Dans une grande variété de recherches théoriques et appliquées, les méthodes de modélisation mathématique sont largement utilisées, qui réduisent la solution de problèmes dans un domaine de recherche donné à la solution de problèmes adéquats (ou approximativement adéquats). problèmes mathématiques. Il faut amener la solution de ces problèmes pour obtenir un résultat numérique (calcul de différents types de grandeurs, solution de différents types d'équations, etc.). L’objectif des mathématiques computationnelles est de développer des algorithmes pour la solution numérique d’un large éventail de problèmes mathématiques. Les méthodes doivent être conçues de manière à pouvoir être mises en œuvre efficacement à l’aide de la technologie informatique moderne. En règle générale, les problèmes considérés ne permettent pas une solution exacte, nous parlons donc de développer des algorithmes fournissant une solution approximative. Pour pouvoir remplacer une solution exacte inconnue d'un problème par une solution approchée, il faut que cette dernière soit suffisamment proche de la solution exacte. À cet égard, il est nécessaire d'évaluer la proximité de la solution approchée avec la solution exacte et de développer des méthodes approchées pour construire des solutions approchées aussi proches que possible des solutions exactes.
Schématiquement, le processus de calcul est le suivant : pour une valeur donnée X(numérique, vectoriel, etc.) calculer la valeur d'une fonction Hache). La différence entre les valeurs exactes et approximatives d'une quantité s'appelle erreur. Calcul précis de la valeur Hache) généralement impossible, et vous oblige à remplacer la fonction (opération) UN sa représentation approximative à , qui peut être calculé : calculer la quantité Hache), est remplacé par le calcul - Hache) A(x) - Ã(x) appelé erreur de méthode. Une méthode d'estimation de cette erreur doit être développée parallèlement au développement d'une méthode de calcul de la valeur Hache). Depuis méthodes possibles Lors de la construction d'une approximation, vous devez utiliser celle qui, compte tenu des moyens et des capacités disponibles, donne la plus petite erreur.
Valeur valeur X, c'est-à-dire les données initiales, dans des problèmes réels, sont obtenues soit directement à partir de mesures, soit à la suite de l'étape précédente de calculs. Dans ces cas, seule une valeur approximative est déterminée xo quantités X. Ainsi, au lieu de la valeur Hache) seule une valeur approximative peut être calculée Ã(x o). L'erreur qui en résulte A(x) - Ã(x o) appelé irréparable. En raison des arrondis inévitables lors des calculs, au lieu de la valeur Ã(x o) sa valeur « arrondie » est calculée, ce qui conduit à l'apparition erreurs d'arrondi Ã(x o)- . L'erreur totale de calcul s'avère être égale à Hache) - .
Représentons l'erreur totale sous la forme
Hache) - = [UNE(x) - ] + [ - Ã(x o)] +
+ [Ã(x o) - ] (1)
La dernière égalité montre que l'erreur totale de calcul est égale à la somme de l'erreur de méthode, de l'erreur fatale et de l'erreur d'arrondi. Les deux premières composantes de l'erreur peuvent être estimées avant de commencer les calculs. L'erreur d'arrondi n'est appréciée que lors des calculs.
Considérons les tâches suivantes :
a) caractéristique de l'exactitude des nombres approximatifs
b) évaluation de l'exactitude du résultat compte tenu de l'exactitude connue des données initiales (estimation de l'erreur fatale)
c) déterminer l'exactitude requise des données sources pour garantir l'exactitude spécifiée du résultat
d) faire correspondre l'exactitude des données sources et des calculs avec les capacités des outils informatiques disponibles.
4 Erreurs de mesure
4.1 Valeurs vraies et réelles des grandeurs physiques. Erreur de mesure. Causes des erreurs de mesure
Lors de l'analyse des mesures, deux concepts doivent être clairement distingués : les vraies valeurs des grandeurs physiques et leurs manifestations empiriques - les résultats des mesures.
Vraies valeurs des grandeurs physiques - ce sont les valeurs, de manière idéale reflétant les propriétés d'un objet donné à la fois quantitativement et qualitativement. Ils ne dépendent pas des moyens de mesure et constituent la vérité absolue à laquelle ils s'efforcent de réaliser des mesures.
Au contraire, les résultats des mesures sont des produits cognitifs. Représentant des estimations approximatives des valeurs des grandeurs trouvées à la suite de mesures, elles dépendent de la méthode de mesure, des instruments de mesure et d'autres facteurs.
Erreur de mesure la différence entre le résultat de la mesure x et la valeur vraie Q de la grandeur mesurée est appelée :
Δ= x – Q (4.1)
Mais depuis véritable signification Q de la quantité mesurée est inconnu, alors pour déterminer l'erreur de mesure, la valeur dite réelle est substituée dans la formule (4.1) à la place de la valeur vraie.
Sous valeur réelle de la grandeur mesurée sa signification est comprise comme étant celle trouvée expérimentalement et si proche de la vraie valeur que dans un but donné, elle peut être utilisée à la place.
Les causes des erreurs sont : l’imperfection des méthodes de mesure, des instruments de mesure et des sens de l’observateur. Les raisons liées à l'influence des conditions de mesure doivent être regroupées dans un groupe distinct. Ces dernières se manifestent de deux manières. D'une part, toutes les grandeurs physiques qui jouent un rôle dans les mesures dépendent les unes des autres à un degré ou à un autre. Par conséquent, avec les changements des conditions extérieures, les valeurs réelles des grandeurs mesurées changent. D’autre part, les conditions de mesure influencent à la fois les caractéristiques des instruments de mesure et les propriétés physiologiques des organes sensoriels de l’observateur et deviennent, à travers elles, source d’erreurs de mesure.
4.2 Classification des erreurs de mesure en fonction de la nature de leur évolution
Les causes d'erreurs décrites sont une combinaison grand nombre facteurs sous l'influence desquels se forme l'erreur de mesure totale. Ils peuvent être regroupés en deux groupes principaux.
