V najrazličnejših teoretičnih in aplikativnih raziskavah se široko uporabljajo metode matematičnega modeliranja, ki reducirajo reševanje problemov na določenem področju raziskovanja na rešitev ustreznih (ali približno ustreznih) problemov. matematične težave. Rešitev teh problemov je treba pripeljati do numeričnega rezultata (izračun različnih vrst količin, reševanje različnih vrst enačb itd.). Cilj računalniške matematike je razviti algoritme za numerično reševanje širokega spektra matematičnih problemov. Metode morajo biti zasnovane tako, da jih je mogoče učinkovito izvajati z uporabo sodobne računalniške tehnologije. Obravnavani problemi praviloma ne dopuščajo natančne rešitve, zato govorimo o razvoju algoritmov, ki dajejo približno rešitev. Da lahko neznano natančno rešitev problema nadomestimo s približno, je nujno, da je ta dovolj blizu natančni. V zvezi s tem je treba oceniti bližino približne rešitve natančni in razviti približne metode za konstruiranje približnih rešitev, ki so čim bližje natančnim.
Shematsko je postopek računanja naslednji: za dano vrednost x(numerično, vektorsko itd.) izračunati vrednost neke funkcije A(x). Razlika med natančnimi in približnimi vrednostmi količine se imenuje napaka. Natančen izračun vrednosti A(x) običajno nemogoče in vas prisili, da zamenjate funkcijo (delovanje) A njen približni prikaz à , ki se lahko izračuna: izračun količine A(x), se nadomesti z izračunom- Ã(x) A(x) - Ã(x) klical napaka metode. Metodo za ocenjevanje te napake je treba razviti skupaj z razvojem metode za izračun vrednosti Ã(x). Od možne metode Pri konstruiranju približka je treba uporabiti tisto, ki glede na razpoložljiva sredstva in zmožnosti daje najmanjšo napako.
Vrednost vrednosti x, to je začetni podatek, se v resničnih problemih pridobi bodisi neposredno iz meritev bodisi kot rezultat prejšnje stopnje izračunov. V teh primerih se določi le približna vrednost xo količine x. Zato namesto vrednosti Ã(x) mogoče je izračunati le približno vrednost Ã(x o). Nastala napaka A(x) - Ã(x o) klical nepopravljivo. Zaradi zaokroževanj, neizogibnih med izračuni, namesto vrednosti Ã(x o) izračuna se njegova "zaokrožena" vrednost, ki vodi do videza napake pri zaokroževanju Ã(x o)- . Skupna računska napaka se izkaže za enako A(x) - .
Predstavimo skupno napako v obrazcu
A(x) - = [A(x) - ] + [ - Ã(x o)] +
+ [Ã(x o) - ] (1)
Zadnja enakost kaže, da je skupna računska napaka enaka vsoti napake metode, usodne napake in napake zaokroževanja. Prvi dve komponenti napake je mogoče oceniti pred začetkom izračunov. Napaka zaokroževanja se oceni samo med izračuni.
Razmislimo o naslednjih nalogah:
a) značilnost točnosti približnih števil
b) ocena točnosti rezultata ob znani točnosti začetnih podatkov (ocena usodne napake)
c) določanje zahtevane točnosti začetnih podatkov za zagotovitev določene točnosti rezultata
d) usklajevanje točnosti izvornih podatkov in izračunov z zmogljivostmi razpoložljivih računalniških orodij.
4 Merske napake
4.1 Prave in dejanske vrednosti fizikalnih količin. Napaka pri merjenju. Vzroki merilnih napak
Pri analizi meritev je treba jasno ločiti dva pojma: prave vrednosti fizikalnih količin in njihove empirične manifestacije - rezultate meritev.
Prave vrednosti fizikalnih količin - to so vrednote, na idealen način ki odražajo lastnosti danega predmeta tako kvantitativno kot kvalitativno. Niso odvisni od merilnih sredstev in so absolutna resnica, h kateri težijo pri meritvah.
Ravno nasprotno, rezultati meritev so produkti spoznanja. Predstavljajo približne ocene vrednosti količin, ugotovljenih kot rezultat meritev, so odvisne od merilne metode, merilnih instrumentov in drugih dejavnikov.
Napaka pri merjenju razlika med rezultatom meritve x in pravo vrednostjo Q izmerjene količine se imenuje:
Δ= x – Q (4.1)
Toda odkar pravi pomen Q izmerjene količine ni znan, potem se za določitev merilne napake v formuli (4.1) namesto prave vrednosti nadomesti tako imenovana realna vrednost.
Pod dejansko vrednost merjene količine njegov pomen se razume kot tisti, ki ga najdemo eksperimentalno in je tako blizu resnični vrednosti, da se lahko za določen namen uporabi namesto njega.
Vzroki za napake so: nepopolnost merilnih metod, merilnih instrumentov in opazovalčevih čutil. Razloge, povezane z vplivom merilnih pogojev, je treba združiti v ločeno skupino. Slednji se kažejo na dva načina. Po eni strani so vse fizikalne količine, ki igrajo kakršno koli vlogo pri meritvah, tako ali drugače odvisne druga od druge. Zato se s spremembami zunanjih pogojev spremenijo prave vrednosti izmerjenih količin. Po drugi strani pa pogoji merjenja vplivajo tako na lastnosti merilnih instrumentov kot na fiziološke lastnosti opazovalčevih čutil in preko njih postanejo vir merilnih napak.
