Définir la dérivée d'une fonction. Dérivé

13.10.2019

Travail de fin d'études sous la forme de l'examen d'État unifié pour les élèves de 11e, il contient nécessairement des tâches de calcul des limites, des intervalles de dérivées décroissantes et croissantes d'une fonction, de recherche de points extremum et de dessin de graphiques. Une bonne connaissance de ce sujet permet de répondre correctement à plusieurs questions d'examen et de ne pas rencontrer de difficultés dans la poursuite de la formation professionnelle.

Fondamentaux du calcul différentiel - l'un des principaux sujets des mathématiques école moderne. Elle étudie l'utilisation de la dérivée pour étudier les dépendances des variables - c'est grâce à la dérivée que l'on peut analyser l'augmentation et la diminution d'une fonction sans recourir à un dessin.

Préparation complète des diplômés pour réussir l'examen d'État unifié sur portail éducatif"Shkolkovo" vous aidera à comprendre en profondeur les principes de différenciation - comprendre la théorie en détail, étudier des exemples de solutions tâches typiques et essayez-vous au travail indépendant. Nous vous aiderons à combler les lacunes dans vos connaissances - à clarifier votre compréhension des concepts lexicaux du sujet et des dépendances des quantités. Les étudiants seront en mesure de revoir comment trouver des intervalles de monotonie, c'est-à-dire que la dérivée d'une fonction augmente ou diminue sur un certain segment lorsque les points limites sont et ne sont pas inclus dans les intervalles trouvés.

Avant de commencer à résoudre directement des problèmes thématiques, nous vous recommandons de vous rendre d'abord dans la section « Contexte théorique » et de répéter les définitions des concepts, des règles et des formules tabulaires. Ici vous pouvez lire comment trouver et écrire chaque intervalle de fonction croissante et décroissante sur le graphique dérivé.

Toutes les informations proposées sont présentées sous la forme la plus accessible pour la compréhension, pratiquement à partir de zéro. Le site Web fournit du matériel pour la perception et l'assimilation dans plusieurs Formes variées– lecture, visionnage de vidéos et formation directe sous la direction d’enseignants expérimentés. Des professeurs professionnels vous expliqueront en détail comment trouver les intervalles de dérivées croissantes et décroissantes d'une fonction à l'aide de méthodes analytiques et graphiques. Au cours des webinaires, vous pourrez poser toutes les questions qui vous intéressent, tant sur la théorie que sur la résolution de problèmes spécifiques.

Après avoir mémorisé les points principaux du sujet, examinez des exemples d'augmentation de la dérivée d'une fonction, similaires aux tâches des options d'examen. Pour consolider ce que vous avez appris, jetez un œil au « Catalogue » - vous y trouverez des exercices pratiques pour travail indépendant. Les tâches de la section ont été sélectionnées différents niveaux difficultés à prendre en compte le développement des compétences. Par exemple, chacun d’eux est accompagné d’algorithmes de solution et de réponses correctes.

En choisissant la section « Constructeur », les étudiants pourront s'entraîner à étudier l'augmentation et la diminution de la dérivée d'une fonction sur de vraies options Examen d'État unifié, constamment mis à jour en tenant compte derniers changements et innovations.

Créer un ratio et calculer la limite.

D'où vient-il? tableau des dérivés et règles de différenciation? Merci à la seule limite. Cela semble magique, mais en réalité, il s’agit d’un tour de passe-passe et non d’une fraude. À la leçon Qu'est-ce qu'un dérivé ? J'ai commencé à regarder exemples spécifiques, où, en utilisant la définition, j'ai trouvé les dérivées de linéaire et fonction quadratique. Aux fins de l'échauffement cognitif, nous continuerons à perturber tableau des dérivés, perfectionnant l'algorithme et technique solutions:

Exemple 1

Essentiellement, nous devons prouver le cas particulier de la dérivée fonction de puissance, qui apparaît généralement dans le tableau : .

Solution techniquement formalisé de deux manières. Commençons par la première approche, déjà familière : l'échelle commence par une planche et la fonction dérivée commence par la dérivée en un point.

Considérons quelques point (spécifique) appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle il y a une dérivée. Fixons l'incrément à ce stade (bien sûr, dans le cadres/o -JE) et composez l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la limite :

L'incertitude 0:0 est éliminée par une technique standard, envisagée au premier siècle avant JC. Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée :

La technique pour résoudre une telle limite est discutée en détail à leçon d'introduction sur les limites des fonctions.

