Διάνυσμα− μια καθαρά μαθηματική έννοια που χρησιμοποιείται μόνο στη φυσική ή σε άλλες εφαρμοσμένες επιστήμεςκαι το οποίο σας επιτρέπει να απλοποιήσετε τη λύση ορισμένων πολύπλοκων προβλημάτων.
Διάνυσμα− κατευθυνόμενο ευθύ τμήμα.
Σε ένα μάθημα στοιχειώδους φυσικής πρέπει να λειτουργήσει κανείς με δύο κατηγορίες ποσοτήτων − βαθμωτό και διανυσματικό.
ScalarΟι ποσότητες (βαθμοί) είναι μεγέθη που χαρακτηρίζονται από αριθμητική τιμή και πρόσημο. Οι βαθμίδες είναι μήκος − μεγάλο, μάζα − m, μονοπάτι − μικρό, χρόνος − t, θερμοκρασία − Τ, ηλεκτρικό φορτίο − q, ενέργεια − W, συντεταγμένες κ.λπ.
Όλες οι αλγεβρικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός κ.λπ.) ισχύουν για βαθμωτές ποσότητες.
Παράδειγμα 1.
Προσδιορίστε το συνολικό φορτίο του συστήματος, που αποτελείται από τα φορτία που περιλαμβάνονται σε αυτό, εάν q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Πλήρης χρέωση συστήματος
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Παράδειγμα 2.
Για τετραγωνική εξίσωσητύπος
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
ΔιάνυσμαΟι ποσότητες (διανύσματα) είναι μεγέθη, για να καθοριστεί ποιες είναι απαραίτητο να δηλωθεί, εκτός από την αριθμητική τιμή, και η κατεύθυνση. Διανύσματα − ταχύτητα v, δύναμη φά, παρόρμηση σελ, ένταση ηλεκτρικού πεδίου μι, μαγνητική επαγωγή σικαι τα λοιπά.
Η αριθμητική τιμή ενός διανύσματος (μέτρο) συμβολίζεται με ένα γράμμα χωρίς σύμβολο διανύσματος ή το διάνυσμα περικλείεται ανάμεσα σε κάθετες ράβδους r = |r|.
Γραφικά, το διάνυσμα αντιπροσωπεύεται από ένα βέλος (Εικ. 1),
Το μήκος του οποίου σε μια δεδομένη κλίμακα είναι ίσο με το μέγεθός του και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος.
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν τα μεγέθη και οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν.
Τα διανυσματικά μεγέθη προστίθενται γεωμετρικά (σύμφωνα με τον κανόνα της διανυσματικής άλγεβρας).
Η εύρεση ενός διανυσματικού αθροίσματος από δεδομένα διανύσματα συνιστωσών ονομάζεται πρόσθεση διανυσμάτων.
Η προσθήκη δύο διανυσμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου ή του τριγώνου. Διάνυσμα αθροίσματος
c = a + b
ίση με τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα έναΚαι σι. Διαμορφώστε το
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Εικ. 2). 
Σε α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το ίδιο διάνυσμα c μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου εάν από το τέλος του διανύσματος έναπαραμερίζουν διάνυσμα σι. Διάνυσμα κύλισης c (συνδέει την αρχή του διανύσματος ένακαι το τέλος του διανύσματος σι) είναι το διανυσματικό άθροισμα των όρων (διανύσματα συνιστωσών έναΚαι σι).
Το διάνυσμα που προκύπτει βρίσκεται ως το πίσω άκρο της διακεκομμένης γραμμής της οποίας οι σύνδεσμοι είναι τα διανύσματα συνιστωσών (Εικ. 3). 
Παράδειγμα 3.
Προσθέστε δύο δυνάμεις F 1 = 3 N και F 2 = 4 N, διανύσματα ΣΤ 1Και F 2κάντε γωνίες α 1 = 10° και α 2 = 40° με τον ορίζοντα, αντίστοιχα
F = F 1 + F 2(Εικ. 4). 
Το αποτέλεσμα της προσθήκης αυτών των δύο δυνάμεων είναι μια δύναμη που ονομάζεται προκύπτουσα. Διάνυσμα φάπου κατευθύνεται κατά μήκος της διαγώνιου ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα ΣΤ 1Και F 2, και στις δύο πλευρές, και είναι ίσο σε συντελεστή με το μήκος του.
Διάνυσμα ενότητα φάβρείτε με το θεώρημα συνημιτόνου
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Αν
(α 2 − α 1) = 90°, τότε F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Γωνία που είναι διάνυσμα φάισούται με τον άξονα Ox, τον βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο
α = αρκτάνη((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = αρκτάνη((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = αρκτάνη0.51, α ≈ 0.47 rad.
Η προβολή του διανύσματος a στον άξονα Ox (Oy) είναι μια κλιμακωτή ποσότητα ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της κατεύθυνσης του διανύσματος ένακαι άξονας Ox (Oy). (Εικ. 5) 
Διανυσματικές προβολές έναστους άξονες Ox και Oy του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. (Εικ. 6) 
Προκειμένου να αποφευχθούν λάθη κατά τον προσδιορισμό του πρόσημου της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα, είναι χρήσιμο να θυμάστε τον ακόλουθο κανόνα: εάν η κατεύθυνση της συνιστώσας συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος σε αυτόν Ο άξονας είναι θετικός, αλλά αν η κατεύθυνση της συνιστώσας είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος είναι αρνητική. (Εικ. 7) 
Η αφαίρεση διανυσμάτων είναι μια προσθήκη κατά την οποία προστίθεται ένα διάνυσμα στο πρώτο διάνυσμα, αριθμητικά ίσο με το δεύτερο, προς την αντίθετη κατεύθυνση
a − b = a + (−b) = d(Εικ. 8). 
Ας είναι απαραίτητο από το διάνυσμα ένααφαιρώ διάνυσμα σι, τη διαφορά τους − ρε. Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ δύο διανυσμάτων, πρέπει να πάτε στο διάνυσμα έναπροσθήκη διανύσματος ( −β), δηλαδή ένα διάνυσμα d = a − bθα είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή του διανύσματος έναμέχρι το τέλος του διανύσματος ( −β) (Εικ. 9). 
Σε ένα παραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα έναΚαι σικαι οι δύο πλευρές, μία διαγώνιος ντοέχει την έννοια του αθροίσματος, και το άλλο ρε− διανυσματικές διαφορές έναΚαι σι(Εικ. 9).
Προϊόν ενός φορέα έναμε βαθμωτό k ισούται με διάνυσμα σι= κ ένα, του οποίου το μέτρο είναι k φορές μεγαλύτερο από το μέτρο του διανύσματος ένα, και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση έναγια θετικό k και το αντίθετο για αρνητικό k.
Παράδειγμα 4.
Προσδιορίστε την ορμή ενός σώματος βάρους 2 kg που κινείται με ταχύτητα 5 m/s. (Εικ. 10) 
Σωματική παρόρμηση σελ= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s και κατευθύνεται προς την ταχύτητα v.
Παράδειγμα 5.
Ένα φορτίο q = −7,5 nC τοποθετείται σε ηλεκτρικό πεδίο με ισχύ E = 400 V/m. Να βρείτε το μέγεθος και την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το φορτίο.
Η δύναμη είναι φά= q μι. Εφόσον το φορτίο είναι αρνητικό, το διάνυσμα δύναμης κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα μι. (Εικ. 11) 
Διαίρεσηδιάνυσμα έναμε βαθμωτό k ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό ένακατά 1/k.
Προϊόν με τελείεςφορείς έναΚαι σιονομάζεται βαθμωτός «c», ίσος με το γινόμενο των συντελεστών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας
(α.β) = (β.α) = γ,
σ = ab.cosα (Εικ. 12) 
Παράδειγμα 6.
Βρείτε το έργο που εκτελείται από μια σταθερή δύναμη F = 20 N, εάν η μετατόπιση S = 7,5 m, και η γωνία α μεταξύ της δύναμης και της μετατόπισης α = 120°.
Το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ισούται, εξ ορισμού, με το κλιμακωτό γινόμενο της δύναμης και της μετατόπισης
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Διάνυσμα έργα τέχνηςφορείς έναΚαι σιονομάζεται διάνυσμα ντο, αριθμητικά ίσο με το γινόμενο των απόλυτων τιμών των διανυσμάτων a και b πολλαπλασιαζόμενο με το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:
c = a × b = ,
σ = ab × sina.
Διάνυσμα ντοκάθετο στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα διανύσματα έναΚαι σι, και η κατεύθυνση του σχετίζεται με την κατεύθυνση των διανυσμάτων έναΚαι σικανόνας δεξιάς βίδας (Εικ. 13). 
Παράδειγμα 7.
