Definicja. Krawędź boczna- jest to trójkąt, w którym jeden kąt leży na szczycie piramidy, a przeciwny bok pokrywa się z bokiem podstawy (wielokąt).
Definicja. Boczne żebra- są to wspólne strony ścian bocznych. Piramida ma tyle krawędzi, ile kątów wielokąta.
Definicja. Wysokość piramidy- jest to prostopadłość obniżona od góry do podstawy piramidy.
Definicja. Apotem- jest to prostopadłość do bocznej ściany piramidy, obniżona od szczytu piramidy do boku podstawy.
Definicja. Przekrój ukośny- jest to przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez wierzchołek piramidy i przekątną podstawy.
Definicja. Poprawna piramida to piramida, której podstawą jest wielokąt foremny, a wysokość przypada na środek podstawy.
Objętość i powierzchnia piramidy
Formuła. Objętość piramidy przez powierzchnię podstawy i wysokość:
Właściwości piramidy
Jeśli wszystkie krawędzie boczne są równe, można narysować okrąg wokół podstawy piramidy, a środek podstawy pokrywa się ze środkiem okręgu. Również prostopadła opuszczona z góry przechodzi przez środek podstawy (okrąg).
Jeżeli wszystkie krawędzie boczne są równe, to są one nachylone do płaszczyzny podstawy pod tymi samymi kątami.
Żebra boczne są równe, gdy tworzą się z płaszczyzną podstawy równe kąty lub czy można opisać okrąg wokół podstawy piramidy.
Jeśli boczne twarze są nachylone do płaszczyzny podstawy pod jednym kątem, wówczas w podstawę piramidy można wpisać okrąg i rzucić wierzchołek piramidy na jej środek.
Jeżeli ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to apotemy ścian bocznych są równe.
Właściwości regularnej piramidy
1. Szczyt piramidy jest w równej odległości od wszystkich rogów podstawy.
2. Wszystkie krawędzie boczne są równe.
3. Wszystkie żebra boczne są nachylone pod równym kątem do podstawy.
4. Apotemy wszystkich ścian bocznych są równe.
5. Pola wszystkich ścian bocznych są równe.
6. Wszystkie ściany mają te same kąty dwuścienne (płaskie).
7. Wokół piramidy można opisać kulę. Środek opisanej kuli będzie punktem przecięcia prostopadłych przechodzących przez środki krawędzi.
8. Można zmieścić kulę w piramidzie. Środek wpisanej kuli będzie punktem przecięcia dwusiecznych wychodzących z kąta między krawędzią a podstawą.
9. Jeżeli środek kuli wpisanej pokrywa się ze środkiem sfery opisanej, to suma kątów płaskich w wierzchołku jest równa π lub odwrotnie, jeden kąt jest równy π/n, gdzie n jest liczbą kątów u podstawy piramidy.
Połączenie piramidy i kuli
Kulę można opisać wokół piramidy, gdy u podstawy piramidy znajduje się wielościan, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących prostopadle przez środki bocznych krawędzi piramidy.
Wokół dowolnego trójkątnego lub zwykła piramida zawsze możesz opisać kulę.
W ostrosłup można wpisać kulę, jeśli dwusieczne kąty wewnętrzne piramidy przecinają się w jednym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt będzie środkiem kuli.
Połączenie piramidy ze stożkiem
Stożek nazywa się wpisanym w piramidę, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest wpisana w podstawę piramidy.
W ostrosłup można wpisać stożek, jeżeli apotemy piramidy są sobie równe.
Mówi się, że stożek jest opisany na piramidzie, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest opisana na podstawie piramidy.
Stożek można opisać wokół piramidy, jeśli wszystkie boczne krawędzie piramidy są sobie równe.
Związek piramidy z cylindrem
Piramidę nazywamy wpisaną w cylinder, jeśli wierzchołek piramidy leży na jednej podstawie walca, a podstawa piramidy jest wpisana w inną podstawę walca.
Walec można opisać wokół piramidy, jeśli można opisać okrąg wokół podstawy piramidy.
Czworościan ma cztery ściany, cztery wierzchołki i sześć krawędzi, przy czym dowolne dwie krawędzie nie mają wspólnych wierzchołków, ale się nie stykają.
