Төгсөлтийн ажил 11-р ангийн сурагчдад зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтын хэлбэрээр энэ нь функцийн үүсмэлүүдийн хязгаар, буурах, нэмэгдүүлэх интервалыг тооцоолох, экстремум цэгүүдийг хайх, график зурах даалгавруудыг агуулсан байх ёстой. Энэ сэдвийн талаархи сайн мэдлэг нь шалгалтын хэд хэдэн асуултанд зөв хариулж, цаашдын мэргэжлийн сургалтанд хүндрэл учруулахгүй байх боломжийг олгодог.
Дифференциал тооцооллын үндэс нь математикийн гол сэдвүүдийн нэг юм орчин үеийн сургууль. Тэрээр хувьсагчдын хамаарлыг судлахын тулд деривативын хэрэглээг судалдаг - тухайн деривативаар дамжуулан функцийн өсөлт, бууралтыг зураглалгүйгээр шинжлэх боломжтой.
Төгсөгчдийг иж бүрэн бэлтгэх Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэндээр боловсролын портал"Школково" нь ялгах зарчмуудыг гүнзгий ойлгоход тусална - онолыг нарийвчлан ойлгох, шийдлийн жишээг судлах ердийн даалгавармөн бие даасан ажилд хүчээ сорих. Бид танд мэдлэгийн цоорхойг арилгахад туслах болно - сэдвийн лексик ойлголт, хэмжигдэхүүний хамаарлын талаархи ойлголтоо тодруулах болно. Оюутнууд монотон байдлын интервалыг хэрхэн олохыг давтах боломжтой бөгөөд энэ нь хилийн цэгүүд олдсон интервалд ороогүй үед тодорхой сегмент дээр функцийн дериватив өсөх эсвэл буурах гэсэн үг юм.
Сэдвийн асуудлыг шууд шийдэж эхлэхээсээ өмнө эхлээд "Онолын үндэслэл" хэсэгт очиж ойлголт, дүрэм, хүснэгтийн томъёоны тодорхойлолтыг давтахыг зөвлөж байна. Эндээс та үүсмэл график дээр нэмэгдэх ба буурах функцын интервал бүрийг хэрхэн олж бичихийг уншиж болно.
Санал болгож буй бүх мэдээллийг ойлгоход хамгийн хялбар хэлбэрээр, бараг эхнээс нь танилцуулсан болно. Вэбсайт нь ойлголт, шингээх материалыг хэд хэдэн хэлбэрээр өгдөг янз бүрийн хэлбэрүүд– Туршлагатай багш нарын удирдлаган дор унших, видео үзэх, шууд сургалт явуулах. Мэргэжлийн багш нар аналитик болон график аргыг ашиглан функцийн үүсмэлийг нэмэгдүүлэх, багасгах интервалыг хэрхэн олох талаар дэлгэрэнгүй хэлж өгнө. Вебинаруудын үеэр та онолын талаар болон тодорхой асуудлуудыг шийдвэрлэх талаар сонирхож буй бүх асуултаа асуух боломжтой.
Сэдвийн гол санааг санаж, шалгалтын сонголтуудын даалгавартай төстэй функцийн деривативыг нэмэгдүүлэх жишээг харна уу. Сурсан зүйлээ нэгтгэхийн тулд "Каталог" -ыг хараарай - эндээс та практик дасгалуудыг олох болно. бие даасан ажил. Хэсэг дэх ажлуудыг сонгосон өөр өөр түвшинур чадварын хөгжлийг харгалзан үзэхэд бэрхшээлтэй байдаг. Жишээлбэл, тэдгээр нь тус бүрийг шийдлийн алгоритм, зөв хариултууд дагалддаг.
"Бүтээгч" хэсгийг сонгосноор оюутнууд функцийн деривативын өсөлт, бууралтыг судлах дадлага хийх боломжтой болно. бодит сонголтуудУлсын нэгдсэн шалгалтыг байнга шинэчилж байдаг хамгийн сүүлийн үеийн өөрчлөлтүүдболон инноваци.
Харьцаа үүсгэж, хязгаарыг тооцоол.
Хаанаас ирсэн юм бэ? деривативын хүснэгт ба ялгах дүрмүүд? Цорын ганц хязгаарт баярлалаа. Энэ нь ид шид мэт санагдах боловч бодит байдал дээр энэ бол заль мэх биш, гар хөл юм. Хичээл дээр Дериватив гэж юу вэ?Би харж эхлэв тодорхой жишээнүүд, энд тодорхойлолтыг ашиглан шугаман ба деривативуудыг олсон квадрат функц. Танин мэдэхүйн дулаарах зорилгоор бид үргэлжлүүлэн саад хийх болно деривативын хүснэгт, алгоритмыг сайжруулах ба техникшийдэл:
Жишээ 1
Үндсэндээ бид деривативын онцгой тохиолдлыг нотлох хэрэгтэй эрчим хүчний функц, ихэвчлэн хүснэгтэд гарч ирдэг: .
Шийдэлтехникийн хувьд хоёр аргаар албан ёсоор . Эхний, аль хэдийн танил болсон арга замаар эхэлцгээе: шат нь банзаас эхэлдэг ба дериватив функц нь тухайн цэг дээр деривативаас эхэлдэг.
Ингээд авч үзье зарим ньхамаарах (тодорхой) цэг тодорхойлолтын домэйндериватив байдаг функц. Энэ үед өсөлтийг тохируулъя (мэдээжийн хэрэг, хамрах хүрээндо/о
-Би)мөн функцийн харгалзах нэмэгдлийг зохио:
Хязгаарыг тооцоолъё:
0:0 гэсэн тодорхойгүй байдлыг МЭӨ I зуунд авч үзсэн стандарт техникээр арилгадаг. Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлнэ 
:
Ийм хязгаарыг шийдвэрлэх арга техникийг доор дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно танилцуулах хичээл функцүүдийн хязгаарын тухай.
