Στα μαθηματικά, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών (ή απλά ο μέσος όρος) είναι το άθροισμα όλων των αριθμών σε ένα δεδομένο σύνολο διαιρούμενο με τον αριθμό των αριθμών. Αυτή είναι η πιο γενικευμένη και διαδεδομένη έννοια της μέσης τιμής. Όπως καταλάβατε ήδη, για να βρείτε, πρέπει να αθροίσετε όλους τους αριθμούς που σας δίνονται και να διαιρέσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων.
Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος;
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 1. Δοσμένοι αριθμοί: 6, 7, 11. Πρέπει να βρείτε τη μέση τιμή τους.
Διάλυμα.
Αρχικά, ας βρούμε το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών.
Τώρα διαιρέστε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων. Εφόσον έχουμε τρεις όρους, θα διαιρεθούμε με τρεις.
Επομένως, ο μέσος όρος των αριθμών 6, 7 και 11 είναι 8. Γιατί 8; Ναι, γιατί το άθροισμα των 6, 7 και 11 θα είναι ίδιο με τρία οκτώ. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στην εικόνα.
Ο μέσος όρος είναι λίγο σαν «βραδιά έξω» μια σειρά αριθμών. Όπως μπορείτε να δείτε, οι σωροί από μολύβια έχουν γίνει στο ίδιο επίπεδο.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα για να εμπεδώσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε.
Παράδειγμα 2.Δίνονται αριθμοί: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Πρέπει να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο τους.
Διάλυμα.
Βρείτε το ποσό.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Διαιρέστε με τον αριθμό των όρων (στην περίπτωση αυτή - 15).
Επομένως, η μέση τιμή αυτής της σειράς αριθμών είναι 22.
Τώρα ας δούμε τους αρνητικούς αριθμούς. Ας θυμηθούμε πώς να τα συνοψίσουμε. Για παράδειγμα, έχετε δύο αριθμούς 1 και -4. Ας βρούμε το άθροισμά τους.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Γνωρίζοντας αυτό, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.
Παράδειγμα 3.Βρείτε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών: 3, -7, 5, 13, -2.
Διάλυμα.
Βρείτε το άθροισμα των αριθμών.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Επειδή υπάρχουν 5 όροι, διαιρέστε το άθροισμα που προκύπτει με 5.
Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 3, -7, 5, 13, -2 είναι 2,4.
Στην εποχή της τεχνολογικής προόδου μας, είναι πολύ πιο βολικό να χρησιμοποιούμε προγράμματα υπολογιστών για να βρούμε τη μέση τιμή. Το Microsoft Office Excel είναι ένα από αυτά. Η εύρεση του μέσου όρου στο Excel είναι γρήγορη και εύκολη. Επιπλέον, αυτό το πρόγραμμα περιλαμβάνεται στο πακέτο λογισμικού του Microsoft Office. Ας αναλογιστούμε σύντομες οδηγίες, αξία χρησιμοποιώντας αυτό το πρόγραμμα.
Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση AVERAGE. Η σύνταξη αυτής της συνάρτησης είναι:
= Μέσος όρος(όρισμα1, όρισμα2, ... όρισμα255)
όπου το όρισμα1, το όρισμα2, ... το όρισμα255 είναι είτε αριθμοί είτε αναφορές κελιών (τα κελιά αναφέρονται σε περιοχές και πίνακες).
Για να το κάνουμε πιο σαφές, ας δοκιμάσουμε τις γνώσεις που έχουμε αποκτήσει.
- Εισαγάγετε τους αριθμούς 11, 12, 13, 14, 15, 16 στα κελιά C1 - C6.
- Επιλέξτε το κελί C7 κάνοντας κλικ σε αυτό. Σε αυτό το κελί θα εμφανίσουμε τη μέση τιμή.
- Κάντε κλικ στην καρτέλα Τύποι.
- Επιλέξτε Περισσότερες λειτουργίες > Στατιστικά για να ανοίξετε
- Επιλέξτε ΜΕΣΟΣ. Μετά από αυτό, θα πρέπει να ανοίξει ένα πλαίσιο διαλόγου.
