Občinska proračunska izobraževalna ustanova
"Srednja šola št. 26
s poglobljenim študijem posameznih predmetov«
mesto Nižnekamsk v Republiki Tatarstan
Beležke za lekcije matematike
v 8. razredu
Reševanje neenačb z eno spremenljivko
in njihove sisteme
pripravljeno
učiteljica matematike
prve kvalifikacijske kategorije
Kungurova Gulnaz Rafaelovna
Nižnekamsk 2014
Povzetek načrta lekcija
Učitelj: Kungurova G.R.
Predmet: matematika
Tema: “Reševanje linearnih neenačb z eno spremenljivko in njihovimi sistemi.”
Razred: 8B
Datum: 10.4.2014
Vrsta lekcije: lekcija posploševanja in sistematizacije preučenega gradiva.
Cilj lekcije: utrjevanje praktičnih veščin reševanja neenačb z eno spremenljivko in njihovih sistemov, neenačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula.
Cilji lekcije:
Izobraževalni:
posploševanje in sistematizacija učenčevega znanja o načinih reševanja neenačb z eno spremenljivko;
razširitev vrste neenačb: dvojne neenačbe, neenačbe, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula, sistemi neenačb;
vzpostavljanje medpredmetnih povezav med matematiko, ruskim jezikom in kemijo.
Izobraževalni:
aktiviranje pozornosti, duševne dejavnosti, razvoj matematičnega govora, kognitivni interes pri študentih;
obvladovanje metod in kriterijev samoocenjevanja in samokontrole.
Izobraževalni:
negovanje samostojnosti, natančnosti in sposobnosti timskega dela
Osnovne metode, uporabljene v lekciji: komunikativna, razlagalno-ilustrativna, reproduktivna, metoda programiranega vodenja.
Oprema:
računalnik
računalniška predstavitev
monobloki (izvedba individualnega spletnega testa)
izročki (večstopenjske individualne naloge);
listi za samokontrolo;
Načrt lekcije:
4. Samostojno delo
5. Razmislek
6. Povzetek lekcije.
Napredek lekcije:
1. Organizacijski trenutek.
(Učitelj učencem pove cilje in namene lekcije.).
Danes se soočamo z zelo pomembna naloga. To temo moramo povzeti. Ponovno bo treba zelo natančno obdelati teoretična vprašanja, narediti izračune in razmisliti o praktični uporabi te teme v našem vsakdanje življenje. In nikoli ne smemo pozabiti, kako razmišljamo, analiziramo in gradimo logične verige. Naš govor mora biti vedno pismen in pravilen.
Vsak od vas ima na mizi list za samokontrolo. Med lekcijo ne pozabite označiti svojih prispevkov k tej lekciji z znakom "+".
Učitelj vpraša domača naloga s komentarjem na to:
№1026(a,b), št.1019(c,d); dodatno - št. 1046(a)
2. Posodabljanje znanja, spretnosti in spretnosti
1) Preden začnemo praktične naloge, pojdimo k teoriji.
Učitelj napove začetek definicije, učenci pa morajo formulacijo dokončati.
a) Neenakost v eni spremenljivki je neenakost oblike ax>b, ax<в;
b) Rešiti neenačbo pomeni najti vse njene rešitve ali dokazati, da rešitev ni;
c) Rešitev neenačbe z eno spremenljivko je tista vrednost spremenljivke, ki jo spremeni v pravo neenačbo;
d) Neenačbe imenujemo ekvivalentne, če njihove množice rešitev sovpadajo. Če nimajo rešitev, jih imenujemo tudi enakovredni
2) Na tabli so neenačbe z eno spremenljivko, razvrščene v en stolpec. Zraven pa so v drugem stolpcu zapisane njihove rešitve v obliki številskih intervalov. Naloga učencev je ugotoviti ujemanje med neenačbami in pripadajočimi intervali.
Vzpostavite ujemanje med neenakostmi in številskimi intervali:
1. 3x > 6 a) (-∞ ; - 0,2]
2. -5x ≥ 1 b) (- ∞ ; 15)
3. 4x > 3 c) (2; + ∞)
4. 0,2x< 3 г) (0,75; + ∞)
3) Praktično delo v zvezku za samotestiranje.
Učenci na tablo zapišejo linearno neenakost v eni spremenljivki. Ko to konča, eden od učencev izrazi svojo odločitev in napake so popravljene)
Reši neenačbo:
4 (2x - 1) - 3 (x + 6) > x;
8x - 4 - 3x - 18 > x;
8x - 3x – x > 4+18 ;
4x > 22;
x > 5,5.
Odgovori. (5,5 ; +∞)
3. Praktična uporaba neenakosti v vsakdanjem življenju ( kemijski poskus)
Neenakosti v našem vsakdanjem življenju so lahko dobri pomočniki. In poleg tega je seveda med šolskimi predmeti neločljiva povezava. Matematika gre z roko v roki ne le z ruskim jezikom, ampak tudi s kemijo.