Та интервалын аль ч цэгийг чанарын хувьд сонгох боломжтой тул орлуулалт хийсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.
Хариулах
Дахин нэг удаа логарифмд баярлацгаая:
Жишээ 2
Деривативын тодорхойлолтыг ашиглан функцийн деривативыг ол
Шийдэл: Нэг ажлыг сурталчлах өөр арга барилыг авч үзье. Энэ нь яг адилхан боловч дизайны хувьд илүү оновчтой юм. Шийдлийн эхэнд байгаа доод бичгийг арилгаж, үсгийн оронд үсгийг ашиглах санаа юм.
Ингээд авч үзье дур зоргоороохамаарах цэг тодорхойлолтын домэйнфункц (интервал) ба түүний өсөлтийг тохируулна. Гэхдээ энд, дашрамд хэлэхэд, ихэнх тохиолдолд та ямар ч тайлбаргүйгээр хийж болно, учир нь логарифмын функц нь тодорхойлолтын аль ч цэг дээр ялгаатай байдаг.
Дараа нь функцийн харгалзах өсөлт нь:
Деривативыг олцгооё:
Загварын энгийн байдал нь эхлэгчдэд (зөвхөн биш) үүсч болох төөрөгдөлөөр тэнцвэрждэг. Эцсийн эцэст бид "X" үсэг хязгаарт өөрчлөгддөгт дассан! Гэхдээ энд бүх зүйл өөр байна: - эртний хөшөө, болон – музейн коридороор хурдан алхаж буй амьд зочин. Өөрөөр хэлбэл, "x" нь "тогтмол" юм.
Тодорхой бус байдлыг арилгах талаар би алхам алхмаар тайлбар хийх болно.
(1) Бид логарифмын шинж чанарыг ашигладаг 
.
(2) Хаалтанд тоологчийг хуваагч гишүүнээр хуваана.
(3) Хуваагчийн хувьд бид давуу талыг ашиглахын тулд "x"-ээр зохиомлоор үржүүлж, хуваадаг. гайхалтай хязгаар 
, байхад хязгааргүй жижигялгардаг.
Хариулах: деривативын тодорхойлолтоор:
Эсвэл товчхондоо:
Би өөрөө өөр хоёр хүснэгтийн томъёог бүтээхийг санал болгож байна.
Жишээ 3
IN энэ тохиолдолдбүрдсэн өсөлтийг нэн даруй хөтлөх нь тохиромжтой Ерөнхий хуваарь. Ойролцоогоор дээжхичээлийн төгсгөлд даалгаврыг гүйцэтгэх (эхний арга).
Жишээ 3:Шийдэл
: зарим нэг зүйлийг анхаарч үзээрэй
, функцийн тодорхойлолтын домэйнд хамаарах
. Энэ үед өсөлтийг тохируулъя
мөн функцийн харгалзах нэмэгдлийг зохио:
Цэг дэх деривативыг олъё
:
Түүнээс хойш
та ямар ч цэгийг сонгож болно
функцийн домэйн
, Тэр
Тэгээд
Хариулах
:
деривативын тодорхойлолтоор
Жишээ 4
Тодорхойлолтоор деривативыг ол
Мөн энд бүх зүйлийг багасгах хэрэгтэй гайхалтай хязгаар. Шийдэл нь хоёр дахь аргаар албан ёсоор хийгдсэн.
Бусад хэд хэдэн хүснэгтийн деривативууд. Бүрэн жагсаалтСургуулийн сурах бичиг, эсвэл жишээлбэл, Фихтенхольцын 1-р ботиос олж болно. Ялгарах дүрмийн нотолгоог номноос хуулбарлах нь надад тийм ч их ач холбогдол өгөхгүй байна - тэдгээр нь мөн томъёогоор үүсгэгддэг.
Жишээ 4:Шийдэл
, харьяалагддаг
, мөн үүн доторх өсөлтийг тохируулна уу
Деривативыг олцгооё:
Гайхалтай хязгаарыг ашиглах
Хариулах
:
а- приорит
Жишээ 5
Функцийн деривативыг ол 
, деривативын тодорхойлолтыг ашиглан
Шийдэл: бид анхны загварын хэв маягийг ашигладаг. -д хамаарах зарим цэгийг авч үзээд үүн дээрх аргументийн өсөлтийг зааж өгье. Дараа нь функцийн харгалзах өсөлт нь:
Магадгүй зарим уншигчид ямар зарчмаар нэмэх шаардлагатайг бүрэн ойлгоогүй байж магадгүй юм. Нэг цэг (тоо) аваад, доторх функцийн утгыг ол. 
, өөрөөр хэлбэл функцэд орно оронд нь"X"-г орлуулах хэрэгтэй. Одоо бид маш тодорхой тоог авч, функцэд орлуулж байна оронд нь"икса": . Бид ялгааг бичдэг бөгөөд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай хаалтанд бүрэн оруулаарай.
Эмхэтгэсэн функцийн өсөлт Үүнийг нэн даруй хялбарчлах нь ашигтай байх болно. Юуны төлөө? Шийдвэрийг хөнгөвчлөх, богиносгож, цаашдын хязгаарт хүргэх.
Бид томъёог ашиглаж, хаалт нээж, багасгаж болох бүх зүйлийг багасгадаг. 
Цацагт хяруул гэдсэнд байгаа, шарсан маханд асуудал байхгүй:
Эцэст нь: 
Бид ямар ч бодит тоог утга болгон сонгох боломжтой тул орлуулалтыг хийж, авна 
.
Хариулах: а- приорит.
