Ορισμός. Πλαϊνή άκρη- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας και η απέναντι πλευρά συμπίπτει με την πλευρά της βάσης (πολύγωνο).
Ορισμός. Πλαϊνά πλευρά- αυτές είναι οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων. Μια πυραμίδα έχει τόσες άκρες όσες και οι γωνίες ενός πολυγώνου.
Ορισμός. Ύψος πυραμίδας- αυτή είναι μια κάθετη χαμηλωμένη από την κορυφή στη βάση της πυραμίδας.
Ορισμός. Απόθεμ- αυτή είναι μια κάθετη προς την πλευρική όψη της πυραμίδας, χαμηλωμένη από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης.
Ορισμός. Διαγώνιο τμήμα- αυτό είναι ένα τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη διαγώνιο της βάσης.
Ορισμός. Σωστή πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, και το ύψος κατεβαίνει στο κέντρο της βάσης.
Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας
Τύπος. Όγκος της πυραμίδαςμέσω του εμβαδού και του ύψους της βάσης:
Ιδιότητες της πυραμίδας
Εάν όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες, τότε μπορεί να σχεδιαστεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας και το κέντρο της βάσης να συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Επίσης, από το κέντρο της βάσης (κύκλος) περνάει μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή.
Αν όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, τότε έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στις ίδιες γωνίες.
Οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες όταν σχηματίζονται με το επίπεδο της βάσης ίσες γωνίεςή αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Αν πλαϊνά πρόσωπαείναι κεκλιμένα προς το επίπεδο της βάσης σε μία γωνία, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της.
Αν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε τα αποθέματα των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
Ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας
1. Η κορυφή της πυραμίδας έχει ίση απόσταση από όλες τις γωνίες της βάσης.
2. Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.
3. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση σε ίσες γωνίες ως προς τη βάση.
4. Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
5. Τα εμβαδά όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
6. Όλες οι όψεις έχουν τις ίδιες δίεδρες (επίπεδες) γωνίες.
7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα. Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των κάθετων που διέρχονται από το μέσο των άκρων.
8. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε μια πυραμίδα. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων που προέρχονται από τη γωνία μεταξύ της άκρης και της βάσης.
9. Αν το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, τότε το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι ίσο με π ή αντίστροφα, μια γωνία είναι ίση με π/n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στη βάση της πυραμίδας.
Η σύνδεση μεταξύ της πυραμίδας και της σφαίρας
Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα όταν στη βάση της πυραμίδας υπάρχει ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται κάθετα από τα μέσα των πλευρικών άκρων της πυραμίδας.
Γύρω από οποιοδήποτε τριγωνικό ή κανονική πυραμίδαμπορείτε πάντα να περιγράψετε τη σφαίρα.
Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται σε ένα σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα είναι το κέντρο της σφαίρας.
Σύνδεση πυραμίδας με κώνο
Ένας κώνος λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος σε μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι εγγεγραμμένη στη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα αποθέματα της πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους.
Ένας κώνος λέγεται ότι περιβάλλεται γύρω από μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι περιγεγραμμένη γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους.
Σχέση πυραμίδας και κυλίνδρου
Μια πυραμίδα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο εάν η κορυφή της πυραμίδας βρίσκεται σε μια βάση του κυλίνδρου και η βάση της πυραμίδας είναι εγγεγραμμένη σε μια άλλη βάση του κυλίνδρου.
Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις και τέσσερις κορυφές και έξι ακμές, όπου οποιαδήποτε δύο ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές αλλά δεν αγγίζονται.
Κάθε κορυφή αποτελείται από τρεις όψεις και ακμές που σχηματίζονται τριγωνική γωνία.
Το τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τετραέδρου με το κέντρο της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του τετραέδρου(GM).
Διδιάμεσοςονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των απέναντι άκρων που δεν εφάπτονται (KL).
Όλα τα διμέσου και οι διάμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο (S). Σε αυτή την περίπτωση, οι δίμεσοι χωρίζονται στο μισό και οι διάμεσοι χωρίζονται σε αναλογία 3:1 ξεκινώντας από την κορυφή.
Ορισμός. Οξεία γωνιακή πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι περισσότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Αμβλεία πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι μικρότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Κανονικό τετράεδρο- ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. Σε ένα κανονικό τετράεδρο, όλες οι διεδρικές γωνίες (μεταξύ όψεων) και οι τριεδρικές γωνίες (στην κορυφή) είναι ίσες.