- Επιλέξτε και σύρετε τα κελιά C1-C6 εκεί για να ορίσετε την περιοχή στο πλαίσιο διαλόγου.
- Επιβεβαιώστε τις ενέργειές σας με το κουμπί "OK".
- Εάν τα κάνατε όλα σωστά, θα πρέπει να έχετε την απάντηση στο κελί C7 - 13.7. Όταν κάνετε κλικ στο κελί C7, η συνάρτηση (=Average(C1:C6)) θα εμφανιστεί στη γραμμή τύπων.
Αυτή η δυνατότητα είναι πολύ χρήσιμη για λογιστικά, τιμολόγια ή όταν χρειάζεται απλώς να βρείτε τον μέσο όρο μιας πολύ μεγάλης σειράς αριθμών. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται συχνά σε γραφεία και μεγάλες εταιρείες. Αυτό σας επιτρέπει να διατηρείτε την τάξη στα αρχεία σας και καθιστά δυνατό να υπολογίσετε γρήγορα κάτι (για παράδειγμα, το μέσο μηνιαίο εισόδημα). Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το Excel για να βρείτε τη μέση τιμή μιας συνάρτησης.
Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.
Απλός αριθμητικός μέσος όρος
Ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, για τον προσδιορισμό του οποίου ο συνολικός όγκος ενός δεδομένου χαρακτηριστικού στα δεδομένα κατανέμεται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται στον δεδομένο πληθυσμό. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή ανά εργαζόμενο είναι η ποσότητα της παραγωγής που θα παρήγαγε κάθε εργαζόμενος εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής κατανεμήθηκε εξίσου μεταξύ όλων των εργαζομένων του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Παράδειγμα 1 .Απλός αριθμητικός μέσος όρος— Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο
Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.
Βρείτε τον μέσο μισθό
Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.
Αριθμητικός μέσος όρος σταθμισμένος
Ας το φανταστούμε αυτό με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:
Παράδειγμα 2 .Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος— ίσο με τον λόγο (το άθροισμα των γινομένων της τιμής ενός χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών) Χρησιμοποιείται όταν εμφανίζονται παραλλαγές του υπό μελέτη πληθυσμού άνισο αριθμό φορών.
Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων σε συνεργεία ανά μήνα Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας το σύνολομισθοί επίσυνολικός αριθμός
εργαζόμενοι:
Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.
Αριθμητικός μέσος όρος για διαστημικές σειρές
Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά απόκλισης διαστήματος, προσδιορίστε πρώτα τον μέσο όρο για κάθε διάστημα ως το μισό άθροισμα του άνω και του κατώτερου ορίου και, στη συνέχεια, το μέσο όρο ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από το μέγεθος των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.
Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.Παράδειγμα 3 . Καθορίζωμεσαίωνας
απογευματινοί μαθητές.
Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από το βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων εντός του διαστήματος προσεγγίζει την ομοιόμορφη κατανομή.
Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτες αλλά και σχετικές τιμές (συχνότητα) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάρη:
Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες που αποκαλύπτουν πληρέστερα την ουσία του και απλοποιούν τους υπολογισμούς:
1. Το γινόμενο του μέσου όρου με το άθροισμα των συχνοτήτων είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής κατά συχνότητες, δηλ.
2. Ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων μεγεθών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων αυτών των μεγεθών:
3. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον μέσο όρο είναι μηδέν:
4. Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τον μέσο όρο είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από οποιαδήποτε άλλη αυθαίρετη τιμή, δηλ. Η έννοια του αριθμητικού μέσου όρου αριθμών σημαίνει το αποτέλεσμα μιας απλής ακολουθίας υπολογισμών της μέσης τιμής για έναν αριθμό αριθμών που έχουν καθοριστεί εκ των προτέρων. Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η τιμή σεδεδομένου χρόνου χρησιμοποιείται ευρέως από ειδικούς σε διάφορους κλάδους. Για παράδειγμα, οι τύποι είναι γνωστοί κατά την εκτέλεση υπολογισμών από οικονομολόγους ή εργαζόμενους στη στατιστική βιομηχανία, όπου απαιτείται να έχει μια τιμήαυτού του τύπου
. Επιπλέον, αυτός ο δείκτης χρησιμοποιείται ενεργά σε μια σειρά άλλων βιομηχανιών που σχετίζονται με τα παραπάνω. Ένα από τα χαρακτηριστικά των υπολογισμώνδεδομένη αξία είναι η απλότητα της διαδικασίας.Ο καθένας μπορεί να το κάνει. Για να το κάνετε αυτό δεν χρειάζεται να έχετε ειδική αγωγή. Συχνά δεν υπάρχει ανάγκη χρήσης τεχνολογίας υπολογιστών.