Każdy wierzchołek składa się z trzech ścian i krawędzi, które się tworzą kąt trójkątny.
Nazywa się odcinek łączący wierzchołek czworościanu ze środkiem przeciwległej ściany środkowa czworościanu(GM).
Bimedian nazywany odcinkiem łączącym środki przeciwległych krawędzi, które się nie stykają (KL).
Wszystkie bimediany i środkowe czworościanu przecinają się w jednym punkcie (S). W tym przypadku bimediany dzieli się na pół, a środkowe dzieli się w stosunku 3:1, zaczynając od góry.
Definicja. Ostra piramida kątowa- piramida, w której apothem jest dłuższy niż połowa długości boku podstawy.
Definicja. Tępa piramida- piramida, w której apotem jest mniejszy niż połowa długości boku podstawy.
Definicja. Regularny czworościan- czworościan, w którym wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi. Jest to jeden z pięciu wielokątów foremnych. W czworościanie foremnym wszystkie kąty dwuścienne (między ścianami) i kąty trójścienne (w wierzchołku) są równe.
Definicja. Prostokątny czworościan nazywa się czworościanem, w którym pomiędzy trzema krawędziami na wierzchołku istnieje kąt prosty (krawędzie są prostopadłe). Tworzą się trzy twarze prostokątny kąt trójkątny i krawędzie są trójkąty prostokątne, a podstawą jest dowolny trójkąt. Apothem dowolnej ściany jest równy połowie boku podstawy, na którą apotem spada.
Definicja. Czworościan izoedryczny nazywa się czworościanem, którego ściany boczne są sobie równe, a podstawą jest trójkąt foremny. Taki czworościan ma ściany będące trójkątami równoramiennymi.
Definicja. Ortocentryczny czworościan nazywa się czworościanem, w którym wszystkie wysokości (prostopadłe) obniżone od góry do przeciwległej ściany przecinają się w jednym punkcie.
Definicja. Gwiazdowa piramida zwany wielościanem, którego podstawą jest gwiazda.
Wstęp
Kiedy zaczęliśmy studiować figury stereometryczne, poruszyliśmy temat „Piramida”. Spodobał nam się ten temat, ponieważ piramida jest bardzo często wykorzystywana w architekturze. A od naszego przyszły zawód architekt, zainspirowani tą postacią, uważamy, że może nas popchnąć do wielkich projektów.
Wytrzymałość obiektów architektonicznych jest ich najważniejszą cechą. Łącząc wytrzymałość, po pierwsze, z materiałami, z których są wykonane, a po drugie, z cechami rozwiązań konstrukcyjnych, okazuje się, że wytrzymałość konstrukcji jest bezpośrednio powiązana z podstawowym dla niej kształtem geometrycznym.
Innymi słowy, mówimy o figurze geometrycznej, którą można uznać za model odpowiedniej formy architektonicznej. Okazuje się, że kształt geometryczny decyduje także o wytrzymałości konstrukcji architektonicznej.
Od czasów starożytnych egipskie piramidy uważane były za najtrwalsze konstrukcje architektoniczne. Jak wiadomo, mają kształt regularnych czworokątnych piramid.
To właśnie ten geometryczny kształt zapewnia największą stabilność dzięki dużej powierzchni podstawy. Z drugiej strony kształt piramidy zapewnia, że masa maleje wraz ze wzrostem wysokości nad poziomem gruntu. To właśnie te dwie właściwości sprawiają, że piramida jest stabilna, a zatem wytrzymała w warunkach grawitacji.
Cel projektu: dowiedz się czegoś nowego o piramidach, pogłębij swoją wiedzę i znajdź praktyczne zastosowanie.
Aby osiągnąć ten cel, należało rozwiązać następujące zadania:
· Poznaj informacje historyczne na temat piramidy
· Rozważ piramidę jako figura geometryczna
· Znajdź zastosowanie w życiu i architekturze
· Znajdź podobieństwa i różnice pomiędzy piramidami znajdującymi się w różne części Swieta
Część teoretyczna
Informacje historyczne
Początek geometrii piramidy powstał w starożytnym Egipcie i Babilonie, ale był aktywnie rozwijany Starożytna Grecja. Pierwszym, który ustalił objętość piramidy, był Demokryt, a udowodnił to Eudoksos z Knidos. Starożytny grecki matematyk Euklides usystematyzował wiedzę o piramidzie w XII tomie swoich „Elementów”, a także wyprowadził pierwszą definicję piramidy: bryła ograniczona płaszczyznami zbiegającymi się z jednej płaszczyzny do jednego punktu.
