठकों से छुटकारा पाएं और चर x वाले पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएं, और जिनमें x नहीं है उन्हें समीकरण के बाईं ओर ले जाएं सही. हमारे पास होगा:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

विचाराधीन अंतराल में संख्या 2 शामिल नहीं है।

IV अंतराल) - वे स्वचालित रूप से इसे गलत उत्तर मानेंगे। इसके अलावा, परीक्षण करते समय, यदि मॉड्यूल के साथ एक गैर-सख्त असमानता दी गई है, तो समाधानों के बीच वर्ग कोष्ठक वाले क्षेत्रों की तलाश करें।

अंतराल (-3;0) पर, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम फ़ंक्शन के चिह्न को विपरीत में बदलते हैं

असमानता प्रकटीकरण के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए समाधान का स्वरूप होगा

पिछले क्षेत्र के साथ मिलकर यह दो अर्ध-अंतराल देगा

उदाहरण 5. असमानता का समाधान खोजें
9x^2-|x-3|>=9x-2

समाधान:
एक गैर-सख्त असमानता दी गई है जिसका सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन बिंदु x=3 पर शून्य के बराबर है।<3.

छोटे मूल्यों के लिए यह नकारात्मक है, बड़े मूल्यों के लिए यह सकारात्मक है। अंतराल x पर मॉड्यूल का विस्तार करें

समीकरण के विभेदक का पता लगाना

और जड़ें

बिंदु शून्य को प्रतिस्थापित करने पर, हमें पता चलता है कि अंतराल [-1/9;1] पर द्विघात फलन ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल एक समाधान है। इसके बाद हम मॉड्यूल को x>3 पर विस्तारित करते हैं

मित्रो, आज कोई नोक-झोंक या भावुकता नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं तुम्हें 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ युद्ध में भेजूंगा, कोई सवाल नहीं पूछा जाएगा।

हाँ, आपने सब कुछ सही ढंग से समझा: हम मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों पर गौर करेंगे जिनकी मदद से आप ऐसी लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। शेष 10% के बारे में क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे :)

हालाँकि, किसी भी तकनीक का विश्लेषण करने से पहले, मैं आपको दो तथ्य याद दिलाना चाहूँगा जिन्हें आपको पहले से ही जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी न समझ पाने का जोखिम उठाते हैं।

जो आपको पहले से ही जानने की जरूरत है

कैप्टन ओब्विअसनेस संकेत देता प्रतीत होता है कि मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए आपको दो बातें जानने की आवश्यकता है:
असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है;

मॉड्यूल क्या है?

चलिए दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहां सब कुछ सरल है. इसकी दो परिभाषाएँ हैं: बीजगणितीय और ग्राफिकल। आरंभ करने के लिए - बीजगणितीय:

परिभाषा। किसी संख्या $x$ का मापांक या तो वह संख्या है, यदि वह गैर-ऋणात्मक है, या उसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

इसे इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \दाएं|=\बाएं\( \begin(संरेखित) और x,\ x\ge 0, \\ और -x,\ x \lt 0. \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

सरल शब्दों में, मापांक एक "बिना ऋण के संख्या" है। और यह ठीक इसी द्वंद्व में है (कुछ स्थानों पर आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी नहीं करना है, लेकिन अन्य में आपको किसी प्रकार का ऋण हटाना होगा) यहीं पर शुरुआती छात्रों के लिए पूरी कठिनाई निहित है। वहां अन्य हैं. यह जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में ही इसकी ओर रुख करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (स्पॉइलर: आज नहीं)।

परिभाषा। मान लीजिए संख्या रेखा पर बिंदु $a$ अंकित है। फिर मॉड्यूल $\left| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ तक की दूरी है।

यदि आप कोई चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ इस प्रकार प्राप्त होगा:

ग्राफ़िकल मॉड्यूल परिभाषा

एक तरह से या किसी अन्य, मॉड्यूल की परिभाषा से इसकी मुख्य संपत्ति तुरंत निम्नानुसार होती है: किसी संख्या का मापांक सदैव एक गैर-ऋणात्मक मात्रा होता है. यह तथ्य आज हमारी संपूर्ण कथा में एक लाल धागा बना रहेगा।

असमानताओं का समाधान. अंतराल विधि

अब आइए असमानताओं पर नजर डालें। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन अब हमारा कार्य कम से कम उनमें से सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। जो नीचे आते हैं रैखिक असमानताएँ, साथ ही अंतराल विधि के लिए भी।

इस विषय पर मेरे पास दो बड़े पाठ हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं उनका अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेषकर वीडियो देखें);
भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताएँ एक बहुत व्यापक पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं होगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "आइए असमानता से समीकरण की ओर चलें" आपको दीवार से टकराने की अस्पष्ट इच्छा नहीं देता है, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में आपका स्वागत है :)