Le premier groupe comprend des facteurs qui apparaissent de manière irrégulière et disparaissent soudainement ou apparaissent avec une intensité difficile à prévoir. Il s'agit par exemple de petites fluctuations de grandeurs d'influence (température, pression environnement et ainsi de suite.). La part, ou composante, de l'erreur de mesure totale résultant de l'influence de facteurs de ce groupe détermine l'erreur de mesure aléatoire.
Ainsi, erreur de mesure aléatoire - composante de l'erreur de mesure qui change de manière aléatoire lors de mesures répétées de la même quantité.
Lors de la création d'instruments de mesure et de l'organisation du processus de mesure dans son ensemble, l'intensité de la manifestation des facteurs qui déterminent l'erreur de mesure aléatoire peut être réduite à un niveau général, de sorte qu'ils influencent tous plus ou moins également la formation de l'erreur de mesure aléatoire. erreur. Cependant, certains d'entre eux, par exemple une chute soudaine de tension dans le réseau d'alimentation électrique, peuvent apparaître d'une intensité inattendue, de sorte que l'erreur prendra des dimensions qui dépassent clairement les limites déterminées par le déroulement de l'expérience de mesure. . De telles erreurs au sein de l'erreur aléatoire sont appelées grossier . Étroitement adjacent à eux manque - des erreurs qui dépendent de l'observateur et sont associées à une mauvaise manipulation des instruments de mesure, à des lectures incorrectes ou à des erreurs dans l'enregistrement des résultats.
Le deuxième groupe comprend des facteurs qui sont constants ou qui changent naturellement au cours de l'expérience de mesure, par exemple des changements progressifs dans les grandeurs d'influence. La composante de l'erreur de mesure totale résultant sous l'influence de facteurs de ce groupe détermine l'erreur de mesure systématique.
Ainsi, erreur de mesure systématique - une composante de l'erreur de mesure qui reste constante ou change naturellement avec des mesures répétées de la même quantité.
Pendant le processus de mesure, les composantes d'erreur décrites apparaissent simultanément et l'erreur totale peut être représentée comme une somme.
, (4.2)
Où 
- aléatoires, et Δ s - erreurs systématiques.
Pour obtenir des résultats qui diffèrent le moins des valeurs réelles des grandeurs, de multiples observations de la grandeur mesurée sont effectuées, suivies d'un traitement des données expérimentales. C'est pourquoi grande importance a l'étude de l'erreur en fonction du numéro d'observation, c'est-à-dire temps A(t). Ensuite, les valeurs d'erreur individuelles peuvent être interprétées comme un ensemble de valeurs de cette fonction :
Δ 1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n).
Dans le cas général, l'erreur est une fonction aléatoire du temps, qui diffère des fonctions classiques de l'analyse mathématique en ce qu'on ne peut pas dire quelle valeur elle prendra au temps t i. Vous ne pouvez indiquer que la probabilité d'apparition de ses valeurs dans un intervalle particulier. Dans une série d’expériences composées d’un certain nombre d’observations répétées, nous obtenons une implémentation de cette fonction. En répétant la série avec les mêmes valeurs des grandeurs caractérisant les facteurs du deuxième groupe, on obtient inévitablement une nouvelle implémentation différente de la première. Les réalisations diffèrent les unes des autres en raison de l'influence des facteurs du premier groupe, et les facteurs du deuxième groupe, qui se manifestent également lors de la réception de chaque réalisation, leur donnent une certaine caractéristiques communes(Figure 4.1).
L'erreur de mesure correspondant à chaque instant t i est appelée la section efficace fonction aléatoireΔ(t). Dans chaque section, vous pouvez trouver la valeur d'erreur moyenne Δ s (t i), autour de laquelle sont regroupées les erreurs dans diverses implémentations. Si une courbe lisse est tracée à travers les points Δ s (t i) obtenus de cette manière, elle caractérisera alors la tendance générale des changements de l'erreur au fil du temps. Il est facile de voir que les valeurs moyennes Δ s (tj) sont déterminées par l'action de facteurs du deuxième groupe et représentent une erreur de mesure systématique au temps t i, et les écarts Δ j (t j) par rapport à la valeur moyenne dans le section t i, correspondant jème implémentation, donnez la valeur de l’erreur aléatoire. L'égalité est donc vraie
(4.3)
Graphique 4.1
Supposons que Δ s (t i) = 0, c'est-à-dire les erreurs systématiques sont exclues d'une manière ou d'une autre des résultats d'observation, et nous ne considérerons que les erreurs aléatoires dont les valeurs moyennes sont égales à zéro dans chaque section. Supposons que les erreurs aléatoires dans différentes sections ne dépendent pas les unes des autres, c'est-à-dire la connaissance de l'erreur aléatoire dans une section ne nous donne aucune information Informations Complémentaires sur la valeur prise par cette réalisation dans n'importe quelle section, et que toutes les caractéristiques théoriques et probabilistes des erreurs aléatoires, qui sont les valeurs d'une réalisation dans toutes les sections, coïncident les unes avec les autres. L'erreur aléatoire peut alors être considérée comme une variable aléatoire, et ses valeurs pour chacune des multiples observations de la même grandeur physique peuvent être considérées comme le résultat d'observations indépendantes de celle-ci.
Dans de telles conditions, l’erreur aléatoire de mesure est définie comme la différence entre le résultat de mesure corrigé XI (un résultat qui ne contient pas d’erreur systématique) et la valeur vraie Q de la grandeur mesurée :
Δ = X ET –Q 4.4)
De plus, le résultat de mesure corrigé sera duquel les erreurs systématiques seront exclues.
Ces données sont généralement obtenues lors de la vérification des instruments de mesure en mesurant des quantités préalablement connues. Lors de la réalisation de mesures, le but est d'estimer la valeur réelle de la grandeur mesurée, inconnue avant l'expérience. En plus de la valeur réelle, le résultat de la mesure inclut également une erreur aléatoire. Il s'agit donc en soi d'une variable aléatoire. Dans ces conditions, la valeur réelle de l'erreur aléatoire obtenue lors de la vérification ne caractérise pas encore la précision des mesures, il n'est donc pas clair quelle valeur prendre comme résultat final de la mesure et comment caractériser sa précision.
