>

Nevienādības ar moduli. Jauns skatījums uz risinājumu. Vienādojumi un nevienādības ar moduli

Skaitļu modulis pats skaitlis tiek izsaukts, ja tas nav negatīvs, vai tas pats skaitlis ar pretēju zīmi, ja tas ir negatīvs.

Piemēram, skaitļa 6 modulis ir 6, un skaitļa -6 modulis arī ir 6.

Tas ir, skaitļa modulis tiek saprasts kā absolūtā vērtība, šī skaitļa absolūtā vērtība, neņemot vērā tā zīmi.

To apzīmē šādi: |6|, | X|, |A| utt.

(Sīkāka informācija sadaļā “Numuru modulis”).

Vienādojumi ar moduli.

1. piemērs . Atrisiniet vienādojumu|10 X - 5| = 15.

Risinājums.

Saskaņā ar likumu vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Mēs nolemjam:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Atbilde: X 1 = 2, X 2 = -1.

2. piemērs . Atrisiniet vienādojumu|2 X + 1| = X + 2.

Risinājums.

Tā kā modulis ir nenegatīvs skaitlis, tad X+ 2 ≥ 0. Attiecīgi:

X ≥ -2.

Izveidosim divus vienādojumus:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Mēs nolemjam:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Abi skaitļi ir lielāki par -2. Tātad abas ir vienādojuma saknes.

Atbilde: X 1 = -1, X 2 = 1.

3. piemērs . Atrisiniet vienādojumu

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Risinājums.

Vienādojumam ir jēga, ja saucējs nav nulle - tas nozīmē, ja X≠ 1. Ņemsim vērā šo nosacījumu. Mūsu pirmā darbība ir vienkārša - mēs ne tikai atbrīvojamies no frakcijas, bet arī pārveidojam to, lai iegūtu moduli tīrā veidā:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Tagad mums ir tikai izteiksme zem moduļa vienādojuma kreisajā pusē. Uz priekšu.
Skaitļa modulis ir nenegatīvs skaitlis - tas ir, tam jābūt lielākam par nulli vai vienādam ar nulli. Attiecīgi mēs atrisinām nevienlīdzību:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Tādējādi mums ir otrs nosacījums: vienādojuma saknei jābūt vismaz 3/4.

Saskaņā ar likumu mēs sastādām divu vienādojumu kopu un atrisinām tos:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Mēs saņēmām divas atbildes. Pārbaudīsim, vai tās ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Mums bija divi nosacījumi: vienādojuma sakne nevar būt vienāda ar 1, un tai jābūt vismaz 3/4. Tas ir X ≠ 1, X≥ 3/4. Abi šie nosacījumi atbilst tikai vienai no divām saņemtajām atbildēm - skaitlim 2. Tas nozīmē, ka tikai šī ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: X = 2.

Nevienādības ar moduli.

1. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību| X - 3| < 4

Risinājums.

Moduļa noteikums nosaka:

|A| = A, Ja A ≥ 0.

|A| = -A, Ja A < 0.

Modulim var būt gan nenegatīvi, gan negatīvi skaitļi. Tātad mums ir jāapsver abi gadījumi: X- 3 ≥ 0 un X - 3 < 0.

1) Kad X- 3 ≥ 0 mūsu sākotnējā nevienādība paliek tāda, kāda tā ir, tikai bez moduļa zīmes:
X - 3 < 4.

2) Kad X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Atverot iekavas, mēs iegūstam:

-X + 3 < 4.

Tādējādi no šiem diviem nosacījumiem mēs nonācām pie divu nevienlīdzību sistēmu apvienošanas:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Atrisināsim tos:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Tātad, mūsu atbilde ir divu kopu savienība:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Noteikt mazāko un augstākā vērtība. Tie ir -1 un 7. Turklāt X lielāks par -1, bet mazāks par 7.
Turklāt, X≥ 3. Tas nozīmē, ka nevienlīdzības risinājums ir visa skaitļu kopa no -1 līdz 7, izņemot šos galējos skaitļus.

Atbilde: -1 < X < 7.

Vai: X ∈ (-1; 7).

Papildinājumi.

1) Ir vienkāršāks un īsāks veids, kā atrisināt mūsu nevienlīdzību - grafiski. Lai to izdarītu, jums ir jāuzzīmē horizontāla ass (1. att.).

Izteiksme | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X līdz 3. punktam ir mazāks par četrām vienībām. Mēs atzīmējam uz ass skaitli 3 un saskaitām 4 dalījumus pa kreisi un pa labi no tā. Kreisajā pusē mēs nonāksim līdz punktam -1, labajā pusē - pie 7. Tādējādi punkti X mēs tos vienkārši redzējām, tos neaprēķinot.

Turklāt saskaņā ar nevienlīdzības nosacījumu paši -1 un 7 nav iekļauti risinājumu kopā. Tādējādi mēs saņemam atbildi:

1 < X < 7.

2) Bet ir vēl viens risinājums, kas ir vienkāršāks pat par grafisko metodi. Lai to izdarītu, mūsu nevienlīdzība ir jāuzrāda šādā formā:

4 < X - 3 < 4.

Galu galā tas ir tā, kā tas ir saskaņā ar moduļa likumu. Nenegatīvs skaitlis 4 un līdzīgs negatīvais skaitlis -4 ir robežas nevienlīdzības atrisināšanai.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

2. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību| X - 2| ≥ 5

Risinājums.

Šis piemērs būtiski atšķiras no iepriekšējā. Kreisā puse ir lielāka par 5 vai vienāda ar 5. C ģeometriskais punkts No viedokļa raugoties, nevienlīdzības risinājums ir visi skaitļi, kas atrodas 5 vai vairāk vienību attālumā no punkta 2 (2. att.). Grafikā redzams, ka tie visi ir skaitļi, kas ir mazāki vai vienādi ar -3 un lielāki vai vienādi ar 7. Tas nozīmē, ka mēs jau esam saņēmuši atbildi.

Atbilde: -3 ≥ X ≥ 7.

Pa ceļam mēs atrisinām to pašu nevienlīdzību, pārkārtojot brīvo terminu pa kreisi un pa labi ar pretēju zīmi:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Atbilde ir tāda pati: -3 ≥ X ≥ 7.

Vai: X ∈ [-3; 7]

Piemērs ir atrisināts.

3. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Risinājums.

