Pravzaprav sta formuli (1) in (2) kratek zapis pogojne verjetnosti, ki temelji na kontingenčni tabeli značilnosti. Vrnimo se k obravnavanemu primeru (slika 1). Recimo, da izvemo, da družina namerava kupiti širokozaslonski televizor. Kakšna je verjetnost, da bo ta družina dejansko kupila tak televizor?
riž. 1. Nakupno vedenje pri širokozaslonskem televizorju
IN v tem primeru izračunati moramo pogojno verjetnost P (nakup opravljen | nakup načrtovan). Ker vemo, da družina načrtuje nakup, vzorčnega prostora ne sestavlja vseh 1000 družin, ampak samo tiste, ki načrtujejo nakup širokozaslonskega televizorja. Od 250 takih družin jih je 200 dejansko kupilo ta televizor. Zato je verjetnost, da bo družina dejansko kupila širokozaslonski televizor, če je to načrtovala, mogoče izračunati z naslednjo formulo:
P (nakup opravljen | načrtovan nakup) = število družin, ki so načrtovale in kupile TV s širokim zaslonom / število družin, ki nameravajo kupiti TV s širokim zaslonom = 200 / 250 = 0,8
Formula (2) daje enak rezultat:
kje je dogodek A je, da družina načrtuje nakup širokozaslonskega televizorja, dogodek pa IN- da ga bo dejansko kupila. Če nadomestimo dejanske podatke v formulo, dobimo:
Odločitveno drevo
Na sl. 1 družine so razdeljene v štiri kategorije: tiste, ki so nameravale kupiti širokozaslonski televizor, in tiste, ki ga niso, ter tiste, ki so tak televizor kupile, in tiste, ki ga niso. Podobno klasifikacijo lahko izvedemo z uporabo odločitvenega drevesa (slika 2). Drevo, prikazano na sl. 2 ima dve veji, ki ustrezata družinam, ki so nameravale kupiti širokozaslonski televizor, in družinam, ki tega niso nameravale kupiti. Vsaka od teh vej se razdeli na dve dodatni veji, ki ustrezata gospodinjstvom, ki so kupila in niso kupila širokozaslonski TV. Verjetnosti, zapisane na koncih obeh glavnih vej, so brezpogojne verjetnosti dogodkov A in a'. Verjetnosti, zapisane na koncih štirih dodatnih vej, so pogojne verjetnosti vsake kombinacije dogodkov A in IN. Pogojne verjetnosti se izračunajo tako, da se skupna verjetnost dogodkov deli z ustrezno brezpogojno verjetnostjo vsakega od njih.
riž. 2. Odločitveno drevo
Na primer, za izračun verjetnosti, da bo družina kupila širokozaslonski televizor, če je to načrtovala, je treba določiti verjetnost dogodka nakup načrtovan in zaključen, nato pa ga delite z verjetnostjo dogodka načrtovan nakup. Premikanje po drevesu odločanja, prikazanem na sl. 2, dobimo naslednji (podoben prejšnjemu) odgovor:
Statistična neodvisnost
V primeru nakupa širokozaslonskega televizorja je verjetnost, da je naključno izbrana družina kupila širokozaslonski televizor glede na to, da je to načrtovala, 200/250 = 0,8. Spomnimo se, da je brezpogojna verjetnost, da je naključno izbrana družina kupila TV s širokim zaslonom, 300/1000 = 0,3. To vodi do zelo pomembnega zaključka. Predhodna informacija, da je družina načrtovala nakup, vpliva na verjetnost samega nakupa. Z drugimi besedami, ta dva dogodka sta odvisna drug od drugega. V nasprotju s tem primerom obstajajo statistično neodvisni dogodki, katerih verjetnosti niso odvisne ena od druge. Statistična neodvisnost je izražena z identiteto: P(A|B) = P(A), Kje P(A|B)- verjetnost dogodka A pod pogojem, da se je dogodek zgodil IN, P(A)- brezpogojna verjetnost dogodka A.
Upoštevajte, da dogodki A in IN P(A|B) = P(A). Če je v kontingenčni tabeli značilnosti velikosti 2×2 ta pogoj izpolnjen za vsaj eno kombinacijo dogodkov A in IN, bo veljal za katero koli drugo kombinacijo. V našem primeru dogodkov načrtovan nakup in nakup zaključen niso statistično neodvisni, ker informacije o enem dogodku vplivajo na verjetnost drugega.
Oglejmo si primer, ki prikazuje, kako preizkusiti statistično neodvisnost dveh dogodkov. Vprašajmo 300 družin, ki so kupile širokozaslonski televizor, ali so bile z nakupom zadovoljne (slika 3). Ugotovite, ali sta stopnja zadovoljstva z nakupom in vrsta televizorja povezani.
riž. 3. Podatki, ki označujejo stopnjo zadovoljstva kupcev širokozaslonskih televizorjev
Sodeč po teh podatkih,
Ob istem času,
P (stranka zadovoljna) = 240 / 300 = 0,80
Zato sta verjetnosti, da je kupec zadovoljen z nakupom in da je družina kupila HDTV, enaki, ti dogodki pa so statistično neodvisni, saj niso v nobeni povezavi.
