>

Znaki regularnej trójkątnej piramidy. Co czyni piramidę geometrycznym cudem?

Studenci spotykają się z pojęciem piramidy na długo przed studiowaniem geometrii. Wina leży po stronie słynnych wielkich egipskich cudów świata. Dlatego większość uczniów, rozpoczynając naukę tego cudownego wielościanu, już wyraźnie to sobie wyobraża. Wszystkie powyższe atrakcje mają odpowiedni kształt. Co się stało zwykła piramida i jakie ma właściwości zostaną omówione dalej.

Definicja

Definicji piramidy jest mnóstwo. Od czasów starożytnych cieszył się dużą popularnością.

Na przykład Euklides zdefiniował ją jako figurę cielesną składającą się z płaszczyzn, które zaczynając od jednej, zbiegają się w pewnym punkcie.

Heron przedstawił bardziej precyzyjne sformułowanie. Upierał się, że to jest ta postać ma bazę i płaszczyzny w formie trójkątów, zbiegające się w jednym punkcie.

Na podstawie nowoczesna interpretacja, piramida jest reprezentowana jako wielościan przestrzenny składający się z pewnego k-gonu i k płaskie figury trójkątny z jednym wspólnym punktem.

Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo, z jakich elementów się składa:

  • K-gon jest uważany za podstawę figury;
  • Trójkątne kształty wystają jako krawędzie części bocznej;
  • górna część, z której wychodzą elementy boczne, nazywana jest wierzchołkiem;
  • wszystkie odcinki łączące wierzchołek nazywane są krawędziami;
  • jeśli linia prosta zostanie obniżona od wierzchołka do płaszczyzny figury pod kątem 90 stopni, wówczas jej część zawarta w przestrzeni wewnętrznej jest wysokością piramidy;
  • w dowolnym elemencie bocznym prostopadłą zwaną apotemem można poprowadzić do boku naszego wielościanu.

Liczbę krawędzi oblicza się ze wzoru 2*k, gdzie k jest liczbą boków k-kątu. Ile ścian ma wielościan taki jak piramida, można określić za pomocą wyrażenia k+1.

Ważny! Piramida o regularnym kształcie to figura stereometryczna, której płaszczyzną podstawy jest k-gon o równych bokach.

Podstawowe właściwości

Poprawna piramida ma wiele właściwości, które są dla niej wyjątkowe. Wymieńmy je:

  1. Podstawą jest figura o odpowiednim kształcie.
  2. Krawędzie piramidy ograniczające elementy boczne mają równe wartości liczbowe.
  3. Elementy boczne to trójkąty równoramienne.
  4. Podstawa wysokości figury przypada na środek wielokąta, będąc jednocześnie centralnym punktem wpisanego i opisanego.
  5. Wszystkie żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
  6. Wszystkie powierzchnie boczne mają ten sam kąt nachylenia względem podstawy.

Dzięki wszystkim wymienionym właściwościom wykonanie obliczeń elementów jest znacznie prostsze. W oparciu o powyższe właściwości zwracamy uwagę dwa znaki:

  1. W przypadku wielokąta mieszczącego się w okręgu, boczne twarze będzie miał z bazą równe kąty.
  2. Opisując okrąg wokół wielokąta, wszystkie krawędzie piramidy wychodzące z wierzchołka będą miały jednakowa długość i równe kąty z podstawą.

Podstawą jest kwadrat

Regularna czworokątna piramida - wielościan, którego podstawą jest kwadrat.

Ma cztery ściany boczne, które wyglądają jak równoramienne.

Kwadrat jest przedstawiony na płaszczyźnie, ale opiera się na wszystkich właściwościach zwykłego czworoboku.

Na przykład, jeśli konieczne jest powiązanie boku kwadratu z jego przekątną, użyj następującego wzoru: przekątna jest równa iloczynowi boku kwadratu i pierwiastka kwadratowego z dwóch.

Opiera się na regularnym trójkącie

Regularna trójkątna piramida to wielościan, którego podstawa jest foremnym trójkątem.

Jeśli podstawa jest regularnym trójkątem, a krawędzie boczne są równe krawędziom podstawy, to taka figura zwany czworościanem.

Wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi. W w tym przypadku Musisz znać niektóre punkty i nie tracić na nie czasu przy obliczaniu:

  • kąt nachylenia żeber do dowolnej podstawy wynosi 60 stopni;
  • rozmiar wszystkich ścian wewnętrznych wynosi również 60 stopni;
  • każda twarz może działać jako podstawa;
  • , narysowane wewnątrz rysunku, są to elementy równe.

Przekroje wielościanu

W każdym wielościanie są kilka rodzajów sekcji płaski. Często w kurs szkolny geometrie działają z dwoma:

  • osiowy;
  • równolegle do podstawy.

Przekrój osiowy uzyskuje się poprzez przecięcie wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, krawędzie boczne i oś. W tym przypadku osią jest wysokość narysowana od wierzchołka. Płaszczyzna cięcia jest ograniczona liniami przecięcia ze wszystkimi ścianami, co daje trójkąt.

Uwaga! W regularnej piramidzie przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym.

Jeśli płaszczyzna cięcia przebiega równolegle do podstawy, wówczas wynikiem jest druga opcja. W tym przypadku mamy figurę przekroju podobną do podstawy.

Przykładowo, jeśli u podstawy znajduje się kwadrat, to odcinek równoległy do ​​podstawy również będzie kwadratem, tylko o mniejszych wymiarach.

Rozwiązując problemy w tym warunku, używają znaków i właściwości podobieństwa figur, na podstawie twierdzenia Talesa. Przede wszystkim konieczne jest określenie współczynnika podobieństwa.

Jeśli płaszczyzna zostanie narysowana równolegle do podstawy i zostanie odcięta górna część wielościan, wówczas w dolnej części uzyskuje się regularną ściętą piramidę. Mówi się wówczas, że podstawy wielościanu ściętego są wielokątami podobnymi. W tym przypadku ściany boczne są trapezami równoramiennymi. Przekrój osiowy jest również równoramienny.

Aby wyznaczyć wysokość ściętego wielościanu, należy narysować wysokość w przekroju osiowym, czyli w trapezie.

Powierzchnie

Główne problemy geometryczne, które należy rozwiązać na szkolnym kursie geometrii, to znalezienie pola powierzchni i objętości piramidy.

Istnieją dwa typy wartości pola powierzchni:

  • obszar elementów bocznych;
  • obszar całej powierzchni.

Już sama nazwa wskazuje na to, o czym mówimy. Powierzchnia boczna obejmuje tylko elementy boczne. Wynika z tego, że aby go znaleźć, wystarczy dodać pola płaszczyzn bocznych, czyli pola 3-kątów równoramiennych. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole elementów bocznych:

  1. Pole 3-kąta równoramiennego wynosi Str=1/2(aL), gdzie a to bok podstawy, L to apotem.
  2. Liczba płaszczyzn bocznych zależy od rodzaju k-gonu u podstawy. Na przykład regularna czworokątna piramida ma cztery płaszczyzny boczne. Dlatego należy dodać pola czterech cyfr Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Wyrażenie zostaje w ten sposób uproszczone, ponieważ wartość wynosi 4a = Rosn, gdzie Rosn jest obwodem podstawy. A wyrażenie 1/2*Rosn to jego półobwód.
  3. Dochodzimy więc do wniosku, że obszar elementów bocznych zwykła piramida równy iloczynowi półobwodu podstawy i apotemu: Sside=Rosn*L.

