Pri reševanju različnih nalog iz predmeta matematike in fizike se učenci in študentje pogosto soočajo s potrebo po izluščitvi korenov druge, tretje ali n-te stopnje. Seveda v stoletju informacijska tehnologija Tega problema ne bo težko rešiti s kalkulatorjem. Vendar se pojavijo situacije, ko elektronskega pomočnika ni mogoče uporabiti.
Na primer, veliko izpitov vam ne dovoljuje prinesti elektronike. Poleg tega morda nimate pri roki kalkulatorja. V takih primerih je koristno poznati vsaj nekaj metod ročnega izračunavanja radikalov.
Eden najpreprostejših načinov za izračun korenin je z uporabo posebne tabele. Kaj je to in kako ga pravilno uporabljati?
S tabelo lahko najdete kvadrat poljubnega števila od 10 do 99. Vrstice tabele vsebujejo vrednosti desetin, stolpci pa vrednosti enot. Celica na presečišču vrstice in stolpca vsebuje kvadrat dvomestno število. Če želite izračunati kvadrat 63, morate najti vrstico z vrednostjo 6 in stolpec z vrednostjo 3. Na presečišču bomo našli celico s številko 3969.
Ker je pridobivanje korena inverzna operacija kvadriranja, morate za izvedbo tega dejanja narediti nasprotno: najprej poiščite celico s številom, katerega radikal želite izračunati, nato pa uporabite vrednosti stolpca in vrstice, da določite odgovor. . Kot primer razmislite o izračunu kvadratni koren 169.
V tabeli najdemo celico s to številko, vodoravno določimo desetice - 1, navpično najdemo enote - 3. Odgovor: √169 = 13.
Podobno lahko izračunate kubične in n-te korenine z uporabo ustreznih tabel.
Prednost metode je njena preprostost in odsotnost dodatnih izračunov. Slabosti so očitne: metodo je mogoče uporabiti le za omejen obseg števil (število, za katerega najdemo koren, mora biti v območju od 100 do 9801). Poleg tega ne bo delovalo, če dane številke ni v tabeli.
Prafaktorizacija
Če tabele kvadratov ni pri roki ali se je izkazalo, da je nemogoče najti koren z njeno pomočjo, lahko poskusite razstavite število pod korenom v glavni dejavniki . Prafaktorji so tisti, ki so lahko v celoti (brez ostanka) deljivi le sami s sabo ali z eno. Primeri so lahko 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd.
Oglejmo si izračun korena na primeru √576. Razčlenimo ga na prafaktorje. Dobimo naslednji rezultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Z uporabo osnovne lastnosti korenin √a² = a se bomo znebili korenin in kvadratov, nato pa izračunali odgovor: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Kaj storiti, če kateri od množiteljev nima svojega para? Na primer, upoštevajte izračun √54. Po faktorizaciji dobimo rezultat v naslednji obliki: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Neodstranljivi del lahko pustite pod korenino. Za večino geometrijskih in algebrskih nalog bo to štelo kot končni odgovor. Če pa je treba izračunati približne vrednosti, lahko uporabite metode, ki bodo obravnavane spodaj.
Heronova metoda
Kaj storiti, ko morate vsaj približno vedeti, čemu je izluščeni koren enak (če je nemogoče dobiti celoštevilsko vrednost)? Hiter in dokaj natančen rezultat dobimo z uporabo Heronove metode. Njegovo bistvo je uporaba približne formule:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
kjer je R število, katerega koren je treba izračunati, a je najbližje število, katerega vrednost korena je znana.
Poglejmo, kako metoda deluje v praksi in ocenimo, kako natančna je. Izračunajmo, čemu je enako √111. Število, ki je najbližje 111, katerega koren je znan, je 121. Tako je R = 111, a = 121. Nadomestite vrednosti v formulo:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
Zdaj pa preverimo natančnost metode:
10,55² = 111,3025.