Για να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο, εξετάστε μια σειρά από καταστάσεις.
Τα περισσότερα απλή επιλογήο υπολογισμός μιας δεδομένης τιμής είναι ο υπολογισμός της για δύο αριθμούς. Η διαδικασία υπολογισμού σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ απλή:
- Αρχικά, πρέπει να εκτελέσετε τη λειτουργία της προσθήκης των επιλεγμένων αριθμών. Αυτό μπορεί συχνά να γίνει, όπως λένε, χειροκίνητα, χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικού εξοπλισμού.
- Αφού γίνει η προσθήκη και προκύψει το αποτέλεσμά της, πρέπει να γίνει διαίρεση. Αυτή η λειτουργία περιλαμβάνει τη διαίρεση του αθροίσματος δύο προστιθέμενων αριθμών με δύο - τον αριθμό των προστιθέμενων αριθμών. Είναι αυτή η ενέργεια που θα σας επιτρέψει να αποκτήσετε την απαιτούμενη τιμή.
Τύπος
Έτσι, ο τύπος για τον υπολογισμό της απαιτούμενης τιμής στην περίπτωση των δύο θα μοιάζει με αυτό:
(Α+Β)/2
Αυτός ο τύπος χρησιμοποιεί την ακόλουθη σημείωση:
Οι Α και Β είναι προεπιλεγμένοι αριθμοί για τους οποίους πρέπει να βρείτε μια τιμή.
Εύρεση της τιμής για τρία
Ο υπολογισμός αυτής της τιμής σε μια κατάσταση όπου επιλέγονται τρεις αριθμοί δεν θα διαφέρει πολύ από την προηγούμενη επιλογή:
- Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε τους αριθμούς που απαιτούνται στον υπολογισμό και προσθέστε τους για να λάβετε το σύνολο.
- Αφού βρεθεί αυτό το άθροισμα των τριών, η διαδικασία διαίρεσης πρέπει να επαναληφθεί. Σε αυτήν την περίπτωση, το ποσό που προκύπτει πρέπει να διαιρεθεί με το τρία, το οποίο αντιστοιχεί στον αριθμό των επιλεγμένων αριθμών.
Τύπος
Έτσι, ο απαραίτητος τύπος για τον υπολογισμό των αριθμητικών τριών θα μοιάζει με αυτό:
(A+B+C)/3
Σε αυτή τη φόρμουλαΟ ακόλουθος συμβολισμός γίνεται αποδεκτός:
Οι Α, Β και Γ είναι οι αριθμοί για τους οποίους θα χρειαστεί να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο.
Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου των τεσσάρων
Όπως φαίνεται ήδη κατ' αναλογία με τις προηγούμενες επιλογές, ο υπολογισμός αυτής της τιμής για ποσότητα ίση με τέσσερα θα γίνει με την ακόλουθη σειρά:
- Επιλέγονται τέσσερα ψηφία για τα οποία πρέπει να υπολογιστεί ο αριθμητικός μέσος όρος. Στη συνέχεια, πραγματοποιείται άθροιση και βρίσκεται το τελικό αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας.
- Τώρα, για να πάρετε το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να πάρετε το άθροισμα των τεσσάρων που προκύπτει και να το διαιρέσετε με το τέσσερα. Τα δεδομένα που λαμβάνονται θα είναι η απαιτούμενη τιμή.
Τύπος
Από την ακολουθία ενεργειών που περιγράφονται παραπάνω για την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου για τέσσερα, μπορείτε να λάβετε τον ακόλουθο τύπο:
(Α+Β+Γ+Ε)/4
Σε αυτή τη φόρμουλαμεταβλητές έχουν επόμενη τιμή:
Τα Α, Β, Γ και Ε είναι εκείνα για τα οποία είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του αριθμητικού μέσου όρου.