Ορισμός. Ορθογώνιο τετράεδροείναι ένα τετράεδρο με ορθή γωνία μεταξύ τριών άκρων στην κορυφή (οι ακμές είναι κάθετες). Σχηματίζονται τρία πρόσωπα ορθογώνια τριγωνική γωνίακαι οι άκρες είναι ορθογώνια τρίγωνα, και η βάση είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Το απόθεμα οποιουδήποτε προσώπου ισούται με το ήμισυ της πλευράς της βάσης στην οποία πέφτει το απόθεμα.
Ορισμός. Ισοεδρικό τετράεδροονομάζεται τετράεδρο του οποίου οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Ένα τέτοιο τετράεδρο έχει όψεις που είναι ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός. Ορθόκεντρο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο τέμνονται σε ένα σημείο όλα τα ύψη (κάθετοι) που κατεβαίνουν από την κορυφή προς την απέναντι όψη.
Ορισμός. Αστρική πυραμίδαονομάζεται πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα αστέρι.
Εισαγωγή
Όταν αρχίσαμε να μελετάμε στερεομετρικά σχήματα, αγγίξαμε το θέμα «Πυραμίδα». Μας άρεσε αυτό το θέμα γιατί η πυραμίδα χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην αρχιτεκτονική. Και από τη δική μας μελλοντικό επάγγελμααρχιτέκτονας, εμπνευσμένη από αυτή τη φιγούρα, πιστεύουμε ότι μπορεί να μας ωθήσει σε σπουδαία έργα.
Η δύναμη των αρχιτεκτονικών κατασκευών είναι η σημαντικότερη ποιότητά τους. Η σύνδεση της αντοχής, πρώτον, με τα υλικά από τα οποία δημιουργούνται και, δεύτερον, με τα χαρακτηριστικά των σχεδιαστικών λύσεων, αποδεικνύεται ότι η αντοχή μιας δομής σχετίζεται άμεσα με το γεωμετρικό σχήμα που είναι βασικό για αυτήν.
Μιλάμε δηλαδή για ένα γεωμετρικό σχήμα που μπορεί να θεωρηθεί ως υπόδειγμα της αντίστοιχης αρχιτεκτονικής μορφής. Αποδεικνύεται ότι το γεωμετρικό σχήμα καθορίζει επίσης τη δύναμη μιας αρχιτεκτονικής δομής.
Από την αρχαιότητα, οι αιγυπτιακές πυραμίδες θεωρούνται οι πιο ανθεκτικές αρχιτεκτονικές κατασκευές. Όπως γνωρίζετε, έχουν το σχήμα κανονικών τετραγωνικών πυραμίδων.
Αυτό το γεωμετρικό σχήμα είναι που παρέχει τη μεγαλύτερη σταθερότητα λόγω της μεγάλης επιφάνειας βάσης. Από την άλλη πλευρά, το σχήμα της πυραμίδας διασφαλίζει ότι η μάζα μειώνεται καθώς αυξάνεται το ύψος πάνω από το έδαφος. Αυτές οι δύο ιδιότητες είναι που κάνουν την πυραμίδα σταθερή, και επομένως ισχυρή υπό τις συνθήκες της βαρύτητας.
Στόχος του έργου: μάθετε κάτι νέο για τις πυραμίδες, εμβαθύνετε τις γνώσεις σας και βρείτε πρακτική εφαρμογή.
Για την επίτευξη αυτού του στόχου, ήταν απαραίτητο να επιλυθούν οι ακόλουθες εργασίες:
· Μάθετε ιστορικές πληροφορίες για την πυραμίδα
· Θεωρήστε την πυραμίδα ως γεωμετρικό σχήμα
· Βρείτε εφαρμογή στη ζωή και την αρχιτεκτονική
· Βρείτε τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ των πυραμίδων που βρίσκονται μέσα διαφορετικά μέρηΣβέτα
Θεωρητικό μέρος
Ιστορικές πληροφορίες
Η αρχή της γεωμετρίας της πυραμίδας τέθηκε στην Αρχαία Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, αλλά αναπτύχθηκε ενεργά το Αρχαία Ελλάδα. Ο πρώτος που καθόρισε τον όγκο της πυραμίδας ήταν ο Δημόκριτος και ο Εύδοξος ο Κνίδος το απέδειξε. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης συστηματοποίησε τη γνώση για την πυραμίδα στον XII τόμο των «Στοιχείων» του και εξήγαγε επίσης τον πρώτο ορισμό της πυραμίδας: μια συμπαγή φιγούρα που οριοθετείται από επίπεδα που συγκλίνουν από ένα επίπεδο σε ένα σημείο.
