Σε αυτό το μάθημα θα συνεχίσουμε να μελετάμε τη μέθοδο επίλυσης συστημάτων εξισώσεων, δηλαδή τη μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης. Αρχικά, ας δούμε την εφαρμογή αυτής της μεθόδου χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα γραμμικές εξισώσειςκαι την ουσία του. Ας θυμηθούμε επίσης πώς να εξισωθούν οι συντελεστές σε εξισώσεις. Και θα λύσουμε μια σειρά προβλημάτων χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο.

Θέμα: Συστήματα εξισώσεων

Μάθημα: Μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης

1. Μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης χρησιμοποιώντας ως παράδειγμα γραμμικά συστήματα

Ας σκεφτούμε αλγεβρική μέθοδος πρόσθεσηςχρησιμοποιώντας το παράδειγμα γραμμικών συστημάτων.

Παράδειγμα 1. Λύστε το σύστημα

Αν προσθέσουμε αυτές τις δύο εξισώσεις, τότε το y ακυρώνεται, αφήνοντας μια εξίσωση για το x.

Αν αφαιρέσουμε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση, τα x ακυρώνονται μεταξύ τους και παίρνουμε μια εξίσωση για το y. Αυτό είναι το νόημα της αλγεβρικής μεθόδου πρόσθεσης.

Λύσαμε το σύστημα και θυμηθήκαμε τη μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης. Ας επαναλάβουμε την ουσία του: μπορούμε να προσθέτουμε και να αφαιρούμε εξισώσεις, αλλά πρέπει να φροντίσουμε να πάρουμε μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο.

2. Μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης με προκαταρκτική εξίσωση συντελεστών

Παράδειγμα 2. Λύστε το σύστημα

Ο όρος υπάρχει και στις δύο εξισώσεις, επομένως η αλγεβρική μέθοδος πρόσθεσης είναι βολική. Ας αφαιρέσουμε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση.

Απάντηση: (2; -1).

Έτσι, αφού αναλύσετε το σύστημα των εξισώσεων, μπορείτε να δείτε ότι είναι βολικό για τη μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης και να το εφαρμόσετε.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο γραμμικό σύστημα.

3. Λύση μη γραμμικών συστημάτων

Παράδειγμα 3. Λύστε το σύστημα

Θέλουμε να απαλλαγούμε από το y, αλλά οι συντελεστές του y είναι διαφορετικοί στις δύο εξισώσεις. Ας τις εξισώσουμε για να το κάνουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί 3, τη δεύτερη επί 4.

Παράδειγμα 4. Λύστε το σύστημα

Ας εξισώσουμε τους συντελεστές για το x

Μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά - εξισώστε τους συντελεστές για το y.

Επιλύσαμε το σύστημα εφαρμόζοντας δύο φορές την αλγεβρική πρόσθεση.

Η μέθοδος της αλγεβρικής πρόσθεσης είναι επίσης εφαρμόσιμη στην επίλυση μη γραμμικών συστημάτων.

Παράδειγμα 5. Λύστε το σύστημα

Ας προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις μαζί και θα απαλλαγούμε από το y.

Το ίδιο σύστημα μπορεί να λυθεί με την εφαρμογή της μεθόδου της αλγεβρικής πρόσθεσης δύο φορές. Ας προσθέσουμε και ας αφαιρέσουμε από μια εξίσωση μια άλλη.

Παράδειγμα 6. Λύστε το σύστημα

Απάντηση:

Παράδειγμα 7. Λύστε το σύστημα

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης θα απαλλαγούμε από τον όρο xy. Ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με .

Η πρώτη εξίσωση παραμένει αμετάβλητη, αντί για τη δεύτερη γράφουμε το αλγεβρικό άθροισμα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 8. Λύστε το σύστημα

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2 για να απομονώσετε ένα τέλειο τετράγωνο.

Το καθήκον μας περιορίστηκε στην επίλυση τεσσάρων απλών συστημάτων.

4. Συμπέρασμα

Εξετάσαμε τη μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων. Στο επόμενο μάθημα θα δούμε τη μέθοδο εισαγωγής νέων μεταβλητών.

1. Mordkovich A.G. et al., 9η τάξη: Σχολικό βιβλίο. Για γενική εκπαίδευση Ιδρύματα.- 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-192 σελ.: εικ.

2. Mordkovich A.G. et al., 9η τάξη: Πρόβλημα για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A.G. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: εικ.

3. Makarychev Yu. 9η τάξη: εκπαιδευτικά. για μαθητές γενικής εκπαίδευσης. ιδρύματα / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu., Sidorov V. 9η τάξη. 16η έκδ. - Μ., 2011. - 287 σελ.

5. Mordkovich A. G. Άλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12η έκδ., σβησμένο. - M.: 2010. - 224 σελ.: ill.

6. Άλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 μέρη, Μέρος 2. Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina και άλλοι. Εκδ. A. G. Mordkovich. — 12η έκδ., αναθ. - Μ.: 2010.-223 σελ.: αρ.

1. Τμήμα Κολλεγίου. ru στα μαθηματικά.

2. Διαδικτυακό έργο «Εργασίες».

3. Εκπαιδευτική πύλη"ΘΑ ΛΥΣΩ ΤΗ ΧΡΗΣΗ."

1. Mordkovich A.G. et al., 9η τάξη: Πρόβλημα για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A.G. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: εικ. Νο. 125 - 127.

Πρέπει να κατεβάσετε ένα σχέδιο μαθήματος για το θέμα » Μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης?

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους είναι δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθούν όλες οι κοινές λύσεις τους. Θα εξετάσουμε συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα. Γενική μορφήΈνα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Εδώ τα x και y είναι άγνωστες μεταβλητές, οι a1, a2, b1, b2, c1, c2 είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί. Μια λύση σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο αγνώστους είναι ένα ζεύγος αριθμών (x,y) έτσι ώστε αν αντικαταστήσουμε αυτούς τους αριθμούς στις εξισώσεις του συστήματος, τότε καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Ας εξετάσουμε έναν από τους τρόπους επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή τη μέθοδο πρόσθεσης.

Αλγόριθμος επίλυσης με μέθοδο πρόσθεσης

Αλγόριθμος επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους με τη μέθοδο της πρόσθεσης.