1. प्रपत्र की असमानताएं "मापांक फ़ंक्शन से कम है"

यह मॉड्यूल के साथ सबसे आम समस्याओं में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| f\दाएं| \ltg\]

फलन $f$ और $g$ कुछ भी हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद होते हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

उन सभी को निम्नलिखित योजना के अनुसार वस्तुतः एक पंक्ति में हल किया जा सकता है:

\[\बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g\quad \left(\राइटएरो \left\( \begin(संरेखित) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(संरेखित) \सही सही)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन बदले में हमें दोहरी असमानता मिलती है (या, जो एक ही बात है, दो असमानताओं की एक प्रणाली)। लेकिन यह परिवर्तन बिल्कुल हर चीज़ को ध्यान में रखता है संभावित समस्याएँ: यदि मापांक के अंतर्गत संख्या धनात्मक है, तो विधि काम करती है; यदि नकारात्मक है, तो यह अभी भी काम करता है; और $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त फ़ंक्शन के साथ भी, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं हो सकता? दुर्भाग्य से, यह संभव नहीं है. यह मॉड्यूल का संपूर्ण बिंदु है.

हालाँकि, दार्शनिकता के साथ पर्याप्त। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\]

समाधान। तो, हमारे सामने "मापांक कम है" के रूप में एक क्लासिक असमानता है - यहां तक कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथम के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g; \\ & \बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\दायां तीर -\बाएं(x+7 \दाएं) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(संरेखित)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक को खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि आपकी जल्दबाजी के कारण आप कोई आपत्तिजनक गलती कर देंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \begin(संरेखित) और -x-7 \lt 2x+3 \\ और 2x+3 \lt x+7 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और -3x \lt 10 \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और x \gt -\frac(10)(3) \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक सीमित कर दिया गया था। आइए हम समानांतर संख्या रेखाओं पर उनके समाधान नोट करें:
सेटों का प्रतिच्छेदन
इन सेटों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है. सबसे पहले, आइए दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं| \lt -3\left(x+1 \right)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल छोटा है" के रूप में असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम का उपयोग करके मॉड्यूल से छुटकारा पाते हैं:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूं। लेकिन मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि हमारा मुख्य लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आपने इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप इसे अपनी इच्छानुसार विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, माइनस जोड़ें, आदि।

आरंभ करने के लिए, हम बाईं ओर के डबल माइनस से छुटकारा पा लेंगे:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

आइए अब दोहरी असमानता में सभी कोष्ठक खोलें:

आइए दोहरी असमानता की ओर आगे बढ़ें। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\left\( \begin(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ और ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( संरेखित करें)\दाएं.\]

दोनों असमानताएं द्विघात हैं और अंतराल विधि का उपयोग करके हल की जा सकती हैं (इसीलिए मैं कहता हूं: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो अभी तक मॉड्यूल न लेना बेहतर है)। आइए पहली असमानता के समीकरण पर आगे बढ़ें:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट एक अपूर्ण द्विघात समीकरण है, जिसे प्राथमिक तरीके से हल किया जा सकता है। अब व्यवस्था की दूसरी असमानता पर नजर डालते हैं। वहां आपको विएटा का प्रमेय लागू करना होगा:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(संरेखित करें)\]

हम परिणामी संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर अंकित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):
फिर, चूँकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यह उत्तर है.
उत्तर: $x\in \left(-5;-2 \right)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बेहद स्पष्ट है:

अन्य सभी पदों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| के रूप की एक असमानता प्राप्त होती है f\दाएं| \ltg$.
ऊपर वर्णित योजना के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। कुछ बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
अंत में, जो कुछ बचा है वह इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधानों को प्रतिच्छेद करना है - और यही है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

एक समान एल्गोरिथ्म निम्नलिखित प्रकार की असमानताओं के लिए मौजूद है, जब मापांक अधिक सुविधाएँ. हालाँकि, कुछ गंभीर "किंतु" भी हैं। अब हम इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. "मापांक फलन से बड़ा है" के रूप में असमानताएँ

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gtg\]

पिछले वाले के समान? जान पड़ता है। और फिर भी ऐसी समस्याओं को बिल्कुल अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt g\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित) और f \gt g, \\ और f \lt -g \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं और सामान्य असमानता को हल करते हैं;
फिर, संक्षेप में, हम ऋण चिह्न के साथ मॉड्यूल का विस्तार करते हैं, और फिर असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं, जबकि मेरे पास चिह्न है।

इस मामले में, विकल्पों को एक वर्गाकार ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है, अर्थात। हमारे सामने दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