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα είναι πάντα δυνατός ο υπολογισμός της απαιτούμενης τιμής για έναν δεδομένο αριθμό αριθμών.
Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου του πέντε
Η εκτέλεση αυτής της λειτουργίας θα απαιτήσει έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο ενεργειών.
- Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να επιλέξετε πέντε αριθμούς για τους οποίους θα υπολογιστεί ο αριθμητικός μέσος όρος. Μετά από αυτήν την επιλογή, αυτοί οι αριθμοί, όπως και στις προηγούμενες επιλογές, πρέπει απλώς να προστεθούν και να λάβετε το τελικό ποσό.
- Το προκύπτον ποσό θα πρέπει να διαιρεθεί με τον αριθμό τους με πέντε, κάτι που θα σας επιτρέψει να λάβετε την απαιτούμενη τιμή.
Τύπος
Έτσι, παρόμοια με τις επιλογές που εξετάστηκαν προηγουμένως, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου:
(Α+Β+Γ+Ε+Ρ)/5
Σε αυτόν τον τύπο, οι μεταβλητές ορίζονται ως εξής:
Οι A, B, C, E και P είναι αριθμοί για τους οποίους είναι απαραίτητο να ληφθεί ο αριθμητικός μέσος όρος.
Καθολικός τύπος υπολογισμού
Διεξαγωγή αναθεώρησης διάφορες επιλογέςτύπους να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο, μπορείτε να δώσετε προσοχή στο γεγονός ότι έχουν ένα γενικό μοτίβο.
Επομένως, θα είναι πιο πρακτικό να χρησιμοποιήσετε έναν γενικό τύπο για να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο. Εξάλλου, υπάρχουν καταστάσεις όπου ο αριθμός και το μέγεθος των υπολογισμών μπορεί να είναι πολύ μεγάλο. Ως εκ τούτου, θα ήταν πιο λογικό να χρησιμοποιείται ένας γενικός τύπος και να μην αναπτύσσεται μια μεμονωμένη τεχνολογία κάθε φορά για τον υπολογισμό αυτής της τιμής.
Το κύριο πράγμα κατά τον προσδιορισμό του τύπου είναι αρχή του υπολογισμού του αριθμητικού μέσου όρουΟ.
Αυτή η αρχή, όπως φαίνεται από τα παραδείγματα που δίνονται, μοιάζει με αυτό:
- Μετράται ο αριθμός των αριθμών που καθορίζονται για να ληφθεί η απαιτούμενη τιμή. Αυτή η λειτουργία μπορεί να πραγματοποιηθεί είτε χειροκίνητα με μικρό αριθμό αριθμών είτε χρησιμοποιώντας τεχνολογία υπολογιστή.
- Οι επιλεγμένοι αριθμοί αθροίζονται. Αυτή η λειτουργία στις περισσότερες περιπτώσεις εκτελείται με χρήση τεχνολογίας υπολογιστή, καθώς οι αριθμοί μπορεί να αποτελούνται από δύο, τρία ή περισσότερα ψηφία.
- Το ποσό που προκύπτει με την προσθήκη των επιλεγμένων αριθμών πρέπει να διαιρεθεί με τον αριθμό τους. Αυτή η τιμή προσδιορίζεται στο αρχικό στάδιο του υπολογισμού του αριθμητικού μέσου όρου.
Έτσι, ο γενικός τύπος για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου μιας σειράς επιλεγμένων αριθμών θα μοιάζει με αυτό:
(A+B+…+N)/N
Αυτή η φόρμουλα περιέχειτις ακόλουθες μεταβλητές:
Οι Α και Β είναι αριθμοί που επιλέγονται εκ των προτέρων για να υπολογιστεί ο αριθμητικός μέσος όρος τους.
N είναι ο αριθμός των αριθμών που ελήφθησαν για τον υπολογισμό της απαιτούμενης τιμής.