1. Εάν απαιτείται, μέσω ισοδύναμων μετασχηματισμών, εξισώστε τους συντελεστές μιας από τις άγνωστες μεταβλητές και στις δύο εξισώσεις.

2. Προσθέτοντας ή αφαιρώντας τις εξισώσεις που προκύπτουν, λάβετε μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με έναν άγνωστο και βρείτε μια από τις μεταβλητές.

4. Αντικαταστήστε την παράσταση που προκύπτει σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λύστε αυτήν την εξίσωση, λαμβάνοντας έτσι τη δεύτερη μεταβλητή.

5. Ελέγξτε το διάλυμα.

Ένα παράδειγμα λύσης που χρησιμοποιεί τη μέθοδο προσθήκης

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, ας λύσουμε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Εφόσον καμία από τις μεταβλητές δεν έχει ίδιους συντελεστές, εξισώνουμε τους συντελεστές της μεταβλητής y. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση επί τρία και τη δεύτερη εξίσωση επί δύο.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Τώρα αφαιρούμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους και λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Αντικαθιστούμε την προκύπτουσα τιμή στην πρώτη εξίσωση από το αρχικό μας σύστημα και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Το αποτέλεσμα είναι ένα ζεύγος αριθμών x=6 και y=14. Ελέγχουμε. Ας κάνουμε μια αντικατάσταση.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Όπως μπορείτε να δείτε, πήραμε δύο σωστές ισότητες, επομένως, βρήκαμε τη σωστή λύση.

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται ευρέως στον οικονομικό τομέα στη μαθηματική μοντελοποίηση διάφορες διαδικασίες. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση προβλημάτων διαχείρισης και προγραμματισμού παραγωγής, διαδρομών logistics (πρόβλημα μεταφοράς) ή τοποθέτησης εξοπλισμού.

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στη φυσική, τη χημεία και τη βιολογία, κατά την επίλυση προβλημάτων εύρεσης μεγέθους πληθυσμού.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι δύο ή περισσότερες εξισώσεις με πολλές μεταβλητές για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθεί μια κοινή λύση. Μια τέτοια ακολουθία αριθμών για την οποία όλες οι εξισώσεις γίνονται αληθινές ισότητες ή αποδεικνύουν ότι η ακολουθία δεν υπάρχει.

Γραμμική εξίσωση

Οι εξισώσεις της μορφής ax+by=c ονομάζονται γραμμικές. Οι χαρακτηρισμοί x, y είναι οι άγνωστοι των οποίων η τιμή πρέπει να βρεθεί, b, a είναι οι συντελεστές των μεταβλητών, c είναι ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης.
Η επίλυση μιας εξίσωσης σχεδιάζοντας την θα μοιάζει με μια ευθεία γραμμή, της οποίας όλα τα σημεία είναι λύσεις του πολυωνύμου.

Είδη συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Τα πιο απλά παραδείγματα θεωρούνται συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές X και Y.

F1(x, y) = 0 και F2(x, y) = 0, όπου F1,2 είναι συναρτήσεις και (x, y) είναι μεταβλητές συνάρτησης.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων - Αυτό σημαίνει εύρεση τιμών (x, y) στις οποίες το σύστημα μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα ή διαπίστωση ότι οι κατάλληλες τιμές των x και y δεν υπάρχουν.

Ένα ζεύγος τιμών (x, y), γραμμένο ως συντεταγμένες ενός σημείου, ονομάζεται λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Εάν τα συστήματα έχουν μία κοινή λύση ή δεν υπάρχει λύση, ονομάζονται ισοδύναμα.

Ομογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι συστήματα των οποίων η δεξιά πλευρά είναι ίση με μηδέν. Αν το δεξί μέρος μετά το πρόσημο ίσου έχει τιμή ή εκφράζεται με συνάρτηση, ένα τέτοιο σύστημα είναι ετερογενές.

Ο αριθμός των μεταβλητών μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερος από δύο, τότε θα πρέπει να μιλήσουμε για ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τρεις ή περισσότερες μεταβλητές.

Όταν έρχονται αντιμέτωποι με συστήματα, οι μαθητές υποθέτουν ότι ο αριθμός των εξισώσεων πρέπει απαραίτητα να συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων, αλλά αυτό δεν συμβαίνει. Ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα δεν εξαρτάται από τις μεταβλητές μπορεί να υπάρχουν τόσες από αυτές.

Απλές και σύνθετες μέθοδοι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων

Δεν υπάρχει γενική αναλυτική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων συστημάτων, όλες οι μέθοδοι βασίζονται σε αριθμητικές λύσεις. ΣΕ σχολικό μάθημαΤα Μαθηματικά περιγράφουν λεπτομερώς μεθόδους όπως μετάθεση, αλγεβρική προσθήκη, αντικατάσταση, καθώς και γραφικές και μητρικές μεθόδους, λύση με τη μέθοδο Gaussian.

Το κύριο καθήκον κατά τη διδασκαλία μεθόδων λύσης είναι να διδάξετε πώς να αναλύετε σωστά το σύστημα και να βρείτε τον βέλτιστο αλγόριθμο λύσης για κάθε παράδειγμα. Το κύριο πράγμα δεν είναι να απομνημονεύσετε ένα σύστημα κανόνων και ενεργειών για κάθε μέθοδο, αλλά να κατανοήσετε τις αρχές της χρήσης μιας συγκεκριμένης μεθόδου

Η επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων στο πρόγραμμα σπουδών της 7ης τάξης γενικής εκπαίδευσης είναι αρκετά απλή και εξηγείται με μεγάλη λεπτομέρεια. Σε κάθε εγχειρίδιο μαθηματικών δίνεται αρκετή προσοχή σε αυτή την ενότητα. Η επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss and Cramer μελετάται λεπτομερέστερα στα πρώτα χρόνια της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο της υποκατάστασης

Οι ενέργειες της μεθόδου αντικατάστασης στοχεύουν στην έκφραση της τιμής μιας μεταβλητής ως προς τη δεύτερη. Η έκφραση αντικαθίσταται στην υπόλοιπη εξίσωση και στη συνέχεια ανάγεται σε μορφή με μία μεταβλητή. Η ενέργεια επαναλαμβάνεται ανάλογα με τον αριθμό των αγνώστων στο σύστημα

Ας δώσουμε μια λύση σε ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων της κλάσης 7 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, η μεταβλητή x εκφράστηκε μέσω F(X) = 7 + Y. Η προκύπτουσα έκφραση, που αντικαταστάθηκε στη 2η εξίσωση του συστήματος στη θέση του X, βοήθησε να ληφθεί μία μεταβλητή Y στη 2η εξίσωση . Λύση αυτό το παράδειγμαδεν προκαλεί δυσκολίες και σας επιτρέπει να λάβετε την τιμή Y Το τελευταίο βήμα είναι να ελέγξετε τις λαμβανόμενες τιμές.