La réponse à ces questions peut être obtenue en utilisant des méthodes de statistiques mathématiques qui traitent spécifiquement des variables aléatoires lors du traitement des résultats d'observation.
4.3 Classification des erreurs de mesure en fonction des raisons de leur apparition
Selon les raisons de leur apparition, on distingue les groupes d'erreurs suivants : méthodologiques, instrumentales, externes et subjectives.
Dans de nombreuses méthodes de mesure, il est possible de détecter erreur méthodologique , qui est une conséquence de certaines hypothèses et simplifications, de l'utilisation de formules empiriques et de dépendances fonctionnelles. Dans certains cas, l’impact de ces hypothèses s’avère insignifiant, c’est-à-dire bien inférieur aux erreurs de mesure tolérées ; dans d'autres cas, il dépasse ces erreurs.
Un exemple d'erreurs méthodologiques sont les erreurs dans la méthode de mesure de la résistance électrique à l'aide d'un ampèremètre et d'un voltmètre (Figure 4.2). Si la résistance R x est déterminée par la formule de la loi d'Ohm R x = U v /I a, où U v est la chute de tension mesurée par un voltmètre V ; I a est l'intensité du courant mesurée par l'ampèremètre A, alors dans les deux cas des erreurs de mesure méthodologiques seront autorisées.
Sur la figure 4.2a, le courant I a, mesuré par un ampèremètre, sera supérieur au courant dans la résistance R x de la valeur du courant I v dans un voltmètre connecté en parallèle avec la résistance. La résistance R x calculée à l'aide de la formule ci-dessus sera inférieure à la résistance réelle. Sur la figure 4.2.6, la tension mesurée par le voltmètre V sera supérieure à la chute de tension U r dans la résistance R x de la valeur U a (chute de tension aux bornes de la résistance de l'ampèremètre A). La résistance calculée selon la formule de la loi d'Ohm sera supérieure à la résistance R x de la valeur R a (la résistance de l'ampèremètre). Les corrections dans les deux cas peuvent être facilement calculées si vous connaissez la résistance du voltmètre et de l'ampèremètre. Il n'est pas nécessaire d'effectuer des corrections si elles sont nettement inférieures à l'erreur tolérée dans la mesure de la résistance R x, par exemple si dans le premier cas la résistance du voltmètre est significativement b
Plus grand que R x, et dans le second cas, R a est nettement inférieur à R x.
Graphique 4.2
Un autre exemple d'erreur méthodologique est la mesure du volume de corps dont la forme est supposée géométriquement correcte, en mesurant les dimensions en un ou en un nombre insuffisant d'endroits, par exemple en mesurant le volume de une pièce en mesurant la longueur, la largeur et la hauteur dans seulement trois directions. Pour déterminer avec précision le volume, il faudrait déterminer la longueur et la largeur de la pièce le long de chaque mur, en haut et en bas, mesurer la hauteur aux coins et au milieu et, enfin, les coins entre les murs. Cet exemple illustre la possibilité qu’une erreur méthodologique importante se produise lorsque la méthode est simplifiée de manière injustifiée.
En règle générale, une erreur méthodologique est une erreur systématique.
Erreur instrumentale - il s'agit d'une composante d'erreur due à l'imperfection des instruments de mesure. Un exemple classique d'une telle erreur est l'erreur d'un instrument de mesure causée par un calibrage inexact de son échelle. Il est très important de bien distinguer les erreurs de mesure des erreurs instrumentales. L'imperfection des instruments de mesure n'est qu'une des sources d'erreur de mesure et ne détermine qu'une de ses composantes : l'erreur instrumentale. À son tour, l'erreur instrumentale est totale, dont les composantes - erreurs d'unités fonctionnelles - peuvent être à la fois systématiques et aléatoires.
Erreur externe - composante de l'erreur de mesure causée par l'écart d'une ou plusieurs grandeurs d'influence par rapport aux valeurs normales ou leur sortie au-delà de la plage normale (par exemple, l'influence de la température, des champs électriques et magnétiques externes, des influences mécaniques, etc.). En règle générale, les erreurs externes sont déterminées par des erreurs supplémentaires des instruments de mesure utilisés et sont systématiques. Cependant, si les grandeurs d’influence sont instables, elles peuvent devenir aléatoires.
Erreur subjective (personnelle) en raison de caractéristiques individuelles expérimentateur et peut être systématique ou aléatoire. Lors de l’utilisation d’instruments de mesure numériques modernes, les erreurs subjectives peuvent être négligées. Cependant, lors des lectures à partir d'instruments à aiguilles, de telles erreurs peuvent être importantes en raison d'une lecture incorrecte des dixièmes de division d'échelle, d'une asymétrie qui se produit lors du réglage d'un trait au milieu entre deux marques, etc. Par exemple, les erreurs commises par un expérimentateur lors de l’estimation des dixièmes de division d’une échelle instrumentale peuvent atteindre 0,1 division. Ces erreurs se manifestent par le fait que pour différents dixièmes de division, différents expérimentateurs sont caractérisés par des fréquences d'estimation différentes, et chaque expérimentateur maintient longtemps sa distribution caractéristique. Ainsi, un expérimentateur se réfère le plus souvent aux lectures aux lignes formant les bords de la division et à la valeur de 0,5 division. L'autre concerne les valeurs de 0,4 et 0,6 divisions. Le troisième préfère les valeurs de 0,2 et 0,8 divisions, etc. En général, en gardant à l'esprit un expérimentateur aléatoire, la distribution des erreurs dans le comptage des dixièmes de division peut être considérée comme uniforme avec des limites de ±0,1 division.