Numurs X var būt pozitīvs skaitlis, negatīvs skaitlis vai nulle. Tāpēc mums ir jāņem vērā visi trīs apstākļi. Kā jūs zināt, tie tiek ņemti vērā divās nevienlīdzībās: X≥ 0 un X < 0. При X≥ 0 mēs vienkārši pārrakstām savu sākotnējo nevienādību tādu, kāda tā ir, tikai bez moduļa zīmes:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Tagad par otro gadījumu: ja X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Iekavu paplašināšana:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Tādējādi mēs saņēmām divas vienādojumu sistēmas:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Mums ir jāatrisina nevienlīdzības sistēmās - un tas nozīmē, ka mums ir jāatrod divu saknes kvadrātvienādojumi. Lai to izdarītu, mēs pielīdzinām nevienādību kreisās puses nullei.

Sāksim ar pirmo:

6X 2 - X - 2 = 0.

Kā atrisināt kvadrātvienādojumu - skatiet sadaļu “Kvadrātvienādojums”. Mēs nekavējoties nosauksim atbildi:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

No pirmās nevienādību sistēmas mēs iegūstam, ka sākotnējās nevienlīdzības risinājums ir visa skaitļu kopa no -1/2 līdz 2/3. Mēs rakstām risinājumu savienību plkst X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Tagad atrisināsim otro kvadrātvienādojumu:

6X 2 + X - 2 = 0.

Tās saknes:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Secinājums: kad X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Apvienosim abas atbildes un iegūstam galīgo atbildi: risinājums ir visa skaitļu kopa no -2/3 līdz 2/3, ieskaitot šos galējos skaitļus.

Atbilde: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Vai: X ∈ [-2/3; 2/3].

Kā vairāk cilvēku saprot, jo spēcīgāka ir viņa vēlme saprast

Akvīnas Toms

Intervālu metode ļauj atrisināt jebkurus vienādojumus, kas satur moduli. Šīs metodes būtība ir sadalīt skaitļu asi vairākās sadaļās (intervālos), un ass ir jāsadala ar izteiksmju nullēm moduļos. Tad katrā no iegūtajām sadaļām katra submodulārā izteiksme ir pozitīva vai negatīva. Tāpēc katru no moduļiem var atvērt vai nu ar mīnusa zīmi, vai ar plus zīmi. Pēc šīm darbībām atliek tikai atrisināt katru no saņemtajiem vienkārši vienādojumi par aplūkojamo intervālu un apvienot saņemtās atbildes.

Apskatīsim šo metodi, izmantojot konkrētu piemēru.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Atradīsim izteiksmju nulles moduļos. Lai to izdarītu, mums tie ir jāpielīdzina nullei un jāatrisina iegūtie vienādojumi.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Novietojiet iegūtos punktus vajadzīgajā secībā uz koordinātu līnijas. Viņi sadalīs visu asi četrās daļās.

3) Noteiksim katrā no iegūtajām sekcijām izteiksmju zīmes moduļos. Lai to izdarītu, mēs tajos aizstājam jebkurus skaitļus no mūs interesējošajiem intervāliem. Ja aprēķina rezultāts ir pozitīvs skaitlis, tad tabulā ievietojam “+”, bet, ja skaitlis ir negatīvs, tad – “–”. To var attēlot šādi:

4) Tagad mēs atrisināsim vienādojumu katrā no četriem intervāliem, atklājot moduļus ar tabulā norādītajām zīmēm. Tātad, aplūkosim pirmo intervālu:

I intervāls (-∞; -3). Uz tā visi moduļi tiek atvērti ar “–” zīmi. Mēs iegūstam šādu vienādojumu:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Uzrādīsim līdzīgus terminus, vispirms atverot iekavas iegūtajā vienādojumā:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Saņemtā atbilde netiek iekļauta aplūkotajā intervālā, tāpēc gala atbildē to nav nepieciešams rakstīt.

II intervāls [-3; -1). Šajā intervālā tabulā ir zīmes “–”, “-”, “+”. Tieši šādā veidā mēs atveram sākotnējā vienādojuma moduļus:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Vienkāršosim, atverot iekavas:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Iegūtajā vienādojumā parādīsim līdzīgus:

x = 6/5. Iegūtais skaitlis nepieder aplūkojamajam intervālam, tāpēc tas nav sākotnējā vienādojuma sakne.

III intervāls [-1; 2). Mēs paplašinām sākotnējā vienādojuma moduļus ar zīmēm, kas parādās attēla trešajā kolonnā. Mēs iegūstam:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Atbrīvosimies no iekavām un pārvietosim vārdus, kas satur mainīgo x uz vienādojuma kreiso pusi, bet tos, kas nesatur x uz labā puse. Būs:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

Skaitlis 2 nav iekļauts aplūkotajā intervālā.

IV intervāls) – viņi to automātiski uzskatīs par nepareizu atbildi. Tāpat, testējot, ja ir dota nestingra nevienādība ar moduļiem, tad starp risinājumiem meklējiet laukumus ar kvadrātiekavām.

Intervālā (-3;0), paplašinot moduli, mainām funkcijas zīmi uz pretējo

Ņemot vērā nevienlīdzības atklāšanas apgabalu, risinājumam būs forma

Kopā ar iepriekšējo laukumu tas dos divus pusintervālus

Piemērs 5. Atrodiet nevienlīdzības risinājumu
9x^2-|x-3|>=9x-2

Risinājums:
Ir dota nestingra nevienādība, kuras submodulārā funkcija ir vienāda ar nulli punktā x=3.<3.

Mazākām vērtībām tas ir negatīvs, lielākām - pozitīvs. Izvērsiet moduli uz intervāla x

Vienādojuma diskriminanta atrašana

un saknes

Aizvietojot punktu nulli, uzzinām, ka intervālā [-1/9;1] kvadrātfunkcija ir negatīva, tāpēc intervāls ir risinājums. Tālāk mēs izvēršam moduli pie x>3

Šodien, draugi, nebūs ne puņķu, ne sentimentalitātes. Tā vietā es jūs nosūtīšu bez jautājumiem cīņā ar vienu no visbriesmīgākajiem pretiniekiem 8.-9.klases algebras kursā.

Jā, jūs visu sapratāt pareizi: mēs runājam par nevienādībām ar moduli. Apskatīsim četrus pamata paņēmienus, ar kuriem jūs iemācīsities atrisināt aptuveni 90% šādu problēmu. Kā ar atlikušajiem 10%? Nu par tiem parunāsim atsevišķā nodarbībā :)

Tomēr, pirms analizēt kādu no metodēm, es vēlētos jums atgādināt divus faktus, kas jums jau ir jāzina. Pretējā gadījumā jūs riskējat vispār nesaprast šodienas nodarbības materiālu.

Kas jums jau ir jāzina

  1. Šķiet, ka Captain Obviousness norāda, ka, lai atrisinātu nevienlīdzības ar moduli, jums jāzina divas lietas:
  2. Kā tiek atrisinātas nevienlīdzības;

Kas ir modulis?

Sāksim ar otro punktu.

