"Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвийг үргэлжлүүлснээр энэ нийтлэл дэх материал нь квадрат тэгшитгэлтэй танилцах болно.

Бүгдийг нарийвчлан авч үзье: квадрат тэгшитгэлийн мөн чанар, тэмдэглэгээ, дагалдах нэр томъёог тодорхойлох, бүрэн бус ба бүрэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схемд дүн шинжилгээ хийх, язгуур ба ялгах томъёотой танилцах, язгуур ба коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоох, Мэдээжийн хэрэг бид практик жишээнүүдэд харааны шийдлийг өгөх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадрат тэгшитгэл, түүний төрлүүд

Тодорхойлолт 1

Квадрат тэгшитгэлгэж бичсэн тэгшитгэл юм a x 2 + b x + c = 0, Хаана x– хувьсагч, a, b ба в- зарим тоо, харин атэг биш.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, учир нь үндсэндээ квадрат тэгшитгэл нь алгебрийн тэгшитгэлхоёрдугаар зэрэг.

Өгөгдсөн тодорхойлолтыг жишээ болгон тайлбарлая: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 гэх мэт. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт 2

a, b ба тоонууд вквадрат тэгшитгэлийн коэффициентууд юм a x 2 + b x + c = 0, коэффициент байхад аэхний, эсвэл ахлах, эсвэл x 2 дахь коэффициент гэж нэрлэдэг, b - хоёр дахь коэффициент, эсвэл коэффициент x, А вчөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд 6 x 2 − 2 x − 11 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 6, хоёр дахь коэффициент − 2 , мөн чөлөөт нэр томъёо нь тэнцүү байна − 11 . Коэффициентүүд байхад анхаарлаа хандуулцгаая бба/эсвэл c сөрөг байвал хэрэглэнэ богино хэлбэргэх мэт бичлэгүүд 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, үгүй 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Энэ талыг бас тодруулъя: хэрэв коэффициентүүд байвал аба/эсвэл бтэнцүү 1 эсвэл − 1 , дараа нь тэд квадрат тэгшитгэлийг бичихэд тодорхой оролцохгүй байж болох бөгөөд энэ нь заасан тоон коэффициентийг бичих онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд y 2 − y + 7 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 1, хоёр дахь коэффициент нь − 1 .

Буурагдсан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл

Эхний коэффициентийн утгыг үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан ба буураагүй гэж хуваана.

Тодорхойлолт 3

Багасгасан квадрат тэгшитгэлнь тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэл юм. Тэргүүлэх коэффициентийн бусад утгуудын хувьд квадрат тэгшитгэлийг бууруулаагүй болно.

Жишээ дурдъя: квадрат тэгшитгэлүүд x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, тэргүүлэгч коэффициент тус бүр нь 1 байна.

9 x 2 − x − 2 = 0- эхний коэффициент нь ялгаатай буураагүй квадрат тэгшитгэл 1 .

Аль ч буураагүй квадрат тэгшитгэлийг хоёр талыг эхний коэффициентээр (тэнцүү хувиргалт) хуваах замаар багасгасан тэгшитгэл болгон хувиргаж болно. Хувиргасан тэгшитгэл нь өгөгдсөн бууруулаагүй тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй эсвэл огт үндэсгүй байх болно.

Анхаарах зүйл тодорхой жишээбуураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжихийг тодорхой харуулах боломжийг бидэнд олгоно.

Жишээ 1

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 тэгшитгэл өгөгдсөн . Анхны тэгшитгэлийг багасгасан хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай.

Шийдэл

Дээрх схемийн дагуу бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх коэффициент 6-д хуваана. Дараа нь бид: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, мөн энэ нь дараахтай ижил байна: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0ба цааш нь: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Эндээс: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Тиймээс өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна.

Хариулт: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу орцгооё. Үүнд бид үүнийг тодорхойлсон a ≠ 0. Тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй нөхцөл шаардлагатай a x 2 + b x + c = 0цагаас хойш яг дөрвөлжин байсан a = 0энэ нь үндсэндээ шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг b x + c = 0.

Коэффициент болсон тохиолдолд бТэгээд втэгтэй тэнцүү (энэ нь тус тусдаа болон хамтад нь боломжтой), квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 4

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- ийм квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x + c = 0,коэффициентүүдийн нэгээс доошгүй тохиолдолд бТэгээд в(эсвэл хоёулаа) тэг байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл– бүх тоон коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш квадрат тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүдийг яагаад яг ийм нэрээр нэрлэсэн талаар ярилцъя.

b = 0 үед квадрат тэгшитгэл хэлбэрийг авна a x 2 + 0 x + c = 0, энэ нь ижил байна a x 2 + c = 0. At c = 0квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ a x 2 + b x + 0 = 0, энэ нь тэнцүү байна a x 2 + b x = 0. At b = 0Тэгээд c = 0тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно a x 2 = 0. Бидний олж авсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Үнэн хэрэгтээ энэ баримт нь энэ төрлийн тэгшитгэлийн нэрийг өгсөн - бүрэн бус.

Жишээлбэл, x 2 + 3 x + 4 = 0 ба − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 нь бүрэн квадрат тэгшитгэл; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь дараах төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүдийг ялгах боломжийг олгодог.

• a x 2 = 0, энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна b = 0ба c = 0;
• a · x 2 + c = 0 үед b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 үед c = 0.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрөл бүрийн шийдлийг дараалан авч үзье.

a x 2 =0 тэгшитгэлийн шийдэл

Дээр дурдсанчлан энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна бТэгээд в, тэгтэй тэнцүү. Тэгшитгэл a x 2 = 0эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргаж болно x 2 = 0, бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваах замаар олж авна а, тэгтэй тэнцүү биш. Тодорхой баримт бол тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 = 0учир нь энэ тэг байна 0 2 = 0 . Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг зэрэглэлийн шинж чанараар тайлбарлаж болно: дурын тооны хувьд p,тэгтэй тэнцүү биш, тэгш бус байдал нь үнэн p 2 > 0, үүнээс энэ нь хэзээ гэсэн үг p ≠ 0тэгш байдал p 2 = 0хэзээ ч хүрэхгүй.

Тодорхойлолт 5

Ийнхүү a x 2 = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хувьд өвөрмөц язгуур байна x = 0.

Жишээ 2

Жишээлбэл, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье − 3 x 2 = 0. Энэ нь тэгшитгэлтэй тэнцүү юм x 2 = 0, түүний цорын ганц үндэс x = 0, тэгвэл анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай - тэг.

Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Дараагийн мөрөнд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдэл байна, энд b = 0, c ≠ 0, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байна. a x 2 + c = 0. Тэгшитгэлийн нэг талаас гишүүнийг нөгөө тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэг тал руу нь сольж, тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш тоонд хуваах замаар энэ тэгшитгэлийг хувиргая.

• шилжүүлэх втэгшитгэлийг өгдөг баруун гар талд a x 2 = − c;
• тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана а, бид x = - c a гэж төгсдөг.

Үүний дагуу бидний хувиргалт нь тэнцүү бөгөөд үр дүнд нь гарсан тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог. Үнэт зүйлс нь юу вэ аТэгээд вилэрхийллийн утга - c a хамаарна: энэ нь хасах тэмдэгтэй байж болно (жишээлбэл, хэрэв a = 1Тэгээд c = 2, дараа нь - c a = - 2 1 = - 2) эсвэл нэмэх тэмдэг (жишээлбэл, хэрэв a = − 2Тэгээд c = 6, дараа нь - c a = - 6 - 2 = 3); тэг биш учраас c ≠ 0. Нөхцөл байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье - c a< 0 и - c a > 0 .

тохиолдолд - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа х p 2 = - c a тэгш байдал үнэн байж болохгүй.

- c a > 0 үед бүх зүйл өөр байна: квадрат язгуурыг санаарай, тэгвэл x 2 = - c a тэгшитгэлийн үндэс нь - c a тоо байх нь тодорхой болно, учир нь - c a 2 = - c a. - - c a тоо нь мөн x 2 = - c a тэгшитгэлийн язгуур гэдгийг ойлгоход хэцүү биш: үнэхээр, - - c a 2 = - c a.

Тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй болно. Үүнийг бид зөрчилдөх аргыг ашиглан харуулж чадна. Эхлэхийн тулд дээр дурдсан язгууруудын тэмдэглэгээг тодорхойлъё x 1Тэгээд − x 1. x 2 = - c a тэгшитгэл мөн язгууртай гэж үзье x 2, энэ нь үндэснээс ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулах замаар бид мэднэ xҮүний үндэс нь бид тэгшитгэлийг шударга тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Учир нь x 1Тэгээд − x 1бид бичнэ: x 1 2 = - c a , мөн төлөө x 2- x 2 2 = - c a . Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд дээр үндэслэн бид нэг зөв тэгш байдлын нэр томъёог нөгөөгөөсөө хасах бөгөөд энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгнө. x 1 2 − x 2 2 = 0. Сүүлийн тэгшитгэлийг дахин бичихийн тулд бид тоонуудтай үйлдлийн шинж чанарыг ашигладаг (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Эдгээр тоонуудын ядаж нэг нь тэг байхад л хоёр тооны үржвэр тэг болно гэдгийг мэддэг. Дээрхээс харахад ийм байна x 1 − x 2 = 0ба/эсвэл x 1 + x 2 = 0, энэ нь адилхан x 2 = x 1ба/эсвэл x 2 = − x 1. Эхэндээ тэгшитгэлийн үндэс гэж тохиролцсон тул илт зөрчилдөөн гарч ирэв x 2-аас ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Тэгэхээр тэгшитгэл нь x = - c a ба x = - - c a -аас өөр үндэсгүй гэдгийг бид нотолсон.

Дээрх бүх аргументуудыг нэгтгэн дүгнэж үзье.

Тодорхойлолт 6

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + c = 0 x 2 = - c a тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь:

• - c a -д үндэс байхгүй болно< 0 ;
• - c a > 0-ийн хувьд x = - c a ба x = - - c a гэсэн хоёр үндэстэй болно.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг өгье a x 2 + c = 0.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн 9 x 2 + 7 = 0.Үүний шийдлийг олох шаардлагатай байна.

Шийдэл

Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлье, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрээ авна 9 x 2 = − 7.
Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье 9 , бид x 2 = - 7 9-д хүрнэ. Баруун талд бид хасах тэмдэгтэй тоог харж байгаа бөгөөд энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг юм. Дараа нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй болно.

Хариулт:тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй.

Жишээ 4

Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − x 2 + 36 = 0.

Шийдэл

36-г баруун тийш шилжүүлье: − x 2 = − 36.
Хоёр хэсгийг хоёуланг нь хувааж үзье − 1 , бид авдаг x 2 = 36. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг дүгнэж болно x = 36 эсвэл x = - 36.
Үндэсийг гаргаж аваад эцсийн үр дүнг бичье: бүрэн бус квадрат тэгшитгэл − x 2 + 36 = 0хоёр үндэстэй x=6эсвэл x = − 6.

Хариулт: x=6эсвэл x = − 6.

a x 2 +b x=0 тэгшитгэлийн шийдэл

Гурав дахь төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе c = 0. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох a x 2 + b x = 0, бид хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглах болно. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа олон гишүүнтийг хаалтанд оруулан нийтлэг хүчин зүйлийг хасъя. x. Энэ алхам нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг түүний эквивалент болгон хувиргах боломжийг олгоно x (a x + b) = 0. Мөн энэ тэгшитгэл нь эргээд тэгшитгэлийн багцтай тэнцэнэ x = 0Тэгээд a x + b = 0. Тэгшитгэл a x + b = 0шугаман ба түүний үндэс: x = − b a.

Тодорхойлолт 7

Ийнхүү бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x = 0хоёр үндэстэй болно x = 0Тэгээд x = − b a.

Материалыг жишээгээр бататгая.

Жишээ 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай.

Шийдэл

Бид үүнийг гаргана xхаалтны гадна бид x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна x = 0ба 2 3 x - 2 2 7 = 0. Одоо та үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Тэгшитгэлийн шийдлийг дараах байдлаар товч бичнэ үү.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 эсвэл 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 эсвэл x = 3 3 7

Хариулт: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд язгуур томъёо байдаг.

Тодорхойлолт 8

x = - b ± D 2 · a, энд D = b 2 − 4 a c– квадрат тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэгддэг.

x = - b ± D 2 · a гэж бичих нь үндсэндээ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a гэсэн үг юм.

Энэ томъёог хэрхэн гаргаж авсан, хэрхэн хэрэглэхийг ойлгох нь ашигтай байх болно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх даалгавартай тулгарцгаая a x 2 + b x + c = 0. Хэд хэдэн ижил төстэй хувиргалтыг хийцгээе:

• тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваана а, тэгээс ялгаатай нь бид дараах квадрат тэгшитгэлийг олж авна: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Гарсан тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бүтэн квадратыг сонгоцгооё.
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
  Үүний дараа тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Одоо сүүлийн хоёр нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх боломжтой бөгөөд үүний дараа бид дараахь зүйлийг авна: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Эцэст нь бид сүүлчийн тэгш байдлын баруун талд бичигдсэн илэрхийллийг хувиргана.
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Ингээд бид анхны тэгшитгэлтэй тэнцэх x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлд хүрнэ. a x 2 + b x + c = 0.

Бид өмнөх догол мөрөнд ийм тэгшитгэлийн шийдлийг судалж үзсэн (бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх). Өмнө нь олж авсан туршлага нь x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжтой болгодог.

• b 2 - 4 a c 4 a 2-тай< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 үед тэгшитгэл нь x + b 2 · a 2 = 0, тэгвэл x + b 2 · a = 0 болно.

Эндээс цорын ганц язгуур х = - b 2 · a тодорхой байна;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0-ийн хувьд дараах нь үнэн байх болно: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , энэ нь x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - b 2 - 4 -тэй ижил байна · a · c 4 · a 2, i.e. тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (тиймээс анхны тэгшитгэл) тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх нь b илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна гэж дүгнэж болно. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 баруун талд бичигдсэн. Мөн энэ илэрхийллийн тэмдэг нь тоологчийн тэмдгээр өгөгдөнө, (хүлээн авагч 4 a 2үргэлж эерэг байх болно), өөрөөр хэлбэл илэрхийллийн тэмдэг b 2 − 4 a c. Энэ илэрхийлэл b 2 − 4 a cнэрийг өгсөн - квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба D үсэг нь түүний тэмдэглэгээ гэж тодорхойлогддог. Энд та ялгаварлагчийн мөн чанарыг бичиж болно - түүний утга, тэмдэг дээр үндэслэн тэд квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэстэй байх эсэх, хэрэв тийм бол язгуурын тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр байна.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэл рүү буцъя. Үүнийг ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичье: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Дахин дүгнэлтээ хийцгээе:

Тодорхойлолт 9

• цагт Д< 0 тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй;
• цагт D=0тэгшитгэл нь нэг язгууртай x = - b 2 · a ;
• цагт D > 0тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Радикалуудын шинж чанарт үндэслэн эдгээр үндэсийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: x = - b 2 · a + D 2 · a эсвэл - b 2 · a - D 2 · a. Мөн бид модулиудыг нээж, бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачвал: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Тиймээс бидний үндэслэлийн үр дүн нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргаж авсан явдал юм.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант Дтомъёогоор тооцоолно D = b 2 − 4 a c.

Эдгээр томьёо нь дискриминант тэгээс их байх үед жинхэнэ язгуурыг хоёуланг нь тодорхойлох боломжтой болгодог. Дискриминант нь тэг байх үед хоёр томьёог хэрэглэснээр квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэлтэй ижил язгуур гарна. Дискриминант сөрөг байгаа тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахыг оролдвол бид гаргаж авах хэрэгцээтэй тулгарах болно. квадрат язгуурсөрөг тооноос, энэ нь биднийг бодит тооноос давах болно. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй байх болно, гэхдээ бидний олж авсан ижил язгуур томъёогоор тодорхойлогддог хос цогц коньюгат язгуур боломжтой.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Квадрат тэгшитгэлийг язгуур томьёо ашиглан шууд шийдэх боломжтой боловч ерөнхийдөө нийлмэл язгуурыг олох шаардлагатай үед үүнийг хийдэг.

Ихэнх тохиолдолд энэ нь нарийн төвөгтэй биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хайх гэсэн үг юм. Дараа нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахын өмнө эхлээд дискриминантыг тодорхойлж, сөрөг биш эсэхийг шалгах нь оновчтой юм (эсвэл бид тэгшитгэл нь бодит язгуургүй гэж дүгнэх болно), дараа нь тооцооллыг үргэлжлүүлнэ. язгуурын үнэ цэнэ.

Дээрх үндэслэл нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэх алгоритмыг боловсруулах боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт 10

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх a x 2 + b x + c = 0, шаардлагатай:

• томъёоны дагуу D = b 2 − 4 a cялгах утгыг олох;
• дээр D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-ийн хувьд x = - b 2 · a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг ол;
• D > 0 бол квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг x = - b ± D 2 · a томъёогоор тодорхойлно.

Дискриминант нь тэг байх үед та x = - b ± D 2 · a томъёог ашиглаж болно, энэ нь x = - b 2 · a томъёотой ижил үр дүнг өгөх болно гэдгийг анхаарна уу.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээнүүдийн шийдлийг өгье өөр өөр утгатайялгаварлагч.