Баталгаажуулах зорилгоор деривативыг ашиглан олъё ялгах дүрэм, хүснэгт:
Зөв хариултыг урьдчилан мэдэх нь үргэлж ашигтай бөгөөд тааламжтай байдаг тул санал болгож буй функцийг шийдлийн хамгийн эхэнд оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр "хурдан" байдлаар ялгах нь дээр.
Жишээ 6
Деривативын тодорхойлолтоор функцийн деривативыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Үр дүн нь тодорхой байна:
Жишээ 6:Шийдэл
: зарим нэг зүйлийг анхаарч үзээрэй
, харьяалагддаг
, түүн дэх аргументийн өсөлтийг тохируулна уу
. Дараа нь функцийн харгалзах өсөлт нь:
Деривативыг тооцоолъё:
Тиймээс: 
Учир нь
тэгвэл та ямар ч бодит тоог сонгож болно
Тэгээд
Хариулах
:
а- приорит.
Загвар №2 руу буцаж орцгооё:
Жишээ 7
Юу болох ёстойг нэн даруй олж мэдье. By ялгах дүрэм нарийн төвөгтэй функц
:
Шийдэл: -д хамаарах дурын цэгийг авч үзээд түүн дээр аргументийн өсөлтийг тогтоож, функцийн өсөлтийг зохио:
Деривативыг олцгооё: 
(1) Ашиглах тригонометрийн томъёо
.
(2) Синусын доор бид хаалтуудыг нээж, косинусын доор бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.
(3) Синусын дор бид гишүүдийг багасгадаг, косинусын дор бид хуваагчийг гишүүнээр хуваадаг.
(4) Синусын сондгой байдлаас болж бид "хасах" -ыг гаргаж авдаг. Косинусын доор бид нэр томъёог зааж өгнө.
(5) Бид ашиглахын тулд хуваарьт зохиомлоор үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг анхны гайхалтай хязгаар. Тиймээс тодорхойгүй байдал арилсан тул үр дүнг цэгцэлцгээе.
Хариулах: a-priory
Таны харж байгаагаар хэлэлцэж буй асуудлын гол бэрхшээл нь хязгаарлалтын нарийн төвөгтэй байдал + сав баглаа боодлын бага зэрэг өвөрмөц байдал дээр тулгуурладаг. Практикт дизайны хоёр арга хоёулаа тохиолддог тул би хоёр аргыг аль болох нарийвчлан тайлбарласан. Эдгээр нь ижил төстэй боловч миний субьектив сэтгэгдэлээр дамми хүмүүс "X-тэг" гэсэн 1-р хувилбарыг дагаж мөрдөхийг зөвлөж байна.
Жишээ 8
Тодорхойлолтыг ашиглан функцийн деривативыг ол
Жишээ 8:Шийдэл
: дурын цэгийг авч үзье
, харьяалагддаг
, доторх өсөлтийг тохируулна уу
мөн функцийн өсөлтийг бичнэ үү:
Деривативыг олцгооё:
Бид тригонометрийн томъёог ашигладаг
ба анхны гайхалтай хязгаар:
Хариулах
:
а- приорит
Асуудлын илүү ховор хувилбарыг харцгаая:
Жишээ 9
Үүсмэлийн тодорхойлолтыг ашиглан цэг дээрх функцийн деривативыг ол.
Нэгдүгээрт, эцсийн үр дүн юу байх ёстой вэ? Тоо
Хариултыг стандарт аргаар тооцоолъё. 
Шийдэл: Тодорхой байдлын үүднээс авч үзвэл томьёо нь тодорхой утгыг авч үздэг тул энэ даалгавар нь илүү хялбар байдаг.
Цэг дэх өсөлтийг тогтоож, функцийн харгалзах өсөлтийг байгуулъя:
Дараах цэг дээрх деривативыг тооцоолъё.
Бид маш ховор шүргэгч ялгааны томъёог ашигладаг 
дахин нэг удаа бид шийдлийг багасгаж байна анхны гайхалтай хязгаар:
Хариулах: цэг дээрх деривативын тодорхойлолтоор.
Асуудлыг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд “д ерөнхий үзэл" - дизайны аргаас хамааран эсвэл зүгээр л солиход хангалттай. Энэ тохиолдолд үр дүн нь тоо биш, харин үүсмэл функц болох нь тодорхой байна.
Жишээ 10
Тодорхойлолтыг ашиглан функцийн деривативыг ол 
Миний яриад байгаа нэг цэг дээр (нэг нь хязгааргүй болж хувирч магадгүй). ерөнхий тоймаль хэдийн хэлсэн деривативын тухай онолын хичээл.
Зарим хэсэгчлэн тодорхойлсон функцууд нь графикийн "уулзвар" цэгүүд дээр бас ялгаатай байдаг, жишээлбэл catdog 
цэг дээр нийтлэг дериватив ба нийтлэг шүргэгч (x тэнхлэг) байна. Муруй, гэхдээ -ээр ялгах боломжтой! Сонирхсон хүмүүс үүнийг саяхан шийдсэн жишээг ашиглан өөрсдөө шалгаж болно.
©2015-2019 сайт
Бүх эрх нь тэдний зохиогчид хамаарна. Энэ сайт нь зохиогчийн эрхийг шаарддаггүй, гэхдээ үнэгүй ашиглах боломжийг олгодог.
Хуудас үүсгэсэн огноо: 2017-06-11
Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив.
Оршил.
Бодит арга зүйн хөгжилҮйлдвэр, барилгын инженерийн факультетийн оюутнуудад зориулагдсан. Тэдгээрийг математикийн хичээлийн хөтөлбөртэй уялдуулан "Нэг хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцоо" хэсэгт эмхэтгэсэн.