Moduļa definīcija

Šeit viss ir vienkārši. Ir divas definīcijas: algebriskā un grafiskā. Sākumā - algebriskā:

Definīcija. Skaitļa $x$ modulis ir vai nu pats skaitlis, ja tas nav negatīvs, vai tam pretējs skaitlis, ja sākotnējais $x$ joprojām ir negatīvs.

Tas ir rakstīts šādi:

\[\pa kreisi| x \right|=\left\( \begin (līdzināt) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Vienkārši izsakoties, modulis ir “skaitlis bez mīnusa”. Un tieši šajā dualitātē (dažās vietās ar sākotnējo numuru nekas nav jādara, bet citviet būs jānoņem kaut kāds mīnuss) ir visas grūtības iesācējiem. Vai ir vēl daži. To arī ir noderīgi zināt, bet mēs tam pievērsīsimies tikai sarežģītos un dažos īpašos gadījumos, kur ģeometriskā pieeja ir ērtāka nekā algebriskā (spoileris: ne šodien).

Definīcija. Ciparu rindā atzīmēsim punktu $a$. Pēc tam modulis $\left| x-a \right|$ ir attālums no punkta $x$ līdz punktam $a$ šajā taisnē.

Ja jūs uzzīmējat attēlu, jūs iegūsit kaut ko līdzīgu:


Grafiskā moduļa definīcija

Vienā vai otrā veidā no moduļa definīcijas uzreiz izriet tā galvenā īpašība: skaitļa modulis vienmēr ir nenegatīvs lielums. Šis fakts būs sarkans pavediens, kas iet cauri visam mūsu šodienas stāstījumam.

Nevienlīdzību risināšana. Intervāla metode

Tagad apskatīsim nevienlīdzību. To ir ļoti daudz, bet mūsu uzdevums tagad ir spēt atrisināt vismaz vienkāršāko no tiem. Tie, kas nonāk līdz lineārās nevienādības, kā arī uz intervāla metodi.

Man ir divas lielas nodarbības par šo tēmu (starp citu, ļoti, ĻOTI noderīgas - iesaku tās izpētīt):

  1. Intervāla metode nevienādībām (īpaši skatieties video);
  2. Frakcionālās racionālās nevienlīdzības ir ļoti plaša mācība, bet pēc tās jums vairs nebūs nekādu jautājumu.

Ja jūs to visu zināt, ja frāze "pāriesim no nevienlīdzības uz vienādojumu" nerada neskaidru vēlmi atsist pret sienu, tad esat gatavs: laipni lūdzam ellē nodarbības galvenajā tēmā :)

1. Formas “Modulis ir mazāks par funkciju” nevienādības

Šī ir viena no visbiežāk sastopamajām moduļu problēmām. Ir nepieciešams atrisināt formas nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| f\right| \ltg\]

Funkcijas $f$ un $g$ var būt jebkas, taču parasti tie ir polinomi. Šādas nevienlīdzības piemēri:

\[\begin(līdzināt) & \left| 2x+3 \pa labi| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(līdzināt)\]

Tos visus var atrisināt burtiski vienā rindā saskaņā ar šādu shēmu:

\[\pa kreisi| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(līdzināt) \pa labi.\pa labi)\]

Ir viegli redzēt, ka mēs atbrīvojamies no moduļa, bet pretī mēs iegūstam dubultu nevienādību (vai, kas ir tas pats, divu nevienādību sistēmu). Bet šī pāreja ņem vērā pilnīgi visu iespējamās problēmas: ja skaitlis zem moduļa ir pozitīvs, metode darbojas; ja tas ir negatīvs, tas joprojām darbojas; un pat ar visneadekvātāko funkciju $f$ vai $g$ vietā, metode joprojām darbosies.

Protams, rodas jautājums: vai tas nevarētu būt vienkāršāk? Diemžēl tas nav iespējams. Šī ir visa moduļa būtība.

Tomēr pietiks ar filozofēšanu. Atrisināsim pāris problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| 2x+3 \pa labi| \lt x+7\]

Risinājums. Tātad mūsu priekšā ir klasiska formas "modulis ir mazāks" nevienlīdzība — pat nav ko pārveidot. Mēs strādājam pēc algoritma:

\[\begin(līdzināt) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \pa labi| \lt x+7\Labā bultiņa -\pa kreisi (x+7 \pa labi) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(līdzināt)\]

Nesteidzieties atvērt iekavas, kurām priekšā ir “mīnuss”: ir pilnīgi iespējams, ka steigā pieļausit aizvainojošu kļūdu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left\( \begin (līdzināt) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]

Problēma tika samazināta līdz divām elementārām nevienlīdzībām. Atzīmēsim to risinājumus paralēlās skaitļu taisnēs:

Daudzu krustojums

Atbilde būs šo kopu krustpunkts.

Atbilde: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Risinājums. Šis uzdevums ir nedaudz grūtāks. Pirmkārt, izolēsim moduli, pārvietojot otro terminu pa labi:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acīmredzot mums atkal ir nevienlīdzība formā “modulis ir mazāks”, tāpēc mēs atbrīvojamies no moduļa, izmantojot jau zināmo algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Tagad uzmanību: kāds teiks, ka esmu mazliet izvirtulis ar visām šīm iekavām. Bet ļaujiet man vēlreiz atgādināt, ka mūsu galvenais mērķis ir pareizi atrisināt nevienlīdzību un saņemt atbildi. Vēlāk, kad būsi lieliski apguvis visu, kas šajā nodarbībā aprakstīts, vari pats to sagrozīt kā gribi: atver iekavas, pievieno mīnusus utt.

Sākumā mēs vienkārši atbrīvosimies no dubultā mīnusa kreisajā pusē:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Tagad atvērsim visas dubultās nevienlīdzības iekavas:

Pāriesim pie dubultās nevienlīdzības. Šoreiz aprēķini būs nopietnāki:

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( līdzināt)\pa labi.\]

Abas nevienādības ir kvadrātiskas, un tās var atrisināt, izmantojot intervālu metodi (tāpēc es saku: ja jūs nezināt, kas tas ir, labāk moduļus vēl neņemt). Pārejam pie vienādojuma pirmajā nevienādībā:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\beigt(līdzināt)\]

Kā redzat, izvade ir nepilnīgs kvadrātvienādojums, kuru var atrisināt elementāri. Tagad aplūkosim sistēmas otro nevienlīdzību. Tur jums būs jāpiemēro Vietas teorēma:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\beigt(līdzināt)\]

Mēs atzīmējam iegūtos skaitļus uz divām paralēlām līnijām (atsevišķi pirmajai nevienādībai un atsevišķi otrajai):

Atkal, tā kā mēs risinām nevienādību sistēmu, mūs interesē iekrāsoto kopu krustpunkts: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Šī ir atbilde.