Προσδιορίστε τη δύναμη που ασκεί ένας αγωγός μήκους 0,2 m που βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο, του οποίου η επαγωγή είναι 5 Τ, εάν η ένταση ρεύματος στον αγωγό είναι 10 Α και σχηματίζει γωνία α = 30° με την κατεύθυνση του πεδίου.
Ισχύς αμπέρ
dF = I = Idl × B ή F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsina = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Σκεφτείτε την επίλυση προβλημάτων.
1. Πώς κατευθύνονται δύο διανύσματα, των οποίων οι συντελεστές είναι πανομοιότυπα και ίσα με a, αν το μέτρο του αθροίσματος τους είναι ίσο με: α) 0; β) 2α; γ) α? δ) a√(2); ε) a√(3);
Διάλυμα.
α) Δύο διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας σε αντίθετες κατευθύνσεις. Το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι μηδέν. 
β) Δύο διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας προς την ίδια κατεύθυνση. Το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι 2α. 
γ) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 120° μεταξύ τους. Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι α. Το διάνυσμα που προκύπτει βρίσκεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου: 
a 2 + a 2 + 2aacosa = a 2,
cosα = −1/2 και α = 120°.
δ) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 90° μεταξύ τους. Ο συντελεστής του αθροίσματος είναι ίσος με
a 2 + a 2 + 2aacosa = 2a 2,
cosα = 0 και α = 90°. 
ε) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 60° μεταξύ τους. Ο συντελεστής του αθροίσματος είναι ίσος με
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 και α = 60°.
Απάντηση: Η γωνία α μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με: α) 180°; β) 0; γ) 120°; δ) 90°; ε) 60°.
2. Αν a = a 1 + a 2προσανατολισμός των διανυσμάτων, τι μπορεί να ειπωθεί για τον αμοιβαίο προσανατολισμό των διανυσμάτων α 1Και α 2, αν: α) a = a 1 + a 2 ; β) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; γ) a 1 + a 2 = a 1 − a 2;
Διάλυμα.
α) Εάν το άθροισμα των διανυσμάτων βρεθεί ως το άθροισμα των μονάδων αυτών των διανυσμάτων, τότε τα διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μίας ευθείας γραμμής, παράλληλα μεταξύ τους a 1 ||a 2.
β) Αν τα διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία μεταξύ τους, τότε το άθροισμά τους βρίσκεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 και α = 90°.
τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους a 1 ⊥ a 2.
γ) Κατάσταση a 1 + a 2 = a 1 − a 2μπορεί να εκτελεστεί εάν α 2− μηδενικό διάνυσμα, μετά a 1 + a 2 = a 1 .
Απαντήσεις. ΕΝΑ) a 1 ||a 2; σι) a 1 ⊥ a 2; V) α 2− μηδενικό διάνυσμα.
3. Δύο δυνάμεις 1,42 Ν η καθεμία ασκούνται σε ένα σημείο του σώματος υπό γωνία 60° μεταξύ τους. Σε ποια γωνία πρέπει να ασκηθούν δύο δυνάμεις 1,75 N η καθεμία στο ίδιο σημείο του σώματος, ώστε η δράση τους να εξισορροπήσει τη δράση των δύο πρώτων δυνάμεων;
Διάλυμα.
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, δύο δυνάμεις των 1,75 Ν η καθεμία εξισορροπούν δύο δυνάμεις των 1,42 Ν η καθεμία, εάν οι μονάδες των ζευγών δυνάμεων που προκύπτουν είναι ίσες. Προσδιορίζουμε το διάνυσμα που προκύπτει χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο. Για το πρώτο ζεύγος δυνάμεων:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
για το δεύτερο ζεύγος δυνάμεων, αντίστοιχα
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Εξίσωση των αριστερών πλευρών των εξισώσεων
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Ας βρούμε την απαιτούμενη γωνία β μεταξύ των διανυσμάτων
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Μετά από υπολογισμούς,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7°.
Δεύτερη λύση.
Ας εξετάσουμε την προβολή των διανυσμάτων στον άξονα συντεταγμένων OX (Εικ.). 
Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των μερών σε ορθογώνιο τρίγωνο, παίρνουμε
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
όπου
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) και β ≈ 90,7°.
4. Διάνυσμα a = 3i − 4j. Ποια πρέπει να είναι η κλιμακωτή ποσότητα c για το |c ένα| = 7,5?
Διάλυμα.
ντο ένα= γ( 3i − 4j) = 7,5
Διάνυσμα ενότητα έναθα είναι ίσοι
a 2 = 3 2 + 4 2, και a = ±5,
τότε από
c.(±5) = 7,5,
ας το βρούμε
c = ±1,5.
5. Διανύσματα α 1Και α 2βγαίνουν από την αρχή και έχουν καρτεσιανές τελικές συντεταγμένες (6, 0) και (1, 4), αντίστοιχα. Βρείτε το διάνυσμα α 3έτσι ώστε: α) α 1 + α 2 + α 3= 0; σι) α 1 − α 2 + α 3 = 0.
Διάλυμα.
Ας απεικονίσουμε τα διανύσματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Εικ.) 
α) Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Ox είναι
a x = 6 + 1 = 7.
Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Oy είναι
a y = 4 + 0 = 4.
Για να είναι το άθροισμα των διανυσμάτων ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο να ικανοποιείται η συνθήκη
α 1 + α 2 = −α 3.
Διάνυσμα α 3 modulo θα είναι ίσο με το συνολικό διάνυσμα α 1 + α 2, αλλά κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Διάνυσμα τελική συντεταγμένη α 3ισούται με (−7, −4), και το μέτρο
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.
Β) Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Ox είναι ίσο με
a x = 6 − 1 = 5,
και το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Όταν πληρούται η προϋπόθεση
α 1 − α 2 = −α 3,
διάνυσμα α 3θα έχει τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος a x = –5 και a y = −4, και το μέτρο του είναι ίσο με
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.
6. Ένας αγγελιοφόρος περπατά 30 m προς τα βόρεια, 25 m προς τα ανατολικά, 12 m προς τα νότια, και στη συνέχεια παίρνει ένα ασανσέρ σε ύψος 36 m σε ένα κτίριο Ποια είναι η απόσταση που διανύει το L και η μετατόπιση S ?
Διάλυμα.
Ας απεικονίσουμε την κατάσταση που περιγράφεται στο πρόβλημα σε ένα επίπεδο σε αυθαίρετη κλίμακα (Εικ.). 
Τέλος του διανύσματος Ο Ο.Α.έχει συντεταγμένες 25 m στα ανατολικά, 18 m στα βόρεια και 36 επάνω (25; 18; 36). Η απόσταση που διανύει ένα άτομο είναι ίση με
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Το μέγεθος του διανύσματος μετατόπισης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
όπου x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Απάντηση: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Γωνία α μεταξύ δύο διανυσμάτων έναΚαι σιισούται με 60°. Προσδιορίστε το μήκος του διανύσματος c = a + bκαι γωνία β μεταξύ των διανυσμάτων έναΚαι ντο. Τα μεγέθη των διανυσμάτων είναι a = 3,0 και b = 2,0.
Διάλυμα.
Διάνυσμα μήκος, ίσο με το ποσόφορείς έναΚαι σιΑς προσδιορίσουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο (Εικ.). 
σ = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Μετά την αντικατάσταση
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Για να προσδιορίσουμε τη γωνία β, χρησιμοποιούμε το ημιτονικό θεώρημα για το τρίγωνο ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Ταυτόχρονα, πρέπει να το γνωρίζετε
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Επίλυση ενός απλού τριγωνομετρική εξίσωση, φτάνουμε στην έκφραση
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
όθεν,
β = αρκτάνη(bsinα/(a + bcosα)),
β = αρκτάνη (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Ας ελέγξουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2,
όπου
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Και
β = τόξο((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = τόξο ((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Απάντηση: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Λύστε προβλήματα.
8. Για διανύσματα έναΚαι σιόπως ορίζεται στο Παράδειγμα 7, βρείτε το μήκος του διανύσματος d = a − bγωνία γ
μεταξύ έναΚαι ρε.
9. Να βρείτε την προβολή του διανύσματος a = 4,0i + 7,0jσε ευθεία, η διεύθυνση της οποίας κάνει γωνία α = 30° με τον άξονα Ox. Διάνυσμα ένακαι η ευθεία βρίσκεται στο επίπεδο xOy.
10. Διάνυσμα ένακάνει γωνία α = 30° με ευθεία ΑΒ, a = 3,0. Σε ποια γωνία β προς την ευθεία ΑΒ πρέπει να κατευθύνεται το διάνυσμα; σι(b = √(3)) έτσι ώστε το διάνυσμα c = a + bήταν παράλληλη με την ΑΒ; Βρείτε το μήκος του διανύσματος ντο.
11. Δίνονται τρία διανύσματα: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; σ = i + 3j. Βρείτε α) α+β; σι) α+γ; V) (α, β); ΣΟΛ) (α, γ)β − (α, β)γ.