Бүтээлүүд нь нэг арга зүйн удирдамжийг төлөөлдөг бөгөөд үүнд: онолын товч мэдээлэл; Эдгээр шийдлийн нарийвчилсан шийдэл, тайлбар бүхий "стандарт" асуудал, дасгалууд; туршилтын сонголтууд.
Догол мөр бүрийн төгсгөлд нэмэлт дасгалууд байдаг. Энэхүү хөгжүүлэлтийн бүтэц нь тэдгээрийг багшийн хамгийн бага туслалцаатайгаар тухайн хэсгийг бие даан эзэмшихэд тохиромжтой болгодог.
§1. Деривативын тодорхойлолт.
Механик ба геометрийн утга
дериватив.
Дериватив гэдэг ойлголт бол хамгийн түгээмэл ойлголтуудын нэг юм чухал ойлголтуудЭнэ нь 17-р зуунд бий болсон. Деривативын тухай ойлголт үүсэх нь түүхэн хоёр асуудалтай холбоотой байдаг: ээлжлэн хөдөлгөөний хурдны асуудал ба муруйн шүргэгчийн асуудал.
Эдгээр асуудлууд нь өөр өөр агуулгатай хэдий ч функц дээр гүйцэтгэх ёстой ижил математикийн үйлдлүүдэд хүргэдэг. Үүнийг функцийг ялгах үйлдэл гэж нэрлэдэг. Ялгах үйлдлийн үр дүнг дериватив гэж нэрлэдэг.
Тэгэхээр x0 цэг дээрх y=f(x) функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар (хэрэв байгаа бол) юм. 
цагт 
.
Деривативыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг. 
.
Тиймээс, тодорхойлолтоор
Тэмдгийг мөн деривативыг тэмдэглэхэд ашигладаг 
.
Деривативын механик утга.
Хэрэв s=s(t) бол – хууль шулуун шугаман хөдөлгөөн
материаллаг цэг, Тэр 
t цаг дээрх энэ цэгийн хурд.
Деривативын геометрийн утга.
Хэрэв y=f(x) функц цэг дээр деривативтай бол 
, Тэр налууцэг дээрх функцийн графиктай шүргэгч 
тэнцүү байна 
.
Жишээ.
Функцийн деривативыг ол 
цэг дээр 
=2:
1) Үүнд нэг оноо өгье 
=2 өсөлт 
. Анхаарна уу.
2) Цэг дэх функцийн өсөлтийг ол 
=2:
3) Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааг үүсгэцгээе:
харьцааны хязгаарыг олъё 
:
.
Тиймээс, 
.
§ 2. Заримын дериватив
хамгийн энгийн функцууд.
Оюутан тодорхой функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох талаар сурах хэрэгтэй: y=x,y= 
ерөнхийдөө = 
.
y=x функцийн деривативыг олъё.
тэдгээр. (x)′=1.
Функцийн деривативыг олъё
Дериватив 
Болъё 
Дараа нь
Хүчин чадлын функцийн деривативуудын илэрхийлэлд хэв маягийг анзаарахад хялбар байдаг 
n=1,2,3-тай.
Тиймээс,
. (1)
Энэ томъёо нь ямар ч бодит n-д хүчинтэй.
Ялангуяа (1) томъёог ашиглан бид:
;
.
Жишээ.
Функцийн деривативыг ол
.
.
Энэ функц нь хэлбэрийн функцийн онцгой тохиолдол юм
цагт 
.
(1) томъёог ашиглан бид байна
.
y=sin x ба y=cos x функцүүдийн деривативууд.
y=sinx гэж үзье.
∆x-д хуваавал бид олж авна
∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, бид байна
y=cosx гэж үзье.
∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, бид олж авна
;
.
(2)
§3. Ялгах үндсэн дүрмүүд.
Ялгах дүрмийг авч үзье.
Теорем1 . Хэрэв u=u(x) ба v=v(x) функцууд өгөгдсөн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол энэ үед тэдгээрийн нийлбэр мөн дифференциалагдах ба нийлбэрийн дериватив нь гишүүн орнуудын деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. : (u+v)"=u"+v".(3 )
Баталгаа: y=f(x)=u(x)+v(x) функцийг авч үзье.
Аргумент x-ийн ∆x өсөлт нь u ба v функцүүдийн ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) нэмэгдлүүдтэй тохирч байна. Дараа нь y функц нэмэгдэх болно
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Тиймээс,
Тэгэхээр, (u+v)"=u"+v".
Теорем2. Хэрэв u=u(x) ба v=v(x) функцүүд өгөгдсөн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол тэдгээрийн үржвэр нь ижил цэгт дифференциалагдах боломжтой. Энэ тохиолдолд үржвэрийн деривативыг дараах томъёогоор олно. uv)"=u"v+uv". (4)
Баталгаа: y=uv байг, энд u ба v нь x-ийн зарим дифференциалагдах функцууд байна. x-д ∆x-ийн өсөлтийг өгье, тэгвэл u ∆u, v нь ∆v, y нь ∆y-ийн өсөлтийг хүлээн авна.
Бидэнд y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), эсвэл байна
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Иймд ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Эндээс 
∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, u ба v нь ∆x-ээс хамаарахгүй гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараах байдалтай болно.
Теорем 3. Хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү, хуваагч нь хуваагчийн квадраттай тэнцүү, хуваагч нь ногдол ашгийн дериватив ба хуваагчийн үржвэр ба үржвэрийн зөрүү юм. ногдол ашиг ба хуваагчийн дериватив, i.e.
Хэрэв 
Тэр 
(5)
Теорем 4.Тогтмолын дериватив нь тэгтэй тэнцүү, i.e. хэрэв y=C бол C=const бол у"=0.