Groby egipskich faraonów. Największe z nich – piramidy Cheopsa, Chefre’a i Mikerina w El Gizie – już w starożytności uznawane były za jeden z Siedmiu Cudów Świata. Budowa piramidy, w której Grecy i Rzymianie widzieli już pomnik bezprecedensowej dumy królów i okrucieństwa, które skazywało cały lud Egiptu na bezsensowną budowę, była najważniejszym aktem kultowym i miała najwyraźniej wyrażać mistyczna tożsamość kraju i jego władcy. Przy budowie grobowca ludność kraju pracowała w porze wolnej od prac rolniczych. Szereg tekstów świadczy o uwadze i trosce, jaką sami królowie (choć później) poświęcili budowie swojego grobowca i jego budowniczym. Wiadomo również o specjalnych zaszczytach kultowych, jakie nadano samej piramidzie.
Podstawowe pojęcia
Piramida nazywa się wielościanem, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty mające wspólny wierzchołek.
Apotem- wysokość bocznej ściany regularnej piramidy, narysowana od jej wierzchołka;
Boczne twarze- trójkąty spotykające się w wierzchołku;
Boczne żebra- wspólne strony ścian bocznych;
Szczyt piramidy- punkt łączący żebra boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;
Wysokość- odcinek prostopadły poprowadzony przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końce tego odcinka to wierzchołek piramidy i podstawa prostopadłej);
Przekątna przekrój piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez górę i przekątną podstawy;
Opierać- wielokąt nienależący do wierzchołka piramidy.
Podstawowe właściwości regularnej piramidy
Krawędzie boczne, ściany boczne i apotemy są odpowiednio równe.
Kąty dwuścienne u podstawy są równe.
Kąty dwuścienne na krawędziach bocznych są równe.
Każdy punkt wysokości jest w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków podstawy.
Każdy punkt wysokości jest w równej odległości od wszystkich ścian bocznych.
Podstawowe formuły piramidalne
Część boczna i pełna powierzchnia piramidy.
Pole powierzchni bocznej piramidy (pełnej i ściętej) to suma pól wszystkich jej ścian bocznych, całkowita powierzchnia to suma pól wszystkich jej ścian.
Twierdzenie: Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu piramidy.
P- obwód podstawy;
H- apotem.
Obszar powierzchni bocznych i pełnych ściętej piramidy.
str. 1, P 2 - obwody podstawy;
H- apotem.
R- całkowita powierzchnia regularnej ściętej piramidy;
Strona S- obszar powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy;
S 1 + S 2- powierzchnia podstawy
Objętość piramidy
Formularz objętość ula jest używana w przypadku piramid dowolnego rodzaju.
H- wysokość piramidy.
Narożniki piramidy
Kąty utworzone przez ścianę boczną i podstawę piramidy nazywane są kątami dwuściennymi u podstawy piramidy.
Kąt dwuścienny jest utworzony przez dwie prostopadłe.
Aby określić ten kąt, często trzeba skorzystać z twierdzenia o trzech prostopadłych.
Nazywa się kąty utworzone przez krawędź boczną i jej rzut na płaszczyznę podstawy kąty pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.
Nazywa się kąt utworzony przez dwie boczne krawędzie kąt dwuścienny na bocznej krawędzi piramidy.
Nazywa się kąt utworzony przez dwie boczne krawędzie jednej ściany piramidy kąt na szczycie piramidy.
Sekcje piramidy
Powierzchnia piramidy jest powierzchnią wielościanu. Każda z jej ścian jest płaszczyzną, a więc przekrój piramidy zdefiniowany przez płaszczyznę cięcia linia przerywana, składający się z pojedynczych linii prostych.
Przekrój ukośny
Nazywa się przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie leżą na tej samej ścianie przekrój diagonalny piramidy.