Τάφοι Αιγυπτίων Φαραώ. Οι μεγαλύτερες από αυτές - οι πυραμίδες του Χέοπα, του Χάφρε και του Μικερίν στην Ελ Γκίζα - θεωρούνταν ένα από τα Επτά Θαύματα του Κόσμου στην αρχαιότητα. Η κατασκευή της πυραμίδας, στην οποία οι Έλληνες και οι Ρωμαίοι είδαν ήδη ένα μνημείο για την άνευ προηγουμένου υπερηφάνεια των βασιλιάδων και τη σκληρότητα που καταδίκασε ολόκληρο τον λαό της Αιγύπτου σε ανούσια κατασκευή, ήταν η πιο σημαντική λατρευτική πράξη και υποτίθεται ότι εκφράζει, προφανώς, την μυστικιστική ταυτότητα της χώρας και του κυβερνήτη της. Ο πληθυσμός της χώρας εργαζόταν για την κατασκευή του τάφου το διάστημα του χρόνου ελεύθερο από αγροτικές εργασίες. Πλήθος κειμένων μαρτυρούν την προσοχή και τη φροντίδα που έδιναν οι ίδιοι οι βασιλείς (έστω και μεταγενέστερης εποχής) στην κατασκευή του τάφου τους και των κατασκευαστών του. Είναι επίσης γνωστό για τις ειδικές λατρευτικές τιμές που αποδίδονταν στην ίδια την πυραμίδα.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα που έχουν κοινή κορυφή.
Απόθεμ- το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας, που προέρχεται από την κορυφή της.
Πλαϊνά πρόσωπα- τρίγωνα που συναντώνται σε μια κορυφή.
Πλαϊνά πλευρά- κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων.
Κορυφή της πυραμίδας- ένα σημείο που συνδέει τις πλευρικές νευρώσεις και δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης.
Υψος- ένα κάθετο τμήμα που τραβιέται από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης της (τα άκρα αυτού του τμήματος είναι η κορυφή της πυραμίδας και η βάση της κάθετου).
Διαγώνιο τμήμα πυραμίδας- τμήμα της πυραμίδας που διέρχεται από την κορυφή και τη διαγώνιο της βάσης.
Βάση- ένα πολύγωνο που δεν ανήκει στην κορυφή της πυραμίδας.
Βασικές ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας
Οι πλευρικές ακμές, οι πλευρικές όψεις και τα αποθέματα είναι αντίστοιχα ίσα.
Οι δίεδρες γωνίες στη βάση είναι ίσες.
Οι δίεδρες γωνίες στα πλάγια άκρα είναι ίσες.
Κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις κορυφές της βάσης.
Κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις πλευρικές όψεις.
Βασικοί τύποι πυραμίδας
Πλαϊνή περιοχή και πλήρη επιφάνειαπυραμίδες.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας (πλήρης και κολοβωμένη) είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών της όψεων, η συνολική επιφάνεια είναι το άθροισμα των περιοχών όλων των όψεών της.
Θεώρημα: Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος της πυραμίδας.
Π- περίμετρος βάσης.
η- αποθέμα.
Η περιοχή των πλευρικών και πλήρων επιφανειών μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
σελ 1, Π 2 - περίμετροι βάσης.
η- αποθέμα.
R- συνολική επιφάνεια μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.
S πλευρά- περιοχή της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.
S 1 + S 2- περιοχή βάσης
Όγκος της πυραμίδας
Μορφή Το volume ula χρησιμοποιείται για πυραμίδες κάθε είδους.
H- ύψος της πυραμίδας.
Γωνίες πυραμίδας
Οι γωνίες που σχηματίζονται από την πλευρική όψη και τη βάση της πυραμίδας ονομάζονται διεδρικές γωνίες στη βάση της πυραμίδας.
Μια διεδρική γωνία σχηματίζεται από δύο κάθετες.
Για να προσδιορίσετε αυτή τη γωνία, συχνά χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα των τριών κάθετων.
Ονομάζονται οι γωνίες που σχηματίζει η πλευρική ακμή και η προβολή της στο επίπεδο βάσης γωνίες μεταξύ του πλευρικού άκρου και του επιπέδου της βάσης.
Η γωνία που σχηματίζεται από δύο πλευρικές ακμές ονομάζεται διεδρική γωνία στο πλάγιο άκρο της πυραμίδας.
Η γωνία που σχηματίζεται από δύο πλευρικές ακμές μιας όψης της πυραμίδας ονομάζεται γωνία στην κορυφή της πυραμίδας.
Τμήματα πυραμίδας
Η επιφάνεια μιας πυραμίδας είναι η επιφάνεια ενός πολυέδρου. Κάθε όψη του είναι ένα επίπεδο, επομένως το τμήμα μιας πυραμίδας που ορίζεται από ένα επίπεδο κοπής είναι σπασμένη γραμμή, που αποτελείται από μεμονωμένες ευθείες γραμμές.