Napaka metode je bila približno 0,3. Če je treba natančnost metode izboljšati, lahko ponovite prej opisane korake:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Preverimo pravilnost izračuna:
10,536² = 111,0073.
Po ponovnem nanosu formule je napaka postala popolnoma nepomembna.
Računanje korena z dolgim deljenjem
Ta metoda iskanja vrednosti kvadratnega korena je nekoliko bolj zapletena od prejšnjih. Je pa najnatančnejši med drugimi metodami izračuna brez kalkulatorja.
Recimo, da morate najti kvadratni koren natančno na 4 decimalna mesta. Analizirajmo algoritem izračuna na primeru poljubnega števila 1308.1912.
- List papirja razdelite na 2 dela z navpično črto, nato pa od njega potegnite drugo črto na desno, nekoliko pod zgornjim robom. Zapišimo številko na levi strani, jo razdelimo v skupine po 2 števki, pomaknemo se v desno in leva stran iz vejice. Prva številka na levi je lahko brez para. Če na desni strani številke manjka znak, dodajte 0. V našem primeru bo rezultat 13 08.19 12.
- Izberimo najboljše veliko število, katerega kvadrat bo manjši ali enak prvi skupini števk. V našem primeru je to 3. Zapišimo ga desno zgoraj; 3 je prva številka rezultata. Spodaj desno označimo 3×3 = 9; to bo potrebno za nadaljnje izračune. Od 13 v stolpcu odštejemo 9, dobimo ostanek 4.
- Priredimo naslednji par števil ostanku 4; dobimo 408.
- Število zgoraj desno pomnožite z 2 in ga zapišite spodaj desno ter mu dodajte _ x _ =. Dobimo 6_ x _ =.
- Namesto pomišljajev morate zamenjati isto številko, manjšo ali enako 408. Dobimo 66 × 6 = 396. 6 pišemo zgoraj desno, saj je to druga številka rezultata. Odštejemo 396 od 408, dobimo 12.
- Ponovimo korake 3-6. Ker so števke, pomaknjene navzdol, v ulomku števila, je treba za 6 desno zgoraj postaviti decimalno vejico. Dvojni rezultat zapišimo s pomišljaji: 72_ x _ =. Primerno število bi bilo 1 : 721×1 = 721. Zapišimo ga kot odgovor. Odštejmo 1219 - 721 = 498.
- Izvedimo zaporedje dejanj iz prejšnjega odstavka še trikrat, da dobimo zahtevana količina decimalnih mest. Če ni dovolj znakov za nadaljnje izračune, morate trenutni številki na levi dodati dve ničli.
Kot rezultat dobimo odgovor: √1308.1912 ≈ 36.1689. Če dejanje preverite s kalkulatorjem, se lahko prepričate, da so bili vsi znaki pravilno identificirani.
Bitni izračun kvadratnega korena
Metoda je zelo natančna. Poleg tega je povsem razumljivo in ne zahteva pomnjenja formul ali zapletenega algoritma dejanj, saj je bistvo metode izbira pravilnega rezultata.
Izluščimo koren števila 781. Oglejmo si podrobno zaporedje dejanj.
- Ugotovimo, katera številka vrednosti kvadratnega korena bo najpomembnejša. Če želite to narediti, kvadriramo 0, 10, 100, 1000 itd. in ugotovimo, med katerim od njih se nahaja radikalno število. Dobimo 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Izberimo vrednost desetic. Da bi to naredili, bomo izmenično dvigovali na potenco 10, 20, ..., 90, dokler ne dobimo števila, večjega od 781. Za naš primer dobimo 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. vrednost rezultata n bo znotraj 20< n <30.
- Podobno kot v prejšnjem koraku se izbere vrednost števke enote. Kvadrirajmo 21,22, ..., 29 enega za drugim: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Dobimo, da je 27< n < 28.