(Na vsaki mizi je referenčna lestvica pH vrednosti od 0 do 12)
Če je 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;
če je pH = 7, je okolje nevtralno;
če je indikator 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
Učitelj vlije 3 brezbarvne raztopine v različne epruvete. Pri predmetu kemija si študentje naprošamo, da se spomnijo vrst raztopin (kislo, nevtralno, alkalno). Nato se eksperimentalno, s sodelovanjem študentov, določi okolje vsake od treh rešitev. Da bi to naredili, se v vsako rešitev spusti univerzalni indikator. Vsak indikator je ustrezno obarvan. In glede na barvno shemo, zahvaljujoč standardni lestvici, učenci vzpostavijo okolje vsake od predlaganih rešitev.
Zaključek:
1 indikator se obarva rdeče, indikator 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 obrata indikatorja zelena, pH = 7, kar pomeni, da je medij druge raztopine nevtralen, tj. v epruveti 2 smo imeli vodo.
3 obrati indikatorja modra, indikator 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
Če poznate meje pH, lahko določite stopnjo kislosti zemlje, mila in številnih kozmetičnih izdelkov.
Nadaljnje posodabljanje znanja, spretnosti in spretnosti.
1) Učitelj ponovno začne oblikovati definicije, učenci pa jih morajo dokončati
Nadaljujte z definicijami:
a) Rešiti sistem linearnih neenačb pomeni najti vse njegove rešitve ali dokazati, da ni nobene
b) Rešitev sistema neenačb z eno spremenljivko je vrednost spremenljivke, za katero je vsaka od neenačb resnična
c) Če želite rešiti sistem neenačb z eno spremenljivko, morate najti rešitev vsake neenačbe in najti presečišče teh intervalov
Učitelj ponovno opozori učence, da je sposobnost reševanja linearnih neenačb z eno spremenljivko in njihovimi sistemi osnova, osnova za več kompleksne neenakosti, ki se bo učil v višjih razredih. Postavljen je temelj znanja, katerega trdnost bo treba potrditi na OGE pri matematiki po 9. razredu.
Učenci pišejo v svoje zvezke reševanje sistemov linearnih neenačb z eno spremenljivko. (2 učenca rešita te naloge na tabli, razložita svojo rešitev, izgovori lastnosti neenačb, ki jih uporabljata pri reševanju sistemov).
№1012(d). Reši sistem linearnih neenačb
0,3 x+1< 0,4х-2;
1,5 x-3 > 1,3 x-1. Odgovori. (30; +∞).
№1028(d). Reši dvojno neenačbo in naštej vsa cela števila, ki so njena rešitev
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) Reševanje neenačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula.
Praksa kaže, da neenačbe, ki vsebujejo spremenljivko pod predznakom modula, pri učencih povzročajo tesnobo in dvom vase. In pogosto učenci preprosto ne sprejmejo takšnih neenakosti. In razlog za to so slabo postavljeni temelji. Učitelj učence spodbuja k pravočasnemu delu na sebi in doslednemu učenju vseh korakov za uspešno izvajanje teh neenakosti.
Izvaja se ustno delo. (Sprednji pregled)
Reševanje neenačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula:
1. Modul števila x je razdalja od izhodišča do točke s koordinato x.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Rešite neenačbe:
a) | x |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)
b) | x | > 2. Odgovori. (- ∞; -2) U (2; +∞)
Na zaslonu je podrobno prikazan potek reševanja teh neenačb in izpisan je algoritem za reševanje neenačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula.
4. Samostojno delo
Da bi preverili stopnjo obvladovanja te teme, se 4 študenti usedejo na monobloke in opravijo tematsko spletno testiranje. Čas testiranja je 15 minut. Po zaključku se samotestiranje izvede tako v točkah kot v odstotkih.
Ostali učenci v šolskih klopeh opravljajo samostojno delo v variantah.
Samostojno delo (čas zaključka 13 min)
Možnost 1
Možnost 2
1. Rešite neenačbe:
a) 6+x< 3 - 2х;
b) 0,8(x-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - x).
3(x+1) - (x-2)< х,
2 > 5x - (2x-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
4*. (dodatno)
Reši neenačbo:
| 2- 2x | ≤ 1
1. Rešite neenačbe:
a) 4+x< 1 - 2х;
b) 0,2(3x - 4) - 1,6 ≥ 0,3(4-3x).
2. Rešite sistem neenačb:
2(x+3) - (x - 8)< 4,
6x > 3(x+1) -1.
3. Rešite dvojno neenačbo:
-1 < 3х - 1 < 2
4*. (dodatno)
Reši neenačbo:
| 6x-1 | ≤ 1
Po usmrtitvi samostojno delo Učenci oddajo zvezke v pregled. Učenci, ki so delali na monoblokih, svoje zvezke predajo tudi učitelju v pregled.
5. Razmislek
Učitelj učence opozori na liste za samokontrolo, na katerih so morali oceniti svoje delo s "+" skozi celotno uro, na njenih različnih stopnjah.
Toda študentje bodo morali podati glavno oceno svojih dejavnosti šele zdaj, potem ko bodo izrazili eno starodavno prispodobo.