Αντικαθιστώντας κάθε φορά τους επιλεγμένους αριθμούς σε αυτόν τον τύπο, μπορούμε πάντα να λάβουμε την απαιτούμενη τιμή του αριθμητικού μέσου όρου.
Όπως μπορείτε να δείτε, βρίσκοντας τον αριθμητικό μέσο όροείναι μια απλή διαδικασία. Ωστόσο, πρέπει να είστε προσεκτικοί σχετικά με τους υπολογισμούς που πραγματοποιούνται και να ελέγχετε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται. Αυτή η προσέγγιση εξηγείται από το γεγονός ότι ακόμη και στις πιο απλές καταστάσεις υπάρχει πιθανότητα να λάβετε ένα σφάλμα, το οποίο μπορεί στη συνέχεια να επηρεάσει περαιτέρω υπολογισμούς. Από αυτή την άποψη, συνιστάται η χρήση τεχνολογίας υπολογιστών που είναι ικανή να εκτελεί υπολογισμούς οποιασδήποτε πολυπλοκότητας.
- Πρώτα προσθέστε αυτούς τους αριθμούς (1+3+5+7) και λάβετε 16
- Πρέπει να διαιρέσουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει με το 4 (ποσότητα): 16/4 και να πάρουμε το αποτέλεσμα 4.
- αναζητούμε το συνολικό βάρος όλων των μήλων (το άθροισμα όλων των δεικτών) - είναι ίσο με 1080 γραμμάρια,
- διαιρέστε το συνολικό βάρος με τον αριθμό των μήλων 1080:5 = 216 γραμμάρια. Αυτός είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.
- N.Ya. Vilenkin. Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο. για την Ε΄ τάξη. γενικής εκπαίδευσης uchr. - Εκδ. 17η. - Μ.: Μνημοσύνη, 2005. )
- Ο Ιγκόρ είχε μαζί του 45 ρούβλια, ο Αντρέι είχε 28 και ο Ντένις είχε 17.
- Με όλα τους τα χρήματα αγόρασαν 3 εισιτήρια κινηματογράφου. Πόσο κόστισε ένα εισιτήριο;
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το άθροισμα των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των ίδιων αριθμών. Και η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου είναι πολύ απλή.
Όπως προκύπτει από τον ορισμό, πρέπει να πάρουμε τους αριθμούς, να τους προσθέσουμε και να διαιρέσουμε με τον αριθμό τους.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα: μας δίνονται οι αριθμοί 1, 3, 5, 7 και πρέπει να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο αυτών των αριθμών.
Ο μέσος όρος λοιπόν αριθμητικοί αριθμοί 1, 3, 5 και 7 είναι 4.
Αριθμητικός μέσος όρος - η μέση τιμή μεταξύ των δεδομένων δεικτών.
Βρίσκεται διαιρώντας το άθροισμα όλων των δεικτών με τον αριθμό τους.
Για παράδειγμα, έχω 5 μήλα βάρους 200, 250, 180, 220 και 230 γραμμαρίων.
Βρίσκουμε το μέσο βάρος 1 μήλου ως εξής:
Αυτός είναι ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος δείκτης στα στατιστικά στοιχεία.
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι αριθμοί που προστίθενται και διαιρούνται με τον αριθμό τους, η απάντηση που προκύπτει είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.
Για παράδειγμα: Η Κάτια έβαλε 50 ρούβλια στον κουμπαρά, ο Μαξίμ 100 ρούβλια και η Σάσα έβαλε 150 ρούβλια στον κουμπαρά. 50 + 100 + 150 = 300 ρούβλια στον κουμπαρά, τώρα διαιρούμε αυτό το ποσό με τρία (τρία άτομα βάζουν χρήματα). Άρα 300: 3 = 100 ρούβλια. Αυτά τα 100 ρούβλια θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, καθένα από αυτά μπαίνει στον κουμπαρά.
Υπάρχει ένα τόσο απλό παράδειγμα: ένα άτομο τρώει κρέας, ένα άλλο άτομο τρώει λάχανο και ο αριθμητικός μέσος όρος και οι δύο τρώνε ρολά λάχανου.
Ο μέσος μισθός υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο...