4.4 Formulaires pour représenter l'erreur de mesure. Précision des mesures
L'erreur de mesure peut être représentée sous la forme absolu erreur exprimée en unités de la valeur mesurée et déterminée par la formule (4.1), ou relatif erreur, définie comme le rapport de l'erreur absolue à la valeur vraie de la valeur mesurée :
δ = Δ/Q. (4.5)
Dans le cas de l'expression de l'erreur aléatoire en pourcentage, le rapport Δ/Q est multiplié par 100 %. De plus, dans la formule (4.5), il est permis d'utiliser le résultat de la mesure de x au lieu de la vraie valeur de Q.
Le concept est également largement utilisé précision des mesures − une caractéristique qui reflète la proximité de leurs résultats avec la vraie valeur de la valeur mesurée. En d’autres termes, une grande précision correspond à de petites erreurs de mesure. Par conséquent, la précision de la mesure peut être évaluée quantitativement par l’inverse du module de l’erreur relative.
3.2. Arrondi
Une source pour obtenir des chiffres approximatifs est Ô arrondi. Les nombres exacts et approximatifs sont arrondis.
Arrondi numéro donné jusqu'à un certain chiffre est appelé le remplacer par un nouveau nombre, qui est obtenu à partir de celui donné par rejeter tous ses numéros notés À droite chiffres de ce chiffre, ou en le remplaçant par des zéros. Ces des zéros généralement soulignez-les ou écrivez-les en plus petit. Pour garantir la plus grande proximité du nombre arrondi avec le nombre arrondi, vous devez utiliser ce qui suit règles:
Pour arrondir un nombre à l'un d'un certain chiffre, vous devez supprimer tous les chiffres après le chiffre de ce chiffre et les remplacer par des zéros dans le nombre entier. Sont pris en compte :
1 ) si le premier (à gauche) des chiffres supprimés Moins de 5, alors le dernier chiffre restant n'est pas modifié (arrondi avec désavantage);
2 ) si le premier chiffre doit être supprimé supérieur à 5 ou égal à 5, puis le dernier chiffre restant est augmenté de un (en arrondissant excès).*
Par exemple:
Rond:Réponses:
UN) aux dixièmes 12,34 ; 12,34 ≈ 12,3 ;
b) aux centièmes 3,2465 ; 1038.785 ; 3,2465 ≈ 3,25 ; 1038,785 ≈ 1038,79 ;
V) aux millièmes 3,4335 ; 3,4335 ≈ 3,434 ;
g) jusqu'à des milliers 12 375 320 729. 000 ; 320 729 ≈ 321 000.
(* Il y a plusieurs années, en cas de suppression d'un seul chiffre 5 apprécié "règle des nombres pairs": le dernier chiffre restait inchangé s'il était pair, et augmenté de un s'il était impair. Maintenant "les règles à chiffres pairs" Pas respecter : si un chiffre est supprimé 5 , puis un est ajouté au dernier chiffre restant, qu'il soit pair ou impair).
3.3. Erreur absolue et relative des valeurs approximatives
Valeur absolue différences entre la valeur approximative et exacte (vraie) d'une quantité est appelée erreur absolue valeur approximative. Par exemple, si le nombre exact 1,214 arrondir au dixième près, on obtient un nombre approximatif 1,2 . DANS dans ce cas l'erreur absolue du nombre approximatif sera 1,214 – 1,2 = 0,014 .
Mais dans la plupart des cas valeur exacte la quantité considérée est inconnue, mais seulement approximative. L’erreur absolue est alors inconnue. Dans ces cas, indiquez frontière, qu'il ne dépasse pas. Ce numéro s'appelle limitation de l’erreur absolue. On dit que la valeur exacte d’un nombre est égale à sa valeur approximative avec une erreur inférieure à l’erreur marginale. Par exemple, nombre 23,71 est une valeur approximative du nombre 23,7125 jusqu'à 0,01 , puisque l'erreur d'approximation absolue est égale à 0,0025 et moins 0,01 . Ici, l’erreur absolue limite est égale à 0,01 .*
(* Absolu L'erreur peut être à la fois positive et négative. Par exemple,1,68 ≈ 1,7 . L'erreur absolue est 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Frontière l'erreur est toujours positive).
Erreur absolue limite du nombre approximatif " UN » est indiqué par le symbole Δ UN . Enregistrer
X ≈ une (Δune)
doit être compris comme suit : la valeur exacte de la quantité X est entre les chiffres UN +Δ UN Et UN –Δ UN, qui sont appelés en conséquence bas Et limite supérieureX et désigne N g X Et DANS g X .
Par exemple, Si X
≈ 2,3 (
0,1),
Que 2,2 <
X
< 2,4
.
Au contraire, si 7,3 < X < 7,4 , Que X ≈ 7,35 ( 0,05).
Erreur absolue absolue ou marginale Pas caractériser la qualité de la mesure effectuée. La même erreur absolue peut être considérée comme significative et insignifiante selon le nombre avec lequel la valeur mesurée est exprimée.
Par exemple, si nous mesurons la distance entre deux villes avec une précision d'un kilomètre, alors une telle précision est tout à fait suffisante pour cette mesure, mais en même temps, lors de la mesure de la distance entre deux maisons dans la même rue, une telle précision sera inacceptable.
Par conséquent, la précision de la valeur approximative d’une grandeur dépend non seulement de l’ampleur de l’erreur absolue, mais également de la valeur de la grandeur mesurée. C'est pourquoi la mesure de l’exactitude est l’erreur relative.
Erreur relative est appelé le rapport de l'erreur absolue à la valeur du nombre approximatif. Le rapport entre l'erreur absolue limite et le nombre approximatif est appelé limiter l'erreur relative; notons-le comme ceci : Δ un/un . Les erreurs relatives et marginales sont généralement exprimées sous la forme en pourcentages.