4.2 Razvrstitev merilnih napak glede na naravo njihove spremembe
Opisani vzroki za napake so kombinacija veliko število dejavniki, pod vplivom katerih nastane skupna merilna napaka. Združimo jih lahko v dve glavni skupini.
V prvo skupino sodijo dejavniki, ki se pojavljajo neredno in nenadoma izginejo ali se pojavijo s težko predvidljivo intenzivnostjo. Sem sodijo na primer majhna nihanja vplivnih veličin (temperatura, tlak okolju itd.). Delež ali komponenta celotne merilne napake, ki nastane pod vplivom dejavnikov te skupine, določa naključno merilno napako.
torej naključna merilna napaka - komponenta merilne napake, ki se naključno spreminja pri ponovnih meritvah iste količine.
Pri izdelavi merilnih instrumentov in organizaciji merilnega procesa kot celote se lahko intenzivnost manifestacije dejavnikov, ki določajo naključno merilno napako, zmanjša na splošno raven, tako da vsi bolj ali manj enakomerno vplivajo na nastanek naključne napake. napaka. Nekatere med njimi, na primer nenaden padec napetosti v električnem omrežju, pa se lahko pojavijo nepričakovano močno, zaradi česar bo napaka dobila razsežnosti, ki očitno presegajo meje, določene s potekom merilnega poskusa. . Take napake znotraj naključne napake imenujemo nesramen . Tesno ob njih zgreši - napake, ki so odvisne od opazovalca in so povezane z nepravilnim ravnanjem z merilnimi instrumenti, nepravilnimi odčitki ali napakami pri zapisovanju rezultatov.
V drugo skupino sodijo dejavniki, ki so konstantni ali se med merilnim poskusom naravno spreminjajo, na primer gladke spremembe vplivnih veličin. Komponenta skupne merilne napake, ki nastane pod vplivom dejavnikov te skupine, določa sistematično merilno napako.
torej sistematična merilna napaka - komponenta merilne napake, ki ostane konstantna ali se naravno spreminja pri ponavljajočih se meritvah iste količine.
Med postopkom merjenja se opisane komponente napake pojavljajo sočasno, skupno napako pa lahko predstavimo kot vsoto
, (4.2)
kje 
- naključne in Δ s - sistematične napake.
Za pridobitev rezultatov, ki se minimalno razlikujejo od dejanskih vrednosti količin, se izvajajo večkratna opazovanja merjene količine, ki jim sledi obdelava eksperimentalnih podatkov. zato velika vrednost ima študijo napake kot funkcije števila opazovanj, tj. čas A(t). Nato lahko posamezne vrednosti napak interpretiramo kot niz vrednosti te funkcije:
Δ 1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n).
V splošnem primeru je napaka naključna funkcija časa, ki se od klasičnih funkcij matematične analize razlikuje po tem, da ni mogoče reči, kakšno vrednost bo imela v času t i. Navedete lahko le verjetnost pojava njegovih vrednosti v določenem intervalu. V nizu poskusov, sestavljenih iz številnih ponovljenih opazovanj, dobimo eno izvedbo te funkcije. Pri ponavljanju serije z enakimi vrednostmi količin, ki označujejo faktorje druge skupine, neizogibno dobimo novo izvedbo, ki se razlikuje od prve. Uresničitve se med seboj razlikujejo zaradi vpliva dejavnikov prve skupine, nekaj pa jim dajejo dejavniki druge skupine, ki se pri vsakem uresničevanju enako manifestirajo. skupne značilnosti(Slika 4.1).
Merilna napaka, ki ustreza vsakemu časovnemu trenutku t i, se imenuje presek naključna funkcijaΔ(t). V vsakem razdelku lahko najdete povprečno vrednost napake Δ s (t i), okoli katere so združene napake v različnih izvedbah. Če skozi točke Δ s (t i), dobljene na ta način, narišemo gladko krivuljo, bo to označevalo splošni trend sprememb napake skozi čas. Preprosto je videti, da so povprečne vrednosti Δ s (tj) določene z delovanjem dejavnikov druge skupine in predstavljajo sistematično merilno napako v času t i, odstopanja Δ j (t j) od povprečne vrednosti v razdelek t i, ustrezen j. izvedba, podajte vrednost naključne napake. Enakost torej velja
(4.3)
Slika 4.1
Predpostavimo, da je Δ s (t i) = 0, tj. sistematične napake so na tak ali drugačen način izključene iz rezultatov opazovanja in upoštevali bomo le naključne napake, katerih povprečne vrednosti so v vsakem odseku enake nič. Predpostavimo, da naključne napake v različnih odsekih niso odvisne druga od druge, tj. poznavanje naključne napake v enem delu nam ne daje nobene dodatne informacije o vrednosti, ki jo ima ta realizacija v katerem koli odseku, in da vse teoretične in verjetnostne značilnosti naključnih napak, ki so vrednosti ene realizacije v vseh odsekih, med seboj sovpadajo. Nato lahko naključno napako obravnavamo kot naključno spremenljivko, njene vrednosti za vsako od večkratnih opazovanj iste fizikalne količine pa kot rezultate neodvisnih opazovanj le-te.
V takih pogojih je naključna merilna napaka definirana kot razlika med popravljenim merilnim rezultatom XI (rezultat, ki ne vsebuje sistematične napake) in pravo vrednostjo Q izmerjene količine:
Δ = X IN –Q 4.4)
Poleg tega bo popravljen rezultat meritve izključen iz sistemskih napak.