Δεν είναι πάντα δυνατό να λυθεί ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αντικατάσταση. Οι εξισώσεις μπορεί να είναι σύνθετες και η έκφραση της μεταβλητής με βάση το δεύτερο άγνωστο θα είναι πολύ δυσκίνητη για περαιτέρω υπολογισμούς. Όταν υπάρχουν περισσότερα από 3 άγνωστα στο σύστημα, η επίλυση με αντικατάσταση είναι επίσης ακατάλληλη.

Λύση παραδείγματος συστήματος γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων:

Λύση με αλγεβρική πρόσθεση

Όταν αναζητούν λύσεις σε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης, εκτελούν πρόσθεση και πολλαπλασιασμό εξισώσεων με διαφορετικούς αριθμούς. Ο απώτερος στόχος των μαθηματικών πράξεων είναι μια εξίσωση σε μία μεταβλητή.

Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου απαιτεί εξάσκηση και παρατήρηση. Η επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης όταν υπάρχουν 3 ή περισσότερες μεταβλητές δεν είναι εύκολη. Η αλγεβρική πρόσθεση είναι βολική στη χρήση όταν οι εξισώσεις περιέχουν κλάσματα και δεκαδικούς.

Αλγόριθμος λύσης:

1. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν συγκεκριμένο αριθμό. Ως αποτέλεσμα της αριθμητικής πράξης, ένας από τους συντελεστές της μεταβλητής πρέπει να γίνει ίσος με 1.
2. Προσθέστε την προκύπτουσα έκφραση όρο προς όρο και βρείτε ένα από τα άγνωστα.
3. Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στη 2η εξίσωση του συστήματος για να βρείτε την υπόλοιπη μεταβλητή.

Μέθοδος επίλυσης με την εισαγωγή νέας μεταβλητής

Μια νέα μεταβλητή μπορεί να εισαχθεί εάν το σύστημα απαιτεί την εύρεση λύσης για όχι περισσότερες από δύο εξισώσεις, ο αριθμός των αγνώστων δεν πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερος από δύο.

Η μέθοδος χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει μία από τις εξισώσεις εισάγοντας μια νέα μεταβλητή. Η νέα εξίσωση λύνεται για το εισαγόμενο άγνωστο και η τιμή που προκύπτει χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της αρχικής μεταβλητής.

Το παράδειγμα δείχνει ότι με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής t, ήταν δυνατό να μειωθεί η 1η εξίσωση του συστήματος στην τυπική τετραγωνικό τριώνυμο. Μπορείτε να λύσετε ένα πολυώνυμο βρίσκοντας το διαχωριστικό.

Είναι απαραίτητο να βρούμε την τιμή του διαχωριστή χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο: D = b2 - 4*a*c, όπου D είναι η επιθυμητή διάκριση, b, a, c είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, a=1, b=16, c=39, επομένως D=100. Εάν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε υπάρχουν δύο λύσεις: t = -b±√D / 2*a, εάν η διάκριση είναι μικρότερη από μηδέν, τότε υπάρχει μία λύση: x = -b / 2*a.

Η λύση για τα συστήματα που προκύπτουν βρίσκεται με τη μέθοδο της προσθήκης.

Οπτική μέθοδος επίλυσης συστημάτων

Κατάλληλο για συστήματα 3 εξισώσεων. Η μέθοδος είναι να βασιστείτε άξονα συντεταγμένωνγραφήματα κάθε εξίσωσης που περιλαμβάνεται στο σύστημα. Οι συντεταγμένες των σημείων τομής των καμπυλών και θα είναι γενική απόφασησυστήματα.

Η γραφική μέθοδος έχει μια σειρά από αποχρώσεις. Ας δούμε αρκετά παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με οπτικό τρόπο.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, για κάθε γραμμή κατασκευάστηκαν δύο σημεία, επιλέχθηκαν αυθαίρετα οι τιμές της μεταβλητής x: 0 και 3. Με βάση τις τιμές του x, βρέθηκαν οι τιμές για το y: 3 και 0. Σημεία με συντεταγμένες (0, 3) και (3, 0) σημειώθηκαν στο γράφημα και συνδέθηκαν με μια γραμμή.

Τα βήματα πρέπει να επαναληφθούν για τη δεύτερη εξίσωση. Το σημείο τομής των ευθειών είναι η λύση του συστήματος.

ΣΕ παρακάτω παράδειγμαπρέπει να βρείτε μια γραφική λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων: 0,5x-y+2=0 και 0,5x-y-1=0.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, το σύστημα δεν έχει λύση, γιατί οι γραφικές παραστάσεις είναι παράλληλες και δεν τέμνονται σε όλο τους το μήκος.

Τα συστήματα από τα παραδείγματα 2 και 3 είναι παρόμοια, αλλά όταν κατασκευάζονται γίνεται προφανές ότι οι λύσεις τους είναι διαφορετικές. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι δεν είναι πάντα δυνατό να πούμε εάν ένα σύστημα έχει μια λύση ή όχι, είναι πάντα απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα γράφημα.

Η μήτρα και οι ποικιλίες της

Οι πίνακες χρησιμοποιούνται για τη συνοπτική σύνταξη ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Ένας πίνακας είναι ένας πίνακας ειδικού τύπουγεμάτο με αριθμούς. Το n*m έχει n - γραμμές και m - στήλες.

Ένας πίνακας είναι τετράγωνος όταν ο αριθμός των στηλών και των γραμμών είναι ίσος. Ένας πίνακας-διάνυσμα είναι ένας πίνακας μιας στήλης με έναν απεριόριστο δυνατό αριθμό σειρών. Ένας πίνακας με μονάδες κατά μήκος μιας από τις διαγωνίους και άλλα μηδενικά στοιχεία ονομάζεται ταυτότητα.

Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ένας πίνακας όταν πολλαπλασιάζεται με τον οποίο ο αρχικός μετατρέπεται σε μοναδιαίο πίνακα.

Κανόνες μετατροπής συστήματος εξισώσεων σε πίνακα

Σε σχέση με συστήματα εξισώσεων, οι συντελεστές και οι ελεύθεροι όροι των εξισώσεων γράφονται ως αριθμοί μήτρας.

Μια γραμμή πίνακα λέγεται ότι είναι μη μηδενική εάν τουλάχιστον ένα στοιχείο της γραμμής δεν είναι μηδέν. Επομένως, εάν σε κάποια από τις εξισώσεις ο αριθμός των μεταβλητών διαφέρει, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγετε μηδέν στη θέση του αγνώστου που λείπει.

Οι στήλες του πίνακα πρέπει να αντιστοιχούν αυστηρά στις μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές της μεταβλητής x μπορούν να γραφτούν μόνο σε μία στήλη, για παράδειγμα η πρώτη, ο συντελεστής του αγνώστου y - μόνο στη δεύτερη.

Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα, όλα τα στοιχεία του πίνακα πολλαπλασιάζονται διαδοχικά με έναν αριθμό.

Επιλογές για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Ο τύπος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα είναι αρκετά απλός: K -1 = 1 / |K|, όπου K -1 είναι ο αντίστροφος πίνακας και |K| είναι η ορίζουσα του πίνακα. |Κ| δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια λύση.

Η ορίζουσα υπολογίζεται εύκολα για έναν πίνακα δύο προς δύο, απλά πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα διαγώνια στοιχεία μεταξύ τους. Για την επιλογή "τρία επί τρία", υπάρχει ένας τύπος |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο ή μπορείτε να θυμηθείτε ότι πρέπει να πάρετε ένα στοιχείο από κάθε γραμμή και κάθε στήλη, έτσι ώστε οι αριθμοί των στηλών και των σειρών των στοιχείων να μην επαναλαμβάνονται στην εργασία.

Επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Η μέθοδος μήτρας για την εύρεση λύσης σάς επιτρέπει να μειώσετε τις περίπλοκες εγγραφές κατά την επίλυση συστημάτων με μεγάλο αριθμό μεταβλητών και εξισώσεων.

Στο παράδειγμα, ένα nm είναι οι συντελεστές των εξισώσεων, ο πίνακας είναι ένα διάνυσμα x n είναι μεταβλητές και b n είναι ελεύθεροι όροι.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο Gaussian

Στα ανώτερα μαθηματικά, η μέθοδος Gauss μελετάται μαζί με τη μέθοδο Cramer και η διαδικασία εύρεσης λύσεων σε συστήματα ονομάζεται μέθοδος λύσης Gauss-Cramer. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την εύρεση μεταβλητά συστήματαμε μεγάλο αριθμό γραμμικών εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss μοιάζει πολύ με λύσεις με υποκατάσταση και αλγεβρική πρόσθεση, αλλά είναι πιο συστηματική. Στο σχολικό μάθημα η λύση με τη μέθοδο Gauss χρησιμοποιείται για συστήματα 3 και 4 εξισώσεων. Ο στόχος της μεθόδου είναι να αναγάγει το σύστημα στη μορφή ενός ανεστραμμένου τραπεζοειδούς. Με αλγεβρικοί μετασχηματισμοίκαι αντικαταστάσεις, η τιμή μιας μεταβλητής βρίσκεται σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. Η δεύτερη εξίσωση είναι μια παράσταση με 2 άγνωστα, ενώ τα 3 και 4 είναι, αντίστοιχα, με 3 και 4 μεταβλητές.

Αφού φέρει το σύστημα στην περιγραφόμενη μορφή, η περαιτέρω λύση ανάγεται στη διαδοχική αντικατάσταση γνωστών μεταβλητών στις εξισώσεις του συστήματος.

Στα σχολικά εγχειρίδια για την 7η τάξη, ένα παράδειγμα λύσης με τη μέθοδο Gauss περιγράφεται ως εξής:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, στο βήμα (3) προέκυψαν δύο εξισώσεις: 3x 3 -2x 4 =11 και 3x 3 +2x 4 =7. Η επίλυση οποιασδήποτε από τις εξισώσεις θα σας επιτρέψει να βρείτε μία από τις μεταβλητές x n.

Το θεώρημα 5, το οποίο αναφέρεται στο κείμενο, αναφέρει ότι εάν μία από τις εξισώσεις του συστήματος αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη, τότε το σύστημα που θα προκύψει θα είναι επίσης ισοδύναμο με το αρχικό.

Η μέθοδος Gauss είναι δύσκολο να κατανοηθεί από τους μαθητές Λύκειο, αλλά είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντες τρόπουςνα αναπτύξει την εφευρετικότητα των παιδιών που είναι εγγεγραμμένα σε προχωρημένα προγράμματα σπουδών σε μαθήματα μαθηματικών και φυσικής.

Για ευκολία καταγραφής, οι υπολογισμοί συνήθως γίνονται ως εξής:

Οι συντελεστές των εξισώσεων και οι ελεύθεροι όροι γράφονται με τη μορφή πίνακα, όπου κάθε σειρά του πίνακα αντιστοιχεί σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. χωρίζει την αριστερή πλευρά της εξίσωσης από τη δεξιά. Οι λατινικοί αριθμοί δείχνουν τους αριθμούς των εξισώσεων στο σύστημα.

Πρώτα, σημειώστε τη μήτρα με την οποία θα εργαστείτε και μετά όλες τις ενέργειες που πραγματοποιήθηκαν με μία από τις σειρές. Ο πίνακας που προκύπτει γράφεται μετά το σύμβολο "βέλος" και οι απαραίτητες αλγεβρικές πράξεις συνεχίζονται μέχρι να επιτευχθεί το αποτέλεσμα.

Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας πίνακας στον οποίο μία από τις διαγώνιες είναι ίση με 1 και όλοι οι άλλοι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή ο πίνακας μειώνεται σε μορφή μονάδας. Δεν πρέπει να ξεχνάμε να κάνουμε υπολογισμούς με αριθμούς και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

Αυτή η μέθοδος εγγραφής είναι λιγότερο επαχθής και σας επιτρέπει να μην αποσπάτε την προσοχή αναφέροντας πολλά άγνωστα.