Atbilde: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Es domāju, ka pēc šiem piemēriem risinājuma shēma ir ārkārtīgi skaidra:

  1. Izolējiet moduli, pārvietojot visus pārējos terminus uz nevienlīdzības pretējo pusi. Tādējādi iegūstam formas $\left| nevienādību f\right| \ltg$.
  2. Atrisiniet šo nevienlīdzību, atbrīvojoties no moduļa saskaņā ar iepriekš aprakstīto shēmu. Kādā brīdī būs jāpāriet no dubultās nevienlīdzības uz divu neatkarīgu izteiksmju sistēmu, no kurām katru jau var atrisināt atsevišķi.
  3. Visbeidzot, atliek tikai krustot šo divu neatkarīgo izteiksmju risinājumus - un tas ir viss, mēs saņemsim galīgo atbildi.

Līdzīgs algoritms pastāv šāda veida nevienādībām, kad modulis vairāk funkciju. Tomēr ir daži nopietni “bet”. Mēs tagad runāsim par šiem "bet".

2. Formas “Modulis ir lielāks par funkciju” nevienādības

Tie izskatās šādi:

\[\pa kreisi| f\right| \gtg\]

Līdzīgs iepriekšējam? Liekas. Un tomēr šādas problēmas tiek risinātas pavisam savādāk. Formāli shēma ir šāda:

\[\pa kreisi| f\right| \gt g\Labā bultiņa \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(līdzināt) \right.\]

Citiem vārdiem sakot, mēs aplūkojam divus gadījumus:

  1. Pirmkārt, mēs vienkārši ignorējam moduli un atrisinām parasto nevienlīdzību;
  2. Pēc tam būtībā mēs paplašinām moduli ar mīnusa zīmi un pēc tam reizinim abas nevienādības puses ar −1, kamēr man ir zīme.

Šajā gadījumā opcijas tiek apvienotas ar kvadrātiekava, t.i. Mūsu priekšā ir divu prasību kombinācija.

Lūdzu, ņemiet vērā vēlreiz: tā nav sistēma, bet gan kopums atbildē kopas ir apvienotas, nevis krustotas. Tā ir būtiska atšķirība no iepriekšējā punkta!

Kopumā daudzi studenti ir pilnībā sajaukti ar arodbiedrībām un krustojumiem, tāpēc atrisināsim šo jautājumu uz visiem laikiem:

  • "∪" ir arodbiedrības zīme. Būtībā tas ir stilizēts burts "U", kas mums nāca no angliski un ir “Savienības” saīsinājums, t.i. "Asociācijas".
  • "∩" ir krustojuma zīme. Šīs muļķības nenāca ne no kurienes, bet vienkārši parādījās kā pretpunkts “∪”.

Lai to būtu vēl vieglāk atcerēties, vienkārši pievelciet kājas šīm zīmēm, lai izgatavotu brilles (tikai tagad nepārmetiet man narkomānijas un alkoholisma veicināšanu: ja jūs nopietni mācāties šo stundu, tad jūs jau esat narkomāns):

Atšķirība starp krustojumu un kopu savienību

Tulkojumā krievu valodā tas nozīmē sekojošo: savienība (kopumā) ietver elementus no abām kopām, tāpēc tas nekādā ziņā nav mazāks par katru no tiem; bet krustpunktā (sistēmā) ietilpst tikai tie elementi, kas vienlaikus atrodas gan pirmajā kopā, gan otrajā. Tāpēc kopu krustpunkts nekad nav lielāks par avota kopām.

Tātad kļuva skaidrāks? Tas ir lieliski. Pāriesim pie prakses.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\]

Risinājums. Mēs rīkojamies saskaņā ar shēmu:

\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\Labā bultiņa \pa kreisi[ \begin(līdzināt) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(līdzināt) \ pa labi.\]

Mēs atrisinām katru iedzīvotāju nevienlīdzību:

\[\left[ \begin(līdzināt) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left[ \begin(līdzināt) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left[ \begin (līdzināt) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(līdzināt) \right.\]

Mēs atzīmējam katru iegūto kopu uz skaitļu līnijas un pēc tam apvienojam:

Komplektu savienība

Ir pilnīgi skaidrs, ka atbilde būs $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Atbilde: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\]

Risinājums. Nu? Nekas - viss ir vienāds. Mēs pārejam no nevienādības ar moduli uz divu nevienādību kopu:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\Labā bultiņa \left[ \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

Mēs atrisinām katru nevienlīdzību. Diemžēl saknes tur nebūs īpaši labas:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\beigt(līdzināt)\]

Arī otrā nevienlīdzība ir nedaudz mežonīga:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\beigt(līdzināt)\]

Tagad šie skaitļi jāatzīmē uz divām asīm - katrai nevienādībai viena ass. Tomēr punkti ir jāatzīmē pareizā secībā: kā lielāks skaits, jo tālāk mēs pārvietojam punktu pa labi.

Un šeit mūs sagaida iestatījums. Ja viss ir skaidrs ar cipariem $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termiņi pirmā skaitītājā daļskaitlis ir mazāks par otrās skaitītāja vārdiem, tātad arī summa ir mazāka), ar skaitļiem $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ arī nebūs nekādu grūtību (pozitīvs skaitlis acīmredzot vairāk negatīvs), tad ar pēdējo pāris viss nav tik skaidrs. Kurš ir lielāks: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Punktu izvietojums uz skaitļu līnijām un faktiski atbilde būs atkarīgs no atbildes uz šo jautājumu.

Tātad salīdzināsim:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Mēs izolējām sakni, saņēmām nenegatīvus skaitļus abās nevienlīdzības pusēs, tāpēc mums ir tiesības kvadrātā abas puses:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Manuprāt, nav prāta, ka $4\sqrt(13) \gt 3$, tātad $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, pēdējie punkti uz asīm tiks izvietoti šādi:

Neglītu sakņu gadījums

Atgādināšu, ka mēs risinām kopu, tāpēc atbilde būs savienība, nevis ēnotu kopu krustojums.

Atbilde: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kā redzat, mūsu shēma lieliski darbojas abiem vienkāršus uzdevumus, un ļoti skarbiem. Vienīgā lieta " vājums“Šajā pieejā jums ir kompetenti jāsalīdzina neracionālie skaitļi (un ticiet man: tās nav tikai saknes). Bet atsevišķa (un ļoti nopietna) nodarbība tiks veltīta salīdzināšanas jautājumiem. Un mēs ejam tālāk.