Теорем 5.Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно, i.e. хэрэв y=Cu(x), энд C=const бол y"=Cu"(x).
Жишээ 1.
Функцийн деривативыг ол
.
Энэ функц нь хэлбэртэй байна 
, энд u=x,v=cosx. Ялгах дүрмийг (4) ашигласнаар бид олдог
.
Жишээ 2.
Функцийн деривативыг ол
.
(5) томъёог хэрэглэцгээе.
Энд 
;
.
Даалгаврууд.
Дараах функцүүдийн деривативуудыг ол.
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
Бодлого В9 нь функц эсвэл деривативын графикийг өгсөн бөгөөд үүнээс та дараах хэмжигдэхүүнүүдийн аль нэгийг тодорхойлох шаардлагатай.
- Хэсэг цэг дэх деривативын утга x 0,
- Хамгийн их буюу хамгийн бага оноо (экстремум оноо),
- Өсөх, буурах функцүүдийн интервалууд (монотоник байдлын интервалууд).
Энэ асуудалд танилцуулсан функцууд болон деривативууд нь үргэлж тасралтгүй байдаг тул шийдлийг илүү хялбар болгодог. Даалгавар нь математик анализын хэсэгт хамаарах хэдий ч хамгийн сул оюутнууд ч үүнийг хийж чадна, учир нь энд онолын гүн гүнзгий мэдлэг шаардагддаггүй.
Дериватив, экстремум цэгүүд болон монотон байдлын интервалуудын утгыг олохын тулд энгийн бөгөөд бүх нийтийн алгоритмууд байдаг - бүгдийг нь доор авч үзэх болно.
Тэнэг алдаа гаргахгүйн тулд В9 асуудлын нөхцлийг анхааралтай уншина уу: заримдаа та нэлээд урт тексттэй тааралддаг, гэхдээ чухал нөхцөл, шийдвэрийн явцад нөлөөлдөг, цөөхөн байдаг.
Дериватив утгын тооцоо. Хоёр цэгийн арга
Хэрэв асуудалд x 0 цэгт энэ графиктай шүргэгч f(x) функцийн график өгөгдсөн бөгөөд энэ цэг дэх деривативын утгыг олох шаардлагатай бол дараах алгоритмыг хэрэглэнэ.
- Шүргэгчийн график дээрх хоёр "хангалттай" цэгийг ол: тэдгээрийн координат нь бүхэл тоо байх ёстой. Эдгээр цэгүүдийг A (x 1 ; y 1) ба B (x 2 ; y 2) гэж тэмдэглэе. Координатыг зөв бичих - энэ бол шийдлийн гол цэг бөгөөд энд байгаа аливаа алдаа нь буруу хариулт өгөх болно.
- Координатыг мэдсэнээр Δx = x 2 − x 1 аргументийн өсөлт ба Δy = y 2 − y 1 функцийн өсөлтийг тооцоолоход хялбар байдаг.
- Эцэст нь D = Δy/Δx деривативын утгыг олно. Өөрөөр хэлбэл, та функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлтөөр хуваах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хариулт болно.
Дахин нэг удаа тэмдэглэе: А ба В цэгүүдийг ихэвчлэн тохиолддог шиг f(x) функцийн графикаас биш харин шүргэгч дээр хайх ёстой. Шүргэдэг шугам нь дор хаяж хоёр ийм цэгийг агуулсан байх ёстой - эс тэгвээс асуудлыг зөв томъёолохгүй.
A (−3; 2) ба B (−1; 6) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Деривативын утгыг олъё: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Даалгавар. Зураг дээр y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.
A (0; 3) ба B (3; 0) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Одоо бид деривативын утгыг олно: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Даалгавар. Зураг дээр y = f(x) функцийн график ба абсцисса х 0 цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. x 0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.
A (0; 2) ба B (5; 2) цэгүүдийг авч үзээд өсөлтийг ол.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Деривативын утгыг олоход л үлддэг: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Сүүлийн жишээнээс бид дүрмийг томъёолж болно: хэрэв шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель байвал шүргэгч цэг дээрх функцийн дериватив нь тэг болно. Энэ тохиолдолд та юу ч тоолох шаардлагагүй - зүгээр л графикийг хараарай.
Хамгийн их ба хамгийн бага онооны тооцоо
Заримдаа функцийн графикийн оронд В9 бодлого нь деривативын графикийг гаргаж, функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэгийг олох шаардлагатай болдог. Энэ нөхцөлд хоёр цэгийн арга нь ашиггүй, гэхдээ өөр, бүр энгийн алгоритм байдаг. Эхлээд нэр томъёог тодорхойлъё:
- Хэрэв энэ цэгийн зарим хөршид дараах тэгш бус байдал биелдэг бол x 0 цэгийг f(x) функцийн хамгийн их цэг гэнэ: f(x 0) ≥ f(x).
- Хэрэв энэ цэгийн зарим хэсэгт дараах тэгш бус байдал биелдэг бол x 0 цэгийг f(x) функцийн хамгийн бага цэг гэнэ: f(x 0) ≤ f(x).
Дериватив график дээрх хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг олохын тулд дараах алхмуудыг дагахад л хангалттай.
- Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгаж, дериватив графикийг дахин зур. Практикаас харахад шаардлагагүй өгөгдөл нь зөвхөн шийдвэр гаргахад саад болдог. Тиймээс бид тэмдэглэж байна координатын тэнхлэгдеривативын тэг - энэ л байна.