Sekcje równoległe
Twierdzenie:
Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna równoległa do podstawy, wówczas boczne krawędzie i wysokości piramidy są dzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części;
Przekrój tej płaszczyzny jest wielokątem podobnym do podstawy;
Pola przekroju i podstawy są ze sobą powiązane jako kwadraty ich odległości od wierzchołka.
Rodzaje piramid
Poprawna piramida– piramida, której podstawą jest wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy.
Dla zwykłej piramidy:
1. żebra boczne są równe
2. ściany boczne są równe
3. Apotemy są równe
4. Kąty dwuścienne u podstawy są równe
5. Kąty dwuścienne na krawędziach bocznych są równe
6. każdy punkt wysokości jest w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków podstawy
7. każdy punkt wysokości jest w jednakowej odległości od wszystkich krawędzi bocznych
Ścięta piramida- część piramidy zamknięta pomiędzy jej podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy.
Nazywa się podstawę i odpowiadającą jej część ściętej piramidy podstawy ściętej piramidy.
Nazywa się prostopadłą poprowadzoną z dowolnego punktu jednej podstawy do płaszczyzny drugiej wysokość ściętej piramidy.
Zadania
nr 1. W prawym czworokątna piramida punkt O jest środkiem podstawy, SO=8 cm, BD=30 cm Znajdź krawędź boczną SA.
Rozwiązywanie problemów
nr 1. W regularnej piramidzie wszystkie ściany i krawędzie są równe.
Rozważmy płytę OSB: płyta OSB jest prostokątnym prostokątem, ponieważ.
SB 2 = SO 2 + OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramida w architekturze
Piramida to monumentalna budowla w kształcie zwykłej regularnej budowli piramida geometryczna, w którym strony zbiegają się w jednym punkcie. Piramidy, zgodnie ze swoim przeznaczeniem funkcjonalnym, były w starożytności miejscami pochówku lub kultu. Podstawa piramidy może być trójkątna, czworokątna lub wielokąta o dowolnej liczbie wierzchołków, ale najczęstszą wersją jest podstawa czworokątna.
Zbudowano znaczną liczbę piramid różne kultury Starożytny świat głównie jako świątynie lub pomniki. Do dużych piramid zaliczają się piramidy egipskie.
Można to zobaczyć na całej Ziemi konstrukcje architektoniczne w formie piramid. Budynki piramid przypominają czasy starożytne i wyglądają bardzo pięknie.
Piramidy egipskie największy zabytki architektury Starożytny Egipt, wśród których jednym z „siedmiu cudów świata” jest Piramida Cheopsa. Od podnóża do szczytu sięga 137,3 m, a zanim stracił szczyt, jego wysokość wynosiła 146,7 m
Budynek radiostacji w stolicy Słowacji, przypominający odwróconą piramidę, został wybudowany w 1983 roku. Oprócz biur i lokali usługowych, wewnątrz bryły znajduje się dość przestronny sala koncertowa, w którym znajdują się jedne z największych organów na Słowacji.
Luwr, który „jest cichy i majestatyczny jak piramida”, na przestrzeni wieków przeszedł wiele zmian, zanim stał się największe muzeum pokój. Narodziło się jako twierdza wzniesiona przez Filipa Augusta w 1190 roku, która wkrótce stała się rezydencją królewską. W 1793 roku pałac stał się muzeum. Zbiory wzbogacane są poprzez zapisy lub zakupy.
Definicja
Piramida jest wielościanem złożonym z wielokąta \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trójkątów o wspólnym wierzchołku \(P\) (nie leżącym w płaszczyźnie wielokąta) i przeciwległych mu bokach, pokrywających się z boki wielokąta.
Oznaczenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Przykład: piramida pięciokątna \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trójkąty \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) itp. są nazywane boczne twarze piramidy, segmenty \(PA_1, PA_2\) itp. – żebra boczne, wielokąt \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – podstawa, punkt \(P\) – szczyt.
Wysokość piramidy to prostopadła schodząca ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy.
Nazywa się piramidą mającą u podstawy trójkąt tetraedr.