3. Nevienlīdzība ar nenegatīvām “astēm”

Tagad mēs nonākam pie visinteresantākās daļas. Šīs ir formas nevienlīdzības:

\[\pa kreisi| f\right| \gt \left| g\right|\]

Vispārīgi runājot, algoritms, par kuru mēs tagad runāsim, ir pareizs tikai modulim. Tas darbojas visās nevienlīdzībās, kur ir garantētas nenegatīvas izteiksmes kreisajā un labajā pusē:

Ko darīt ar šiem uzdevumiem? Tikai atceries:

Nevienlīdzībās ar nenegatīvām “astēm” abas puses var pacelt uz jebkuru dabisko spēku. Papildu ierobežojumu nebūs.

Pirmkārt, mūs interesēs kvadrātošana - tas sadedzina moduļus un saknes:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\beigt(līdzināt)\]

Vienkārši nejauciet to ar kvadrāta saknes ņemšanu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Tika pieļautas neskaitāmas kļūdas, kad students aizmirsa uzstādīt moduli! Bet tas ir pavisam cits stāsts (tie it kā iracionāli vienādojumi), tāpēc mēs par to tagad neiedziļināsimies. Labāk atrisināsim pāris problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Risinājums. Uzreiz ievērosim divas lietas:

  1. Tā nav stingra nevienlīdzība. Punkti uz skaitļu līnijas tiks pārdurti.
  2. Abas nevienlīdzības puses acīmredzami nav negatīvas (tā ir moduļa īpašība: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Tāpēc mēs varam kvadrātēt abas nevienādības puses, lai atbrīvotos no moduļa un atrisinātu problēmu, izmantojot parasto intervāla metodi:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\beigt(līdzināt)\]

Pēdējā solī es nedaudz krāpjos: mainīju terminu secību, izmantojot moduļa vienmērīgumu (faktiski izteiksmi $1-2x$ reizināju ar −1).

\[\begin(līdzināt) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ pa labi)\labie)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Mēs risinām, izmantojot intervāla metodi. Pārejam no nevienlīdzības uz vienādojumu:

\[\begin(līdzināt) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\beigt(līdzināt)\]

Atrastās saknes atzīmējam uz skaitļu līnijas. Vēlreiz: visi punkti ir noēnoti, jo sākotnējā nevienlīdzība nav stingra!

Atbrīvošanās no moduļa zīmes

Atgādināšu tiem, kas ir īpaši spītīgi: mēs ņemam zīmes no pēdējās nevienlīdzības, kas tika pierakstīta pirms pāriešanas uz vienādojumu. Un mēs krāsojam tajā pašā nevienlīdzībā nepieciešamās platības. Mūsu gadījumā tas ir $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Labi, tagad viss ir beidzies. Problēma ir atrisināta.

Atbilde: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Risinājums. Mēs visu darām tāpat. Es nekomentēšu - paskatieties uz darbību secību.

Kvadrātveida:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \pa labi))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \pa labi))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ pa labi))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Intervāla metode:

\[\begin(līdzināt) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Labā bultiņa x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]

Skaitļa rindā ir tikai viena sakne:

Atbilde ir vesels intervāls

Atbilde: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Neliela piezīme par pēdējo uzdevumu. Kā precīzi atzīmēja viens no maniem studentiem, abas submodulārās izteiksmes šajā nevienlīdzībā ir acīmredzami pozitīvas, tāpēc moduļa zīmi var izlaist, nekaitējot veselībai.

Bet tas ir pavisam cits domāšanas līmenis un cita pieeja – to nosacīti var saukt par seku metodi. Par to - atsevišķā nodarbībā. Tagad pāriesim uz šodienas nodarbības pēdējo daļu un apskatīsim universālu algoritmu, kas vienmēr darbojas. Pat tad, kad visas iepriekšējās pieejas bija bezspēcīgas :)

4. Opciju uzskaitīšanas metode

Ko darīt, ja visas šīs metodes nepalīdz? Ja nevienlīdzību nevar reducēt uz nenegatīvām astēm, ja nav iespējams izolēt moduli, ja kopumā ir sāpes, skumjas, melanholija?

Tad uz skatuves parādās visas matemātikas “smagā artilērija” — brutālā spēka metode. Attiecībā uz nevienādībām ar moduli tas izskatās šādi:

  1. Izrakstiet visas submodulārās izteiksmes un iestatiet tās vienādas ar nulli;
  2. Atrisiniet iegūtos vienādojumus un atzīmējiet atrastās saknes vienā skaitļa rindā;
  3. Taisne tiks sadalīta vairākās daļās, kurās katram modulim ir fiksēta zīme un tāpēc tā ir unikāli atklāta;
  4. Atrisiniet nevienlīdzību katrā šādā sadaļā (var atsevišķi apsvērt saknes-robežas, kas iegūtas 2. darbībā - uzticamībai). Apvienojiet rezultātus - šī būs atbilde :)

Tā kā? Vāji? Viegli! Tikai uz ilgu laiku. Apskatīsim praksē:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| x+2 \pa labi| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3) (2)\]

Risinājums. Šīs muļķības nenotiek līdz tādai nevienlīdzībai kā $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vai $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, tāpēc rīkojamies uz priekšu.

Mēs izrakstām submodulāras izteiksmes, pielīdzinām tās nullei un atrodam saknes:

\[\begin(salīdzināt) & x+2=0\bultiņa pa labi x=-2; \\ & x-1=0\Labā bultiņa x=1. \\\beigt(līdzināt)\]

Kopumā mums ir divas saknes, kas skaitļu līniju sadala trīs daļās, kurās katrs modulis tiek atklāts unikāli:

Skaitļu līnijas sadalīšana ar submodulāru funkciju nullēm

Apskatīsim katru sadaļu atsevišķi.

1. Ļaujiet $x \lt -2 $. Tad abas submodulārās izteiksmes ir negatīvas, un sākotnējā nevienādība tiks pārrakstīta šādi:

\[\begin(līdzināt) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt)\]

Mums ir diezgan vienkāršs ierobežojums. Krustosim to ar sākotnējo pieņēmumu, ka $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt) \right.\Rightrow x\in \varnothing \]

Acīmredzot mainīgais $x$ nevar vienlaikus būt mazāks par −2 un lielāks par 1,5. Risinājumu šajā jomā nav.

1.1. Apskatīsim atsevišķi robežgadījumu: $x=-2$. Vienkārši aizstāsim šo skaitli ar sākotnējo nevienlīdzību un pārbaudīsim: vai tā ir taisnība?

\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\labais|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]

Ir acīmredzams, ka aprēķinu ķēde mūs ir novedusi pie nepareizas nevienlīdzības. Tāpēc arī sākotnējā nevienādība ir nepatiesa, un atbildē nav iekļauta $x=-2$.