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το άθροισμα όλων των τιμών και διαιρούμενο με τον αριθμό τους.
Για παράδειγμα οι αριθμοί 2, 3, 5, 6. Πρέπει να τα αθροίσετε 2+ 3+ 5 + 6 = 16
Διαιρούμε το 16 με το 4 και παίρνουμε την απάντηση 4.
Το 4 είναι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των αριθμών.
Ο αριθμητικός μέσος όρος πολλών αριθμών είναι το άθροισμα αυτών των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους.
x μέσος αριθμητικός μέσος όρος
S άθροισμα αριθμών
n αριθμός αριθμών.
Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών 3, 4, 5 και 6.
Για να γίνει αυτό, πρέπει να τα αθροίσουμε και να διαιρέσουμε το ποσό που προκύπτει με το 4:
(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.
Θυμάμαι ότι έκανα το τελευταίο τεστ στα μαθηματικά
Εκεί λοιπόν ήταν απαραίτητο να βρεθεί ο αριθμητικός μέσος όρος.
Είναι καλό αυτό καλοί άνθρωποιΜου είπαν τι να κάνω, αλλιώς θα υπήρχε πρόβλημα.
Για παράδειγμα, έχουμε 4 αριθμούς.
Προσθέστε τους αριθμούς και διαιρέστε με τον αριθμό τους (σε σε αυτή την περίπτωση 4)
Για παράδειγμα οι αριθμοί 2,6,1,1. Προσθέστε 2+6+1+1 και διαιρέστε με το 4 = 2,5
Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο. Άρα ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος όλων των αριθμών.
Αυτό το ξέρουμε από το σχολείο. Όποιος είχε καλό δάσκαλο μαθηματικών μπορούσε να θυμηθεί αυτή την απλή ενέργεια την πρώτη φορά.
Όταν βρίσκετε τον αριθμητικό μέσο όρο, πρέπει να αθροίσετε όλους τους διαθέσιμους αριθμούς και να διαιρέσετε με τον αριθμό τους.
Για παράδειγμα, αγόρασα στο κατάστημα 1 κιλό μήλα, 2 κιλά μπανάνες, 3 κιλά πορτοκάλια και 1 κιλό ακτινίδιο. Πόσα κιλά φρούτα αγόρασα κατά μέσο όρο;
7/4= 1,8 κιλά. Αυτός θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος αριθμός μεταξύ πολλών αριθμών.
Για παράδειγμα, μεταξύ των αριθμών 2 και 4, ο μεσαίος αριθμός είναι 3.
Ο τύπος για την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου είναι:
Πρέπει να αθροίσετε όλους τους αριθμούς και να διαιρέσετε με τον αριθμό αυτών των αριθμών:
Για παράδειγμα, έχουμε 3 αριθμούς: 2, 5 και 8.
Εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου:
Χ=(2+5+8)/3=15/3=5
Το πεδίο εφαρμογής του αριθμητικού μέσου όρου είναι αρκετά ευρύ.
Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες δύο σημείων σε ένα τμήμα, μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου αυτού του τμήματος.
Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες του τμήματος: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).
Ας υποδηλώσουμε το μέσο αυτού του τμήματος με τις συντεταγμένες X3,Y3,Z3.
Βρίσκουμε χωριστά το μέσο για κάθε συντεταγμένη:
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος του δεδομένου...
Εκείνοι. Με απλά λόγια, έχουμε έναν αριθμό ραβδιών διαφορετικού μήκους και θέλουμε να μάθουμε τη μέση τιμή τους..
Είναι λογικό ότι για αυτό τα συγκεντρώνουμε, παίρνοντας ένα μακρύ ραβδί και μετά το χωρίζουμε στον απαιτούμενο αριθμό εξαρτημάτων..
Εδώ έρχεται ο αριθμητικός μέσος όρος...
Έτσι προκύπτει ο τύπος: Sa=(S(1)+..S(n))/n..