Жишээ 6

Бид тэгшитгэлийн язгуурыг олох хэрэгтэй x 2 + 2 x − 6 = 0.

Шийдэл

Квадрат тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүдийг бичье: a = 1, b = 2 ба c = − 6. Дараа нь бид алгоритмын дагуу үргэлжлүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. Дискриминантыг тооцоолж эхэлцгээе, үүний төлөө бид a, b коэффициентүүдийг орлуулах болно. Тэгээд вялгах томъёонд: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

Тэгэхээр бид D > 0 гарна, энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно гэсэн үг юм.
Тэдгээрийг олохын тулд бид x = - b ± D 2 · a язгуур томъёог ашигладаг бөгөөд харгалзах утгуудыг орлуулснаар бид дараахийг авна: x = - 2 ± 28 2 · 1. Үүссэн илэрхийлэлийг язгуур тэмдэгээс хүчин зүйлийг хасч, дараа нь бутархайг багасгаж хялбаршуулъя.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 эсвэл x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 эсвэл x = - 1 - 7

Хариулт: x = - 1 + 7​​​, x = - 1 - 7.

Жишээ 7

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Шийдэл

Ялгаварлагчийг тодорхойлъё: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Дискриминантийн энэ утгаар анхны тэгшитгэл нь x = - b 2 · a томъёогоор тодорхойлогддог зөвхөн нэг язгууртай болно.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

Хариулт: x = 3.5.

Жишээ 8

Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй 5 у 2 + 6 у + 2 = 0

Шийдэл

Энэ тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүд нь: a = 5, b = 6, c = 2 байна. Бид ялгагчийг олохын тулд эдгээр утгуудыг ашигладаг: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4. Тооцоолсон дискриминант нь сөрөг тул анхны квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно.

Хэрэв даалгавар нь нийлмэл үндэсийг зааж өгөх юм бол бид язгуур томъёог ашиглан цогцолбор тоогоор үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 эсвэл x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i эсвэл x = - 3 5 - 1 5 · i.

Хариулт:жинхэнэ үндэс байхгүй; нийлмэл үндэс нь дараах байдалтай байна: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN сургуулийн сургалтын хөтөлбөрНарийн төвөгтэй үндэс хайх стандарт шаардлага байхгүй тул хэрэв уусмалын явцад ялгаварлан гадуурхагч сөрөг гэж тогтоогдвол жинхэнэ үндэс байхгүй гэсэн хариултыг шууд бичнэ.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

Үндсэн томьёо x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) нь илүү авсаархан өөр томьёог олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь x-ийн тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжийг олгодог. эсвэл 2 · n хэлбэрийн коэффициенттэй, жишээлбэл, 2 3 эсвэл 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Энэ томьёо хэрхэн гарсныг харуулъя.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох даалгавартай тулгаръя. Бид алгоритмын дагуу ажиллана: бид D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 - a c) ялгагчийг тодорхойлж, үндсэн томъёог ашиглана:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c илэрхийллийг D 1 гэж тэмдэглэе (заримдаа үүнийг D " гэж тэмдэглэдэг). Дараа нь 2 · n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёо дараах хэлбэртэй болно.

x = - n ± D 1 a, энд D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, эсвэл D 1 = D 4 гэдгийг харахад хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь ялгаварлагчийн дөрөвний нэг юм. Мэдээжийн хэрэг, D 1 тэмдэг нь D тэмдэгтэй ижил бөгөөд энэ нь D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгааг илтгэх үзүүлэлт болж чадна гэсэн үг юм.

Тодорхойлолт 11

Тиймээс 2 n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

• олох D 1 = n 2 − a · c ;
• D 1 дээр< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 үед x = - n a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тодорхойлно;
• D 1 > 0-ийн хувьд x = - n ± D 1 a томъёог ашиглан хоёр бодит язгуурыг тодорхойлно.

Жишээ 9

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2 · (− 3) гэж илэрхийлж болно. Дараа нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, a = 5, n = - 3 ба c = - 32 гэж дахин бичнэ.

Дириминантийн дөрөв дэх хэсгийг тооцоолъё: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Үр дүнгийн утга нь эерэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай гэсэн үг юм. Харгалзах язгуур томъёог ашиглан тэдгээрийг тодорхойлно уу:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 эсвэл x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 эсвэл x = - 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ердийн томъёог ашиглан тооцоо хийх боломжтой боловч энэ тохиолдолд шийдэл нь илүү төвөгтэй байх болно.

Хариулт: x = 3 1 5 эсвэл x = - 2.

Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах

Заримдаа анхны тэгшитгэлийн хэлбэрийг оновчтой болгох боломжтой бөгөөд энэ нь үндсийг тооцоолох үйл явцыг хялбаршуулах болно.

Жишээ нь: 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 квадрат тэгшитгэлийг 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-ээс илүү хялбар шийдэх нь ойлгомжтой.

Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах нь түүний хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, дээр бид хоёр талыг 100-д ​​хуваах замаар олж авсан 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 тэгшитгэлийн хялбаршуулсан дүрслэлийг үзүүлэв.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд харилцан хамааралгүй тохиолдолд ийм хувиргалт хийх боломжтой анхны тоонууд. Дараа нь бид ихэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хамгийн томд нь хуваадаг нийтлэг хуваагчтүүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгууд.

Жишээ болгон бид 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 квадрат тэгшитгэлийг ашигладаг. Түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудын GCD-ийг тодорхойлъё: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хувааж, 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 тэнцүү квадрат тэгшитгэлийг олъё.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлснээр та ихэвчлэн бутархай коэффициентээс салдаг. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь түүний коэффициентүүдийн хуваагчдын хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүлнэ. Жишээлбэл, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэсэг бүрийг LCM (6, 3, 1) = 6-аар үржүүлбэл энэ нь илүү их бичигдэх болно. энгийн хэлбэрээр x 2 + 4 x − 18 = 0.

Эцэст нь бид квадрат тэгшитгэлийн эхний коэффициент дэх хасахаас бараг үргэлж салдаг гэдгийг тэмдэглэж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийн тэмдгүүдийг өөрчлөх замаар хоёр талыг - 1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) үр дүнд хүрдэг. Жишээлбэл, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 квадрат тэгшитгэлээс та түүний хялбаршуулсан хувилбар 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 руу очиж болно.

Үндэс ба коэффициент хоорондын хамаарал

Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо x = - b ± D 2 · a нь тэгшитгэлийн язгуурыг тоон коэффициентээр нь илэрхийлдэг. Энэ томьёо дээр үндэслэн бид язгуур болон коэффициентийн хоорондох бусад хамаарлыг тодорхойлох боломжтой.

Хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой томъёо бол Вьетагийн теорем юм.

x 1 + x 2 = - b a ба x 2 = c a.

Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициент бөгөөд язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хараад түүний язгууруудын нийлбэр 7 3, язгуурын үржвэр нь 22 3 болохыг шууд тодорхойлох боломжтой.

Та мөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хооронд хэд хэдэн өөр холболтыг олж болно. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг коэффициентээр илэрхийлж болно.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Математикийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь онцгой байр суурь эзэлдэг. Энэ үйл явцын өмнө олон цаг онолыг судлах шаардлагатай бөгөөд энэ хугацаанд оюутан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох, бүрэн автоматжуулалт хийх чадварыг эзэмшдэг. Гэсэн хэдий ч үндэс хайх нь үргэлж утга учиртай байдаггүй, учир нь тэд зүгээр л байхгүй байж магадгүй юм. Байдаг тусгай хөдөлгөөнүүдүндэс олох. Энэ нийтлэлд бид үндсэн функцууд, тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ, мөн тэдгээрийн үндэс байхгүй тохиолдолд дүн шинжилгээ хийх болно.

Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ?

Тэгшитгэл нь яг адилхан үнэн бодит х аргумент байхгүй бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Мэргэжилтэн бус хүний ​​хувьд энэ томъёолол нь ихэнх математикийн теорем, томьёоны нэгэн адил маш тодорхой бус, хийсвэр мэт харагддаг боловч онолын хувьд энэ юм. Практикт бүх зүйл маш энгийн болдог. Жишээ нь: 0 * x = -53 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь тэгтэй үржвэр нь тэгээс өөр зүйлийг өгөх x тоо байхгүй.

Одоо бид тэгшитгэлийн хамгийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно.

1. Шугаман тэгшитгэл

Тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг шугаман функцээр дүрсэлсэн бол шугаман гэж нэрлэнэ: ax + b = cx + d эсвэл ерөнхий хэлбэрээр kx + b = 0. Энд a, b, c, d нь мэдэгдэж байгаа тоонууд, x нь үл мэдэгдэх тоо хэмжээ. Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ? Шугаман тэгшитгэлийн жишээг доорх зурагт үзүүлэв.