2. Ļaujiet tagad $-2 \lt x \lt 1 $. Kreisais modulis jau tiks atvērts ar “plus”, bet labais joprojām tiks atvērts ar “mīnusu”. Mums ir:

\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(līdzināt)\]

Atkal mēs krustojamies ar sākotnējo prasību:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(līdzināt) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Un atkal risinājumu kopa ir tukša, jo nav skaitļu, kas būtu gan mazāki par –2,5, gan lielāki par –2.

2.1. Un atkal īpašs gadījums: $x=1$. Mēs aizstājam sākotnējo nevienlīdzību:

\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\pa labi| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]

Līdzīgi kā iepriekšējā “īpašā gadījuma” atbildē nepārprotami nav iekļauts skaitlis $x=1$.

3. Pēdējais rindas fragments: $x \gt 1$. Šeit visi moduļi tiek atvērti ar plus zīmi:

\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(līdzināt)\ ]

Un atkal mēs krustojam atrasto kopu ar sākotnējo ierobežojumu:

' ]

Beidzot! Mēs esam atraduši intervālu, kas būs atbilde.

Atbilde: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Visbeidzot, viena piezīme, kas var paglābt jūs no muļķīgām kļūdām, risinot reālas problēmas:

Nevienādību risinājumi ar moduļiem parasti attēlo nepārtrauktas kopas uz skaitļu līnijas - intervāliem un segmentiem. Izolēti punkti ir daudz retāk sastopami. Un vēl retāk gadās, ka risinājuma robeža (segmenta beigas) sakrīt ar aplūkojamā diapazona robežu.

Līdz ar to, ja atbildē nav iekļautas robežas (tie paši “īpašie gadījumi”), tad laukumi pa kreisi un pa labi no šīm robežām atbildē gandrīz noteikti netiks iekļauti. Un otrādi: robeža ievadīja atbildi, kas nozīmē, ka daži apgabali ap to arī būs atbildes.

Ņemiet to vērā, pārskatot savus risinājumus.

Pašvaldības izglītības iestāde "Hvastovichskaya" vidusskola»

"Intervālu metode vienādojumu un nevienādību risināšanai ar vairākiem moduļiem"

Pētnieciskais darbs matemātikā

Izpildīts:

10. klases skolnieks

Golysheva Evgenia

Pārraugs:

matemātikas skolotājs

Šapenskaja E.N.

Ievads……………………………………………………………………………………… … ….3 1. nodaļa. Vairāku moduļu uzdevumu risināšanas metodes…… …………… …............4 1.1.Moduļa definīcija. Risinājums pēc definīcijas.......4 1.2 Vienādojumu risināšana ar vairākiem moduļiem, izmantojot intervālu metodi......5 1.3 . Problēmas ar vairākiem moduļiem. Risinājuma metodes………………………………..7 1.4. Intervālu metode uzdevumos ar moduļiem……………………………………………9 2. nodaļa. Vienādojumi un nevienādības, kas satur moduļus…………………………….… 11 2.1. Vienādojumu risināšana ar vairākiem moduļiem, izmantojot intervālu metodi..….11 2.2. Nevienādību risināšana ar vairākiem moduļiem, izmantojot intervālu metodi.…13 Secinājums………………………………………………… … …………………………15 Literatūra………………………………………………………………………………….………. ….16

Ievads

Absolūtās vērtības jēdziens ir viens no svarīgākajiem skaitļa raksturlielumiem gan reālo, gan komplekso skaitļu jomā. Šis jēdziens tiek plaši izmantots ne tikai dažādās sadaļās skolas kurss matemātiku, bet arī universitātēs apgūtajos augstākās matemātikas, fizikas un tehnisko zinātņu kursos. Problēmas, kas saistītas ar absolūtajām vērtībām, bieži sastopamas matemātikas olimpiādēs, universitātes iestājpārbaudījumos un vienotajā valsts eksāmenā.

Temats:"Intervālu metode vienādojumu un nevienādību risināšanai ar vairākiem moduļiem ar intervāla metodi."

Mērķa apgabals: matemātika.

Pētījuma objekts: vienādojumu un nevienādību risināšana ar moduli.

Studiju priekšmets: intervāla metode risināšanai ar vairākiem moduļiem.

Pētījuma mērķis: identificēt vienādojumu un nevienādību risināšanas efektivitāti ar vairākiem moduļiem, izmantojot intervālu metodi.

Hipotēze: Ja izmantojat intervālu metodi, lai atrisinātu nevienādības un vienādojumus ar vairākiem moduļiem, jūs varat ievērojami vienkāršot savu darbu.

Darba metodes: informācijas vākšana un tās analīze.

Uzdevumi:

    Izpētiet literatūru par šo tēmu.

    Apsveriet nevienādību un vienādojumu risinājumus ar vairākiem moduļiem.

    Identificējiet visvairāk efektīva metode risinājumus.

Projekta praktiskā uzmanība:

Šis darbs var izmantot kā mācību līdzeklis studentiem un metodiskā rokasgrāmata skolotājam.

1. nodaļa.

1.1.Moduļa definīcija. Risinājums pēc definīcijas.

Pēc definīcijas nenegatīva skaitļa a modulis jeb absolūtā vērtība sakrīt ar pašu skaitli, un negatīva skaitļa modulis ir vienāds ar pretējo skaitli, tas ir, a:

Skaitļa modulis vienmēr nav negatīvs. Apskatīsim piemērus.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu |–x| = –3.

Šeit nav nepieciešams analizēt gadījumus, jo skaitļa absolūtā vērtība vienmēr nav negatīva, un tas nozīmē, ka šim vienādojumam nav atrisinājumu.

Ierakstīsim šo vienkāršāko vienādojumu risinājumu vispārējs skats:

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu |x| = 2 – x.

Risinājums. Pie x 0 mums ir vienādojums x = 2 – x, t.i. x = 1. Tā kā 1 0, x = 1 ir sākotnējā vienādojuma sakne. Otrajā gadījumā (x

Atbilde: x = 1.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 3|x – 3| + x = –1.

Risinājums. Šeit dalījumu gadījumos nosaka izteiksmes x – 3 zīme. Pie x – 3 ³ 0 mums ir 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Bet 2 – 3 0.

Atbilde: vienādojumam nav sakņu.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu |x – 1| = 1 – x.

Risinājums. Tā kā 1 – x = – (x – 1), no moduļa definīcijas tieši izriet, ka vienādojumu apmierina tie un tikai tie x, kuriem x – 1 0. Šis vienādojums ir reducēts līdz nevienādībai, un atbilde ir viss intervāls (stars).

Atbilde: x 1.