12. Γωνία μεταξύ διανυσμάτων έναΚαι σιισούται με α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Να βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων c = (a, b)a + bΚαι d = 2b − a/2.
13. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα έναΚαι σιείναι κάθετες αν a = (2, 1, −5) και b = (5, −5, 1).
14. Να βρείτε τη γωνία α μεταξύ των διανυσμάτων έναΚαι σι, εάν a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Διάνυσμα ένακάνει γωνία α = 30° με τον άξονα Ox, η προβολή αυτού του διανύσματος στον άξονα Oy είναι ίση με a y = 2,0. Διάνυσμα σικάθετο στο διάνυσμα ένακαι b = 3,0 (βλ. σχήμα). 
Διάνυσμα c = a + b. Να βρείτε: α) προβολές του διανύσματος σιστον άξονα Ox και Oy. β) την τιμή του c και τη γωνία β μεταξύ του διανύσματος ντοκαι ο άξονας Ox? γ) (α, β); δ) (α, γ).
Απαντήσεις:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. α) 5i + j; β) i + 3j − 2k; γ) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. α) b x = −1,5; b y = 2,6; β) c = 5; β ≈ 67°; γ) 0; δ) 16,0.
Με τη μελέτη της φυσικής, έχετε μεγάλες ευκαιρίες να συνεχίσετε την εκπαίδευσή σας σε ένα τεχνικό πανεπιστήμιο. Αυτό θα απαιτήσει μια παράλληλη εμβάθυνση των γνώσεων στα μαθηματικά, τη χημεία, τη γλώσσα και σπανιότερα άλλα μαθήματα. Ο νικητής της Ρεπουμπλικανικής Ολυμπιάδας, Savich Egor, αποφοίτησε από μια από τις σχολές του MIPT, όπου τίθενται μεγάλες απαιτήσεις στη γνώση στη χημεία. Εάν χρειάζεστε βοήθεια στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών στη χημεία, τότε επικοινωνήστε με τους επαγγελματίες που σίγουρα θα λάβετε ειδική και έγκαιρη βοήθεια.
Κατά τη μελέτη διαφόρων κλάδων της φυσικής, της μηχανικής και των τεχνικών επιστημών, υπάρχουν ποσότητες που καθορίζονται πλήρως καθορίζοντας τις αριθμητικές τους τιμές, πιο συγκεκριμένα, οι οποίες καθορίζονται πλήρως χρησιμοποιώντας έναν αριθμό που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της μέτρησής τους από μια ομοιογενή ποσότητα που λαμβάνεται ως μονάδα . Τέτοιες ποσότητες λέγονται βαθμωτόςή, εν ολίγοις, σκαλοπάτια. Τα κλιμακωτά μεγέθη, για παράδειγμα, είναι το μήκος, το εμβαδόν, ο όγκος, ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία του σώματος, η πυκνότητα, το έργο, η ηλεκτρική χωρητικότητα κ.λπ. Δεδομένου ότι μια κλιμακωτή ποσότητα καθορίζεται από έναν αριθμό (θετικό ή αρνητικό), μπορεί να παρουσιαστεί στο αντίστοιχος άξονας συντεταγμένων. Για παράδειγμα, συχνά κατασκευάζονται ο άξονας του χρόνου, της θερμοκρασίας, του μήκους (απόσταση που διανύθηκε) και άλλων.
Εκτός από βαθμωτές ποσότητες, σε διάφορα προβλήματα υπάρχουν ποσότητες για τις οποίες, εκτός από την αριθμητική τους αξία, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και την κατεύθυνσή τους στο χώρο. Τέτοιες ποσότητες λέγονται διάνυσμα. Φυσικά παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών περιλαμβάνουν μετατόπιση υλικό σημείοκινείται στο διάστημα, την ταχύτητα και την επιτάχυνση αυτού του σημείου, καθώς και τη δύναμη που ασκεί σε αυτό, την ισχύ του ηλεκτρικού ή μαγνητικού πεδίου. Οι διανυσματικές ποσότητες χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, στην κλιματολογία. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα από την κλιματολογία. Αν πούμε ότι ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/s, τότε θα εισαγάγουμε μια κλιμακωτή τιμή της ταχύτητας του ανέμου, αλλά αν πούμε ότι ο βόρειος άνεμος φυσά με ταχύτητα 10 m/s, τότε σε αυτό Σε περίπτωση που η ταχύτητα του ανέμου θα είναι ήδη διανυσματική ποσότητα.
Οι διανυσματικές ποσότητες αναπαρίστανται χρησιμοποιώντας διανύσματα.
Για τη γεωμετρική αναπαράσταση διανυσματικών μεγεθών χρησιμοποιούνται κατευθυνόμενα τμήματα, δηλαδή τμήματα που έχουν σταθερή διεύθυνση στο χώρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος του τμήματος είναι ίσο με την αριθμητική τιμή διανυσματική ποσότητα, και η κατεύθυνση του συμπίπτει με την κατεύθυνση της διανυσματικής ποσότητας. Το κατευθυνόμενο τμήμα που χαρακτηρίζει μια δεδομένη διανυσματική ποσότητα ονομάζεται γεωμετρικό διάνυσμαή απλώς ένα διάνυσμα.
Η έννοια του διανύσματος παίζει σημαντικό ρόλο τόσο στα μαθηματικά όσο και σε πολλούς τομείς της φυσικής και της μηχανικής. Πολλά φυσικά μεγέθη μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας διανύσματα και αυτή η αναπαράσταση πολύ συχνά συμβάλλει στη γενίκευση και απλοποίηση των τύπων και των αποτελεσμάτων. Συχνά τα διανυσματικά μεγέθη και τα διανύσματα που τα αντιπροσωπεύουν ταυτίζονται μεταξύ τους: για παράδειγμα, λένε ότι η δύναμη (ή η ταχύτητα) είναι διάνυσμα.
Στοιχεία της διανυσματικής άλγεβρας χρησιμοποιούνται σε κλάδους όπως: 1) ηλεκτρικές μηχανές. 2) αυτοματοποιημένη ηλεκτρική κίνηση. 3) ηλεκτρικός φωτισμός και ακτινοβολία. 4) μη διακλαδισμένα κυκλώματα AC. 5) εφαρμοσμένη μηχανική? 6) θεωρητική μηχανική? 7) φυσική? 8) υδραυλικά: 9) εξαρτήματα μηχανών. 10) αντοχή των υλικών. 11) διαχείριση? 12) χημεία? 13) κινηματική? 14) στατική κ.λπ.
2. Ορισμός διανύσματος.Ένα ευθύγραμμο τμήμα ορίζεται από δύο ίσα σημεία - τα άκρα του. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ένα κατευθυνόμενο τμήμα που ορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων. Είναι γνωστό για αυτά τα σημεία ποιο από αυτά είναι το πρώτο (αρχή) και ποιο το δεύτερο (τέλος).
Ένα κατευθυνόμενο τμήμα νοείται ως ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων, το πρώτο από τα οποία - το σημείο Α - ονομάζεται αρχή του και το δεύτερο - Β - το τέλος του.
Στη συνέχεια κάτω διάνυσμαΣτην απλούστερη περίπτωση, γίνεται κατανοητό το ίδιο το κατευθυνόμενο τμήμα και σε άλλες περιπτώσεις, διαφορετικά διανύσματα είναι διαφορετικές κατηγορίες ισοδυναμίας κατευθυνόμενων τμημάτων, που καθορίζονται από κάποια συγκεκριμένη σχέση ισοδυναμίας. Επιπλέον, η σχέση ισοδυναμίας μπορεί να είναι διαφορετική, καθορίζοντας τον τύπο του διανύσματος («ελεύθερο», «σταθερό» κ.λπ.). Με απλά λόγια, μέσα σε μια κλάση ισοδυναμίας, όλα τα κατευθυνόμενα τμήματα που περιλαμβάνονται σε αυτήν αντιμετωπίζονται ως εντελώς ίσα και το καθένα μπορεί να αντιπροσωπεύει εξίσου ολόκληρη την κλάση.
Τα διανύσματα παίζουν σημαντικό ρόλο στη μελέτη των απειροελάχιστων μετασχηματισμών του χώρου.
Ορισμός 1.Θα ονομάσουμε ένα κατευθυνόμενο τμήμα (ή, το ίδιο, ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων) διάνυσμα. Η κατεύθυνση σε ένα τμήμα συνήθως σημειώνεται με ένα βέλος. Υπερ χαρακτηρισμός γράμματοςόταν γράφετε ένα διάνυσμα, τοποθετείται ένα βέλος, για παράδειγμα: (στην περίπτωση αυτή, το γράμμα που αντιστοιχεί στην αρχή του διανύσματος πρέπει να τοποθετηθεί μπροστά). Στα βιβλία, τα γράμματα που δηλώνουν ένα διάνυσμα πληκτρολογούνται συχνά με έντονους χαρακτήρες, για παράδειγμα: ΕΝΑ.