Η αριθμητική θεωρείται ο πιο στοιχειώδης κλάδος των μαθηματικών και μελετά απλές πράξεις με αριθμούς. Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι επίσης πολύ εύκολος να βρεθεί. Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια τιμή που δείχνει ποιος αριθμός είναι πιο κοντά στην αλήθεια μετά από πολλές διαδοχικές πράξεις του ίδιου τύπου. Για παράδειγμα, όταν τρέχει εκατό μέτρα, ένα άτομο δείχνει κάθε φορά διαφορετικές εποχές, αλλά η μέση τιμή θα είναι εντός, για παράδειγμα, 12 δευτερολέπτων. Η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου με αυτόν τον τρόπο καταλήγει στη διαδοχική άθροιση όλων των αριθμών σε μια συγκεκριμένη σειρά (αποτελέσματα κούρσας) και στη διαίρεση αυτού του αθροίσματος με τον αριθμό αυτών των φυλών (προσπάθειες, αριθμοί). Σε μορφή τύπου μοιάζει με αυτό:
Sarif = (Х1+Х2+..+Хn)/n
Ως μαθηματικός, με ενδιαφέρουν ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα.
Θα ξεκινήσω με το ιστορικό του θέματος. Οι μέσες τιμές θεωρούνταν από την αρχαιότητα. Αριθμητικός μέσος, γεωμετρικός μέσος, αρμονικός μέσος όρος. Αυτές οι έννοιες προτείνονται στο αρχαία ΕλλάδαΠυθαγόρειοι.
Και τώρα το ερώτημα που μας ενδιαφέρει. Τι σημαίνει αριθμητικός μέσος όρος πολλών αριθμών:
Έτσι, για να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών, πρέπει να προσθέσετε όλους τους αριθμούς και να διαιρέσετε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων.
Ο τύπος είναι:
Παράδειγμα.Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών: 100, 175, 325.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο τριών αριθμών (δηλαδή, αντί για n θα υπάρχει 3, πρέπει να αθροίσετε και τους 3 αριθμούς και να διαιρέσετε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό τους, δηλαδή με το 3). Έχουμε: x=(100+175+325)/3=600/3=200.
Τρία παιδιά πήγαν στο δάσος για να μαζέψουν μούρα. Η μεγαλύτερη κόρηβρήκε 18 μούρα, το μεσαίο - 15 και ο μικρότερος αδελφός - 3 μούρα (βλ. Εικ. 1). Έφεραν τα μούρα στη μαμά, η οποία αποφάσισε να μοιράσει τα μούρα εξίσου. Πόσα μούρα έλαβε κάθε παιδί;
Ρύζι. 1. Απεικόνιση για το πρόβλημα
Διάλυμα
(Γιαγ.) - τα παιδιά μάζευαν τα πάντα
2) Διαιρέστε τον συνολικό αριθμό των μούρων με τον αριθμό των παιδιών:
(Γιαγ.) πήγαινε σε κάθε παιδί
Απάντηση: Κάθε παιδί θα λάβει 12 μούρα.
Στο πρόβλημα 1, ο αριθμός που προκύπτει στην απάντηση είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.
Αριθμητικός μέσος όροςαρκετοί αριθμοί είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αυτών των αριθμών με τον αριθμό τους.
Παράδειγμα 1
Έχουμε δύο αριθμούς: 10 και 12. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο τους.
Διάλυμα
1) Ας προσδιορίσουμε το άθροισμα αυτών των αριθμών: .
2) Ο αριθμός αυτών των αριθμών είναι 2, επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των αριθμών είναι ίσος με: .
Απάντηση: Ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 10 και 12 είναι ο αριθμός 11.
Παράδειγμα 2
Έχουμε πέντε αριθμούς: 1, 2, 3, 4 και 5. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο τους.
Διάλυμα
1) Το άθροισμα αυτών των αριθμών ισούται με: .
2) Εξ ορισμού, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος των αριθμών με τον αριθμό τους. Έχουμε πέντε αριθμούς, οπότε ο αριθμητικός μέσος όρος είναι:
Απάντηση: ο αριθμητικός μέσος όρος των δεδομένων στη συνθήκη αριθμών είναι 3.
