Εργασία αποφοίτησηςμε τη μορφή της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης για μαθητές της 11ης τάξης, περιέχει απαραιτήτως εργασίες για τον υπολογισμό ορίων, τα διαστήματα μείωσης και αύξησης των παραγώγων μιας συνάρτησης, την αναζήτηση ακραίων σημείων και την κατασκευή γραφημάτων. Η καλή γνώση αυτού του θέματος σάς επιτρέπει να απαντάτε σωστά σε πολλές ερωτήσεις εξετάσεων και να μην αντιμετωπίζετε δυσκολίες στην περαιτέρω επαγγελματική κατάρτιση.

Βασικές αρχές του διαφορικού λογισμού - ένα από τα κύρια θέματα των μαθηματικών σύγχρονο σχολείο. Μελετά τη χρήση της παραγώγου για τη μελέτη των εξαρτήσεων των μεταβλητών - μέσω της παραγώγου μπορεί κανείς να αναλύσει την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης χωρίς να καταφύγει σε σχέδιο.

Ολοκληρωμένη προετοιμασία των αποφοίτων για περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηεπί εκπαιδευτική πύληΤο "Shkolkovo" θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε σε βάθος τις αρχές της διαφοροποίησης - να κατανοήσετε τη θεωρία λεπτομερώς, να μελετήσετε παραδείγματα λύσεων τυπικές εργασίεςκαι δοκιμάστε τις δυνάμεις σας σε ανεξάρτητη εργασία. Θα σας βοηθήσουμε να κλείσετε τα κενά στη γνώση - να αποσαφηνίσετε την κατανόησή σας για τις λεξιλογικές έννοιες του θέματος και τις εξαρτήσεις των ποσοτήτων. Οι μαθητές θα είναι σε θέση να επανεξετάσουν τον τρόπο εύρεσης διαστημάτων μονοτονίας, που σημαίνει ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης αυξάνεται ή μειώνεται σε ένα συγκεκριμένο τμήμα όταν τα οριακά σημεία περιλαμβάνονται και δεν περιλαμβάνονται στα διαστήματα που βρέθηκαν.

Πριν ξεκινήσετε την απευθείας επίλυση θεματικών προβλημάτων, σας συνιστούμε να μεταβείτε πρώτα στην ενότητα "Θεωρητικό υπόβαθρο" και να επαναλάβετε τους ορισμούς των εννοιών, των κανόνων και των τύπων πινάκων. Εδώ μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε και να γράψετε κάθε διάστημα αυξανόμενης και φθίνουσας συνάρτησης στο γράφημα της παραγώγου.

Όλες οι πληροφορίες που προσφέρονται παρουσιάζονται με την πιο προσιτή μορφή για κατανόηση, πρακτικά από την αρχή. Ο ιστότοπος παρέχει υλικό για αντίληψη και αφομοίωση σε πολλά διάφορες μορφές– ανάγνωση, προβολή βίντεο και άμεση εκπαίδευση υπό την καθοδήγηση έμπειρων δασκάλων. Οι επαγγελματίες δάσκαλοι θα σας πουν λεπτομερώς πώς να βρείτε τα διαστήματα αύξησης και φθίνουσας παραγώγου μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας αναλυτικές και γραφικές μεθόδους. Κατά τη διάρκεια των διαδικτυακών σεμιναρίων, θα μπορείτε να κάνετε οποιαδήποτε ερώτηση σας ενδιαφέρει, τόσο για τη θεωρία όσο και για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.

Έχοντας θυμηθεί τα κύρια σημεία του θέματος, δείτε παραδείγματα αύξησης της παραγώγου μιας συνάρτησης, παρόμοια με τις εργασίες στις επιλογές εξέτασης. Για να εμπεδώσετε αυτά που μάθατε, ρίξτε μια ματιά στον «Κατάλογο» - εδώ θα βρείτε πρακτικές ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία. Οι εργασίες στην ενότητα έχουν επιλεγεί διαφορετικά επίπεδαδυσκολίες λαμβάνοντας υπόψη την ανάπτυξη δεξιοτήτων. Για παράδειγμα, καθένα από αυτά συνοδεύεται από αλγόριθμους λύσης και σωστές απαντήσεις.

Επιλέγοντας την ενότητα "Κατασκευαστής", οι μαθητές θα μπορούν να εξασκηθούν στη μελέτη της αύξησης και της μείωσης της παραγώγου μιας συνάρτησης στο πραγματικές επιλογέςΕνιαία Κρατική Εξέταση, που ενημερώνεται συνεχώς λαμβάνοντας υπόψη τελευταίες αλλαγέςκαι καινοτομίες.

Δημιουργήστε μια αναλογία και υπολογίστε το όριο.

Από πού προέρχεται; πίνακας παραγώγων και κανόνων διαφοροποίησης? Χάρη στο μοναδικό όριο. Φαίνεται σαν μαγικό, αλλά στην πραγματικότητα είναι δολοπλοκία και όχι απάτη. Στο μάθημα Τι είναι ένα παράγωγο;άρχισα να κοιτάζω συγκεκριμένα παραδείγματα, όπου, χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρήκα τα παράγωγα των γραμμικών και τετραγωνική λειτουργία. Για το σκοπό της γνωστικής προθέρμανσης, θα συνεχίσουμε να ενοχλούμε πίνακας παραγώγων, ακονίζοντας τον αλγόριθμο και τεχνικήλύσεις:

Παράδειγμα 1

Ουσιαστικά χρειάζεται να αποδείξουμε την ειδική περίπτωση της παραγώγου λειτουργία ισχύος, που συνήθως εμφανίζεται στον πίνακα: .