Pole całkowitej powierzchni piramidy składa się z sumy pól płaszczyzn bocznych i podstawy: Sp.p = Sside + Sbas.

Jeśli chodzi o obszar podstawy, tutaj stosuje się wzór w zależności od rodzaju wielokąta.

Objętość regularnej piramidy równy iloczynowi pola podstawy i wysokości podzielonej przez trzy: V=1/3*Sbas*H, gdzie H jest wysokością wielościanu.

Czym jest regularna piramida w geometrii

Właściwości prawidłowe czworokątna piramida

Hipoteza: wierzymy, że doskonałość kształtu piramidy wynika z praw matematycznych właściwych jej kształtowi.

Cel: po przestudiowaniu piramidy jako geometryczne ciało, aby wyjaśnić doskonałość jego formy.

Zadania:

1. Podaj matematyczną definicję piramidy.

2. Przeanalizuj piramidę jako ciało geometryczne.

3. Zrozum, jaką wiedzę matematyczną Egipcjanie wbudowali w swoje piramidy.

Prywatne pytania:

1. Czym jest piramida jako ciało geometryczne?

2. Jak z matematycznego punktu widzenia można wyjaśnić wyjątkowy kształt piramidy?

3. Co wyjaśnia geometryczne cuda piramidy?

4. Co wyjaśnia doskonałość kształtu piramidy?

Definicja piramidy.

PIRAMIDA (z greckich piramid, gen. piramidos) - wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty mające wspólny wierzchołek (rysunek). Na podstawie liczby narożników podstawy piramidy dzieli się na trójkątne, czworokątne itp.

PIRAMIDA - monumentalna budowla o geometrycznym kształcie piramidy (czasami także schodkowej lub w kształcie wieży). Piramidy to nazwa nadana gigantycznym grobowcom starożytnych egipskich faraonów z III-II tysiąclecia p.n.e. e., a także cokoły starożytnych amerykańskich świątyń (w Meksyku, Gwatemali, Hondurasie, Peru), związane z kultami kosmologicznymi.

Możliwe, że greckie słowo „piramida” pochodzi od egipskiego wyrażenia per-em-us, czyli od określenia oznaczającego wysokość piramidy. Wybitny rosyjski egiptolog W. Struwe uważał, że greckie „puram...j” pochodzi od starożytnego egipskiego „p”-mr”.

Z historii. Po przestudiowaniu materiału w podręczniku „Geometria” autorów Atanasyana. Butuzova i innych dowiedzieliśmy się, że: Wielościan złożony z n-kąta A1A2A3 ... Trójkątów An i n PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 nazywa się piramidą. Wielokąt A1A2A3...An to podstawa ostrosłupa, a trójkąty PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 to boczne ściany ostrosłupa, P to wierzchołek ostrosłupa, odcinki PA1, PA2,..., PAn Czy żebra boczne.

Jednak taka definicja piramidy nie zawsze istniała. Na przykład starożytny grecki matematyk, autor teoretycznych traktatów matematycznych, które do nas dotarły, Euklides, definiuje piramidę jako bryłę ograniczoną płaszczyznami zbiegającymi się z jednej płaszczyzny do jednego punktu.

Jednak definicja ta była krytykowana już w starożytności. Heron zaproponował więc następującą definicję piramidy: „Jest to figura ograniczona trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie, której podstawą jest wielokąt”.

Nasza grupa po porównaniu tych definicji doszła do wniosku, że nie mają one jasnego sformułowania pojęcia „fundament”.

Przeanalizowaliśmy te definicje i znaleźliśmy definicję Adriena Marie Legendre, który w 1794 roku w swoim dziele „Elementy geometrii” definiuje piramidę w następujący sposób: „Piramida to bryła utworzona przez trójkąty zbiegające się w jednym punkcie i kończące się po różnych stronach płaska podstawa.”

Wydaje nam się, że ostatnia definicja daje jasny obraz piramidy, ponieważ mówi o tym, że podstawa jest płaska. Inna definicja piramidy pojawiła się w XIX-wiecznym podręczniku: „piramida to kąt bryłowy przecięty płaszczyzną”.

Piramida jako bryła geometryczna.

To. Piramida to wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, pozostałe ściany (boki) to trójkąty mające jeden wspólny wierzchołek (wierzchołek piramidy).

Nazywa się prostopadłą poprowadzoną ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy wysokośćH piramidy.

Oprócz dowolnej piramidy istnieją prawidłowa piramida u podstawy którego znajduje się wielokąt foremny i ścięta piramida.

Na rysunku znajduje się piramida PABCD, ABCD to jej podstawa, PO to jej wysokość.

Całkowita powierzchnia piramida to suma pól wszystkich jej ścian.

Sfull = Strona + Smain, Gdzie Strona– suma pól ścian bocznych.

Objętość piramidy znajduje się według wzoru:

V=1/3Sbas. H, gdzie Sbas. - powierzchnia podstawy, H- wysokość.
Oś regularnej piramidy to linia prosta zawierająca jej wysokość.
Apotem ST to wysokość bocznej ściany regularnej piramidy.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy wyraża się w następujący sposób: Sside. =1/2P H, gdzie P jest obwodem podstawy, H- wysokość ściany bocznej (apotem regularnej piramidy). Jeżeli ostrosłup przecina płaszczyzna A’B’C’D’, równoległa do podstawy, to:

1) żebra boczne i wysokość są podzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części;

2) w przekroju uzyskuje się wielokąt A’B’C’D’ podobny do podstawy;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" szerokość="287" wysokość="151">

Podstawy ściętej piramidy– wielokąty podobne ABCD i A`B`C`D`, ściany boczne są trapezami.

Wysokośćścięta piramida - odległość między podstawami.

Obcięta objętość Piramidę oblicza się ze wzoru:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" wyrównania="left" szerokość="91" wysokość="96"> Powierzchnia boczna regularnej ściętej piramidy wyraża się następująco: Sside = ½(P+P') H, gdzie P i P’ są obwodami podstaw, H- wysokość ściany bocznej (apotem w kształcie regularnego ściętego pirami

Sekcje piramidy.

Przekroje piramidy płaszczyznami przechodzącymi przez jej wierzchołek są trójkątami.

Nazywa się odcinek przechodzący przez dwie niesąsiadujące ze sobą boczne krawędzie piramidy przekrój diagonalny.

Jeśli odcinek przechodzi przez punkt na bocznej krawędzi i boku podstawy, to jego ślad do płaszczyzny podstawy piramidy będzie tym bokiem.

Przekrój przechodzący przez punkt leżący na ścianie piramidy i zadany ślad przekroju na płaszczyźnie podstawy, wówczas konstrukcję należy wykonać w następujący sposób:

· znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny danej ściany ze śladem przekroju ostrosłupa i go wyznaczyć;

skonstruuj prostą przechodzącą przez nią dany punkt i powstały punkt przecięcia;

· Powtórz te kroki dla kolejnych ścian.