Διαγώνιο τμήμα
Το τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη ονομάζεται διαγώνιο τμήμαπυραμίδες.
Παράλληλες τομές
Θεώρημα:
Εάν η πυραμίδα τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση, τότε οι πλευρικές ακμές και τα ύψη της πυραμίδας διαιρούνται από αυτό το επίπεδο σε αναλογικά μέρη.
Το τμήμα αυτού του επιπέδου είναι ένα πολύγωνο παρόμοιο με τη βάση.
Τα εμβαδά της τομής και της βάσης σχετίζονται μεταξύ τους ως τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από την κορυφή.
Τύποι πυραμίδας
Σωστή πυραμίδα– μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
Για μια κανονική πυραμίδα:
1. οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες
2. οι πλευρικές όψεις είναι ίσες
3. τα αποθέματα είναι ίσα
4. οι δίεδρες γωνίες στη βάση είναι ίσες
5. οι δίεδρες γωνίες στα πλάγια άκρα είναι ίσες
6. κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις κορυφές της βάσης
7. κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις πλευρικές ακμές
Κόλουρη πυραμίδα- τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης της και ενός επιπέδου κοπής παράλληλου προς τη βάση.
Η βάση και το αντίστοιχο τμήμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας ονομάζονται βάσεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
Μια κάθετη που σύρεται από οποιοδήποτε σημείο μιας βάσης στο επίπεδο μιας άλλης ονομάζεται το ύψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
Καθήκοντα
Νο. 1. Στα δεξιά τετράγωνη πυραμίδαΤο σημείο Ο είναι το κέντρο της βάσης, SO=8 cm, BD=30 cm Βρείτε την πλευρική ακμή SA.
Επίλυση προβλήματος
Νο. 1. Σε μια κανονική πυραμίδα, όλες οι όψεις και οι άκρες είναι ίσες.
Σκεφτείτε το OSB: Το OSB είναι ένα ορθογώνιο ορθογώνιο, γιατί.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Πυραμίδα στην αρχιτεκτονική
Μια πυραμίδα είναι μια μνημειακή δομή σε σχήμα συνηθισμένου κανονικού γεωμετρική πυραμίδα, όπου πλευρέςσυγκλίνουν σε ένα σημείο. Σύμφωνα με τον λειτουργικό τους σκοπό, οι πυραμίδες στην αρχαιότητα ήταν τόποι ταφής ή λατρείας. Η βάση μιας πυραμίδας μπορεί να είναι τριγωνική, τετράγωνη ή σε σχήμα πολυγώνου με αυθαίρετο αριθμό κορυφών, αλλά η πιο κοινή εκδοχή είναι η τετραγωνική βάση.
Έχει κατασκευαστεί ένας σημαντικός αριθμός πυραμίδων διαφορετικές κουλτούρες Αρχαίος κόσμοςκυρίως ως ναοί ή μνημεία. Οι μεγάλες πυραμίδες περιλαμβάνουν τις αιγυπτιακές πυραμίδες.
Σε όλη τη Γη μπορείτε να δείτε αρχιτεκτονικές κατασκευέςμε τη μορφή πυραμίδων. Τα κτίρια πυραμίδας θυμίζουν αρχαία χρόνια και φαίνονται πολύ όμορφα.
Αιγυπτιακές πυραμίδεςμέγιστος αρχιτεκτονικά μνημεία Αρχαία Αίγυπτος, μεταξύ των οποίων ένα από τα «Επτά Θαύματα του Κόσμου» είναι η Πυραμίδα του Χέοπα. Από το πόδι μέχρι την κορυφή φτάνει τα 137,3 μ. και πριν χάσει την κορυφή, το ύψος του ήταν 146,7 μ.
Το κτίριο του ραδιοφωνικού σταθμού στην πρωτεύουσα της Σλοβακίας, που μοιάζει με ανεστραμμένη πυραμίδα, χτίστηκε το 1983. Εκτός από γραφεία και χώρους εξυπηρέτησης, μέσα στον τόμο υπάρχει ένα αρκετά ευρύχωρο Μέγαρο Μουσικής, που διαθέτει ένα από τα μεγαλύτερα όργανα στη Σλοβακία.
Το Λούβρο, το οποίο «είναι σιωπηλό και μεγαλοπρεπές, σαν πυραμίδα», έχει υποστεί πολλές αλλαγές κατά τη διάρκεια των αιώνων πριν γίνει μεγαλύτερο μουσείοειρήνη. Γεννήθηκε ως φρούριο, που χτίστηκε από τον Φίλιππο Αύγουστο το 1190, το οποίο σύντομα έγινε βασιλική κατοικία. Το 1793 το παλάτι έγινε μουσείο. Οι συλλογές εμπλουτίζονται μέσω κληροδοτημάτων ή αγορών.