Λύσητεχνικά επισημοποιημένη με δύο τρόπους. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη, ήδη γνωστή προσέγγιση: η σκάλα ξεκινά με μια σανίδα και η παράγωγη συνάρτηση ξεκινά με την παράγωγο σε ένα σημείο.

Ας σκεφτούμε μερικοί(συγκεκριμένο) σημείο που ανήκει σε τομέα ορισμούσυνάρτηση στην οποία υπάρχει παράγωγος. Ας ορίσουμε την αύξηση σε αυτό το σημείο (φυσικά, εντός των ορίωνο/ο -ΕΓΩ)και να συνθέσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:

Ας υπολογίσουμε το όριο:

Η αβεβαιότητα 0:0 εξαλείφεται με μια τυπική τεχνική, που θεωρείται από τον πρώτο αιώνα π.Χ. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τη συζυγή έκφραση :

Η τεχνική για την επίλυση ενός τέτοιου ορίου συζητείται λεπτομερώς στο εισαγωγικό μάθημα σχετικά με τα όρια των συναρτήσεων.

Εφόσον μπορείτε να επιλέξετε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του διαστήματος ως ποιότητα, τότε, έχοντας κάνει την αντικατάσταση, παίρνουμε:

Απάντηση

Για άλλη μια φορά ας χαρούμε τους λογάριθμους:

Παράδειγμα 2

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου

Λύση: Ας εξετάσουμε μια διαφορετική προσέγγιση για την προώθηση της ίδιας εργασίας. Είναι ακριβώς το ίδιο, αλλά πιο ορθολογικό σχεδιαστικά. Η ιδέα είναι να απαλλαγείτε από τον δείκτη στην αρχή της λύσης και να χρησιμοποιήσετε το γράμμα αντί για το γράμμα.

Ας σκεφτούμε αυθαίρετοςσημείο που ανήκει σε τομέα ορισμούσυνάρτηση (διάστημα) και ορίστε την αύξηση σε αυτό. Αλλά εδώ, παρεμπιπτόντως, όπως στις περισσότερες περιπτώσεις, μπορείτε να το κάνετε χωρίς επιφυλάξεις, καθώς η λογαριθμική συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε οποιοδήποτε σημείο στον τομέα ορισμού.

Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:

Ας βρούμε την παράγωγο:

Η απλότητα του σχεδιασμού εξισορροπείται από τη σύγχυση που μπορεί να προκύψει για αρχάριους (και όχι μόνο). Εξάλλου, έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι το γράμμα "X" αλλάζει στο όριο! Αλλά εδώ όλα είναι διαφορετικά: - αντίκα άγαλμα, και – ένας ζωντανός επισκέπτης, που περπατά βιαστικά κατά μήκος του διαδρόμου του μουσείου. Δηλαδή, το "x" είναι "σαν μια σταθερά".

Θα σχολιάσω την εξάλειψη της αβεβαιότητας βήμα προς βήμα:

(1) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα του λογάριθμου .

(2) Σε παρένθεση, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

(3) Στον παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε τεχνητά και διαιρούμε με το "x" για να εκμεταλλευτούμε αξιοσημείωτο όριο , ενώ ως απειροελάχιστοςξεχωρίζει.

Απάντηση: εξ ορισμού παραγώγου:

Ή εν συντομία:

Προτείνω να φτιάξετε μόνοι σας δύο ακόμη τύπους πινάκων:

Παράδειγμα 3

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηείναι βολικό να οδηγήσετε αμέσως τη σύνθεση προσαύξησης σε κοινό παρονομαστή. Δείγμα κατά προσέγγισηολοκλήρωση της εργασίας στο τέλος του μαθήματος (πρώτη μέθοδος).

Παράδειγμα 3:Λύση : σκεφτείτε κάποιο σημείο , που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης . Ας ορίσουμε την αύξηση σε αυτό το σημείο και να συνθέσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:

Ας βρούμε την παράγωγο στο σημείο :


Δεδομένου ότι ως α μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε σημείο τομέα συνάρτησης , Οτι Και
Απάντηση : εξ ορισμού παραγώγου

Παράδειγμα 4

Βρείτε την παράγωγο εξ ορισμού

Και εδώ όλα πρέπει να περιοριστούν σε υπέροχο όριο. Η λύση επισημοποιείται με τον δεύτερο τρόπο.

Μια σειρά από άλλα παράγωγα πίνακα. Πλήρης λίσταμπορεί να βρεθεί σε ένα σχολικό εγχειρίδιο ή, για παράδειγμα, στον 1ο τόμο του Fichtenholtz. Δεν βλέπω πολύ νόημα στην αντιγραφή αποδείξεων κανόνων διαφοροποίησης από βιβλία - δημιουργούνται επίσης από τον τύπο.

Παράδειγμα 4:Λύση ανήκει σε και ορίστε την αύξηση σε αυτό

Ας βρούμε την παράγωγο:

Χρησιμοποιώντας ένα υπέροχο όριο

Απάντηση : α-πριό

Παράδειγμα 5

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης , χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου

Λύση: χρησιμοποιούμε το πρώτο στυλ σχεδίασης. Ας εξετάσουμε κάποιο σημείο που ανήκει στο , και ας καθορίσουμε την αύξηση του ορίσματος σε αυτό. Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:

Ίσως ορισμένοι αναγνώστες να μην έχουν ακόμη κατανοήσει πλήρως την αρχή με την οποία πρέπει να γίνουν αυξήσεις. Πάρτε ένα σημείο (αριθμό) και βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό: , δηλαδή στη συνάρτηση αντίΤο "Χ" πρέπει να αντικατασταθεί. Τώρα παίρνουμε επίσης έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό και τον αντικαθιστούμε επίσης στη συνάρτηση αντί«ίκσα»: . Καταγράφουμε τη διαφορά και είναι απαραίτητη βάλτε μέσα σε αγκύλες εντελώς.