, co odpowiada stosunkowi nóg prawy trójkąt 4:3. Ten stosunek nóg odpowiada dobrze znanemu trójkątowi prostokątnemu o bokach 3:4:5, który nazywany jest trójkątem „doskonałym”, „świętym” lub „egipskim”. Według historyków trójkąt „egipski” otrzymał magiczne znaczenie. Plutarch napisał, że Egipcjanie porównali naturę wszechświata do „świętego” trójkąta; symbolicznie porównali pionową nogę do męża, podstawę do żony, a przeciwprostokątną do tej, która rodzi się z obu.

Dla trójkąta 3:4:5 prawdziwa jest równość: 32 + 42 = 52, co wyraża twierdzenie Pitagorasa. Czy to nie to twierdzenie chcieli utrwalić egipscy kapłani, budując piramidę na podstawie trójkąta 3:4:5? Trudno znaleźć bardziej udany przykład ilustrujący twierdzenie Pitagorasa, które było znane Egipcjanom na długo przed jego odkryciem przez Pitagorasa.

Zatem genialni twórcy Piramidy egipskie starali się zadziwić odległych potomków głębią swojej wiedzy i osiągnęli to, wybierając „złoty” trójkąt prostokątny jako „główną ideę geometryczną” piramidy Cheopsa oraz trójkąt „święty” lub „egipski” dla piramidy Cheopsa .

Bardzo często w swoich badaniach naukowcy wykorzystują właściwości piramid o proporcjach Złotego Podziału.

W matematyce słownik encyklopedyczny Podano następującą definicję Złotego Podziału – jest to podział harmoniczny, podział w stosunku skrajnym i średnim – dzielący odcinek AB na dwie części w taki sposób, że jego większa część AC jest średnią proporcjonalną pomiędzy całym odcinkiem AB i jego mniejsza część NE.

Algebraiczne wyznaczanie złotego przekroju odcinka AB = a sprowadza się do rozwiązania równania a: x = x: (a – x), z którego x wynosi w przybliżeniu 0,62a. Stosunek x można wyrazić jako ułamki 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, gdzie 2, 3, 5, 8, 13, 21 to liczby Fibonacciego.

Geometryczną konstrukcję złotego przekroju odcinka AB przeprowadza się w następujący sposób: w punkcie B przywracana jest prostopadłość do AB, na niej układany jest odcinek BE = 1/2 AB, A i E są połączone, DE = BE zostaje zwolnione i ostatecznie AC = AD, wówczas spełniona jest równość AB: CB = 2:3.

Złoty podział często używane w dziełach sztuki, architekturze i spotykane w przyrodzie. Żywe przykłady są rzeźba Apolla Belvedere, Partenon. Podczas budowy Partenonu zastosowano stosunek wysokości budynku do jego długości i stosunek ten wynosi 0,618. Otaczające nas przedmioty również dostarczają przykładów złotego podziału, na przykład oprawy wielu książek mają stosunek szerokości do długości bliski 0,618. Rozważając rozmieszczenie liści na wspólnej łodydze roślin, można zauważyć, że pomiędzy każdymi dwiema parami liści trzecia znajduje się w złotym stosunku (slajdy). Każdy z nas „nosi” ze sobą „w rękach” Złoty Podział - jest to stosunek paliczków palców.

Dzięki odkryciu kilku matematycznych papirusów egiptolodzy dowiedzieli się czegoś o starożytnych egipskich systemach obliczeń i pomiarów. Zawarte w nich zadania rozwiązywali skrybowie. Jednym z najbardziej znanych jest papirus matematyczny Rhinda. Badając te problemy, egiptolodzy dowiedzieli się, jak starożytni Egipcjanie radzili sobie z różnymi wielkościami pojawiającymi się podczas obliczania miar masy, długości i objętości, które często dotyczyły ułamków, a także jak radzili sobie z kątami.

Starożytni Egipcjanie stosowali metodę obliczania kątów opartą na stosunku wysokości do podstawy trójkąta prostokątnego. Wyrażali dowolny kąt w języku gradientu. Nachylenie nachylenia wyrażono jako stosunek liczb całkowitych zwany „seced”. W książce Mathematics in the Age of the Pharaohs Richard Pillins wyjaśnia: „Seked regularnej piramidy to nachylenie dowolnej z czterech trójkątnych ścian do płaszczyzny podstawy, mierzone jako n-ta liczba jednostek poziomych na pionową jednostkę wzrostu . Zatem ta jednostka miary jest równoważna naszemu współczesnemu cotangensowi kąta nachylenia. Dlatego egipskie słowo „seced” jest powiązane z naszym współczesne słowo"gradient"".

Klucz numeryczny piramid leży w stosunku ich wysokości do podstawy. W praktyce jest to najprostszy sposób na wykonanie szablonów niezbędnych do ciągłego sprawdzania prawidłowego kąta nachylenia podczas całej budowy piramidy.

Egiptolodzy chętnie przekonaliby nas, że każdy faraon pragnął wyrazić swoją indywidualność, stąd różnice w kątach nachylenia poszczególnych piramid. Ale może być inny powód. Być może wszyscy chcieli ucieleśnić różne skojarzenia symboliczne, ukryte w różnych proporcjach. Jednakże kąt piramidy Chefre'a (oparty na trójkącie (3:4:5) pojawia się w trzech problemach przedstawionych przez piramidy w Papirusie Matematycznym Rhinda). Zatem takie podejście było dobrze znane starożytnym Egipcjanom.

Aby oddać sprawiedliwość egiptologom, którzy twierdzą, że starożytni Egipcjanie nie byli świadomi istnienia trójkąta 3:4:5, długość przeciwprostokątnej 5 nigdy nie została wspomniana. Ale problemy matematyczne pytania dotyczące piramid są zawsze rozstrzygane na podstawie drugiego kąta – stosunku wysokości do podstawy. Ponieważ nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej, wyciągnięto wniosek, że Egipcjanie nigdy nie obliczyli długości trzeciego boku.

Stosunek wysokości do podstawy stosowany w piramidach w Gizie był niewątpliwie znany starożytnym Egipcjanom. Możliwe, że te zależności dla każdej piramidy zostały wybrane arbitralnie. Jest to jednak sprzeczne ze znaczeniem, jakie przywiązuje się do symboliki liczb we wszystkich typach egipskiej sztuki pięknej. Jest bardzo prawdopodobne, że takie relacje były istotne, ponieważ wyrażały określone idee religijne. Inaczej mówiąc, cały kompleks w Gizie został podporządkowany spójnemu projektowi, mającemu odzwierciedlać pewien boski motyw. To wyjaśniałoby, dlaczego projektanci tak wybrali różne kąty nachylenie trzech piramid.

W Tajemnicy Oriona Bauval i Gilbert przedstawili przekonujące dowody łączące piramidy w Gizie z konstelacją Oriona, w szczególności z gwiazdami Pasa Oriona. Ta sama konstelacja jest obecna w micie o Izydzie i Ozyrysie i są ku temu podstawy każda piramida przedstawia jednego z trzech głównych bóstw – Ozyrysa, Izydy i Horusa.

CUDA „GEOMETRYCZNE”.