Take podatke običajno dobimo pri preverjanju merilnih instrumentov z merjenjem vnaprej znanih količin. Pri izvajanju meritev je cilj oceniti pravo vrednost merjene količine, ki je pred poskusom neznana. Merilni rezultat vsebuje poleg prave vrednosti tudi naključno napako, zato je sam po sebi naključna spremenljivka. Pod temi pogoji dejanska vrednost naključne napake, dobljena med preverjanjem, še ne označuje točnosti meritev, zato ni jasno, katero vrednost vzeti kot končni rezultat meritve in kako označiti njegovo točnost.
Odgovor na ta vprašanja lahko dobimo z uporabo metod matematične statistike, ki se pri obdelavi rezultatov opazovanj ukvarjajo posebej z naključnimi spremenljivkami.
4.3 Razvrstitev merilnih napak glede na razloge za njihov nastanek
Glede na razloge za njihov nastanek ločimo naslednje skupine napak: metodološke, instrumentalne, zunanje in subjektivne.
Pri številnih merilnih metodah je mogoče zaznati metodološka napaka , ki je posledica določenih predpostavk in poenostavitev, uporabe empiričnih formul in funkcijskih odvisnosti. V nekaterih primerih se izkaže, da je vpliv takšnih predpostavk nepomemben, tj. veliko manj od dovoljenih merilnih napak; v drugih primerih presega te napake.
Primer metodoloških napak so napake v metodi merjenja električnega upora z ampermetrom in voltmetrom (slika 4.2). Če je upor R x določen s formulo Ohmovega zakona R x =U v /I a, kjer je U v padec napetosti, izmerjen z voltmetrom V; I a je jakost toka, izmerjena z ampermetrom A, potem bodo v obeh primerih dovoljene metodološke napake pri merjenju.
Na sliki 4.2a bo tok I a, izmerjen z ampermetrom, večji od toka v uporu R x za vrednost toka I v v voltmetru, priključenem vzporedno z uporom. Upor R x, izračunan po zgornji formuli, bo manjši od dejanskega. Na sliki 4.2.6 bo napetost, izmerjena z voltmetrom V, večja od padca napetosti U r v uporu R x za vrednost U a (padec napetosti na uporu ampermetra A). Upor, izračunan po formuli Ohmovega zakona, bo večji od upora R x za vrednost R a (upor ampermetra). Popravke v obeh primerih je mogoče enostavno izračunati, če poznate upornost voltmetra in ampermetra. Popravkov ni treba opraviti, če so znatno manjši od dovoljene napake pri merjenju upora R x, na primer, če je v prvem primeru upor voltmetra znatno b
Večji od R x, v drugem primeru pa je R a bistveno manjši od R x.
Slika 4.2
Drug primer pojava metodološke napake je merjenje prostornine teles, katerih oblika je predpostavljena kot geometrijsko pravilna, z merjenjem mer na enem ali na nezadostnem številu mest, na primer merjenje prostornine prostor z merjenjem dolžine, širine in višine le v treh smereh. Za natančno določitev prostornine bi bilo treba določiti dolžino in širino prostora vzdolž vsake stene, zgoraj in spodaj, izmeriti višino na vogalih in v sredini ter na koncu še vogale med stenami. Ta primer ponazarja možnost, da pride do pomembne metodološke napake, če je metoda neupravičeno poenostavljena.
Metodološka napaka je praviloma sistemska napaka.
Instrumentalna napaka - to je komponenta napake zaradi nepopolnosti merilnih instrumentov. Klasičen primer takšne napake je napaka merilnega instrumenta, ki nastane zaradi netočne kalibracije njegove skale. Zelo pomembno je jasno razlikovati med merilnimi napakami in instrumentalnimi napakami. Nepopolnost merilnih instrumentov je le eden od virov merilne napake in določa samo eno od njenih komponent - instrumentalno napako. Po drugi strani pa je instrumentalna napaka popolna, katere komponente - napake funkcionalnih enot - so lahko sistematične in naključne.
Zunanja napaka - komponenta merilne napake, ki nastane zaradi odstopanja ene ali več vplivnih veličin od normalnih vrednosti ali njihovega izstopa izven običajnega območja (na primer vpliv temperature, zunanjih električnih in magnetnih polj, mehanskih vplivov itd.). Zunanje napake so praviloma določene z dodatnimi napakami uporabljenih merilnih instrumentov in so sistematične. Če pa so vplivne količine nestabilne, lahko postanejo naključne.
Subjektivna (osebna) napaka zaradi posamezne značilnosti eksperimentator in je lahko sistematično ali naključno. Pri uporabi sodobnih digitalnih merilnih instrumentov lahko subjektivno napako zanemarimo. Pri odčitavanju kazalnih inštrumentov pa so lahko takšne napake pomembne zaradi nepravilnega odčitavanja desetink razdelka skale, asimetrije, ki nastane pri nastavitvi poteze na sredini med dvema oznakama itd. Na primer, napake, ki jih naredi eksperimentator pri ocenjevanju desetin delitve lestvice instrumenta, lahko dosežejo 0,1 delitve. Te napake se kažejo v dejstvu, da so za različne desetinke delitve za različne eksperimentatorje značilne različne frekvence ocen in vsak eksperimentator dolgo časa ohranja svojo značilno porazdelitev. Tako se en izvajalec poskusov pogosteje nanaša na odčitke na črte, ki tvorijo robove razdelka, in na vrednost 0,5 razdelka. Druga je na vrednosti 0,4 in 0,6 delitve. Tretji daje prednost vrednosti 0,2 in 0,8 delitve itd. Na splošno, ob upoštevanju naključnega eksperimentatorja, se lahko porazdelitev napak pri štetju desetin razdelka šteje za enotno z mejami ±0,1 razdelka.