कृपया फिर से ध्यान दें: यह एक प्रणाली नहीं है, बल्कि समग्रता है उत्तर में समुच्चय प्रतिच्छेद करने के बजाय संयुक्त हैं. यह पिछले बिंदु से एक मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्र यूनियनों और अंतर्विरोधों को लेकर पूरी तरह से भ्रमित होते हैं, तो आइए इस मुद्दे को हमेशा के लिए सुलझा लें:

"∪" एक संघ चिह्न है. मूलतः, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "यू" है जो हमारे पास आया है अंग्रेजी भाषाऔर यह "संघ" का संक्षिप्त रूप है, अर्थात्। "संघ"।
"∩" प्रतिच्छेदन चिन्ह है। यह बकवास कहीं से नहीं आई, बल्कि बस "∪" के प्रतिरूप के रूप में सामने आई।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों पर ध्यान दें (बस अब मुझ पर नशीली दवाओं की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप गंभीरता से इस पाठ का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक नशे की लत हैं):

समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और मिलन के बीच अंतर

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्नलिखित है: संघ (समग्रता) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए यह किसी भी तरह से उनमें से प्रत्येक से कम नहीं है; लेकिन प्रतिच्छेदन (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल हैं जो पहले सेट और दूसरे दोनों में एक साथ हैं। इसलिए, सेटों का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से बड़ा नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत अच्छा है। आइए अभ्यास की ओर आगे बढ़ें।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार आगे बढ़ते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\दायां तीर \बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 3x+1 \gt 5-4x \\ और 3x+1 \lt -\बाएं(5-4x \दाएं) \\\अंत(संरेखित) \ सही।\]

हम जनसंख्या में प्रत्येक असमानता का समाधान करते हैं:

\[\बाएँ[ \begin(संरेखित) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 7x \gt 4 \\ और -x \lt -6 \\ \अंत(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \begin(संरेखित) और x \gt 4/7\ \\ और x \gt 6 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

हम प्रत्येक परिणामी सेट को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:
समुच्चयों का संघ
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उत्तर $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ होगा

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं| \gt x\]

समाधान। कुंआ? कुछ नहीं - सब कुछ वैसा ही है. हम मापांक वाली असमानता से दो असमानताओं के समूह की ओर बढ़ते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं| \gt x\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम हर असमानता का समाधान करते हैं। दुर्भाग्य से, वहाँ जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता भी थोड़ी जंगली है:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

अब आपको इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, बिंदुओं को अवश्य अंकित किया जाना चाहिए सही क्रम में: कैसे बड़ी संख्या, जितना आगे हम बिंदु को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।

और यहां एक सेटअप हमारा इंतजार कर रहा है। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद अंश दूसरे के अंश में पदों से कम है, इसलिए योग भी कम है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ कोई कठिनाई नहीं होगी (सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से नकारात्मक से अधिक है), फिर अंतिम जोड़े के साथ सब कुछ इतना स्पष्ट नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं का स्थान और वास्तव में उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो आइए तुलना करें:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

हमने मूल को अलग कर दिया, असमानता के दोनों पक्षों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों का वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

मुझे लगता है कि यह कोई दिमाग लगाने वाली बात नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अक्षों पर अंतिम बिंदु इस प्रकार रखे जाएंगे:
बदसूरत जड़ों का मामला
मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक संग्रह को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर एक संघ होगा, न कि छायांकित सेटों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना दोनों के लिए बढ़िया काम करती है सरल कार्य, और बहुत कठिन लोगों के लिए। एकमात्र चीज़" कमजोर बिंदु"इस दृष्टिकोण में, आपको अपरिमेय संख्याओं की सक्षम रूप से तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन एक अलग (और बहुत गंभीर) पाठ तुलनात्मक मुद्दों के लिए समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं.

3. गैर-नकारात्मक "पूंछ" के साथ असमानताएं

अब हम सबसे दिलचस्प हिस्से पर आते हैं। ये प्रपत्र की असमानताएँ हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt \बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, अब हम जिस एल्गोरिदम के बारे में बात करेंगे वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहां बाएं और दाएं तरफ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी होती है:

इन कार्यों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक "पूंछ" वाली असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा.

सबसे पहले, हमें चुकता करने में रुचि होगी - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इसे वर्ग का मूल लेने के साथ भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \दाएं|\ne f\]

जब कोई छात्र मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया तो अनगिनत गलतियाँ हुईं! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये, जैसे कि यह थे, अतार्किक समीकरण हैं), इसलिए हम अभी इसमें नहीं जाएंगे। आइए कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से हल करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं|\ge \बाएं| 1-2x \दाएं|\]

समाधान। आइए तुरंत दो बातों पर ध्यान दें:

यह कोई सख्त असमानता नहीं है. संख्या रेखा पर बिंदु पंचर हो जायेंगे.

असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

इसलिए, हम मापांक से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मॉड्यूल की समरूपता का लाभ उठाते हुए, शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने अभिव्यक्ति $1-2x$ को −1 से गुणा कर दिया)।

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ दाएँ)\दाएँ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर चलें:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(संरेखित करें)\]

हम पाए गए मूलों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!
मापांक चिन्ह से छुटकारा पाना
मैं आपको उन लोगों के लिए याद दिला दूं जो विशेष रूप से जिद्दी हैं: हम अंतिम असमानता से संकेत लेते हैं, जो समीकरण पर आगे बढ़ने से पहले लिखा गया था। और हम उसी असमानता में आवश्यक क्षेत्रों पर चित्रित करते हैं। हमारे मामले में यह $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ है।

खैर वह सब है। समस्या हल हो गई है.

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \दाएं|\]

समाधान। हम सब कुछ वैसे ही करते हैं. मैं कोई टिप्पणी नहीं करूँगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखूँगा।

इसे चौकोर करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \दाएं|. \दाएं))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ दाएँ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \दाएं)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

अंतराल विधि:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ दायां तीर x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\राइटएरो D=16-40 \lt 0\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक मूल होता है:
उत्तर एक संपूर्ण अंतराल है
उत्तर: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

पिछले कार्य के बारे में एक छोटा सा नोट. जैसा कि मेरे एक छात्र ने सटीक रूप से नोट किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह सोच का बिल्कुल अलग स्तर और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों की विधि कहा जा सकता है। इसके बारे में - एक अलग पाठ में। आइए अब आज के पाठ के अंतिम भाग पर चलते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम को देखते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

यदि ये सभी तकनीकें मदद न करें तो क्या होगा? यदि असमानता को गैर-नकारात्मक पूंछों तक कम नहीं किया जा सकता है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, यदि सामान्य तौर पर दर्द, उदासी, उदासी है?

तब सभी गणित का "भारी तोपखाना" दृश्य पर आता है - क्रूर बल विधि। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में यह इस प्रकार दिखता है:

सभी सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ लिखें और उन्हें शून्य के बराबर सेट करें;
परिणामी समीकरणों को हल करें और एक संख्या रेखा पर पाए गए मूलों को चिह्नित करें;
सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित चिह्न होता है और इसलिए यह विशिष्ट रूप से प्रकट होता है;
ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (विश्वसनीयता के लिए आप चरण 2 में प्राप्त मूल-सीमाओं पर अलग से विचार कर सकते हैं)। परिणामों को संयोजित करें - यह उत्तर होगा :)

तो कैसे? कमज़ोर? आसानी से! केवल लंबे समय के लिए. आइए व्यवहार में देखें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\left| जैसी असमानताओं तक सीमित नहीं है f\दाएं| \lt g$, $\बाएं| f\दाएं| \gt g$ या $\left| f\दाएं| \lt \बाएं| g \right|$, इसलिए हम आगे कार्य करते हैं।

हम सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ें ढूंढते हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ & x-1=0\दायां तीर x=1. \\\end(संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:
सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य द्वारा संख्या रेखा का विभाजन
आइए प्रत्येक अनुभाग को अलग से देखें।

1. मान लीजिए $x \lt -2$. तब दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ नकारात्मक हैं, और मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(संरेखित करें) और -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित)\]

हमें काफी सरल सीमा मिल गई है। आइए इसे प्रारंभिक धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2 \\ और x \gt 1.5 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

जाहिर है, वेरिएबल $x$ एक साथ −2 से कम और 1.5 से अधिक नहीं हो सकता है। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं.

1.1. आइए हम सीमा रेखा मामले पर अलग से विचार करें: $x=-2$। आइए बस इस संख्या को मूल असमानता में प्रतिस्थापित करें और जांचें: क्या यह सच है?

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ और 0 \lt \बाएं| -3\दाएं|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing . \\\end(संरेखित करें)\]

यह स्पष्ट है कि गणनाओं की श्रृंखला हमें गलत असमानता की ओर ले गई है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और $x=-2$ उत्तर में शामिल नहीं है।

2. मान लीजिए अब $-2 \lt x \lt 1$। बायां मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दायां मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ खुलेगा। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(संरेखित करें)\]

फिर से हम मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2.5 \\ और -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

और फिर, समाधान का सेट खाली है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो −2.5 से कम और −2 से अधिक हो।

2.1. और फिर से एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ और \बाएं| 3\दाएं| \lt \बाएं| 0 \दाएं|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

पिछले "विशेष मामले" के समान, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$. यहां सभी मॉड्यूल प्लस चिह्न के साथ खोले गए हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x \gt 4.5 \\ \end(संरेखित)\ ]

और फिर से हम पाए गए सेट को मूल बाधा के साथ जोड़ते हैं:

/ ]

खैर, आख़िरकार! हमें एक अंतराल मिला है जो उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक नोट जो आपको वास्तविक समस्याओं को हल करते समय मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकता है:

मापांक के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा पर निरंतर सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं - अंतराल और खंड। पृथक बिंदु बहुत कम आम हैं। और इससे भी कम बार, ऐसा होता है कि समाधान की सीमा (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती है।

परिणामस्वरूप, यदि सीमाएँ (समान "विशेष मामले") उत्तर में शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएँ और दाएँ क्षेत्र लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किए जाएंगे। और इसके विपरीत: सीमा उत्तर में प्रवेश कर गई, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्र भी उत्तर होंगे।

अपने समाधानों की समीक्षा करते समय इसे ध्यान में रखें।

नगर शैक्षणिक संस्थान "ख्वास्तोविचस्काया" हाई स्कूल»

"कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि"

गणित में शोध पत्र

पुरा होना:

10वीं कक्षा का छात्र

गोलिशेवा एवगेनिया

पर्यवेक्षक:

गणित शिक्षक

शापेंस्काया ई.एन.

परिचय………………………………………………………………………………………….3 अध्याय 1. कई मॉड्यूल के साथ समस्याओं को हल करने के तरीके…… ……………………………4 1.1.मॉड्यूल की परिभाषा. परिभाषा के अनुसार समाधान.........4 1.2 अंतराल विधि का उपयोग करके एकाधिक मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करना......5 1.3। एकाधिक मॉड्यूल के साथ समस्याएँ. समाधान विधियाँ………………………………7 1.4. मॉड्यूल के साथ समस्याओं में अंतराल की विधि………………………………………………9 अध्याय 2. मॉड्यूल वाले समीकरण और असमानताएं………………………….… .11 2.1 अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करना....11 2.2 अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करना...13 निष्कर्ष………………………………………… ……………………………15 साहित्य………………………………………………………………………………. ….16

परिचय

निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं दोनों के क्षेत्र में किसी संख्या की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक है। यह अवधारणा न केवल विभिन्न वर्गों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है स्कूल पाठ्यक्रमगणित, बल्कि विश्वविद्यालयों में अध्ययन किए जाने वाले उच्च गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान के पाठ्यक्रमों में भी। गणितीय ओलंपियाड, विश्वविद्यालय प्रवेश परीक्षा और एकीकृत राज्य परीक्षा में निरपेक्ष मूल्यों से संबंधित समस्याएं अक्सर पाई जाती हैं।

विषय:"अंतराल विधि द्वारा एकाधिक मॉड्यूल वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि।"

उद्देश्य क्षेत्र:अंक शास्त्र।

अध्ययन का उद्देश्य:मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करना।

शोध का विषय:कई मॉड्यूल के साथ हल करने के लिए अंतराल विधि।

इस अध्ययन का उद्देश्य:अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने की प्रभावशीलता की पहचान करें।

परिकल्पना:यदि आप कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग करते हैं, तो आप अपने काम को काफी सरल बना सकते हैं।

काम करने के तरीके:सूचना का संग्रह और उसका विश्लेषण।

कार्य:

इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें।

एकाधिक मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों के समाधान पर विचार करें।

सबसे पहचानें प्रभावी तरीकासमाधान.

परियोजना का व्यावहारिक फोकस:

यह कामके रूप में उपयोग किया जा सकता है शिक्षक का सहायकछात्रों के लिए और कार्यप्रणाली मैनुअलशिक्षक के लिए.

अध्याय 1।

1.1.मॉड्यूल की परिभाषा. परिभाषा के अनुसार समाधान.

परिभाषा के अनुसार, एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मापांक, या निरपेक्ष मान, स्वयं संख्या के साथ मेल खाता है, और एक ऋणात्मक संख्या का मापांक विपरीत संख्या के बराबर होता है, अर्थात, a:

किसी संख्या का मापांक सदैव गैर-ऋणात्मक होता है। आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1.समीकरण हल करें |–x| =-3.

यहां मामलों का विश्लेषण करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि किसी संख्या का निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, और इसका मतलब है कि इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

आइए हम इन सरलतम समीकरणों का हल लिखें सामान्य रूप से देखें:

उदाहरण 2.समीकरण हल करें |x| = 2 – एक्स.

समाधान। x 0 पर हमारे पास समीकरण x = 2 - x है, अर्थात। x = 1. चूंकि 1 0, x = 1 मूल समीकरण का मूल है। दूसरे मामले में (x

उत्तर: एक्स = 1.

उदाहरण 3.समीकरण 3|x – 3| को हल करें + एक्स = -1.

समाधान। यहां मामलों में विभाजन अभिव्यक्ति x - 3 के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है। x - 3 ³ 0 के लिए हमारे पास 3x - 9 + x = -1 Û x = 2 है। लेकिन 2 - 3 0 है।

उत्तर: समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उदाहरण 4.समीकरण हल करें |x – 1| = 1 – एक्स.