Wśród wspaniałych piramid w Egipcie zajmuje szczególne miejsce Wielka Piramida Faraona Cheopsa (Khufu). Zanim zaczniemy analizować kształt i wielkość piramidy Cheopsa, warto przypomnieć sobie, jakim systemem miar posługiwali się Egipcjanie. Egipcjanie mieli trzy jednostki długości: „łokieć” (466 mm), który był równy siedmiu „dłoniom” (66,5 mm), co z kolei równało się czterem „palcom” (16,6 mm).

Przeanalizujmy wymiary piramidy Cheopsa (ryc. 2), kierując się argumentami podanymi we wspaniałej książce ukraińskiego naukowca Nikołaja Wasyutyńskiego „ Złoty podział„(1990).

Większość badaczy zgadza się, że długość boku podstawy piramidy, np. GF równy L= 233,16 m. Wartość ta odpowiada niemal dokładnie 500 „łokciom”. Pełna zgodność z 500 „kolokami” nastąpi, jeśli długość „łokcia” przyjmie się jako równą 0,4663 m.

Wysokość piramidy ( H) badacze szacują różnie od 146,6 do 148,2 m, a w zależności od przyjętej wysokości piramidy zmieniają się wszystkie jej proporcje elementy geometryczne. Jaka jest przyczyna różnic w szacunkach wysokości piramidy? Faktem jest, że ściśle rzecz biorąc, piramida Cheopsa jest obcięta. Jej górna platforma ma dziś wymiary około 10 x 10 m, ale sto lat temu było to 6 x 6 m. Oczywiście wierzchołek piramidy został rozebrany i nie odpowiada on pierwotnemu.

Oceniając wysokość piramidy, należy wziąć pod uwagę taki czynnik fizyczny, jak „przeciąg” konstrukcji. Dla długo pod wpływem kolosalnego ciśnienia (sięgającego 500 ton na 1 m2 dolnej powierzchni) wysokość piramidy zmniejszyła się w porównaniu do pierwotnej wysokości.

Jaka była pierwotna wysokość piramidy? Wysokość tę można odtworzyć, znajdując podstawową „ideę geometryczną” piramidy.


Rysunek 2.

W 1837 r. Angielski pułkownik G. Wise zmierzył kąt nachylenia ścian piramidy: okazał się równy A= 51°51”. Wartość ta jest nadal uznawana przez większość badaczy. Podana wartość kąta odpowiada tangensowi (tg A), równa 1,27306. Wartość ta odpowiada stosunkowi wysokości piramidy AC do połowy podstawy C.B.(ryc. 2), tj AC / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

I tu badaczy spotkała wielka niespodzianka!.png" szerokość="25" wysokość="24">= 1,272. Porównanie tej wartości z wartością tg A= 1,27306, widzimy, że wartości te są bardzo blisko siebie. Jeśli przyjmiemy kąt A= 51°50”, czyli zmniejsz ją o jedną minutę łuku, a następnie wartość A stanie się równy 1,272, to znaczy będzie pokrywał się z wartością. Warto zaznaczyć, że w 1840 r. G. Wise powtórzył swoje pomiary i wyjaśnił, że wartość kąta A=51°50".

Pomiary te doprowadziły badaczy do następującej bardzo interesującej hipotezy: trójkąt ACB piramidy Cheopsa został oparty na relacji AC / C.B. = = 1,272!

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny ABC, w którym stosunek nóg AC / C.B.= (ryc. 2). Jeśli teraz długości boków prostokąta ABC wyznaczyć przez X, y, z, a także wziąć pod uwagę, że stosunek y/X= , to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość z można obliczyć korzystając ze wzoru:

Jeśli zaakceptujemy X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" szerokość="143" wysokość="27">


Rysunek 3.„Złoty” trójkąt prostokątny.

Trójkąt prostokątny, w którym boki są ze sobą powiązane jako T:złoty" trójkąt prostokątny.

Następnie, jeśli przyjmiemy za podstawę hipotezę, że główną „ideą geometryczną” piramidy Cheopsa jest „złoty” trójkąt prostokątny, wówczas możemy z łatwością obliczyć „projektową” wysokość piramidy Cheopsa. Jest równe:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Wyprowadźmy teraz inne zależności dla piramidy Cheopsa, które wynikają ze „złotej” hipotezy. W szczególności znajdziemy stosunek zewnętrznej powierzchni piramidy do powierzchni jej podstawy. Aby to zrobić, bierzemy długość nogi C.B. na jednostkę, czyli: C.B.= 1. Ale potem długość boku podstawy piramidy GF= 2 i obszar podstawy EFGH będzie równe SEFGH = 4.

Obliczmy teraz pole powierzchni bocznej piramidy Cheopsa SD. Od wysokości AB trójkąt AEF równy T, wówczas obszar powierzchni bocznej będzie równy SD = T. Wtedy całkowita powierzchnia wszystkich czterech bocznych ścian piramidy będzie równa 4 T, a stosunek całkowitej zewnętrznej powierzchni piramidy do powierzchni podstawy będzie równy złotemu podziałowi! To jest to - główna tajemnica geometryczna piramidy Cheopsa!

Do grupy „cudów geometrycznych” piramidy Cheopsa zaliczają się rzeczywiste i naciągane właściwości relacji pomiędzy różnymi wymiarami piramidy.

Z reguły uzyskuje się je w poszukiwaniu pewnych „stałych”, w szczególności liczby „pi” (liczba Ludolfa), równej 3,14159...; fusy logarytmy naturalne„e” (liczba Nepera), równa 2,71828…; liczba „F”, liczba „złotego podziału”, równa na przykład 0,618… itd.

Można wymienić np.: 1) Własność Herodota: (Wysokość)2 = 0,5 sztuki. podstawowy x Apotem; 2) Własność V. Cena: Wysokość: 0,5 szt. podstawa = pierwiastek kwadratowy z „F”; 3) Własność M. Eista: Obwód podstawy: 2 Wysokość = „Pi”; w innej interpretacji - 2 łyżki. podstawowy : Wysokość = „Pi”; 4) Własność G. Krawędź: Promień okręgu wpisanego: 0,5 szt. podstawowy = „F”; 5) Własność K. Kleppischa: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothema) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothema) : ((2 art. .główny X Apotem) + (w. główny)2). I tak dalej. Możesz wymyślić wiele takich właściwości, zwłaszcza jeśli połączysz dwie sąsiednie piramidy. Na przykład jako „Właściwości A. Arefiewa” można wspomnieć, że różnica objętości piramidy Cheopsa i piramidy Chefrena jest równa dwukrotności objętości piramidy Mikerina…

Wiele interesujących punktów, w szczególności dotyczących budowy piramid według „złotego podziału”, przedstawiono w książkach D. Hambidge’a „Symetria dynamiczna w architekturze” i M. Gicka „Estetyka proporcji w przyrodzie i sztuce”. Przypomnijmy, że „złoty podział” to podział odcinka w takim stosunku, że część A jest tyle razy większa od części B, ile razy A jest mniejsze od całego odcinka A + B. Stosunek A/B w tym przypadku jest równa liczbie „F” == 1,618.. Stosowanie „złotego podziału” jest wskazane nie tylko w poszczególnych piramidach, ale także w całym kompleksie piramid w Gizie.