4.4 Obrazci za prikaz merilne napake. Natančnost meritev
Merilno napako lahko predstavimo v obliki absolutno napaka izražena v enotah izmerjene vrednosti in določena s formulo (4.1), oz relativno napaka, definirana kot razmerje med absolutno napako in pravo vrednostjo izmerjene vrednosti:
δ = Δ/Q. (4,5)
V primeru izražanja naključne napake v odstotkih se razmerje Δ/Q pomnoži s 100 %. Poleg tega je v formuli (4.5) dovoljeno uporabiti rezultat merjenja x namesto prave vrednosti Q.
Koncept se tudi pogosto uporablja natančnost merjenja − značilnost, ki odraža bližino njihovih rezultatov dejanski vrednosti izmerjene vrednosti. Z drugimi besedami, visoka natančnost ustreza majhnim merilnim napakam. Zato je mogoče natančnost merjenja kvantitativno oceniti z recipročno vrednostjo modula relativne napake
3.2. Zaokroževanje
Eden od virov za pridobitev približnih številk je O zaokroževanje. Točne in približne številke so zaokrožene.
Zaokroževanje dano številko do določene števke se imenuje zamenjava z novo številko, ki jo dobimo iz dane z odmetavanje zapisane vse njegove številke na desnoštevk te številke ali pa jo zamenjate z ničlami. te ničle ponavadi podčrtaj ali piši manjše. Če želite zagotoviti največjo bližino zaokroženega števila zaokroženemu, uporabite naslednje pravila:
Če želite zaokrožiti število na eno od določene števke, morate zavreči vse števke za števko te številke in jih nadomestiti z ničlami v celem številu. Upošteva se naslednje:
1 ), če je prva (leva) od zavrženih števk manj kot 5, potem se zadnja leva številka ne spremeni (zaokroži z slabost);
2 ), če je prva številka, ki jo je treba zavreči večje od 5 ali enako 5, potem se zadnja leva številka poveča za eno (zaokroži z presežek).*
Na primer:
Okrogla:odgovori:
A) na desetinke 12,34; 12,34 ≈ 12,3;
b) na stotinke 3,2465; 1038.785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
V) na tisočinke 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;
G) do tisoč 12.375, 320.729 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.
(* Pred nekaj leti, v primeru zavrženja samo ene števke 5 užival "pravilo sodih števil": zadnja številka je ostala nespremenjena, če je bila soda, in povečana za ena, če je bila liha. Zdaj "pravila sodih številk" ne upoštevajte: če je ena številka zavržena 5 , potem se ena doda zadnji levi številki, ne glede na to, ali je soda ali liha).
3.3. Absolutna in relativna napaka približnih vrednosti
Absolutna vrednost razlike med približno in točno (pravo) vrednostjo količine imenujemo absolutna napaka približna vrednost. Na primer, če točno število 1,214 zaokrožimo na najbližjo desetino, dobimo približno število 1,2 . IN v tem primeru absolutna napaka približnega števila bo 1,214 – 1,2 = 0,014 .
Toda v večini primerov natančna vrednost obravnavana količina ni znana, ampak le približna. Potem absolutna napaka ni znana. V teh primerih navedite meja, ki ga ne presega. Ta številka se imenuje mejna absolutna napaka. Pravijo, da je natančna vrednost števila enaka njegovi približni vrednosti z napako, manjšo od mejne napake. Na primer, številka 23,71 je približna vrednost števila 23,7125 do 0,01 , saj je absolutna napaka približka enaka 0,0025 in manj 0,01 . Tukaj je mejna absolutna napaka enaka 0,01 .*
(* Absolutno Napaka je lahko pozitivna in negativna. Na primer,1,68 ≈ 1,7 . Absolutna napaka je 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Meja napaka je vedno pozitivna).
Mejna absolutna napaka približnega števila " A » je označen s simbolom Δ A . Zapis
X ≈ a (Δa)
je treba razumeti takole: natančna vrednost količine X je med številkami A +Δ A in A –Δ A, ki se temu primerno imenujejo dno in zgornja mejaX in označujejo n G X in IN G X .
Na primer, Če X
≈ 2,3 (
0,1),
to 2,2 <
X
< 2,4
.
Nasprotno, če 7,3 < X < 7,4 , to X ≈ 7,35 ( 0,05).
Absolutna ali mejna absolutna napaka ne označuje kakovost opravljene meritve. Ista absolutna napaka se lahko šteje za pomembno in nepomembno glede na število, s katerim je izražena izmerjena vrednost.
Na primer, če merimo razdaljo med dvema mestoma z natančnostjo enega kilometra, potem je takšna natančnost povsem zadostna za to meritev, hkrati pa bo pri merjenju razdalje med dvema hišama na isti ulici takšna natančnost nesprejemljiva.
Posledično je točnost približne vrednosti količine odvisna ne samo od velikosti absolutne napake, ampak tudi od vrednosti merjene količine. zato merilo točnosti je relativna napaka.
Relativna napaka se imenuje razmerje med absolutno napako in vrednostjo približnega števila. Imenuje se razmerje med mejno absolutno napako in približnim številom mejna relativna napaka; označi takole: Δ a/a . Relativne in mejne relativne napake so običajno izražene kot v odstotkih.