Μεταγλωττισμένη αύξηση συνάρτησης Μπορεί να είναι επωφελής η άμεση απλοποίηση. Για τι; Διευκολύνετε και συντομεύστε το διάλυμα σε ένα περαιτέρω όριο.

Χρησιμοποιούμε τύπους, ανοίγουμε τις αγκύλες και μειώνουμε όλα όσα μπορούν να μειωθούν:

Η γαλοπούλα έχει ξεσπάσει, κανένα πρόβλημα με το ψητό:

Τελικά:

Εφόσον μπορούμε να επιλέξουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ως τιμή, κάνουμε την αντικατάσταση και παίρνουμε .

Απάντηση: α-πριό.

Για λόγους επαλήθευσης, ας βρούμε το παράγωγο χρησιμοποιώντας κανόνες και πίνακες διαφοροποίησης:

Είναι πάντα χρήσιμο και ευχάριστο να γνωρίζετε εκ των προτέρων τη σωστή απάντηση, επομένως είναι καλύτερο να διαφοροποιήσετε την προτεινόμενη συνάρτηση με «γρήγορο» τρόπο, είτε νοητικά είτε σε προσχέδιο, στην αρχή της λύσης.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης εξ ορισμού της παραγώγου

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Το αποτέλεσμα είναι προφανές:

Παράδειγμα 6:Λύση : σκεφτείτε κάποιο σημείο ανήκει σε , και ορίστε την αύξηση του ορίσματος σε αυτό . Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:


Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:


Ετσι:
Διότι ως τότε μπορείτε να επιλέξετε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό Και
Απάντηση : α-πριό.

Ας επιστρέψουμε στο στυλ #2:

Παράδειγμα 7

Ας μάθουμε αμέσως τι πρέπει να συμβεί. Με κανόνας διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία :

Λύση: θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει σε , ορίστε την αύξηση του ορίσματος σε αυτό και συνθέστε την αύξηση της συνάρτησης:

Ας βρούμε την παράγωγο:


(1) Χρήση τριγωνομετρικός τύπος .

(2) Κάτω από το ημίτονο ανοίγουμε τις αγκύλες, κάτω από το συνημίτονο παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

(3) Κάτω από το ημίτονο μειώνουμε τους όρους, κάτω από το συνημίτονο διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

(4) Λόγω της παραδοξότητας του ημιτονοειδούς, βγάζουμε το «μείον». Κάτω από το συνημίτονο δηλώνουμε ότι ο όρος .

(5) Πραγματοποιούμε τεχνητό πολλαπλασιασμό στον παρονομαστή για να χρησιμοποιήσουμε πρώτο υπέροχο όριο. Έτσι, η αβεβαιότητα εξαλείφεται, ας τακτοποιήσουμε το αποτέλεσμα.

Απάντηση: α-προϊστάμενος

Όπως μπορείτε να δείτε, η κύρια δυσκολία του υπό εξέταση προβλήματος έγκειται στην πολυπλοκότητα του ίδιου του ορίου + μια ελαφρά μοναδικότητα της συσκευασίας. Στην πράξη, εμφανίζονται και οι δύο μέθοδοι σχεδιασμού, επομένως περιγράφω και τις δύο προσεγγίσεις με όσο το δυνατόν περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι ισοδύναμα, αλλά παρόλα αυτά, κατά την υποκειμενική μου εντύπωση, είναι πιο ενδεδειγμένο για τα ανδρείκελα να επιμείνουν στην επιλογή 1 με "X-zero".

Παράδειγμα 8

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Παράδειγμα 8:Λύση : εξετάστε ένα αυθαίρετο σημείο ανήκει σε , ορίστε την προσαύξηση σε αυτό και να συνθέσετε την αύξηση της συνάρτησης:

Ας βρούμε την παράγωγο:

Χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο και το πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

Απάντηση : α-πριό

Ας δούμε μια πιο σπάνια εκδοχή του προβλήματος:

Παράδειγμα 9

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου.

Πρώτον, ποια πρέπει να είναι η ουσία; Αριθμός

Ας υπολογίσουμε την απάντηση με τον τυπικό τρόπο:

Λύση: από την άποψη της σαφήνειας, αυτή η εργασία είναι πολύ πιο απλή, αφού ο τύπος λαμβάνει αντίθετα μια συγκεκριμένη τιμή.

Ας ορίσουμε την αύξηση στο σημείο και ας συνθέσουμε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:

Ας υπολογίσουμε την παράγωγο στο σημείο:

Χρησιμοποιούμε έναν πολύ σπάνιο τύπο διαφοράς εφαπτομενικής και για άλλη μια φορά μειώνουμε τη λύση σε το πρώτο υπέροχο όριο:

Απάντηση: εξ ορισμού παραγώγου σε ένα σημείο.

Το πρόβλημα δεν είναι τόσο δύσκολο να λυθεί και «μέσα γενική εικόνα» – αρκεί να αντικατασταθεί με ή απλά ανάλογα με τη μέθοδο σχεδιασμού. Σε αυτή την περίπτωση, είναι σαφές ότι το αποτέλεσμα δεν θα είναι ένας αριθμός, αλλά μια παράγωγη συνάρτηση.