Ορισμός
Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από ένα πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) και \(n\) τρίγωνα με κοινή κορυφή \(P\) (δεν βρίσκεται στο επίπεδο του πολυγώνου) και πλευρές απέναντι από αυτό, που συμπίπτουν με την πλευρές του πολυγώνου.
Ονομασία: \(PA_1A_2...A_n\) .
Παράδειγμα: πενταγωνική πυραμίδα \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Τρίγωνα \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), κ.λπ. λέγονται πλαϊνά πρόσωπαπυραμίδες, τμήματα \(PA_1, PA_2\) κ.λπ. – πλευρικές νευρώσεις, πολύγωνο \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – βάση, σημείο \(P\) – μπλουζα.
ΥψοςΟι πυραμίδες είναι μια κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης.
Μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της ονομάζεται τετράεδρο.
Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός, εάν η βάση του είναι κανονικό πολύγωνο και πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
\((α)\) οι πλευρικές άκρες της πυραμίδας είναι ίσες.
\((β)\) το ύψος της πυραμίδας διέρχεται από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.
\((γ)\) οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.
\((δ)\) οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.
Κανονικό τετράεδρο- Αυτό τριγωνική πυραμίδα, του οποίου όλες οι όψεις είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.
Θεώρημα
Οι συνθήκες \((α), (β), (γ), (δ)\) είναι ισοδύναμες.
Απόδειξη
Ας βρούμε το ύψος της πυραμίδας \(PH\) . Έστω \(\άλφα\) το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας.
1) Ας αποδείξουμε ότι από το \((a)\) προκύπτει \((b)\) . Έστω \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Επειδή \(PH\perp \alpha\), τότε το \(PH\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα στο κοινό σκέλος \(PH\) και στην υποτείνουσα \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Άρα, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία \(A_1, A_2, ..., A_n\) βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το σημείο \(H\), επομένως, βρίσκονται στον ίδιο κύκλο με την ακτίνα \(A_1H\) . Αυτός ο κύκλος, εξ ορισμού, περικλείεται στο πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) .
2) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και ίσο σε δύο πόδια. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες τους είναι επίσης ίσες, επομένως, \(\γωνία PA_1H=\γωνία PA_2H=...=\γωνία PA_nH\).
3) Ας αποδείξουμε ότι το \((c)\) υποδηλώνει \((a)\) .
Παρόμοια με το πρώτο σημείο, τρίγωνα \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και κατά μήκος του ποδιού και αιχμηρή γωνία. Αυτό σημαίνει ότι και οι υποτείνυσές τους είναι ίσες, δηλαδή \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((d)\) .
Επειδή σε ένα κανονικό πολύγωνο, τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν (γενικά μιλώντας, αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου), τότε το \(H\) είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Ας σχεδιάσουμε κάθετες από το σημείο \(H\) στις πλευρές της βάσης: \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. Αυτές είναι οι ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου (εξ ορισμού). Στη συνέχεια, σύμφωνα με το TTP (το \(PH\) είναι κάθετο στο επίπεδο, \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. είναι προβολές, κάθετα στις πλευρές) λοξό \(PK_1, PK_2\), κ.λπ. κάθετες στις πλευρές \(A_1A_2, A_2A_3\), κ.λπ. αντίστοιχα. Έτσι, εξ ορισμού \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H\)ίσες με τις γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης. Επειδή τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια σε δύο πλευρές), τότε οι γωνίες \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H, ...\)είναι ίσα.
5) Ας αποδείξουμε ότι το \((d)\) υποδηλώνει \((b)\) .
Παρόμοια με το τέταρτο σημείο, τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια κατά μήκος του σκέλους και οξεία γωνία), που σημαίνει ότι τα τμήματα \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) είναι ίσος. Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, το \(H\) είναι το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο στη βάση. Αλλά επειδή Για κανονικά πολύγωνα, τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν, τότε το \(H\) είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Chtd.
Συνέπεια
Οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός
Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της ονομάζεται αποθεμα.
Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους και είναι επίσης διάμεσοι και διχοτόμοι.
Σημαντικές σημειώσεις
1. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των υψών (ή διχοτόμων, ή διαμέσου) της βάσης (η βάση είναι κανονικό τρίγωνο).
2. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι τετράγωνο).
3. Το ύψος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι κανονικό εξάγωνο).