Na primer, če meritve pokažejo, da je razdalja med točkama večja 12,3 km, vendar manj 12,7 km, potem za približno njegov pomen je sprejet aritmetična sredina ti dve številki, tj. njihov pol vsote, Potem meja absolutna napaka je polovične razlike te številke. V tem primeru X ≈ 12,5 ( 0,2). Tukaj je meja absolutno napaka je enaka 0,2 km, in meja relativno:
Absolutne in relativne napake
Absolutna merilna napaka je količina, določena z razliko med rezultatom meritve x in pravo vrednost izmerjene količine x 0:
Δ x = |x – x 0 |.
Vrednost δ, enako razmerju Absolutna napaka meritve glede na rezultat meritve se imenuje relativna napaka:
Primer 2.1. Približna vrednost π je 3,14. Potem je njegova napaka 0,00159... . Absolutna napaka je lahko enaka 0,0016, relativna napaka pa 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Pomembne številke. Če absolutna napaka vrednosti a ne presega ene mestne enote zadnje števke števila a, potem pravimo, da ima število vse pravilne predznake. Zapišite približne številke, ohranite le pravilne znake. Če je na primer absolutna napaka števila 52.400 100, potem je treba to številko zapisati na primer v obliki 524 · 10 2 ali 0,524 · 10 5. Napako približnega števila lahko ocenite tako, da navedete, kako veliko pravilnih pomembnih števk vsebuje. Pri štetju pomembnih številk se ničle na levi strani števila ne štejejo.
Na primer, število 0,0283 ima tri veljavne pomembne številke, 2,5400 pa pet veljavnih pomembnih številk.
Pravila zaokroževanja števil. Če približna številka vsebuje odvečne (ali nepravilne) števke, jo je treba zaokrožiti. Pri zaokroževanju pride do dodatne napake, ki ne presega polovice enote mesta zadnje pomembne števke ( d) zaokroženo število. Pri zaokroževanju se ohranijo le pravilne številke; dodatni znaki se zavržejo in če je prva zavržena števka večja ali enaka d/2, potem se zadnja shranjena številka poveča za eno.
Dodatne števke v celih številih se nadomestijo z ničlami in v decimalke se zavržejo (prav tako dodatne ničle). Na primer, če je merilna napaka 0,001 mm, se rezultat 1,07005 zaokroži na 1,070. Če je prva števka, spremenjena z ničlami in zavržena, manjša od 5, se preostale števke ne spremenijo. Na primer, število 148.935 z natančnostjo merjenja 50 ima zaokroženo vrednost 148.900. Če je prva od števk, zamenjanih z ničlami ali zavrženih, 5 in ji ne sledi nobena števka ali ničla, se zaokroži na najbližjo številko. sodo število. Na primer, število 123,50 se zaokroži na 124. Če je prva številka, ki jo je treba zamenjati z ničlami ali zavreči, večja ali enaka 5, a ji sledi pomembna številka, se zadnja preostala številka poveča za eno. Na primer, število 6783,6 je zaokroženo na 6784.
Primer 2.2. Pri zaokroževanju 1284 na 1300 je absolutna napaka 1300 – 1284 = 16, pri zaokroževanju na 1280 pa je absolutna napaka 1280 – 1284 = 4.
Primer 2.3. Pri zaokroževanju števila 197 na 200 je absolutna napaka 200 – 197 = 3. Relativna napaka je 3/197 ≈ 0,01523 ali približno 3/200 ≈ 1,5 %.
Primer 2.4. Prodajalec stehta lubenico na tehtnici. Najmanjša teža v kompletu je 50 g. Ta številka je približna. Točna teža lubenica neznana. Toda absolutna napaka ne presega 50 g, relativna napaka ne presega 50/3600 = 1,4%.
Napake pri reševanju težave na PC
Kot glavne vire napak običajno štejemo tri vrste napak. Te se imenujejo napake prirezovanja, napake zaokroževanja in napake razmnoževanja. Na primer, pri uporabi iterativnih metod za iskanje korenin nelinearnih enačb so rezultati približni, v nasprotju z direktnimi metodami, ki zagotavljajo natančno rešitev.
Napake obrezovanja
Ta vrsta napake je povezana z napako, ki je del same naloge. Lahko je posledica netočnosti pri določanju izvornih podatkov. Na primer, če so v izjavi o problemu navedene katere koli dimenzije, potem so v praksi za realne objekte te dimenzije vedno znane z določeno natančnostjo. Enako velja za vse druge fizikalni parametri. To vključuje tudi netočnost formul za izračun in vanje vključenih numeričnih koeficientov.
Napake razmnoževanja
Ta vrsta napake je povezana z uporabo ene ali druge metode reševanja problema. Med izračuni neizogibno pride do kopičenja ali z drugimi besedami širjenja napak. Poleg tega, da izvirni podatki sami po sebi niso točni, nastane nova napaka, ko jih pomnožimo, seštejemo itd. Kopičenje napake je odvisno od narave in števila aritmetičnih operacij, uporabljenih pri izračunu.
Napake pri zaokroževanju
Do te vrste napake pride, ker računalnik ne shrani vedno prave vrednosti števila. Ko je realno število shranjeno v pomnilniku računalnika, je zapisano kot mantisa in eksponent na približno enak način, kot je število prikazano na kalkulatorju.
Zdaj, ko ima oseba v lasti močan arzenal računalniške opreme (različni kalkulatorji, računalniki itd.), Je skladnost s pravili približnih izračunov še posebej pomembna, da ne bi izkrivljali zanesljivosti rezultata.