Pravilo množenja verjetnosti
Formula za izračun pogojne verjetnosti vam omogoča, da določite verjetnost skupnega dogodka A in B. Po razrešitvi formule (1)
glede na skupno verjetnost P(A in B), dobimo splošno pravilo za množenje verjetnosti. Verjetnost dogodka A in B enaka verjetnosti dogodka A pod pogojem, da se dogodek zgodi IN IN:
(3) P(A in B) = P(A|B) * P(B)
Vzemimo za primer 80 družin, ki so kupile širokozaslonski HDTV televizor (slika 3). Iz tabele je razvidno, da je 64 družin z nakupom zadovoljnih, 16 pa ne. Predpostavimo, da sta izmed njih naključno izbrani dve družini. Določite verjetnost, da bosta obe stranki zadovoljni. Z uporabo formule (3) dobimo:
P(A in B) = P(A|B) * P(B)
kje je dogodek A je, da je druga družina zadovoljna z nakupom in dogodkom IN- da je prva družina zadovoljna z nakupom. Verjetnost, da je prva družina zadovoljna s svojim nakupom, je 64/80. Verjetnost, da je tudi druga družina zadovoljna z nakupom, pa je odvisna od odziva prve družine. Če se prva družina po anketi ne vrne v vzorec (izbor brez vrnitve), se število anketiranih zmanjša na 79. Če je prva družina zadovoljna z nakupom, je verjetnost, da bo zadovoljna tudi druga družina, 63 /79, saj jih je v vzorčnih družinah le še 63 zadovoljnih z nakupom. Tako, če nadomestimo določene podatke v formulo (3), dobimo naslednji odgovor:
P(A in B) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Zato je verjetnost, da sta obe družini zadovoljni s svojimi nakupi, 63,8 %.
Recimo, da se po raziskavi prva družina vrne v vzorec. Določite verjetnost, da bosta obe družini zadovoljni s svojim nakupom. V tem primeru je verjetnost, da sta obe družini zadovoljni s svojim nakupom, enaka in znaša 64/80. Zato je P(A in B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Tako je verjetnost, da sta obe družini zadovoljni s svojimi nakupi, 64,0 %. Ta primer kaže, da izbira druge družine ni odvisna od izbire prve. Tako zamenjava pogojne verjetnosti v formuli (3) P(A|B) verjetnost P(A), dobimo formulo za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov.
Pravilo za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov.Če dogodki A in IN so statistično neodvisni, verjetnost dogodka A in B enaka verjetnosti dogodka A, pomnoženo z verjetnostjo dogodka IN.
(4) P(A in B) = P(A)P(B)
Če to pravilo velja za dogodke A in IN, kar pomeni, da so statistično neodvisni. Tako obstajata dva načina za določitev statistične neodvisnosti dveh dogodkov:
- Dogodki A in IN so statistično neodvisni drug od drugega, če in samo če P(A|B) = P(A).
- Dogodki A in B so statistično neodvisni drug od drugega, če in samo če P(A in B) = P(A)P(B).
Če je v tabeli nepredvidljivih dogodkov 2x2 eden od teh pogojev izpolnjen za vsaj eno kombinacijo dogodkov A in B, bo veljal za katero koli drugo kombinacijo.
Brezpogojna verjetnost elementarnega dogodka
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
kjer se dogodki B 1, B 2, ... B k med seboj izključujejo in izčrpujejo.
Ponazorimo uporabo te formule s primerom na sliki 1. Z uporabo formule (5) dobimo:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
kje P(A)- verjetnost, da je bil nakup načrtovan, P(B 1)- verjetnost, da bo nakup opravljen, P(B 2)- verjetnost, da nakup ni opravljen.
BAYESOV TEOREM
Pogojna verjetnost dogodka upošteva podatek, da se je zgodil nek drug dogodek. Ta pristop se lahko uporablja tako za izboljšanje verjetnosti ob upoštevanju na novo prejetih informacij kot za izračun verjetnosti, da je opazovani učinek posledica določenega vzroka. Postopek za izboljšanje teh verjetnosti se imenuje Bayesov izrek. Prvi ga je razvil Thomas Bayes v 18. stoletju.
Predpostavimo, da zgoraj omenjeno podjetje raziskuje trg za nov model televizorja. V preteklosti je bilo 40 % televizorjev, ki jih je ustvarilo podjetje, uspešnih, medtem ko 60 % modelov ni bilo priznanih. Preden objavijo izdajo novega modela, strokovnjaki za trženje skrbno raziščejo trg in zabeležijo povpraševanje. V preteklosti je bilo 80 % uspešnih modelov napovedanih za uspešne, medtem ko se je 30 % uspešnih napovedi izkazalo za napačnih. Tržni oddelek je dal ugodno napoved za novi model. Kakšna je verjetnost, da bo povpraševanje po novem modelu televizorja?
Bayesov izrek lahko izpeljemo iz definicij pogojne verjetnosti (1) in (2). Za izračun verjetnosti P(B|A) vzemite formulo (2):
in namesto P(A in B) nadomestimo vrednost iz formule (3):
P(A in B) = P(A|B) * P(B)
Če zamenjamo formulo (5) namesto P(A), dobimo Bayesov izrek:
kjer se dogodki B 1, B 2, ... B k med seboj izključujejo in izčrpujejo.
Vstavimo naslednji zapis: dogodek S - TV je v povpraševanju, dogodek S’ - TV ni v povpraševanju, dogodek F - ugodna prognoza, dogodek F' - slaba prognoza. Predpostavimo, da je P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Z uporabo Bayesovega izreka dobimo:
Verjetnost povpraševanja po novem modelu televizorja je ob ugodni napovedi 0,64. Tako je verjetnost pomanjkanja povpraševanja ob ugodni napovedi 1–0,64=0,36. Postopek izračuna je prikazan na sl. 4.
riž. 4. (a) Izračuni z uporabo Bayesove formule za oceno verjetnosti povpraševanja po televizorjih; (b) Odločitveno drevo pri proučevanju povpraševanja po novem modelu televizorja
Oglejmo si primer uporabe Bayesovega izreka za medicinsko diagnostiko. Verjetnost, da oseba zboli za določeno boleznijo, je 0,03. Zdravniški test lahko preveri, ali je to res. Če je oseba resnično bolna, je verjetnost pravilne diagnoze (če rečemo, da je oseba bolna, ko je res bolna) 0,9. Če je oseba zdrava, je verjetnost lažno pozitivne diagnoze (češ da je oseba bolna, ko je zdrava) 0,02. Recimo, da zdravniški test daje pozitiven rezultat. Kakšna je verjetnost, da je človek res bolan? Kakšna je verjetnost natančne diagnoze?