Η δωρεάν χρήση οποιασδήποτε μεθόδου λύσης απαιτεί προσοχή και κάποια εμπειρία. Δεν είναι όλες οι μέθοδοι εφαρμοσμένου χαρακτήρα. Ορισμένες μέθοδοι εύρεσης λύσεων είναι πιο προτιμητέες σε έναν συγκεκριμένο τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας, ενώ άλλες υπάρχουν για εκπαιδευτικούς σκοπούς.

Χρησιμοποιώντας αυτό το μαθηματικό πρόγραμμα, μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης και τη μέθοδο πρόσθεσης.

Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά δίνει και λεπτομερής λύσημε επεξηγήσεις των βημάτων λύσης με δύο τρόπους: τη μέθοδο υποκατάστασης και τη μέθοδο προσθήκης.

Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σε σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης κατά την προετοιμασία δοκιμέςκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε όσο πιο γρήγορα γίνεται;εργασία για το σπίτι

στα μαθηματικά ή στην άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων.

Κανόνες εισαγωγής εξισώσεων
Οποιοδήποτε λατινικό γράμμα μπορεί να λειτουργήσει ως μεταβλητή.

Για παράδειγμα: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), κ.λπ. Κατά την εισαγωγή εξισώσεωνμπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις
. Στην περίπτωση αυτή, οι εξισώσεις αρχικά απλοποιούνται.

Οι εξισώσεις μετά τις απλοποιήσεις πρέπει να είναι γραμμικές, δηλ. της μορφής ax+by+c=0 με την ακρίβεια της τάξης των στοιχείων.

Για παράδειγμα: 6x+1 = 5(x+y)+2
Στις εξισώσεις, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όχι μόνο ακέραιους αριθμούς, αλλά και κλάσματα με τη μορφή δεκαδικών και συνηθισμένων κλασμάτων. Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.Ακέραια και κλασματικά μέρη σε
δεκαδικά

μπορεί να διαχωριστεί είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα: 2,1n + 3,5m = 55
Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος. /
Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός. &

Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης:
Ολόκληρο το τμήμα χωρίζεται από το κλάσμα με το σύμβολο του συμπλεκτικού:
Παραδείγματα.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Παράδειγμα: 3x-4y = 5
Παράδειγμα: 6x+1 = 5(x+y)+2
Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.

Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.
Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.

Για να εμφανιστεί η λύση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τη JavaScript.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά. Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.

Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...Αν εσύ
παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση , τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασία.

εσύ αποφασίζεις τι

εισάγετε στα πεδία

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Η ακολουθία ενεργειών κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης:
1) να εκφράσετε μια μεταβλητή από κάποια εξίσωση του συστήματος σε σχέση με μια άλλη.
2) αντικαταστήστε την προκύπτουσα έκφραση σε μια άλλη εξίσωση του συστήματος αντί αυτής της μεταβλητής.

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ας εκφράσουμε το y ως x από την πρώτη εξίσωση: y = 7-3x. Αντικαθιστώντας την έκφραση 7-3x στη δεύτερη εξίσωση αντί για y, λαμβάνουμε το σύστημα:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \δεξιά. $$

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το πρώτο και το δεύτερο σύστημα έχουν τις ίδιες λύσεις. Στο δεύτερο σύστημα, η δεύτερη εξίσωση περιέχει μόνο μία μεταβλητή. Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Δεξί βέλος -5x+14-6x=3 \Δεξί βέλος -11x=-11 \Δεξί βέλος x=1 $$

Αντικαθιστώντας τον αριθμό 1 αντί του x στην ισότητα y=7-3x, βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή του y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Δεξί βέλος y=4 $$

Ζεύγος (1;4) - λύση του συστήματος

Τα συστήματα εξισώσεων σε δύο μεταβλητές που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμος. Ισοδύναμα θεωρούνται και συστήματα που δεν έχουν λύσεις.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με πρόσθεση

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων - τη μέθοδο πρόσθεσης. Όταν λύνουμε συστήματα με αυτόν τον τρόπο, καθώς και όταν λύνουμε με αντικατάσταση, περνάμε από αυτό το σύστημα σε ένα άλλο, ισοδύναμο σύστημα, στο οποίο μία από τις εξισώσεις περιέχει μόνο μία μεταβλητή.

Η ακολουθία ενεργειών κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:
1) πολλαπλασιάστε τις εξισώσεις του συστήματος όρο προς όρο, επιλέγοντας παράγοντες έτσι ώστε οι συντελεστές μιας από τις μεταβλητές να γίνουν αντίθετοι αριθμοί.
2) Προσθέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων του συστήματος ανά όρο.
3) λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
4) βρείτε την αντίστοιχη τιμή της δεύτερης μεταβλητής.

Παράδειγμα. Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Στις εξισώσεις αυτού του συστήματος, οι συντελεστές του y είναι αντίθετοι αριθμοί. Προσθέτοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων όρο προς όρο, προκύπτει μια εξίσωση με μία μεταβλητή 3x=33. Ας αντικαταστήσουμε μια από τις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα την πρώτη, με την εξίσωση 3x=33. Ας πάρουμε το σύστημα
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Από την εξίσωση 3x=33 βρίσκουμε ότι x=11. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή x στην εξίσωση \(x-3y=38\) παίρνουμε μια εξίσωση με τη μεταβλητή y: \(11-3y=38\). Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:
\(-3y=27 \Δεξί βέλος y=-9 \)

Έτσι, βρήκαμε τη λύση στο σύστημα των εξισώσεων με πρόσθεση: \(x=11; y=-9\) ή \((11;-9)\)

Εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι στις εξισώσεις του συστήματος οι συντελεστές του y είναι αντίθετοι αριθμοί, αναγάγαμε τη λύση του στη λύση ενός ισοδύναμου συστήματος (αθροίζοντας και τις δύο πλευρές καθεμιάς από τις εξισώσεις του αρχικού συστήματος), στο οποίο ένα των εξισώσεων περιέχει μόνο μία μεταβλητή.