Ως διανύσματα θα συμπεριλάβουμε επίσης το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα, του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν.
Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή συμπίπτει με το τέλος του ονομάζεται μηδέν. Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται απλώς ως 0.
Η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους ενός διανύσματος ονομάζεται του μήκος(και επίσης μονάδα μέτρησηςκαι απόλυτη τιμή). Το μήκος του διανύσματος συμβολίζεται με | | ή | |. Το μήκος ενός διανύσματος, ή ο συντελεστής ενός διανύσματος, είναι το μήκος του αντίστοιχου κατευθυνόμενου τμήματος: | | = .
Τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες, με λίγα λόγια, αν υπάρχει ευθεία με την οποία είναι παράλληλες.
Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη, εάν υπάρχει ένα επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα, μπορούν να αναπαρασταθούν από διανύσματα που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα, αφού δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση. Το μήκος του, φυσικά, είναι μηδέν. Προφανώς, οποιαδήποτε δύο διανύσματα είναι συνεπίπεδα. αλλά φυσικά δεν είναι κάθε τρία διανύσματα στο χώρο συνεπίπεδα. Δεδομένου ότι τα διανύσματα παράλληλα μεταξύ τους είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο, τα συγγραμμικά διανύσματα είναι ακόμη πιο ομοεπίπεδα. Φυσικά, το αντίστροφο δεν ισχύει: τα συνεπίπεδα διανύσματα μπορεί να μην είναι συγγραμμικά. Δυνάμει της συνθήκης που υιοθετήθηκε παραπάνω, το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα και συνεπίπεδο με οποιοδήποτε ζεύγος διανυσμάτων, δηλ. αν μεταξύ τρία διανύσματατουλάχιστον ένα είναι μηδέν, τότε είναι ομοεπίπεδα.
2) Η λέξη "συνεπίπεδο" ουσιαστικά σημαίνει: "έχω ένα κοινό επίπεδο", δηλ. "βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο". Επειδή όμως εδώ μιλάμε για ελεύθερα διανύσματα που μπορούν να μεταφερθούν (χωρίς να αλλάξουν μήκος και κατεύθυνση) με αυθαίρετο τρόπο, πρέπει να ονομάσουμε διανύσματα παράλληλα στο ίδιο επίπεδο ομοεπίπεδα, γιατί σε αυτή την περίπτωση μπορούν να μεταφερθούν έτσι ώστε να βρίσκονται σε ένα αεροπλάνο.
Για να συντομεύσουμε την ομιλία, ας συμφωνήσουμε σε έναν όρο: αν πολλά ελεύθερα διανύσματα είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο, τότε θα πούμε ότι είναι ομοεπίπεδα. Συγκεκριμένα, δύο διανύσματα είναι πάντα ομοεπίπεδα. για να πειστούμε γι' αυτό, αρκεί να τα αναβάλουμε από το ίδιο σημείο. Είναι σαφές, περαιτέρω, ότι η κατεύθυνση του επιπέδου στο οποίο δύο δεδομένα διανύσματα είναι παράλληλα ορίζεται πλήρως εάν αυτά τα δύο διανύσματα δεν είναι παράλληλα μεταξύ τους. Απλώς θα ονομάσουμε οποιοδήποτε επίπεδο στο οποίο αυτά τα συνεπίπεδα διανύσματα είναι παράλληλα το επίπεδο αυτών των διανυσμάτων.
Ορισμός 2.Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσος, αν είναι συγγραμμικά, έχουν την ίδια κατεύθυνση και έχουν ίσα μήκη.
Πρέπει πάντα να θυμάστε ότι η ισότητα των μηκών δύο διανυσμάτων δεν σημαίνει ότι αυτά τα διανύσματα είναι ίσα.
Με την ίδια την έννοια του ορισμού, δύο διανύσματα που είναι χωριστά ίσα με το τρίτο είναι ίσα μεταξύ τους. Προφανώς, όλα τα μηδενικά διανύσματα είναι ίσα μεταξύ τους.
Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει αμέσως ότι επιλέγοντας οποιοδήποτε σημείο Α", μπορούμε να κατασκευάσουμε (και, επιπλέον, μόνο ένα) διάνυσμα Α" Β", ίσο με κάποιο δεδομένο διάνυσμα, ή, όπως λένε, μετακινήστε το διάνυσμα στο σημείο Α."
Σχόλιο. Για τα διανύσματα δεν υπάρχουν έννοιες «περισσότερο» ή «λιγότερο», δηλ. είναι ίσοι ή όχι ίσοι.
Ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με ένα ονομάζεται μονόκλινοδιάνυσμα και συμβολίζεται με e. Ένα μοναδιαίο διάνυσμα του οποίου η διεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος α ortomδιάνυσμα και συμβολίζεται α.
3. Σχετικά με έναν άλλο ορισμό ενός διανύσματος. Σημειώστε ότι η έννοια της ισότητας των διανυσμάτων διαφέρει σημαντικά από την έννοια της ισότητας, για παράδειγμα, των αριθμών. Κάθε αριθμός είναι ίσος μόνο με τον εαυτό του, με άλλα λόγια, δύο ίσοι αριθμοίυπό οποιεσδήποτε συνθήκες μπορεί να θεωρηθεί ως ο ίδιος αριθμός. Με τα διανύσματα, όπως βλέπουμε, η κατάσταση είναι διαφορετική: εξ ορισμού, υπάρχουν διαφορετικά αλλά ίσα διανύσματα. Αν και στις περισσότερες περιπτώσεις δεν θα χρειαστεί να διακρίνουμε μεταξύ τους, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι κάποια στιγμή θα μας ενδιαφέρει το διάνυσμα , και όχι ένα άλλο, ίσο διάνυσμα A "B".
Προκειμένου να απλοποιηθεί η έννοια της ισότητας των διανυσμάτων (και να αφαιρεθούν ορισμένες από τις δυσκολίες που σχετίζονται με αυτήν), μερικές φορές περιπλέκουν τον ορισμό ενός διανύσματος. Δεν θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον περίπλοκο ορισμό, αλλά θα τον διατυπώσουμε. Για να αποφευχθεί η σύγχυση, θα γράψουμε «Διάνυσμα» (με κεφαλαίο γράμμα) για να δηλώσουμε την έννοια που ορίζεται παρακάτω.
Ορισμός 3. Ας δοθεί ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Το σύνολο όλων των κατευθυνόμενων τμημάτων ίσο με ένα δεδομένο με την έννοια του Ορισμού 2 ονομάζεται Διάνυσμα.
Έτσι, κάθε κατευθυνόμενο τμήμα ορίζει ένα Διάνυσμα. Είναι εύκολο να δούμε ότι δύο κατευθυνόμενα τμήματα ορίζουν το ίδιο Διάνυσμα αν και μόνο αν είναι ίσα. Για τα Διανύσματα, όπως και για τους αριθμούς, η ισότητα σημαίνει σύμπτωση: δύο Διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν είναι το ίδιο Διάνυσμα.
Με την παράλληλη μεταφορά του χώρου, ένα σημείο και η εικόνα του σχηματίζουν ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων και ορίζουν ένα κατευθυνόμενο τμήμα, και όλα αυτά τα κατευθυνόμενα τμήματα είναι ίσα με την έννοια του ορισμού 2. Επομένως, η παράλληλη μεταφορά χώρου μπορεί να ταυτιστεί με ένα διάνυσμα που αποτελείται όλων αυτών των κατευθυνόμενων τμημάτων.
Είναι πολύ γνωστό από το αρχικό μάθημα της φυσικής ότι μια δύναμη μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Αλλά δεν μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα Διάνυσμα, αφού δυνάμεις, που αντιπροσωπεύονται από ίσα κατευθυνόμενα τμήματα, παράγουν, γενικά, διαφορετικές ενέργειες. (Εάν μια δύναμη ασκεί σε ένα ελαστικό σώμα, τότε το κατευθυνόμενο τμήμα που το αντιπροσωπεύει δεν μπορεί να μεταφερθεί ακόμη και κατά μήκος της ευθείας στην οποία βρίσκεται.)
Αυτός είναι μόνο ένας από τους λόγους για τους οποίους, μαζί με τα Vectors, δηλαδή σύνολα (ή, όπως λένε, κλάσεις) ίσων κατευθυνόμενων τμημάτων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη μεμονωμένοι εκπρόσωποι αυτών των κλάσεων. Υπό αυτές τις συνθήκες, η εφαρμογή του Ορισμού 3 γίνεται πιο δύσκολη ένας μεγάλος αριθμόςκρατήσεις Θα τηρήσουμε τον Ορισμό 1, και σύμφωνα με γενική αίσθησηθα είναι πάντα ξεκάθαρο αν μιλάμε για ένα καλά καθορισμένο διάνυσμα ή αν μπορεί να αντικατασταθεί στη θέση του οποιοσδήποτε ίσος με αυτόν.