- Vsako naslednjo števko (desetinke, stotinke itd.) izračunamo na enak način, kot je prikazan zgoraj. Izračuni se izvajajo, dokler ni dosežena zahtevana natančnost.
Krog je pokazal, kako lahko izvlečete kvadratne korene v stolpcu. Koren lahko izračunate s poljubno natančnostjo, poiščete poljubno število števk v njegovem decimalnem zapisu, tudi če se izkaže za iracionalnega. Algoritem so si zapomnili, a vprašanja so ostala. Ni bilo jasno, od kod metoda in zakaj je dala pravilen rezultat. Ni bilo v knjigah ali pa sem samo iskal v napačnih knjigah. Na koncu sem se, tako kot veliko tega, kar danes znam in zmorem, domislil sam. Tukaj delim svoje znanje. Mimogrede, še vedno ne vem, kje je podana utemeljitev algoritma)))
Torej, najprej vam na primeru povem, kako sistem deluje, nato pa razložim, zakaj dejansko deluje.
Vzemimo številko (številka je bila vzeta "iz zraka", samo padla je na misel).
1. Njegova števila razdelimo v pare: tista levo od decimalne vejice so razvrščena po dva od desne proti levi, tista na desni pa po dva od leve proti desni. Dobimo.
2. Iz prve skupine števil na levi izluščimo kvadratni koren - v našem primeru je to (jasno je, da točnega korena morda ne bomo izluščili, vzamemo število, katerega kvadrat je čim bližje našemu številu, ki ga tvori prva skupina številk, vendar je ne presega). V našem primeru bo to številka. Zapišemo odgovor - to je najpomembnejša številka korena.
3. Število, ki je že v odgovoru – to – kvadriramo in odštejemo od prve skupine števil na levi – od števila. V našem primeru ostane.
4. Na desni strani priredimo naslednjo skupino dveh števil: . Število, ki je že v odgovoru, pomnožimo z in dobimo.
5. Zdaj pa pozorno glejte. Številu na desni moramo pripisati eno števko in število pomnožiti z, torej z isto pripisano števko. Rezultat mora biti čim bližje tej številki, vendar spet ne več. V našem primeru bo to številka, ki jo zapišemo v odgovor zraven, desno. To je naslednja številka v decimalnem zapisu našega kvadratnega korena.
6. Če odštejemo produkt, dobimo.
7. Nato ponovimo znane operacije: dobljenemu številu priredimo naslednjo skupino števk na desni, pomnožimo z , > na desno priredimo eno števko, tako da pri množenju z njo dobimo število, ki je manjše od , a najbližje k njej - to je naslednja številka v zapisu decimalnega korena.
Izračuni bodo zapisani na naslednji način:
In zdaj obljubljena razlaga. Algoritem temelji na formuli
Komentarji: 50
2 Anton:
Preveč kaotično in zmedeno. Vse uredite po točkah in jih oštevilčite. Plus: razložite, kje zamenjamo pri vsakem dejanju zahtevane vrednosti. Še nikoli nisem izračunal korenskega korena – težko sem ga ugotovil.
5 Julija:
6 :
Julija, 23 let v tem trenutku desno zapisano sta to prvi dve (levo) že dobljeni števki korena v odgovoru. Pomnožite z 2 v skladu z algoritmom. Ponovimo korake opisane v 4. točki.
7 zzz:
napaka v »6. Od 167 odštejemo produkt 43 * 3 = 123 (129 nada), dobimo 38.”
Ne razumem, kako se je izkazalo, da je 08 za decimalno vejico ...9 Aleksander Fedotov:
In tudi v dobi pred kalkulatorjem so nas v šoli učili ne samo kvadrata, ampak tudi kockasti koren izvleček v stolpcu, vendar je to bolj dolgočasno in mukotrpno delo. Lažje je bilo uporabljati Bradisove tabele ali diapozitiv, ki smo se ga učili že v srednji šoli.