Үндсэндээ шугаман тэгшитгэлийг зүгээр л тооны хэсгийг нэг хэсэг рүү, х-ийн агуулгыг нөгөө хэсэгт шилжүүлэх замаар шийддэг. Үр дүн нь mx = n хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд m ба n нь тоонууд, x нь үл мэдэгдэх юм. X-ийг олохын тулд хоёр талыг m-д хуваахад хангалттай. Дараа нь x = n/m. Ихэнх шугаман тэгшитгэлүүд нь зөвхөн нэг язгууртай боловч төгсгөлгүй олон үндэстэй эсвэл огт үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. m = 0 ба n = 0 үед тэгшитгэл нь 0 * x = 0 хэлбэрийг авна. Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь туйлын дурын тоо байх болно.

Гэсэн хэдий ч ямар тэгшитгэл үндэсгүй вэ?

m = 0 ба n = 0-ийн хувьд тэгшитгэл нь бодит тооны олонлогт үндэсгүй болно. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - эдгээр тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

2. Квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь a = 0-ийн хувьд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Хамгийн түгээмэл шийдэл нь дискриминантаар дамждаг. Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг олох томьёо нь: D = b 2 - 4 * a * c. Дараа нь хоёр үндэс байна x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй, D = 0 бол нэг үндэстэй. Гэхдээ ямар квадрат тэгшитгэл үндэсгүй вэ? Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог ажиглах хамгийн хялбар арга бол парабол болох функцийн графикийг зурах явдал юм. a > 0-ийн хувьд мөчрүүд дээшээ чиглэсэн, a хувьд< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Та мөн ялгаварлагчийг тооцоолохгүйгээр язгуурын тоог нүдээр тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та параболын оройг олж, мөчрүүд аль чиглэлд чиглэж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. Оройн х координатыг дараах томъёогоор тодорхойлж болно: x 0 = -b / 2a. Энэ тохиолдолд оройн y координатыг энгийн тэгшитгэлд x 0 утгыг орлуулах замаар олно.

x 2 - 8x + 72 = 0 квадрат тэгшитгэл нь сөрөг ялгах D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 тул үндэсгүй. Энэ нь парабол нь х тэнхлэгт хүрэхгүй бөгөөд функц хэзээ ч 0 утгыг авдаггүй тул тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно гэсэн үг юм.

3. Тригонометрийн тэгшитгэл

Тригонометрийн функцийг тригонометрийн тойрог дээр авч үзэх боловч декартын координатын системд мөн төлөөлж болно. Энэ нийтлэлд бид хоёр үндсэн тригонометрийн функц ба тэдгээрийн тэгшитгэлийг авч үзэх болно: sinx болон cosx. Эдгээр функцүүд үүсдэг тул тригонометрийн тойроградиус 1, |sinx| болон |cosx| 1-ээс их байж болохгүй. Тэгэхээр юу синкс тэгшитгэлүндэс байхгүй юу? Доорх зурагт үзүүлсэн sinx функцийн графикийг авч үзье.

Функц нь тэгш хэмтэй бөгөөд 2pi давтагдах хугацаатай болохыг бид харж байна. Үүний үндсэн дээр бид энэ функцийн хамгийн их утга нь 1, хамгийн бага нь -1 байж болно гэж хэлж болно. Жишээлбэл, cosx = 5 илэрхийлэл нь язгуургүй болно, учир нь түүний үнэмлэхүй утга нэгээс их байна.

Энэ бол тригонометрийн тэгшитгэлийн хамгийн энгийн жишээ юм. Үнэн хэрэгтээ тэдгээрийг шийдвэрлэхэд олон хуудас шаардагдах бөгөөд эцэст нь та буруу томьёо ашигласан гэдгээ ойлгож, бүгдийг дахин эхлүүлэх хэрэгтэй болно. Заримдаа та үндсийг зөв олсон ч гэсэн OD-ийн хязгаарлалтыг анхаарч үзэхээ мартаж магадгүй тул хариултанд нэмэлт үндэс эсвэл интервал гарч ирдэг бөгөөд хариулт бүхэлдээ алдаа болж хувирдаг. Тиймээс, бүх үндэс нь даалгаврын хүрээнд тохирохгүй тул бүх хязгаарлалтыг чанд дагаж мөрдөөрэй.

4. Тэгшитгэлийн системүүд

Тэгшитгэлийн систем нь буржгар эсвэл дөрвөлжин хаалтанд холбогдсон тэгшитгэлийн багц юм. Буржгар хаалт нь бүх тэгшитгэлийг хамт ажиллуулж байгааг харуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн дор хаяж нэг нь үндэсгүй эсвэл нөгөөтэй нь зөрчилддөг бол бүхэл бүтэн систем шийдэлгүй болно. Дөрвөлжин хаалт нь "эсвэл" гэсэн үгийг заана. Энэ нь системийн тэгшитгэлүүдийн ядаж нэг нь шийдэлтэй байвал бүхэл систем нь шийдэлтэй гэсэн үг юм.

c системийн хариулт нь бие даасан тэгшитгэлийн бүх язгууруудын нийлбэр юм. Мөн буржгар хаалт бүхий систем нь зөвхөн нийтлэг үндэстэй байдаг. Тэгшитгэлийн системүүд нь огт өөр функцуудыг агуулж болох тул ийм нарийн төвөгтэй байдал нь ямар тэгшитгэл үндэсгүй болохыг шууд хэлэх боломжийг олгодоггүй.

Асуудлын ном, сурах бичгээс олдсон янз бүрийн төрөлтэгшитгэлүүд: үндэстэй ба үндэсгүй тэгшитгэлүүд. Юуны өмнө, хэрэв та үндсийг нь олж чадахгүй бол огт байхгүй гэж битгий бодоорой. Магадгүй та хаа нэгтээ алдаа гаргасан байж магадгүй, та шийдвэрээ сайтар нягталж үзэх хэрэгтэй.

Бид хамгийн үндсэн тэгшитгэлүүд болон тэдгээрийн төрлүүдийг авч үзсэн. Одоо та аль тэгшитгэлд үндэсгүй болохыг хэлж чадна. Ихэнх тохиолдолд үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх нь зөвхөн анхаарал, төвлөрлийг шаарддаг. Илүү их дасгал хий, энэ нь танд материалыг илүү сайн, хурдан удирдахад тусална.

Тэгэхээр тэгшитгэлд үндэс байхгүй бол:

• В шугаман тэгшитгэл mx = n утга m = 0 ба n = 0;
• квадрат тэгшитгэлд, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол;
• В тригонометрийн тэгшитгэл cosx = m / sinx = n хэлбэрийн, хэрэв |m| > 0, |n| > 0;
• буржгар хаалт бүхий тэгшитгэлийн системд ядаж нэг тэгшитгэл үндэсгүй бол дөрвөлжин хаалттай бол бүх тэгшитгэлүүд үндэсгүй бол.

Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Шийдэл, жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Энэ нь ямар харагдаж байна вэ? Хугацааны хувьд квадрат тэгшитгэлтүлхүүр үг нь "дөрвөлжин".Энэ нь тэгшитгэлд гэсэн үг юм Заавал x квадрат байх ёстой. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь зөвхөн X (эхний зэрэглэлд) ба зөвхөн тоог агуулж болно (эсвэл үгүй ​​ч байж болно!) (чөлөөт гишүүн).Мөн хоёроос их чадалд X байх ёсгүй.

Математикийн хувьд квадрат тэгшитгэл нь дараахь хэлбэрийн тэгшитгэл юм.

Энд a, b ба c- зарим тоо. б ба в- туйлын ямар ч, гэхдээ А- тэгээс бусад бүх зүйл. Жишээ нь:

Энд А =1; б = 3; в = -4

Энд А =2; б = -0,5; в = 2,2

Энд А =-3; б = 6; в = -18

За ойлголоо...

Эдгээр квадрат тэгшитгэлд зүүн талд байна бүрэн багцгишүүд. X коэффициент бүхий квадрат А, x-ийг коэффициенттэй эхний зэрэглэлд шилжүүлнэ бТэгээд чөлөөт гишүүн С.

Ийм квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг дүүрэн.

Яах юм бол б= 0, бид юу авах вэ? Бидэнд байна X нь эхний хүчинд алдагдах болно.Энэ нь тэгээр үржихэд тохиолддог.) Энэ нь жишээлбэл:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-x 2 +4x=0

гэх мэт. Хэрэв хоёулаа коэффициент байвал бТэгээд втэгтэй тэнцүү бол энэ нь бүр ч хялбар болно:

2х 2 =0,

-0.3x 2 =0

Ямар нэг зүйл дутуу байгаа ийм тэгшитгэлийг нэрлэдэг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.Энэ нь нэлээд логик юм.) Бүх тэгшитгэлд x квадрат байгааг анхаарна уу.