4. Το ύψος της πυραμίδας είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται στη βάση.
Ορισμός
Η πυραμίδα ονομάζεται ορθογώνιος, αν ένα από τα πλευρικά άκρα του είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης.
Σημαντικές σημειώσεις
1. Σε μια ορθογώνια πυραμίδα, η άκρη κάθετη στη βάση είναι το ύψος της πυραμίδας. Δηλαδή, \(SR\) είναι το ύψος.
2. Επειδή Το \(SR\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε γραμμή από τη βάση, λοιπόν \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– ορθογώνια τρίγωνα.
3. Τρίγωνα \(\τρίγωνο SRN, \τρίγωνο SRK\)- επίσης ορθογώνιο.
Δηλαδή, κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται από αυτή την άκρη και η διαγώνιος που αναδύεται από την κορυφή αυτής της ακμής που βρίσκεται στη βάση θα είναι ορθογώνιο.
\[(\Large(\text(Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας)))\]
Θεώρημα
Ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους της πυραμίδας: \
Συνέπειες
Έστω \(a\) η πλευρά της βάσης, \(h\) το ύψος της πυραμίδας.
1. Ο όγκος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(δεξιό τρίγωνο.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Ο όγκος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Ο όγκος ενός κανονικού τετραέδρου είναι \(V_(\text(δεξιά tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Θεώρημα
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Ορισμός
Σκεφτείτε μια αυθαίρετη πυραμίδα \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση της πυραμίδας μέσα από ένα συγκεκριμένο σημείο που βρίσκεται στο πλευρικό άκρο της πυραμίδας. Αυτό το επίπεδο θα χωρίσει την πυραμίδα σε δύο πολύεδρα, το ένα από τα οποία είναι πυραμίδα (\(PB_1B_2...B_n\)) και το άλλο ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Η κολοβωμένη πυραμίδα έχει δύο βάσεις - πολύγωνα \(A_1A_2...A_n\) και \(B_1B_2...B_n\) που είναι παρόμοια μεταξύ τους.
Το ύψος μιας κόλουρης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από κάποιο σημείο της άνω βάσης στο επίπεδο της κάτω βάσης.
Σημαντικές σημειώσεις
1. Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή.
2. Το τμήμα που συνδέει τα κέντρα των βάσεων μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας (δηλαδή μιας πυραμίδας που προκύπτει από διατομή μιας κανονικής πυραμίδας) είναι το ύψος.
Συνεχίζουμε να εξετάζουμε τα καθήκοντα που περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Έχουμε ήδη μελετήσει προβλήματα όπου δίνεται η συνθήκη και απαιτείται να βρεθεί η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων ή μιας γωνίας.
Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο, οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα και έχουν μια κοινή κορυφή.
Μια κανονική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα - η βάση είναι ένα τετράγωνο Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (τετράγωνο).
ML - αποθέμα
∠MLO - διεδρική γωνία στη βάση της πυραμίδας
∠MCO - γωνία μεταξύ του πλευρικού άκρου και του επιπέδου της βάσης της πυραμίδας
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα για την επίλυση μιας κανονικής πυραμίδας. Πρέπει να βρείτε κάποιο στοιχείο, πλευρική επιφάνεια, όγκο, ύψος. Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, τον τύπο για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας και τον τύπο για την εύρεση του όγκου μιας πυραμίδας.
Στο άρθρο Το "" παρουσιάζει τους τύπους που είναι απαραίτητοι για την επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία. Λοιπόν, οι εργασίες:
SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης,μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 51, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 136. Βρείτε την πλευρική άκρηS.C..
ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη βάση είναι τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι οι διαγώνιοι AC και BD είναι ίσες, τέμνονται και διχοτομούνται από το σημείο τομής. Σημειώστε ότι σε μια κανονική πυραμίδα το ύψος που πέφτει από την κορυφή της περνά από το κέντρο της βάσης της πυραμίδας. Άρα SO είναι το ύψος και το τρίγωνοSOCορθογώνιος. Τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα από μεγάλος αριθμός.
Απάντηση: 85
Αποφασίστε μόνοι σας:
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 6. Βρείτε το πλευρικό άκρο S.C..
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, S.C. = 5, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 6. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΕΤΣΙ.
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, S.C.= 5. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ..
SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 7, α S.R.= 16. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος (απόθεμα είναι το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της):
Ή μπορούμε να πούμε αυτό: το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι ίσο με το άθροισμα τρία τετράγωναπλευρικές άκρες. Οι πλευρικές όψεις σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι τρίγωνα ίσου εμβαδού. Σε αυτήν την περίπτωση:
Απάντηση: 168
Αποφασίστε μόνοι σας:
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, α S.R.= 2. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος S.R..