10 :
Aleksander, prav imaš, lahko ga izvlečeš v stolpec in korenine višje stopnje. Pisal bom samo o tem, kako najti kubni koren.
12 Sergej Valentinovič:
Draga Elizaveta Aleksandrovna! V poznih 70-ih letih sem razvil shemo za avtomatski (tj. ne z izbiro) izračun kvadre. root na seštevalniku Felix. Če te zanima ti lahko pošljem opis.
14 Vlad iz Engelsstadta:
(((Izvleček kvadratnega korena stolpca)))
Algoritem je poenostavljen, če uporabite 2. številski sistem, ki se preučuje v računalništvu, vendar je uporaben tudi v matematiki. A.N. Kolmogorov je ta algoritem predstavil v poljudnih predavanjih za šolarje. Njegov članek je na voljo v zbirki Chebyshev (Mathematical Journal, poiščite povezavo do njega na internetu)
Mimogrede, reci:
G. Leibniz se je nekoč poigraval z idejo o prehodu iz 10. številskega sistema v dvojiškega zaradi njegove enostavnosti in dostopnosti za začetnike (osnovnošolce). Toda kršitev ustaljenih tradicij je kot razbijanje trdnjavskih vrat s čelom: mogoče je, vendar je neuporabno. Tako se izkaže, kot pravi najbolj citiran bradati filozof v starih časih: izročila vseh mrtvih generacij zatirajo zavest živih.Do naslednjič.
15 Vlad iz Engelsstadta:
))Sergey Valentinovich, ja, zanima me ...((
Stavim, da je to različica "Felixove" babilonske metode pridobivanja konj kvadratna metoda zaporednih približkov. Ta algoritem je bil pokrit z Newtonovo metodo (tangentna metoda)
Zanima me ali sem se zmotil v napovedi?
18 :
2Vlad iz Engelsstadta
Da, algoritem v binarni obliki bi moral biti preprostejši, to je precej očitno.
O Newtonovi metodi. Mogoče je to res, a je vseeno zanimivo
20 Kiril:
hvala lepa Ampak še vedno ni algoritma, nihče ne ve, od kod je prišel, rezultat pa je pravilen. NAJLEPŠA HVALA! To sem iskal že dolgo)
21 Aleksander:
Kako boste izluščili koren iz števila, kjer je druga skupina od leve proti desni zelo majhna? na primer, vsakomur najljubša številka je 4.398.046.511.104. Po prvem odštevanju ni mogoče nadaljevati vsega po algoritmu. Prosim za pojasnilo.
22 Aleksej:
Da, poznam to metodo. Spominjam se, da sem ga prebral v knjigi "Algebra" neke stare izdaje. Nato je po analogiji sam ugotovil, kako izluščiti kockasti koren v stolpcu. Toda tam je že bolj zapleteno: vsaka številka ni določena z eno (kot pri kvadratu), temveč z dvema odštevanjima, in tudi tam morate vsakič pomnožiti dolga števila.
23 Artem:
V primeru pridobivanja kvadratnega korena iz 56789,321 so tipkarske napake. Skupina števil 32 je dvakrat pripisana številoma 145 in 243, v številu 2388025 je treba drugo 8 zamenjati s 3. Potem je treba zadnji odštevanec zapisati takole: 2431000 – 2383025 = 47975.
Poleg tega pri deljenju preostanka s podvojeno vrednostjo odgovora (brez upoštevanja vejice) dobimo dodatno število pomembnih števk (47975/(2*238305) = 0,100658819...), ki jih je treba prišteti k odgovor (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).24 Sergej:
Očitno je algoritem izhajal iz knjige Isaaca Newtona "Splošna aritmetika ali knjiga o aritmetični sintezi in analizi." Tukaj je odlomek iz tega:
O IZDUBLJENJU KORENIN
Če želite izluščiti kvadratni koren števila, morate najprej postaviti piko čez njegove števke, začenši z enotami. Nato morate v količnik ali radikal zapisati število, katerega kvadrat je enak ali najbližje slabšemu številu ali številu pred prvo točko. Po odštevanju tega kvadrata bomo preostale števke korena zaporedno našli tako, da preostanek delimo z dvakratno vrednostjo že izluščenega dela korena in vsakič odštejemo od ostanka kvadrata zadnjo najdeno števko in njen desetkratni produkt z imenovani delitelj.