Παράδειγμα 10

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο (ένα από τα οποία μπορεί να αποδειχθεί άπειρο), για το οποίο μιλάω γενικό περίγραμμαέχει ήδη ειπωθεί θεωρητικό μάθημα για την παράγωγο.

Ορισμένες τμηματικά καθορισμένες συναρτήσεις είναι επίσης διαφοροποιήσιμες στα σημεία «σύνδεσης» του γραφήματος, για παράδειγμα, catdog έχει κοινή παράγωγο και κοινή εφαπτομένη (άξονας x) στο σημείο. Καμπύλη, αλλά διαφοροποιήσιμη κατά ! Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να το επαληθεύσουν μόνοι τους χρησιμοποιώντας το παράδειγμα που μόλις λύθηκε.

©2015-2019 ιστότοπος
Όλα τα δικαιώματα ανήκουν στους δημιουργούς τους. Αυτός ο ιστότοπος δεν διεκδικεί την πνευματική ιδιοκτησία, αλλά παρέχει δωρεάν χρήση.
Ημερομηνία δημιουργίας σελίδας: 2017-06-11

Παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Εισαγωγή.

Πραγματικός μεθοδολογικές εξελίξειςπροορίζεται για φοιτητές της Σχολής Βιομηχανικών και Πολιτικών Μηχανικών. Συγκεντρώθηκαν σε σχέση με το πρόγραμμα του μαθήματος των μαθηματικών στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής».

Οι εξελίξεις αντιπροσωπεύουν έναν ενιαίο μεθοδολογικό οδηγό, που περιλαμβάνει: σύντομες θεωρητικές πληροφορίες. «τυποποιημένα» προβλήματα και ασκήσεις με λεπτομερείς λύσεις και επεξηγήσεις για αυτές τις λύσεις. επιλογές δοκιμής.

Υπάρχουν επιπλέον ασκήσεις στο τέλος κάθε παραγράφου. Αυτή η δομή των εξελίξεων τα καθιστά κατάλληλα για ανεξάρτητη γνώση του τμήματος με ελάχιστη βοήθεια από τον δάσκαλο.

§1. Ορισμός παραγώγου.

Μηχανική και γεωμετρική σημασία

παράγωγο.

Η έννοια του παραγώγου είναι μια από τις περισσότερες σημαντικές έννοιεςμαθηματική ανάλυση Προέκυψε τον 17ο αιώνα. Ο σχηματισμός της έννοιας της παραγώγου συνδέεται ιστορικά με δύο προβλήματα: το πρόβλημα της ταχύτητας της εναλλασσόμενης κίνησης και το πρόβλημα της εφαπτομένης σε μια καμπύλη.

Αυτά τα προβλήματα, παρά το διαφορετικό περιεχόμενό τους, οδηγούν στην ίδια μαθηματική πράξη που πρέπει να εκτελεστεί σε μια συνάρτηση Αυτή η λειτουργία έχει λάβει ειδικό όνομα στα μαθηματικά. Ονομάζεται πράξη διαφοροποίησης μιας συνάρτησης. Το αποτέλεσμα της πράξης διαφοροποίησης ονομάζεται παράγωγος.

Άρα, η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) στο σημείο x0 είναι το όριο (αν υπάρχει) του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος
στο
.

Η παράγωγος συνήθως συμβολίζεται ως εξής:
.

Έτσι, εξ ορισμού

Τα σύμβολα χρησιμοποιούνται επίσης για να δηλώσουν παράγωγα
.

Μηχανική έννοια παραγώγου.

Αν s=s(t) – νόμος ευθύγραμμη κίνηση υλικό σημείο, Οτι
είναι η ταχύτητα αυτού του σημείου τη χρονική στιγμή t.

Γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει παράγωγο στο σημείο , Οτι κλίσηεφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο
ισοδυναμεί
.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
στο σημείο =2:

1) Ας δώσουμε ένα σημείο =2 προσαύξηση
. Σημειώσε ότι.

2) Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης στο σημείο =2:

3) Ας δημιουργήσουμε την αναλογία της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος:

Ας βρούμε το όριο του λόγου στο
:

.

Ετσι,
.

§ 2. Παράγωγα μερικών

απλούστερες λειτουργίες.

Ο μαθητής πρέπει να μάθει πώς να υπολογίζει παραγώγους συγκεκριμένων συναρτήσεων: y=x,y= και γενικά= .

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης y=x.

εκείνοι. (x)′=1.

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης

Παράγωγο

Αφήνω
Επειτα

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ένα μοτίβο στις εκφράσεις για παραγώγους μιας συνάρτησης ισχύος
με n=1,2,3.

Ως εκ τούτου,

. (1)

Αυτός ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε πραγματικό n.

Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), έχουμε:

;

.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

.

.

Αυτή η συνάρτηση είναι μια ειδική περίπτωση μιας συνάρτησης της φόρμας

στο
.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), έχουμε

.

Παράγωγοι των συναρτήσεων y=sin x και y=cos x.

Έστω y=sinx.

Διαιρούμε με το Δx, παίρνουμε

Περνώντας στο όριο στο Δx→0, έχουμε

Έστω y=cosx.

Περνώντας στο όριο στο ∆x→0, παίρνουμε

;
. (2)

§3. Βασικοί κανόνες διαφοροποίησης.

Ας εξετάσουμε τους κανόνες διαφοροποίησης.

Θεώρημα1 . Εάν οι συναρτήσεις u=u(x) και v=v(x) είναι διαφοροποιήσιμες σε ένα δεδομένο σημείοx, τότε σε αυτό το σημείο το άθροισμά τους είναι επίσης διαφοροποιήσιμο και η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων των όρων : (u+v)"=u"+v".(3)

Απόδειξη: θεωρήστε τη συνάρτηση y=f(x)=u(x)+v(x).