Vstavimo naslednji zapis: dogodek D - oseba je bolna, dogodek D’ - oseba je zdrava, dogodek T - diagnoza je pozitivna, dogodek T’ - diagnoza negativna. Iz pogojev problema izhaja, da je P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Z uporabo formule (6) dobimo:
Verjetnost, da je oseba s pozitivno diagnozo res bolna, je 0,582 (glej tudi sliko 5). Upoštevajte, da je imenovalec Bayesove formule enak verjetnosti pozitivne diagnoze, tj. 0,0464.
Teorija verjetnosti je veja matematike, ki preučuje vzorce naključnih pojavov: naključne dogodke, naključne spremenljivke, njihove lastnosti in operacije na njih.
Dolgo časa teorija verjetnosti ni imela jasne definicije. Oblikovana je bila šele leta 1929. Pojav teorije verjetnosti kot znanosti sega v srednji vek in prve poskuse matematične analize igre na srečo(met, kocka, ruleta). Francoska matematika iz 17. stoletja Blaise Pascal in Pierre Fermat sta med proučevanjem napovedi dobitkov pri igrah na srečo odkrila prve verjetnostne vzorce, ki nastanejo pri metanju kocke.
Teorija verjetnosti je nastala kot znanost iz prepričanja, da so določeni vzorci osnova množičnih naključnih dogodkov. Teorija verjetnosti preučuje te vzorce.
Teorija verjetnosti se ukvarja s proučevanjem dogodkov, katerih pojav ni znan z gotovostjo. Omogoča vam presojo stopnje verjetnosti pojava nekaterih dogodkov v primerjavi z drugimi.
Na primer: nemogoče je nedvoumno določiti rezultat »glav« ali »repov« kot rezultat metanja kovanca, pri večkratnem metanju pa se pojavi približno enako število »glav« in »repov«, kar pomeni, da verjetnost, da bodo padle "glave" ali "repi", je enaka 50%.
Test v tem primeru se imenuje izvajanje določenega nabora pogojev, to je v tem primeru met kovanca. Izziv lahko igrate neomejeno številokrat. V tem primeru nabor pogojev vključuje naključne dejavnike.
Rezultat testa je dogodek. Dogodek se zgodi:
- Zanesljivo (vedno se pojavi kot rezultat testiranja).
- Nemogoče (se nikoli ne zgodi).
- Naključno (lahko se zgodi kot rezultat testa).
Na primer, pri metanju kovanca nemogoč dogodek - kovanec bo pristal na robu, naključni dogodek - pojav "glav" ali "repov". Poseben rezultat testa se imenuje osnovni dogodek. Kot rezultat preizkusa se zgodijo le osnovni dogodki. Nabor vseh možnih, različnih, specifičnih izidov testa se imenuje prostor elementarnega dogajanja.
Osnovni koncepti teorije
Verjetnost- stopnjo možnosti nastanka dogodka. Kadar razlogi, da se neki možni dogodek dejansko zgodi, prevladajo nad nasprotnimi razlogi, potem se ta dogodek imenuje verjeten, drugače - malo verjeten ali malo verjeten.
Naključna spremenljivka- to je količina, ki lahko zaradi testiranja sprejme eno ali drugo vrednost, pri čemer ni vnaprej znano, katero. Na primer: število na gasilski dom na dan, število zadetkov z 10 streli itd.
Naključne spremenljivke lahko razdelimo v dve kategoriji.
- Diskretna naključna spremenljivka je količina, ki lahko kot rezultat testiranja z določeno verjetnostjo prevzame določene vrednosti in tvori štetni niz (nabor, katerega elemente je mogoče oštevilčiti). Ta niz je lahko končen ali neskončen. Na primer, število strelov pred prvim zadetkom v tarčo je diskretna naključna spremenljivka, ker ta količina lahko zavzame neskončno, čeprav šteto število vrednosti.
- Zvezna naključna spremenljivka je količina, ki lahko zavzame poljubno vrednost iz nekega končnega ali neskončnega intervala. Očitno je število možnih vrednosti zvezne naključne spremenljivke neskončno.
Verjetnostni prostor- koncept, ki ga je predstavil A.N. Kolmogorov v 30. letih 20. stoletja, da bi formaliziral koncept verjetnosti, kar je povzročilo hiter razvoj teorije verjetnosti kot stroge matematične discipline.
Verjetnostni prostor je trojka (včasih zaprta v oglatih oklepajih: , kjer
To je poljubna množica, katere elemente imenujemo elementarni dogodki, izidi ali točke;
- sigma algebra podmnožic, imenovanih (naključni) dogodki;
- verjetnostna mera ali verjetnost, tj. sigma-aditivna končna mera, tako da .
De Moivre-Laplaceov izrek- eden od mejnih izrekov teorije verjetnosti, ki ga je postavil Laplace leta 1812. Navaja, da je število uspehov pri ponavljanju istega naključnega poskusa znova in znova z dvema možnima izidoma približno normalno porazdeljeno. Omogoča vam iskanje približne vrednosti verjetnosti.
Če je za vsakega od neodvisnih poskusov verjetnost pojava nekega naključnega dogodka enaka () in je število poskusov, v katerih se dejansko zgodi, potem je verjetnost, da je neenakost resnična, blizu (za velike vrednosti) vrednost Laplaceovega integrala.