25 Sergej:
Popravite tudi naslov knjige “Splošna aritmetika ali knjiga o aritmetični sintezi in analizi”
26 Aleksander:
Hvala za zanimiv material. Toda ta metoda se mi zdi nekoliko bolj zapletena od tiste, ki je potrebna na primer za šolarja. Uporabljam preprostejšo metodo, ki temelji na razgradnji kvadratna funkcija z uporabo prvih dveh izpeljank. Njegova formula je:
sqrt(x)= A1+A2-A3, kjer je
A1 je celo število, katerega kvadrat je najbližje x;
A2 je ulomek, števec je x-A1, imenovalec 2*A1.
Za večino številk, ki jih najdete v šolski tečaj, je to dovolj, da dobimo rezultat do stotinke.
Če potrebujete natančnejši rezultat, vzemite
A3 je ulomek, števec je A2 na kvadrat, imenovalec 2*A1+1.
Za uporabo seveda potrebujete tabelo kvadratov celih števil, vendar to v šoli ni problem. Zapomniti si to formulo je zelo preprosto.
Zmoti pa me, da sem A3 pridobil empirično kot rezultat poskusov s preglednico in mi ni čisto jasno, zakaj ima ta član tak videz. Mogoče mi lahko kaj svetujete?27 Aleksander:
Da, upošteval sem tudi te pomisleke, a hudič je v podrobnostih. pišete:
"ker se a2 in b precej razlikujeta." Vprašanje je točno, kako malo.
Ta formula dobro deluje na številih v drugi desetici in veliko slabše (ne do stotink, samo do desetin) na številkah v prvi desetici. Zakaj se to zgodi, je težko razumeti brez uporabe derivatov.28 Aleksander:
Pojasnil bom, kaj vidim kot prednost formule, ki jo predlagam. Ne zahteva ne povsem naravne delitve števil na pare števk, ki se, kot kažejo izkušnje, pogosto izvaja z napakami. Njegov pomen je očiten, a za osebo, ki pozna analizo, je trivialen. Dobro deluje pri številih od 100 do 1000, ki so najpogostejša števila v šoli.
29 Aleksander:
Mimogrede, malo sem pobrskal in našel natančen izraz za A3 v svoji formuli:
A3= A22 /2(A1+A2)30 vasil stryzhak:
V našem času, s široko uporabo računalniške tehnologije, vprašanje pridobivanja kvadratnega viteza iz števila s praktičnega vidika ni vredno. A za ljubitelje matematike so nedvomno zanimive različne možnosti rešitve tega problema. IN šolski kurikulum metoda tega izračuna brez vključevanja dodatnih sredstev mora potekati enako kot množenje in deljenje v stolpec. Algoritem za izračun mora biti ne le zapomnil, ampak tudi razumljiv. Klasična metoda, predvidena v ta material za razpravo z razkritjem bistva, v celoti ustreza zgornjim kriterijem.
Pomembna pomanjkljivost metode, ki jo je predlagal Alexander, je uporaba tabele kvadratov celih števil. Avtor zamolči večino številk, s katerimi se sreča v šolskem tečaju. Kar zadeva formulo, mi je na splošno všeč zaradi relativno visoke natančnosti izračuna.31 Aleksander:
za 30 vasil stryzhak
Nič nisem zamolčal. Tabela kvadratov naj bi bila do 1000. V mojih časih v šoli so se jo enostavno učili na pamet in je bila v vseh učbenikih za matematiko. Ta interval sem izrecno poimenoval.