Дашрамд хэлэхэд яагаад Атэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэж үү? Та оронд нь орлоно Атэг.) Манай X квадрат алга болно! Тэгшитгэл нь шугаман болно. Мөн шийдэл нь огт өөр ...

Энэ бол квадрат тэгшитгэлийн бүх үндсэн төрлүүд юм. Бүрэн ба бүрэн бус.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Томъёоны дагуу, тодорхой энгийн дүрэм. Эхний шатанд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай төлөө өгөгдсөн тэгшитгэлхүргэж байна стандарт харагдах байдал, өөрөөр хэлбэл маягт руу:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол та эхний шатыг хийх шаардлагагүй.) Хамгийн гол нь бүх коэффициентийг зөв тодорхойлох, А, бТэгээд в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч. Гэхдээ түүний тухай доор дэлгэрэнгүй. Таны харж байгаагаар бид X-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Орлуулж үзье өөрийн шинж тэмдгээр! Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

А =1; б = 3; в= -4. Энд бид үүнийг бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Энэ нь маш энгийн. Юу вэ, та алдаа гаргах боломжгүй гэж бодож байна уу? За, тийм ээ, яаж ...

Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм a, b ба c. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч байна вэ?), Харин сөрөг утгыг үндсийг тооцоолох томъёонд орлуулах замаар. Энд туслах зүйл бол тодорхой тоогоор томъёоны нарийвчилсан бичлэг юм. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал үүнийг хий!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.

За, битгий залхуу бай. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно. Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.

Ийм анхааралтай бичих нь үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тийм юм шиг санагддаг. Үүнийг туршаад үзээрэй. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү?

Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой бичих шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө бие даан ажиллах болно. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны хасах зүйлтэй энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!

Гэхдээ ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлүүд арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү: Та үүнийг таньсан уу?) Тийм ээ! Энэ.

бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. a, b ба c.

Тэдгээрийг мөн ерөнхий томъёогоор шийдэж болно. Энд тэд юутай тэнцүү болохыг та зүгээр л зөв ойлгох хэрэгтэй. Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4; вА ? Энэ нь огт байхгүй! За, тийм ээ, зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Ингээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулаарайв, тэгээд бид амжилтанд хүрнэ. Хоёрдахь жишээтэй адилхан. Зөвхөн энд тэг байхгүй, А б !

-тай

Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү энгийнээр шийдэж болно. Ямар ч томьёогүйгээр. Эхний бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та X-г хаалтнаас гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.
Тэгэхээр энэ юу вэ? Мөн хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэг өгөх хоёр тэгээс өөр тоо гар!
Ажиллахгүй байна уу? Ингээд л болоо... Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Бүгд. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Аль аль нь тохиромжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь анхны тэгшитгэлд орлуулахад бид 0 = 0 зөв таних тэмдгийг олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь ерөнхий томъёог ашиглахаас хамаагүй хялбар юм. Дашрамд дурдахад, аль X нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт орох вэ - энэ нь огт хайхрамжгүй юм. Энэ нь дарааллаар бичихэд тохиромжтой, x 1 - юу нь бага ба- энэ нь илүү агуу юм.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9-ийг баруун тийш шилжүүлнэ үү. Бид авах:

9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно:

Мөн хоёр үндэс . x 1 = -3, x 2 = 3.

Бүрэн бус бүх квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд X-г оруулах, эсвэл зүгээр л тоог баруун тийш шилжүүлж, үндсийг нь гаргаж авна.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л учир нь эхний тохиолдолд та ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй X-ийн үндсийг задлах хэрэгтэй болно, хоёр дахь тохиолдолд хаалтнаас гаргах зүйл байхгүй ...

Ялгаварлан гадуурхагч. Ялгаварлах томъёо.

Шидэт үг ялгаварлагч ! Энэ үгийг сонсоогүй ахлах сургуулийн сурагч ховор байх! "Бид ялгаварлан гадуурхах замаар шийддэг" гэсэн хэллэг нь өөртөө итгэх итгэл, итгэлийг төрүүлдэг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Ашиглахад хялбар бөгөөд асуудалгүй.) Шийдвэрлэх хамгийн ерөнхий томъёог танд сануулж байна ямар чквадрат тэгшитгэл:

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн ялгаварлагчийг үсгээр тэмдэглэдэг Д. Ялгаварлах томъёо:

D = b 2 - 4ac

Мөн энэ илэрхийлэл нь юугаараа гайхалтай вэ? Яагаад тусгай нэр авах ёстой байсан бэ? Юу ялгаварлагчийн утга нь юу вэ?Эцсийн эцэст -б,эсвэл 2аэнэ томъёонд тэд тусгайлан юу ч гэж нэрлэдэггүй ... Үсэг, үсэг.

Энэ нь энд байна. Энэ томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд боломжтой ердөө гурван тохиолдол.

1. Ялгаварлагч эерэг байна.Энэ нь үндсийг нь гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Үндэс нь сайн олборлосон уу, муу уу гэдэг нь өөр асуудал. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.

2. Дискриминант нь тэг байна.Дараа нь танд нэг шийдэл байх болно. Учир нь тоологч дээр тэг нэмэх, хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил. Гэхдээ хялбаршуулсан хувилбараар ярих нь заншилтай байдаг нэг шийдэл.

3. Ялгаварлагч сөрөг байна.Сөрөг тооны квадрат язгуурыг авах боломжгүй. Өө сайн. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Үнэнийг хэлэхэд, квадрат тэгшитгэлийг энгийнээр шийдэхэд дискриминантын тухай ойлголт огт хэрэггүй. Бид коэффициентийн утгыг томъёонд орлуулж, тоолно. Тэнд бүх зүйл өөрөө тохиолддог, хоёр үндэс, нэг, аль нь ч байхгүй. Гэсэн хэдий ч мэдлэггүйгээр илүү төвөгтэй ажлуудыг шийдвэрлэхэд ялгаварлагчийн утга ба томъёодавж чадахгүй. Ялангуяа параметр бүхий тэгшитгэлд. Ийм тэгшитгэлүүд нь Улсын шалгалт ба Улсын нэгдсэн шалгалтанд зориулсан нисэх онгоц юм!)

Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхТаны санаж байсан ялгаварлагчаар дамжуулан. Эсвэл та сурсан, энэ нь бас муу биш юм.) Та хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c. Та яаж мэдэх вэ? анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг тоол. Та үүнийг ойлгосон уу түлхүүр үгЭнд - анхааралтай уу?

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж үүсдэг тэр л зүйлүүд... Үүний төлөө сүүлдээ өвдөж, гомдоодог...

Эхний уулзалт . Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхээсээ өмнө залхуу байж, стандарт хэлбэрт оруулах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүнтэй адил:

Мөн дахин, бүү яар! X квадратын өмнөх хасах нь таныг үнэхээр бухимдуулж чадна. Мартах амархан... Хасах зүйлээ хая. Яаж? Тиймээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой. Өөрийнхөө төлөө шийд.

Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой. Хоёр дахь хүлээн авалт. Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремын дагуу. Битгий ай, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байнасүүлчийн тэгшитгэл. Тэдгээр. бидний язгуур томьёог бичдэг байсан. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1 , үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Үр дүн нь чөлөөт гишүүн байх ёстой, i.e. манай тохиолдолд -2. Анхаарна уу, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн таны тэмдгээр

. Хэрэв энэ нь бүтэхгүй бол тэд аль хэдийн хаа нэгтээ залхаасан гэсэн үг юм. Алдааг хай. бХэрэв энэ нь ажиллаж байгаа бол та үндсийг нэмэх хэрэгтэй. Сүүлийн ба эцсийн шалгалт. Коэффицент нь байх ёстой -тай эсрэг бтанил. Манай тохиолдолд -1+2 = +1. Коэффицент
X-ийн өмнө байгаа нь -1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна! Энэ нь зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.

Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлийг шалгаарай! Алдаа багасах болно. Гурав дахь хүлээн авалт . Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Тэгшитгэлийг үржүүлнэнийтлэг хуваагч

, "Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Ижил хувиргалт" хичээлд тайлбарласны дагуу. Бутархайтай ажиллахад яагаад ч юм алдаа гарсаар л байдаг...

Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны хасах зүйлээр хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Тэр энд байна.

Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:

Ингээд л болоо! Шийдэх нь таашаал юм!

Ингээд сэдвийг тоймлон хүргэе.:

Практик зөвлөгөө 1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна.