Βιβλία (εγχειρίδια) Περιλήψεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης και της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης online Παιχνίδια, παζλ Σχεδίαση γραφημάτων συναρτήσεων Ορθογραφικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας Λεξικό νεανικής αργκό Κατάλογος ρωσικών σχολείων Κατάλογος δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Ρωσίας Κατάλογος ρωσικών πανεπιστημίων Λίστα των καθηκόντων

Με αυτό το βίντεο ξεκινάω μια σειρά μαθημάτων αφιερωμένων σε συστήματα εξισώσεων. Σήμερα θα μιλήσουμε για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων μέθοδος προσθήκης- αυτό είναι ένα από τα πιο απλούς τρόπους, αλλά ταυτόχρονα ένα από τα πιο αποτελεσματικά.

Η μέθοδος προσθήκης αποτελείται από τρία απλά βήματα:

1. Κοιτάξτε το σύστημα και επιλέξτε μια μεταβλητή που έχει ίδιους (ή αντίθετους) συντελεστές σε κάθε εξίσωση.
2. Εκτελέστε αλγεβρική αφαίρεση (για αντίθετους αριθμούς - πρόσθεση) των εξισώσεων μεταξύ τους και στη συνέχεια φέρτε παρόμοιους όρους.
3. Λύστε τη νέα εξίσωση που προέκυψε μετά το δεύτερο βήμα.

Εάν όλα γίνονται σωστά, τότε στην έξοδο θα πάρουμε μια ενιαία εξίσωση με μία μεταβλητή- δεν θα είναι δύσκολο να το λύσετε. Τότε το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσετε τη ρίζα που βρέθηκε στο αρχικό σύστημα και να λάβετε την τελική απάντηση.

Ωστόσο, στην πράξη όλα δεν είναι τόσο απλά. Υπάρχουν διάφοροι λόγοι για αυτό:

• Η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης υποδηλώνει ότι όλες οι γραμμές πρέπει να περιέχουν μεταβλητές με ίσους/αντίθετους συντελεστές. Τι να κάνετε εάν δεν πληρούται αυτή η απαίτηση;
• Όχι πάντα, αφού προσθέσουμε/αφαιρέσουμε εξισώσεις με τον υποδεικνυόμενο τρόπο, παίρνουμε μια όμορφη κατασκευή που μπορεί να λυθεί εύκολα. Είναι δυνατόν να απλοποιηθούν με κάποιο τρόπο οι υπολογισμοί και να επιταχυνθούν οι υπολογισμοί;

Για να λάβετε την απάντηση σε αυτές τις ερωτήσεις και ταυτόχρονα να κατανοήσετε μερικές επιπλέον λεπτές αποχρώσεις στις οποίες πολλοί μαθητές αποτυγχάνουν, παρακολουθήστε το μάθημά μου στο βίντεο:

Με αυτό το μάθημα ξεκινάμε μια σειρά διαλέξεων αφιερωμένων σε συστήματα εξισώσεων. Και θα ξεκινήσουμε από τα πιο απλά από αυτά, δηλαδή αυτά που περιέχουν δύο εξισώσεις και δύο μεταβλητές. Κάθε ένα από αυτά θα είναι γραμμικό.

Τα συστήματα είναι υλικό της 7ης τάξης, αλλά αυτό το μάθημα θα είναι επίσης χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου που θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους για αυτό το θέμα.

Γενικά, υπάρχουν δύο μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων συστημάτων:

1. Μέθοδος προσθήκης;
2. Μια μέθοδος έκφρασης μιας μεταβλητής με όρους μιας άλλης.

Σήμερα θα ασχοληθούμε με την πρώτη μέθοδο - θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αφαίρεσης και της πρόσθεσης. Αλλά για να το κάνετε αυτό, πρέπει να κατανοήσετε το εξής γεγονός: αφού έχετε δύο ή περισσότερες εξισώσεις, μπορείτε να πάρετε οποιαδήποτε από αυτές και να τις προσθέσετε η μία στην άλλη. Προστίθενται μέλος προς μέλος, δηλ. Τα «Χ» προστίθενται στα «Χ» και δίνονται παρόμοια, τα «Υ» με τα «Υ» είναι πάλι παρόμοια και ό,τι είναι στα δεξιά του πρόσημου ίσου προστίθεται επίσης μεταξύ τους, και παρόμοια δίνονται και εκεί .

Τα αποτελέσματα τέτοιων μηχανορραφιών θα είναι μια νέα εξίσωση, η οποία, αν έχει ρίζες, σίγουρα θα είναι μεταξύ των ριζών της αρχικής εξίσωσης. Επομένως, το καθήκον μας είναι να κάνουμε την αφαίρεση ή την πρόσθεση με τέτοιο τρόπο ώστε είτε το $x$ είτε το $y$ να εξαφανιστεί.

Πώς να το πετύχετε και ποιο εργαλείο να χρησιμοποιήσετε για αυτό - θα μιλήσουμε για αυτό τώρα.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων με χρήση πρόσθεσης

Έτσι, μαθαίνουμε να χρησιμοποιούμε τη μέθοδο πρόσθεσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα δύο απλών εκφράσεων.

Εργασία Νο. 1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι το $y$ έχει συντελεστή $-4$ στην πρώτη εξίσωση και $+4$ στη δεύτερη. Είναι αμοιβαία αντίθετα, επομένως είναι λογικό να υποθέσουμε ότι αν τα αθροίσουμε, τότε στο άθροισμα που θα προκύψουν τα «παιχνίδια» θα καταστραφούν αμοιβαία. Προσθέστε το και λάβετε:

Ας λύσουμε την πιο απλή κατασκευή:

Μπράβο, βρήκαμε το «χ». Τι να το κάνουμε τώρα; Έχουμε το δικαίωμα να το αντικαταστήσουμε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις. Ας αντικαταστήσουμε στο πρώτο:

\[-4y=12\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(2;-3 \δεξιά)$.

Πρόβλημα Νο 2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Η κατάσταση εδώ είναι εντελώς παρόμοια, μόνο με τα «Χ». Ας τα αθροίσουμε:

Έχουμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση, ας τη λύσουμε:

Τώρα ας βρούμε $x$:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;3 \δεξιά)$.