- Тэг хоорондын интервал дээрх деривативын тэмдгүүдийг ол. Хэрэв ямар нэг x 0 цэгийн хувьд f'(x 0) ≠ 0 гэдгийг мэдэж байвал f'(x 0) ≥ 0 эсвэл f'(x 0) ≤ 0 гэсэн хоёр сонголт л боломжтой. Деривативын тэмдэг нь Анхны зургаас тодорхойлоход хялбар: хэрэв дериватив график нь OX тэнхлэгээс дээш байвал f'(x) ≥ 0. Мөн эсрэгээр, хэрэв дериватив график OX тэнхлэгийн доор орвол f'(x) ≤ 0 байна.
- Бид деривативын тэг ба тэмдгүүдийг дахин шалгана. Тэмдгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчлөх нь хамгийн бага цэг юм. Эсрэгээр, хэрэв деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг юм. Тооллогыг үргэлж зүүнээс баруун тийш хийдэг.
Энэ схем нь зөвхөн тасралтгүй функцүүдэд ажилладаг - В9 асуудалд өөр зүйл байхгүй.
Даалгавар. Зурагт [−5; 5]. Энэ хэрчим дээрх f(x) функцийн хамгийн бага цэгийг ол.
Шаардлагагүй мэдээллээс ангижирч, зөвхөн хил хязгаарыг нь үлдээе [−5; 5] ба x = −3 ба x = 2 деривативын тэгүүд. Бид мөн тэмдгүүдийг тэмдэглэж байна:
Мэдээжийн хэрэг, x = −3 цэг дээр деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгдөнө. Энэ бол хамгийн бага цэг юм.
Даалгавар. Зураг дээр [−3; 7]. Энэ хэрчим дээрх f(x) функцийн хамгийн их цэгийг ол.
Зөвхөн хил хязгаарыг үлдээж графикийг дахин зурцгаая [−3; 7] ба x = −1.7 деривативын тэг ба x = 5. Үүссэн график дээрх деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглэе. Бидэнд байгаа:
Мэдээжийн хэрэг, x = 5 цэг дээр деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгддөг - энэ бол хамгийн дээд цэг юм.
Даалгавар. Зураг дээр [−6; 4]. [−4] хэрчимд хамаарах f(x) функцийн хамгийн их цэгийн тоог ол; 3].
Асуудлын нөхцлөөс харахад графикийн зөвхөн сегментээр хязгаарлагдсан хэсгийг авч үзэх нь хангалттай юм [−4; 3]. Тиймээс бид зөвхөн хил хязгаарыг тэмдэглэсэн шинэ график байгуулдаг [−4; 3] ба түүний доторх деривативын тэг. Тухайлбал, x = −3.5 ба x = 2 цэгүүд. Бид дараахь зүйлийг авна.
Энэ график дээр зөвхөн нэг хамгийн их цэг байна x = 2. Яг энэ үед деривативын тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг.
Бүхэл бус координаттай цэгүүдийн тухай жижиг тэмдэглэл. Жишээлбэл, сүүлчийн бодлогод x = −3.5 цэгийг авч үзсэн боловч ижил амжилттайгаар бид x = −3.4-ийг авч болно. Хэрэв асуудлыг зөв бичсэн бол "тогтмол оршин суух газаргүй" оноо нь асуудлыг шийдвэрлэхэд шууд оролцдоггүй тул ийм өөрчлөлт нь хариултанд нөлөөлөх ёсгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ заль мэх бүхэл тоогоор ажиллахгүй.
Өсөх, буурах функцүүдийн интервалыг олох
Ийм бодлогод хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийн нэгэн адил үүсмэл графикийг ашиглан функц өөрөө нэмэгдэж эсвэл буурч байгаа хэсгийг олохыг санал болгож байна. Эхлээд өсөх, буурах нь юу болохыг тодорхойлъё.
- Хэрэв энэ хэрчимээс x 1 ба x 2 гэсэн хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) зөв байвал f(x) функц хэрчм дээр нэмэгдэж байна гэж хэлнэ. . Өөрөөр хэлбэл аргументын утга их байх тусам функцын утга ихсэх болно.
- Хэрэв энэ хэрчим дэх x 1 ба x 2 аль ч хоёр цэгийн хувьд x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) үнэн байвал f(x) функцийг хэрчим дээрх бууралт гэж нэрлэдэг. Тэдгээр. илүү өндөр үнэ цэнэаргумент нь функцийн бага утгатай тохирч байна.
Өсөх, бууруулах хангалттай нөхцөлүүдийг томъёолъё:
- Үргэлжилсэн функц f(x) сегмент дээр нэмэгдэхийн тулд сегмент доторх дериватив эерэг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f’(x) ≥ 0.
- Тасралтгүй функц f(x) сегмент дээр буурахын тулд сегмент доторх дериватив нь сөрөг байх нь хангалттай, өөрөөр хэлбэл. f’(x) ≤ 0.
Эдгээр мэдэгдлийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн авцгаая. Тиймээс бид нэмэгдэх ба буурах интервалыг олох схемийг олж авдаг бөгөөд энэ нь экстремум цэгийг тооцоолох алгоритмтай олон талаараа төстэй юм.
- Бүх шаардлагагүй мэдээллийг устгана уу. Деривативын анхны график дээр бид үндсэндээ функцийн тэгийг сонирхож байгаа тул зөвхөн тэдгээрийг үлдээх болно.
- Деривативын тэмдгүүдийг тэг хоорондын зайд тэмдэглэ. f’(x) ≥ 0 бол функц нэмэгдэж, f’(x) ≤ 0 бол буурна. Хэрэв асуудал x хувьсагч дээр хязгаарлалт тавьсан бол бид тэдгээрийг шинэ график дээр нэмж тэмдэглэнэ.
- Одоо бид функцын зан төлөв болон хязгаарлалтыг мэдэж байгаа тул асуудалд шаардагдах хэмжээг тооцоолоход л үлдлээ.
Даалгавар. Зураг дээр [−3; 7.5]. f(x) функцийн бууралтын интервалуудыг ол. Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.