Prispodoba.
Modrec je hodil in srečali so ga trije ljudje. Pod žgočim soncem so vozili vozove s kamni za gradnjo templja.
Modrec ju je ustavil in vprašal:
- Kaj si počel ves dan?
»Nosil sem preklete kamne,« je odgovoril prvi.
"Svoje delo sem opravljal vestno," je odgovoril drugi.
"In sodeloval sem pri gradnji templja," je ponosno odgovoril tretji.
V liste za samokontrolo morajo učenci v točki št. 3 vnesti besedno zvezo, ki bi ustrezala njihovim dejanjem pri tej lekciji.
List za samokontrolo __________________________________________
№ n /n
Koraki lekcije
Ocena izobraževalne dejavnosti
Ustno delo pri pouku
Reševanje neenačb z eno spremenljivko;
reševanje sistemov neenačb;
reševanje dvojnih neenačb;
reševanje neenačb s predznakom modula
Odsev
V 1. in 2. odstavku označite pravilne odgovore v lekciji z znakom "+";
v 3. odstavku oceni svoje delo pri pouku po navodilih
6. Povzetek lekcije.
Učitelj, ko povzame lekcijo, opazi uspešne trenutke in težave, na katerih je treba opraviti dodatno delo.
Dijake prosimo, da svoje delo ocenijo po listih za samokontrolo, na podlagi rezultatov samostojnega dela pa dijaki prejmejo še eno oceno.
Na koncu lekcije učitelj opozori učence na besede francoskega znanstvenika Blaisa Pascala: "Veličina človeka je v njegovi sposobnosti razmišljanja."
Reference:
1 . Algebra. 8. razred. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk, K.E. Neškov, I.E. Feoktistov.-M.:
Mnemozina, 2012
2. Algebra.8.r. Didaktična gradiva. Metodološka priporočila/ I.E. Feoktistov.
2. izdaja., St.-M.: Mnemosyne, 2011
3. Preizkusno in merilno gradivo: Algebra: 8. razred / Sestavil L.I. Martyshova.-
M.: VAKO, 2010
Internetni viri:
Tema lekcije: Reševanje sistema linearnih neenačb z eno spremenljivko
Datum: _______________
Razred: 6a, 6b, 6c
Vrsta lekcije: učenje nove snovi in primarno utrjevanje.
Didaktični cilj: ustvariti pogoje za zavedanje in razumevanje sklopa novih izobraževalnih informacij.
Cilji: 1) Izobraževalni: uvedejo pojme: reševanje sistemov neenačb, ekvivalentni sistemi neenačb in njihove lastnosti; naučiti, kako uporabiti te koncepte pri reševanju preprostih sistemov neenačb z eno spremenljivko.
2) Razvojni: spodbujati razvoj elementov ustvarjalne, samostojne dejavnosti študentov; razvijati govor, sposobnost razmišljanja, analiziranja, posploševanja, izražanja svojih misli jasno in jedrnato.
3) Izobraževalni: negovanje spoštljivega odnosa drug do drugega in odgovornega odnosa do vzgojno-izobraževalnega dela.
Naloge:
ponovijo teorijo na temo številske neenakosti in številski intervali;
navedi primer problema, ki ga je mogoče rešiti s sistemom neenačb;
obravnavajo primere reševanja sistemov neenačb;
opravljati samostojno delo.
Oblike organiziranja izobraževalnih dejavnosti:- frontalni – kolektivni – individualni.
Metode: razlagalno – ilustrativno.
Načrt lekcije:
1. Organizacijski moment, motivacija, zastavljanje ciljev
2. Posodabljanje študija teme
3. Učenje nove snovi
4. Primarno utrjevanje in nanos novega materiala
5. Samostojno delo
7. Povzetek lekcije. Odsev.
Napredek lekcije:
1. Organizacijski trenutek
Neenakost je lahko dober pomočnik. Samo vedeti morate, kdaj se obrniti nanj po pomoč. Formulacija problemov v številnih aplikacijah matematike je pogosto oblikovana v jeziku neenakosti. Na primer, številni ekonomski problemi se spustijo na študij sistemov linearnih neenakosti. Zato je pomembno, da znamo reševati sisteme neenačb. Kaj pomeni "rešiti sistem neenačb"? To je tisto, kar si bomo ogledali v današnji lekciji.
2. Posodabljanje znanja.
Ustno delo z razredom, trije učenci delajo s posameznimi karticami.
Za pregled teorije teme “Neenakosti in njihove lastnosti” bomo izvedli testiranje, ki mu bo sledilo preverjanje in pogovor o teoriji te teme. Vsaka testna naloga zahteva odgovor "Da" - slika, "Ne" - slika ____
Rezultat testa bi morala biti nekakšna številka.
(odgovor:).
Vzpostavite ujemanje med neenakostjo in numeričnim intervalom
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"Matematika te nauči premagovati težave in popraviti lastne napake." Poišči napako pri reševanju enačbe, razloži, zakaj je do napake prišlo, pravilno rešitev zapiši v zvezek.