2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь -1-ээр үржүүлж арилгана.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан шалгаж болно. Үүнийг хий!

Одоо бид шийдэж чадна.)

Тэгшитгэлийг шийдэх:

8х 2 - 6х + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Хариултууд (эмх замбараагүй):

Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно:
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - дурын тоо

x 1 = -3
x 2 = 3

шийдэл байхгүй

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Бүх зүйл таарч байна уу? Гайхалтай! Квадрат тэгшитгэл нь таны толгойны өвчин биш юм. Эхний гурав нь ажилласан, харин бусад нь ажилласангүй? Тэгвэл асуудал нь квадрат тэгшитгэлд биш юм. Асуудал нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудад байна. Холбоосыг хараарай, энэ нь тустай.

Бүтэхгүй байна уу? Эсвэл огт болохгүй байна уу? Дараа нь 555-р бүлэгт эдгээр бүх жишээг задалсан болно. Үзүүлсэн голшийдэл дэх алдаа. Мэдээжийн хэрэг, бид шийдэлд ижил төстэй хувиргалтыг ашиглах талаар бас ярьдаг өөр өөр тэгшитгэлүүд. Маш их тусалдаг!

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

IN орчин үеийн нийгэмХувьсагчийн квадратыг агуулсан тэгшитгэлтэй үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвар нь үйл ажиллагааны олон салбарт хэрэг болох бөгөөд шинжлэх ухаан, техникийн хөгжилд практикт өргөн хэрэглэгддэг. Үүний нотлох баримтыг далайн болон голын хөлөг онгоц, нисэх онгоц, пуужингийн загвараас харж болно. Ийм тооцоог ашиглан олон төрлийн биетүүд, түүний дотор сансрын биетүүдийн хөдөлгөөний траекторийг тодорхойлдог. Квадрат тэгшитгэлийн шийдэл бүхий жишээг зөвхөн эдийн засгийн таамаглал, барилга байгууламжийг төлөвлөх, барихад төдийгүй өдөр тутмын хамгийн энгийн нөхцөлд ашигладаг. Тэд явган аялал, спортын арга хэмжээ, дэлгүүрт худалдан авалт хийх үед болон бусад нийтлэг нөхцөл байдалд хэрэгтэй байж болно.

Илэрхийлэлийг бүрэлдэхүүн хүчин зүйл болгон хуваацгая

Тэгшитгэлийн зэрэг нь илэрхийлэлд агуулагдах хувьсагчийн зэрэглэлийн хамгийн их утгаар тодорхойлогддог. Хэрэв энэ нь 2-той тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг квадрат гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид томъёоны хэлээр ярих юм бол заасан илэрхийлэл нь хэрхэн харагдахаас үл хамааран илэрхийллийн зүүн тал нь гурван нэр томъёоноос бүрдэх үед үргэлж хэлбэрт оруулж болно. Үүнд: ax 2 (өөрөөр хэлбэл өөрийн коэффициенттэй квадрат хувьсагч), bx (коэффиценттэй квадратгүй үл мэдэгдэх) ба c (чөлөөт бүрэлдэхүүн хэсэг, өөрөөр хэлбэл энгийн тоо). Баруун талд байгаа энэ бүхэн 0-тэй тэнцүү байна. Ийм олон гишүүнтэд 2-р сүхээс бусад гишүүний аль нэг нь байхгүй бол түүнийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэнэ. Ийм асуудлыг шийдэх жишээнүүдийг эхлээд олоход хялбар хувьсагчийн утгыг авч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв илэрхийлэл нь баруун талдаа хоёр гишүүнтэй, тодруулбал ax 2 ба bx мэт харагдаж байвал х-г олох хамгийн хялбар арга бол хувьсагчийг хаалтанд оруулах явдал юм. Одоо бидний тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно: x(ax+b). Дараа нь x=0, эсвэл асуудал нь дараах илэрхийллээс хувьсагч олоход ирдэг нь тодорхой болно: ax+b=0. Энэ нь үржүүлэх шинж чанаруудын нэгээр тодорхойлогддог. Дүрэмд хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь зөвхөн нэг нь тэг байвал 0 болно гэж заасан.

Жишээ

x=0 эсвэл 8x - 3 = 0

Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийн хоёр үндэсийг олж авна: 0 ба 0.375.

Энэ төрлийн тэгшитгэлүүд нь таталцлын нөлөөн дор биетүүдийн хөдөлгөөнийг тодорхойлж болох бөгөөд тэдгээр нь координатын гарал үүсэл гэж авсан тодорхой цэгээс хөдөлж эхэлсэн. Энд математикийн тэмдэглэгээ дараах хэлбэртэй байна: y = v 0 t + gt 2 /2. Шаардлагатай утгуудыг орлуулж, баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, байж болох үл мэдэгдэхийг олсноор та бие дээшлэх мөчөөс доош унах хүртэлх цаг хугацаа болон бусад олон хэмжигдэхүүнийг олж мэдэх боломжтой. Гэхдээ бид энэ талаар дараа ярих болно.

Илэрхийллийн факторинг

Дээр дурдсан дүрэм нь эдгээр асуудлыг илүү олон удаа шийдвэрлэх боломжийг олгодог хүнд хэцүү тохиолдлууд. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

X 2 - 33x + 200 = 0

Энэ квадрат гурвалжинбүрэн байна. Эхлээд илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйлээ авч үзье. Тэдгээрийн хоёр нь байна: (x-8) ба (x-25) = 0. Үүний үр дүнд бид 8 ба 25 гэсэн хоёр үндэстэй болно.

9-р ангид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүд нь энэ аргыг зөвхөн хоёр дахь төдийгүй гурав, дөрөв дэх эрэмбийн илэрхийлэлд хувьсагч олох боломжийг олгодог.

Жишээ нь: 2х 3 + 2х 2 - 18х - 18 = 0. Баруун талыг хувьсагчтай хүчин зүйлүүдэд хуваахдаа (х+1), (х-3) ба (х+) гурав байна. 3).

Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэл нь гурван үндэстэй болох нь тодорхой болно: -3; -1; 3.

Квадрат үндэс

Өөр нэг тохиолдол бүрэн бус тэгшитгэлхоёр дахь дараалал нь баруун тал нь ax 2 ба c бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүтээгдсэн байдлаар үсгийн хэлээр илэрхийлэгдсэн илэрхийлэл юм. Энд хувьсагчийн утгыг олж авахын тулд чөлөөт нэр томъёог шилжүүлнэ баруун тал, дараа нь тэгш байдлын хоёр талаас квадрат язгуурыг авна. онд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй энэ тохиолдолдИхэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр үндэс байдаг. Цорын ганц үл хамаарах зүйл нь хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байх нэр томъёог огт агуулаагүй тэгш байдал, мөн баруун тал нь сөрөг байх үеийн илэрхийллийн хувилбарууд байж болно. IN сүүлчийн тохиолдолДээрх үйлдлүүдийг үндэсээр хийх боломжгүй тул ямар ч шийдэл байхгүй. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн үндэс нь -4 ба 4 тоонууд байх болно.

Газрын талбайн тооцоо

Математикийн хөгжил гол төлөв эдгээрт байсан тул ийм төрлийн тооцоолол хийх хэрэгцээ эрт дээр үеэс үүссэн. алс холын цаг үеЭнэ нь газрын талбайн хэмжээ, периметрийг хамгийн нарийвчлалтай тодорхойлох шаардлагатай болсонтой холбоотой юм.

Ийм төрлийн бодлого дээр үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Тэгэхээр урт нь өргөнөөсөө 16 метр илүү тэгш өнцөгт газар байна гэж бодъё. Талбай нь 612 м 2 гэдгийг мэдэж байвал сайтын урт, өргөн, периметрийг олох хэрэгтэй.

Эхлэхийн тулд эхлээд шаардлагатай тэгшитгэлийг бий болгоё. Талбайн өргөнийг x-ээр тэмдэглэвэл урт нь (x+16) болно. Бичсэн зүйлээс харахад талбай нь x(x+16) илэрхийллээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь манай бодлогын нөхцлийн дагуу 612 байна. Энэ нь x(x+16) = 612 гэсэн үг юм.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь яг ийм илэрхийлэл бөгөөд ижил аргаар хийж болохгүй. Яагаад? Хэдийгээр зүүн тал нь хоёр хүчин зүйлийг агуулж байгаа ч тэдгээрийн үржвэр нь 0-тэй огт тэнцүү биш тул энд өөр өөр аргыг ашигладаг.

Ялгаварлан гадуурхагч

Юуны өмнө шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийцгээе гадаад төрхЭнэ илэрхийллийн дараах байдлаар харагдах болно: x 2 + 16x - 612 = 0. Энэ нь бид өмнө нь заасан стандартад тохирох хэлбэрээр илэрхийлэл хүлээн авсан гэсэн үг бөгөөд a=1, b=16, c=-612.