समाधान। चूँकि 1 - x = - (x - 1), मापांक की परिभाषा से यह सीधे तौर पर पता चलता है कि समीकरण उन और केवल उन x से संतुष्ट होता है जिनके लिए x - 1 0 है। इस समीकरण को एक असमानता में घटा दिया गया है, और उत्तर संपूर्ण अंतराल (किरण) है।

उत्तर: x 1.

1.2. सिस्टम का उपयोग करके मापांक के साथ समीकरणों को हल करना।

पहले चर्चा किए गए उदाहरण हमें समीकरणों में मापांक चिह्न को समाप्त करने के लिए नियम बनाने की अनुमति देते हैं। |f(x)| के रूप के समीकरणों के लिए = g(x) ऐसे दो नियम हैं:

पहला नियम: |f(x)| = जी(एक्स) Û (1)
दूसरा नियम: |f(x)| = जी(एक्स) Û (2)

आइए हम यहां प्रयुक्त संकेतन की व्याख्या करें। घुंघराले कोष्ठक सिस्टम का प्रतिनिधित्व करते हैं, और वर्गाकार कोष्ठक समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान एक चर के मान होते हैं जो एक साथ प्रणाली के सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

समीकरणों के एक सेट के समाधान एक चर के सभी मान हैं, जिनमें से प्रत्येक सेट में कम से कम एक समीकरण का मूल है।

दो समीकरण समतुल्य हैं यदि उनमें से प्रत्येक का कोई समाधान दूसरे का भी समाधान है, दूसरे शब्दों में, यदि उनके समाधान के सेट मेल खाते हैं।

यदि समीकरण में कई मॉड्यूल हैं, तो आप दिए गए नियमों का उपयोग करके एक-एक करके उनसे छुटकारा पा सकते हैं। लेकिन आमतौर पर और भी कुछ होता है शॉर्टकट. हम उन्हें बाद में जानेंगे, लेकिन अब आइए इनमें से सबसे सरल समीकरणों को हल करने पर नज़र डालें:

|एफ(एक्स)| = |जी(एक्स)| यू

यह तुल्यता इस स्पष्ट तथ्य से आती है कि यदि दो संख्याओं के निरपेक्ष मान समान हैं, तो संख्याएँ स्वयं या तो बराबर या विपरीत होती हैं।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें |x 2 – 7x + 11| = एक्स + 1.
समाधान। आइए ऊपर वर्णित दो तरीकों से मॉड्यूल से छुटकारा पाएं:

पहला तरीका: दूसरा तरीका:

जैसा कि हम देखते हैं, दोनों मामलों में हमें समान दो द्विघात समीकरणों को हल करना होगा, लेकिन पहले मामले में वे साथ हैं द्विघात असमानताएँ, और दूसरे में - रैखिक। इसलिए, दूसरी विधि दिया गया समीकरणसरल. द्विघात समीकरणों को हल करने पर, हम पहले की जड़ें पाते हैं, दोनों जड़ें असमानता को संतुष्ट करती हैं। दूसरे समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: ।
उदाहरण 2. समीकरण को हल करें |x 2 – x – 6| = |2एक्स 2 + एक्स – 1|

समाधान। हम पहले से ही जानते हैं कि यहां मॉड्यूल के तहत अभिव्यक्ति के संकेतों के वितरण के (लगभग 4) वेरिएंट पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है: यह समीकरण बिना किसी अतिरिक्त असमानता के दो द्विघात समीकरणों के सेट के बराबर है: जो इसके बराबर है: समाधान के सेट के पहले समीकरण में समाधान नहीं है (इसका विभेदक नकारात्मक है), दूसरे समीकरण में दो जड़ें हैं।

1.3. एकाधिक मॉड्यूल के साथ समस्याएँ. समाधान के तरीके.

मॉड्यूल का क्रमिक विस्तार।

समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण हैं जिनमें कई मॉड्यूल शामिल हैं। हम उन्हें "धारावाहिक" और "समानांतर" कह सकते हैं। आइए अब उनमें से पहले से परिचित हों।

इसका विचार यह है कि पहले मॉड्यूल में से एक को समीकरण (या असमानता) के एक हिस्से में अलग किया जाता है और पहले वर्णित तरीकों में से एक का उपयोग करके प्रकट किया जाता है। फिर मॉड्यूल के साथ प्रत्येक परिणामी समीकरण के साथ यही बात दोहराई जाती है और इसी तरह जब तक हम सभी मॉड्यूल से छुटकारा नहीं पा लेते।

उदाहरण 1.समीकरण हल करें: +

समाधान। आइए दूसरे मॉड्यूल को अलग करें और पहली विधि का उपयोग करके इसका विस्तार करें, अर्थात, केवल पूर्ण मान निर्धारित करें:

परिणामी दो समीकरणों के लिए हम मॉड्यूल को हटाने की दूसरी विधि लागू करते हैं:

अंत में, हम परिणामी चार को हल करते हैं रेखीय समीकरणऔर उन मूलों का चयन करें जो संबंधित असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। परिणामस्वरूप, केवल दो मान बचे हैं: x = -1 और।

उत्तर:-1; .