Porazdelitvena funkcija v teoriji verjetnosti- funkcija, ki označuje porazdelitev naključne spremenljivke ali naključnega vektorja; verjetnost, da bo naključna spremenljivka X zavzela vrednost, manjšo ali enako x, kjer je x poljubno realno število. Ob upoštevanju znanih pogojih popolnoma določi naključno spremenljivko.
Pričakovanje- povprečna vrednost naključne spremenljivke (to je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke, upoštevana v teoriji verjetnosti). V literaturi v angleškem jeziku je označena z , v ruščini - . V statistiki se pogosto uporablja zapis.
Naj sta podana verjetnostni prostor in v njem definirana naključna spremenljivka. To je po definiciji merljiva funkcija. Potem, če obstaja Lebesgueov integral nad prostorom, se to imenuje matematično pričakovanje ali srednja vrednost in je označeno z .
Varianca naključne spremenljivke- merilo razpršenosti dane naključne spremenljivke, to je njen odklon od matematičnega pričakovanja. Označen je v ruski in tuji literaturi. V statistiki se pogosto uporablja oznaka ali . Kvadratni koren variance se imenuje standardni odklon, standardni odklon ali standardni razpon.
Naj bo naključna spremenljivka definirana na nekem verjetnostnem prostoru. Potem
kjer simbol označuje matematično pričakovanje.
V teoriji verjetnosti se imenujeta dva naključna dogodka neodvisen, če pojav enega od njih ne spremeni verjetnosti pojava drugega. Podobno se kličeta dve naključni spremenljivki odvisen, če vrednost enega od njih vpliva na verjetnost vrednosti drugega.
Najpreprostejša oblika zakona velike številke je Bernoullijev izrek, ki pravi, da če je verjetnost dogodka enaka v vseh poskusih, potem ko se število poskusov poveča, se pogostost dogodka nagiba k verjetnosti dogodka in preneha biti naključna.
Zakon velikih števil v teoriji verjetnosti pravi, da je aritmetična sredina končnega vzorca iz fiksne porazdelitve blizu teoretične sredine te porazdelitve. Glede na vrsto konvergence ločimo šibki zakon velikih števil, ko pride do konvergence po verjetnosti, in močan zakon velikih števil, ko je konvergenca skoraj gotova.
Splošni pomen zakona velikih števil je, da skupno delovanje velikega števila enakih in neodvisnih naključnih dejavnikov vodi do rezultata, ki v meji ni odvisen od naključja.
Na tej lastnosti temeljijo metode za ocenjevanje verjetnosti na podlagi analize končnih vzorcev. Nazoren primer je napoved volilnih rezultatov na podlagi ankete na vzorcu volivcev.
Centralni mejni izreki- razred izrekov v teoriji verjetnosti, ki trdijo, da je vsota zadostna velika količinašibko odvisne naključne spremenljivke, ki imajo približno enake lestvice (noben člen ne dominira ali odločilno prispeva k vsoti), ima porazdelitev blizu normalne.
Ker se številne naključne spremenljivke v aplikacijah oblikujejo pod vplivom več šibko odvisnih naključnih dejavnikov, se njihova porazdelitev šteje za normalno. V tem primeru mora biti izpolnjen pogoj, da noben od dejavnikov ni prevladujoč. Centralni mejni izreki v teh primerih upravičujejo uporabo normalne porazdelitve.
V ekonomiji, tako kot na drugih področjih človekovega delovanja ali v naravi, imamo nenehno opravka z dogodki, ki jih ni mogoče natančno predvideti. Obseg prodaje izdelka je torej odvisen od povpraševanja, ki je lahko zelo različno, in od vrste drugih dejavnikov, ki jih je skoraj nemogoče upoštevati. Zato je treba pri organizaciji proizvodnje in izvajanju prodaje napovedati izid tovrstnih aktivnosti na podlagi bodisi lastnih predhodnih izkušenj bodisi podobnih izkušenj drugih ljudi ali pa intuicije, ki se v veliki meri opira tudi na eksperimentalne podatke.
Da bi zadevni dogodek nekako ovrednotili, je treba upoštevati oziroma posebej organizirati pogoje, v katerih je ta dogodek zabeležen.
Imenuje se izvajanje določenih pogojev ali dejanj za identifikacijo zadevnega dogodka izkušnje oz poskus.
Dogodek se imenuje naključno, če se zaradi izkušenj lahko pojavi ali ne.
Dogodek se imenuje zanesljiv, če se nujno pojavi kot posledica dane izkušnje, in nemogoče, če se ne more pojaviti v tej izkušnji.
Na primer, sneženje v Moskvi 30. novembra je naključen dogodek. Dnevni sončni vzhod lahko štejemo za zanesljiv dogodek. Sneženje na ekvatorju lahko štejemo za nemogoč dogodek.
Ena glavnih nalog v teoriji verjetnosti je naloga določitve kvantitativne mere možnosti, da se dogodek zgodi.
Algebra dogodkov
Dogodki se imenujejo nekompatibilni, če jih ni mogoče opazovati skupaj v isti izkušnji. Tako sta prisotnost dveh in treh avtomobilov v eni trgovini za prodajo hkrati dva nezdružljiva dogodka.
Znesek dogodki so dogodki, ki sestojijo iz pojava vsaj enega od teh dogodkov
Primer vsote dogodkov je prisotnost vsaj enega od dveh izdelkov v trgovini.
delo dogodki so dogodki, sestavljeni iz hkratnega pojava vseh teh dogodkov
Dogodek, ki ga sestavlja pojav dveh izdelkov v trgovini hkrati, je produkt dogodkov: - pojav enega izdelka, - pojav drugega izdelka.