Σημαντικά σημεία

Έτσι, μόλις λύσαμε δύο απλά συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης. Και πάλι βασικά σημεία:

1. Εάν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές για μία από τις μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να προσθέσετε όλες τις μεταβλητές στην εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, ένα από αυτά θα καταστραφεί.
2. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις συστήματος για να βρούμε τη δεύτερη.
3. Η τελική εγγραφή απάντησης μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, όπως αυτό - $x=...,y=...$, ή με τη μορφή συντεταγμένων σημείων - $\left(...;... \right)$. Η δεύτερη επιλογή είναι προτιμότερη. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι η πρώτη συντεταγμένη είναι $x$ και η δεύτερη είναι $y$.
4. Ο κανόνας της σύνταξης της απάντησης με τη μορφή συντεταγμένων σημείων δεν ισχύει πάντα. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν οι μεταβλητές δεν είναι $x$ και $y$, αλλά, για παράδειγμα, $a$ και $b$.

Στα παρακάτω προβλήματα θα εξετάσουμε την τεχνική της αφαίρεσης όταν οι συντελεστές δεν είναι αντίθετοι.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων με τη μέθοδο της αφαίρεσης

Εργασία Νο. 1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι εδώ δεν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές, αλλά υπάρχουν πανομοιότυποι. Επομένως, αφαιρούμε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:

Τώρα αντικαθιστούμε την τιμή $x$ σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις συστήματος. Πάμε πρώτα:

Απάντηση: $\αριστερά(2;5\δεξιά)$.

Πρόβλημα Νο 2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε πάλι τον ίδιο συντελεστή $5$ για $x$ στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση. Επομένως, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι πρέπει να αφαιρέσετε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:

Έχουμε υπολογίσει μία μεταβλητή. Τώρα ας βρούμε το δεύτερο, για παράδειγμα, αντικαθιστώντας την τιμή $y$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;-2 \δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Τι βλέπουμε λοιπόν; Ουσιαστικά, το σχήμα δεν διαφέρει από τη λύση των προηγούμενων συστημάτων. Η μόνη διαφορά είναι ότι δεν προσθέτουμε εξισώσεις, αλλά τις αφαιρούμε. Κάνουμε αλγεβρική αφαίρεση.

Με άλλα λόγια, μόλις δείτε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο εξισώσεις σε δύο άγνωστους, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κοιτάξετε είναι οι συντελεστές. Εάν είναι ίδιες οπουδήποτε, οι εξισώσεις αφαιρούνται και αν είναι αντίθετες, χρησιμοποιείται η μέθοδος πρόσθεσης. Αυτό γίνεται πάντα για να εξαφανιστεί ένα από αυτά και στην τελική εξίσωση, που παραμένει μετά την αφαίρεση, μένει μόνο μία μεταβλητή.

Φυσικά, δεν είναι μόνο αυτό. Τώρα θα εξετάσουμε συστήματα στα οποία οι εξισώσεις είναι γενικά ασυνεπείς. Εκείνοι. Δεν υπάρχουν μεταβλητές σε αυτές που να είναι είτε ίδιες είτε αντίθετες. Σε αυτή την περίπτωση, για την επίλυση τέτοιων συστημάτων, χρησιμοποιείται μια πρόσθετη τεχνική, δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας καθεμία από τις εξισώσεις με έναν ειδικό συντελεστή. Πώς να το βρείτε και πώς να λύσετε τέτοια συστήματα γενικά, θα μιλήσουμε για αυτό τώρα.

Επίλυση προβλημάτων πολλαπλασιάζοντας με έναν συντελεστή

Παράδειγμα Νο. 1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε ότι ούτε για $x$ ούτε για $y$ οι συντελεστές όχι μόνο είναι αμοιβαία αντίθετοι, αλλά και σε καμία περίπτωση δεν συσχετίζονται με την άλλη εξίσωση. Αυτοί οι συντελεστές δεν θα εξαφανιστούν με κανέναν τρόπο, ακόμα κι αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τις εξισώσεις μεταξύ τους. Επομένως, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο πολλαπλασιασμός. Ας προσπαθήσουμε να απαλλαγούμε από τη μεταβλητή $y$. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από τη δεύτερη εξίσωση και τη δεύτερη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από την πρώτη εξίσωση, χωρίς να αγγίξουμε το πρόσημο. Πολλαπλασιάζουμε και παίρνουμε ένα νέο σύστημα:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας το δούμε: στο $y$ οι συντελεστές είναι αντίθετοι. Σε μια τέτοια περίπτωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος προσθήκης. Ας προσθέσουμε:

Τώρα πρέπει να βρούμε το $y$. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το $x$ στην πρώτη έκφραση:

\[-9y=18\αριστερά| :\αριστερά(-9 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(4;-2 \δεξιά)$.

Παράδειγμα Νο. 2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Και πάλι, οι συντελεστές για καμία από τις μεταβλητές δεν είναι συνεπείς. Ας πολλαπλασιάσουμε με τους συντελεστές $y$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18\αριστερά| 6 \δεξιά. \\& 13x-6y=-32\αριστερά| 4 \δεξιά. \\\τέλος (στοίχιση) \δεξιά .\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Μας νέο σύστημαείναι ισοδύναμο με το προηγούμενο, ωστόσο, οι συντελεστές $y$ είναι αμοιβαία αντίθετοι, και επομένως είναι εύκολο να εφαρμοστεί η μέθοδος πρόσθεσης εδώ:

Τώρα ας βρούμε το $y$ αντικαθιστώντας το $x$ στην πρώτη εξίσωση:

Απάντηση: $\αριστερά(-2;1 \δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Ο βασικός κανόνας εδώ είναι ο εξής: πολλαπλασιάζουμε πάντα μόνο με θετικούς αριθμούς - αυτό θα σας γλιτώσει από ανόητα και προσβλητικά λάθη που σχετίζονται με την αλλαγή ζωδίων. Γενικά, το σχέδιο λύσης είναι αρκετά απλό:

1. Εξετάζουμε το σύστημα και αναλύουμε κάθε εξίσωση.
2. Αν δούμε ότι ούτε $y$ ούτε $x$ οι συντελεστές είναι συνεπείς, π.χ. δεν είναι ούτε ίσες ούτε αντίθετες, τότε κάνουμε το εξής: επιλέγουμε τη μεταβλητή από την οποία πρέπει να απαλλαγούμε και μετά κοιτάμε τους συντελεστές αυτών των εξισώσεων. Εάν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή από τη δεύτερη και τη δεύτερη, αντίστοιχα, πολλαπλασιάσουμε με τον συντελεστή από την πρώτη, τότε στο τέλος θα πάρουμε ένα σύστημα που είναι εντελώς ισοδύναμο με το προηγούμενο και οι συντελεστές $ y$ θα είναι συνεπής. Όλες οι ενέργειες ή οι μετασχηματισμοί μας στοχεύουν μόνο στο να πάρουμε μία μεταβλητή σε μία εξίσωση.
3. Βρίσκουμε μία μεταβλητή.
4. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και βρίσκουμε τη δεύτερη.
5. Γράφουμε την απάντηση με τη μορφή συντεταγμένων σημείων αν έχουμε μεταβλητές $x$ και $y$.