Ердийнх шигээ графикийг дахин зурж, хил хязгаарыг тэмдэглэе [−3; 7.5], түүнчлэн x = −1.5 ба x = 5.3 деривативын тэгүүд. Дараа нь бид деривативын шинж тэмдгийг тэмдэглэнэ. Бидэнд байгаа:
(− 1.5) интервал дээр дериватив сөрөг утгатай тул энэ нь буурах функцийн интервал юм. Энэ интервал дотор байгаа бүх бүхэл тоог нийлэхэд л үлддэг.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Даалгавар. Зурагт [−10; 4]. f(x) функцийн өсөлтийн интервалыг ол. Хариултдаа хамгийн томынх нь уртыг заана уу.
Шаардлагагүй мэдээллээс ангижирцгаая. Зөвхөн хил хязгаарыг орхиё [−10; 4] ба деривативын тэг, үүнээс энэ удаад дөрөв байсан: x = −8, x = −6, x = −3 ба x = 2. Деривативын тэмдгүүдийг тэмдэглээд дараах зургийг авъя:
Бид функцийг нэмэгдүүлэх интервалыг сонирхож байна, i.e. f’(x) ≥ 0. График дээр (−8; −6) ба (−3; 2) хоёр ийм интервал байна. Тэдний уртыг тооцоолъё:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Бид хамгийн том интервалын уртыг олох шаардлагатай тул хариулт болгон l 2 = 5 утгыг бичнэ.
(\large\bf Функцийн дериватив)
Функцийг авч үзье y=f(x), интервал дээр заасан (а, б). Болъё x- интервалын аливаа тогтмол цэг (а, б), А Δx- утга учиртай дурын тоо x+Δxмөн интервалд хамаарна (а, б). Энэ тоо Δxаргументийн өсөлт гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт. Функцийн өсөлт y=f(x)цэг дээр x, аргументийн өсөлттэй харгалзах Δx, дугаар руу залгая
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Бид үүнд итгэдэг Δx ≠ 0. Өгөгдсөн тогтмол цэг дээр авч үзье xЭнэ цэг дэх функцийн өсөлтийг харгалзах аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа Δx
Бид энэ харьцааг ялгааны хамаарал гэж нэрлэнэ. Үнэ цэнээс хойш xБид тогтмол гэж үздэг, ялгааны харьцаа нь аргументийн функц юм Δx. Энэ функц нь аргументын бүх утгын хувьд тодорхойлогддог Δx, тухайн цэгийн хангалттай жижиг хороололд харьяалагддаг Δx=0, цэгээс бусад Δx=0. Тиймээс бид заасан функцийн хязгаар байгаа эсэх асуудлыг авч үзэх эрхтэй Δx → 0.
Тодорхойлолт. Функцийн дериватив y=f(x)өгөгдсөн тогтмол цэг дээр xхязгаар гэж нэрлэдэг Δx → 0ялгааны харьцаа, өөрөөр хэлбэл
Энэ хязгаар байгаа тохиолдолд.
Зориулалт. y'(x)эсвэл f'(x).
Деривативын геометрийн утга: Функцийн дериватив f(x)энэ үед xтэнхлэг хоорондын өнцгийн тангенстай тэнцүү Үхэрхаргалзах цэг дээрх энэ функцийн графиктай шүргэгч:
f′(x 0) = \tgα.
Деривативын механик утга: Цаг хугацааны хувьд замын дериватив нь тухайн цэгийн шулуун хөдөлгөөний хурдтай тэнцүү байна.
Шугаман шүргэгчийн тэгшитгэл y=f(x)цэг дээр M 0 (x 0 ,y 0)хэлбэрийг авдаг
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Зарим цэг дэх муруйны хэвийн хэмжээ нь тухайн цэг дээрх шүргэгчтэй перпендикуляр байна. Хэрэв f′(x 0)≠ 0, дараа нь шугамын хэвийн тэгшитгэл y=f(x)цэг дээр M 0 (x 0 ,y 0)ингэж бичсэн байна:
Функцийн дифференциал байдлын тухай ойлголт
Функцийг зөвшөөр y=f(x)тодорхой интервалаар тодорхойлогддог (а, б), x- энэ интервалаас зарим тогтмол аргументын утга, Δx- аргументийн утгыг нэмэгдүүлэхийн тулд аргументийн аливаа өсөлт x+Δx ∈ (a, b).
Тодорхойлолт. Чиг үүрэг y=f(x)тухайн цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг x, хэрэв нэмэгдвэл Δyцэг дээр энэ функц x, аргументийн өсөлттэй харгалзах Δx, хэлбэрээр төлөөлж болно
Δy = A Δx +αΔx,
Хаана А- зарим тооноос хамааралгүй Δx, А α - аргумент функц Δx, энэ нь хязгааргүй бага байна Δx→ 0.
Хоёр хязгааргүй жижиг функцийн үржвэр учраас αΔx-аас өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо юм Δx(хязгааргүй 3 функцийн шинж чанар), тэгвэл бид дараах зүйлийг бичиж болно.
Δy = A Δx +o(Δx).
Теорем. Функцийн хувьд y=f(x)тухайн цэг дээр ялгах боломжтой байсан x, энэ үед энэ нь хязгаарлагдмал деривативтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. Хаана A=f′(x), тэр бол
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Деривативыг олох үйлдлийг ихэвчлэн ялгах гэж нэрлэдэг.
Теорем. Хэрэв функц y=f(x) x, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.
Сэтгэгдэл. Функцийн тасралтгүй байдлаас y=f(x)энэ үед x, ерөнхийд нь хэлбэл, функцийн ялгавартай байдал нь дагаж мөрддөггүй f(x)энэ үед. Жишээлбэл, функц y=|x|- нэг цэг дээр тасралтгүй x=0, гэхдээ дериватив байхгүй.