Računalniška tehnologija se ne uporablja predvsem pri pouku matematike, razen če je posebej obravnavana tema uporabe kalkulatorja. Kalkulatorji so zdaj vgrajeni v naprave, ki jih je prepovedano uporabljati na enotnem državnem izpitu.32 vasil stryzhak:
Aleksander, hvala za pojasnilo! Mislil sem, da si je za predlagano metodo teoretično potrebno zapomniti ali uporabiti tabelo kvadratov vseh dvomestnih števil uporabite tehniko njihovega povečevanja ali zmanjševanja za zahtevano število velikosti s premikanjem decimalne vejice.
33 vasil stryzhak:
39 ALEKSANDER:
MOJ PRVI PROGRAM V JEZIKU “IAMB” NA SOVJETSKEM STROJU “ISKRA 555″ JE BIL NAPISAN ZA IZLUŠEVANJE KVADRATNEGA KORENA ŠTEVILA Z UPORABO ALGORITMA ZA IZLUČEVANJE STOLPCA! in zdaj sem pozabil, kako ga ekstrahirati ročno!
Matematika je nastala, ko se je človek zavedel samega sebe in se začel postavljati kot avtonomna enota sveta. Želja po merjenju, primerjanju, štetju tega, kar vas obdaja - to je tisto, kar je osnova enega od temeljne znanosti naši dnevi. Sprva so bili to delci elementarne matematike, ki so omogočali povezovanje števil z njihovimi fizikalnimi izrazi, kasneje so se sklepi začeli predstavljati le teoretično (zaradi njihove abstraktnosti), a čez nekaj časa, kot je rekel neki znanstvenik, » matematika je dosegla zgornjo mejo kompleksnosti, ko so izginile vse številke." Koncept "kvadratnega korena" se je pojavil v času, ko ga je bilo mogoče zlahka podpreti z empiričnimi podatki, ki presegajo ravnino izračunov.
Kjer se je vse začelo
Prva omemba korena, ki se trenutno označuje kot √, je bila zabeležena v delih babilonskih matematikov, ki so postavili temelje sodobne aritmetike. Seveda so bili malo podobni sedanji obliki - znanstveniki tistih let so najprej uporabili zajetne tablete. Toda v drugem tisočletju pr. e. Izpeljali so približno formulo za izračun, ki je pokazala, kako izluščiti kvadratni koren. Na spodnji fotografiji je kamen, na katerega so babilonski znanstveniki vklesali postopek za izračun √2 in se je izkazal za tako pravilnega, da je bilo odstopanje v odgovoru ugotovljeno šele na desetem decimalnem mestu.
Poleg tega je bil koren uporabljen, če je bilo treba najti stranico trikotnika, če sta bili drugi dve znani. No, pri reševanju kvadratnih enačb ni izhoda iz izluščitve korena.
Skupaj z babilonskimi deli je predmet članka preučeval tudi kitajsko delo "Matematika v devetih knjigah" in stari Grki so prišli do zaključka, da vsako število, iz katerega ni mogoče izluščiti korena brez ostanka, daje iracionalen rezultat .
Izvor tega izraza je povezan z arabsko predstavitvijo števila: starodavni znanstveniki so verjeli, da kvadrat poljubnega števila raste iz korenine, kot rastlina. V latinščini ta beseda zveni kot radix (lahko zasledite vzorec - vse, kar ima "koren" pomen, je soglasno, pa naj bo to redkev ali radikulitis).
Znanstveniki naslednjih generacij so prevzeli to idejo in jo označili kot Rx. Na primer, v 15. stoletju, da bi označili, da je bil vzet kvadratni koren poljubnega števila a, so zapisali R 2 a. "Klopi", poznan sodobnim očem, se je pojavil šele v 17. stoletju zahvaljujoč Reneju Descartesu.