Najciekawsze jest jednak to, że jedna i ta sama piramida Cheopsa po prostu „nie może” zawierać tak wielu cudownych właściwości. Biorąc pewną własność jedną po drugiej, można ją „dopasować”, ale nie wszystkie od razu pasują - nie pokrywają się, są ze sobą sprzeczne. Dlatego jeśli np. sprawdzając wszystkie właściwości, początkowo przyjmiemy tę samą stronę podstawy piramidy (233 m), to wysokości piramid o różnych właściwościach również będą inne. Innymi słowy, istnieje pewna „rodzina” piramid, które zewnętrznie są podobne do Cheopsa, ale mają inne właściwości. Zauważ, że we właściwościach „geometrycznych” nie ma nic szczególnie cudownego - wiele wynika wyłącznie automatycznie, z właściwości samej figury. Za „cud” należy uważać jedynie coś, co było wyraźnie niemożliwe dla starożytnych Egipcjan. Dotyczy to w szczególności cudów „kosmicznych”, w których porównuje się wymiary piramidy Cheopsa lub kompleksu piramid w Gizie z niektórymi pomiarami astronomicznymi i wskazuje liczby „parzyste”: milion razy mniej, miliard razy mniej i Wkrótce. Rozważmy pewne „kosmiczne” relacje.

Jedno ze stwierdzeń brzmi: „jeśli podzielisz bok podstawy piramidy przez dokładną długość roku, otrzymasz dokładnie 10 milionowych osi Ziemi”. Oblicz: podziel 233 przez 365, otrzymamy 0,638. Promień Ziemi wynosi 6378 km.

Kolejne stwierdzenie jest właściwie przeciwieństwem poprzedniego. F. Noetling zwrócił uwagę, że jeśli zastosujemy wymyślony przez niego „łokieć egipski”, wówczas bok piramidy będzie odpowiadał „najdokładniejszemu czasowi roku słonecznego, wyrażonemu z dokładnością do najbliższej miliardowej części dnia” - 365.540.903.777 .

Oświadczenie P. Smitha: „Wysokość piramidy wynosi dokładnie jedną miliardową odległości od Ziemi do Słońca”. Chociaż zwykle przyjmuje się wysokość 146,6 m, Smith przyjął ją jako 148,2 m. Według współczesnych pomiarów radarowych, półoś wielka orbity Ziemi wynosi 149 597 870 + 1,6 km. Jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, jednak w peryhelium jest ona o 5 000 000 kilometrów mniejsza niż w aphelium.

Ostatnie ciekawe stwierdzenie:

„Jak możemy wyjaśnić, że masy piramid Cheopsa, Chefrena i Mykerinusa odnoszą się do siebie, podobnie jak masy planet Ziemia, Wenus i Mars?” Obliczmy. Masy trzech piramid wynoszą: Chefre - 0,835; Cheopsa – 1000; Mikerin - 0,0915. Stosunki mas trzech planet: Wenus - 0,815; Ziemia - 1000; Mars - 0,108.

Zatem pomimo sceptycyzmu zauważamy znaną harmonię konstrukcji twierdzeń: 1) wysokość piramidy, podobnie jak linia „wchodząc w przestrzeń”, odpowiada odległości Ziemi od Słońca; 2) strona podstawy piramidy, znajdująca się najbliżej „podłoża”, czyli Ziemi, odpowiada za promień Ziemi i krążenie Ziemi; 3) objętości piramidy (czytaj - masy) odpowiadają stosunkowi mas planet najbliższych Ziemi. Podobny „szyfr” można odnaleźć na przykład w języku pszczół analizowanym przez Karla von Frischa. Na razie jednak powstrzymamy się od komentowania tej kwestii.

KSZTAŁT PIRAMIDY

Słynny czworościenny kształt piramid nie powstał natychmiast. Scytowie dokonywali pochówków w postaci ziemnych wzgórz - kopców. Egipcjanie budowali „wzgórza” z kamienia – piramidy. Po raz pierwszy miało to miejsce po zjednoczeniu Górnego i Dolnego Egiptu, w XXVIII wieku p.n.e., kiedy założyciel III dynastii, faraon Dżeser (Zoser), stanął przed zadaniem umocnienia jedności kraju.

I tutaj, zdaniem historyków, ważną rolę we wzmocnieniu rząd centralny odgrywaną przez „nową koncepcję deifikacji” króla. Choć pochówki królewskie wyróżniały się większym przepychem, w zasadzie nie różniły się od grobowców szlachty dworskiej, były to te same budowle – mastaby. Nad komorą z sarkofagiem mieszczącym mumię wylano prostokątne wzniesienie z drobnych kamieni, na którym następnie wzniesiono niewielki budynek z dużych bloków kamiennych – „mastabę” (po arabsku – „ławka”). Faraon Dżeser wzniósł pierwszą piramidę na miejscu mastaby swojego poprzednika, Sanachta. Była schodkowa i stanowiła widoczny etap przejściowy od jednej formy architektonicznej do drugiej, od mastaby do piramidy.

W ten sposób mędrzec i architekt Imhotep, uważany później za czarodzieja i utożsamiany przez Greków z bogiem Asklepiosem, „wychował” faraona. To było tak, jakby w rzędzie ustawiono sześć mastab. Co więcej, pierwsza piramida zajmowała powierzchnię 1125 x 115 metrów i szacowaną wysokość na 66 metrów (według egipskich standardów - 1000 „palm”). Początkowo architekt planował budowę mastaby, ale nie podłużnej, ale kwadratowej. Później został rozszerzony, ale ponieważ przedłużenie zostało obniżone, wydawało się, że są dwa stopnie.

Taka sytuacja nie zadowalała architekta i na górnej platformie ogromnej płaskiej mastaby Imhotep umieścił jeszcze trzy, stopniowo opadając ku górze. Grobowiec znajdował się pod piramidą.

Znanych jest jeszcze kilka piramid schodkowych, ale później budowniczowie przeszli do budowy piramid czworościennych, które są nam bardziej znane. Dlaczego jednak nie trójkątny lub, powiedzmy, ośmiokątny? Pośredniej odpowiedzi udziela fakt, że prawie wszystkie piramidy są doskonale zorientowane w czterech głównych kierunkach, a zatem mają cztery boki. Ponadto piramida była „domem”, skorupą czworokątnej komory grobowej.

Ale co determinowało kąt nachylenia twarzy? W książce „Zasada proporcji” poświęcony jest temu cały rozdział: „Co mogło określić kąty nachylenia piramid”. W szczególności wskazano, że „obraz, do którego ciążą wielkie piramidy Starego Królestwa, jest trójkątem z kątem prostym na wierzchołku.

W przestrzeni jest to półośmiościan: piramida, w której krawędzie i boki podstawy są równe, a krawędzie są trójkątami równobocznymi.” Pewne rozważania na ten temat poświęcono książkom Hambidge’a, Gicka i innych.

Jaka jest zaleta kąta półoktaedru? Według opisów archeologów i historyków niektóre piramidy zawaliły się pod własnym ciężarem. Potrzebny był „kąt trwałości”, kąt najbardziej niezawodny energetycznie. Czysto empirycznie, kąt ten można obliczyć z kąta wierzchołkowego w kupie kruszącego się suchego piasku. Ale aby uzyskać dokładne dane, musisz użyć modelu. Biorąc cztery mocno zamocowane kulki, należy umieścić na nich piątą i zmierzyć kąty nachylenia. Można tu jednak popełnić błąd, dlatego pomocne są obliczenia teoretyczne: należy połączyć środki piłek liniami (w myślach). Podstawą będzie kwadrat o boku równym dwukrotności promienia. Kwadrat będzie tylko podstawą piramidy, której długość krawędzi będzie również równa dwukrotności promienia.