Puisque vous pouvez choisir N'IMPORTE QUEL point de l'intervalle comme qualité, alors, après avoir effectué le remplacement, nous obtenons :

Répondre

Réjouissons-nous encore une fois des logarithmes :

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction en utilisant la définition de la dérivée

Solution: Considérons une approche différente pour promouvoir la même tâche. C'est exactement la même chose, mais plus rationnel en termes de design. L'idée est de supprimer l'indice au début de la solution et d'utiliser la lettre à la place de la lettre.

Considérons arbitraire point appartenant à domaine de définition fonction (intervalle) et définissez l’incrément dedans. Mais ici d'ailleurs, comme dans la plupart des cas, on peut le faire sans aucune réserve, puisque la fonction logarithmique est dérivable en tout point du domaine de définition.

Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Trouvons la dérivée :

La simplicité du design est contrebalancée par la confusion qui peut survenir pour les débutants (et pas seulement). Après tout, nous sommes habitués au fait que la lettre « X » change dans la limite ! Mais ici, tout est différent : – statue antique, et – un visiteur vivant, marchant d'un pas vif dans le couloir du musée. Autrement dit, « x » est « comme une constante ».

Je commenterai l'élimination de l'incertitude étape par étape :

(1) Nous utilisons la propriété du logarithme .

(2) Entre parenthèses, divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(3) Au dénominateur, on multiplie et divise artificiellement par « x » pour profiter de limite remarquable , tandis que infinitésimal se démarque.

Répondre: par définition de dérivée :

Ou en bref :

Je propose de construire vous-même deux autres formules de tableau :

Exemple 3

DANS dans ce cas il est pratique d'amener immédiatement l'incrément composé à dénominateur commun. Échantillon approximatif terminer le devoir à la fin de la leçon (première méthode).

Exemple 3 :Solution : considérez un point , appartenant au domaine de définition de la fonction . Fixons l'incrément à ce stade et composez l'incrément correspondant de la fonction :

Trouvons la dérivée au point :

Depuis qu'en tant que vous pouvez sélectionner n'importe quel point domaine de fonction , Que Et
Répondre : par définition de dérivé

Exemple 4

Trouver la dérivée par définition

Et ici, tout doit être réduit à merveilleuse limite. La solution est formalisée de la deuxième manière.

Un certain nombre d'autres dérivés tabulaires. Liste complète peut être trouvé dans un manuel scolaire, ou, par exemple, dans le 1er volume de Fichtenholtz. Je ne vois pas beaucoup d'intérêt à copier des preuves de règles de différenciation à partir de livres - elles sont également générées par la formule.

Exemple 4 :Solution , appartenir à , et définissez l'incrément dedans

Trouvons la dérivée :

Utiliser une merveilleuse limite

Répondre : un prieuré

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction , en utilisant la définition de la dérivée

Solution: nous utilisons le premier style de conception. Considérons un point appartenant à et spécifions l'incrément de l'argument correspondant. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Peut-être que certains lecteurs n’ont pas encore pleinement compris le principe selon lequel des augmentations doivent être réalisées. Prenez un point (nombre) et trouvez la valeur de la fonction qu'il contient : , c'est-à-dire dans la fonction au lieu de"X" devrait être remplacé. Maintenant, nous prenons également un nombre très spécifique et le substituons dans la fonction au lieu de"iksa": . On note la différence, et c'est nécessaire mettre complètement entre parenthèses.

Incrément de fonction compilé Il peut être avantageux de simplifier immédiatement. Pour quoi? Faciliter et raccourcir la solution à une limite supplémentaire.

On utilise des formules, on ouvre les parenthèses et on réduit tout ce qui peut être réduit :

La dinde est éviscérée, pas de problème avec le rôti :

Finalement:

Puisque nous pouvons choisir n’importe quel nombre réel comme valeur, nous effectuons le remplacement et obtenons .

Répondre: un-prieuré.

À des fins de vérification, trouvons la dérivée en utilisant règles et tableaux de différenciation:

Il est toujours utile et agréable de connaître à l’avance la bonne réponse, il est donc préférable de différencier la fonction proposée de manière « rapide », soit mentalement, soit dans un brouillon, au tout début de la solution.