Pri izvajanju kakršnih koli izračunov se morate spomniti natančnosti rezultata, ki ga lahko ali bi morali (če je ugotovljeno) dobiti. Zato je nesprejemljivo izvajati izračune z večjo natančnostjo, kot jo določajo podatki fizikalnega problema ali zahtevajo eksperimentalni pogoji1. Na primer, pri izvajanju matematičnih operacij z numeričnimi vrednostmi fizikalnih količin, ki imajo dve zanesljivi (pomembni) števki, ne morete zapisati rezultata izračunov z natančnostjo, ki presega meje dveh zanesljivih števk, tudi če na koncu več jih imamo.
Vrednost fizikalnih veličin je treba zapisati, pri čemer je treba upoštevati le znake zanesljivega rezultata. Na primer, če ima številska vrednost 39.600 tri zanesljive števke (absolutna napaka rezultata je 100), je treba rezultat zapisati kot 3,96 104 ali 0,396 105. Pri izračunu zanesljivih števk so ničle na levi strani števila se ne upoštevajo.
Da bi bil rezultat izračuna pravilen, ga je treba zaokrožiti, tako da ostane le prava vrednost količine. Če številska vrednost količine vsebuje dodatne (nezanesljive) števke, ki presegajo določeno natančnost, se zadnja shranjena številka poveča za 1 pod pogojem, da je presežek (dodatne števke) enak ali večji od polovice vrednosti naslednje števke številko.
V različnih številskih vrednostih je ničla lahko zanesljivo ali nezanesljivo število. Torej, v primeru b) gre za nezanesljiv podatek, v primeru d) pa je zanesljiv in pomemben. V fiziki, če želijo poudariti zanesljivost števke numerične vrednosti fizikalne količine, v njenem standardnem izrazu označijo "0". Na primer, zapis vrednosti mase 2,10 10-3 kg pomeni tri zanesljive števke rezultata in ustrezno natančnost meritve, vrednost 2,1 10-3 kg pa le dve zanesljivi števki.
Ne smemo pozabiti, da je rezultat dejanj s številčnimi vrednostmi fizikalnih količin približen rezultat, ki upošteva natančnost izračuna ali merilno napako. Zato morate pri približnih izračunih upoštevati naslednja pravila za izračun zanesljivih številk:
1. Pri izvajanju aritmetičnih operacij s številskimi vrednostmi fizikalnih količin je treba njihov rezultat vzeti toliko zanesljivih znakov, kolikor je številskih vrednosti z najmanjšim številom zanesljivih znakov.
2. Pri vseh vmesnih izračunih je treba obdržati eno števko več od numerične vrednosti z najmanjšim številom zanesljivih števk. Na koncu se ta "dodatna" številka z zaokroževanjem zavrže.
3. Če imajo nekateri podatki bolj zanesljive znake kot drugi, je treba njihove vrednosti najprej zaokrožiti (lahko shranite eno "odvečno" številko) in nato izvesti dejanja.
V večini primerov so številski podatki v nalogah približni. V pogojih naloge se lahko pojavijo tudi natančne vrednosti, na primer rezultati štetja majhnega števila predmetov, nekatere konstante itd.
Za navedbo približne vrednosti števila uporabite približen znak enačbe; beremo takole: »približno enako« (ne smemo brati: »približno enako«).
Ugotovitev narave numeričnih podatkov je pomembna pripravljalna faza pri reševanju katerega koli problema.
Naslednje smernice vam lahko pomagajo prepoznati točne in približne številke:
| Točne vrednosti | Približne vrednosti |
| 1. Vrednosti številnih pretvorbenih faktorjev za prehod iz ene merske enote v drugo (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Številni pretvorbeni faktorji so bili izmerjeni in izračunani s tako visoko (meroslovno) natančnostjo, da zdaj praktično veljajo za točne. | 1. Večina vrednosti matematičnih količin, navedenih v tabelah (korenine, logaritmi, vrednosti trigonometrične funkcije, pa tudi praktični pomen števila in osnove naravni logaritmi(številka e)) |
| 2. Faktorji lestvice. | Če je na primer znano, da je merilo 1:10000, se štejeta številki 1 in 10000 za točni. |
| Če je navedeno, da je 1 cm 4 m, sta 1 in 4 točni vrednosti dolžine | 2. Rezultati meritev. |
| (Nekaj osnovnih konstant: hitrost svetlobe v vakuumu, gravitacijska konstanta, naboj in masa elektrona itd.) Tabelarične vrednosti fizikalnih količin (gostota snovi, tališča in vrelišča itd.) 3. Tarife in cene.(strošek 1 kWh električne energije – točna cena) | |
| 3. Projektni podatki so tudi približni, ker so določeni z nekaterimi odstopanji, ki so standardizirani z GOST-i. | |
| (Npr. po standardu so mere opeke: dolžina 250 6 mm, širina 120 4 mm, debelina 65 3 mm) V isto skupino približnih številk sodijo mere, vzete iz risbe. | |
| 7. 4. Pogojne vrednosti količin (Primeri: absolutna ničla |
temperatura -273,15 C, normalni atmosferski tlak 101325 Pa) 5. Koeficienti in eksponenti v fizikalnih in matematičnih formulah ( ; %; itd.).
1. 6. Rezultati štetja artiklov (število baterij v bateriji; število kartonov mleka, ki jih proizvede tovarna in jih prešteje fotoelektrični števec)
Nastavitvene točke
količine (Na primer, v problemu »Poiščite obdobja nihanja nihala dolžine 1 in 4 m« se lahko številki 1 in 4 štejeta za natančne vrednosti dolžine nihala)
Izvedi
naslednje naloge, odgovor oblikujte v obliki tabele:
Označite, katere od navedenih vrednosti so točne in katere približne:
1) Gostota vode (4 C)………..………………………..………………1000 kg/m3
2. 2) Hitrost zvoka (0 C)………………………………………….332 m/s
1) V parnem stroju bronasti kolut, katerega dolžina in širina sta 200 oziroma 120 mm, doživi tlak 12 MPa. Poiščite silo, potrebno za premikanje tuljave vzdolž litoželezne površine valja. Koeficient trenja je 0,10.