Par exemple, si les mesures montrent que la distance entre deux points est plus grande 12,3km, mais moins 12,7km, Puis pour approximatif sa signification est acceptée moyenne ces deux nombres, c'est-à-dire leur la moitié de la somme, Alors frontière l'erreur absolue est demi-différences ces chiffres. Dans ce cas X ≈ 12,5 ( 0,2). Voici la limite absolu l'erreur est égale à 0,2km, et la limite relatif:
Erreurs absolues et relatives
Erreur de mesure absolue est une quantité déterminée par la différence entre le résultat de la mesure X et la vraie valeur de la quantité mesurée X 0:
Δ X = |X – X 0 |.
Valeur δ, égal au rapport L'erreur de mesure absolue par rapport au résultat de la mesure est appelée erreur relative :
Exemple 2.1. La valeur approximative de π est 3,14. Alors son erreur est 0,00159... . L'erreur absolue peut être considérée comme égale à 0,0016, et l'erreur relative égale à 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051 %.
Des chiffres significatifs. Si l’erreur absolue de la valeur a ne dépasse pas une unité de chiffre du dernier chiffre du nombre a, alors le nombre est dit avoir tous les signes corrects. Les nombres approximatifs doivent être notés en ne gardant que les signes corrects. Si, par exemple, l'erreur absolue du nombre 52 400 est 100, alors ce nombre doit être écrit, par exemple, sous la forme 524 · 10 2 ou 0,524 · 10 5. Vous pouvez estimer l'erreur d'un nombre approximatif en indiquant comment de nombreux chiffres significatifs corrects qu'il contient. Lors du comptage des chiffres significatifs, les zéros à gauche du nombre ne sont pas comptés.
Par exemple, le nombre 0,0283 comporte trois chiffres significatifs valides et 2,5400 comporte cinq chiffres significatifs valides.
Règles d'arrondi des nombres. Si le nombre approximatif contient des chiffres supplémentaires (ou incorrects), il doit alors être arrondi. Lors de l'arrondi, une erreur supplémentaire se produit qui ne dépasse pas la demi-unité de la place du dernier chiffre significatif ( d) nombre arrondi. Lors de l'arrondi, seuls les chiffres corrects sont conservés ; les caractères supplémentaires sont supprimés, et si le premier chiffre supprimé est supérieur ou égal à d/2, le dernier chiffre stocké est augmenté de un.
Les chiffres supplémentaires dans les entiers sont remplacés par des zéros, et dans décimales sont supprimés (tout comme les zéros supplémentaires). Par exemple, si l'erreur de mesure est de 0,001 mm, alors le résultat 1,07005 est arrondi à 1,070. Si le premier chiffre modifié par des zéros et écarté est inférieur à 5, les chiffres restants ne sont pas modifiés. Par exemple, le nombre 148 935 avec une précision de mesure de 50 a une valeur d'arrondi de 148 900. Si le premier des chiffres remplacé par des zéros ou supprimé est 5 et qu'il n'est suivi d'aucun chiffre ni de zéros, alors l'arrondi est effectué au plus proche. nombre pair. Par exemple, le nombre 123,50 est arrondi à 124. Si le premier chiffre zéro ou goutte est supérieur à 5 ou égal à 5 mais est suivi d'un chiffre significatif, alors le dernier chiffre restant est incrémenté de un. Par exemple, le nombre 6783,6 est arrondi à 6784.
Exemple 2.2. En arrondissant 1 284 à 1 300, l’erreur absolue est de 1 300 – 1 284 = 16, et en arrondissant à 1 280, l’erreur absolue est de 1 280 – 1 284 = 4.
Exemple 2.3. En arrondissant le nombre 197 à 200, l’erreur absolue est de 200 – 197 = 3. L’erreur relative est de 3/197 ≈ 0,01523 ou environ 3/200 ≈ 1,5 %.
Exemple 2.4. Un vendeur pèse une pastèque sur une balance. Le plus petit poids de l'ensemble est de 50 g. La pesée a donné 3600 g. Ce nombre est approximatif. Poids exact pastèque inconnue. Mais l'erreur absolue ne dépasse pas 50 g. L'erreur relative ne dépasse pas 50/3600 = 1,4 %.
Erreurs dans la résolution du problème sur PC
Trois types d’erreurs sont généralement considérés comme les principales sources d’erreur. On les appelle erreurs de troncature, erreurs d’arrondi et erreurs de propagation. Par exemple, lors de l'utilisation de méthodes itératives pour rechercher les racines d'équations non linéaires, les résultats sont approximatifs, contrairement aux méthodes directes qui fournissent une solution exacte.
Erreurs de troncature
Ce type d'erreur est associé à l'erreur inhérente à la tâche elle-même. Cela peut être dû à une inexactitude dans la détermination des données sources. Par exemple, si des dimensions sont spécifiées dans l'énoncé du problème, alors dans la pratique, pour des objets réels, ces dimensions sont toujours connues avec une certaine précision. Il en va de même pour tout autre paramètres physiques. Cela inclut également l'inexactitude des formules de calcul et des coefficients numériques qu'elles contiennent.
Erreurs de propagation
Ce type d'erreur est associé à l'utilisation de l'une ou l'autre méthode de résolution d'un problème. Lors des calculs, une accumulation d’erreurs ou, en d’autres termes, une propagation se produit inévitablement. Outre le fait que les données originales elles-mêmes ne sont pas exactes, une nouvelle erreur apparaît lorsqu'elles sont multipliées, ajoutées, etc. L'accumulation d'erreurs dépend de la nature et du nombre d'opérations arithmétiques utilisées dans le calcul.
Erreurs d'arrondi
Ce type d'erreur se produit parce que la vraie valeur d'un nombre n'est pas toujours stockée avec précision par l'ordinateur. Lorsqu'un nombre réel est stocké dans la mémoire d'un ordinateur, il est écrit sous forme de mantisse et d'exposant, de la même manière qu'un nombre est affiché sur une calculatrice.
Maintenant qu'une personne possède un puissant arsenal de matériel informatique (diverses calculatrices, ordinateurs, etc.), le respect des règles de calculs approximatifs est particulièrement important afin de ne pas fausser la fiabilité du résultat.