मॉड्यूल का समानांतर विस्तार।

आप एक समीकरण या असमानता में सभी मॉड्यूल को एक साथ हटा सकते हैं और सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों को लिख सकते हैं। यदि समीकरण में एन मॉड्यूल हैं, तो 2 एन विकल्प होंगे, क्योंकि मॉड्यूल के तहत प्रत्येक एन अभिव्यक्ति, मॉड्यूल को हटाते समय, दो संकेतों में से एक प्राप्त कर सकती है - प्लस या माइनस। सिद्धांत रूप में, हमें मॉड्यूल से मुक्त होकर सभी 2 n समीकरणों (या असमानताओं) को हल करने की आवश्यकता है। लेकिन उनके समाधान भी मूल समस्या का समाधान तभी होंगे जब वे उन क्षेत्रों में हों जहां संबंधित समीकरण (असमानता) मूल समीकरण से मेल खाता हो। इन क्षेत्रों को मॉड्यूल के अंतर्गत अभिव्यक्तियों के संकेतों द्वारा परिभाषित किया गया है। हमने निम्नलिखित असमानता को पहले ही हल कर लिया है, इसलिए आप इसे हल करने के लिए विभिन्न तरीकों की तुलना कर सकते हैं।

उदाहरण 2.+
समाधान।

आइए मॉड्यूल के अंतर्गत अभिव्यक्तियों के लिए प्रतीकों के 4 संभावित सेटों पर विचार करें।

इनमें से केवल पहला और तीसरा मूल ही संगत असमानताओं और इसलिए मूल समीकरण को संतुष्ट करता है।

उत्तर:-1; .

इसी तरह, आप कई मॉड्यूल के साथ किसी भी समस्या का समाधान कर सकते हैं। लेकिन, किसी भी सार्वभौमिक विधि की तरह, यह समाधान हमेशा इष्टतम नहीं होता है। नीचे हम देखेंगे कि इसे कैसे सुधारा जा सकता है।

1.4. मॉड्यूल के साथ समस्याओं में अंतराल विधि

परिभाषित करने वाली स्थितियों पर करीब से नज़र डालें विभिन्न विकल्पपिछले समाधान में सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों के संकेतों का वितरण, हम देखेंगे कि उनमें से एक, 1 - 3x

कल्पना कीजिए कि हम एक समीकरण को हल कर रहे हैं जिसमें रैखिक अभिव्यक्तियों के तीन मॉड्यूल शामिल हैं; उदाहरण के लिए, |x – a| + |एक्स – बी| + |एक्स – सी| = एम.

पहला मॉड्यूल x ³ a के लिए x – a और x b और x के लिए a – x के बराबर है

वे चार स्थान बनाते हैं। उनमें से प्रत्येक पर, मॉड्यूल के तहत प्रत्येक अभिव्यक्ति अपना संकेत बरकरार रखती है, इसलिए, मॉड्यूल के विस्तार के बाद समग्र रूप से समीकरण का प्रत्येक अंतराल पर एक ही रूप होता है। तो, मॉड्यूल खोलने के लिए सैद्धांतिक रूप से संभावित 8 विकल्पों में से केवल 4 ही हमारे लिए पर्याप्त साबित हुए!

आप किसी भी समस्या को कई मॉड्यूल के साथ भी हल कर सकते हैं। अर्थात्, संख्यात्मक अक्ष को मॉड्यूल के अंतर्गत सभी अभिव्यक्तियों के स्थिर चिह्न के अंतराल में विभाजित किया जाता है, और फिर उनमें से प्रत्येक पर वह समीकरण या असमानता हल की जाती है जिसमें दी गई समस्या इस अंतराल पर बदल जाती है। विशेष रूप से, यदि मॉड्यूल के अंतर्गत सभी अभिव्यक्तियाँ तर्कसंगत हैं, तो यह अक्ष पर उनकी जड़ों को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है, साथ ही उन बिंदुओं पर भी जहां वे परिभाषित नहीं हैं, यानी, उनके हर की जड़ें। चिह्नित बिंदु स्थिर चिह्न के आवश्यक अंतराल को परिभाषित करते हैं। अंतराल विधि का उपयोग करके तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय हम बिल्कुल उसी तरह कार्य करते हैं। और मॉड्यूल के साथ समस्याओं को हल करने के लिए हमने जो विधि वर्णित की है उसका वही नाम है।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।

समाधान। आइए फ़ंक्शन के शून्य कहां से खोजें। हम प्रत्येक अंतराल पर समस्या का समाधान करते हैं:

अतः, इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।

समाधान। आइए फ़ंक्शन के शून्य ज्ञात करें। हम प्रत्येक अंतराल पर समस्या का समाधान करते हैं:

1) (कोई समाधान नहीं);

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें।

समाधान। निरपेक्ष मान चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्तियाँ गायब हो जाती हैं। तदनुसार, हमें तीन मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है:

2) - समीकरण का मूल;

3) इस समीकरण का मूल है.