Σε σχέση με τον ορισμό ενός διανύσματος, αξίζει να εξηγήσουμε τη σημασία ορισμένων λέξεων που βρίσκονται στη βιβλιογραφία.
Βαθμωτές και διανυσματικές ποσότητες
- Διανυσματικός λογισμός (για παράδειγμα, μετατόπιση (s), δύναμη (F), επιτάχυνση (a), ταχύτητα (V) ενέργεια (E)).
κλιμακωτές ποσότητες που καθορίζονται πλήρως καθορίζοντας τις αριθμητικές τους τιμές (μήκος (L), εμβαδόν (S), όγκος (V), χρόνος (t), μάζα (m), κ.λπ.)
- Κλιμωτά μεγέθη: θερμοκρασία, όγκος, πυκνότητα, ηλεκτρικό δυναμικό, δυναμική ενέργεια ενός σώματος (για παράδειγμα, σε ένα πεδίο βαρύτητας). Επίσης το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος (για παράδειγμα, αυτά που αναφέρονται παρακάτω).
Διανυσματικά μεγέθη: διάνυσμα ακτίνας, ταχύτητα, επιτάχυνση, ένταση ηλεκτρικού πεδίου, ένταση μαγνητικού πεδίου. Και πολλοί άλλοι :)
- ένα διανυσματικό μέγεθος έχει μια αριθμητική έκφραση και κατεύθυνση: ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη, ηλεκτρομαγνητική επαγωγή, μετατόπιση, κ.λπ., και ένα βαθμωτό μέγεθος έχει μόνο μια αριθμητική έκφραση: όγκος, πυκνότητα, μήκος, πλάτος, ύψος, μάζα (δεν πρέπει να συγχέεται με βάρος), θερμοκρασία
- διάνυσμα, για παράδειγμα, ταχύτητα (v), δύναμη (F), μετατόπιση (s), ώθηση (p), ενέργεια (Ε). Πάνω από καθένα από αυτά τα γράμματα τοποθετείται ένα βέλος-διάνυσμα. γι' αυτό είναι διανυσματικά. και οι κλιμακωτές είναι μάζα (m), όγκος (V), εμβαδόν (S), χρόνος (t), ύψος (h)
- Οι διανυσματικές κινήσεις είναι γραμμικές, εφαπτομενικές κινήσεις.
Οι βαθμωτές κινήσεις είναι κλειστές κινήσεις που προβάλλουν διανυσματικές κινήσεις.
Οι διανυσματικές κινήσεις μεταδίδονται μέσω βαθμωτών, όπως μέσω ενδιάμεσων, όπως το ρεύμα μεταδίδεται από άτομο σε άτομο μέσω ενός αγωγού. - Κλιμωτά μεγέθη: θερμοκρασία, όγκος, πυκνότητα, ηλεκτρικό δυναμικό, δυναμική ενέργεια ενός σώματος (για παράδειγμα, σε ένα πεδίο βαρύτητας). Επίσης το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος (για παράδειγμα, αυτά που αναφέρονται παρακάτω).
Διανυσματικά μεγέθη: διάνυσμα ακτίνας, ταχύτητα, επιτάχυνση, ένταση ηλεκτρικού πεδίου, ένταση μαγνητικού πεδίου. Και πολλά άλλα: -
- Μια κλιμακωτή ποσότητα (κλιμακωτή) είναι μια φυσική ποσότητα που έχει μόνο ένα χαρακτηριστικό: μια αριθμητική τιμή.
Μια κλιμακωτή ποσότητα μπορεί να είναι θετική ή αρνητική.
Παραδείγματα βαθμωτών μεγεθών: μάζα, θερμοκρασία, διαδρομή, εργασία, χρόνος, περίοδος, συχνότητα, πυκνότητα, ενέργεια, όγκος, ηλεκτρική χωρητικότητα, τάση, ρεύμα κ.λπ.
Οι μαθηματικές πράξεις με βαθμωτές ποσότητες είναι αλγεβρικές πράξεις.
Διανυσματική ποσότητα
Ένα διανυσματικό μέγεθος (διάνυσμα) είναι ένα φυσικό μέγεθος που έχει δύο χαρακτηριστικά: ενότητα και κατεύθυνση στο χώρο.
Παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών: ταχύτητα, δύναμη, επιτάχυνση, τάση κ.λπ.
Γεωμετρικά, ένα διάνυσμα απεικονίζεται ως κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας γραμμής, το μήκος του οποίου κλιμακώνεται στο μέτρο του διανύσματος.
Διανυσματική ποσότητα (διάνυσμα)είναι ένα φυσικό μέγεθος που έχει δύο χαρακτηριστικά - μέτρο και κατεύθυνση στο χώρο.
Παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών: ταχύτητα (), δύναμη (), επιτάχυνση (), κ.λπ.
Γεωμετρικά, ένα διάνυσμα απεικονίζεται ως κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας γραμμής, το μήκος της οποίας σε μια κλίμακα είναι η απόλυτη τιμή του διανύσματος.
Διάνυσμα ακτίνας(συνήθως συμβολίζεται ή απλά) - ένα διάνυσμα που καθορίζει τη θέση ενός σημείου στο χώρο σε σχέση με κάποιο προκαθορισμένο σημείο, που ονομάζεται αρχή.
Για ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο, το διάνυσμα ακτίνας είναι το διάνυσμα που πηγαίνει από την αρχή σε αυτό το σημείο.
Το μήκος του διανύσματος ακτίνας, ή ο συντελεστής του, καθορίζει την απόσταση στην οποία βρίσκεται το σημείο από την αρχή και το βέλος δείχνει την κατεύθυνση προς αυτό το σημείο του χώρου.
Σε ένα επίπεδο, η γωνία του διανύσματος ακτίνας είναι η γωνία κατά την οποία το διάνυσμα ακτίνας περιστρέφεται σε σχέση με τον άξονα x αριστερόστροφα.
η ευθεία κατά την οποία κινείται ένα σώμα ονομάζεται τροχιά κίνησης.Ανάλογα με το σχήμα της τροχιάς, όλες οι κινήσεις μπορούν να χωριστούν σε ευθύγραμμες και καμπυλόγραμμες.
Η περιγραφή της κίνησης ξεκινά με μια απάντηση στο ερώτημα: πώς έχει αλλάξει η θέση του σώματος στο χώρο σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο; Πώς προσδιορίζεται μια αλλαγή στη θέση ενός σώματος στο χώρο;
Κίνηση- ένα κατευθυνόμενο τμήμα (διάνυσμα) που συνδέει την αρχική και την τελική θέση του σώματος.
Ταχύτητα(συχνά υποδηλώνεται, από τα αγγλικά. ταχύτηταή φρ. vitesse) είναι ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει την ταχύτητα κίνησης και την κατεύθυνση κίνησης ενός υλικού σημείου στο χώρο σε σχέση με το επιλεγμένο σύστημα αναφοράς (για παράδειγμα, γωνιακή ταχύτητα). Η ίδια λέξη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναφερθεί σε μια κλιμακωτή ποσότητα, ή ακριβέστερα, το μέτρο της παραγώγου του διανύσματος ακτίνας.
Η επιστήμη χρησιμοποιεί επίσης την ταχύτητα με ευρεία έννοια, ως ταχύτητα μεταβολής κάποιας ποσότητας (όχι απαραίτητα του διανύσματος ακτίνας) ανάλογα με μια άλλη (συνήθως αλλάζει στο χρόνο, αλλά και στο χώρο ή οποιοδήποτε άλλο). Για παράδειγμα, μιλούν για τον ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας, τον ρυθμό χημική αντίδραση, ταχύτητα ομάδας, ταχύτητα σύνδεσης, γωνιακή ταχύτητα κ.λπ. Χαρακτηρίζεται μαθηματικά από την παράγωγο της συνάρτησης.
Επιτάχυνση(συνήθως υποδηλώνεται στη θεωρητική μηχανική), η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι μια διανυσματική ποσότητα που δείχνει πόσο αλλάζει το διάνυσμα ταχύτητας ενός σημείου (σώματος) καθώς κινείται ανά μονάδα χρόνου (δηλαδή η επιτάχυνση λαμβάνει υπόψη όχι μόνο την αλλαγή στο το μέγεθος της ταχύτητας, αλλά και την κατεύθυνσή της).
Για παράδειγμα, κοντά στη Γη, ένα σώμα που πέφτει στη Γη, στην περίπτωση που η αντίσταση του αέρα μπορεί να παραμεληθεί, αυξάνει την ταχύτητά του κατά περίπου 9,8 m/s κάθε δευτερόλεπτο, δηλαδή η επιτάχυνσή του είναι ίση με 9,8 m/s².
Ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την κίνηση στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, την καταγραφή της, καθώς και την καταγραφή ταχυτήτων και επιταχύνσεων σε διάφορα συστήματα αναφοράς, ονομάζεται κινηματική.