Obrazec dogodkov polna skupina dogodke, če se bo vsaj eden od njih zagotovo zgodil v izkušnji.
Primer. Pristanišče ima dva priveza za sprejem ladij. Upoštevajo se trije dogodki: - odsotnost ladij na privezih, - prisotnost ene ladje na enem od privezov, - prisotnost dveh ladij na dveh privezih. Ti trije dogodki tvorijo popolno skupino dogodkov.
Nasproti imenujemo dva edinstvena možna dogodka, ki tvorita popolno skupino.
Če je eden od dogodkov, ki je nasproten, označen z , potem je nasprotni dogodek običajno označen z .
Klasične in statistične definicije verjetnosti dogodka
Vsak od enako možnih rezultatov testov (eksperimentov) se imenuje elementarni izid. Običajno so označeni s črkami. Na primer, vržena je kocka. Glede na število točk na straneh je lahko skupaj šest osnovnih izidov.
Iz osnovnih rezultatov lahko ustvarite bolj zapleten dogodek. Tako je dogodek sodega števila točk določen s tremi izidi: 2, 4, 6.
Kvantitativno merilo možnosti nastanka zadevnega dogodka je verjetnost.
Najpogosteje uporabljene definicije verjetnosti dogodka so: klasična in statistični.
Klasična definicija verjetnosti je povezana s konceptom ugodnega izida.
Izid se imenuje ugodno danemu dogodku, če njegov pojav povzroči pojav tega dogodka.
V navedenem primeru je zadevni dogodek sodo število točk na izpadli strani ima tri ugodne izide. V tem primeru general
število možnih rezultatov. To pomeni, da tukaj lahko uporabimo klasično definicijo verjetnosti dogodka.
Klasična definicija je enako razmerju med številom ugodnih izidov in skupno število možni rezultati
kjer je verjetnost dogodka, je število izidov, ki so ugodni za dogodek, je skupno število možnih izidov.
V obravnavanem primeru
Statistična definicija verjetnosti je povezana s konceptom relativne pogostosti pojavljanja dogodka v poskusih.
Relativno pogostost pojavljanja dogodka izračunamo po formuli
kjer je število pojavitev dogodka v nizu eksperimentov (testov).
Statistična definicija. Verjetnost dogodka je število, okoli katerega se relativna frekvenca stabilizira (nastavi) z neomejenim povečevanjem števila poskusov.
V praktičnih problemih je verjetnost dogodka relativno frekvenca pri zadostni meri veliko število testi.
Iz teh definicij verjetnosti dogodka je jasno, da je neenakost vedno izpolnjena
Za določitev verjetnosti dogodka na podlagi formule (1.1) se pogosto uporabljajo kombinatorične formule, s katerimi se ugotovi število ugodnih izidov in skupno število možnih izidov.
kot ontološka kategorija odraža obseg možnosti nastanka katere koli entitete pod kakršnimi koli pogoji. V nasprotju z matematično in logično razlago tega pojma se ontološka matematika ne povezuje z obveznostjo kvantitativnega izražanja. Pomen V. se razkriva v kontekstu razumevanja determinizma in narave razvoja nasploh.
Odlična definicija
VERJETNOST
koncept, ki označuje količine. merilo možnosti nastopa določenega dogodka ob določenem pogojev. V znanstvenem znanja obstajajo tri razlage V. Klasični koncept V., ki je nastal iz matemat. analiza iger na srečo, ki so jo najbolj celovito razvili B. Pascal, J. Bernoulli in P. Laplace, obravnava zmago kot razmerje med številom ugodnih primerov in skupnim številom vseh enako možnih. Na primer, pri metanju kocke, ki ima 6 strani, lahko pričakujemo, da bo vsaka pristala z vrednostjo 1/6, saj nobena stran nima prednosti pred drugo. Takšna simetrija eksperimentalnih izidov se posebej upošteva pri organizaciji iger, vendar je razmeroma redka pri proučevanju objektivnih dogodkov v znanosti in praksi. Klasična V.-ova interpretacija se je umaknila statističnim. V.-ove koncepte, ki temeljijo na dejan opazovanje nastanka določenega dogodka v daljšem časovnem obdobju. izkušnje pod točno določenimi pogoji. Praksa potrjuje, da pogosteje ko se zgodi dogodek, tem več diplome objektivna možnost njenega nastanka, oziroma B. Zato statistično. V.-jeva interpretacija temelji na konceptu odnosov. frekvenco, ki jo lahko določimo eksperimentalno. V. kot teoretična koncept nikoli ne sovpada z empirično določeno frekvenco, vendar v množini. V primerih se praktično malo razlikuje od relativnega. pogostost, ugotovljena kot rezultat trajanja. opazovanja. Številni statistiki menijo, da je V. »dvojnik«. frekvence, so robovi določeni statistično. študija rezultatov opazovanja
ali poskusi. Manj realistična je bila definicija V. kot meja. frekvence množičnih dogodkov ali skupin, ki jih je predlagal R. Mises. Kot nadaljnji razvoj Frekvenčni pristop k V. postavlja dispozicijsko ali propenzitivno razlago V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Po tej razlagi V. označuje lastnost generiranja pogojev, npr. poskus. naprave za pridobitev zaporedja množičnih naključnih dogodkov. Prav ta odnos poraja telesno dispozicije ali predispozicije, V. ki jih lahko preverimo s pomočjo sorodnikov. pogostost
Statistični Razlaga V. prevladuje v znanstvenih raziskavah. spoznanje, saj odseva specifične. narava vzorcev, ki so lastni množičnim pojavom naključne narave. V številnih fizičnih, bioloških, ekonomskih, demografskih. in drugih družbenih procesov, je treba upoštevati delovanje številnih naključnih dejavnikov, za katere je značilna stabilna frekvenca. Prepoznavanje teh stabilnih frekvenc in količin. njeno ocenjevanje s pomočjo V. omogoča razkrivanje nujnosti, ki si utira pot skozi kumulativno delovanje številnih nesreč. Tu se manifestira dialektika spreminjanja naključja v nujnost (glej F. Engels, v knjigi: K. Marx in F. Engels, Dela, zv. 20, str. 535-36).