2x<8-6
x>-1
3. Študij novega gradiva.
Kaj menite, kaj se imenuje rešitev sistema neenakosti?
(Rešitev sistema neenačb z eno spremenljivko je vrednost spremenljivke, za katero je vsaka od neenačb sistema resnična)
Kaj pomeni "Rešiti sistem neenačb"?
(Rešiti sistem neenačb pomeni najti vse njegove rešitve ali dokazati, da rešitev ne obstaja)
Kaj je treba storiti za odgovor na vprašanje »je dano število
rešitev sistema neenačb?
(To število nadomestite v obe neenačbi sistema, če sta neenačbi pravilni, je dano število rešitev sistema neenačb, če sta neenačbi napačni, potem dano število ni rešitev sistema neenačb)
Oblikujte algoritem za reševanje sistemov neenačb
1. Reši vsako neenačbo sistema.
2. Rešitve posamezne neenačbe grafično prikaži na koordinatni premici.
3. Poišči presečišče rešitev neenačb na koordinatni premici.
4. Odgovor zapišite kot številski interval.
Razmislite o primerih:
odgovor: 
Odgovor: ni rešitev
4. Zavarovanje teme.
Delo z učbenikom št. 1016, št. 1018, št. 1022
5. Samostojno delo po možnostih (kartice z nalogami za učence na mizah)
Samostojno delo
Možnost 1
Rešite sistem neenačb:
1. Koncept neenakosti z eno spremenljivko
2. Ekvivalentne neenakosti. Izreki o enakovrednosti neenačb
3. Reševanje neenačb z eno spremenljivko
4. Grafično reševanje neenačb z eno spremenljivko
5. Neenačbe, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula
6. Glavni sklepi
Neenačbe z eno spremenljivko
Ponudbe 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 imenujemo neenačbe z eno spremenljivko.
IN splošni pogled ta koncept je opredeljen na naslednji način:
Opredelitev. Naj sta f(x) in g(x) dva izraza s spremenljivko x in domeno X. Potem je neenakost v obliki f(x) > g(x) ali f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Spremenljiva vrednost x od mnogih X, pri katerem se neenakost spremeni v pravo številsko neenakost, imenujemo odločitev. Reševanje neenačbe pomeni iskanje številnih rešitev zanjo.
Tako z rešitvijo neenačbe 2 x + 7 > 10 -x, x? R je številka x= 5, saj je 2 5 + 7 > 10 - 5 prava številska neenakost. In množica njegovih rešitev je interval (1, ∞), ki ga najdemo s transformacijo neenačbe: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Ekvivalentne neenakosti. Izreki o enakovrednosti neenačb
Osnova za reševanje neenačb z eno spremenljivko je koncept ekvivalence.
Opredelitev. Za dve neenačbi pravimo, da sta enakovredni, če sta njuni množici rešitev enaki.
Na primer, neenakosti 2 x+ 7 > 10 in 2 x> 3 sta enakovredna, saj sta njuni množici rešitev enaki in predstavljata interval (2/3, ∞).
Izreki o ekvivalentnosti neenačb in posledice iz njih so podobni ustreznim izrekom o ekvivalentnosti enačb. Njihov dokaz uporablja lastnosti resničnih numeričnih neenakosti.
Izrek 3. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(x) je izraz, definiran na istem nizu. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) so enakovredne na nizu X.
Iz tega izreka izhajajo posledice, ki se pogosto uporabljajo pri reševanju neenačb:
1) Če na obe strani neenakosti f(x) > g(x) dodajte isto število d, potem dobimo neenakost f(x) + d > g(x)+ d, enakovreden originalnemu.
2) Če katerikoli člen (številski izraz ali izraz s spremenljivko) prenesemo iz enega dela neenačbe v drugega in spremenimo predznak člena v nasprotno, dobimo neenakost, ki je enaka dani.
Izrek 4. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(X X od mnogih X izražanje h(x) ima pozitivne vrednosti. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x) h(x) > g(x) h(x) so enakovredne na nizu X.
f(x) > g(x) pomnožite z istim pozitivnim številom d, potem dobimo neenakost f(x) d > g(x) d, enakovreden temu.
Izrek 5. Naj neenakost f(x) > g(x) določen na setu X in h(X) - izraz, definiran na istem nizu in za vse X veliko jih je X izražanje h(X) sprejme negativne vrednosti. Nato neenakosti f(x) > g(x) in f(x) h(x) > g(x) h(x) so enakovredne na nizu X.
Iz tega izreka sledi posledica: če obe strani neenakosti f(x) > g(x) pomnožite z istim negativnim številom d in spremenimo znak neenakosti v nasprotnega, dobimo neenakost f(x) d > g(x) d, enakovreden temu.
Reševanje neenačb z eno spremenljivko
Rešimo neenačbo 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, in utemeljili bomo vse transformacije, ki jih bomo izvedli v procesu reševanja.
Reševanje neenačbe X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 je interval (-∞, 7).
vaje
1. Določite, kateri od naslednjih vnosov so neenačbe z eno spremenljivko:
a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. Ali je število 3 rešitev neenačbe 6 (2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Kaj pa številka 4,25?