Naši dnevi
V matematičnem smislu je kvadratni koren števila y število z, katerega kvadrat je enak y. Z drugimi besedami, z 2 =y je enakovredno √y=z. Vendar ta definicija pomembno samo za aritmetični koren, saj implicira nenegativno vrednost izraza. Z drugimi besedami, √y=z, kjer je z večji ali enak 0.
Na splošno, kar velja za določanje algebraičnega korena, je lahko vrednost izraza pozitivna ali negativna. Torej, zaradi dejstva, da je z 2 =y in (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ali √y=|z|.
Ker se je ljubezen do matematike z razvojem znanosti le povečala, se pojavljajo različne manifestacije naklonjenosti do nje, ki se ne izražajo v suhoparnih izračunih. Na primer, poleg tako zanimivih pojavov, kot je dan pi, se praznujejo tudi prazniki kvadratnega korena. Praznujejo se devetkrat vsakih sto let, določajo pa se po naslednjem načelu: števila, ki po vrstnem redu označujejo dan in mesec, morajo biti kvadratni koren iz leta. Torej, naslednjič bomo ta praznik praznovali 4. aprila 2016.
Lastnosti kvadratnega korena na polju R
Skoraj vsi matematični izrazi temeljijo na geometrijska osnova, ta usoda ni ušla √y, ki je definirana kot stranica kvadrata s ploščino y.
Kako najti koren števila?
Obstaja več algoritmov za izračun. Najenostavnejši, a hkrati precej okoren, je običajen aritmetični izračun, ki je naslednji:
1) od števila, katerega koren potrebujemo, se po vrsti odštevajo liha števila - dokler ostanek na izhodu ni manjši od odštete ali celo enak nič. Število potez bo na koncu postalo želeno število. Na primer, izračun kvadratnega korena iz 25:
Naslednje ni sodo število- to je 11, ostanek je naslednji: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Za takšne primere obstaja razširitev serije Taylor:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, kjer n zavzema vrednosti od 0 do
+∞ in |y|≤1.
Grafični prikaz funkcije z=√y
Oglejmo si elementarno funkcijo z=√y na polju realnih števil R, kjer je y večji ali enak nič. Njegov urnik izgleda takole:
Krivulja raste iz izhodišča in nujno seka točko (1; 1).
Lastnosti funkcije z=√y na polju realnih števil R
1. Domena definicije obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnosti (nič je vključena).
2. Razpon vrednosti obravnavane funkcije je interval od nič do plus neskončnosti (nič je spet vključena).
3. Funkcija dobi najmanjšo vrednost (0) šele v točki (0; 0). Največje vrednosti ni.
4. Funkcija z=√y ni niti soda niti liha.
5. Funkcija z=√y ni periodična.
6. Graf funkcije z=√y ima samo eno presečišče s koordinatnimi osemi: (0; 0).
7. Presečišče grafa funkcije z=√y je tudi ničla te funkcije.
8. Funkcija z=√y zvezno narašča.
9. Funkcija z=√y ima samo pozitivne vrednosti, zato njen graf zavzema prvi koordinatni kot.
Možnosti prikaza funkcije z=√y
V matematiki se za lažji izračun zapletenih izrazov včasih uporablja potenčna oblika zapisa kvadratnega korena: √y=y 1/2. Ta možnost je priročna na primer pri dvigovanju funkcije na potenco: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Ta metoda je tudi dobra predstavitev za diferenciacijo z integracijo, saj je zahvaljujoč njej kvadratni koren predstavljen kot navadna potenčna funkcija.
In v programiranju nadomešča simbol √ kombinacija črk sqrt.
Omeniti velja, da je na tem področju kvadratni koren v velikem povpraševanju, saj je del večine geometrijskih formul, potrebnih za izračune. Sam algoritem štetja je precej zapleten in temelji na rekurziji (funkciji, ki kliče samo sebe).