Lorsque vous effectuez des calculs, vous devez vous rappeler l'exactitude du résultat qui peut ou doit (s'il est établi) être obtenu. Ainsi, il est inacceptable d’effectuer des calculs avec une précision supérieure à celle spécifiée par les données du problème physique ou requise par les conditions expérimentales1. Par exemple, lorsque vous effectuez des opérations mathématiques avec des valeurs numériques de grandeurs physiques comportant deux chiffres fiables (significatifs), vous ne pouvez pas écrire le résultat des calculs avec une précision qui dépasse les limites de deux chiffres fiables, même si en fin de compte nous en avons davantage.
La valeur des grandeurs physiques doit être écrite en ne notant que les signes d'un résultat fiable. Par exemple, si la valeur numérique de 39 600 comporte trois chiffres fiables (l'erreur absolue du résultat est de 100), alors le résultat doit être écrit sous la forme 3,96 104 ou 0,396 105. Lors du calcul de chiffres fiables, les zéros à gauche du nombre ne sont pas pris en compte.
Pour que le résultat du calcul soit correct, il doit être arrondi, ne laissant que la vraie valeur de la quantité. Si la valeur numérique d'une quantité contient des chiffres supplémentaires (peu fiables) qui dépassent la précision spécifiée, alors le dernier chiffre stocké est augmenté de 1 à condition que l'excédent (chiffres supplémentaires) soit égal ou supérieur à la moitié de la valeur du chiffre suivant de le nombre.
Dans différentes valeurs numériques, zéro peut être un nombre fiable ou non. Ainsi, dans l’exemple b), c’est un chiffre peu fiable, et dans l’exemple d), il est fiable et significatif. En physique, s’ils veulent souligner la fiabilité du chiffre d’une valeur numérique d’une grandeur physique, ils indiquent « 0 » dans son expression standard. Par exemple, l'enregistrement d'une valeur de masse de 2,10 10-3 kg indique trois chiffres fiables du résultat et la précision de mesure correspondante, et une valeur de 2,1 10-3 kg seulement deux chiffres fiables.
Il ne faut pas oublier que le résultat d'actions avec des valeurs numériques de grandeurs physiques est un résultat approximatif qui prend en compte la précision du calcul ou l'erreur de mesure. Par conséquent, lorsque vous effectuez des calculs approximatifs, vous devez être guidé par les règles suivantes pour calculer des nombres fiables :
1. Lors de l'exécution d'opérations arithmétiques avec des valeurs numériques de grandeurs physiques, leur résultat doit être pris avec autant de signes fiables qu'il y a de valeurs numériques avec le moins de signes fiables.
2. Dans tous les calculs intermédiaires, il convient de conserver un chiffre de plus que la valeur numérique comportant le moins de chiffres fiables. En fin de compte, ce chiffre « supplémentaire » est écarté en étant arrondi.
3. Si certaines données ont des signes plus fiables que d'autres, leurs valeurs doivent d'abord être arrondies (vous pouvez enregistrer un chiffre « excédentaire »), puis effectuer des actions.
Dans la plupart des cas, les données numériques des problèmes sont approximatives. Dans les conditions de la tâche, des valeurs exactes peuvent également apparaître, par exemple les résultats du comptage d'un petit nombre d'objets, certaines constantes, etc.
Pour indiquer la valeur approximative d'un nombre, utilisez le signe d'égalité approximative ; lire comme ceci : « à peu près égal » (ne devrait pas lire : « à peu près égal »).
Découvrir la nature des données numériques est une étape préparatoire importante pour résoudre tout problème.
Les directives suivantes peuvent vous aider à reconnaître les nombres exacts et approximatifs :
| Valeurs exactes | Valeurs approximatives |
| 1. Les valeurs d'un certain nombre de facteurs de conversion pour le passage d'une unité de mesure à une autre (1m = 1000 mm ; 1h = 3600 s) De nombreux facteurs de conversion ont été mesurés et calculés avec une précision (métrologique) si élevée qu'ils sont désormais pratiquement considérées comme exactes. | 1. La plupart des valeurs des grandeurs mathématiques données dans les tableaux (racines, logarithmes, valeurs fonctions trigonométriques, ainsi que la signification pratique du nombre et de la base logarithmes naturels(numéro e)) |
| 2. Facteurs d'échelle. | Si, par exemple, on sait que l'échelle est de 1:10 000, alors les nombres 1 et 10 000 sont considérés comme exacts. |
| S'il est indiqué que 1 cm équivaut à 4 m, alors 1 et 4 sont les valeurs exactes de la longueur | 2. Résultats des mesures. |
| (Quelques constantes de base : la vitesse de la lumière dans le vide, la constante gravitationnelle, la charge et la masse d'un électron, etc.) Valeurs tabulées des grandeurs physiques (densité de la matière, points de fusion et d'ébullition, etc.) 3. Tarifs et prix.(coût de 1 kWh d’électricité – prix exact) | |
| 3. Les données de conception sont également approximatives, car ils sont spécifiés avec quelques écarts, qui sont normalisés par les GOST. | |
| (Par exemple, selon la norme, les dimensions d'une brique sont : longueur 250 6 mm, largeur 120 4 mm, épaisseur 65 3 mm) Le même groupe de nombres approximatifs comprend les dimensions tirées du dessin | |
| 7. 4. Valeurs conditionnelles des quantités (Exemples : zéro absolu |
température -273,15 C, pression atmosphérique normale 101325 Pa) 5. Coefficients et exposants trouvés dans les formules physiques et mathématiques ( ; %; etc.).
1. 6. Résultats du comptage des articles (nombre de piles dans la batterie ; nombre de cartons de lait produits par l'usine et comptés par le compteur photoélectrique)
Définir des points
quantités (Par exemple, dans le problème « Trouver les périodes d'oscillation des pendules de 1 et 4 m de long », les nombres 1 et 4 peuvent être considérés comme les valeurs exactes de la longueur du pendule)
Exécuter
les tâches suivantes, formatez votre réponse sous forme de tableau :
Indiquez lesquelles des valeurs données sont exactes et lesquelles sont approximatives :
1) Densité de l'eau (4 C)………..………………………..………………1000kg/m3
2. 2) Vitesse du son (0 C)………………………………………….332 m/s
1) Dans une machine à vapeur, une bobine en bronze dont la longueur et la largeur sont respectivement de 200 et 120 mm subit une pression de 12 MPa. Trouvez la force nécessaire pour déplacer la bobine le long de la surface en fonte du cylindre. Le coefficient de frottement est de 0,10.