Logično ali induktivno sklepanje označuje razmerje med premisami in zaključkom nedemonstrativnega in zlasti induktivnega sklepanja. Za razliko od dedukcije premise indukcije ne zagotavljajo resničnosti zaključka, ampak ga le naredijo bolj ali manj verjetnega. To verodostojnost z natančno oblikovanimi premisami lahko včasih ocenimo z V. Vrednost tega V. največkrat ugotavljamo s primerjavo. pojmov (več kot, manj kot ali enako) in včasih na številski način. Logično interpretacija se pogosto uporablja za analizo induktivnega sklepanja in konstruiranje različnih sistemov verjetnostne logike (R. Carnap, R. Jeffrey). V semantiki logični pojmi V. je pogosto definiran kot stopnja, do katere je ena izjava potrjena z drugimi (na primer hipoteza s svojimi empiričnimi podatki).
V povezavi z razvojem teorij odločanja in iger, t.i personalistična interpretacija V. Čeprav V. hkrati izraža stopnjo vere subjekta in nastop določenega dogodka, morajo biti V. sami izbrani tako, da so zadoščeni aksiomom računa V. Zato V. s tako razlago izraža ne toliko stopnjo subjektivne, temveč bolj razumne vere. Posledično bodo odločitve, sprejete na podlagi takšnega V., racionalne, ker ne upoštevajo psiholoških dejavnikov. značilnosti in nagnjenja subjekta.
Z epistemološkim t.zr. razlika med statističnim, logičnim. in personalistične interpretacije V. je, da če prva označuje objektivne lastnosti in razmerja množičnih pojavov naključne narave, potem zadnja dva analizirata značilnosti subjektivnega, spoznavnega. človekove dejavnosti v pogojih negotovosti.
VERJETNOST
eden od najpomembnejši pojmi znanost, ki označuje posebno sistemsko vizijo sveta, njegovo strukturo, razvoj in znanje. Specifičnost verjetnostnega pogleda na svet se razkriva skozi vključitev v število osnovni pojmi obstoj konceptov naključnosti, neodvisnosti in hierarhije (ideje o nivojih v strukturi in določitvi sistemov).
Predstave o verjetnosti so nastale že v antiki in so bile povezane z značilnostmi našega znanja, pri čemer je bil priznan obstoj verjetnostnega znanja, ki se razlikuje od zanesljivega znanja in od lažnega znanja. Vpliv ideje o verjetnosti na znanstveno razmišljanje in na razvoj znanja je neposredno povezan z razvojem teorije verjetnosti kot matematične discipline. Izvor matematične doktrine verjetnosti sega v 17. stoletje, ko je razvoj jedra konceptov omogočal. kvantitativne (numerične) značilnosti in izražanje verjetnostne ideje.
Intenzivne aplikacije verjetnosti za razvoj kognicije se pojavljajo v 2. pol. 19 - 1. nadstropje 20. stoletje Verjetnost je vstopila v strukture temeljnih ved o naravi, kot so klasična statistična fizika, genetika, kvantna teorija in kibernetika (teorija informacij). V skladu s tem verjetnost pooseblja tisto stopnjo v razvoju znanosti, ki je danes opredeljena kot neklasična znanost. Da bi razkrili novost in značilnosti verjetnostnega načina razmišljanja, je treba izhajati iz analize predmeta teorije verjetnosti in temeljev njenih številnih aplikacij. Teorija verjetnosti je običajno definirana kot matematična disciplina, ki preučuje vzorce množičnih naključnih pojavov pod določenimi pogoji. Naključnost pomeni, da v okviru množičnosti obstoj posameznega elementarnega pojava ni odvisen in ni določen z obstojem drugih pojavov. Hkrati ima sama množična narava pojava stabilno strukturo in vsebuje določene pravilnosti. Masovni pojav je precej strogo razdeljen na podsisteme, relativno število elementarnih pojavov v vsakem od podsistemov (relativna frekvenca) pa je zelo stabilno. Ta stabilnost se primerja z verjetnostjo. Masovni pojav kot celoto je označen z verjetnostno porazdelitvijo, to je z določitvijo podsistemov in njihovih ustreznih verjetnosti. Jezik teorije verjetnosti je jezik verjetnostnih porazdelitev. V skladu s tem je teorija verjetnosti opredeljena kot abstraktna znanost o delovanju s porazdelitvami.
Verjetnost je v znanosti spodbudila ideje o statističnih vzorcih in statističnih sistemih. Zadnja esenca sisteme, oblikovane iz neodvisnih ali kvazi neodvisnih entitet, je njihova struktura označena z verjetnostnimi porazdelitvami. Toda kako je mogoče oblikovati sisteme iz neodvisnih entitet? Običajno se predpostavlja, da je za nastanek sistemov z integralnimi značilnostmi potrebno, da med njihovimi elementi obstajajo dovolj stabilne povezave, ki sisteme cementirajo. Stabilnost statističnih sistemov daje prisotnost zunanjih pogojev, zunanjega okolja, zunanjega in ne notranje sile. Sama definicija verjetnosti vedno temelji na postavitvi pogojev za nastanek začetnega množičnega pojava. Druga pomembna ideja, ki označuje verjetnostno paradigmo, je ideja hierarhije (podrejenosti). Ta ideja izraža razmerje med značilnostmi posameznih elementov in integralnimi značilnostmi sistemov: slednji so tako rekoč zgrajeni nad prvimi.