Piramida nazywa się prawidłowy, jeżeli jego podstawą jest wielokąt foremny i spełniony jest jeden z poniższych warunków:
\((a)\) boczne krawędzie piramidy są równe;
\((b)\) wysokość piramidy przechodzi przez środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy;
\((c)\) żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
\((d)\) ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
Regularny czworościan- Ten trójkątna piramida, którego wszystkie ściany są równymi trójkątami równobocznymi.
Twierdzenie
Warunki \(a), (b), (c), (d)\) są równoważne.
Dowód
Znajdźmy wysokość piramidy \(PH\) . Niech \(\alpha\) będzie płaszczyzną podstawy piramidy.
1) Udowodnijmy, że \((a)\) implikuje \((b)\) . Niech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Ponieważ \(PH\perp \alpha\), wówczas \(PH\) jest prostopadła do dowolnej prostej leżącej w tej płaszczyźnie, co oznacza, że trójkąty są prostokątne. Oznacza to, że te trójkąty mają wspólną nogę \(PH\) i przeciwprostokątną \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Oznacza to \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Oznacza to, że punkty \(A_1, A_2, ..., A_n\) znajdują się w tej samej odległości od punktu \(H\), zatem leżą na tym samym okręgu o promieniu \(A_1H\) . Okrąg ten z definicji jest opisany na wielokącie \(A_1A_2...A_n\) .
2) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątny i równy na dwóch nogach. Oznacza to, że ich kąty są również równe, zatem \(\kąt PA_1H=\kąt PA_2H=...=\kąt PA_nH\).
3) Udowodnijmy, że \((c)\) implikuje \((a)\) .
Podobnie jak w przypadku pierwszego punktu, trójkąty \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątne i wzdłuż nogi i ostry róg. Oznacza to, że ich przeciwprostokątne są również równe, czyli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((d)\) .
Ponieważ w wielokącie foremnym środki okręgu opisanego i wpisanego pokrywają się (ogólnie punkt ten nazywany jest środkiem wielokąta foremnego), wówczas \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego. Narysujmy prostopadłe z punktu \(H\) do boków podstawy: \(HK_1, HK_2\) itd. Są to promienie okręgu wpisanego (z definicji). Wtedy zgodnie z TTP (\(PH\) jest prostopadłą do płaszczyzny, \(HK_1, HK_2\), itd. są rzutami, prostopadle do boków) ukośny \(PK_1, PK_2\), itp. prostopadle do boków \(A_1A_2, A_2A_3\) itd. odpowiednio. A więc z definicji \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H\) równy kątom pomiędzy ścianami bocznymi a podstawą. Ponieważ trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (z dwóch stron prostokątne), to kąty \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H, ...\) są równe.
5) Udowodnijmy, że \((d)\) implikuje \((b)\) .
Podobnie jak w punkcie czwartym, trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokąt wzdłuż ramienia i kąt ostry), co oznacza, że odcinki \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) są równy. Oznacza to z definicji, że \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Ale ponieważ W przypadku wielokątów foremnych środki okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się, wówczas \(H\) jest środkiem okręgu opisanego. czt.
Konsekwencja
Boczne ściany regularnej piramidy są równymi trójkątami równoramiennymi.
Definicja
Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem.
Apotemy wszystkich bocznych ścian regularnej piramidy są sobie równe i są także środkowymi i dwusiecznymi.
Ważne uwagi
1. Wysokość regularnej trójkątnej piramidy przypada na punkt przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) podstawy (podstawa jest regularnym trójkątem).
2. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy przypada na punkt przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest kwadratem).
3. Wysokość regularnej sześciokątnej piramidy przypada na punkt przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest foremnym sześciokątem).
4. Wysokość piramidy jest prostopadła do dowolnej linii prostej leżącej u podstawy.
Definicja
Piramida nazywa się prostokątny, jeżeli jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Ważne uwagi
1. W piramidzie prostokątnej krawędź prostopadła do podstawy jest wysokością piramidy. Oznacza to, że \(SR\) jest wysokością.
2. Ponieważ \(SR\) jest zatem prostopadła do dowolnej linii wychodzącej z podstawy \(\trójkąt SRM, \trójkąt SRP\)– trójkąty prostokątne.