1.2. Vienādojumu risināšana ar moduļiem, izmantojot sistēmas.

Iepriekš apskatītie piemēri ļauj formulēt noteikumus moduļa zīmes izslēgšanai vienādojumos. Formas |f(x)| vienādojumiem = g(x) ir divi šādi noteikumi:

1. noteikums: |f(x)| = g(x) Û (1)
2. noteikums: |f(x)| = g(x) Û (2)

Paskaidrosim šeit izmantoto apzīmējumu. Cirtainās iekavas apzīmē sistēmas, bet kvadrātiekavas – apkopojumus.

Vienādojumu sistēmas risinājumi ir mainīgā lieluma vērtības, kas vienlaikus apmierina visus sistēmas vienādojumus.

Vienādojumu kopas risinājumi ir mainīgā lieluma vērtības, no kurām katra ir vismaz viena vienādojuma sakne šajā kopā.

Divi vienādojumi ir līdzvērtīgi, ja katrs no tiem ir arī otra atrisinājums, citiem vārdiem sakot, ja to atrisinājumu kopas sakrīt.

Ja vienādojumā ir vairāki moduļi, tad no tiem var atbrīvoties pa vienam, izmantojot dotos noteikumus. Bet parasti ir vairāk īsceļi. Mēs tos iepazīsim vēlāk, bet tagad apskatīsim vienkāršāko no šiem vienādojumiem atrisināšanu:

|f(x)| = |g(x)| Û

Šī līdzvērtība izriet no acīmredzamā fakta, ka, ja divu skaitļu absolūtās vērtības ir vienādas, tad paši skaitļi ir vienādi vai pretēji.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Risinājums. Atbrīvosimies no moduļa divos iepriekš aprakstītajos veidos:

1. ceļš: 2. ceļš:

Kā redzam, abos gadījumos mums ir jāatrisina tie paši divi kvadrātvienādojumi, bet pirmajā gadījumā tiem ir pievienoti kvadrātiskās nevienādības, bet otrajā – lineāri. Tāpēc otrā metode, lai dots vienādojums vieglāk. Atrisinot kvadrātvienādojumus, atrodam saknes pirmajam, abas saknes apmierina nevienlīdzību. Otrā vienādojuma diskriminants ir negatīvs, tāpēc vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: .
2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.

Risinājums. Mēs jau zinām, ka šeit nav jāapsver (pat 4) izteiksmju zīmju sadalījuma varianti pa moduļiem: šis vienādojums ir ekvivalents divu kvadrātvienādojumu kopai bez papildu nevienādībām: Kas ir ekvivalents: pirmajam risinājumu kopas vienādojumam nav (tā diskriminants ir negatīvs), otrajam vienādojumam ir divas saknes.

1.3. Problēmas ar vairākiem moduļiem. Risinājuma metodes.

Moduļu secīga paplašināšana.

Ir divas galvenās pieejas vienādojumu un nevienādību risināšanai, kas satur vairākus moduļus. Mēs tos varam saukt par "seriāliem" un "paralēlajiem". Tagad iepazīsimies ar pirmo no tiem.

Tās ideja ir tāda, ka vispirms viens no moduļiem ir izolēts vienā vienādojuma daļā (vai nevienādībā) un tiek atklāts ar kādu no iepriekš aprakstītajām metodēm. Pēc tam to pašu atkārto ar katru no iegūtajiem vienādojumiem ar moduļiem un tā tālāk, līdz tiekam vaļā no visiem moduļiem.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu: +

Risinājums. Izolēsim otro moduli un paplašināsim to, izmantojot pirmo metodi, tas ir, vienkārši nosakot absolūto vērtību:

Iegūtajiem diviem vienādojumiem mēs izmantojam otro moduļa noņemšanas metodi:

Visbeidzot, mēs atrisinām iegūto četri lineārie vienādojumi un atlasiet tās saknes, kas apmierina atbilstošās nevienlīdzības. Rezultātā paliek tikai divas vērtības: x = –1 un .

Atbilde: -1; .

Moduļu paralēla paplašināšana.

Jūs varat uzreiz noņemt visus vienādojuma vai nevienādības moduļus un pierakstīt visas iespējamās submodulāro izteiksmju pazīmju kombinācijas. Ja vienādojumā ir n moduļi, tad būs 2 n opcijas, jo katra no n izteiksmēm zem moduļa, noņemot moduli, var saņemt vienu no divām zīmēm - plus vai mīnus. Principā mums ir jāatrisina visi 2 n vienādojumi (vai nevienādības), kas atbrīvoti no moduļiem. Taču to risinājumi būs arī sākotnējās problēmas risinājumi tikai tad, ja tie atrodas reģionos, kur atbilstošais vienādojums (nevienādība) sakrīt ar sākotnējo. Šīs jomas ir noteiktas ar izteiksmju zīmēm zem moduļiem. Mēs jau esam atrisinājuši šādu nevienlīdzību, lai jūs varētu salīdzināt dažādas pieejas tās risināšanai.

2. piemērs.+
Risinājums.

Apskatīsim 4 iespējamās simbolu kopas izteiksmēm zem moduļiem.

Tikai pirmā un trešā no šīm saknēm apmierina atbilstošo nevienādību un līdz ar to sākotnējo vienādojumu.

Atbilde: -1; .

Tāpat visas problēmas var atrisināt ar vairākiem moduļiem. Bet, tāpat kā jebkura universāla metode, šis risinājums ne vienmēr ir optimāls. Tālāk mēs redzēsim, kā to var uzlabot.

1.4. Intervālu metode moduļu problēmās

Sīkāk aplūkojot nosacījumus, kas nosaka dažādi varianti apakšmodulāro izteiksmju pazīmju sadalījumu iepriekšējā risinājumā, redzēsim, ka viena no tām, 1 – 3x

Iedomājieties, ka mēs risinām vienādojumu, kas ietver trīs lineāro izteiksmju moduļus; piemēram, |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.

Pirmais modulis ir vienāds ar x – a x ³ a un a – x ​​x b un x

Tie veido četras telpas. Katrā no tiem katra izteiksme zem moduļiem saglabā savu zīmi, tāpēc vienādojumam kopumā pēc moduļu paplašināšanas katrā intervālā ir tāda pati forma. Tātad no 8 teorētiski iespējamajiem moduļu atvēršanas variantiem mums pietika tikai ar 4!