Zatem ścisłe upakowanie kulek, takie jak 1:4, da nam regularny półoktaedr.

Dlaczego jednak wiele piramid, dążących do podobnego kształtu, mimo to go nie zachowuje? Piramidy prawdopodobnie się starzeją. Wbrew słynnemu powiedzeniu:

„Wszystko na świecie boi się czasu, a czas boi się piramid”, budynki piramid muszą się starzeć, mogą i powinny w nich zachodzić nie tylko procesy wietrzenia zewnętrznego, ale także procesy wewnętrznego „skurczu”, które mogą spowodować obniżenie piramid. Skurcz jest również możliwy, ponieważ, jak wykazały prace D. Davidovitsa, starożytni Egipcjanie stosowali technologię wytwarzania bloków z wiórów wapiennych, czyli innymi słowy z „betonu”. Właśnie podobne procesy mogłyby wyjaśnić przyczynę zniszczenia Piramidy Medum, położonej 50 km na południe od Kairu. Ma 4600 lat, wymiary podstawy to 146 x 146 m, wysokość 118 m. „Dlaczego jest tak zniekształcony?”, pyta W. Zamarowski. „Zwykłe odniesienia do niszczycielskiego wpływu czasu i „wykorzystania kamienia do innych budynków” nie są tutaj odpowiednie.

Przecież większość jej bloków i płyt licowych pozostała na swoim miejscu do dziś, w ruinach u jej podnóża.” Jak zobaczymy, szereg zapisów każe nawet sądzić, że słynna Piramida Cheopsa również „schłapała”. w każdym razie na wszystkich starożytnych obrazach piramidy są skierowane ...

Kształt piramid mógł również powstać w wyniku naśladownictwa: niektóre naturalne próbki, „cudowna doskonałość”, powiedzmy, niektóre kryształy w kształcie ośmiościanu.

Podobnymi kryształami mogą być kryształy diamentu i złota. Charakterystyczny duża liczba„nakładające się” znaki dla takich pojęć jak Faraon, Słońce, Złoto, Diament. Wszędzie - szlachetny, genialny (genialny), wspaniały, nienaganny i tak dalej. Podobieństwa nie są przypadkowe.

Jak wiadomo, kult słońca stanowił ważną część religii Starożytny Egipt. „Nieważne, jak przetłumaczymy nazwę największej z piramid” – zauważa jeden z nowoczesne pomoce- „Firmament Chufu” lub „Firmament Chufu” oznaczało, że król jest słońcem. Jeśli Chufu w blasku swojej mocy wyobrażał sobie, że jest drugim słońcem, wówczas jego syn Dżedef-Ra stał się pierwszy z egipskich królów, który nazywał siebie „synem Ra”, to znaczy synem Słońca. U prawie wszystkich ludów Słońce było symbolizowane przez „metal słoneczny”, czyli złoto. „Duży dysk jasnego złoto” – tak Egipcjanie nazywali nasze światło dzienne. Egipcjanie doskonale znali złoto, znali jego rodzime formy, gdzie kryształy złota mogą pojawiać się w formie ośmiościanów.

„Kamień słoneczny” – diament – ​​jest tu również interesujący jako „próbka form”. Nazwa diamentu pochodzi właśnie ze świata arabskiego „almas” - najtwardszy, najtwardszy, niezniszczalny. Starożytni Egipcjanie dość dobrze znali diament i jego właściwości. Według niektórych autorów do wiercenia używano nawet rur z brązu z frezami diamentowymi.

Obecnie głównym dostawcą diamentów jest Republika Południowej Afryki, ale Afryka Zachodnia jest również bogata w diamenty. Terytorium Republiki Mali nazywane jest nawet „Diamentową Krainą”. Tymczasem to właśnie na terenie Mali zamieszkują Dogoni, z którymi zwolennicy hipotezy paleowizyty wiążą wiele nadziei (patrz niżej). Diamenty nie mogły być przyczyną kontaktów starożytnych Egipcjan z tym regionem. Jednak w ten czy inny sposób możliwe jest, że właśnie kopiując ośmiościany diamentów i kryształów złota, starożytni Egipcjanie w ten sposób deifikowali faraonów, „niezniszczalnych” jak diament i „błyszczących” jak złoto, synów Słońca, porównywalnych tylko do najwspanialszych dzieł natury.

Wniosek:

Po przestudiowaniu piramidy jako bryły geometrycznej, zapoznaniu się z jej elementami i właściwościami, przekonaliśmy się o słuszności opinii o pięknie kształtu piramidy.

W wyniku naszych badań doszliśmy do wniosku, że Egipcjanie, zgromadziwszy najcenniejszą wiedzę matematyczną, ucieleśnili ją w piramidzie. Dlatego piramida jest naprawdę najdoskonalszym dziełem natury i człowieka.

WYKAZ WYKORZYSTANYCH BIBLIOGRAFII

„Geometria: podręcznik. dla klas 7 – 9. wykształcenie ogólne instytucje itp. - wyd. 9 - M.: Edukacja, 1999

Historia matematyki w szkole, M: „Prosveshchenie”, 1982.

Geometria 10-11 klas, M: „Oświecenie”, 2000

Peter Tompkins „Tajemnice Wielkiej Piramidy Cheopsa”, M: „Tsentropoligraf”, 2005.

Zasoby internetowe

http://veka-i-mig. *****/

http://tambow. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/en/54373.html

Definicja

Piramida jest wielościanem złożonym z wielokąta \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trójkątów o wspólnym wierzchołku \(P\) (nie leżącym w płaszczyźnie wielokąta) i przeciwległych mu bokach, pokrywających się z boki wielokąta.
Oznaczenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Przykład: piramida pięciokątna \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trójkąty \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) itp. są nazywane boczne twarze piramidy, segmenty \(PA_1, PA_2\) itp. – żebra boczne, wielokąt \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – podstawa, punkt \(P\) – szczyt.

Wysokość piramidy to prostopadła schodząca ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy.

Nazywa się piramidą mającą u podstawy trójkąt tetraedr.

Piramida nazywa się prawidłowy, jeżeli jego podstawą jest wielokąt foremny i spełniony jest jeden z poniższych warunków:

\((a)\) boczne krawędzie piramidy są równe;

\((b)\) wysokość piramidy przechodzi przez środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy;

\((c)\) żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

\((d)\) ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

Regularny czworościan jest trójkątną piramidą, której wszystkie ściany są równymi trójkątami równobocznymi.

Twierdzenie

Warunki \(a), (b), (c), (d)\) są równoważne.

Dowód

Znajdźmy wysokość piramidy \(PH\) . Niech \(\alpha\) będzie płaszczyzną podstawy piramidy.