2) Déterminez la résistance du filament d'une lampe électrique à l'aide des marquages suivants : « 220 V, 60 W ».
3. Quelles réponses – exactes ou approximatives – obtiendrons-nous en résolvant les problèmes suivants ?
1) Quelle est la vitesse d’un corps en chute libre à la fin de la 15e seconde, en supposant que l’intervalle de temps est spécifié exactement ?
2) Quelle est la vitesse de la poulie si son diamètre est de 300 mm et la vitesse de rotation est de 10 rps ? Considérez que les données sont exactes.
3) Déterminez le module de force. Échelle 1 cm – 50N.
4) Déterminer le coefficient de frottement statique d'un corps situé sur un plan incliné si le corps commence à glisser uniformément le long de la pente à = 0,675, où est l'angle d'inclinaison du plan.
Si l'on sait qu'un< А, то а называют une valeur approximative de A avec un désavantage. Si a > A, alors a est appelé valeur approximative de A avec excès.
La différence entre les valeurs exactes et approximatives d'une quantité s'appelle erreur d'approximation et est noté D, c'est-à-dire
D = UNE – une (1)
L'erreur d'approximation D peut être un nombre positif ou négatif.
Afin de caractériser la différence entre une valeur approximative d'une grandeur et une valeur exacte, il suffit souvent d'indiquer la valeur absolue de la différence entre les valeurs exactes et approximatives.
La valeur absolue de la différence entre la valeur approximative UN et précis UN les valeurs d'un nombre sont appelées erreur absolue (erreur) d'approximation et noté D UN:
D UN = ½ UN – UN½ (2)
Exemple 1. Lors de la mesure d'un segment je utilisé une règle dont la division d'échelle est de 0,5 cm. Nous avons obtenu une valeur approximative de la longueur du segment. UN= 204 cm.
Il est clair que lors de la mesure, il aurait pu y avoir une erreur de pas plus de 0,5 cm, c'est-à-dire L'erreur de mesure absolue ne dépasse pas 0,5 cm.
Habituellement, l'erreur absolue est inconnue, puisque la valeur exacte du nombre A est donc inconnue. évaluation erreur absolue:
D UN <= DUN avant. (3)
où d et avant. – erreur maximale (nombre, plus zéro), donné en tenant compte de la fiabilité avec laquelle le nombre a est connu.
L'erreur absolue maximale est également appelée marge d'erreur. Ainsi, dans l'exemple donné,
D et avant. = 0,5 cm.
De (3) on obtient :
D UN = ½ UN – UN½<= DUN avant. .
UN-D UN avant. ≤ UN≤ UN+D UN avant. . (4)
annonce UN avant. sera une valeur approximative UN avec un désavantage
a + D UN avant – valeur approximative UN en quantité. La notation courte est également utilisée :
UN= UN±D UN avant (5)
De la définition de l'erreur absolue maximale, il s'ensuit que les nombres D UN avant, satisfaisant l’inégalité (3), il y aura un ensemble infini. En pratique, ils essaient de choisir peut-être moinsà partir des nombres D et avant, satisfaisant l'inégalité D UN <= DUN avant.
Exemple 2. Déterminons l'erreur absolue maximale du nombre a=3,14, prise comme valeur approximative du nombre π.
Il est connu que 3,14<π<3,15. Il s'ensuit que
|UN – π |< 0,01.
L'erreur absolue maximale peut être considérée comme le nombre D UN = 0,01.
Si l'on prend en compte cela 3,14<π<3,142 , alors on obtient une meilleure note :D UN= 0,002, alors π ≈3,14 ±0,002.
4. Erreur relative (erreur). Connaître uniquement l’erreur absolue ne suffit pas pour caractériser la qualité de la mesure.
Supposons, par exemple, que lors de la pesée de deux corps, les résultats suivants soient obtenus :
P1 = 240,3 ±0,1 g.
P2 = 3,8 ±0,1 g.
Bien que les erreurs de mesure absolues des deux résultats soient les mêmes, la qualité des mesures dans le premier cas sera meilleure que dans le second. Il se caractérise par une erreur relative.
Erreur relative (erreur) numéro qui approche UN appelé taux d'erreur absolu D une se rapprochant de la valeur absolue du nombre A :
La valeur exacte d’une quantité étant généralement inconnue, elle est remplacée par une valeur approximative puis :
(7)
Erreur relative maximale ou limite de l'erreur d'approximation relative, s'appelle le nombre d et avant>0, tel que :
d UN<= d et avant(8)
L'erreur relative maximale peut évidemment être considérée comme le rapport de l'erreur absolue maximale à la valeur absolue de la valeur approchée :
(9)
À partir de (9), la relation importante suivante s’obtient facilement :
∆et avant = |un| d et avant(10)
L'erreur relative maximale est généralement exprimée en pourcentage :
Exemple. La base des logarithmes naturels pour le calcul est supposée être égale à e=2,72. Nous avons pris comme valeur exacte e t = 2,7183. Trouvez les erreurs absolues et relatives du nombre approximatif.
D e = ½ e – e t½=0,0017 ;
.
L'ampleur de l'erreur relative reste inchangée avec un changement proportionnel du nombre le plus approximatif et de son erreur absolue. Ainsi, pour le nombre 634,7, calculé avec une erreur absolue de D = 1,3, et pour le nombre 6347 avec une erreur de D = 13, les erreurs relatives sont les mêmes : d= 0,2.
L'ampleur de l'erreur relative peut être jugée approximativement par le nombre vrais signifiants chiffres de nombres.