Η αύξηση ∆x του ορίσματος x αντιστοιχεί στις προσαυξήσεις ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) των συναρτήσεων u και v. Τότε η συνάρτηση y θα αυξηθεί

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Ως εκ τούτου,

Άρα, (u+v)"=u"+v".

Θεώρημα2. Αν οι συναρτήσεις u=u(x) και v=v(x) είναι διαφοροποιήσιμες σε ένα δεδομένο σημείοx, τότε το γινόμενο τους είναι διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο, σε αυτή την περίπτωση, η παράγωγος του γινομένου βρίσκεται με τον ακόλουθο τύπο: uv)"=u"v+uv". (4)

Απόδειξη: Έστω y=uv, όπου u και v είναι μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις του x. Ας δώσουμε στο x μια προσαύξηση Δx, τότε το u θα λάβει μια προσαύξηση Δu, η v θα λάβει μια προσαύξηση Δv και η y θα λάβει μια προσαύξηση Δy.

Έχουμε y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ή

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Επομένως, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Από εδώ

Περνώντας στο όριο στο ∆x→0 και λαμβάνοντας υπόψη ότι το u και το v δεν εξαρτώνται από το Δx, θα έχουμε

Θεώρημα 3. Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου είναι ίσος με το τετράγωνο του διαιρέτη και ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ του γινομένου της παραγώγου του μερίσματος και του διαιρέτη και του γινόμενου του μέρισμα και το παράγωγο του διαιρέτη, δηλ.

Αν
Οτι
(5)

Θεώρημα 4.Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι ίση με μηδέν, δηλ. αν y=C, όπου C=const, τότε y"=0.

Θεώρημα 5.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου, δηλ. αν y=Cu(x), όπου C=const, τότε y"=Cu"(x).

Παράδειγμα 1.

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

.

Αυτή η συνάρτηση έχει τη μορφή
, όπου=x,v=cosx. Εφαρμόζοντας τον κανόνα διαφοροποίησης (4), βρίσκουμε

.

Παράδειγμα 2.

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

.

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο (5).

Εδώ
;
.

Καθήκοντα.

Βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Το πρόβλημα Β9 δίνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης ή μιας παραγώγου από την οποία πρέπει να προσδιορίσετε μία από τις ακόλουθες ποσότητες:

1. Η τιμή της παραγώγου σε κάποιο σημείο x 0,
2. Μέγιστα ή ελάχιστα σημεία (ακραία σημεία),
3. Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης (διαστήματα μονοτονίας).

Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοι που παρουσιάζονται σε αυτό το πρόβλημα είναι πάντα συνεχείς, κάνοντας τη λύση πολύ πιο εύκολη. Παρά το γεγονός ότι η εργασία ανήκει στο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης, ακόμη και οι πιο αδύναμοι μαθητές μπορούν να το κάνουν, αφού εδώ δεν απαιτούνται βαθιές θεωρητικές γνώσεις.

Για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, των ακραίων σημείων και των διαστημάτων μονοτονίας, υπάρχουν απλοί και καθολικοί αλγόριθμοι - όλοι θα συζητηθούν παρακάτω.

Διαβάστε προσεκτικά τις συνθήκες του προβλήματος Β9 για να αποφύγετε να κάνετε ανόητα λάθη: μερικές φορές συναντάτε αρκετά μακροσκελή κείμενα, αλλά σημαντικές προϋποθέσεις, που επηρεάζουν την πορεία της απόφασης, είναι λίγα.

Υπολογισμός της παραγώγου τιμής. Μέθοδος δύο σημείων

Αν στο πρόβλημα δοθεί μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x), που εφάπτεται σε αυτό το γράφημα σε κάποιο σημείο x 0, και απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο, εφαρμόζεται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

1. Βρείτε δύο «επαρκή» σημεία στο γράφημα της εφαπτομένης: οι συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ακέραιες. Ας συμβολίσουμε αυτά τα σημεία ως A (x 1 , y 1) και B (x 2 , y 2). Γράψτε σωστά τις συντεταγμένες - αυτό είναι ένα βασικό σημείο στη λύση και οποιοδήποτε λάθος εδώ θα οδηγήσει σε λανθασμένη απάντηση.
2. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την αύξηση του ορίσματος Δx = x 2 − x 1 και την αύξηση της συνάρτησης Δy = y 2 − y 1 .
3. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου D = Δy/Δx. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε την αύξηση της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος - και αυτή θα είναι η απάντηση.

Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά: τα σημεία Α και Β πρέπει να αναζητηθούν ακριβώς στην εφαπτομένη και όχι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), όπως συμβαίνει συχνά. Η εφαπτομένη θα περιέχει απαραίτητα τουλάχιστον δύο τέτοια σημεία - διαφορετικά το πρόβλημα δεν θα διατυπωθεί σωστά.

Θεωρήστε τα σημεία A (−3; 2) και B (−1; 6) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Θεωρήστε τα σημεία A (0; 3) και B (3; 0), βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Τώρα βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Θεωρήστε τα σημεία A (0; 2) και B (5; 2) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Μένει να βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Από το τελευταίο παράδειγμα, μπορούμε να διατυπώσουμε έναν κανόνα: εάν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα OX, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο της εφαπτομένης είναι μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται καν να μετρήσετε τίποτα - απλά κοιτάξτε το γράφημα.