3. Trójkąty \(\trójkąt SRN, \trójkąt SRK\)- również prostokątne.
Oznacza to, że dowolny trójkąt utworzony przez tę krawędź i przekątną wychodzącą z wierzchołka tej krawędzi leżącą u podstawy będzie prostokątny.
\[(\Large(\text(Objętość i powierzchnia piramidy)))\]
Twierdzenie
Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości piramidy: \
Konsekwencje
Niech \(a\) będzie bokiem podstawy, \(h\) będzie wysokością piramidy.
1. Objętość regularnej trójkątnej piramidy wynosi \(V_(\text(trójkąt prawy.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Objętość regularnej czworokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Objętość regularnej sześciokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Objętość regularnego czworościanu wynosi \(V_(\text(prawy tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Twierdzenie
Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu.
\[(\Duży(\text(Frustum)))\]
Definicja
Rozważmy dowolną piramidę \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujmy płaszczyznę równoległą do podstawy piramidy przez pewien punkt leżący na bocznej krawędzi piramidy. Ta płaszczyzna podzieli piramidę na dwa wielościany, z których jeden jest piramidą (\(PB_1B_2...B_n\)), a drugi nazywa się ścięta piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Ścięta piramida ma dwie podstawy - wielokąty \(A_1A_2...A_n\) i \(B_1B_2...B_n\), które są do siebie podobne.
Wysokość ściętej piramidy jest prostopadłą poprowadzoną od pewnego punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy.
Ważne uwagi
1. Wszystkie boczne ściany ściętej piramidy są trapezami.
2. Odcinek łączący środki podstaw regularnej piramidy ściętej (to znaczy piramidy uzyskanej przez przekrój regularnej piramidy) to wysokość.
W dalszym ciągu rozważamy zadania zawarte w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki. Badaliśmy już problemy, w których warunek jest spełniony i wymagane jest znalezienie odległości między dwoma danymi punktami lub kątem.
Piramida to wielościan, którego podstawą jest wielokąt, pozostałe ściany są trójkątami i mają wspólny wierzchołek.
Regularna piramida to piramida, u podstawy której leży foremny wielokąt, a jego wierzchołek jest rzutowany na środek podstawy.
Regularna czworokątna piramida - podstawa jest kwadratem. Wierzchołek piramidy rzutowany jest na przecięcie przekątnych podstawy (kwadrat).
ML - apotem
∠MLO - kąt dwuścienny u podstawy piramidy
∠MCO - kąt pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa
W tym artykule przyjrzymy się problemom rozwiązania zwykłej piramidy. Trzeba znaleźć jakiś element, pole powierzchni bocznej, objętość, wysokość. Oczywiście musisz znać twierdzenie Pitagorasa, wzór na pole powierzchni bocznej piramidy i wzór na znalezienie objętości piramidy.
W artykule „” przedstawia wzory niezbędne do rozwiązywania problemów w stereometrii. Zatem zadania:
SABCD kropka O- środek podstawy,S wierzchołek, WIĘC = 51, AC= 136. Znajdź krawędź bocznąSC.
W w tym przypadku podstawą jest kwadrat. Oznacza to, że przekątne AC i BD są równe, przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia. Należy zauważyć, że w regularnej piramidzie wysokość obniżona z jej wierzchołka przechodzi przez środek podstawy piramidy. Zatem SO to wysokość i trójkątSOCprostokątny. Następnie zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Jak wyodrębnić root z duża liczba.
Odpowiedź: 85
Zdecyduj sam:
W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD kropka O- środek podstawy, S wierzchołek, WIĘC = 4, AC= 6. Znajdź krawędź boczną SC.
W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD kropka O- środek podstawy, S wierzchołek, SC = 5, AC= 6. Znajdź długość odcinka WIĘC.
W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD kropka O- środek podstawy, S wierzchołek, WIĘC = 4, SC= 5. Znajdź długość odcinka AC.