3. Ali so naslednji pari neenakosti enakovredni na množici realnih števil:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 in 3 X-1>0;
c) 6-5 x>-4 in X<2?
4. Katere od naslednjih trditev držijo:
a) -7 X < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Reši neenačbo 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 in utemelji vse transformacije, ki jih boš izvedel.
6. Dokažite to tako, da rešite neenačbo 2 (x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) je poljubno realno število.
7. Dokaži, da ne obstaja realno število, ki bi bilo rešitev neenačbe 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Ena stranica trikotnika je 5 cm, druga pa 8 cm. Kolikšna je lahko dolžina tretje stranice, če je obseg trikotnika:
a) manj kot 22 cm;
b) več kot 17 cm?
GRAFIČNO REŠEVANJE NEENAČB Z ENO SPREMENLJIVKO. Neenačbo rešiti grafično f (x) > g (x) je treba zgraditi grafe funkcij
y = f (x) = g (x) in izberite tiste intervale abscisne osi, na katerih je graf funkcije y = f(x) ki se nahaja nad grafom funkcije y = g(x).
Primer 17.8. Grafično reši neenačbo x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
rešitev. Izdelajmo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu
y = x 2 - 4 in y = Zx (slika 17.5). Slika prikazuje, da so grafi funkcij pri= x 2- 4 se nahaja nad grafom funkcije y = 3 X pri X< -1 in x > 4, tj. množica rešitev izvirne neenačbe je množica
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Odgovor: x О(- oo; -1) in ( 4; + oo).
Urnik kvadratna funkcija pri= sekira 2 + bx + c je parabola z vejami, obrnjenimi navzgor, če a > 0 in navzdol, če A< 0. V tem primeru so možni trije primeri: parabola seka os Oh(tj. enačba ah 2+ bx+ c = 0 ima dva različna korena); parabola se dotika osi X(tj. enačba sekira 2 + bx+ c = 0 ima en koren); parabola ne seka osi Oh(tj. enačba ah 2+ bx+ c = 0 nima korenin). Tako obstaja šest možnih položajev parabole, ki služi kot graf funkcije y = ah 2+b x + c(slika 17.6). S pomočjo teh ilustracij lahko rešite kvadratne neenakosti.
Primer 17.9. Reši neenačbo: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
rešitev, a) Enačba 2x 2 + 5x -3 = 0 ima dva korena: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola, ki služi kot graf funkcije pri= 2x 2+ 5x -3, prikazano na sl. A. Neenakost 2x 2+ 5x -3 > 0 je za te vrednosti izpolnjeno X, za katere točke parabole ležijo nad osjo Oh: bo ob X< х х ali kdaj X> x g> tiste. pri X< -3 ali pri x > 0,5. To pomeni, da je množica rešitev prvotne neenačbe množica (- ¥; -3) in (0,5; + ¥).
b) Enačba -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nima pravih korenin. Parabola, ki služi kot graf funkcije pri= - 3x 2 - 2x - 6, prikazano na sl. 17.6 Neenakost -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, za katere točke parabole ležijo pod osjo Oh. Ker celotna parabola leži pod osjo Oh, potem je množica rešitev prvotne neenačbe množica R .
NEENAČBE, KI VSEBUJEJO SPREMENLJIVKO POD ZNAKOM MODULA. Pri reševanju teh neenakosti je treba upoštevati, da:
|f(x) | =
f(x), Če f(x) ³ 0,
- f(x), Če f(x) < 0,
V tem primeru je treba območje dovoljenih vrednosti neenakosti razdeliti na intervale, pri katerih izrazi pod znakom modula ohranijo svoj znak. Nato morate z razširitvijo modulov (ob upoštevanju predznakov izrazov) rešiti neenakost na vsakem intervalu in dobljene rešitve združiti v nabor rešitev prvotne neenakosti.
Primer 17.10. Reši neenačbo:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
rešitev. Točki x = 1 in x = 2 delita numerično os (ODZ neenačbe (17.9)) na tri intervale: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Rešimo to neenačbo za vsakega od njih. Če x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; torej |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. To pomeni, da ima neenakost (17.9) obliko: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Če je 1 £ x £,2, potem je x - 1 ³ 0 in 2 – x ³ 0; torej | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. To pomeni, da sistem vsebuje:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Nastali sistem neenačb nima rešitev. Zato je na intervalu [ 1; 2] je množica rešitev neenačbe (17.9) prazna.
Če je x > 2, potem je x - 1 >0 in 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 oz
Če združimo rešitve, ki jih najdemo na vseh delih neenačbe ODZ (17.9), dobimo njeno rešitev - množico (-¥; 0) È (6; +oo).
Včasih je koristno uporabiti geometrijsko interpretacijo modula realnega števila, po kateri | a | pomeni oddaljenost točke a koordinatne premice od izhodišča O, a | a - b | pomeni razdaljo med točkama a in b na koordinatni premici. Druga možnost je, da uporabite metodo kvadriranja obeh strani neenakosti.