Энэ нь дискриминант ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ байж болно. Энд шаардлагатай тооцоосхемийн дагуу үйлдвэрлэгддэг: D = b 2 - 4ac. Энэхүү туслах хэмжигдэхүүн нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлд шаардлагатай хэмжигдэхүүнийг олох боломжийг олгодог төдийгүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог. боломжит сонголтууд. Хэрэв D>0 байвал тэдгээрийн хоёр нь байна; D=0 хувьд нэг үндэс байна. Д тохиолдолд<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Үндэс ба тэдгээрийн томъёоны тухай

Манай тохиолдолд дискриминант нь тэнцүү байна: 256 - 4(-612) = 2704. Энэ нь бидний асуудал хариулттай болохыг харуулж байна. Хэрэв та k-г мэддэг бол квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг дараах томъёогоор үргэлжлүүлэх ёстой. Энэ нь үндсийг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Энэ нь танилцуулсан тохиолдолд: x 1 =18, x 2 =-34 гэсэн үг юм. Энэ хүндрэлийн хоёр дахь хувилбар нь шийдэл байж чадахгүй, учир нь газрын талбайн хэмжээсийг хасах хэмжигдэхүүнээр хэмжих боломжгүй, энэ нь x (өөрөөр хэлбэл талбайн өргөн) 18 м байна гэсэн үг. Эндээс бид уртыг тооцоолно: 18 +16=34, периметр 2(34+ 18)=104(м2).

Жишээ ба даалгавар

Бид квадрат тэгшитгэлийн судалгаагаа үргэлжлүүлж байна. Тэдгээрийн хэд хэдэн жишээ, нарийвчилсан шийдлүүдийг доор өгөх болно.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Бүгдийг тэгш байдлын зүүн тал руу шилжүүлж, өөрчлөлт хийцгээе, өөрөөр хэлбэл стандарт гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрлийг авч, тэгтэй тэнцүүлэх болно.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Үүнтэй төстэй зүйлсийг нэмснээр бид ялгагчийг тодорхойлно: D = 49 - 48 = 1. Энэ нь бидний тэгшитгэл хоёр үндэстэй болно гэсэн үг юм. Дээрх томъёоны дагуу тэдгээрийг тооцоолъё, энэ нь эхнийх нь 4/3, хоёр дахь нь 1-тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

2) Одоо өөр төрлийн нууцыг тайлцгаая.

Энд x 2 - 4x + 5 = 1 үндэс байгаа эсэхийг олж мэдье? Нарийвчилсан хариултыг авахын тулд олон гишүүнтийг харгалзах ердийн хэлбэр болгон бууруулж, ялгаварлагчийг тооцоолъё. Дээрх жишээнд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагагүй, учир нь энэ нь асуудлын мөн чанар огт биш юм. Энэ тохиолдолд D = 16 - 20 = -4, энэ нь үнэхээр үндэс байхгүй гэсэн үг юм.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийг дээрх томьёо болон ялгаварлан гадуурхагчийг ашиглан квадрат язгуурыг сүүлчийнх нь утгаас авах нь тохиромжтой. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд хувьсагчийн утгыг олж авах олон арга бий. Жишээ нь: Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Тэрээр 16-р зуунд Францад амьдарч байсан бөгөөд математикийн авъяас чадвар, шүүх дэх харилцааныхаа ачаар гайхалтай карьер хийсэн хүний ​​нэрээр нэрлэгдсэн. Түүний хөргийг нийтлэлээс харж болно.

Алдарт франц хүний ​​анзаарсан загвар нь дараах байдалтай байв. Тэрээр тэгшитгэлийн язгуурууд нь тоогоор -p=b/a-д нийлдэг ба тэдгээрийн үржвэр нь q=c/a-тай тохирч байгааг нотолсон.

Одоо тодорхой ажлуудыг авч үзье.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Энгийн болгохын тулд илэрхийлэлийг өөрчилье:

x 2 + 7x - 18 = 0

Виетийн теоремыг ашиглая, энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгөх болно: язгууруудын нийлбэр нь -7, тэдгээрийн үржвэр нь -18 байна. Эндээс бид тэгшитгэлийн язгуур нь -9 ба 2 гэсэн тоонуудыг олж авна. Шалгасны дараа бид эдгээр хувьсагч утгууд нь илэрхийлэлд үнэхээр нийцэж байгаа эсэхийг шалгах болно.

Парабола график ба тэгшитгэл

Квадрат функц ба квадрат тэгшитгэлийн ойлголтууд хоорондоо нягт холбоотой. Үүний жишээг өмнө нь өгсөн. Одоо математикийн зарим оньсогонуудыг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье. Тодорхойлсон төрлийн аливаа тэгшитгэлийг нүдээр дүрсэлж болно. График хэлбэрээр зурсан ийм хамаарлыг парабола гэж нэрлэдэг. Түүний төрөл бүрийн төрлийг доорх зурагт үзүүлэв.

Аливаа парабол нь оройтой, өөрөөр хэлбэл мөчрүүд нь гарч ирдэг цэгтэй байдаг. Хэрэв a>0 бол тэдгээр нь хязгааргүйд хүрдэг бөгөөд a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Функцийн дүрслэл нь квадрат тэгшитгэлийг оролцуулан аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Энэ аргыг график гэж нэрлэдэг. Мөн x хувьсагчийн утга нь графикийн шугам 0x-тэй огтлолцох цэгүүдийн абсцисса координат юм. Оройн координатыг дөнгөж өгсөн x 0 = -b/2a томъёог ашиглан олж болно. Үүссэн утгыг функцийн анхны тэгшитгэлд орлуулснаар та y 0 буюу ординатын тэнхлэгт хамаарах параболын оройн хоёр дахь координатыг олж чадна.

Абсцисса тэнхлэгтэй параболын мөчрүүдийн огтлолцол

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх олон жишээ байдаг ч ерөнхий зүй тогтол байдаг. Тэднийг харцгаая. a>0-ийн хувьд графикийн 0x тэнхлэгтэй огтлолцох нь зөвхөн y 0-ийг авсан тохиолдолд л боломжтой болох нь ойлгомжтой. сөрөг утгууд. Мөн а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Үгүй бол Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Параболын графикаас та мөн үндсийг тодорхойлж болно. Харин ч эсрэгээрээ. Өөрөөр хэлбэл, квадрат функцийн дүрслэлийг олж авахад амаргүй бол та илэрхийллийн баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж болно. Мөн 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг мэдсэнээр график байгуулах нь илүү хялбар болно.

Түүхээс

Дөрвөлжин хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг ашиглан хуучин цагт тэд зөвхөн математик тооцоолол хийгээд зогсохгүй геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлдог байв. Эртний хүмүүст ийм тооцоолол нь физик, одон орон судлалын салбарт томоохон нээлт хийх, мөн зурхайн таамаглал гаргахад хэрэгтэй байв.

Орчин үеийн эрдэмтдийн үзэж байгаагаар Вавилоны оршин суугчид квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн анхны хүмүүсийн нэг байв. Энэ нь манай эринээс дөрвөн зууны өмнө болсон. Мэдээжийн хэрэг, тэдний тооцоо одоо хүлээн зөвшөөрөгдсөнөөс эрс өөр байсан бөгөөд илүү энгийн байсан. Жишээлбэл, Месопотамийн математикчид сөрөг тоо байдаг талаар ямар ч ойлголтгүй байсан. Тэд орчин үеийн сургуулийн сурагчдын мэддэг бусад нарийн ширийн зүйлийг мэддэггүй байв.

Магадгүй Вавилоны эрдэмтдээс ч эрт Энэтхэгийн мэргэн Баудхаяма квадрат тэгшитгэлийг шийдэж эхэлжээ. Энэ нь Христийн эрин үеэс найман зууны өмнө болсон юм. Түүний өгсөн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл, шийдвэрлэх аргууд нь хамгийн энгийн байсан нь үнэн. Түүнээс гадна Хятадын математикчид ч эртний үед үүнтэй төстэй асуултуудыг сонирхож байсан. Европт квадрат тэгшитгэлийг зөвхөн 13-р зууны эхэн үеэс шийдэж эхэлсэн боловч хожим нь Ньютон, Декарт болон бусад олон эрдэмтэд бүтээлдээ ашигласан.

Квадрат тэгшитгэлийн бодлогуудыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудад хоёуланг нь судалдаг. Эдгээр нь a*x^2 + b*x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг илэрхийлдэг х-хувьсагч, a, b, c – тогтмолууд; а<>0 . Даалгавар бол тэгшитгэлийн үндсийг олох явдал юм.