2) Določite upornost žarilne nitke električne žarnice z naslednjimi oznakami: "220V, 60 W."
3. Kakšne odgovore – točne ali približne – bomo dobili pri reševanju naslednjih nalog?
1) Kolikšna je hitrost prosto padajočega telesa ob koncu 15. sekunde, če je časovni interval natančno določen?
2) Kolikšna je hitrost škripca, če je njegov premer 300 mm in vrtilna hitrost 10 vrt/s? Podatke upoštevajte kot točne.
3) Določite modul sile. Merilo 1 cm – 50N.
4) Določite koeficient statičnega trenja za telo, ki leži na nagnjeni ravnini, če telo začne enakomerno drseti po pobočju pri = 0,675, kjer je naklonski kot ravnine.
Če je znano, da a< А, то а называют približna vrednost A s pomanjkljivostjo.Če a > A, potem se kliče a približna vrednost A s presežkom.
Razlika med natančnimi in približnimi vrednostmi količine se imenuje napaka približka in je označena z D, tj.
D = A – a (1)
Napaka aproksimacije D je lahko pozitivno ali negativno število.
Za opredelitev razlike med približno vrednostjo količine in natančno vrednostjo pogosto zadostuje navedba absolutne vrednosti razlike med natančno in približno vrednostjo.
Absolutna vrednost razlike med pribl A in natančno A imenujemo vrednosti števila absolutna napaka (napaka) aproksimacije in označeno z D A:
D A = ½ A – A½ (2)
Primer 1. Pri merjenju segmenta l uporabil ravnilo, katerega razdelek je 0,5 cm, dobil približno vrednost dolžine A= 204 cm.
Jasno je, da je med merjenjem lahko prišlo do napake največ 0,5 cm, tj. Absolutna merilna napaka ne presega 0,5 cm.
Običajno absolutna napaka ni znana, saj je natančna vrednost števila A neznana ocenjevanje absolutna napaka:
D A <= DA prej. (3)
kjer D in prej. – največja napaka (število, več nič), določeno ob upoštevanju zanesljivosti, s katero je znano število a.
Imenuje se tudi največja absolutna napaka meja napake. Torej, v navedenem primeru,
D in prej. = 0,5 cm.
Iz (3) dobimo:
D A = ½ A – A½<= DA prej. .
A– D A prej. ≤ A≤ A+D A prej. . (4)
a – D A prej. bo približna vrednost A s pomanjkljivostjo
a + D A prej – približna vrednost A v izobilju. Uporablja se tudi kratek zapis:
A= A± D A prej (5)
Iz definicije največje absolutne napake sledi, da so števila D A prej, ki izpolnjuje neenakost (3), bo obstajala neskončna množica. V praksi poskušajo izbrati mogoče manj iz številk D in prej, ki izpolnjuje neenakost D A <= DA prej.
Primer 2. Določimo največjo absolutno napako števila a=3,14, vzeto kot približna vrednost števila π.
Znano je, da 3,14<π<3,15. Iz tega sledi
|A – π |< 0,01.
Največjo absolutno napako lahko vzamemo kot število D A = 0,01.
Če upoštevamo to 3,14<π<3,142 , potem dobimo boljšo oceno :D A= 0,002, torej π ≈3,14 ±0,002.
4. Relativna napaka (napaka). Poznavanje le absolutne napake ni dovolj za opredelitev kakovosti meritve.
Recimo, da pri tehtanju dveh teles dobimo naslednje rezultate:
P 1 = 240,3 ±0,1 g.
P 2 = 3,8 ±0,1 g.
Čeprav sta absolutni merilni napaki obeh rezultatov enaki, bo kakovost merjenja v prvem primeru boljša kot v drugem. Zanj je značilna relativna napaka.
Relativna napaka (napaka) približuje številko A imenovano razmerje absolutne napake D a približuje absolutni vrednosti števila A:
Ker natančna vrednost količine običajno ni znana, se nadomesti s približno vrednostjo in nato:
(7)
Največja relativna napaka oz meja relativne aproksimacijske napake, se imenuje število d in prej>0, tako da:
d A<= d in prej(8)
Največjo relativno napako lahko očitno vzamemo kot razmerje med največjo absolutno napako in absolutno vrednostjo približne vrednosti:
(9)
Iz (9) zlahka dobimo naslednje pomembno razmerje:
∆in prej = |a| d in prej(10)
Največja relativna napaka je običajno izražena v odstotkih:
Primer. Predpostavlja se, da je osnova naravnih logaritmov za izračun enaka e=2,72. Za natančno vrednost smo vzeli e t = 2,7183. Poiščite absolutno in relativno napako približnega števila.
D e = ½ e – e t ½=0,0017;
.
Velikost relativne napake ostane nespremenjena s sorazmerno spremembo najbolj približnega števila in njegove absolutne napake. Tako sta za število 634,7, izračunano z absolutno napako D = 1,3, in za število 6347 z napako D = 13 relativni napaki enaki: d= 0,2.