Izrek 17.5. Če izrazi f(x) in g(x) za vsak x zavzemajo le nenegativne vrednosti, potem neenakosti f (x) > g (x) in f (x) ² > g (x) ² so enakovredne.
58. Glavni sklepi § 12
V tem razdelku smo definirali naslednje koncepti:
Numerični izraz;
Pomen številski izraz;
Izraz, ki nima pomena;
Izraz s spremenljivko(-ami);
Obseg definicije izraza;
Identično enaki izrazi;
Identiteta;
Identična transformacija izraza;
Numerična enakost;
Številčna neenakost;
Enačba z eno spremenljivko;
Koren enačbe;
Kaj pomeni rešiti enačbo;
Ekvivalentne enačbe;
Neenakost z eno spremenljivko;
Reševanje neenačb;
Kaj pomeni rešiti neenakost;
Ekvivalentne neenakosti.
Poleg tega smo pregledali izreke o enakovrednosti enačb in neenačb, ki so osnova za njihovo reševanje.
Poznavanje definicij vseh navedenih pojmov in izrekov o ekvivalentnosti enačb in neenačb je nujen pogoj za metodično kompetenten študij algebrske snovi z osnovnošolci.
Tema lekcije je "Reševanje neenačb in njihovih sistemov" (matematika 9. razred)
Vrsta lekcije: lekcija o sistematizaciji in posploševanju znanja in spretnosti
Tehnologija lekcije: tehnologija za razvoj kritičnega mišljenja, diferencirano učenje, IKT tehnologije
Namen lekcije: ponoviti in sistematizirati znanje o lastnostih neenačb in metodah za njihovo reševanje, ustvariti pogoje za razvoj spretnosti za uporabo tega znanja pri reševanju standardnih in ustvarjalnih problemov.
Naloge.
Izobraževalni:
prispevati k razvoju sposobnosti učencev za posploševanje pridobljenega znanja, izvajanje analiz, sintez, primerjav in pripravo potrebnih zaključkov.
organizirati dejavnosti študentov za uporabo pridobljenega znanja v praksi
spodbujati razvoj veščin za uporabo pridobljenega znanja v nestandardnih pogojih
Izobraževalni:
nadaljujte s formacijo logično razmišljanje, pozornost in spomin;
izboljšati veščine analize, sistematizacije, posploševanja;
ustvarjanje pogojev, ki zagotavljajo razvoj sposobnosti samokontrole pri učencih;
spodbujati pridobivanje potrebnih veščin za samostojne učne dejavnosti.
Izobraževalni:
gojiti disciplino in zbranost, odgovornost, neodvisnost, kritičen odnos do sebe in pozornost.
Načrtovani izobraževalni rezultati.
Osebno: odgovoren odnos do učenja in komunikacijska kompetenca v komunikaciji in sodelovanju z vrstniki v procesu izobraževalne dejavnosti.
Kognitivni: sposobnost definiranja pojmov, posploševanja, samostojne izbire podlag in meril za razvrščanje, logičnega sklepanja in sklepanja;
Regulativno: sposobnost prepoznati morebitne težave pri reševanju izobraževalne in kognitivne naloge in najti sredstva za njihovo odpravo, oceniti svoje dosežke
Komunikativen: sposobnost presojanja z uporabo matematičnih izrazov in konceptov, oblikovanje vprašanj in odgovorov med nalogo, izmenjava znanja med člani skupine za sprejemanje učinkovitih skupnih odločitev.
Osnovni izrazi in pojmi: linearna neenačba, kvadratna neenačba, sistem neenačb.
Oprema
Projektor, učiteljev prenosni računalnik, več netbookov za študente;
Predstavitev;
Kartice z osnovnim znanjem in spretnostmi na temo lekcije (Priloga 1);
Kartice s samostojnim delom (Priloga 2).