SABC R- środek żebra przed Chrystusem, S- szczyt. Wiadomo, że AB= 7, a S.R.= 16. Znajdź pole powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy trójkątnej jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu (apothem to wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka):
Lub możemy powiedzieć tak: pole powierzchni bocznej piramidy jest równe sumie trzy kwadraty krawędzie boczne. Ściany boczne regularnej piramidy trójkątnej są trójkątami o równych polach. W tym przypadku:
Odpowiedź: 168
Zdecyduj sam:
W regularnej trójkątnej piramidzie SABC R- środek żebra przed Chrystusem, S- szczyt. Wiadomo, że AB= 1, a S.R.= 2. Znajdź pole powierzchni bocznej.
W regularnej trójkątnej piramidzie SABC R- środek żebra przed Chrystusem, S- szczyt. Wiadomo, że AB= 1, a powierzchnia powierzchni bocznej wynosi 3. Znajdź długość odcinka S.R..
W regularnej trójkątnej piramidzie SABC L- środek żebra przed Chrystusem, S- szczyt. Wiadomo, że SL= 2, a powierzchnia powierzchni bocznej wynosi 3. Znajdź długość odcinka AB.
W regularnej trójkątnej piramidzie SABC M. Pole trójkąta ABC wynosi 25, objętość piramidy wynosi 100. Znajdź długość odcinka SM.
Podstawą piramidy jest trójkąt równoboczny. Dlatego Mjest środkiem podstawy, orazSM- wysokość regularnej piramidySABC. Objętość piramidy SABC równa się: zobacz rozwiązanie
W regularnej trójkątnej piramidzie SABCśrodkowe podstawy przecinają się w tym punkcie M. Pole trójkąta ABC równa się 3, SM= 1. Znajdź objętość piramidy.
W regularnej trójkątnej piramidzie SABCśrodkowe podstawy przecinają się w tym punkcie M. Objętość piramidy wynosi 1, SM= 1. Znajdź obszar trójkąta ABC.
Skończmy tutaj. Jak widać, problemy rozwiązuje się w jednym lub dwóch krokach. W przyszłości rozważymy inne problemy z tej części, w której podane są ciała rewolucji, nie przegap tego!
Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Trójwymiarową figurą, która często pojawia się w zagadnieniach geometrycznych, jest piramida. Najprostsza ze wszystkich figur w tej klasie jest trójkątna. W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy podstawowe wzory i właściwości prawidłowe
Geometryczne pomysły na figurę
Zanim przejdziemy do rozważenia właściwości regularnej piramidy trójkątnej, przyjrzyjmy się bliżej, o jakim rodzaju figury mówimy.
Załóżmy, że w przestrzeni trójwymiarowej istnieje dowolny trójkąt. Wybierzmy dowolny punkt tej przestrzeni, który nie leży w płaszczyźnie trójkąta i połączmy go z trzema wierzchołkami trójkąta. Mamy trójkątną piramidę.
Składa się z 4 boków, z których wszystkie są trójkątami. Punkty, w których spotykają się trzy ściany, nazywane są wierzchołkami. Na figurze jest ich także cztery. Linie przecięcia dwóch ścian są krawędziami. Omawiana piramida ma 6 krawędzi. Poniższy rysunek przedstawia przykład tej figury.
Ponieważ figura składa się z czterech boków, nazywa się ją również czworościanem.
Poprawna piramida
Zostało omówione powyżej dowolna figura z trójkątną podstawą. Załóżmy teraz, że narysujemy prostopadły odcinek od szczytu piramidy do jej podstawy. Ten segment nazywa się wysokością. Oczywiście możesz narysować 4 różne wysokości figury. Jeśli wysokość przecina trójkątną podstawę w środku geometrycznym, wówczas taką piramidę nazywa się prostą.
Prostą piramidę, której podstawą jest trójkąt równoboczny, nazywa się regularną. Dla niej tworzą się wszystkie trzy trójkąty powierzchnia boczna figury są równoramienne i sobie równe. Szczególnym przypadkiem piramidy regularnej jest sytuacja, gdy wszystkie cztery boki są trójkątami równobocznymi.
Rozważmy właściwości regularnej trójkątnej piramidy i podaj odpowiednie wzory do obliczania jej parametrów.
Strona podstawy, wysokość, krawędź boczna i apotem
Dowolne dwa z wymienionych parametrów jednoznacznie określają pozostałe dwie cechy. Przedstawmy wzory, które wiążą te wielkości.