Pomen verjetnostnih metod v spoznavanju je v tem, da omogočajo preučevanje in teoretično izražanje vzorcev strukture in obnašanja objektov in sistemov, ki imajo hierarhično, "dvonivojsko" strukturo.
Analiza narave verjetnosti temelji na njeni pogostosti, statistični interpretaciji. Hkrati zelo dolgo časa V znanosti je prevladovalo takšno razumevanje verjetnosti, ki so ga imenovali logična oziroma induktivna verjetnost. Logično verjetnost zanimajo vprašanja veljavnosti ločene, individualne sodbe pod določenimi pogoji. Ali je možno kvantitativno ovrednotiti stopnjo potrjenosti (zanesljivosti, resničnosti) induktivnega sklepa (hipotetičnega sklepa)? Med razvojem teorije verjetnosti so se o takšnih vprašanjih večkrat razpravljalo in začeli so govoriti o stopnjah potrditve hipotetičnih zaključkov. Ta mera verjetnosti je določena z razpoložljivimi ta oseba informacije, njegove izkušnje, poglede na svet in psihološko miselnost. V vseh podobnih primerih velikost verjetnosti ni podvržena strogim meritvam in je praktično izven pristojnosti teorije verjetnosti kot dosledne matematične discipline.
Objektivna, pogostna interpretacija verjetnosti se je v znanosti uveljavila s precejšnjimi težavami. Sprva je na razumevanje narave verjetnosti vplivalo močan vpliv tista filozofska in metodološka stališča, ki so bila značilna za klasično znanost. Zgodovinsko gledano se je razvoj verjetnostnih metod v fiziki zgodil pod odločilnim vplivom idej mehanike: statistični sistemi so bili interpretirani preprosto kot mehanski. Ker ustreznih problemov niso rešili s strogimi metodami mehanike, so se pojavile trditve, da je obračanje k verjetnostnim metodam in statističnim zakonom posledica nepopolnosti našega znanja. V zgodovini razvoja klasične statistične fizike je bilo veliko poskusov, da bi jo utemeljili na podlagi klasične mehanike, vendar vsi niso uspeli. Osnova verjetnosti je, da izraža strukturne značilnosti določenega razreda sistemov, razen mehanskih sistemov: za stanje elementov teh sistemov je značilna nestabilnost in posebna (ki je ni mogoče reducirati na mehaniko) narava interakcij.
Vstop verjetnosti v znanje vodi v zanikanje koncepta trdega determinizma, v zanikanje osnovnega modela bivanja in vednosti, ki se je razvil v procesu nastajanja klasične znanosti. Osnovni modeli, ki jih predstavljajo statistične teorije, imajo drugačno, več splošni značaj: To vključuje ideje o naključnosti in neodvisnosti. Ideja verjetnosti je povezana z razkritjem notranje dinamike predmetov in sistemov, ki je ni mogoče v celoti določiti z zunanjimi pogoji in okoliščinami.
Koncept verjetnostne vizije sveta, ki temelji na absolutizaciji idej o neodvisnosti (kot pred paradigmo rigidne determiniranosti), je zdaj pokazal svoje omejitve, kar najmočneje vpliva na tranzicijo moderna znanost do analitičnih metod za preučevanje kompleksnih sistemov ter fizikalnih in matematičnih temeljev pojavov samoorganizacije.
Odlična definicija
Nepopolna definicija ↓
Verjetnost dogodek je razmerje med številom osnovnih izidov, ki so ugodni za določen dogodek, in številom vseh enako možnih izidov izkušnje, v kateri se ta dogodek lahko pojavi. Verjetnost dogodka A je označena s P(A) (tu je P prva črka francoska beseda probabilite – verjetnost). Po definiciji
(1.2.1)
kjer je število osnovnih izidov, ugodnih za dogodek A; - število vseh enako možnih elementarnih rezultatov eksperimenta, ki tvorijo popolno skupino dogodkov.
Ta definicija verjetnosti se imenuje klasična. Nastalo je na začetni fazi razvoj teorije verjetnosti.
Verjetnost dogodka ima naslednje lastnosti:
1. Verjetnost zanesljivega dogodka je enaka ena. Zanesljiv dogodek označimo s črko . Za določen dogodek torej
(1.2.2)
2. Verjetnost nemogočega dogodka je enaka nič. Nemogoč dogodek označimo s črko . Za nemogoč dogodek torej
(1.2.3)
3. Verjetnost naključnega dogodka je izražena kot pozitivno število, manjše od ena. Ker so za naključni dogodek izpolnjene neenakosti , ali , torej
(1.2.4)
4. Verjetnost katerega koli dogodka zadošča neenakosti
(1.2.5)
To izhaja iz razmerij (1.2.2) - (1.2.4).