अध्याय 2. मॉड्यूल युक्त समीकरण और असमानताएँ।

2.1 अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करना।

उदाहरण 1.

प्रश्न हल करें:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 - संतुष्ट नहीं करता

शर्त एक्स

कोई समाधान नहीं

2. यदि -2≤х

x+2 = -(x-1)+x-3

संतुष्ट

शर्त-2

3. यदि x≥1, तो

उत्तर: x=6

उदाहरण 2.

प्रश्न हल करें:

1) सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों के शून्य खोजें

सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों के शून्य संख्या रेखा को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। हम इन अंतरालों पर सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियों के संकेतों को व्यवस्थित करते हैं।

प्रत्येक अंतराल पर हम मॉड्यूल खोलते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं। मूल खोजने के बाद, हम जाँचते हैं कि यह उस अंतराल से संबंधित है जिस पर हम हैं इस समयहम काम कर रहे हैं.

1. :

- फिट बैठता है.

2. :

- फिट नहीं बैठता.

3. :

– फिट बैठता है.

4. :

- फिट नहीं बैठता. उत्तर:

2.2 अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करना।

उदाहरण 1.

असमानता का समाधान करें:

|x-1| + |x-3| 4

-(x-1) - (x-3) 4

2. यदि 1≤х

x-1– (x-3) 4

24 सही नहीं है

कोई समाधान नहीं

3. यदि x≥3, तो

उत्तर: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)

उदाहरण 2.

आइए असमानता का समाधान करें

समाधान। बिंदु और (मॉड्यूल के अंतर्गत भावों की जड़ें) संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर मॉड्यूल का विस्तार किया जाना चाहिए।

1) जब , और असमानता का रूप होता है , अर्थात . इस मामले में उत्तर है.

2) जब, असमानता का रूप होता है, अर्थात। यह असमानता चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, और, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि हम इसे सेट पर हल करते हैं, हमें दूसरे मामले में उत्तर मिलता है।

3) जब, असमानता बदल जाती है, और इस मामले में समाधान है। सामान्य समाधानअसमानता --- संगठनतीन प्रतिक्रियाएँ प्राप्त हुईं।

इस प्रकार, कई मॉड्यूल वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए, अंतराल विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। ऐसा करने के लिए, आपको सभी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य खोजने और उन्हें समीकरणों और असमानताओं के ODZ पर नामित करने की आवश्यकता है।

निष्कर्ष

में हाल ही मेंगणित में, समस्याओं के समाधान को सरल बनाने के लिए विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से अंतराल विधि, जो गणनाओं को काफी तेज कर सकती है। इसलिए, कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि का अध्ययन प्रासंगिक है।

"अंतराल विधि का उपयोग करके मापांक चिह्न के तहत अज्ञात वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करना" विषय पर काम करने की प्रक्रिया में, मैंने: साहित्य का अध्ययन किया यह मुद्दा, मापांक चिह्न के तहत अज्ञात वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए बीजीय और ग्राफिकल दृष्टिकोण से परिचित हुए, और निष्कर्ष पर पहुंचे:

कुछ मामलों में, मापांक के साथ समीकरणों को हल करते समय, नियमों के अनुसार समीकरणों को हल करना संभव होता है, और कभी-कभी अंतराल विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

मापांक वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय, अंतराल विधि अधिक दृश्यमान और तुलनात्मक रूप से सरल होती है।

लिखने के दौरान अनुसंधान कार्यमैंने कई समस्याओं का पता लगाया है जिन्हें अंतराल विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। अधिकांश महत्वपूर्ण कार्यकई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं का समाधान है।

अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों को हल करने पर अपने काम के दौरान, मैंने पाया कि समस्याओं को हल करने की गति दोगुनी हो गई है। यह आपको कार्य प्रक्रिया में काफी तेजी लाने और समय की लागत को कम करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, मेरी परिकल्पना "यदि आप कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग करते हैं, तो आप अपने काम को काफी सरल बना सकते हैं" की पुष्टि की गई। शोध पर काम करते समय, मुझे कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने का अनुभव प्राप्त हुआ। मुझे लगता है कि मैंने जो ज्ञान अर्जित किया है वह मुझे निर्णय लेते समय गलतियों से बचने में मदद करेगा।

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