Η μονάδα επιτάχυνσης είναι μέτρα ανά δευτερόλεπτο ανά δευτερόλεπτο ( m/s 2, m/s 2), υπάρχει επίσης μια μονάδα μη συστήματος Gal (Gal), που χρησιμοποιείται στη βαρυμετρία και ίση με 1 cm/s 2.
Παράγωγος επιτάχυνσης ως προς το χρόνο δηλ. η ποσότητα που χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της επιτάχυνσης με την πάροδο του χρόνου ονομάζεται τράνταγμα.
Η απλούστερη κίνηση ενός σώματος είναι αυτή κατά την οποία όλα τα σημεία του σώματος κινούνται εξίσου, περιγράφοντας τις ίδιες τροχιές. Αυτή η κίνηση ονομάζεται προοδευτικός. Λαμβάνουμε αυτό το είδος κίνησης μετακινώντας το θραύσμα έτσι ώστε να παραμένει παράλληλο στον εαυτό του ανά πάσα στιγμή. Κατά τη διάρκεια της κίνησης προς τα εμπρός, οι τροχιές μπορεί να είναι είτε ευθείες (Εικ. 7, α) είτε καμπύλες (Εικ. 7, β) γραμμές.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι κατά τη μεταφορική κίνηση, κάθε ευθεία γραμμή που χαράσσεται στο σώμα παραμένει παράλληλη με τον εαυτό της. Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε αυτό το χαρακτηριστικό γνώρισμα για να απαντήσετε στο ερώτημα εάν μια δεδομένη κίνηση του σώματος είναι μεταφορική. Για παράδειγμα, όταν ένας κύλινδρος κυλά κατά μήκος ενός επιπέδου, οι ευθείες γραμμές που τέμνουν τον άξονα δεν παραμένουν παράλληλες μεταξύ τους: η κύλιση δεν είναι μεταφορική κίνηση. Όταν η εγκάρσια ράβδος και το τετράγωνο κινούνται κατά μήκος του πίνακα σχεδίασης, οποιαδήποτε ευθεία γραμμή που χαράσσεται σε αυτά παραμένει παράλληλη με τον εαυτό της, πράγμα που σημαίνει ότι κινούνται προς τα εμπρός (Εικ. 8). Η βελόνα μιας ραπτομηχανής, το έμβολο στον κύλινδρο μιας ατμομηχανής ή μηχανής κινούνται προοδευτικά εσωτερικής καύσης, αμάξωμα αυτοκινήτου (αλλά όχι τροχούς!) όταν οδηγείτε σε ευθύ δρόμο κ.λπ.
Ένας άλλος απλός τύπος κίνησης είναι περιστροφική κίνησησώμα ή περιστροφή. Κατά τη διάρκεια της περιστροφικής κίνησης, όλα τα σημεία του σώματος κινούνται σε κύκλους των οποίων τα κέντρα βρίσκονται σε ευθεία γραμμή. Αυτή η ευθεία ονομάζεται άξονας περιστροφής (ευθεία γραμμή 00" στο Σχ. 9). Οι κύκλοι βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής. Τα σημεία του σώματος που βρίσκονται στον άξονα περιστροφής παραμένουν ακίνητα. Η περιστροφή δεν είναι μια μεταφορική κίνηση: όταν ο άξονας περιστρέφεται OO" . Οι τροχιές που φαίνονται παραμένουν παράλληλες μόνο ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον άξονα περιστροφής.
Απόλυτα συμπαγές σώμα- το δεύτερο υποστηρικτικό αντικείμενο της μηχανικής μαζί με το υλικό σημείο.
Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί:
1. Ένα απολύτως άκαμπτο σώμα είναι μια πρότυπη έννοια της κλασικής μηχανικής, που δηλώνει ένα σύνολο υλικών σημείων, οι αποστάσεις μεταξύ των οποίων διατηρούνται κατά τη διάρκεια οποιωνδήποτε κινήσεων εκτελούνται από αυτό το σώμα. Με άλλα λόγια, ένα απολύτως συμπαγές σώμα όχι μόνο δεν αλλάζει το σχήμα του, αλλά διατηρεί και την κατανομή της μάζας στο εσωτερικό του αναλλοίωτη.
2. Ένα απολύτως άκαμπτο σώμα είναι ένα μηχανικό σύστημα που έχει μόνο μεταφορικούς και περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας. «Σκληρότητα» σημαίνει ότι το σώμα δεν μπορεί να παραμορφωθεί, δηλαδή δεν μπορεί να μεταφερθεί άλλη ενέργεια στο σώμα εκτός από την κινητική ενέργεια της μεταφορικής ή περιστροφικής κίνησης.
3. Απολύτως στερεός- ένα σώμα (σύστημα), η σχετική θέση οποιωνδήποτε σημείων του δεν αλλάζει, ανεξάρτητα από τις διεργασίες στις οποίες συμμετέχει.
Στον τρισδιάστατο χώρο και ελλείψει συνδέσεων, ένα απολύτως άκαμπτο σώμα έχει 6 βαθμούς ελευθερίας: τρεις μεταφορικούς και τρεις περιστροφικούς. Η εξαίρεση είναι ένα διατομικό μόριο ή, στη γλώσσα της κλασικής μηχανικής, μια συμπαγής ράβδος μηδενικού πάχους. Ένα τέτοιο σύστημα έχει μόνο δύο περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας.
Τέλος εργασίας -
Αυτό το θέμα ανήκει στην ενότητα:
Μια αναπόδεικτη και αναντίρρητη υπόθεση ονομάζεται ανοιχτό πρόβλημα.
Η φυσική είναι στενά συνδεδεμένη με τα μαθηματικά, τα μαθηματικά παρέχουν μια συσκευή με τη βοήθεια της οποίας μπορούν να διατυπωθούν επακριβώς οι φυσικοί νόμοι.
Εάν χρειάζεστε πρόσθετο υλικόσχετικά με αυτό το θέμα, ή δεν βρήκατε αυτό που ψάχνατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:
Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:
Εάν αυτό το υλικό σας ήταν χρήσιμο, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:
| Τιτίβισμα |
Όλα τα θέματα σε αυτήν την ενότητα:
Η αρχή της σχετικότητας στη μηχανική
Αδρανειακά συστήματα αναφοράς και η αρχή της σχετικότητας.
Οι μεταμορφώσεις του Γαλιλαίου. Αναλλοίωτα μετασχηματισμού. Απόλυτες και σχετικές ταχύτητες και επιταχύνσεις. Αξιώματα ειδικής τεχνολογίας
Περιστροφική κίνηση υλικού σημείου.
Η περιστροφική κίνηση ενός υλικού σημείου είναι η κίνηση ενός υλικού σημείου σε έναν κύκλο.
Η περιστροφική κίνηση είναι ένας τύπος μηχανικής κίνησης. Στο
Σχέση μεταξύ των διανυσμάτων γραμμικών και γωνιακών ταχυτήτων, γραμμικών και γωνιακών επιταχύνσεων.
Μέτρο περιστροφικής κίνησης: η γωνία φ μέσω της οποίας το διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου περιστρέφεται σε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα περιστροφής. Ομοιόμορφη περιστροφική κίνησηΤαχύτητα και επιτάχυνση κατά την καμπύλη κίνηση.
Καμπυλόγραμμη κίνηση περισσότερο
σύνθετη εμφάνιση κίνηση από μια ευθύγραμμη, αφού ακόμα κι αν η κίνηση γίνει σε επίπεδο, αλλάζουν δύο συντεταγμένες που χαρακτηρίζουν τη θέση του σώματος. Ταχύτητα καιΕπιτάχυνση κατά την καμπύλη κίνηση.
Αναλογώς
καμπυλόγραμμη κίνηση
σώμα, βλέπουμε ότι η ταχύτητά του είναι διαφορετική σε διαφορετικές στιγμές. Ακόμη και στην περίπτωση που το μέγεθος της ταχύτητας δεν αλλάζει, εξακολουθεί να υπάρχει αλλαγή στην κατεύθυνση της ταχύτητας
Η εξίσωση κίνησης του Νεύτωνα (1) όπου η δύναμη F στη γενική περίπτωσηΚέντρο μάζας
κέντρο αδράνειας,
γεωμετρικό σημείο
, η θέση του οποίου χαρακτηρίζει την κατανομή των μαζών σε ένα σώμα ή μηχανικό σύστημα. Οι συντεταγμένες της κεντρικής μάζας καθορίζονται από τους τύπους
Νόμος κίνησης του κέντρου μάζας.