Εκτός από το γεγονός ότι προτείνεται συνεχώς να βρίσκεται στα μαθήματα, η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου είναι πολύ χρήσιμη σε καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι θέλουμε να πάμε διακοπές στην Ελλάδα. Για να επιλέξουμε τα κατάλληλα ρούχα, εξετάζουμε τη θερμοκρασία σε αυτή τη χώρα αυτή τη στιγμή. Ωστόσο, δεν θα ξέρουμε μεγάλη εικόνακαιρός. Επομένως, είναι απαραίτητο να μάθουμε τη θερμοκρασία του αέρα στην Ελλάδα, για παράδειγμα, για μια εβδομάδα και να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο αυτών των θερμοκρασιών.
Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.
Θερμοκρασία στην Ελλάδα για την εβδομάδα: Δευτέρα - ; Τρίτη - ; Τετάρτη - ; Πέμπτη - ; Παρασκευή - ; Σάββατο - ; Κυριακή -. Υπολογίστε τη μέση θερμοκρασία για την εβδομάδα.
Διάλυμα
1) Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των θερμοκρασιών: .
2) Διαιρέστε το ποσό που προκύπτει με τον αριθμό των ημερών: .
Απάντηση: Η μέση θερμοκρασία για την εβδομάδα είναι περίπου.
Η ικανότητα εύρεσης του αριθμητικού μέσου όρου μπορεί επίσης να χρειαστεί για τον προσδιορισμό της μέσης ηλικίας των παικτών ποδοσφαιρική ομάδα, δηλαδή για να διαπιστωθεί αν η ομάδα είναι έμπειρη ή όχι. Είναι απαραίτητο να συνοψίσουμε τις ηλικίες όλων των παικτών και να διαιρέσουμε με τον αριθμό τους.
Πρόβλημα 2
Ο έμπορος πουλούσε μήλα. Στην αρχή τα πούλησε στην τιμή των 85 ρούβλια ανά 1 κιλό. Έτσι πούλησε 12 κιλά. Στη συνέχεια μείωσε την τιμή στα 65 ρούβλια και πούλησε τα υπόλοιπα 4 κιλά μήλα. Ποια ήταν η μέση τιμή για τα μήλα;
Διάλυμα
1) Ας υπολογίσουμε πόσα χρήματα κέρδισε συνολικά ο έμπορος. Πούλησε 12 κιλά στην τιμή των 85 ρούβλια ανά 1 κιλό: 
(τρίψιμο.).
Πούλησε 4 κιλά στην τιμή 65 ρούβλια ανά 1 κιλό: (ρούβλια).
Επομένως, το συνολικό ποσό των χρημάτων που κερδίσατε είναι ίσο με: (τρίψτε.).
2) Το συνολικό βάρος των μήλων που πωλούνται είναι: .
3) Διαιρέστε το ληφθέν χρηματικό ποσό με το συνολικό βάρος των μήλων που πωλήθηκαν και λάβετε τη μέση τιμή για 1 κιλό μήλα: (ρούβλια).
Απάντηση: η μέση τιμή 1 κιλού μήλων που πωλούνται είναι 80 ρούβλια.
Ο αριθμητικός μέσος όρος βοηθά στην αξιολόγηση των δεδομένων στο σύνολό τους, χωρίς να λαμβάνεται κάθε τιμή ξεχωριστά.
Ωστόσο, δεν είναι πάντα δυνατό να χρησιμοποιηθεί η έννοια του αριθμητικού μέσου όρου.
Παράδειγμα 4
Ο σκοπευτής έριξε δύο βολές στον στόχο (βλ. Εικ. 2): την πρώτη φορά χτύπησε ένα μέτρο πάνω από το στόχο και τη δεύτερη φορά ένα μέτρο κάτω. Ο αριθμητικός μέσος όρος θα δείξει ότι χτύπησε ακριβώς στο κέντρο, αν και αστόχησε και τις δύο φορές.
Ρύζι. 2. Εικονογράφηση για παράδειγμα
Σε αυτό το μάθημα μάθαμε για την έννοια του αριθμητικού μέσου όρου. Μάθαμε τον ορισμό αυτής της έννοιας, μάθαμε πώς να υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο για πολλούς αριθμούς. Μάθαμε και εμείς πρακτική εφαρμογήαυτή η έννοια.