Kvadratni koren v kompleksnem polju C
Na splošno je bila tema tega članka tista, ki je spodbudila odkritje področja kompleksnih števil C, saj je matematike preganjalo vprašanje, kako dobiti sodo korenino negativnega števila. Tako se je pojavila namišljena enota i, za katero je značilna zelo zanimiva lastnost: njen kvadrat je -1. Zahvaljujoč temu so bile kvadratne enačbe rešene tudi z negativno diskriminanto. V C so enake lastnosti relevantne za kvadratni koren kot v R, le da so odpravljene omejitve radikalnega izraza.
Ekstrahiranje korena je obratna operacija od višanja stopnje. To pomeni, da vzamemo koren števila X in dobimo število, ki bo na kvadrat dalo isto število X.
Pridobivanje korena je dokaj preprosta operacija. Tabela kvadratov lahko olajša ekstrakcijo. Ker si je nemogoče zapomniti vse kvadrate in korene na pamet, vendar so lahko številke velike.
Izločanje korena števila
Izvleči kvadratni koren števila je enostavno. Poleg tega tega ni mogoče storiti takoj, ampak postopoma. Za primer vzemimo izraz √256. Na začetku je nevedni osebi težko dati odgovor takoj. Potem bomo to storili korak za korakom. Najprej delimo samo s številom 4, iz katerega vzamemo izbrani kvadrat kot koren.
Predstavimo: √(64 4), potem bo enakovreden 2√64. In kot veste, je po množilni tabeli 64 = 8 8. Odgovor bo 2*8=16.
Prijavite se na tečaj »Pospešite mentalno aritmetiko, NE mentalno aritmetiko«, da se naučite hitro in pravilno seštevati, odštevati, množiti, deliti, kvadrirati števila in celo izvleči koren. V 30 dneh se boste naučili uporabljati preproste trike za poenostavitev aritmetičnih operacij. Vsaka lekcija vsebuje nove tehnike, jasni primeri in koristne naloge.
Ekstrakcija kompleksnega korena
Kvadratnega korena ni mogoče izračunati iz negativnih števil, ker je vsako število na kvadrat pozitivno število!
Kompleksno število je število i, ki je na kvadrat enako -1. To je i2=-1.
V matematiki obstaja število, ki ga dobimo tako, da vzamemo koren števila -1.
Se pravi, mogoče je izračunati koren negativnega števila, vendar to velja že za višjo matematiko, ne za šolsko.
Oglejmo si primer takšne ekstrakcije korena: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Spletni korenski kalkulator
Z našim kalkulatorjem lahko izračunate izvleček števila iz kvadratnega korena:
Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo korensko operacijo
Bistvo preoblikovanja radikalnih izrazov je v razgradnji radikalnega števila na enostavnejša, iz katerih lahko izluščimo koren. Kot na primer 4, 9, 25 in tako naprej.
Dajmo primer, √625. Radikalni izraz delimo s številom 5. Dobimo √(125 5), ponovite operacijo √(25 25), vendar vemo, da je 25 52. Kar pomeni, da bo odgovor 5*5=25.
Obstajajo pa števila, za katera korena ni mogoče izračunati s to metodo in preprosto morate vedeti odgovor ali imeti pri roki tabelo kvadratov.
√289=√(17*17)=17
Bottom line
Ogledali smo si le vrh ledene gore, da bi bolje razumeli matematiko - prijavite se na naš tečaj: Pospeševanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.
Na tečaju se ne boste le naučili na desetine tehnik poenostavljenega in hitrega množenja, seštevanja, množenja, deljenja in računanja odstotkov, ampak jih boste tudi vadili v posebnih nalogah in izobraževalnih igrah! Mentalna aritmetika zahteva tudi veliko pozornosti in koncentracije, ki ju aktivno treniramo pri reševanju zanimivih nalog.