1) Udowodnijmy, że z \((a)\) wynika \((b)\) . Niech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Ponieważ \(PH\perp \alpha\), wówczas \(PH\) jest prostopadła do dowolnej prostej leżącej w tej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​trójkąty są prostokątne. Oznacza to, że te trójkąty mają wspólną nogę \(PH\) i przeciwprostokątną \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Zatem \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Oznacza to, że punkty \(A_1, A_2, ..., A_n\) znajdują się w tej samej odległości od punktu \(H\), zatem leżą na tym samym okręgu o promieniu \(A_1H\) . Okrąg ten z definicji jest opisany na wielokącie \(A_1A_2...A_n\) .

2) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątny i równy na dwóch nogach. Oznacza to, że ich kąty są również równe, zatem \(\kąt PA_1H=\kąt PA_2H=...=\kąt PA_nH\).

3) Udowodnijmy, że \((c)\) implikuje \((a)\) .

Podobnie jak w przypadku pierwszego punktu, trójkąty \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątne i wzdłuż nogi i ostry róg. Oznacza to, że ich przeciwprostokątne są również równe, czyli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Udowodnijmy, że z \((b)\) wynika \((d)\) .

Ponieważ w wielokącie foremnym środki okręgu opisanego i wpisanego pokrywają się (ogólnie punkt ten nazywany jest środkiem wielokąta foremnego), wówczas \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego. Narysujmy prostopadłe z punktu \(H\) do boków podstawy: \(HK_1, HK_2\) itd. Są to promienie okręgu wpisanego (z definicji). Wtedy zgodnie z TTP (\(PH\) jest prostopadłą do płaszczyzny, \(HK_1, HK_2\), itd. są rzutami prostopadłymi do boków) ukośną \(PK_1, PK_2\), itd. prostopadle do boków \(A_1A_2, A_2A_3\) itd. odpowiednio. Tak z definicji \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H\) równy kątom pomiędzy ścianami bocznymi a podstawą. Ponieważ trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (z dwóch stron prostokątne), to kąty \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H, ...\) są równe.

5) Udowodnijmy, że \((d)\) implikuje \((b)\) .

Podobnie jak w punkcie czwartym, trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokąt wzdłuż ramienia i kąt ostry), co oznacza, że ​​odcinki \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) są równy. Oznacza to z definicji, że \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Ale ponieważ W przypadku wielokątów foremnych środki okręgów wpisanego i opisanego pokrywają się, wówczas \(H\) jest środkiem opisanego okręgu. czt.

Konsekwencja

Boczne ściany regularnej piramidy są równymi trójkątami równoramiennymi.

Definicja

Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem.
Apotemy wszystkich bocznych ścian regularnej piramidy są sobie równe i są także środkowymi i dwusiecznymi.

Ważne uwagi

1. Wysokość regularnej trójkątnej piramidy przypada na punkt przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) podstawy (podstawa jest regularnym trójkątem).

2. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy przypada na punkt przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest kwadratem).

3. Wysokość regularnej sześciokątnej piramidy przypada na punkt przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest foremnym sześciokątem).

4. Wysokość piramidy jest prostopadła do dowolnej linii prostej leżącej u podstawy.

Definicja

Piramida nazywa się prostokątny, jeżeli jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.


Ważne uwagi

1. W piramidzie prostokątnej krawędź prostopadła do podstawy jest wysokością piramidy. Oznacza to, że \(SR\) jest wysokością.

2. Ponieważ \(SR\) jest zatem prostopadła do dowolnej linii wychodzącej z podstawy \(\trójkąt SRM, \trójkąt SRP\)– trójkąty prostokątne.

3. Trójkąty \(\trójkąt SRN, \trójkąt SRK\)- również prostokątne.
Oznacza to, że dowolny trójkąt utworzony przez tę krawędź i przekątną wychodzącą z wierzchołka tej krawędzi leżącą u podstawy będzie prostokątny.

\[(\Large(\text(Objętość i powierzchnia piramidy)))\]

Twierdzenie

Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości piramidy: \

Konsekwencje

Niech \(a\) będzie bokiem podstawy, \(h\) będzie wysokością piramidy.

1. Objętość regularnej trójkątnej piramidy wynosi \(V_(\text(trójkąt prawy.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Objętość regularnej czworokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Objętość regularnej sześciokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Objętość regularnego czworościanu wynosi \(V_(\text(prawy tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Twierdzenie

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu.

\[(\Duży(\text(Frustum)))\]

Definicja

Rozważmy dowolną piramidę \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujmy płaszczyznę równoległą do podstawy piramidy przez pewien punkt leżący na bocznej krawędzi piramidy. Ta płaszczyzna podzieli piramidę na dwa wielościany, z których jeden jest piramidą (\(PB_1B_2...B_n\)), a drugi nazywa się ścięta piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).


Ścięta piramida ma dwie podstawy - wielokąty \(A_1A_2...A_n\) i \(B_1B_2...B_n\), które są do siebie podobne.

Wysokość ściętej piramidy jest prostopadłą poprowadzoną od pewnego punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy.

Ważne uwagi

1. Wszystkie boczne ściany ściętej piramidy są trapezami.

2. Odcinek łączący środki podstaw regularnej piramidy ściętej (to znaczy piramidy uzyskanej przez przekrój regularnej piramidy) to wysokość.

Piramida trójkątna to piramida, której podstawa ma trójkąt. Wysokość tej piramidy to prostopadła obniżona od szczytu piramidy do jej podstawy.

Znalezienie wysokości piramidy

Jak znaleźć wysokość piramidy? Bardzo proste! Aby znaleźć wysokość dowolnej trójkątnej piramidy, możesz skorzystać ze wzoru na objętość: V = (1/3)Sh, gdzie S to pole podstawy, V to objętość piramidy, h to jej wysokość. Z tego wzoru wyprowadź wzór na wysokość: aby znaleźć wysokość trójkątnej piramidy, należy pomnożyć objętość piramidy przez 3, a następnie podzielić uzyskaną wartość przez pole podstawy, będzie to: h = (3V)/S. Ponieważ podstawą trójkątnej piramidy jest trójkąt, możesz użyć wzoru do obliczenia pola trójkąta. Jeżeli znamy: pole trójkąta S i jego bok z, to zgodnie ze wzorem na pole S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdzie h jest wysokością piramidy, γ jest krawędzią trójkąta; kąt między bokami trójkąta a samymi dwoma bokami, a następnie korzystając z następującego wzoru: S = (1/2)γφsinQ, gdzie γ, φ są bokami trójkąta, znajdujemy pole trójkąta. Wartość sinusa kąta Q należy sprawdzić w tabeli sinusów, która jest dostępna w Internecie. Następnie podstawiamy wartość pola do wzoru na wysokość: h = (2S)/γ. Jeśli zadanie wymaga obliczenia wysokości piramidy trójkątnej, to objętość piramidy jest już znana.