Υπολογισμός μέγιστων και ελάχιστων πόντων

Μερικές φορές, αντί για μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, το πρόβλημα Β9 δίνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου και απαιτεί την εύρεση του μέγιστου ή του ελάχιστου σημείου της συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέθοδος των δύο σημείων είναι άχρηστη, αλλά υπάρχει ένας άλλος, ακόμη πιο απλός αλγόριθμος. Αρχικά, ας ορίσουμε την ορολογία:

1. Το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≥ f(x).
2. Το σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≤ f(x).

Για να βρείτε τα μέγιστα και τα ελάχιστα σημεία από το παράγωγο γράφημα, απλώς ακολουθήστε αυτά τα βήματα:

1. Ξανασχεδιάστε το γράφημα της παραγώγου, αφαιρώντας όλες τις περιττές πληροφορίες. Όπως δείχνει η πρακτική, τα περιττά δεδομένα παρεμβαίνουν μόνο στην απόφαση. Ως εκ τούτου, σημειώνουμε την άξονα συντεταγμένωνμηδενικά της παραγώγου - αυτό είναι όλο.
2. Βρείτε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Αν για κάποιο σημείο x 0 είναι γνωστό ότι f'(x 0) ≠ 0, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές: f'(x 0) ≥ 0 ή f'(x 0) ≤ 0. Το πρόσημο της παραγώγου είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το αρχικό σχέδιο: αν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≥ 0. Και αντίστροφα, εάν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≤ 0.
3. Ελέγχουμε ξανά τα μηδενικά και τα πρόσημα της παραγώγου. Όπου το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν είναι το ελάχιστο σημείο. Αντίστροφα, αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Η καταμέτρηση γίνεται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά.

Αυτό το σχήμα λειτουργεί μόνο για συνεχείς συναρτήσεις - δεν υπάρχουν άλλες στο Πρόβλημα B9.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−5; 5]. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες και ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−5; 5] και μηδενικά της παραγώγου x = −3 και x = 2,5. Σημειώνουμε επίσης τα σημάδια:

Προφανώς, στο σημείο x = −3 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7]. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας ξανασχεδιάσουμε το γράφημα, αφήνοντας μόνο τα όρια [−3; 7] και μηδενικά της παραγώγου x = −1,7 και x = 5. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου στο γράφημα που προκύπτει. Εχουμε:

Προφανώς, στο σημείο x = 5 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην - αυτό είναι το μέγιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−6; 4]. Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) που ανήκουν στο τμήμα [−4; 3].

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι αρκεί να ληφθεί υπόψη μόνο το τμήμα του γραφήματος που περιορίζεται από το τμήμα [−4; 3]. Επομένως, χτίζουμε ένα νέο γράφημα στο οποίο σημειώνουμε μόνο τα όρια [−4; 3] και μηδενικά της παραγώγου μέσα σε αυτό. Δηλαδή, σημεία x = −3,5 και x = 2. Παίρνουμε:

Σε αυτό το γράφημα υπάρχει μόνο ένα μέγιστο σημείο x = 2. Σε αυτό το σημείο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην.

Μια μικρή σημείωση για σημεία με μη ακέραιες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, στο τελευταίο πρόβλημα εξετάστηκε το σημείο x = −3,5, αλλά με την ίδια επιτυχία μπορούμε να πάρουμε x = −3,4. Εάν το πρόβλημα έχει συνταχθεί σωστά, τέτοιες αλλαγές δεν θα πρέπει να επηρεάζουν την απάντηση, καθώς τα σημεία "χωρίς σταθερό τόπο διαμονής" δεν συμμετέχουν άμεσα στην επίλυση του προβλήματος. Φυσικά, αυτό το κόλπο δεν θα λειτουργήσει με ακέραιους πόντους.

Εύρεση διαστημάτων αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης

Σε ένα τέτοιο πρόβλημα, όπως τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία, προτείνεται η χρήση του παραγώγου γραφήματος για την εύρεση περιοχών στις οποίες η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται. Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι η αύξηση και η μείωση:

1. Μια συνάρτηση f(x) λέγεται ότι αυξάνεται σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης.
2. Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Εκείνοι. υψηλότερη τιμήΤο όρισμα αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Ας διαμορφώσουμε επαρκείς συνθήκες για αύξηση και μείωση:

1. Για να αυξηθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι θετική, δηλ. f'(x) ≥ 0.
2. Για να μειωθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι αρνητική, δηλ. f'(x) ≤ 0.

Ας δεχτούμε αυτές τις δηλώσεις χωρίς στοιχεία. Έτσι, λαμβάνουμε ένα σχήμα για την εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης, το οποίο είναι από πολλές απόψεις παρόμοιο με τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ακραίων σημείων:

1. Αφαιρέστε όλες τις περιττές πληροφορίες. Στο αρχικό γράφημα της παραγώγου, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως τα μηδενικά της συνάρτησης, οπότε θα αφήσουμε μόνο αυτά.
2. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Όπου f'(x) ≥ 0, η συνάρτηση αυξάνεται και όπου f'(x) ≤ 0, μειώνεται. Εάν το πρόβλημα θέτει περιορισμούς στη μεταβλητή x, τους επισημαίνουμε επιπλέον σε ένα νέο γράφημα.
3. Τώρα που γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης και τους περιορισμούς, μένει να υπολογίσουμε την ποσότητα που απαιτείται στο πρόβλημα.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7.5]. Να βρείτε τα διαστήματα μείωσης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακεραίων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.