Χρησιμοποιώντας τον νόμο της μεταβολής της ορμής, λαμβάνουμε τον νόμο της κίνησης του κέντρου μάζας: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται με τον ίδιο τρόπο όπως
Λυγίστε λίγο τη χαλύβδινη πλάκα (για παράδειγμα, ένα σιδηροπρίονο) και στη συνέχεια αφήστε την μετά από λίγο. Θα δούμε ότι το σιδηροπρίονο θα επαναφέρει πλήρως (τουλάχιστον με την πρώτη ματιά) το σχήμα του. Αν πάρουμε
ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ
. Στη μηχανική εξωτερικές δυνάμειςσε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα υλικών σημείων (δηλαδή, ένα τέτοιο σύνολο υλικών σημείων στα οποία η κίνηση κάθε σημείου εξαρτάται από τις θέσεις ή τις κινήσεις όλων των αξόνων
Κινητική ενέργεια
την ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος, ανάλογα με την ταχύτητα κίνησης των σημείων του. Κ. ε. Το T ενός υλικού σημείου μετριέται με το μισό γινόμενο της μάζας m αυτού του σημείου με το τετράγωνο της ταχύτητάς του
Κινητική ενέργεια.
Η κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια ενός κινούμενου σώματος (Από την ελληνική λέξη kinema - κίνηση). Εξ ορισμού, η κινητική ενέργεια ενός πράγματος σε ηρεμία σε ένα δεδομένο πλαίσιο αναφοράς
Τιμή ίση με το μισό γινόμενο της μάζας ενός σώματος και το τετράγωνο της ταχύτητάς του.
=J.
Η κινητική ενέργεια είναι σχετική ποσότητα, ανάλογα με την επιλογή του CO, γιατί η ταχύτητα του σώματος εξαρτάται από την επιλογή του CO.
Οτι.
στιγμή της δύναμης
· Στιγμή δύναμης. Ρύζι. Στιγμή δύναμης. Ρύζι. Ροπή δύναμης, ποσότητες
Κινητική ενέργεια περιστρεφόμενου σώματος
Η κινητική ενέργεια είναι μια αθροιστική ποσότητα. Επομένως, η κινητική ενέργεια ενός σώματος που κινείται με αυθαίρετο τρόπο είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των n υλικών
Εργασία και ισχύς κατά την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος.
Εργασία και ισχύς κατά την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος.
Ας βρούμε μια έκφραση για εργασία σε θερμοκρασία Βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησηςΣύμφωνα με την εξίσωση (5.8), ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση P
Στα μαθηματικά, ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα ενός συγκεκριμένου μήκους. Στη φυσική, μια διανυσματική ποσότητα νοείται ως
πλήρης περιγραφή
κάποιο φυσικό μέγεθος που έχει μέτρο και κατεύθυνση δράσης. Ας εξετάσουμε τις βασικές ιδιότητες των διανυσμάτων, καθώς και παραδείγματα φυσικών μεγεθών που είναι διανυσματικά. Κλιμακωτά και διανύσματα, ως επιτάχυνση, δεν θα είναι αρκετό να πούμε ότι ισούται με 5 m/s 2, αφού πρέπει να ξέρετε πού κατευθύνεται, ενάντια στην ταχύτητα του σώματος, σε κάποια γωνία ως προς αυτή την ταχύτητα ή αλλιώς. Εκτός από την επιτάχυνση, ένα παράδειγμα διανυσματικής ποσότητας στη φυσική είναι η ταχύτητα. Σε αυτή την κατηγορία περιλαμβάνονται επίσης η δύναμη, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και πολλά άλλα.
Σύμφωνα με τον ορισμό μιας διανυσματικής ποσότητας ως τμήματος που κατευθύνεται στο χώρο, μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο αριθμών (διανυσματικά συστατικά) εάν ληφθεί υπόψη σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Τις περισσότερες φορές στη φυσική και στα μαθηματικά προκύπτουν προβλήματα που, για να περιγράψουμε ένα διάνυσμα, απαιτούν γνώση των δύο (προβλήματα σε επίπεδο) ή τριών (προβλήματα στο διάστημα) συνιστωσών του.
Ορισμός διανύσματος σε ν-διάστατο χώρο
Σε n-διάστατο χώρο, όπου το n είναι ακέραιος, ένα διάνυσμα θα καθοριστεί μοναδικά εάν τα n συστατικά του είναι γνωστά. Κάθε συνιστώσα αντιπροσωπεύει τη συντεταγμένη του τέλους του διανύσματος κατά μήκος του αντίστοιχου άξονα συντεταγμένων, με την προϋπόθεση ότι η αρχή του διανύσματος βρίσκεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων του n-διάστατου χώρου. Ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), όπου ένα 1 - κλιμακωτή τιμή 1η συνιστώσα του διανύσματος v. Αντίστοιχα, στον τρισδιάστατο χώρο το διάνυσμα θα γραφτεί ως v = (a 1, a 2, a 3), και στον 2-διάστατο χώρο - v = (a 1, a 2).
Πώς συμβολίζεται μια διανυσματική ποσότητα; Οποιοδήποτε διάνυσμα σε μονοδιάστατους, 2-διάστατους και τρισδιάστατους χώρους μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα κατευθυνόμενο τμήμα που βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Β. Στην περίπτωση αυτή, συμβολίζεται ως AB →, όπου το βέλος δείχνει ότι μιλάμε για διανυσματική ποσότητα. Η ακολουθία των γραμμάτων συνήθως υποδεικνύεται από την αρχή του διανύσματος μέχρι το τέλος του. Αυτό σημαίνει ότι αν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β, για παράδειγμα, στον τρισδιάστατο χώρο, είναι ίσες με (x 1, y 1, z 1) και (x 2, y 2, z 2), αντίστοιχα, τότε το συστατικά του διανύσματος ΑΒ → θα είναι ίσα (x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1).
Γραφική αναπαράσταση του διανύσματος
Στα σχέδια, συνηθίζεται να απεικονίζεται μια διανυσματική ποσότητα ως τμήμα, στο τέλος της υπάρχει ένα βέλος που υποδεικνύει την κατεύθυνση δράσης της φυσικής ποσότητας της οποίας είναι μια αναπαράσταση. Αυτό το τμήμα συνήθως υπογράφεται, για παράδειγμα, v → ή F →, έτσι ώστε να είναι σαφές για ποιο χαρακτηριστικό μιλάμε.
Μια γραφική αναπαράσταση ενός διανύσματος βοηθά να κατανοήσουμε πού εφαρμόζεται το φυσικό μέγεθος και προς ποια κατεύθυνση δρα. Επιπλέον, είναι βολικό να εκτελούνται πολλές μαθηματικές πράξεις σε διανύσματα χρησιμοποιώντας τις εικόνες τους.
Μαθηματικές πράξεις σε διανύσματα
Οι διανυσματικές ποσότητες, όπως και οι κανονικοί αριθμοί, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους και με άλλους αριθμούς.
Το άθροισμα δύο διανυσμάτων νοείται ως το τρίτο διάνυσμα, το οποίο προκύπτει εάν οι αθροιστικές παράμετροι είναι διατεταγμένες έτσι ώστε το τέλος του πρώτου να συμπίπτει με την αρχή του δεύτερου διανύσματος και στη συνέχεια συνδέσουν την αρχή του πρώτου με το τέλος του δεύτερος. Για την εκτέλεση αυτής της μαθηματικής πράξης, έχουν αναπτυχθεί τρεις κύριες μέθοδοι:
- Η μέθοδος του παραλληλογράμμου αποτελείται από την κατασκευή γεωμετρικό σχήμασε δύο διανύσματα που προέρχονται από το ίδιο σημείο του χώρου. Η διαγώνιος αυτού του παραλληλογράμμου, που εκτείνεται από το κοινό σημείο προέλευσης των διανυσμάτων, θα είναι το άθροισμά τους.
- Η μέθοδος πολυγώνου, η ουσία της οποίας είναι ότι η αρχή κάθε επόμενου διανύσματος πρέπει να βρίσκεται στο τέλος του προηγούμενου, τότε το συνολικό διάνυσμα θα συνδέσει την αρχή του πρώτου και το τέλος του τελευταίου.
- Μια αναλυτική μέθοδος που αποτελείται από κατά ζεύγη προσθήκη των αντίστοιχων συστατικών γνωστών διανυσμάτων.
Όσον αφορά τη διαφορά στα διανυσματικά μεγέθη, μπορεί να αντικατασταθεί προσθέτοντας την πρώτη παράμετρο με αυτήν που είναι αντίθετη στην κατεύθυνση της δεύτερης.
Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν ορισμένο αριθμό Α γίνεται με απλός κανόνας: Κάθε συστατικό του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό. Το αποτέλεσμα είναι επίσης ένα διάνυσμα του οποίου το μέτρο είναι Α φορές μεγαλύτερο από το αρχικό και η κατεύθυνση είναι είτε ίδια είτε αντίθετη από την αρχική, όλα εξαρτώνται από το πρόσημο του αριθμού Α.
Δεν μπορείτε να διαιρέσετε ένα διάνυσμα ή έναν αριθμό με αυτό, αλλά η διαίρεση ενός διανύσματος με τον αριθμό Α είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό με τον αριθμό 1/A.