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction par définition de la dérivée

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Le résultat est évident :

Exemple 6 :Solution : considérez un point , appartenir à , et définissez l'incrément de l'argument qu'il contient . Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Calculons la dérivée :

Ainsi:
Parce que vous pouvez choisir n'importe quel nombre réel, alors Et
Répondre : un-prieuré.

Revenons au style n°2 :

Exemple 7

Voyons immédiatement ce qui devrait se passer. Par règle de différenciation fonction complexe :

Solution: considérons un point arbitraire appartenant à , fixez-y l'incrément de l'argument et composez l'incrément de la fonction :

Trouvons la dérivée :

(1) Utilisation formule trigonométrique .

(2) Sous le sinus nous ouvrons les parenthèses, sous le cosinus nous présentons des termes similaires.

(3) Sous le sinus on réduit les termes, sous le cosinus on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(4) En raison de l'étrangeté du sinus, nous supprimons le « moins ». Sous le cosinus on indique que le terme .

(5) On effectue une multiplication artificielle au dénominateur afin d'utiliser première limite merveilleuse. Ainsi, l’incertitude est éliminée, mettons de l’ordre dans le résultat.

Répondre: a-prieuré

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté du problème considéré réside dans la complexité de la limite elle-même + une légère unicité du packaging. Dans la pratique, les deux méthodes de conception sont utilisées, c'est pourquoi je décris les deux approches de manière aussi détaillée que possible. Ils sont équivalents, mais néanmoins, selon mon impression subjective, il est plus conseillé aux nuls de s'en tenir à l'option 1 avec « X-zéro ».

Exemple 8

À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction

Exemple 8 :Solution : considérons un point arbitraire , appartenir à , définissez l'incrément dedans et composez l'incrément de la fonction :

Trouvons la dérivée :

Nous utilisons la formule trigonométrique et la première limite remarquable :

Répondre : un prieuré

Examinons une version plus rare du problème :

Exemple 9

Trouvez la dérivée de la fonction au point en utilisant la définition de la dérivée.

Premièrement, quel devrait être le résultat final ? Nombre

Calculons la réponse de la manière standard :

Solution: du point de vue de la clarté, cette tâche est beaucoup plus simple, puisque la formule considère plutôt une valeur spécifique.

Définissons l'incrément au point et composons l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la dérivée au point :

Nous utilisons une formule de différence tangente très rare et encore une fois nous réduisons la solution à la première limite merveilleuse:

Répondre: par définition de dérivée en un point.

Le problème n’est pas si difficile à résoudre et « en vue générale" - il suffit de remplacer par ou simplement en fonction de la méthode de conception. Dans ce cas, il est clair que le résultat ne sera pas un nombre, mais une fonction dérivée.

Exemple 10

À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction en un point (dont l'un peut s'avérer infini), dont je parle Plan général déjà dit leçon théorique sur la dérivée.

Certaines fonctions définies par morceaux sont également différenciables aux points de « jonction » du graphique, par exemple, catdog a une dérivée commune et une tangente commune (axe des x) au point. Courbe, mais différenciable par ! Les personnes intéressées peuvent le vérifier par elles-mêmes à l’aide de l’exemple que nous venons de résoudre.

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Date de création de la page : 2017-06-11

Dérivée d'une fonction d'une variable.

Introduction.

Réel évolutions méthodologiques destiné aux étudiants de la Faculté de génie industriel et civil. Ils ont été compilés en relation avec le programme du cours de mathématiques dans la section « Calcul différentiel des fonctions à une variable ».

Les développements représentent un guide méthodologique unique, comprenant : de brèves informations théoriques ; problèmes et exercices « standards » avec des solutions détaillées et des explications de ces solutions ; options de tests.

Il y a des exercices supplémentaires à la fin de chaque paragraphe. Cette structure de développements les rend adaptés à une maîtrise indépendante de la section avec une assistance minimale de l'enseignant.

§1. Définition du dérivé.

Signification mécanique et géométrique

dérivé.

Le concept de dérivée est l'un des plus notions importantes analyse mathématique. Elle est née au XVIIe siècle. La formation du concept de dérivée est historiquement associée à deux problèmes : le problème de la vitesse du mouvement alternatif et le problème de la tangente à une courbe.

Ces problèmes, malgré leurs contenus différents, conduisent à la même opération mathématique qui doit être effectuée sur une fonction. Cette opération a reçu un nom spécial en mathématiques. C'est ce qu'on appelle l'opération de différenciation d'une fonction. Le résultat de l’opération de différenciation est appelé la dérivée.