Ως συνήθως, ας σχεδιάσουμε ξανά το γράφημα και ας σημειώσουμε τα όρια [−3; 7.5], καθώς και μηδενικά της παραγώγου x = −1.5 και x = 5.3. Στη συνέχεια σημειώνουμε τα σημάδια της παραγώγου. Εχουμε:

Εφόσον η παράγωγος είναι αρνητική στο διάστημα (− 1,5), αυτό είναι το διάστημα της φθίνουσας συνάρτησης. Απομένει να αθροίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μέσα σε αυτό το διάστημα:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−10; 4]. Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες. Ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−10; 4] και μηδενικά της παραγώγου, από τα οποία ήταν τέσσερα αυτή τη φορά: x = −8, x = −6, x = −3 και x = 2. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου και πάρουμε την παρακάτω εικόνα:

Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης, δηλ. τέτοια όπου f’(x) ≥ 0. Υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα στη γραφική παράσταση: (−8; −6) και (−3; 2). Ας υπολογίσουμε το μήκος τους:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Εφόσον πρέπει να βρούμε το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα, γράφουμε ως απάντηση την τιμή l 2 = 5.

(\large\bf Παράγωγος συνάρτησης)

Εξετάστε τη συνάρτηση y=f(x), που καθορίζεται στο διάστημα (α, β). Αφήνω Χ- οποιοδήποτε σταθερό σημείο του διαστήματος (α, β), ΕΝΑ Δx- έναν αυθαίρετο αριθμό τέτοιο ώστε η τιμή x+Δxανήκει επίσης στο διάστημα (α, β). Αυτός ο αριθμός Δxπου ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος.

Ορισμός. Αύξηση συνάρτησης y=f(x)στο σημείο Χ, που αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δx, ας καλέσουμε τον αριθμό

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Πιστεύουμε ότι Δx ≠ 0. Σκεφτείτε σε ένα δεδομένο σταθερό σημείο Χο λόγος της αύξησης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο προς την αντίστοιχη αύξηση του ορίσματος Δx

Θα ονομάσουμε αυτή τη σχέση σχέση διαφοράς. Δεδομένου ότι η αξία Χθεωρούμε σταθερό, ο λόγος διαφοράς είναι συνάρτηση του επιχειρήματος Δx. Αυτή η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις τιμές ορίσματος Δx, που ανήκει σε κάποια αρκετά μικρή γειτονιά του σημείου Δx=0, εκτός από το ίδιο το σημείο Δx=0. Έτσι, έχουμε το δικαίωμα να εξετάσουμε το ζήτημα της ύπαρξης ορίου της καθορισμένης συνάρτησης στο Δx → 0.

Ορισμός. Παράγωγος συνάρτησης y=f(x)σε ένα δεδομένο σταθερό σημείο Χονομάζεται το όριο στο Δx → 0αναλογία διαφοράς, δηλαδή

Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο.

Ονομασία. y′(x)ή f′(x).

Γεωμετρική σημασία της παραγώγου: Παράγωγος συνάρτησης f(x)σε αυτό το σημείο Χίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα Βόδικαι μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης στο αντίστοιχο σημείο:

f′(x 0) = \tgα.

Μηχανική έννοια του παραγώγου: Η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης του σημείου:

Εξίσωση εφαπτομένης σε ευθεία y=f(x)στο σημείο M 0 (x 0 ,y 0)παίρνει τη μορφή

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Η κανονική σε μια καμπύλη σε κάποιο σημείο είναι η κάθετη στην εφαπτομένη στο ίδιο σημείο. Αν f′(x 0)≠ 0, τότε η εξίσωση του κανονικού στην ευθεία y=f(x)στο σημείο M 0 (x 0 ,y 0)γράφεται ως εξής:

Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης

Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)ορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β), Χ- κάποια σταθερή τιμή ορίσματος από αυτό το διάστημα, Δx- οποιαδήποτε αύξηση του ορίσματος έτσι ώστε η τιμή του ορίσματος x+Δx ∈ (a, b).

Ορισμός. Λειτουργία y=f(x)ονομάζεται διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, εάν αυξάνεται Δyαυτή η λειτουργία στο σημείο Χ, που αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δx, μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή

Δy = A Δx +αΔx,

Οπου ΕΝΑ- κάποιος αριθμός ανεξάρτητος από Δx, ΕΝΑ α - συνάρτηση ορίσματος Δx, το οποίο είναι απειροελάχιστο στο Δx→ 0.

Αφού το γινόμενο δύο απειροελάχιστων συναρτήσεων αΔxείναι απειροελάχιστο υψηλότερης τάξης από Δx(ιδιότητα 3 απειροελάχιστων συναρτήσεων), τότε μπορούμε να γράψουμε:

Δy = A Δx +o(Δx).

Θεώρημα. Για τη συνάρτηση y=f(x)ήταν διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, είναι απαραίτητο και αρκετό να έχει πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο. Εν A=f′(x), αυτό είναι

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου συνήθως ονομάζεται διαφοροποίηση.

Θεώρημα. Εάν η συνάρτηση y=f(x) Χ, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.

Σχόλιο. Από τη συνέχεια της λειτουργίας y=f(x)σε αυτό το σημείο Χ, γενικά μιλώντας, η διαφοροποίηση της συνάρτησης δεν ακολουθεί f(x)σε αυτό το σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=|x|- συνεχής σε ένα σημείο x=0, αλλά δεν έχει παράγωγο.

Έννοια της διαφορικής συνάρτησης

Ορισμός. Διαφορικό λειτουργίας y=f(x)λέγεται το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης και της αύξησης της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Για λειτουργία y=xπαίρνουμε dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, αυτό είναι dx=Δx- το διαφορικό μιας ανεξάρτητης μεταβλητής ισούται με την αύξηση αυτής της μεταβλητής.