Дифференциал функцийн тухай ойлголт
Тодорхойлолт. Функцийн дифференциал y=f(x)Энэ функцийн дериватив ба бие даасан хувьсагчийн өсөлтийн үржвэрийг гэнэ x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Функцийн хувьд y=xбид авдаг dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, тэр бол dx=Δx- бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна.
Тиймээс бид бичиж болно
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Дифференциал dyба өсөлт Δyфункцууд y=f(x)энэ үед x, хоёулаа ижил аргументийн өсөлтөд харгалзах Δx, ерөнхийдөө бие биентэйгээ тэнцүү биш юм.
Дифференциалын геометрийн утга: Аргумент нэмэгдэхэд функцийн дифференциал нь энэ функцийн графикт шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна. Δx.
Ялгах дүрэм
Теорем. Хэрэв функц тус бүр u(x)Тэгээд v(x)тухайн цэг дээр ялгах боломжтой x, дараа нь эдгээр функцүүдийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр ба хуваана (хэрэв энэ бол v(x)≠ 0) нь мөн энэ үед ялгагдах боломжтой бөгөөд томъёонууд нь:
Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье y=f(φ(x))≡ F(x), Хаана у=f(у), u=φ(x). Энэ тохиолдолд удуудсан завсрын аргумент, x - бие даасан хувьсагч.
Теорем. Хэрэв у=f(у)Тэгээд u=φ(x)нь тэдгээрийн аргументуудын дифференциал функцууд, дараа нь нийлмэл функцийн дериватив юм y=f(φ(x))байгаа ба завсрын аргументийн хувьд энэ функцын үржвэртэй тэнцүү ба бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн дериватив, i.e.
Сэтгэгдэл. Гурван функцийн суперпозиция болох цогц функцийн хувьд y=F(f(φ(x))), ялгах дүрэм нь хэлбэртэй байна
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
функцүүд хаана байна v=φ(x), u=f(v)Тэгээд y=F(u)- тэдгээрийн аргументуудын ялгах функцууд.
Теорем. Функцийг зөвшөөр y=f(x)нэмэгдэж (эсвэл буурдаг) ба тухайн цэгийн зарим орчимд үргэлжилдэг x 0. Нэмж дурдахад энэ функцийг заасан цэг дээр ялгах боломжтой байг x 0ба энэ үед түүний дериватив f′(x 0) ≠ 0. Дараа нь харгалзах цэгийн зарим хөршид y 0 =f(x 0)урвуу нь тодорхойлогддог y=f(x)функц x=f -1 (y), мөн тодорхойлсон урвуу функцхаргалзах цэг дээр ялгах боломжтой y 0 =f(x 0)мөн энэ үед түүний деривативын хувьд yтомъёо хүчинтэй байна
Деривативын хүснэгт
Эхний дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал
Комплекс функцийн дифференциалыг авч үзье. Хэрэв y=f(x), x=φ(t)- тэдгээрийн аргументуудын функцууд нь дифференциал, дараа нь функцийн дериватив y=f(φ(t))томъёогоор илэрхийлнэ
y′ t = y′ x x′ t.
А - тэргүүн байр dy=y′ t dt, тэгвэл бид авна
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Тиймээс бид нотолсон
Функцийн эхний дифференциал хэлбэрийн инвариантын шинж чанар: аргумент үүссэн тохиолдолд адил xнь бие даасан хувьсагч бөгөөд аргумент байх тохиолдолд xөөрөө шинэ хувьсагчийн дифференциал функц юм dyфункцууд y=f(x)нь энэ функцийн деривативыг аргументийн дифференциалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна dx.
Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх
Бид дифференциал гэдгийг харуулсан dyфункцууд y=f(x), ерөнхийдөө өсөлттэй тэнцүү биш байна Δyэнэ функц. Гэсэн хэдий ч, илүү жижиг байдлын дээд эрэмбийн хязгааргүй жижиг функц хүртэл Δx, ойролцоо тэгш байдал хүчинтэй байна
Δy ≈ dy.
Энэ харьцааг энэ тэгш байдлын тэгш байдлын харьцангуй алдаа гэж нэрлэдэг. Учир нь Δy-dy=o(Δx), тэгвэл энэ тэгшитгэлийн харьцангуй алдаа буурах тусам хүссэн хэмжээгээрээ бага болно |Δх|.
Үүнийг харгалзан үзвэл Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, бид авдаг f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxэсвэл
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Энэ ойролцоо тэгш байдал нь алдаатай байхыг зөвшөөрдөг o(Δx)функцийг солих f(x)цэгийн жижиг хороололд x(жишээ нь жижиг утгуудын хувьд Δx) аргументийн шугаман функц Δx, баруун талд зогсож байна.
Дээд зэрэглэлийн деривативууд
Тодорхойлолт. Функцийн хоёр дахь дериватив (эсвэл хоёрдугаар дарааллын дериватив). y=f(x)анхны деривативын дериватив гэж нэрлэдэг.
Функцийн хоёр дахь деривативын тэмдэглэгээ y=f(x):
Хоёрдахь деривативын механик утга. Хэрэв функц y=f(x)шулуун шугам дахь материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хуулийг, дараа нь хоёр дахь деривативыг дүрсэлдэг f″(x)цаг хугацааны агшинд хөдөлж буй цэгийн хурдатгалтай тэнцүү x.
Гурав, дөрөв дэх деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.
Тодорхойлолт. nдериватив (эсвэл дериватив n-р дараалал) функцууд y=f(x)түүний дериватив гэж нэрлэдэг n-1дериватив:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Тэмдэглэл: чи″', y IV, у Вгэх мэт.