Regularna trójkątna piramida

Znajdź wysokość regularnej piramidy trójkątnej, czyli piramidy, w której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, znając rozmiar krawędzi γ. W tym przypadku krawędzie piramidy są bokami trójkątów równobocznych. Wysokość regularnej piramidy trójkątnej będzie wynosić: h = γ√(2/3), gdzie γ jest krawędzią trójkąta równobocznego, h jest wysokością piramidy. Jeżeli pole podstawy (S) jest nieznane, a podana jest tylko długość krawędzi (γ) i objętość (V) wielościanu, to należy zastąpić niezbędną zmienną we wzorze z poprzedniego kroku przez jego odpowiednik, który wyraża się długością krawędzi. Pole trójkąta (regularne) jest równe 1/4 iloczynu długości boku tego trójkąta kwadratu przez pierwiastek kwadratowy z 3. Podstawiamy ten wzór zamiast pola podstawy z poprzedniego wzór i otrzymujemy następujący wzór: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Objętość czworościanu można wyrazić poprzez długość jego krawędzi, a następnie ze wzoru na obliczenie wysokości figury można usunąć wszystkie zmienne i pozostawić tylko bok trójkątna twarz figurki. Objętość takiej piramidy można obliczyć, dzieląc przez 12 iloczyn długości jej ściany sześciennej przez pierwiastek kwadratowy z 2.

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniego wzoru, otrzymujemy następujący wzór do obliczeń: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Również poprawne trójkątny pryzmat można wpisać w kulę, a znając tylko promień kuli (R) można obliczyć wysokość samego czworościanu. Długość krawędzi czworościanu wynosi: γ = 4R/√6. Zastępujemy zmienną γ tym wyrażeniem z poprzedniego wzoru i otrzymujemy wzór: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ten sam wzór można otrzymać znając promień (R) okręgu wpisanego w czworościan. W tym przypadku długość krawędzi trójkąta będzie równa 12 stosunkom pomiędzy pierwiastek kwadratowy liczby 6 i promienia. Podstawiamy to wyrażenie do poprzedniego wzoru i otrzymujemy: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Jak znaleźć wysokość regularnej czworokątnej piramidy

Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć długość wysokości piramidy, musisz wiedzieć, czym jest regularna piramida. Piramida czworokątna to piramida, której podstawa ma czworokąt. Jeśli w warunkach zadania mamy: objętość (V) i pole podstawy (S) piramidy, wówczas wzór na obliczenie wysokości wielościanu (h) będzie następujący - podziel pomnożoną objętość o 3 o pole S: h = (3V)/S. Mając kwadratową podstawę piramidy o danej objętości (V) i długości boku γ, zamień pole (S) w poprzednim wzorze na kwadrat długości boku: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Wysokość regularnej piramidy h = SO przechodzi dokładnie przez środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy. Ponieważ podstawą tej piramidy jest kwadrat, punkt O jest punktem przecięcia przekątnych AD i BC. Mamy: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Następnie w trójkącie prostokątnym SOC znajdujemy (korzystając z twierdzenia Pitagorasa): SO = √(SC 2 -OC 2). Teraz wiesz, jak znaleźć wysokość regularnej piramidy.

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zapoznać się z motywem Piramidy. Poprawna piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję. Zastanówmy się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży w płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropki P ze szczytami Za 1, Za 2, Za 3, … Jakiś. Dostajemy N trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ...A n, złożony z N-kwadrat A 1 A 2...Jakiś I N trójkąty RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 nazywa się N-piramida węglowa. Ryż. 1.

Ryż. 1

Rozważmy czworokątną piramidę PABCD(ryc. 2).

R- szczyt piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczne żebro.

AB- żebro podstawy.

Od punktu R opuśćmy prostopadłą RN do płaszczyzny bazowej ABCD. Wykreślona prostopadłość to wysokość piramidy.

Ryż. 2

Pełna powierzchnia piramida składa się z powierzchni bocznej, to znaczy obszaru wszystkich ścian bocznych i obszaru podstawy:

S pełny = S strona + S główny

Piramidę nazywamy prawidłową, jeżeli:

  • jego podstawą jest wielokąt foremny;
  • odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej

Rozważmy regularną czworokątną piramidę PABCD(ryc. 3).

R- szczyt piramidy. Podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: w poprawnym N W trójkącie środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. Środek ten nazywany jest środkiem wielokąta. Czasami mówią, że wierzchołek jest rzutowany na środek.

Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem i jest wyznaczony h.

1. wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są równe;

2. Ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.

Dowód tych właściwości przedstawimy na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej.

Dany: PABCD- regularna czworokątna piramida,

ABCD- kwadrat,

RO- wysokość piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Patrz rys. 4.

Ryż. 4

Dowód.

RO- wysokość piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni JSC, VO, SO I DO leżąc w nim. Zatem trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważmy kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = VO = CO = DO.

Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- generał i nogi JSC, VO, SO I DO są równe, co oznacza, że ​​te trójkąty są równe z dwóch stron. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 został udowodniony.

Segmenty AB I Słoneczny są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = PB = RS. Zatem trójkąty AVR I VSR - równoramienne i równe z trzech stron.

W podobny sposób znajdujemy trójkąty ABP, VCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, jak wymaga tego udowodnienie w paragrafie 2.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu:

Aby to udowodnić, wybierzmy regularną piramidę trójkątną.

Dany: RAVY- regularna trójkątna piramida.

AB = BC = AC.

RO- wysokość.

Udowodnić: . Zobacz ryc. 5.

Ryż. 5

Dowód.

RAVY- regularna trójkątna piramida. To jest AB= AC = BC. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, Następnie RO jest wysokością piramidy. U podstawy piramidy leży trójkąt równoboczny ABC. Zauważ to .

Trójkąty RAV, RVS, RPA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RPA. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy wynosi:

Strona S = 3S RAW

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień okręgu wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Oblicz pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,

ABCD- kwadrat,

R= 3 m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Znajdować: Strona S. Zobacz ryc. 6.

Ryż. 6

Rozwiązanie.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem, .

Najpierw znajdźmy bok podstawy AB. Wiemy, że promień okręgu wpisanego w podstawę czworokątnej piramidy foremnej wynosi 3 m.

Następnie m.in.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważmy trójkąt BCD. Pozwalać M- środek boku DC. Ponieważ O- środek BD, To (M).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To jest, RM- mediana, a co za tym idzie wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.

RO- wysokość piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni OM, leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć powierzchnia boczna piramidy:

Odpowiedź: 60 m2.

Promień okręgu opisanego wokół podstawy regularnej trójkątnej piramidy jest równy m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m2. Znajdź długość apothemu.

Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

Strona S = 18 m2.

Znajdować: . Zobacz ryc. 7.

Ryż. 7

Rozwiązanie.

W trójkącie prostokątnym ABC Podany jest promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB tego trójkąta, korzystając z twierdzenia o sinusach.

Znając stronę zwykły trójkąt(m), znajdźmy jego obwód.

Według twierdzenia o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie h- apotem piramidy. Następnie:

Odpowiedź: 4 m.

Przyjrzeliśmy się więc, czym jest piramida, czym jest regularna piramida i udowodniliśmy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Referencje

  1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wyd. 5, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
  2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik do kształcenia ogólnego instytucje edukacyjne/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
  3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego z pogłębioną i specjalistyczną nauką matematyki /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.
  1. Portal internetowy „Yaklass” ()
  2. Portal internetowy „Święto idei pedagogicznych „Pierwszy września” ()
  3. Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

  1. Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
  2. Udowodnić, że rozłączne krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
  3. Znajdź wartość kąta dwuściennego po stronie podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
  4. RAVY- regularna trójkątna piramida. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy piramidy.