Квадрат тэгшитгэлийн геометрийн утга

Квадрат тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн функцийн график нь парабол юм. Квадрат тэгшитгэлийн шийд (язгуур) нь параболын абсцисса (х) тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм. Үүнээс үзэхэд гурван боломжит тохиолдол байдаг:
1) парабол нь абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй. Энэ нь дээд хавтгайд мөчрүүд нь дээшээ эсвэл доод мөчрүүд нь доошоо байрладаг гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй (хоёр нийлмэл язгууртай).

2) парабол нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй байна. Ийм цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг бөгөөд үүн дээрх квадрат тэгшитгэл нь түүний хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгыг олж авдаг. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай (эсвэл хоёр ижил язгууртай).

3) Сүүлийн тохиолдол нь практикт илүү сонирхолтой байдаг - абсцисса тэнхлэгтэй параболын огтлолцох хоёр цэг байдаг. Энэ нь тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуур байна гэсэн үг.

Хувьсагчдын чадлын коэффициентүүдийн дүн шинжилгээнд үндэслэн параболын байршлын талаар сонирхолтой дүгнэлт хийж болно.

1) Хэрэв коэффициент нь тэгээс их бол параболын мөчрүүд нь сөрөг байвал доош чиглэсэн байна.

2) Хэрэв b коэффициент тэгээс их байвал параболын орой нь зүүн хагас хавтгайд, хэрэв сөрөг утгатай байвал баруун хагас хавтгайд байна.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарган авах

Тогтмолыг квадрат тэгшитгэлээс шилжүүлье

тэнцүү тэмдгийн хувьд бид илэрхийллийг авна

Хоёр талыг 4а-аар үржүүлнэ

Зүүн талд бүрэн дөрвөлжин авахын тулд хоёр талдаа b^2 нэмээд хувиргалтыг хийнэ

Эндээс бид олдог

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ба үндэсийн томъёо

Дискриминант нь радикал илэрхийллийн утга юм. Хэрэв энэ нь эерэг байвал томъёогоор тооцоолсон тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэстэй байна Дискриминант нь тэг байх үед квадрат тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй (хоёр давхцах үндэстэй) бөгөөд үүнийг D=0-ийн хувьд дээрх томьёогоор хялбархан гаргаж авч болно. Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг цогцолбор хавтгайд олдог бөгөөд тэдгээрийн утгыг томъёогоор тооцоолно.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг авч үзье, тэдгээрийн үндсэн дээр квадрат тэгшитгэл байгуулъя. Виетийн теорем нь өөрөө тэмдэглэгээнээс амархан гардаг: хэрэв бид хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлтэй бол. тэгвэл түүний язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан p коэффициенттэй тэнцүү ба тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь q чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Дээрх томъёо нь иймэрхүү харагдах болно Хэрэв сонгодог тэгшитгэлийн тогтмол а нь тэгээс өөр байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь хувааж, дараа нь Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн хуваарь

Даалгаврыг өгье: квадрат тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр тооц. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тэгшитгэлийг шийднэ (үндсийг ол). Дараа нь бид олсон үндсийг квадрат тэгшитгэлийн өргөтгөлийн томъёонд орлуулж, асуудлыг шийднэ.

Квадрат тэгшитгэлийн бодлого

Даалгавар 1. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол

x^2-26x+120=0 .

Шийдэл: Коэффицентүүдийг бичиж, ялгах томьёонд орлуулна уу

Энэ утгын язгуур нь 14, үүнийг тооцоолуур ашиглан олоход хялбар, эсвэл байнга хэрэглэхэд санахад хялбар байдаг, гэхдээ ая тухтай байлгах үүднээс өгүүллийн төгсгөлд би танд ихэвчлэн таарч болох тоонуудын квадратуудын жагсаалтыг өгөх болно. ийм асуудлууд.
Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулна

мөн бид авдаг

Даалгавар 2. Тэгшитгэлийг шийд

2x 2 +x-3=0.

Шийдэл: Бид бүрэн квадрат тэгшитгэлтэй болж, коэффициентүүдийг бичиж, ялгагчийг ол


Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олно

Даалгавар 3. Тэгшитгэлийг шийд

9х 2 -12х+4=0.

Шийдэл: Бидэнд бүрэн квадрат тэгшитгэл байна. Ялгаварлагчийг тодорхойлох

Бид үндэс нь давхцаж байгаа тохиолдол гарсан. Томъёог ашиглан үндэсийн утгыг ол

Даалгавар 4. Тэгшитгэлийг шийд

x^2+x-6=0 .

Шийдэл: x-ийн коэффициент бага байгаа тохиолдолд Виетийн теоремыг ашиглахыг зөвлөж байна. Үүний нөхцлөөр бид хоёр тэгшитгэлийг олж авна

Хоёрдахь нөхцлөөс бид бүтээгдэхүүн нь -6-тай тэнцүү байх ёстойг олж мэдэв. Энэ нь нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Бидэнд дараах боломжит хос шийдлүүд байна (-3;2), (3;-2) . Эхний нөхцлийг харгалзан бид хоёр дахь хос шийдлээс татгалздаг.
Тэгшитгэлийн үндэс нь тэнцүү байна

Бодлого 5. Тэгш өнцөгтийн периметр нь 18 см, талбай нь 77 см 2 бол түүний талуудын уртыг ол.

Шийдэл: Тэгш өнцөгтийн периметрийн хагас нь түүний хажуугийн талуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. x-г том тал гэж тэмдэглэе, тэгвэл 18-x нь түүний жижиг тал болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь эдгээр уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
x(18-x)=77;
эсвэл
x 2 -18x+77=0.
Тэгшитгэлийн дискриминантыг олъё

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох

Хэрэв x=11,Тэр 18 = 7 ,эсрэгээр нь бас үнэн (х=7 бол 21-ийн=9).

Бодлого 6. 10х 2 -11х+3=0 квадрат тэгшитгэлийг үржүүл.

Шийдэл: Тэгшитгэлийн язгуурыг бодъё, үүний тулд бид ялгаварлагчийг олно

Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулж, тооцоолно

Бид квадрат тэгшитгэлийг язгуураар задлах томъёог ашигладаг

Хаалтуудыг нээснээр бид таних тэмдгийг олж авна.

Параметртэй квадрат тэгшитгэл

Жишээ 1. Ямар параметрийн утгууд дээр А,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 тэгшитгэл нэг үндэстэй юу?

Шийдэл: a=3 утгыг шууд орлуулснаар энэ нь шийдэлгүй болохыг харж байна. Дараа нь бид тэг дискриминанттай тэгшитгэл нь үржвэрийн 2-ын нэг язгууртай болохыг ашиглах болно. Ялгаварлагчийг бичье

Үүнийг хялбарчилж, тэгтэй тэнцүүлье

Бид a параметртэй холбоотой квадрат тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд үүний шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан олж авах боломжтой. Үндэсний нийлбэр нь 7, үржвэр нь 12 байна. Энгийн хайлтаар бид 3,4 тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болно гэдгийг тогтооно. Тооцооллын эхэнд бид a=3 шийдлийг аль хэдийн татгалзсан тул цорын ганц зөв шийдэл нь - a=4.Иймд a=4 үед тэгшитгэл нэг үндэстэй байна.

Жишээ 2. Ямар параметрийн утгууд дээр А,тэгшитгэл a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0нэгээс олон үндэстэй юу?

Шийдэл: Эхлээд ганц цэгүүдийг авч үзье, тэдгээр нь a=0 ба a=-3 утгууд байх болно. a=0 үед тэгшитгэлийг 6x-9=0 хэлбэрт хялбаршуулна; x=3/2 ба нэг үндэс байх болно. a= -3-ын хувьд бид 0=0 ижил төстэй байдлыг олж авна.
Дискриминантыг тооцоолъё

эерэг байх а-ийн утгыг ол

Эхний нөхцлөөс бид a>3 авна. Хоёрдугаарт бид тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба язгуурыг олно


Функц эерэг утгыг авах интервалуудыг тодорхойлъё. a=0 цэгийг орлуулснаар бид олж авна 3>0 . Тэгэхээр (-3;1/3) интервалаас гадуур функц сөрөг байна. Гол санааг бүү мартаарай a=0,Анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай тул үүнийг хасах хэрэгтэй.
Үүний үр дүнд бид асуудлын нөхцөлийг хангасан хоёр интервалыг олж авдаг

Практикт ижил төстэй олон даалгавар байх болно, даалгавраа өөрөө тодорхойлохыг хичээ, бие биенээ үгүйсгэдэг нөхцөлүүдийг анхаарч үзэхээ бүү мартаарай. Төрөл бүрийн асуудал, шинжлэх ухааны тооцоололд ихэвчлэн шаардлагатай байдаг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог сайтар судлах;