Velikost relativne napake lahko približno ocenimo po številu pravi označevalcištevke števil.
regija Sahalin
"Poklicna šola št. 13"
Smernice Za samostojno deloštudenti
Aleksandrovsk-Sahalinski
Približne vrednosti količin in aproksimacijske napake: Navedena metoda. / Comp.
GBOU NPO "Poklicna šola št. 13", - Aleksandrovsk-Sahalinsky, 2012
Smernice so namenjene študentom vseh strok, ki študirajo matematične smeri
Predsednik MK
Približna vrednost magnitude in napaka približkov.
V praksi skoraj nikoli ne poznamo natančnih vrednosti količin. Nobena tehtnica, pa naj bo še tako natančna, ne pokaže teže popolnoma natančno; kateri koli termometer kaže temperaturo z eno ali drugo napako; noben ampermeter ne more dati točnih odčitkov toka itd. Poleg tega naše oko ne more popolnoma pravilno odčitati odčitkov merilnih instrumentov. Zato smo namesto z resničnimi vrednostmi količin prisiljeni operirati z njihovimi približnimi vrednostmi.
Dejstvo, da A" je približna vrednost števila A , je zapisano takole:
a ≈ a" .
če A" je približna vrednost količine A , potem razlika Δ = a - a" klical napaka približka*.
* Δ - grška črka; beri: delta. Sledi še ena grška črka ε (beri: epsilon).
Če na primer številko 3,756 nadomestimo s približno vrednostjo 3,7, bo napaka enaka: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Če vzamemo 3,8 kot približno vrednost, bo napaka enaka: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
V praksi se največkrat uporablja napaka aproksimacije Δ
, in absolutna vrednost te napake | Δ
|. V nadaljevanju bomo to preprosto imenovali absolutna vrednost napake absolutna napaka. Šteje se, da je en približek boljši od drugega, če je absolutna napaka prvega približka manjša od absolutne napake drugega približka. Na primer, približek 3,8 za število 3,756 je boljši od približka 3,7, ker je za prvi približek
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, za drugo pa | Δ
| = |0,056| = 0,056.
številka A" A doε , če je absolutna napaka tega približka manjša odε :
|a - a" | < ε .
Na primer, 3,6 je približna vrednost števila 3,671 z natančnostjo 0,1, saj je |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Podobno lahko - 3/2 štejemo za približek števila - 8/5 do 1/5 natančno, saj
< A , To A" imenujemo približna vrednost števila A s pomanjkljivostjo.
če A" > A , To A" imenujemo približna vrednost števila A v izobilju.
Na primer, 3,6 je približna vrednost števila 3,671 s pomanjkljivostjo, saj je 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Če namesto številk mi A in b seštejte njihove približne vrednosti A" in b" , nato rezultat a" + b" bo približna vrednost vsote a + b . Postavlja se vprašanje: kako oceniti točnost tega rezultata, če je natančnost približka vsakega člena znana? Rešitev tega in podobnih problemov temelji na naslednji lastnosti absolutne vrednosti:
|a + b | < |a | + |b |.
Absolutna vrednost vsote poljubnih dveh števil ne presega vsote njunih absolutnih vrednosti.
Napake
Razliko med točnim številom x in njegovo približno vrednostjo a imenujemo napaka tega približnega števila. Če je znano, da | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Razmerje med absolutno napako in absolutno vrednostjo približne vrednosti imenujemo relativna napaka približne vrednosti. Relativna napaka je običajno izražena v odstotkih.
Primer. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
res,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Vaje za samostojno delo.
1. S kakšno natančnostjo lahko merimo dolžine z navadnim ravnilom?
2. Kako točna je ura?
3. Ali veste, s kakšno natančnostjo je mogoče izmeriti telesno težo na sodobnih električnih tehtnicah?
4. a) V katerih mejah je število? A , če je njegova približna vrednost z natančnostjo 0,01 0,99?
b) V katerih mejah je število? A , če je njegova približna vrednost s pomanjkljivostjo, natančno na 0,01, 0,99?
c) Kakšne so omejitve števila? A , če je njegova približna vrednost s presežno natančnostjo 0,01 enaka 0,99?
5. Kakšen je približek števila π ≈ 3,1415 je bolje: 3,1 ali 3,2?
6. Ali se lahko približna vrednost določenega števila z natančnostjo 0,01 šteje za približno vrednost istega števila z natančnostjo 0,1? Kaj pa obratno?
7. Na številski premici je določen položaj točke, ki ustreza številu A . V tej vrstici navedite:
a) položaj vseh točk, ki ustrezajo približnim vrednostim števila A s pomanjkljivostjo z natančnostjo 0,1;
b) položaj vseh točk, ki ustrezajo približnim vrednostim števila A s presežkom z natančnostjo 0,1;
c) položaj vseh točk, ki ustrezajo približnim vrednostim števila A z natančnostjo 0,1.
8. V katerem primeru je absolutna vrednost vsote dveh števil:
a) manjša od vsote absolutnih vrednosti teh števil;
b) enaka vsoti absolutnih vrednosti teh števil?
9. Dokaži neenakosti:
a) | a-b | < |a| + |b |; b)* | a - b | > ||A | - | b ||.
Kdaj se v teh formulah pojavi znak enačaja?
Literatura:
1. Bashmakov (osnovna raven) 10-11 razredov. – M., 2012
2. Bashmakov, 10. razred. Zbirka nalog. - M: Založniški center "Akademija", 2008
3., Mordkovich: Referenčni materiali: Knjiga za študente 2. izd.: Izobraževanje, 1990
4. Enciklopedični slovar mladi matematik / Komp. .-M .: Pedagogika, 1989