Région de Sakhaline
"École professionnelle n°13"
Des lignes directricesÀ travail indépendantétudiants
Alexandrovsk-Sakhalinski
Valeurs approximatives des grandeurs et erreurs d'approximation : Méthode indiquée. / Comp.
GBOU NPO "École professionnelle n°13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012
Les lignes directrices sont destinées aux étudiants de toutes les professions qui suivent des cours de mathématiques.
Président du MK
Valeur approximative de la grandeur et erreur d'approximation.
En pratique, on ne connaît presque jamais les valeurs exactes des quantités. Aucune balance, aussi précise soit-elle, n'indique le poids avec une précision absolue ; n'importe quel thermomètre affiche la température avec une erreur ou une autre ; aucun ampèremètre ne peut donner des lectures précises du courant, etc. De plus, notre œil n'est pas capable de lire de manière absolument correcte les lectures des instruments de mesure. Par conséquent, au lieu de traiter les vraies valeurs des quantités, nous sommes obligés d’opérer avec leurs valeurs approximatives.
Le fait que UN" est une valeur approximative du nombre UN , s'écrit ainsi :
une ≈ une" .
Si UN" est une valeur approximative de la quantité UN , alors la différence Δ = un - un" appelé erreur d'approximation*.
* Δ - Lettre grecque ; lire : delta. Vient ensuite une autre lettre grecque ε (lire : epsilon).
Par exemple, si le nombre 3,756 est remplacé par une valeur approximative de 3,7, alors l'erreur sera égale à : Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Si l'on prend 3,8 comme valeur approximative, alors l'erreur sera égale à : Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
En pratique, l'erreur d'approximation est le plus souvent utilisée Δ
, et la valeur absolue de cette erreur | Δ
|. Dans ce qui suit nous appellerons simplement cette valeur absolue d'erreur erreur absolue. Une approximation est considérée comme meilleure qu’une autre si l’erreur absolue de la première approximation est inférieure à l’erreur absolue de la deuxième approximation. Par exemple, l'approximation 3,8 pour le nombre 3,756 est meilleure que l'approximation 3,7 car pour la première approximation
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, et pour le deuxième | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Nombre UN" UN jusqu'àε , si l'erreur absolue de cette approximation est inférieure àε :
|un - un" | < ε .
Par exemple, 3,6 est une valeur approximative du nombre 3,671 avec une précision de 0,1, puisque |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
De même, - 3/2 peut être considéré comme une approximation du nombre - 8/5 à 1/5 près, puisque
< UN , Que UN" appelé la valeur approximative du nombre UN avec un désavantage.
Si UN" > UN , Que UN" appelé la valeur approximative du nombre UN en quantité.
Par exemple, 3,6 est une valeur approximative du nombre 3,671 avec un désavantage, puisque 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Si au lieu de chiffres nous UN Et b additionner leurs valeurs approximatives UN" Et b" , alors le résultat un" + b" sera une valeur approximative de la somme a + b . La question se pose : comment évaluer l'exactitude de ce résultat si l'exactitude de l'approximation de chaque terme est connue ? La solution à ce problème et à des problèmes similaires est basée sur la propriété de valeur absolue suivante :
|a + b | < |un | + |b |.
La valeur absolue de la somme de deux nombres quelconques ne dépasse pas la somme de leurs valeurs absolues.
les erreurs
La différence entre le nombre exact x et sa valeur approximative a est appelée l'erreur de ce nombre approximatif. Si l'on sait que | x - une |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Le rapport de l’erreur absolue à la valeur absolue de la valeur approchée est appelé erreur relative de la valeur approchée. L'erreur relative est généralement exprimée en pourcentage.
Exemple. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
Vraiment,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Exercices pour le travail indépendant.
1. Avec quelle précision peut-on mesurer les longueurs à l’aide d’une règle ordinaire ?
2. Quelle est la précision de l’horloge ?
3. Savez-vous avec quelle précision le poids corporel peut être mesuré sur des balances électriques modernes ?
4. a) Dans quelles limites le nombre est-il contenu ? UN , si sa valeur approximative avec une précision de 0,01 est de 0,99 ?
b) Dans quelles limites le nombre est-il contenu ? UN , si sa valeur approximative avec un désavantage précis à 0,01 est 0,99 ?
c) Quelles sont les limites du nombre ? UN , si sa valeur approximative avec une précision excédentaire de 0,01 est égale à 0,99 ?
5 . Quelle est l'approximation du nombre π ≈ 3,1415 c'est mieux : 3,1 ou 3,2 ?
6. Une valeur approximative d'un certain nombre avec une précision de 0,01 peut-elle être considérée comme une valeur approximative du même nombre avec une précision de 0,1 ? Et l’inverse ?
7. Sur la droite numérique, la position du point correspondant au nombre est précisée UN . Indiquez sur cette ligne :
a) la position de tous les points qui correspondent aux valeurs approximatives du nombre UN avec un désavantage avec une précision de 0,1 ;
b) la position de tous les points qui correspondent aux valeurs approximatives du nombre UN avec excès avec une précision de 0,1 ;
c) la position de tous les points qui correspondent aux valeurs approximatives du nombre UN avec une précision de 0,1.
8. Dans quel cas est la valeur absolue de la somme de deux nombres :
a) inférieur à la somme des valeurs absolues de ces nombres ;
b) égal à la somme des valeurs absolues de ces nombres ?
9. Prouver les inégalités :
une) | un B | < |un| + |b |; b)* | un B | > ||UN | - | b ||.
Quand apparaît le signe égal dans ces formules ?
Littérature:
1. Bashmakov (niveau de base) 10-11 années. – M., 2012
2. Bashmakov, 10e année. Collection de problèmes. - M : Centre d'édition "Académie", 2008
3., Mordkovitch : Documents de référence : Livre pour étudiants - 2e éd. - M. : Éducation, 1990.
4. Dictionnaire encyclopédique jeune mathématicien / Comp. .-M. : Pédagogie, 1989