Primer 1.Žara vsebuje 10 kroglic enake velikosti in teže, od tega 4 rdeče in 6 modrih. Iz žare se izvleče ena krogla. Kolikšna je verjetnost, da bo izvlečena kroglica modra?
rešitev. Dogodek »izvlečena krogla se je izkazala za modro« označimo s črko A. Ta test ima 10 enako možnih elementarnih izidov, od katerih jih 6 daje prednost dogodku A. V skladu s formulo (1.2.1) dobimo 
Primer 2. Vsa naravna števila od 1 do 30 so zapisana na enake kartončke in postavljena v žaro. Po temeljitem mešanju kart se ena karta odstrani iz žare. Kakšna je verjetnost, da je številka na vzeti karti večkratnik 5?
rešitev. Označimo z A dogodek »število na vzeti karti je večkratnik števila 5«. V tem testu je 30 enako možnih osnovnih izidov, od katerih je dogodku A naklonjeno 6 izidov (števila 5, 10, 15, 20, 25, 30). torej 
Primer 3. Dve kocki se vržeta in izračuna se vsota točk na zgornjih straneh. Poiščite verjetnost dogodka B, tako da imajo zgornje strani kocke skupno 9 točk.
rešitev. V tem testu je le 6 2 = 36 enako možnih osnovnih izidov. Dogodku B dajejo prednost štirje izidi: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), torej 
Primer 4. Izbrano naključno naravno število, ki ne presega 10. Kakšna je verjetnost, da je to število praštevilo?
rešitev. Označimo s črko C dogodek »izbrano število je pra«. V tem primeru je n = 10, m = 4 ( praštevila 2, 3, 5, 7). Zato zahtevana verjetnost 
Primer 5. Vržeta se dva simetrična kovanca. Kakšna je verjetnost, da so na obeh zgornjih straneh kovancev številke?
rešitev. Označimo s črko D dogodek »na zgornji strani vsakega kovanca je številka«. V tem testu so 4 enako možni osnovni izidi: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) pomeni, da ima prvi kovanec grb, drugi številko). Dogodku D daje prednost en osnovni izid (C, C). Ker je m = 1, n = 4, potem 
Primer 6. Kolikšna je verjetnost, da ima naključno izbrano dvomestno število enaki števki?
rešitev. Dvomestna števila so števila od 10 do 99; Skupaj je 90 takih številk. Iste številke imajo 9 številk (te številke so 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Ker je v tem primeru m = 9, n = 90, potem 
,
kjer je A dogodek "število z enakimi števkami".
Primer 7. Iz črk slov diferencial Ena črka je izbrana naključno. Kolikšna je verjetnost, da bo ta črka: a) samoglasnik, b) soglasnik, c) črka h?
rešitev. Beseda razlika ima 12 črk, od tega je 5 samoglasnikov in 7 soglasnikov. Pisma h v tej besedi ni. Označimo dogodke: A - "samoglasnik", B - "soglasnik", C - "črka h". Število ugodnih elementarnih izidov: - za dogodek A, - za dogodek B, - za dogodek C. Ker je n = 12, potem
, In .
Primer 8. Dve kocki se vržeta in zabeleži se število točk na vrhu vsake kocke. Poiščite verjetnost, da obe kocki pokažeta enako število točk.
rešitev. Označimo ta dogodek s črko A. Dogodku A daje prednost 6 osnovnih izidov: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Skupno število enako možnih elementarnih izidov, ki tvorijo popolno skupino dogodkov, v tem primeru n=6 2 =36. To pomeni, da zahtevana verjetnost 
Primer 9. Knjiga ima 300 strani. Kakšna je verjetnost, da bo naključno odprta stran imela zaporedno številko deljivo s 5?
rešitev. Iz pogojev problema izhaja, da bo vseh enako možnih elementarnih izidov, ki tvorijo popolno skupino dogodkov, n = 300. Od teh je m = 60 v prid pojavu določenega dogodka. Dejansko ima število, ki je večkratnik 5, obliko 5k, kjer je k naravno število in , od koder 
. torej 
, kjer ima A – dogodek »stran« zaporedno številko, ki je večkratnik 5".
Primer 10. Dve kocki se vržeta in izračuna se vsota točk na zgornjih straneh. Kaj je bolj verjetno - dobiti skupno 7 ali 8?
rešitev. Označimo dogodke: A - "7 točk je vrženih", B - "8 točk je vrženih". Dogodku A daje prednost 6 osnovnih izidov: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) in dogodek B ima prednost s 5 izidi: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Vsi enako možni osnovni izidi so n = 6 2 = 36. Zato In .
Torej je P(A)>P(B), kar pomeni, da je skupno zbrati 7 točk bolj verjeten dogodek kot zbrati skupno 8 točk.
Naloge
1. Naključno izberemo naravno število, ki ne presega 30. Kolikšna je verjetnost, da je to število večkratnik 3?
2. V žari a rdeče in b modre kroglice, enake velikosti in teže. Kakšna je verjetnost, da bo krogla, naključno izvlečena iz te žare, modra?
3. Naključno izberemo število, ki ne presega 30? Kolikšna je verjetnost, da je to število delitelj 30?
4. V žari A modra in b rdeče kroglice, enake velikosti in teže. Ena krogla se vzame iz te žare in se postavi na stran. Ta krogla se je izkazala za rdečo. Po tem se iz žare izvleče še ena krogla. Poiščite verjetnost, da je tudi druga krogla rdeča.
5. Nacionalno število, ki ne presega 50, je izbrano naključno. Kakšna je verjetnost, da je to število praštevilo?
6. Tri kocke se vržejo in izračuna seštevek točk na zgornjih ploskvah. Kaj je bolj verjetno - dobiti skupno 9 ali 10 točk?
7. Vržejo se tri kocke in izračuna se vsota vrženih točk. Kaj je bolj verjetno - dobiti skupno 11 (dogodek A) ali 12 točk (dogodek B)?
odgovori
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - verjetnost, da dobite skupno 9 točk; p 2 = 27/216 - verjetnost, da dobite skupno 10 točk; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Vprašanja
1. Kako se imenuje verjetnost dogodka?
2. Kakšna je verjetnost zanesljivega dogodka?
3. Kakšna je verjetnost nemogočega dogodka?
4. Kakšne so meje verjetnosti naključnega dogodka?
5. Kakšne so meje verjetnosti katerega koli dogodka?
6. Kakšna definicija verjetnosti se imenuje klasična?