Jebkuru problēmu var atrisināt arī ar vairākiem moduļiem. Proti, skaitliskā ass tiek sadalīta visu izteiksmju konstantes zīmju intervālos, kas atrodas zem moduļiem, un tad uz katra no tiem tiek atrisināts vienādojums vai nevienādība, par kuru šajā intervālā pārvēršas dotā problēma. Jo īpaši, ja visas izteiksmes zem moduļiem ir racionālas, tad pietiek atzīmēt to saknes uz ass, kā arī punktus, kur tie nav definēti, tas ir, to saucēju saknes. Atzīmētie punkti nosaka nepieciešamos nemainīgās zīmes intervālus. Tieši tāpat rīkojamies, risinot racionālās nevienādības, izmantojot intervālu metodi. Un metodei, ko mēs aprakstījām, lai atrisinātu problēmas ar moduļiem, ir tāds pats nosaukums.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums. Atradīsim funkcijas nulles, no kurienes. Mēs atrisinām uzdevumu katrā intervālā:

Tātad šim vienādojumam nav atrisinājumu.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums. Atradīsim funkcijas nulles. Mēs atrisinām uzdevumu katrā intervālā:

1) (nav risinājumu);

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums. Izteiksmes zem absolūtās vērtības zīmes pazūd pie . Attiecīgi mums ir jāapsver trīs gadījumi:

2) - vienādojuma sakne;

3) ir šī vienādojuma sakne.

2. nodaļa. Vienādojumi un nevienādības, kas satur moduļus.

2.1. Vienādojumu risināšana ar vairākiem moduļiem, izmantojot intervālu metodi.

1. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 – neapmierina

nosacījums x

nekādu risinājumu

2. Ja -2≤x

x+2 = -(x-1)+x-3

apmierina

stāvoklis -2

3. Ja x≥1, tad

Atbilde: x=6

2. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu:

1) Atrast submodulāru izteiksmju nulles

Submodulāro izteiksmju nulles sadala skaitļu līniju vairākos intervālos. Šajos intervālos mēs sakārtojam submodulāru izteiksmju zīmes.

Katrā intervālā atveram moduļus un atrisinām iegūto vienādojumu. Pēc saknes atrašanas mēs pārbaudām, vai tā pieder intervālam, kurā atrodamies Šis brīdis mēs strādājam.

1. :

- der.

2. :

- neder.

3. :

– der.

4. :

- neder. Atbilde:

2.2. Nevienādību risināšana ar vairākiem moduļiem, izmantojot intervālu metodi.

1. piemērs.

Atrisiniet nevienlīdzību:

|x-1| + |x-3| 4


-(x-1) - (x-3) 4

2. Ja 1≤x

x-1– (x-3) 4

24 nav pareizi

nekādu risinājumu

3. Ja x≥3, tad

Atbilde: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)

2. piemērs.

Atrisināsim nevienlīdzību

Risinājums. Punkti un (izteikumu saknes zem moduļa) sadala visu skaitlisko asi trīs intervālos, katrā no kuriem moduļi ir jāpaplašina.

1) Kad , Un nevienlīdzībai ir forma , Tas ir . Šajā gadījumā atbilde ir.

2) Kad , Nevienlīdzībai ir forma , Tas ir . Šī nevienlīdzība attiecas uz visām mainīgā vērtībām, un, ņemot vērā to, ka mēs to atrisinām kopā, mēs saņemam atbildi otrajā gadījumā.

3) Kad , Nevienlīdzība tiek pārveidota par , Un risinājums šajā gadījumā ir . Kopīgs lēmums nevienlīdzības --- Savienība saņemtas trīs atbildes.

Tādējādi, lai atrisinātu vienādojumus un nevienādības, kas satur vairākus moduļus, ir ērti izmantot intervālu metodi. Lai to izdarītu, jums jāatrod visu submodulāro funkciju nulles un jānorāda tās vienādojumu un nevienādību ODZ.

Secinājums

IN Nesen Matemātikā plaši tiek izmantotas metodes, lai vienkāršotu uzdevumu risināšanu, jo īpaši intervālu metodi, kas var ievērojami paātrināt aprēķinus. Tāpēc aktuāla ir intervālu metodes izpēte vienādojumu un nevienādību risināšanai ar vairākiem moduļiem.

Strādājot pie tēmas “Vienādojumu un nevienādību risināšana, kas satur nezināmu zem moduļa zīmes, izmantojot intervāla metodi”, es: pētīju literatūru par šo jautājumu, iepazinās ar algebrisko un grafisko pieeju vienādojumu un nevienādību risināšanai, kas satur nezināmo zem moduļa zīmes, un nonāca pie secinājuma:

    Dažos gadījumos, risinot vienādojumus ar moduli, vienādojumus ir iespējams atrisināt pēc noteikumiem, un dažreiz ērtāk ir izmantot intervālu metodi.

    Risinot vienādojumus un nevienādības, kas satur moduli, intervāla metode ir vizuālāka un salīdzinoši vienkāršāka.

Rakstīšanas laikā pētnieciskais darbs Esmu atklājis daudzas problēmas, kuras var atrisināt, izmantojot intervāla metodi. Lielākā daļa svarīgs uzdevums ir vienādojumu un nevienādību risinājums ar vairākiem moduļiem.

Veicot darbu pie nevienādību un vienādojumu risināšanas ar vairākiem moduļiem, izmantojot intervālu metodi, konstatēju, ka uzdevumu risināšanas ātrums ir dubultojies. Tas ļauj ievērojami paātrināt darba procesu un samazināt laika izmaksas. Tādējādi apstiprinājās mana hipotēze "ja jūs izmantojat intervālu metodi, lai atrisinātu nevienādības un vienādojumus ar vairākiem moduļiem, jūs varat ievērojami vienkāršot savu darbu". Strādājot pie pētījuma, ieguvu pieredzi vienādojumu un nevienādību risināšanā ar vairākiem moduļiem. Domāju, ka iegūtās zināšanas ļaus nepieļaut kļūdas, pieņemot lēmumus.

Literatūra

    http://padabum.com

  1. http://yukhym.com

    http://www.tutoronline.ru

    http://fizmat.by

    http://diffur.kemsu.ru

    http://solverbook.com

    Zelenskis A.S., Panfilovs. Vienādojumu un nevienādību risināšana ar moduli I.I. M.: Izdevniecība Factorial, 2009. - 112 lpp.

    Olehnik S.N. Potapovs M.K. Vienādojumi un nevienādības. Nestandarta risinājumu metodes. M.: Izdevniecība Factorial, 1997. - 219 lpp.

    Sevrjukovs P.F., Smoļakovs A.N. Vienādojumi un nevienādības ar moduļiem un to risināšanas metodes. M.: Izdevniecība Enlightenment 2005. - 112 lpp.

    Sadovnichy Yu.V. Vienotais valsts eksāmens. Seminārs par matemātiku. Vienādojumu un nevienādību risināšana. Pārvēršana algebriskās izteiksmes. M.: Izdevniecība Legion 2015 - 128 lpp.

    Ševkins A.V. Kvadrātiskās nevienādības. Intervāla metode. M.: SIA " Krievu vārds– izglītojoša grāmata”, 2003. – 32 lpp.