Ainsi, la dérivée de la fonction y=f(x) au point x0 est la limite (si elle existe) du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument
à
.

La dérivée est généralement notée comme suit :
.

Ainsi, par définition

Les symboles sont également utilisés pour désigner les dérivés
.

Signification mécanique du dérivé.

Si s=s(t) – loi mouvement rectiligne point matériel, Que
est la vitesse de ce point au temps t.

Signification géométrique de la dérivée.

Si la fonction y=f(x) a une dérivée au point , Que pente tangente au graphique d'une fonction en un point
équivaut à
.

Exemple.

Trouver la dérivée de la fonction
à ce point =2:

1) Donnons un point =2 incrément
. Remarquerez que.

2) Trouver l'incrément de la fonction au point =2:

3) Créons le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument :

Trouvons la limite du rapport à
:

Ainsi,
.

§ 2. Dérivés de certains

fonctions les plus simples.

L'étudiant doit apprendre à calculer les dérivées de fonctions spécifiques : y=x,y= et en général = .

Trouvons la dérivée de la fonction y=x.

ceux. (x)'=1.

Trouvons la dérivée de la fonction

Dérivé

Laisser
Alors

Il est facile de remarquer une tendance dans les expressions des dérivées de la fonction puissance
avec n=1,2,3.

Ainsi,

. (1)

Cette formule est valable pour tout n réel.

En particulier, en utilisant la formule (1), on a :

;

Exemple.

Trouver la dérivée de la fonction

Cette fonction est un cas particulier d'une fonction de la forme

à
.

En utilisant la formule (1), nous avons

Dérivées des fonctions y=sin x et y=cos x.

Soit y=sinx.

Divisez par ∆x, nous obtenons

En passant à la limite en ∆x→0, on a

Soit y = cosx.

En passant à la limite en ∆x→0, on obtient

;
. (2)

§3. Règles de base de différenciation.

Considérons les règles de différenciation.

Théorème1 . Si les fonctions u=u(x) et v=v(x) sont dérivables en un point donnéx, alors à ce stade leur somme est également dérivable, et la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées des termes : (u+v)"=u"+v".(3 )

Preuve : considérons la fonction y=f(x)=u(x)+v(x).

L'incrément ∆x de l'argument x correspond aux incréments ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) des fonctions u et v. Alors la fonction y augmentera

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Ainsi,

Donc, (u+v)"=u"+v".

Théorème2. Si les fonctions u=u(x) et v=v(x) sont dérivables en un point donnéx, alors leur produit est dérivable en ce même point. Dans ce cas, la dérivée du produit se trouve par la formule suivante : ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Preuve : Soit y=uv, où u et v sont des fonctions différentiables de x. Donnons à x un incrément de ∆x ; alors u recevra un incrément de ∆u, v recevra un incrément de ∆v et y recevra un incrément de ∆y.

On a y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ou

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Par conséquent, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

D'ici

En passant à la limite en ∆x→0 et en tenant compte du fait que u et v ne dépendent pas de ∆x, on aura

Théorème 3. La dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le dénominateur est égal au carré du diviseur, et le numérateur est la différence entre le produit de la dérivée du dividende et du diviseur et le produit du dividende et la dérivée du diviseur, c'est-à-dire

Si
Que
(5)

Théorème 4. La dérivée d'une constante est égale à zéro, c'est-à-dire si y=C, où C=const, alors y"=0.

Théorème 5. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée, c'est-à-dire si y=Cu(x), où C=const, alors y"=Cu"(x).

Exemple 1.

Trouver la dérivée de la fonction

Cette fonction a la forme
, oùu=x,v=cosx. En appliquant la règle de différenciation (4), on trouve

Exemple 2.

Trouver la dérivée de la fonction

Appliquons la formule (5).

Ici
;
.

Tâches.

Trouvez les dérivées des fonctions suivantes :

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :

La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
Points maximum ou minimum (points extremum),
Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).

Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section de l'analyse mathématique, même les étudiants les plus faibles peuvent la réaliser, car aucune connaissance théorique approfondie n'est requise ici.

Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.

Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais conditions importantes, qui influencent le cours de la décision, il y en a peu.

Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points

Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :

Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points comme A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est un point clé de la solution, et toute erreur ici entraînera une réponse incorrecte.
Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.

Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas formulé correctement.

Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

A partir du dernier exemple, on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.

Calcul des points maximum et minimum

Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :

Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).

Afin de trouver les points maximum et minimum à partir du graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :

Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. On note donc sur axe de coordonnées les zéros de la dérivée - c'est tout.
Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe sous l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.

Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.

Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :

Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.

Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:

Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−6; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant au segment [−4; 3].

Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :

Sur ce graphique il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce point que le signe de la dérivée passe du plus au moins.

Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est correctement rédigé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans domicile fixe » ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.

Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes

Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphique de la dérivée pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :

Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
Une fonction f(x) est appelée décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Ceux. valeur plus élevée L’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction.

Formulons des conditions suffisantes pour augmenter et diminuer :

Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.

Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :

Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f'(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f'(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur un nouveau graphique.
Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.

Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:

Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.

Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :

Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel où f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.

(\large\bf Dérivée d'une fonction)

Considérez la fonction y=f(x), spécifié sur l'intervalle (un B). Laisser X- n'importe quel point fixe de l'intervalle (un B), UN Δx- un nombre arbitraire tel que la valeur x+Δx appartient également à l'intervalle (un B). Ce nombre Δx appelé incrément d’argument.

Définition. Incrément de fonction y=f(x)à ce point X, correspondant à l'incrément d'argument Δx, appelons le numéro

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Nous croyons cela Δx ≠ 0. Considérer en un point fixe donné X le rapport de l'incrément de fonction à ce stade à l'incrément d'argument correspondant Δx

Nous appellerons cette relation la relation de différence. Puisque la valeur X on considère fixe, le rapport de différence est fonction de l'argument Δx. Cette fonction est définie pour toutes les valeurs d'argument Δx, appartenant à un quartier suffisamment petit du point Δx=0, à l'exception du point lui-même Δx=0. Ainsi, on est en droit de considérer la question de l'existence d'une limite de la fonction spécifiée à Δx → 0.

Définition. Dérivée d'une fonction y=f(x) en un point fixe donné X appelé la limite à Δx → 0 rapport de différence, c'est-à-dire

À condition que cette limite existe.

Désignation. y′(x) ou f′(x).

Signification géométrique de la dérivée: Dérivée d'une fonction f(x)à ce point Xégale à la tangente de l'angle entre l'axe Bœuf et une tangente au graphique de cette fonction au point correspondant :

f′(x 0) = \tgα.

Signification mécanique de la dérivée: La dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse de mouvement rectiligne du point :

Équation d'une tangente à une droite y=f(x)à ce point M 0 (x 0 ,y 0) prend la forme

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

La normale à une courbe en un point donné est la perpendiculaire à la tangente en ce même point. Si f′(x 0)≠ 0, alors l'équation de la normale à la droite y=f(x)à ce point M 0 (x 0 ,y 0) s'écrit ainsi :

Le concept de différentiabilité d'une fonction

Laissez la fonction y=f(x) défini sur un certain intervalle (un B), X- une valeur d'argument fixe de cet intervalle, Δx- tout incrément de l'argument tel que la valeur de l'argument x+Δx ∈ (a, b).

Définition. Fonction y=f(x) appelé différentiable en un point donné X, si incrément Δy cette fonction au point X, correspondant à l'incrément d'argument Δx, peut être représenté sous la forme

Δy = A Δx +αΔx,

Où UN- un nombre indépendant de Δx, UN α - fonction argument Δx, qui est infinitésimal à Δx→ 0.

Puisque le produit de deux fonctions infinitésimales αΔx est un infinitésimal d'ordre supérieur à Δx(propriété de 3 fonctions infinitésimales), alors on peut écrire :

Δy = A Δx +o(Δx).

Théorème. Pour que la fonction y=f(x)était différentiable à un moment donné X, il est nécessaire et suffisant qu'il ait une dérivée finie en ce point. Où UNE=f′(x), c'est

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

L'opération consistant à trouver la dérivée est généralement appelée différenciation.

Théorème. Si la fonction y=f(x) X, alors il est continu à ce stade.

Commentaire. De la continuité de la fonction y=f(x)à ce point X, d'une manière générale, la différentiabilité de la fonction ne suit pas f(x)à ce point. Par exemple, la fonction y=|x|- continu en un point x=0, mais n'a pas de dérivée.

Concept de fonction différentielle

Définition. Fonction différentielle y=f(x) le produit de la dérivée de cette fonction et de l'incrément de la variable indépendante est appelé X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Pour la fonction y = x on a dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, c'est dx=Δx- le différentiel d'une variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable.