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC μεγάλο- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι SL= 2, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοείναι 25, ο όγκος της πυραμίδας είναι 100. Βρείτε το μήκος του τμήματος Κυρία.
Η βάση της πυραμίδας είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Να γιατί Μείναι το κέντρο της βάσης, καιΚυρία- ύψος κανονικής πυραμίδαςSABC. Όγκος της πυραμίδας SABCίσον: προβολή λύσης
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοισούται με 3, Κυρία= 1. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Ο όγκος της πυραμίδας είναι 1, Κυρία= 1. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου αλφάβητο.
Ας τελειώσουμε εδώ. Όπως μπορείτε να δείτε, τα προβλήματα λύνονται σε ένα ή δύο βήματα. Στο μέλλον, θα εξετάσουμε και άλλα προβλήματα από αυτό το κομμάτι, όπου δίνονται φορείς επανάστασης, μην το χάσετε!
Σου εύχομαι επιτυχία!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Ένα τρισδιάστατο σχήμα που εμφανίζεται συχνά σε γεωμετρικά προβλήματα είναι η πυραμίδα. Το απλούστερο από όλα τα σχήματα αυτής της κατηγορίας είναι τριγωνικό. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε λεπτομερώς τους βασικούς τύπους και τις ιδιότητες του σωστού
Γεωμετρικές ιδέες για το σχήμα
Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση των ιδιοτήτων μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε τι είδους σχήμα μιλάμε.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα αυθαίρετο τρίγωνο στον τρισδιάστατο χώρο. Ας επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο σε αυτό το διάστημα που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του τριγώνου και ας το συνδέσουμε με τις τρεις κορυφές του τριγώνου. Έχουμε μια τριγωνική πυραμίδα.
Αποτελείται από 4 πλευρές, όλες τρίγωνες. Τα σημεία όπου συναντώνται τρεις όψεις ονομάζονται κορυφές. Η φιγούρα έχει επίσης τέσσερις από αυτές. Οι γραμμές τομής δύο όψεων είναι ακμές. Η εν λόγω πυραμίδα έχει 6 άκρες Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα αυτού του σχήματος.
Δεδομένου ότι το σχήμα σχηματίζεται από τέσσερις πλευρές, ονομάζεται επίσης τετράεδρο.
Σωστή πυραμίδα
Συζητήθηκε παραπάνω αυθαίρετη φιγούραμε τριγωνική βάση. Τώρα ας υποθέσουμε ότι σχεδιάζουμε ένα κάθετο τμήμα από την κορυφή της πυραμίδας μέχρι τη βάση της. Αυτό το τμήμα ονομάζεται ύψος. Προφανώς, μπορείτε να σχεδιάσετε 4 διαφορετικά ύψη για τη φιγούρα. Εάν το ύψος τέμνει την τριγωνική βάση στο γεωμετρικό κέντρο, τότε μια τέτοια πυραμίδα ονομάζεται ευθεία.
Μια ευθεία πυραμίδα, της οποίας η βάση είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ονομάζεται κανονική. Για αυτήν σχηματίζονται και τα τρία τρίγωνα πλευρική επιφάνειαΟι μορφές είναι ισοσκελές και ίσες μεταξύ τους. Μια ειδική περίπτωση κανονικής πυραμίδας είναι η κατάσταση όταν και οι τέσσερις πλευρές είναι ισόπλευρα πανομοιότυπα τρίγωνα.
Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας και ας δώσουμε τους αντίστοιχους τύπους για τον υπολογισμό των παραμέτρων της.
Πλευρά βάσης, ύψος, πλευρική άκρη και απόθεμα
Οποιεσδήποτε δύο από τις παραμέτρους που παρατίθενται καθορίζουν μοναδικά τα υπόλοιπα δύο χαρακτηριστικά. Ας παρουσιάσουμε τύπους που συσχετίζουν αυτές τις ποσότητες.
Ας υποθέσουμε ότι η πλευρά της βάσης μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι α. Το μήκος του πλευρική πλευράίσο με β. Ποιο θα είναι το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας και το απόθεμά της;
Για το ύψος h παίρνουμε την έκφραση:
Αυτός ο τύπος προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα για το οποίο είναι η πλευρική ακμή, το ύψος και τα 2/3 του ύψους της βάσης.
Το απόθεμα μιας πυραμίδας είναι το ύψος για οποιοδήποτε πλευρικό τρίγωνο. Το μήκος του αποθέματος a b είναι ίσο με:
a b = √(b 2 - a 2 /4)
Από αυτούς τους τύπους είναι σαφές ότι ανεξάρτητα από την πλευρά της βάσης μιας τριγωνικής κανονικής πυραμίδας και το μήκος του πλευρικού άκρου της, το απόθεμα θα είναι πάντα μεγαλύτερο από το ύψος της πυραμίδας.