Αλλά ακόμη και ένας τόσο απλός αλγόριθμος έχει τις δικές του λεπτότητες, για παράδειγμα, οι συντελεστές $x$ ή $y$ μπορεί να είναι κλάσματα και άλλοι "άσχημοι" αριθμοί. Τώρα θα εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις ξεχωριστά, επειδή σε αυτές μπορείτε να ενεργήσετε κάπως διαφορετικά από ό,τι σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο.

Επίλυση προβλημάτων με κλάσματα

Παράδειγμα Νο. 1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αρχικά, παρατηρήστε ότι η δεύτερη εξίσωση περιέχει κλάσματα. Αλλά σημειώστε ότι μπορείτε να διαιρέσετε $4$ με $0,8$. Θα λάβουμε $5$. Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση επί $5$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρούμε τις εξισώσεις η μία από την άλλη:

Βρήκαμε $n$, τώρα ας μετρήσουμε $m$:

Απάντηση: $n=-4;m=5$

Παράδειγμα Νο. 2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2,5p+1,5k=-13\αριστερά| 4 \δεξιά. \\& 2p-5k=2\αριστερά| 5 \δεξιά. \\\end(στοίχιση )\ σωστά.\]

Εδώ, όπως και στο προηγούμενο σύστημα, υπάρχουν κλασματικοί συντελεστές, αλλά για καμία από τις μεταβλητές οι συντελεστές δεν χωρούν μεταξύ τους ακέραιο αριθμό φορών. Επομένως, χρησιμοποιούμε τον τυπικό αλγόριθμο. Ξεφορτωθείτε το $p$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αφαίρεσης:

Ας βρούμε το $p$ αντικαθιστώντας το $k$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $p=-4;k=-2$.

Αποχρώσεις της λύσης

Αυτό είναι όλο βελτιστοποίηση. Στην πρώτη εξίσωση, δεν πολλαπλασιάσαμε καθόλου με τίποτα, αλλά πολλαπλασιάσαμε τη δεύτερη εξίσωση με $5$. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε μια συνεπή, ακόμη και πανομοιότυπη εξίσωση για την πρώτη μεταβλητή. Στο δεύτερο σύστημα ακολουθήσαμε έναν τυπικό αλγόριθμο.

Πώς όμως βρίσκετε τους αριθμούς με τους οποίους πολλαπλασιάζονται οι εξισώσεις; Άλλωστε, αν πολλαπλασιάσουμε με κλάσματα, παίρνουμε νέα κλάσματα. Επομένως, τα κλάσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό που θα έδινε έναν νέο ακέραιο και μετά οι μεταβλητές πρέπει να πολλαπλασιαστούν με συντελεστές, ακολουθώντας τον τυπικό αλγόριθμο.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας στη μορφή καταγραφής της απάντησης. Όπως είπα ήδη, δεδομένου ότι εδώ δεν έχουμε $x$ και $y$, αλλά άλλες τιμές, χρησιμοποιούμε μια μη τυπική σημείωση της φόρμας:

Επίλυση πολύπλοκων συστημάτων εξισώσεων

Ως τελευταία σημείωση στο σημερινό βίντεο εκμάθησης, ας δούμε μερικά πολύπλοκα συστήματα. Η πολυπλοκότητά τους θα συνίσταται στο γεγονός ότι θα έχουν μεταβλητές τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά. Επομένως, για να τα λύσουμε θα πρέπει να εφαρμόσουμε προεπεξεργασία.

Σύστημα Νο. 1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 3\αριστερά(2x-y \δεξιά)+5=-2\αριστερά(x+3y \δεξιά)+4 \\& 6\αριστερά(y+1 \δεξιά )-1=5\αριστερά(2x-1 \δεξιά)+8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Κάθε εξίσωση έχει μια ορισμένη πολυπλοκότητα. Επομένως, ας αντιμετωπίσουμε κάθε έκφραση σαν μια κανονική γραμμική κατασκευή.

Συνολικά, παίρνουμε το τελικό σύστημα, το οποίο είναι ισοδύναμο με το αρχικό:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας δούμε τους συντελεστές του $y$: $3$ ταιριάζει σε $6$ δύο φορές, οπότε ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση επί $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Οι συντελεστές του $y$ είναι τώρα ίσοι, οπότε αφαιρούμε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση: $$

Τώρα ας βρούμε το $y$:

Απάντηση: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Σύστημα Νο. 2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4\αριστερά(a-3b \δεξιά)-2a=3\αριστερά(b+4 \δεξιά)-11 \\& -3\αριστερά(b-2a \δεξιά )-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας μετατρέψουμε την πρώτη έκφραση:

Ας ασχοληθούμε με το δεύτερο:

\[-3\αριστερά(b-2a \δεξιά)-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Συνολικά, το αρχικό μας σύστημα θα έχει την ακόλουθη μορφή:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Εξετάζοντας τους συντελεστές του $a$, βλέπουμε ότι η πρώτη εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη κατασκευή:

Τώρα ας βρούμε $a$:

Απάντηση: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Αυτό είναι όλο. Ελπίζω αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο να σας βοηθήσει να κατανοήσετε αυτό το δύσκολο θέμα, δηλαδή την επίλυση συστημάτων απλών γραμμικών εξισώσεων. Θα υπάρξουν πολλά περισσότερα μαθήματα σχετικά με αυτό το θέμα: θα εξετάσουμε περισσότερα σύνθετα παραδείγματα, όπου θα υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές και οι ίδιες οι εξισώσεις θα είναι ήδη μη γραμμικές. Τα λέμε!