Załóżmy, że bok podstawy regularnej piramidy trójkątnej wynosi a. Jego długość żebro boczne równy b. Jaka będzie wysokość regularnej trójkątnej piramidy i jej apotemu?
Dla wysokości h otrzymujemy wyrażenie:
Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa, dla którego wynosi krawędź boczna, wysokość i 2/3 wysokości podstawy.
Apothem piramidy to wysokość dowolnego trójkąta bocznego. Długość apotema a b jest równa:
za b = √(b 2 - za 2 /4)
Z tych wzorów jasno wynika, że niezależnie od boku podstawy trójkątnej regularnej piramidy i długości jej bocznej krawędzi, apothem będzie zawsze większy niż wysokość piramidy.
Obydwa zaprezentowane wzory zawierają wszystkie cztery charakterystyki liniowe omawianej figury. Dlatego mając znane dwa z nich, resztę możesz znaleźć rozwiązując układ zapisanych równości.
Objętość rysunku
W przypadku absolutnie dowolnej piramidy (w tym nachylonej) wartość objętości ograniczonej przez nią przestrzeni można określić, znając wysokość figury i powierzchnię jej podstawy. Odpowiedni wzór to:
Stosując to wyrażenie do rozpatrywanej liczby, otrzymujemy następujący wzór:
Gdzie wysokość regularnej piramidy trójkątnej wynosi h, a jej bok wynosi a.
Nie jest trudno otrzymać wzór na objętość czworościanu, w którym wszystkie boki są sobie równe i reprezentują trójkąty równoboczne. W takim przypadku objętość figury określa się według wzoru:
Oznacza to, że jest ona określana jednoznacznie przez długość boku a.
Powierzchnia
Kontynuujmy rozważanie właściwości regularnej trójkątnej piramidy. Całkowity obszar wszystkich ścian figury nazywany jest jej powierzchnią. To drugie można wygodnie zbadać, biorąc pod uwagę odpowiedni rozwój. Poniższy rysunek pokazuje, jak wygląda rozwój regularnej piramidy trójkątnej.
Załóżmy, że znamy wysokość h i bok podstawy a figury. Następnie obszar jego podstawy będzie równy:
Każdy uczeń może uzyskać to wyrażenie, jeśli pamięta, jak znaleźć pole trójkąta, a także bierze pod uwagę, że wysokość trójkąta równobocznego jest również dwusieczną i środkową.
Pole powierzchni bocznej utworzone przez trzy identyczne trójkąty równoramienne wynosi:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Równość ta wynika z wyrażenia apotema piramidy w kategoriach wysokości i długości podstawy.
Całkowita powierzchnia figury wynosi:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Zauważ, że dla czworościanu, w którym wszystkie cztery boki są równe trójkąty równoboczne, pole S będzie równe:
Właściwości regularnej piramidy ściętej trójkątnej
Jeśli wierzchołek rozważanej piramidy trójkątnej zostanie odcięty płaszczyzną równoległą do podstawy, wówczas pozostała dolna część będzie nazywana piramidą ściętą.
W przypadku podstawy trójkątnej efektem opisanego sposobu podziału jest nowy trójkąt, który również jest równoboczny, ale ma bok krótszy niż bok podstawy. Poniżej pokazano ściętą trójkątną piramidę.
Widzimy, że liczba ta jest już ograniczona do dwóch podstawy trójkątne i trzy trapezy równoramienne.
Załóżmy, że wysokość powstałej figury jest równa h, długości boków dolnej i górnej podstawy wynoszą odpowiednio 1 i 2, a apotem (wysokość trapezu) jest równa a b. Następnie powierzchnię ściętej piramidy można obliczyć za pomocą wzoru:
S = 3/2*(za 1 + za 2)*a b + √3/4*(za 1 2 + za 2 2)
Tutaj pierwszy termin to obszar powierzchni bocznej, drugi termin to obszar trójkątnych podstaw.
Objętość figury oblicza się w następujący sposób:
V = √3/12*h*(a 1 2 + za 2 2 + za 1 * za 2)
Aby jednoznacznie określić cechy piramidy ściętej, należy znać jej trzy parametry, co pokazują podane wzory.