Οι δύο τύποι που παρουσιάζονται περιέχουν και τα τέσσερα γραμμικά χαρακτηριστικά του εν λόγω σχήματος. Επομένως, δεδομένων των δύο γνωστών, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα λύνοντας το σύστημα των γραπτών ισοτήτων.
Φιγούρα όγκου
Για απολύτως οποιαδήποτε πυραμίδα (συμπεριλαμβανομένης μιας κεκλιμένης), η τιμή του όγκου του χώρου που περιορίζεται από αυτήν μπορεί να προσδιοριστεί γνωρίζοντας το ύψος του σχήματος και την περιοχή της βάσης του. Ο αντίστοιχος τύπος είναι:
Εφαρμόζοντας αυτήν την έκφραση στο εν λόγω σχήμα, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο:
Όπου το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι h και η πλευρά της βάσης της είναι a.
Δεν είναι δύσκολο να αποκτήσουμε έναν τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου στον οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους και αντιπροσωπεύουν ισόπλευρα τρίγωνα. Σε αυτή την περίπτωση, ο όγκος του σχήματος καθορίζεται από τον τύπο:
Δηλαδή, καθορίζεται μοναδικά από το μήκος της πλευράς α.
Επιφάνεια
Ας συνεχίσουμε να εξετάζουμε τις ιδιότητες μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας. Το συνολικό εμβαδόν όλων των όψεων μιας φιγούρας ονομάζεται εμβαδόν επιφάνειάς της. Το τελευταίο μπορεί εύκολα να μελετηθεί λαμβάνοντας υπόψη την αντίστοιχη εξέλιξη. Το παρακάτω σχήμα δείχνει πώς μοιάζει η ανάπτυξη μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας.
Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε το ύψος h και την πλευρά της βάσης α του σχήματος. Τότε το εμβαδόν της βάσης του θα είναι ίσο με:
Κάθε μαθητής μπορεί να λάβει αυτήν την έκφραση εάν θυμάται πώς να βρει το εμβαδόν ενός τριγώνου και επίσης λάβει υπόψη ότι το υψόμετρο ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι επίσης διχοτόμος και διάμεσος.
Η πλευρική επιφάνεια που σχηματίζεται από τρία όμοια ισοσκελή τρίγωνα είναι:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Αυτή η ισότητα προκύπτει από την έκφραση του αποθέματος της πυραμίδας ως προς το ύψος και το μήκος της βάσης.
Η συνολική επιφάνεια του σχήματος είναι:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Σημειώστε ότι για ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις πλευρές είναι ίσες ισόπλευρα τρίγωνα, η περιοχή S θα ισούται με:
Ιδιότητες μιας κανονικής κόλουρης τριγωνικής πυραμίδας
Εάν η κορυφή της εξεταζόμενης τριγωνικής πυραμίδας αποκοπεί με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση, τότε το υπόλοιπο κάτω μέρος θα ονομάζεται κόλουρη πυραμίδα.
Στην περίπτωση μιας τριγωνικής βάσης, το αποτέλεσμα της περιγραφόμενης μεθόδου τομής είναι ένα νέο τρίγωνο, το οποίο είναι επίσης ισόπλευρο, αλλά έχει μικρότερο μήκος πλευράς από την πλευρά της βάσης. Μια κολοβωμένη τριγωνική πυραμίδα φαίνεται παρακάτω.
Βλέπουμε ότι ο αριθμός αυτός περιορίζεται ήδη σε δύο τριγωνικές βάσειςκαι τρία ισοσκελή τραπεζοειδή.
Ας υποθέσουμε ότι το ύψος του σχήματος που προκύπτει είναι ίσο με h, τα μήκη των πλευρών της κάτω και της άνω βάσης είναι a 1 και a 2, αντίστοιχα, και το απόθεμα (ύψος του τραπεζοειδούς) είναι ίσο με a b. Στη συνέχεια, η επιφάνεια της κολοβωμένης πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Εδώ ο πρώτος όρος είναι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας, ο δεύτερος όρος είναι η περιοχή των τριγωνικών βάσεων.
Ο όγκος του σχήματος υπολογίζεται ως εξής:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
Για να προσδιορίσετε με σαφήνεια τα χαρακτηριστικά μιας κολοβωμένης πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζετε τις τρεις παραμέτρους της, κάτι που αποδεικνύεται από τους δεδομένους τύπους.