Τελεία και σταυρό γινόμενο
Ο πολλαπλασιασμός διανυσμάτων μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας δύο με διάφορους τρόπους: βαθμωτό και διανυσματικό.
Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσματικών μεγεθών είναι μια μέθοδος πολλαπλασιασμού τους, το αποτέλεσμα της οποίας είναι ένας αριθμός, δηλαδή ένας βαθμωτός. ΣΕ μορφή μήτρας προϊόν με κουκκίδεςγράφεται ως η συνιστώσα σειράς του 1ου διανύσματος προς τη συνιστώσα στήλης του 2ου. Ως αποτέλεσμα, στον n-διάστατο χώρο παίρνουμε τον τύπο: (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .
Στον τρισδιάστατο χώρο, το προϊόν κουκίδων μπορεί να οριστεί διαφορετικά. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τις μονάδες των αντίστοιχων διανυσμάτων με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, δηλαδή (A → *B →) = |A → |*|B → |*cos(θ AB). Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι εάν τα διανύσματα κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με τον πολλαπλασιασμό των μονάδων τους και εάν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, τότε αποδεικνύεται μηδέν. Σημειώστε ότι το μέτρο συντελεστή ενός διανύσματος σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ορίζεται ως τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των συστατικών αυτού του διανύσματος.
Το διανυσματικό γινόμενο νοείται ως ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα διάνυσμα, το αποτέλεσμα του οποίου είναι επίσης ένα διάνυσμα. Η κατεύθυνσή του αποδεικνύεται κάθετη σε καθεμία από τις πολλαπλασιασμένες παραμέτρους και το μήκος είναι ίσο με το γινόμενο των συντελεστών των διανυσμάτων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας, δηλαδή A → x B → = |A → | *|B → |*sin(θ AB), όπου το πρόσημο "x" υποδηλώνει το διανυσματικό γινόμενο. Σε μορφή πίνακα, αυτός ο τύπος προϊόντος αναπαρίσταται ως ορίζουσα, οι σειρές του οποίου είναι τα στοιχειώδη διανύσματα ενός δεδομένου συστήματος συντεταγμένων και τα συστατικά του κάθε διανύσματος.
Τόσο βαθμωτό όσο και διανυσματικά έργα τέχνηςχρησιμοποιείται στα μαθηματικά και τη φυσική για τον προσδιορισμό πολλών μεγεθών, για παράδειγμα, το εμβαδόν και τον όγκο των σχημάτων.
Ταχύτητα και επιτάχυνση
Στη φυσική, η ταχύτητα νοείται ως ο ρυθμός μεταβολής στη θέση ενός δεδομένου υλικού σημείου. Η ταχύτητα μετριέται σε μονάδες SI σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο (m/s) και συμβολίζεται με το σύμβολο v → . Η επιτάχυνση αναφέρεται στον ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η ταχύτητα. Η επιτάχυνση μετριέται σε μέτρα ανά τετραγωνικό δευτερόλεπτο (m/s2) και συνήθως συμβολίζεται με το σύμβολο a →. Η τιμή του 1 m/s2 σημαίνει ότι για κάθε δευτερόλεπτο το σώμα αυξάνει την ταχύτητά του κατά 1 m/s.
Η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι διανυσματικά μεγέθη που συμμετέχουν στους τύπους του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα και στη μετατόπιση ενός σώματος ως υλικού σημείου. Η ταχύτητα κατευθύνεται πάντα κατά μήκος της κατεύθυνσης της κίνησης, αλλά η επιτάχυνση μπορεί να κατευθυνθεί με οποιοδήποτε τρόπο σε σχέση με το κινούμενο σώμα.
Φυσική δύναμη ποσότητας
Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό φυσικό μέγεθος που αντανακλά την ένταση της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων. Ονομάζεται με το σύμβολο F → και μετριέται σε Newton (N). Εξ ορισμού, 1 N είναι μια δύναμη ικανή να μεταβάλλει την ταχύτητα ενός σώματος με μάζα 1 kg κατά 1 m/s για κάθε δευτερόλεπτο του χρόνου.
Αυτό το φυσικό μέγεθος χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική, καθώς τα ενεργειακά χαρακτηριστικά των διαδικασιών αλληλεπίδρασης συνδέονται με αυτό. Η φύση της δύναμης μπορεί να είναι πολύ διαφορετική, για παράδειγμα, οι βαρυτικές δυνάμεις των πλανητών, η δύναμη που κάνει ένα αυτοκίνητο να κινείται, οι ελαστικές δυνάμεις των στερεών μέσων, οι ηλεκτρικές δυνάμεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά ηλεκτρικά φορτία, μαγνητικές, πυρηνικές δυνάμεις που καθορίζουν τη σταθερότητα των ατομικών πυρήνων κ.ο.κ.
Διανυσματική πίεση ποσότητας
Μια άλλη ποσότητα που σχετίζεται στενά με την έννοια της δύναμης είναι η πίεση. Στη φυσική, νοείται ως η κανονική προβολή δύναμης στην περιοχή στην οποία δρα. Εφόσον η δύναμη είναι διάνυσμα, τότε, σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με ένα διάνυσμα, η πίεση θα είναι επίσης διανυσματικό μέγεθος: P → = F → /S, όπου S είναι το εμβαδόν. Η πίεση μετριέται σε πασκάλ (Pa), 1 Pa είναι η παράμετρος στην οποία ασκείται κάθετη δύναμη 1 N σε επιφάνεια 1 m2. Με βάση τον ορισμό, το διάνυσμα πίεσης κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα δύναμης.
Στη φυσική, η έννοια της πίεσης χρησιμοποιείται συχνά στη μελέτη φαινομένων σε υγρά και αέρια (για παράδειγμα, ο νόμος του Pascal ή η εξίσωση κατάστασης του ιδανικού αερίου). Η πίεση σχετίζεται στενά με τη θερμοκρασία ενός σώματος, αφού η κινητική ενέργεια των ατόμων και των μορίων, η αναπαράσταση των οποίων είναι η θερμοκρασία, εξηγεί τη φύση της ύπαρξης της ίδιας της πίεσης.
Ένταση ηλεκτρικού πεδίου
Γύρω από κάθε φορτισμένο σώμα υπάρχει ένα ηλεκτρικό πεδίο, το χαρακτηριστικό του οποίου είναι η έντασή του. Αυτή η ένταση ορίζεται ως η δύναμη που ασκείται σε ένα δεδομένο σημείο του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα φορτίο μονάδας που τοποθετείται σε αυτό το σημείο. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου συμβολίζεται με το γράμμα E → και μετριέται σε Newton ανά κουλόμπ (N/C). Το διάνυσμα έντασης κατευθύνεται κατά μήκος της γραμμής ηλεκτρικού πεδίου προς την κατεύθυνσή του εάν το φορτίο είναι θετικό και εναντίον του εάν το φορτίο είναι αρνητικό.
Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται από ένα σημειακό φορτίο μπορεί να προσδιοριστεί σε οποιοδήποτε σημείο χρησιμοποιώντας το νόμο του Coulomb.
Μαγνητική επαγωγή
Το μαγνητικό πεδίο, όπως έδειξαν οι επιστήμονες Maxwell και Faraday τον 19ο αιώνα, σχετίζεται στενά με το ηλεκτρικό πεδίο. Έτσι, ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο και το αντίστροφο. Επομένως, και οι δύο τύποι πεδίων περιγράφονται με όρους ηλεκτρομαγνητικών φυσικών φαινομένων.
Η μαγνητική επαγωγή περιγράφει τις ιδιότητες δύναμης ενός μαγνητικού πεδίου. Είναι η μαγνητική επαγωγή βαθμωτό ή διανυσματικό μέγεθος; Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό γνωρίζοντας ότι προσδιορίζεται μέσω της δύναμης F → που επενεργεί σε ένα φορτίο q, το οποίο πετά με ταχύτητα v → σε ένα μαγνητικό πεδίο, σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: F → = q*|v → x B → |, όπου B → - μαγνητική επαγωγή. Έτσι, απαντώντας στο ερώτημα εάν η μαγνητική επαγωγή είναι βαθμωτό ή διανυσματικό μέγεθος, μπορούμε να πούμε ότι είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από τον βόρειο μαγνητικό πόλο προς το νότο. Το B μετριέται → σε teslas (T).
Καντέλα φυσικής ποσότητας
Ένα άλλο παράδειγμα διανυσματικής ποσότητας είναι το candela, το οποίο εισάγεται στη φυσική ως η φωτεινή ροή, μετρούμενη σε lumens, που διέρχεται από μια επιφάνεια που οριοθετείται από γωνία 1 στεραδίου. Το Candela αντανακλά τη φωτεινότητα του φωτός επειδή δείχνει την πυκνότητα της φωτεινής ροής.