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Διαφορικός dyκαι αύξηση Δyλειτουργίες y=f(x)σε αυτό το σημείο Χ, και τα δύο αντιστοιχούν στην ίδια αύξηση του ορίσματος Δx, γενικά μιλώντας, δεν είναι ίσοι μεταξύ τους.

Γεωμετρική έννοια του διαφορικού: Το διαφορικό μιας συνάρτησης ισούται με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης όταν το όρισμα αυξάνεται Δx.

Κανόνες διαφοροποίησης

Θεώρημα. Αν καθεμία από τις συναρτήσεις u(x)Και v(x)διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, τότε το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αυτών των συναρτήσεων (πηλίκο με την προϋπόθεση ότι v(x)≠ 0) είναι επίσης διαφοροποιήσιμα σε αυτό το σημείο και οι τύποι ισχύουν:

Εξετάστε τη σύνθετη συνάρτηση y=f(φ(x))≡ F(x), Οπου y=f(u), u=φ(x). Σε αυτήν την περίπτωση uπου ονομάζεται ενδιάμεσο επιχείρημα, Χ - ανεξάρτητη μεταβλητή.

Θεώρημα. Αν y=f(u)Και u=φ(x)είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους, τότε η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης y=f(φ(x))υπάρχει και ισούται με το γινόμενο αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλ.

Σχόλιο. Για μια σύνθετη συνάρτηση που είναι υπέρθεση τριών συναρτήσεων y=F(f(φ(x))), ο κανόνας διαφοροποίησης έχει τη μορφή

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

που είναι οι λειτουργίες v=φ(x), u=f(v)Και y=F(u)- διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους.

Θεώρημα. Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)αυξάνεται (ή μειώνεται) και είναι συνεχής σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0. Ας είναι, επιπλέον, αυτή η συνάρτηση διαφοροποιήσιμη στο υποδεικνυόμενο σημείο x 0και το παράγωγό του σε αυτό το σημείο f′(x 0) ≠ 0. Μετά σε κάποια γειτονιά του αντίστοιχου σημείου y 0 =f(x 0)το αντίστροφο ορίζεται για y=f(x)λειτουργία x=f -1 (y), και τα υποδεικνυόμενα αντίστροφη συνάρτησηδιαφοροποιήσιμο στο αντίστοιχο σημείο y 0 =f(x 0)και για την παράγωγή της σε αυτό το σημείο yο τύπος ισχύει

Πίνακας παραγώγων

Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού

Ας εξετάσουμε το διαφορικό μιας σύνθετης συνάρτησης. Αν y=f(x), x=φ(t)- οι συναρτήσεις των ορισμάτων τους είναι διαφοροποιήσιμες, τότε η παράγωγος της συνάρτησης y=f(φ(t))εκφράζεται με τον τύπο

y′ t = y′ x x′ t.

Α-πριό dy=y′ t dt, τότε παίρνουμε

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Άρα, έχουμε αποδείξει

Ιδιότητα αμετάβλητου της μορφής του πρώτου διαφορικού μιας συνάρτησης: όπως στην περίπτωση που το επιχείρημα Χείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και στην περίπτωση που το όρισμα Χη ίδια είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση της νέας μεταβλητής, του διαφορικού dyλειτουργίες y=f(x)ισούται με την παράγωγο αυτής της συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με το διαφορικό του ορίσματος dx.

Εφαρμογή διαφορικού σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Έχουμε δείξει ότι το διαφορικό dyλειτουργίες y=f(x), γενικά μιλώντας, δεν ισούται με την προσαύξηση Δyαυτή τη λειτουργία. Ωστόσο, μέχρι μια απειροελάχιστη συνάρτηση υψηλότερης τάξης μικρότητας από Δx, ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα

Δy ≈ dy.

Ο λόγος ονομάζεται σχετικό σφάλμα της ισότητας αυτής της ισότητας. Επειδή Δy-dy=o(Δx), τότε το σχετικό σφάλμα αυτής της ισότητας γίνεται όσο μικρότερο επιθυμείται με μείωση |Δχ|.

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, παίρνουμε f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxή

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Αυτή η κατά προσέγγιση ισότητα επιτρέπει με λάθος o(Δx)λειτουργία αντικατάστασης f(x)σε μια μικρή γειτονιά του σημείου Χ(δηλαδή για μικρές αξίες Δx) γραμμική συνάρτηση του ορίσματος Δx, στέκεται στη δεξιά πλευρά.

Παράγωγα υψηλότερης τάξης

Ορισμός. Δεύτερη παράγωγος (ή παράγωγος δεύτερης τάξης) μιας συνάρτησης y=f(x)λέγεται παράγωγος της πρώτης του παραγώγου.

Σημείωση για τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης y=f(x):

Μηχανική σημασία της δεύτερης παραγώγου. Εάν η συνάρτηση y=f(x)περιγράφει τον νόμο της κίνησης ενός υλικού σημείου σε ευθεία γραμμή και στη συνέχεια τη δεύτερη παράγωγο f″(x)ίση με την επιτάχυνση ενός κινούμενου σημείου τη στιγμή του χρόνου Χ.

Η τρίτη και η τέταρτη παράγωγος προσδιορίζονται παρόμοια.

Ορισμός. nου παράγωγο (ή παράγωγο n-η τάξη) συναρτήσεις y=f(x)λέγεται παράγωγός του n-1η παράγωγος:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Ονομασίες: y″′, y IV, y Vκαι τα λοιπά.