Ainsi, nous pouvons écrire

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Différentiel mourir et incrémenter Δy les fonctions y=f(x)à ce point X, tous deux correspondant au même incrément d'argument Δx, d’une manière générale, ne sont pas égaux les uns aux autres.

Signification géométrique du différentiel: La différentielle d'une fonction est égale à l'incrément de l'ordonnée de la tangente au graphe de cette fonction lorsque l'argument est incrémenté Δx.

Règles de différenciation

Théorème. Si chacune des fonctions u(x) Et v(x) différentiable en un point donné X, puis la somme, la différence, le produit et le quotient de ces fonctions (quotient à condition que v(x)≠ 0) sont également différentiables à ce stade, et les formules sont valables :

Considérons la fonction complexe y=f(φ(x))≡ F(x), Où y=f(u), u=φ(x). Dans ce cas toi appelé argument intermédiaire, X - variable indépendante.

Théorème. Si y=f(u) Et u=φ(x) sont des fonctions différentiables de leurs arguments, alors la dérivée d'une fonction complexe y=f(φ(x)) existe et est égal au produit de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et à la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante, c'est-à-dire

Commentaire. Pour une fonction complexe qui est une superposition de trois fonctions y=F(f(φ(x))), la règle de différenciation a la forme

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

où sont les fonctions v = φ (x), u=f(v) Et y=F(u)- les fonctions différentiables de leurs arguments.

Théorème. Laissez la fonction y=f(x) augmente (ou diminue) et est continue dans un certain voisinage du point x0. Soit en plus cette fonction dérivable au point indiqué x0 et sa dérivée à ce stade f′(x 0) ≠ 0. Puis dans un certain voisinage du point correspondant oui 0 =f(x 0) l'inverse est défini pour y=f(x) fonction x=f -1 (y), et le indiqué fonction inverse différentiable au point correspondant oui 0 =f(x 0) et pour sa dérivée à ce stade oui la formule est valide

Tableau des dérivés

Invariance de la forme du premier différentiel

Considérons la différentielle d'une fonction complexe. Si y=f(x), x=φ(t)- les fonctions de leurs arguments sont différentiables, alors la dérivée de la fonction y=f(φ(t)) exprimé par la formule

y′ t = y′ x x′ t.

Prieuré A dy=y′ t dt, alors on obtient

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Nous avons donc prouvé

Propriété d'invariance de la forme de la première différentielle d'une fonction: comme dans le cas où l'argument X est une variable indépendante, et dans le cas où l'argument X elle-même est une fonction différentiable de la nouvelle variable, la différentielle mourir les fonctions y=f(x) est égal à la dérivée de cette fonction multipliée par la différentielle de l'argument dx.

Application du différentiel dans les calculs approximatifs

Nous avons montré que le différentiel mourir les fonctions y=f(x), d’une manière générale, n’est pas égal à l’incrément Δy cette fonction. Cependant, jusqu’à une fonction infinitésimale d’un ordre de petitesse supérieur à Δx, l'égalité approximative est valide

Δy ≈ dy.

Le rapport s'appelle l'erreur relative de l'égalité de cette égalité. Parce que Δy-dy=o(Δx), alors l'erreur relative de cette égalité devient aussi petite que souhaité avec la diminution |Δх|.

Étant donné que Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, on a f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx ou

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Cette égalité approximative permet avec erreur o(Δx) remplacer la fonction f(x) dans un petit quartier de la pointe X(c'est-à-dire pour les petites valeurs Δx) fonction linéaire de l'argument Δx, debout sur le côté droit.

Dérivés d'ordre supérieur

Définition. Dérivée seconde (ou dérivée du second ordre) d'une fonction y=f(x) est appelée la dérivée de sa dérivée première.

Notation pour la dérivée seconde d'une fonction y=f(x):

Signification mécanique de la dérivée seconde. Si la fonction y=f(x) décrit la loi du mouvement d'un point matériel en ligne droite, puis la dérivée seconde f″(x)égal à l'accélération d'un point en mouvement à un instant donné X.

Les dérivées troisième et quatrième sont déterminées de la même manière.

Définition. nème dérivée (ou dérivée n(ème ordre) fonctions y=f(x) s'appelle sa dérivée n-1ème dérivée :

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Désignations : y", et IV, et V etc.