Načrt lekcije
| Napredek lekcije |
|||
| Tehnološke stopnje. Tarča. | Dejavnosti učitelja | Študentske dejavnosti | |
| Uvodna in motivacijska komponenta |
|||
| 1.Organizacijski Cilj: psihološka priprava na komunikacijo. | zdravo Lepo vas je videti. usedi se Preverite, ali imate vse pripravljeno za lekcijo. Če je vse v redu, me poglej. | Pozdravijo se. Preverite dodatke. Priprave na delo. | Osebno. Oblikuje se odgovoren odnos do učenja. |
| 2.Ponovitev znanja (2 min) Namen: ugotoviti posamezne vrzeli v znanju o temi | Tema naše lekcije je "Reševanje neenačb z eno spremenljivko in njihovimi sistemi." (diapozitiv 1) Tukaj je seznam osnovnih znanj in veščin na temo. Ocenite svoje znanje in spretnosti. Postavite ustrezne ikone. (diapozitiv 2) | Ocenijo lastno znanje in spretnosti. (Priloga 1) | Regulativni Samoocenjevanje svojega znanja in spretnosti |
| 3.Motivacija (2 min) Namen: zagotoviti dejavnosti za določitev ciljev lekcije . | IN delo OGE pri matematiki več vprašanj tako v prvem kot v drugem delu določa sposobnost reševanja neenačb. Kaj moramo ponoviti pri pouku, da uspešno opravimo te naloge? | Utemeljujejo in imenujejo vprašanja za ponavljanje. | Kognitivni. Prepoznajte in oblikujte kognitivni cilj. |
| Faza zasnove (vsebinska komponenta) |
|||
| 4.Samospoštovanje in izbira poti (1-2 min) | Glede na to, kako ste ocenili svoje znanje in spretnosti o temi, izberite obliko dela v lekciji. Z mano lahko delaš s celim razredom. Na netbookih lahko delate individualno, z uporabo mojega svetovanja, ali v parih, ki si pomagajo drug drugemu. | Določeno z individualno učno potjo. Po potrebi zamenjajte mesta. | Regulativni prepoznati morebitne težave pri reševanju izobraževalne in kognitivne naloge in poiskati sredstva za njihovo odpravo |
| 5-7 Delo v parih ali individualno (25 min) | Učitelj učencem svetuje samostojno delo. | Učenci, ki temo dobro poznajo, delajo samostojno ali v paru s predstavitvijo (prosojnice 4-10). Dokončajo naloge (prosojnice 6,9). | Kognitivni sposobnost definiranja pojmov, posploševanja, gradnje logične verige Regulativni sposobnost določanja dejanj v skladu z učno in spoznavno nalogo Komunikacija sposobnost organiziranja izobraževalnega sodelovanja in skupne dejavnosti, delo z virom informacij Osebno odgovoren odnos do učenja, pripravljenost in sposobnost za samorazvoj in samoizobraževanje |
| 5. Reševanje linearnih neenačb. (10 min) | Katere lastnosti neenačb uporabljamo za njihovo reševanje? Znate razlikovati med linearnimi in kvadratnimi neenačbami ter njihovimi sistemi? (diapozitiv 5) Kako rešiti linearno neenakost? Sledite rešitvi. (diapozitiv 6) Učitelj spremlja rešitev pri tabli. Preverite pravilnost rešitve. | Poimenujte lastnosti neenačb; po odgovoru ali v primeru težav učitelj odpre prosojnico 4. Poimenujte značilnosti neenakosti. Uporaba lastnosti neenakosti. En učenec rešuje enačbo št. 1 na tabli. Ostali so v zvezkih po odločitvi odgovorca. Neenakosti št. 2 in 3 sta izpolnjeni neodvisno. Preverijo pripravljen odgovor. | Kognitivni Komunikacija |
| 6. Reševanje kvadratnih neenačb. (10 min) | Kako rešiti neenakost? Kakšna neenakost je to? Katere metode se uporabljajo za reševanje kvadratnih neenakosti? Spomnimo se metode parabole (prosojnica 7) prikliče v spomin faze reševanja neenačbe. Intervalna metoda se uporablja za reševanje neenačb sekunde ali več visoke stopnje. (diapozitiv 8) Za reševanje kvadratnih neenakosti lahko izberete metodo, ki vam ustreza. Reši neenačbe. (diapozitiv 9). Učitelj spremlja potek reševanja in si prikliče v spomin metode reševanja nepopolnih kvadratnih enačb. Učitelj svetuje študentom pri individualnem delu. | odgovor: Kvadratna neenakost Rešujemo z metodo parabole ali intervalno metodo. Učenci spremljajo rešitev predstavitve. Učenci ob tabli izmenično rešujejo neenačbi št. 1 in 2. Odgovor preverijo. (za rešitev živca št. 2 se morate spomniti metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb). Neenačbo št. 3 rešujemo samostojno in jo primerjamo z odgovorom. | Kognitivni sposobnost definiranja konceptov, ustvarjanja posploševanj, gradnje sklepanja od splošnih vzorcev do posebnih rešitev Komunikacija sposobnost ustne in pisne predstavitve natančnega načrta lastnih aktivnosti; |
| 7. Reševanje sistemov neenačb (4-5 min) | Spomnimo se stopenj reševanja sistema neenačb. Rešite sistem (prosojnica 10) | Poimenujte stopnje rešitve Učenec rešuje ob tabli in preveri rešitev na prosojnici. | |
| Reflektivno-ocenjevalna stopnja |
|||
| 8.Kontrola in preverjanje znanja (10 min) Cilj: ugotoviti kakovost učenja snovi. | Preverimo vaše znanje o temi. Težave rešite sami. Učitelj preveri rezultat z že pripravljenimi odgovori. | Opravite samostojno delo na možnostih (Priloga 2) Po opravljenem delu študent to sporoči učitelju. Učenec določi svojo oceno glede na merila (slide 11). Če je delo uspešno opravljeno, lahko začne dodatno nalogo (slide 11) | Kognitivni. Zgradite logične verige sklepanja. |
| 9. Razmislek (2 min) Cilj: oblikovati ustrezno samospoštovanje svojih zmožnosti in sposobnosti, prednosti in omejitev. | Ali je rezultat izboljšan? Če imate še vprašanja, si doma oglejte učbenik (str. 120) | Na istem listu papirja ocenijo svoje znanje in spretnosti (Priloga 1). Primerjajte s samozavestjo na začetku lekcije in naredite zaključke. | Regulativni Samoocena vaših dosežkov |
| 10. Domača naloga (2 min) Namen: utrjevanje preučenega gradiva. | Določite domačo nalogo glede na rezultate samostojnega dela (diapozitiv 13) | Določite in zabeležite individualna naloga | Kognitivni. Zgradite logične verige sklepanja. Analizirajte in preoblikujte informacije. |
Seznam uporabljene literature: Algebra. Učbenik za 9. razred. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Izobraževanje, 2014
Program za reševanje linearnih, kvadratnih in frakcijskih neenakosti ne daje le odgovora na problem, temveč podrobna rešitev s pojasnili, t.j. prikazuje postopek reševanja za preverjanje znanja matematike in/ali algebre.
Poleg tega, če je v procesu reševanja ene od neenakosti potrebno rešiti npr. kvadratna enačba, potem se prikaže tudi njegova podrobna rešitev (vsebuje spojler).
Ta program je lahko koristen za srednješolce pri pripravi testi, staršem, da spremljajo rešitve svojih otrok za neenakosti.
Ta program je lahko koristen za srednješolce srednje šole pri pripravi na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre.
Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.
Pravila za vnos neenačb
Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.
Števila lahko vnesete kot cela ali ulomka.
Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne le v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.
Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celega ločen s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalke takole: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.
Imenovalec ne more biti negativen.
Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Pri vnosu izrazov lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju neenačb izraze najprej poenostavimo.
Na primer: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Izberite pravi znak neenakosti in polinome vpišite v spodnja polja.
Rešite sistem neenačb Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.
Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Počakajte prosim sek...
če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.
Naše igre, uganke, emulatorji:
Malo teorije.
Sistemi neenačb z eno neznanko. Številčni intervali
S pojmom sistem ste se seznanili v 7. razredu in se naučili reševati sisteme linearnih enačb z dvema neznankama. Nato bomo obravnavali sisteme linearnih neenačb z eno neznanko. Množice rešitev sistemov neenačb lahko zapišemo z intervali (intervali, polintervali, odseki, žarki). Seznanili se boste tudi z zapisom številskih intervalov.
Če je v neenačbah \(4x > 2000\) in \(5x \leq 4000\) neznano število x enako, potem te neenačbe obravnavamo skupaj in pravimo, da tvorita sistem neenačb: $$ \levo\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.
Zavit oklepaj kaže, da morate najti vrednosti x, za katere se obe neenakosti sistema spremenita v pravilne številske neenakosti. Ta sistem- primer sistema linearnih neenačb z eno neznanko.
Rešitev sistema neenačb z eno neznanko je vrednost neznanke, pri kateri se vse neenačbe sistema spremenijo v prave numerične neenačbe. Reševanje sistema neenačb pomeni najti vse rešitve tega sistema ali ugotoviti, da jih ni.
Neenakosti \(x \geq -2 \) in \(x \leq 3 \) lahko zapišemo kot dvojno neenakost: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Rešitve sistemov neenačb z eno neznanko so različne številske množice. Ti nizi imajo imena. Tako je na številski osi množica števil x, tako da \(-2 \leq x \leq 3 \), predstavljena z odsekom s koncema v točkah -2 in 3.
| -2 | 3 |
Če je \(a segment in je označen z [a; b]
Če je \(a interval in je označen z (a; b)
Množice števil \(x\), ki izpolnjujejo neenakosti \(a \leq x so polovični intervali in so označeni z [a; b) oziroma (a; b]
Imenujemo odseke, intervale, polintervale in žarke številčni intervali.
Tako lahko numerične intervale podamo v obliki neenačb.
Rešitev neenačbe v dveh neznankah je par števil (x; y), ki spremeni dano neenačbo v pravo številsko neenakost. Rešiti neenačbo pomeni najti množico vseh njenih rešitev. Tako bodo rešitve neenačbe x > y na primer pari števil (5; 3), (-1; -1), saj \(5 \geq 3 \) in \(-1 \geq - 1\)
Reševanje sistemov neenačb
Naučili ste se že reševati linearne neenačbe z eno neznanko. Veste, kaj sta sistem neenačb in rešitev sistema? Zato vam postopek reševanja sistemov neenačb z eno neznanko ne bo povzročal težav.
In vendar vas spomnimo: za rešitev sistema neenačb morate rešiti vsako neenačbo posebej, nato pa poiskati presečišče teh rešitev.
Na primer, prvotni sistem neenakosti je bil zmanjšan na obliko:
$$ \left\(\begin(matrika)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(matrika)\desno. $$
Za rešitev tega sistema neenačb označite rešitev vsake neenačbe na številski premici in poiščite njihovo presečišče:
| -2 | 3 |
Sečišče je segment [-2; 3] - to je rešitev prvotnega sistema neenačb.